שיטות לניעור טרחנים 226078
אסף אהרוני יום ג', 15/6/2004, 0:58
אני יכול להיזכר בשתי שיטות לניעור טרחני פרמה (שהיו כנראה נפוצים יותר לפני שהמשפט הוכח): הראשונה מופיעה בספר "המשפט האחרון של פרמה". אני לא זוכר מי נקט בה, אבל היו פונים אליו הרבה עם "הוכחות" למשפט. לכל טרחן כזה הוא היה מחזיר מכתב בנוסח הבא: "מר XXX הנכבד, קראתי בעניין רב את הוכחתך למשפט האחרון של פרמה. אני מפנה אותך למר YYY, שהוא מומחה בעל שם ובר סמכא בתחום, אשר יוכל להעריך את טיב ההוכחה שלך. בכבוד רב," וכו'. אותו YYY היה כמובן הטרחן הקודם שכתב לו...

את השיטה השניה שמעתי מפי פרופ' באונ' ת"א, שכנראה היו פונים אליו הרבה. לכל מי שהיה מגיע אליו עם הוכחה למשפט פרמה הוא היה אומר: "יפה מאד, עכשיו תשנה מעט את ההוכחה ותוכיח שלא קיים פתרון למשוואה
X^3+Y^3=22Z^3
לאחר מספר ימים, כאשר הטרחן היה חוזר עם הוכחה, הוא היה מקבל את התשובה: "המשפט שהוכחת אינו נכון - קיים פתרון למשוואה זו. כעת מצא את הבאג בהוכחה של עצמך". מה שיפה הוא שהפתרון הקטן ביותר בשלמים למשוואה הוא מאד גדול, כך שהטרחן לא היה מוצא אותו בניסוי וטעייה על מספרים קטנים (אגב - אני כמעט בטוח שזו היתה המשוואה שניתנה, אבל לא בטוח בכך לגמרי, יכול להיות שהיא היתה קצת שונה).
שיטות לניעור טרחנים 226084
עוזי וי • בתשובה לאסף אהרוני יום ג', 15/6/2004, 1:34
בקישור שנתתי בתגובה 225835, de Branges מספר על השנה שבילה בפתרון המשוואה x^3+y^3=22z^3. הוא כותב שהפרוייקט היה מורכב וקשה יותר מעבודת הדוקטורט שלו, שנכתבה עשר שנים מאוחר יותר.
שיטות לניעור טרחנים 227071
אסף אהרוני • בתשובה לעוזי וי יום א', 20/6/2004, 0:44
קראתי. חבל שהוא לא נותן את הפתרון. בכל מקרה, אם באמת הפתרון הוא בן 5-6 ספרות עשרוניות, צריך להיות לא קשה להגיע אליו בעזרת כתיבת תכנית קטנה. לכאורה צריך לעבור על 10 בחזקת 11 או 10 בחזקת 12 אפשרויות, אבל אם מנפים חלק מהאפשרויות בעזרת כמה ראשוניים קטנים (כאלו שהם 1 מודולו 3, ואז הסיכוי להיות קוביה הוא שליש ועוד קצת) אז זה נשמע בהחלט סביר (כדאי כנראה להוסיף את התנאי שהסכום צריך להתחלק ב- 22, במחיר שעוברים על x ו- y במקום על x ו- z). לפי התיאור שלו, בתקופתו לא ניתן היה אפילו לוודא את נכונות הפתרון בעזרת מחשב, אבל היום אפשר לעשות את זה ביום אחד בלי להבין (כמעט) כלום בתורת המספרים (או בקצת יותר זמן בלי להבין ממש כלום - פשוט לעבור כל האפשרויות).

אגב - אותו מרצה סיפר לי שיום אחד הגיע אליו אחד הטרחנים עם בשורה שהדהימה את הפרופ' - הוא לא יכול להתאים את ההוכחה, משום שיש פתרון! בדיקה העלתה שאותו אדם כתב תכנית אשר מצאה פתרון - שלא באמת היה נכון, אבל ההפרש היה מתחת לגבול הדיוק של התכנית.

מה הלקח שאפשר ללמוד מכך? לא יודע, אבל לי זה מזכיר את התלמידה בתיכון שלי, שלא הסכימה בשום פנים לקבל את ההוכחה של המורה ששורש 2 אינו רציונלי, משום שכאשר מקישים במחשבון שלה את המספר 1.41421356 (בלי ... - זה המספר - רציונלי לכל הדעות!) ולוחצים על העלאה בריבוע - מקבלים 2 בדיוק - אפילו אפשר להחסיר 2 ולקבל 0 (היא היתה מוכנה להדגים לכל מי שרצה לראות). שום דבר ממה שקרה על הלוח לא היה יותר משכנע מהתצוגה הדיגיטלית של המחשבון שלה.
שיטות לניעור טרחנים 227191
עדי סתיו • בתשובה לאסף אהרוני יום א', 20/6/2004, 13:10
איך המחשבון עושה את זה באמת?
שיטות לניעור טרחנים 227194
ערן בילינסקי • בתשובה לעדי סתיו יום א', 20/6/2004, 13:22
בעזרת טור טיילור.
שיטות לניעור טרחנים 227196
ראובן • בתשובה לערן בילינסקי יום א', 20/6/2004, 13:24
אתה בטוח? לא ניוטון רפסון או טבלה?
לא בטוח 227197
ערן בילינסקי • בתשובה לראובן יום א', 20/6/2004, 13:26
אבל זה קרוב לא רע, לא?
לא בטוח 227199
ראובן • בתשובה לערן בילינסקי יום א', 20/6/2004, 13:32
מה? שורש באמצעות טור טיילור ( שמתחיל ממה? מהריבוע הכי קרוב?) קירוב מחורבן. מתכנס לאט. לך על ניוטון רפסון:

u[i+1]=u[i]*(3-v*u[i]*u[i])/2
כאשר v הוא המספר שאתה מחפש את השורש שלו.
לא בטוח 227206
אלון עמית • בתשובה לראובן יום א', 20/6/2004, 13:59
מה זה זה? ניוטון-רפסון זו לא השיטה עם המשיק? לדעתי זה יוצא: קח את הניחוש הנוכחי וחסר ממנו (או הוסף) את (כמה שפספסת) חלקי (פעמיים הניחוש הנוכחי).

למשל: אם רוצים להוציא שורש ל-‏1000, מתחילים נניח מהניחוש 32; 32 בריבוע זה 1024, אז הפספוס הוא 24 והניחוש הבא יהיה 32 פחות (24 חלקי 64), כלומר 31.675 שזה כבר קירוב לא רע.
לא בטוח 227258
ראובן • בתשובה לאלון עמית יום א', 20/6/2004, 16:15
כמה ספרות אתה מרוויח בכל איטרציה בשיטה הזאת, וכמה בשלי?
לא בטוח 227265
אלון עמית • בתשובה לראובן יום א', 20/6/2004, 16:22
לא יודע. כשאני מנסה את שלך עם v=1000 ו-u‏1=32 אני דווקא מפסיד די הרבה ספרות... אולי זה עובד רק בתחום מסויים?
גם אני אופס! 227272
ראובן • בתשובה לאלון עמית יום א', 20/6/2004, 16:28
סליחה, הנוסחא שנתתי מתכנסת להופכי של השורש, ולא לשורש!
אההההההה... 227276
אלון עמית • בתשובה לראובן יום א', 20/6/2004, 16:35
ואת זה אני צריך לנחש? אתה חייב לי עוד חומוס מ"הנסיך".
its a deal! 227277
ראובן • בתשובה לאלון עמית יום א', 20/6/2004, 16:36
לא בטוח 227234
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לראובן יום א', 20/6/2004, 15:42
דווקא בחירת הטור המדויק להשתמש בו היא קלה. למעשה תמיד מוציאים שורש בתחום
[0.25,1]
שכן את המנטיסה פשוט מחלקים בשתיים. אאל"ט, פעם לפחות היו משתמשים בפולינום אינטרפולציה (לא טילור) בקטע הנ"ל.
אופס 227264
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום א', 20/6/2004, 16:21
מנטיסה, ר''ע אקספוננט.
אופס^אופס 227268
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום א', 20/6/2004, 16:22
ר''ע, ע''ע ע''ע.
אופס^אופס 227270
אלון עמית • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום א', 20/6/2004, 16:24
ר''ע וע''ע צ''ל צ''ל.
אופס^אופס 227328
שועל • בתשובה לאלון עמית יום א', 20/6/2004, 18:23
צ''ל לסל וחסל.

נ.ב. תודה רבה ממני ומחברי לספסל הלימודים.
שיטות לניעור טרחנים 227201
עדי סתיו • בתשובה לערן בילינסקי יום א', 20/6/2004, 13:36
לא הבנתי. טור טיילור זה לקירוב של פונקציה, לא? איך המחשבון יכול לדעת שבעזרתו ש2.414 (מכל המספרים) זה דווקא שורש ריבועי (מכל האופציות) של 2 (מכל המספרים), ואיך הוא שומר את המידע הזה?
שיטות לניעור טרחנים 227202
ראובן • בתשובה לעדי סתיו יום א', 20/6/2004, 13:42
אני לא בטוח שכל שורש של שלם יחזור לעצמו, בכל אופן, נדמה לי שמחזיקים ב"סתר" עוד ספרה ( או אולי רק ביט) של דיוק, ובחזרה מעגלים. כלומר אם בהיפוך מתקבל 1.99Xמעגלים ל2 או 1.99 לפי הערך של X כאשר X הוא הספרה הנסתרת.
שיטות לניעור טרחנים 227300
אסף אהרוני • בתשובה לראובן יום א', 20/6/2004, 17:19
לגבי הדיוק של מחשבון - כן, הדיוק גדול מהדיוק המוצג על המסך במעט (אני לא יודע בדיוק בכמה), ולכן לא לכל מספר אפשר להוציא שורש ואז לתקתק את מה שראית, להעלות בריבוע ולקבל את המספר המקורי.

לגבי שיטת הוצאת השורש - אני מכיר שיטה ל"הוצאת שורש ארוכה" בעזרת נייר ועיפרון (דומה לחילוק ארוך). אני לא יודע אם זה היישום במחשבונים (או אם היישום זהה בכל מחשבון), אבל השיטה פועלת כדלקמן:

קח את המספר שברצונך למצוא לו שורש וחלק אותו לזוגות ספרות. למשל, ניקח את 7619 - רשום 19|76. כעת מצא את הספרה הגדולה ביותר שריבועה קטן מ- 76 (8) והפחת את הריבוע מזוג הספרות שלך. רשום את התוצאה ו"הורד" את זוג הספרות הבא (כמו בחילוק ארוך). כעת מה שרשום זה 1219, ולמעלה רשום 8 (נקרא למה שרשום למעלה a). עכשיו צריך למצוא את הספרה הגדולה ביותר b כך ש-
b*(20a+b)<1219
כלומר, b=7. רושמים למעלה (כעת רשום שם 87), מפחיתים ומורידים עוד זוג ספרות וכו'.

במשפט אחד - השיטה מתבססת על הוספת ספרת דיוק b למספר a שכבר קיים, באופן ש- a^2+2ab+b^2 יהיה קטן מהמספר ששואפים להוציא לו שורש.
טרחנים כפייתיים ב-fx 82 227383
ירדן ניר-בוכבינדר • בתשובה לאסף אהרוני יום א', 20/6/2004, 22:50
(לפסקה הראשונה שלך) במחשבונים מטיפוס casio FX82, היה אפילו כפתור שמעגל את המספר בזכרון המחשב לערך שכתוב על המסך!

ונדמה לי שבימי החולניים בתיכון יצא לי אפילו להשתמש בו פעם. ימי החולניים היו כאשר פיתחתי תחביב, להשתמש במגוון הכפתורים של המכשיר כדי לחשב ביטויים מסובכים (סינוס 32 כפול e בחזקת 3.5 חלקי שבע ועוד שורש טנגנס 50 וכולי - דברים ברוח זו הופיעו משום מה בתרגילים במתמטיקה ופיזיקה) בלי לרשום תוצאות ביניים על הדף. המחשבון איפשר, כמובן, שש רמות סוגריים, מה שמאפשר לעשות זאת ללא קושי אינטלקטואלי, אבל לא: סוגריים זה לנמושות! מי צריך סוגריים עם כפתורים מופלאים כמו אחד-חלקי-x, החלף x ב-y, ו(זה שקנה לי הערצת נצח של ידידי, למשך יומיים) החלף x ב-M!

העובדה שמי שרושם תוצאות ביניים על דף מפסיד משהו בדיוק שימשה רציונליזציה מועילה לאובססיה, וכמעט שכנעה את עצמי.

אה, אני נזכר למה הייתי צריך את הכפתור מהפסקה הראשונה. אם היתה דרישה חיצונית לרשום את תוצאות הביניים, יכולתי בעזרת הכפתור למנוע מ-injury זה את תוספת ה-insult של לתקתק מחדש את המספר (או להתסכן באפשרות הסבירה מאין כמוה שמישהו יבדוק אם התוצאה הסופית שלי עקבית עם תוצאות הביניים בספרה השמינית אחרי הנקודה).
התקבלת! 227385
אלון עמית • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר יום א', 20/6/2004, 22:55
Calculators - CORDIC Method 228953
גדי ו. • בתשובה לעדי סתיו יום א', 27/6/2004, 15:17
שיטות לניעור טרחנים 227325
עוזי ו. • בתשובה לאסף אהרוני יום א', 20/6/2004, 18:18
בדקתי את הסיפור ב- History of Number Theory של Dickson. יש שם סעיף ארוך על "Rationals as sum of two cubes" (פרק XXI של חלק 2), אבל הוא לא כותב שום דבר על המשוואה "שלנו" (ובפרט לא מייחס אותה ללגרנז'), פרט להערה קצרה בראש עמוד 576, שם המקרה A=22 מופיע כאחד מבין רשימה ארוכה של מקרים שהצליחו לפתור (ב- 1877, נדמה לי).
[17299,25469,9954] 227665
אסף אהרוני • בתשובה לעוזי ו. יום ב', 21/6/2004, 19:49
שיטות לניעור טרחנים 226168
אלון עמית • בתשובה לאסף אהרוני יום ג', 15/6/2004, 11:23
שיטות מוצלחות וחביבות, אבל הן פועלות רק על טרחנים כפייתיים זוטרים למדי. עם אלו הרציניים יותר, מכתב תשובה מנומס (בלי שום קשר לתוכנו) הוא פתח לצרות צרורות. השיטה השנייה חמודה במיוחד, אבל היא לא תמיד מעשית - הטרחן לא בהכרח יוכל או ירצה לשנות את הוכחתו כמבוקש, וגם אם כן, הסתירה המתקבלת תשכנע אולי אחרים, אבל לאו דווקא אותו (טרחנים אינם חזקים בלוגיקה).

שיטה זו נוסתה בהרחבה עם ג'יימס האריס, ובמקום לעזור היא רק שכנעה אותו שיש בעיות חמורות (שלא לומר הטעיות מכוונות) בהגדרות בסיסיות באלגברה, והובילה אותו בין היתר להמצאת Object-Oriented Mathematics, תחום שבוודאי יוכר כפריצת-הדרך המתמטית של המאה בעוד ששים-שבעים אלף שנה.
טרחנים פגיעתם רעה 228346
אסף אהרוני • בתשובה לאלון עמית יום ה', 24/6/2004, 21:16
אני לא יכול שלא להזכיר את My Generalized Model (זה ממקור שני, אז אני מקווה שהפרטים נכונים). מדובר בפרופ' למתמטיקה שמצא מודל מוכלל שמאפשר להסביר את כל התוצאות הידועות במתמטיקה כיום, ולהוכיח תוצאות חדשות. הוא כתב ספר על הנושא, ובהקדמה לספר כתב: "ניתן לחלק את תולדות המתמטיקה ל- 3 חלקים: המתמטיקה של היוונים העתיקים, המתמטיקה המודרנית והמתמטיקה לאחר My Generalized Model".

עד כאן נשמע בלתי מזיק (ברובו), אבל האוניברסיטה שבה הוא חבר עשתה יום אחד את הטעות ונתנה לו ללמד אינפי 1 לסטודנטים רכים בשנה א'. לקח חודשיים עד שתלמיד שהתקשה בחומר שאל מישהו, ואז הסתבר שהוא מלמד אותם את המודל המוכלל שלו, בתור ה"יסודות" לאינפי 1 (אם אפשר להסביר בעזרת זה את כל המתמטיקה הידועה, למה לא להסביר כך את אינפי 1?).
הציבור מבקש פרטים נוספים... 228361
עוזי ו. • בתשובה לאסף אהרוני יום ה', 24/6/2004, 23:10
טרחנים פגיעתם רעה 228455
אלון עמית • בתשובה לאסף אהרוני יום ו', 25/6/2004, 8:38
מסקרן מאוד, ואני מצטרף לעוזי: יש משהו כתוב על הסיפור הזה? הוא מעניין כמקרה, נדיר יחסית, של "זליגה" של טרחנות כפייתית אל תוך "העולם האמיתי".

(זליגה קטנה כזו התרחשה לפני כמה שבועות, כשמאמר של ג'יימס האריס התקבל לפרסום בעיתון מתמטי נידח, ואחרי שהודגם לעורכים שהמאמר מקושקש, הם העיפו אותו - למזלם, לפני שפורסם).
טרחנים פגיעתם רעה 228473
אסף אהרוני • בתשובה לאלון עמית יום ו', 25/6/2004, 11:08
כאמור, זה ממקור שני, אבל אני אנסה להשיג עוד פרטים
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות