בתשובה לאסף אהרוני, 15/06/04 0:58
שיטות לניעור טרחנים 226084
בקישור שנתתי בתגובה 225835, de Branges מספר על השנה שבילה בפתרון המשוואה x^3+y^3=22z^3. הוא כותב שהפרוייקט היה מורכב וקשה יותר מעבודת הדוקטורט שלו, שנכתבה עשר שנים מאוחר יותר.
שיטות לניעור טרחנים 227071
קראתי. חבל שהוא לא נותן את הפתרון. בכל מקרה, אם באמת הפתרון הוא בן 5-6 ספרות עשרוניות, צריך להיות לא קשה להגיע אליו בעזרת כתיבת תכנית קטנה. לכאורה צריך לעבור על 10 בחזקת 11 או 10 בחזקת 12 אפשרויות, אבל אם מנפים חלק מהאפשרויות בעזרת כמה ראשוניים קטנים (כאלו שהם 1 מודולו 3, ואז הסיכוי להיות קוביה הוא שליש ועוד קצת) אז זה נשמע בהחלט סביר (כדאי כנראה להוסיף את התנאי שהסכום צריך להתחלק ב- 22, במחיר שעוברים על x ו- y במקום על x ו- z). לפי התיאור שלו, בתקופתו לא ניתן היה אפילו לוודא את נכונות הפתרון בעזרת מחשב, אבל היום אפשר לעשות את זה ביום אחד בלי להבין (כמעט) כלום בתורת המספרים (או בקצת יותר זמן בלי להבין ממש כלום - פשוט לעבור כל האפשרויות).

אגב - אותו מרצה סיפר לי שיום אחד הגיע אליו אחד הטרחנים עם בשורה שהדהימה את הפרופ' - הוא לא יכול להתאים את ההוכחה, משום שיש פתרון! בדיקה העלתה שאותו אדם כתב תכנית אשר מצאה פתרון - שלא באמת היה נכון, אבל ההפרש היה מתחת לגבול הדיוק של התכנית.

מה הלקח שאפשר ללמוד מכך? לא יודע, אבל לי זה מזכיר את התלמידה בתיכון שלי, שלא הסכימה בשום פנים לקבל את ההוכחה של המורה ששורש 2 אינו רציונלי, משום שכאשר מקישים במחשבון שלה את המספר 1.41421356 (בלי ... - זה המספר - רציונלי לכל הדעות!) ולוחצים על העלאה בריבוע - מקבלים 2 בדיוק - אפילו אפשר להחסיר 2 ולקבל 0 (היא היתה מוכנה להדגים לכל מי שרצה לראות). שום דבר ממה שקרה על הלוח לא היה יותר משכנע מהתצוגה הדיגיטלית של המחשבון שלה.
שיטות לניעור טרחנים 227191
איך המחשבון עושה את זה באמת?
שיטות לניעור טרחנים 227194
בעזרת טור טיילור.
שיטות לניעור טרחנים 227196
אתה בטוח? לא ניוטון רפסון או טבלה?
לא בטוח 227197
אבל זה קרוב לא רע, לא?
לא בטוח 227199
מה? שורש באמצעות טור טיילור ( שמתחיל ממה? מהריבוע הכי קרוב?) קירוב מחורבן. מתכנס לאט. לך על ניוטון רפסון:

u[i+1]=u[i]*(3-v*u[i]*u[i])/2
כאשר v הוא המספר שאתה מחפש את השורש שלו.
לא בטוח 227206
מה זה זה? ניוטון-רפסון זו לא השיטה עם המשיק? לדעתי זה יוצא: קח את הניחוש הנוכחי וחסר ממנו (או הוסף) את (כמה שפספסת) חלקי (פעמיים הניחוש הנוכחי).

למשל: אם רוצים להוציא שורש ל-‏1000, מתחילים נניח מהניחוש 32; 32 בריבוע זה 1024, אז הפספוס הוא 24 והניחוש הבא יהיה 32 פחות (24 חלקי 64), כלומר 31.675 שזה כבר קירוב לא רע.
לא בטוח 227258
כמה ספרות אתה מרוויח בכל איטרציה בשיטה הזאת, וכמה בשלי?
לא בטוח 227265
לא יודע. כשאני מנסה את שלך עם v=1000 ו-u‏1=32 אני דווקא מפסיד די הרבה ספרות... אולי זה עובד רק בתחום מסויים?
גם אני אופס! 227272
סליחה, הנוסחא שנתתי מתכנסת להופכי של השורש, ולא לשורש!
אההההההה... 227276
ואת זה אני צריך לנחש? אתה חייב לי עוד חומוס מ"הנסיך".
its a deal! 227277
לא בטוח 227234
דווקא בחירת הטור המדויק להשתמש בו היא קלה. למעשה תמיד מוציאים שורש בתחום
[0.25,1]
שכן את המנטיסה פשוט מחלקים בשתיים. אאל"ט, פעם לפחות היו משתמשים בפולינום אינטרפולציה (לא טילור) בקטע הנ"ל.
אופס 227264
מנטיסה, ר''ע אקספוננט.
אופס^אופס 227268
ר''ע, ע''ע ע''ע.
אופס^אופס 227270
ר''ע וע''ע צ''ל צ''ל.
אופס^אופס 227328
צ''ל לסל וחסל.

נ.ב. תודה רבה ממני ומחברי לספסל הלימודים.
שיטות לניעור טרחנים 227201
לא הבנתי. טור טיילור זה לקירוב של פונקציה, לא? איך המחשבון יכול לדעת שבעזרתו ש2.414 (מכל המספרים) זה דווקא שורש ריבועי (מכל האופציות) של 2 (מכל המספרים), ואיך הוא שומר את המידע הזה?
שיטות לניעור טרחנים 227202
אני לא בטוח שכל שורש של שלם יחזור לעצמו, בכל אופן, נדמה לי שמחזיקים ב"סתר" עוד ספרה ( או אולי רק ביט) של דיוק, ובחזרה מעגלים. כלומר אם בהיפוך מתקבל 1.99Xמעגלים ל2 או 1.99 לפי הערך של X כאשר X הוא הספרה הנסתרת.
שיטות לניעור טרחנים 227300
לגבי הדיוק של מחשבון - כן, הדיוק גדול מהדיוק המוצג על המסך במעט (אני לא יודע בדיוק בכמה), ולכן לא לכל מספר אפשר להוציא שורש ואז לתקתק את מה שראית, להעלות בריבוע ולקבל את המספר המקורי.

לגבי שיטת הוצאת השורש - אני מכיר שיטה ל"הוצאת שורש ארוכה" בעזרת נייר ועיפרון (דומה לחילוק ארוך). אני לא יודע אם זה היישום במחשבונים (או אם היישום זהה בכל מחשבון), אבל השיטה פועלת כדלקמן:

קח את המספר שברצונך למצוא לו שורש וחלק אותו לזוגות ספרות. למשל, ניקח את 7619 - רשום 19|76. כעת מצא את הספרה הגדולה ביותר שריבועה קטן מ- 76 (8) והפחת את הריבוע מזוג הספרות שלך. רשום את התוצאה ו"הורד" את זוג הספרות הבא (כמו בחילוק ארוך). כעת מה שרשום זה 1219, ולמעלה רשום 8 (נקרא למה שרשום למעלה a). עכשיו צריך למצוא את הספרה הגדולה ביותר b כך ש-
b*(20a+b)<1219
כלומר, b=7. רושמים למעלה (כעת רשום שם 87), מפחיתים ומורידים עוד זוג ספרות וכו'.

במשפט אחד - השיטה מתבססת על הוספת ספרת דיוק b למספר a שכבר קיים, באופן ש- a^2+2ab+b^2 יהיה קטן מהמספר ששואפים להוציא לו שורש.
טרחנים כפייתיים ב-fx 82 227383
(לפסקה הראשונה שלך) במחשבונים מטיפוס casio FX82, היה אפילו כפתור שמעגל את המספר בזכרון המחשב לערך שכתוב על המסך!

ונדמה לי שבימי החולניים בתיכון יצא לי אפילו להשתמש בו פעם. ימי החולניים היו כאשר פיתחתי תחביב, להשתמש במגוון הכפתורים של המכשיר כדי לחשב ביטויים מסובכים (סינוס 32 כפול e בחזקת 3.5 חלקי שבע ועוד שורש טנגנס 50 וכולי - דברים ברוח זו הופיעו משום מה בתרגילים במתמטיקה ופיזיקה) בלי לרשום תוצאות ביניים על הדף. המחשבון איפשר, כמובן, שש רמות סוגריים, מה שמאפשר לעשות זאת ללא קושי אינטלקטואלי, אבל לא: סוגריים זה לנמושות! מי צריך סוגריים עם כפתורים מופלאים כמו אחד-חלקי-x, החלף x ב-y, ו(זה שקנה לי הערצת נצח של ידידי, למשך יומיים) החלף x ב-M!

העובדה שמי שרושם תוצאות ביניים על דף מפסיד משהו בדיוק שימשה רציונליזציה מועילה לאובססיה, וכמעט שכנעה את עצמי.

אה, אני נזכר למה הייתי צריך את הכפתור מהפסקה הראשונה. אם היתה דרישה חיצונית לרשום את תוצאות הביניים, יכולתי בעזרת הכפתור למנוע מ-injury זה את תוספת ה-insult של לתקתק מחדש את המספר (או להתסכן באפשרות הסבירה מאין כמוה שמישהו יבדוק אם התוצאה הסופית שלי עקבית עם תוצאות הביניים בספרה השמינית אחרי הנקודה).
התקבלת! 227385
Calculators - CORDIC Method 228953
שיטות לניעור טרחנים 227325
בדקתי את הסיפור ב- History of Number Theory של Dickson. יש שם סעיף ארוך על "Rationals as sum of two cubes" (פרק XXI של חלק 2), אבל הוא לא כותב שום דבר על המשוואה "שלנו" (ובפרט לא מייחס אותה ללגרנז'), פרט להערה קצרה בראש עמוד 576, שם המקרה A=22 מופיע כאחד מבין רשימה ארוכה של מקרים שהצליחו לפתור (ב- 1877, נדמה לי).
[17299,25469,9954] 227665

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים