אולי בא לך... 226344
בנחמדות לרשום עוד מלה שתיים (או מספר...) בקשר להוכחה הקצרה והיפה של אי-מניית הממשיים? מממממש לא ידוע לי כלום (לא בעניין של להוכיח/להפריך וכו') אלא סתם לידע כללי.
אולי בא לך... 226385
בשמחה. נניח שהתאמנו לכל מספר טבעי n מספר ממשי x_n. נראה שמה שלא תהיה ההתאמה הזו, יש מספר ממשי z שאיננו אף אחד מן המספרים x_n. כדי להגדיר את המספר z, נגדיר את הפיתוח העשרוני שלו. נאמר ש-z הוא אפס נקודה משהו..., ונבחר את הספרות שאחרי הנקודה כך: בבואנו לבחור את הספרה ה-k-ית, נביט בספרה ה-k-ית של הפיתוח העשרוני של x_k, ונדאג שהספרה ה-k-ית של z תהיה שונה ממנה (ושונה מ-‏9 ומ-‏0, לשם פשטות‏1). כדי להיות קונקרטיים אפשר פשוט לומר שהספרה ה-k-ית של z תהיה תמיד 7, אלא אם הספרה ה-k-ית של x_k היא גם 7, שאז נבחר את הספרה ה-k-ית של z להיות 6. כך הגדרנו באופן חד-משמעי את כל הספרות בפיתוח העשרוני של z.

המספר z שונה מכל המספרים x_n. הסיבה היא שבדרך שבחרנו את z, הספרה שמופיעה בפיתוח העשרוני שלו במקום ה-n אחרי הנקודה *איננה* הספרה שמופיעה אצל x_n באותו מקום, ושני מספרים ממשיים הם שווים בדיוק כאשר יש להם את אותו פיתוח עשרוני‏1.

מה שעשינו עד כה הוא להראות שכל ניסיון להתאים מספר ממשי לכל מספר טבעי בהכרח מפספס איזהו ממשי (למעשה, המון כאלה: ברור מההוכחה שיש לנו הרבה מאוד חופש בהגדרה של z). מכאן שאין אפשרות להתאים לכל טבעי מספר ממשי באופן שכל הממשיים יותאמו - במילים אחרות, הממשיים אינם בני מנייה.

הדרך הציורית להביט בהוכחה היא לדמיין את הפיתוחים העשרוניים של מנייה מוצעת של הממשיים:

1: 0.a4694068404564647457...
2: 0.3b305983053059430594...
3: 0.17c46830396867396328...
4: 0.965d3453849558069386...
.
.
.

ולהתרכז באלכסון: הספרה הראשונה של המספר הראשון (a), השנייה של המספר השני (b), השלישית של המספר השלישי (c), וכו'. עכשיו בונים בקלות מספר שאיננו אף אחד מן המספרים ברשימה:

0.xyzw...

וכל מה שצריך לדאוג לו הוא ש-x לא יהיה a, ש-y לא יהיה b, וכן הלאה. זהו תהליך האלכסון.

אם לא ברור, לא להתבייש לשאול.

1 ייתכן ששני פיתוחים עשרוניים יגדירו את אותו המספר הממשי, כאשר לאחד מהם יש פיתוח עשרוני סופי (כלומר, 0 מנקודה כלשהי ואילך) ולשני יש פיתוח שבו הספרה האחרונה מוקטנת ב-‏1 ואח"כ באים אינסוף 9-ים. למשל:

Example: 0.17 = 0.1699999999...

זו נקודה לא מהותית להוכחה: פשוט דואגים שהפיתוח של z לא יסתיים באינסוף 9-ים ולא באינסוף 0-ים. הכי קל פשוט להימנע מ-‏9 ו-‏0 בכלל, כמו שעשינו.
אולי בא לך... 226461
גאוני! וגם הבנתי! איזו אלגנטיות!
ההבנה האינטואיטיבית שלי לגבי יותר ממשיים מטבעיים היתה שעל כל מספר טבעי שבוחרים, יש וריאציה אדירה של מספרים ממשיים, כך שאם לוקחים את המספר הכי גדול שחושבים עליו ברגע נתון, למשל
100,358
בתור מספר סידורי ומצמידים לו "בן זוג" ממשי (בלי להתייחס לסידוריים הקודמים)
למשל - 100,358.3 ושאר הוריאציות, עד אינסוף, בהכרח יהיו לנו יותר ממשיים.
זה אותו דבר רק בפרימיטיבי או שזה מתייחס להיבט של "יש יותר ממשיים" ופחות לאי-מנייה? (או שזה בכלל לא נותן הגיון).
אולי בא לך... 226462
זה תלוי, מה האינטואיציה הזאת אומרת לגבי רציונליים מול טבעיים?
אולי בא לך... 226464
במלים אחרות: אינטואיציה היא עניין מאד רעוע כשמדובר על אינסופים.
אולי בא לך... 226467
אני חושב שאפשר לפתח אינטואיציה גם לגבי זה (לא אצלי חלילה, אבל אפשר).
אולי בא לך... 226471
אולי. אם אפשר לפתח אינטואיציה לגבי מס' האלכסונים בהיפר-קוביה תריסר מימדית, אולי הכל אפשרי. אני מניח שאם בכלל, הרי זה אפשרי אחרי הרבה שנות עיסוק במתמטיקה, לא אצל מישהו שראה לראשונה את משפט האלכסון של קנתור.
אולי בא לך... 226474
מצד שני, אל תשכח שגם קאנטור לא הכיר את המשפט שלו לפני שהוא הוכיח אותו.
:-) 226486
אינטואיציה 226503
הכוונה - איזו תחושה של הבנה פשוטה, או איך שהגיון אישי חווה את הרעיון של יותר ממשיים מטבעיים. אין, לא היה (ואין הנחה לגבי סבירות שיהיה) ניסיון לחלוק על התיאוריה, לתת לה ניסוח אחר וכו'.
הדיוט שואל - כך וכך נראה לי הגיוני. על אף בורותי, יש מן ההגיון בתחושה (אינטואיציה) שלי, או שהיא מוטעית מעיקרה? (לגיטמי להדיוט). זה הכל...
דרך אגב, המושג "אינטואיטיבי" הוא מושג לגיטימי בלימוד סטיסטיקה, במובן של נוסחא מסוימת יותר קלה להבנה אינטואיטיבית, ואחרת לא. כך אומרים מורים לסטטיסטיקה, אבל מאוד קטונתי מלהביע דעה על שיטתם.
אינטואיציה 226507
עדיין מסקרנת דעתה של האינטואציה שלך, כפי שניסחת אותה, לגבי הרציונלים. למה היא רומזת שיש יותר ממשיים מטבעיים, אבל לא יותר רציונליים מטבעיים?
אינטואיציה 226512
נכון. נראה שזה בדיוק רומז שיש יותר מספרים רציונליים ממספרים טבעיים. זו שטות היסטרית? (אשמח לדעת וללמוד מטעויות!)
אינטואיציה 226511
התחושה אינה מוטעית מעיקרה, אבל מתמטיקאים למדו (בדרך הקשה) שצריך לחדד בדיוק את השאלות ולנסות להוכיח את התשובות, אחרת טועים. כמו ששאלו אותך כאן, כדאי לבדוק את האינטואיציה גם למול מקרה אחר: האם אפשר להתאים לכל מספר טבעי מספר *רציונלי* באופן שנכסה את כל הרציונליים? גם כאן, נדמה שיש "הרבה יותר" רציונליים מטבעיים, אלא שהמצב כאן הוא אחר: אפשר לבנות התאמה כזו.

אחד ההישגים של קנטור הוא החידוד של השאלה "מתי יש לשתי קבוצות אותו מספר של איברים?". כך גילה את העושר הרב של העצמות ("מספרים אינסופיים") שנחקרות במרץ עד היום.
אויש, עוד כל כך הרבה ללמוד : - ) 226513
אויש, עוד כל כך הרבה ללמוד : - ) 226735
יותר קל להתחיל מהשאלה אם יש "יותר" מס' טבעיים מזוגיים. אחרי שמפנימים את התשובה הנכונה (אין) אפשר להתחיל לעכל גם את עניין הרציונליים. זה נעשה עוד פחות אינטואיטיבי (לטעמי) כשלומדים שבין כל שני אירציונליים מתחבא רציונלי‏1, כלומר אינסוף רציונליים, ובכל זאת "מספרם" של האירציונליים גדול יותר.
________
1- וגם ההיפך, אבל זה פחות מפריע לאינטואיציה.
סתם, כי בא לי לקנטר‏1 226962
קצת מציקה לי הטענה שבאמת אין "יותר" טבעיים מוזגיים. זה נכון, רק אם החלטנו לצמצם את מושג ה"יותר" למישור ההתאמה החד-חד-ערכית. זה אכן רעיון שאינטואיטיבית הולך יחד עם "יותר", אבל יש עוד רעיונות כאלה. אחד מהם הוא "מכיל ממש", ובמובן של "מכיל ממש" כן יש יותר טבעיים מזוגיים. אני יודע: הכלה לא תאפשר לנו להגיע רחוק, ומה אם נרצה לשאול על הזוגיים לעומת הטבעיים-ללא-‏1948. אז התאמות חח"ע מאפשרות לנו הרבה יותר עניין בחיים, וזה יפה; אבל למה מוצדק מכאן לזרוק כל "יותר" אחר?

שאלה: האם אין מודל התסברותי שיתן תוקף מתמטי לטענה הבאה, גם על מרחבי מדגם אינסופיים: "ההסתברות שמספר טבעי אקראי (בהתפלגות אחידה על הטבעיים‏2) יתחלק בארבע קטנה מזו שמספר טבעי אקראי יתחלק בשתיים"? ואם כן, אז מכאן - יש "יותר" זוגיים מכאלה שמתחלקים בארבע, ב"סתירה" לזה ש"אין יותר" עפ"י ההתאמה החח"ע.

1 בדיעבד, אולי גם: לתת קונטרה לקנטור.
2 אפשר להגיד את זה, לא?
סתם, כי בא לי לקנטר 226967
בנוגע ל- ‏2 שלך: למיטב הבנתי (ואני חושב שדווקא פה אני מבין דבר או שניים) - לא, אי אפשר להגדיר התפלגות אחידה על הטבעיים.

ונקודה יחסית קשורה: משפחת כל תתי הקבוצות של הטבעיים שהן בעלי צפיפות אסימפטוטית ‏1 היא לא סיגמא-אלגברה ‏2, ואפילו לא אלגברה ‏3. די פשוט לראות את החלק הראשון, אבל קצת יותר טריקי לראות את השני.
____________
1 תת קבוצה A של הטבעיים נקראת בעלת צפיפות אסימפטוטית אם קיים הגבול
lim |A intersection {1,2,...,n}|/n
2 סגורה תחת השלמה ואיחודים בני-מניה
3 סגורה תחת השלמה ואיחודים סופיים
סתם, כי בא לי לקנטר 226970
דווקא היה לי רעיון איך להגדיר התפלגות אחידה על הטבעיים, אבל עכשיו אני חושב שאני רואה איפה הוא נופל (ובמה הטבעיים שונים מהקטע אפס-אחד). דברים שרואים מ-‏8:55 לא רואים מ-‏7:05. להפתעתי הצלחתי, למרות חוסר ערנותי, להבין אפילו את הנקודה היחסית-קשורה, וגם מדוע היא יחסית-קשורה; ואני עוד קצת שמח, כי נראה לי שהגבול שאתה מדבר עליו הוא משהו שאפשר לדבר עליו‏1, גם אם הוא לא מתנהג הכי נחמד מתמטית, והוא לוכד חלק גדול מאינטואיצית ה"יותר" שלנו.

1בעקבות עמית האב אתמול, בעקבות ויטגנשטיין...
סתם, כי בא לי לקנטר 226985
זהו בדיוק, שהמושג שיובל הזכיר תופס (נראה לי) את מה שחיפשת: דרך פורמלית לומר "הסיכוי שמספר טבעי יתחלק ב-‏4 הוא 1/4". יש כמה דרכים להגדיר "צפיפות אסימפטוטית" של אוסף של טבעיים, וזו הטבעית ביותר אם כי לא הכי גמישה (יש הגדרה אחרת שמכלילה אותה, כלומר מסכימה איתה כששתיהן קיימות אבל מוגדרת ביותר מצבים).

בכל אופן, לשאלתך הראשונה - למה מתעקשים ש"שווה-גודל" זה דווקא המושג של "התאמה חד-חד-ערכית" - על כך רציתי לכתוב עוד קודם את ה-rant הרגיל שלי: אין סיבה ואין חובה, זו פשוט הגדרה שימושית ונוחה. בתורת המספרים יש בוודאי חשיבות רבה למושגים אחרים של השוואת גודל, כמו הצפיפות האסימפטוטית שהוזכרה.

בנושא הזה, כדי להזכיר דיכוטומיה מעניינת ופשוטה-להגדרה בין קבוצות "דלילות" ו"צפופות" של טבעיים: נאמר שקבוצה של טבעיים היא צפופה אם ורק אם סכום ההפכיים של איבריה מתבדר. למשל:

הטבעיים כולם - צפופים. זו ההתבדרות של הטור ההרמוני.

חזקות שתיים - דלילות. כנ"ל חזקות 10 וכו'.

הראשוניים - צפופים. זו עובדה לא טריויאלית וחשובה.

הראשונים הסמוכים (כלומר 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, וכו', הראשוניים שיש במרחק 2 מהם עוד ראשוני) - דלילים. זה משפט קשה מאוד ומצער למדי, כי אילו היו אלה צפופים היינו יודעים בפרט שיש אינסוף כאלה. זה עדיין לא ידוע.

השאלה שפול ארדש היה מוכן לשלם הכי הרבה כסף למי שפותר אותה היא: קבוצה של טבעיים היא צפופה אםם היא כוללת סדרות חשבוניות ארוכות כרצוננו. זו שאלה קשה מאוד וחשובה למדי; למשל, איננו יודעים אם יש סדרות חשבוניות ארוכות כרצוננו של ראשוניים, וההשערה של ארדש פותרת גם את זה כמקרה פרטי ביותר.
סתם, כי בא לי לקנטר 227001
אם אינני, טועה המקרה הפרטי שהזכרת נפתר ממש לאחרונה (אני חושב ע''י טרנס טאו ובן גרין).
סתם, כי בא לי לקנטר 227034
קודם כל, תודה - לא שמעתי על זה, וחיפוש זריז הביא את

ועכשיו להסתייגויות הזהירות: המאמר עוד לא פורסם, והוא מסתמך על עבודה של גולדסטון ויילדירים שהכתה גלים לא מזמן אך שמעתי שייתכן שהיא שגויה - אינני יודע וייתכן שאין זה נכון, נחכה ונראה.
סובבים במעגל 227027
כדאי להעיר שהצפיפות שהזכרת נקראת "הצפיפות של Schnirelmann", מוגדרת עבור קבוצה A של טבעיים כאינפימום של השכיחות של A בקטע מאחד-עד-n (למשל, הצפיפות של הזוגיים היא אפס! - כי אין מספרים זוגיים מאחד-עד-אחד; הצפיפות של האי-זוגיים היא 1/2). השתמשו בה כדי להוכיח גרסה מוקדמת של השערת גולדבך: כל מספר זוגי הוא סכום של 18 ראשוניים לכל היותר. הצעד המרכזי בהוכחה הוא להראות שהצפיפות של קבוצת המספרים מהצורה p+q, כאשר p ו- q ראשוניים‏1 גדולה מאפס.

1 יחד עם המספר 1 שצריך לזרוק פנימה מסיבות טכניות
סובבים במעגל 227031
אני מכיר את ההגדרה הזו לצפיפות (מהספר "שלוש פנינים" של חינצ'ין), אבל דווקא לא אליה התכוונתי בתור ההגדרה הגמישה יותר. התכוונתי למושג של "צפיפות אנליטית" המשמש לעיתים קרובות בניסוחים של משפטים על ראשוניים. הצפיפות של שנירלמן, כמו שהדגמת, עשויה להיות *שונה* מהצפיפות הטבעית גם כששתיהן קיימות; הצפיפות האנליטית מתלכדת עם הצפיפות הטבעית אך מוגדרת בעוד מצבים.

נדמה לי שכל עוד עוסקים במספרים הטבעיים, אפשר להגדיר את הצפיפות האנליטית ע"י הגבול (כש-x שואף לאינסוף של)

(1 / log x) Sum(1/m)

כשהסכום הוא על אותם m-ים הקטנים מ-x ומצויים בקבוצה אותה מודדים.
סתם, כי בא לי לקנטר‏1 303267
ואולי אפשר בלי התפלגות אחידה על *כל* הטבעיים? "לכל רצף סופי של מספרים טבעיים, אם נבחר מספר אקראי מתוך רצף זה בהתפלגות אחידה, ההסתברות שהמספר יתחלק ב-‏4 קטנה או שווה לסיכוי שיתחלק ב-‏2". הטענה היא לגבי רצף סופי אבל היא נכונה לגבי כל (אינסוף) הרצפים האפשריים.

"קטנה או שווה" בשל מקרי קצה, כמו הרצף "3-4". וככל שהרצף גדול יותר, היחס מתכנס ל-‏2.
סתם, כי בא לי לקנטר‏1 303277
אפשר; זה די בדיוק מה שיובל ציין בתגובה להודעה של ירדן (תגובה 226967) :-)

(ראה גם בהמשך הפתיל).
הערה טכנית 227021
צריך גם לוודא שהמספר שיצרנו הוא לא רציונלי. שזה אמנם די קל, אבל שיטת הבחירה של 7 ו-‏6 מאפשרת מחזוריות - כלומר שאולי זה יהיה מספר רציונלי.
הערה טכנית 227028
למה צריך לוודא את זה?
הערה טכנית 227039
כי אם אנחנו רוצים לוודא שאי אפשר לסדר את האי-רציונלים בשום סדר שהוא, והמספר שאנחנו יוצרים כדי להראות שלא סידרנו אותם טוב הוא רציונלי, אז הוא לא מוכיח כלום. (או אולי ההוכחה היתה על הממשיים, וסתם לא הבנתי?)
הערה טכנית 227042
התבלבלתי קצת. רצינו לוודא שאי אפשר לסדר את האי-רציונליים בשום סדר שהוא? ראשית, אפשר לסדר את האי רציונליים בהמון סדרים. שנית, המושג "אי רציונליים" לא הוזכר בטענה או בהוכחה.

מה שניסינו להראות הוא שאין העתקה *על* מהטבעיים לממשיים. כדי לעשות זאת, התחלנו מהעתקה שרירותית והראינו שהיא לא על - כלומר, שיש ממשי (ואין זה משנה אם הוא רציונלי או לא) שאינו בתמונה שלה.

המסקנה היא שהממשיים אינם בני-מנייה, כי להיות בן-מנייה פירושו להיות תמונה של העתקה מהטבעיים.

אפשר, אגב, ללכת עוד צעד, ולהסיק מיד שבאמת גם האי-רציונליים אינם בני-מנייה: כיוון שהרציונליים כן, והממשיים לא, מוכרחים גם הם להיות רבים מדי (איחוד של שני בני-מנייה הוא בן-מנייה). ואפשר גם בדרך שהצעת, להתחיל מהעתקה מהטבעיים ולבנות מספר עם פיתוח עשרוני לא מחזורי; זה רק קצת פחות אלגנטי, לטעמי.

אם לא ברור, אנא שאל/י ואנסה שוב.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים