בתשובה לאביב י., 19/06/05 1:20
בשם הבורים 309922
לא אמרתי שמספרים אי רציונליים הם מחוץ לתחום היידע האנושי. לפעמים זה עוזר לקרוא תגובות לפני שמגיבים עליהן.:)
בשם הבורים 309936
אני באמת צריך להתבייש בעצמי. נקרא ביחד.

"...אני סבורה שהשם "אי רציונליים" לא ניתן למספרים האלה מסיבה שרירותית לחלוטין, אלא משום שהם דומים (לא קשורים: מלכתחילה לא דיברתי על קשר, אלא על דמיון) למבנים אי רציונליים."

לא נכון. גם אין קשר וגם אין דמיון. זה רק משחק מילים שמתעלם ממשמעויות שיש לאותה המילה בהקשרים שונים.

"הדמיון מתבטא בזה שאין לנו כל דרך לדעת בדיוק מוחלט את גודלו של מספר אי רציונלי: כלומר, באופן מעשי, איננו יודעים בעצם מהו אותו מספר (משום שתכונתו היחידה של מספר היא גודלו, לא?)."

לא נכון. זה שאני לא יכול לכתוב מספר על נייר ע"י מספר סופי של סימונים *מאוד מסוימים* (למשל, בצורה של שבר עשרוני), זה לא אומר שאינני יודע בעצם מהו המספר (אלא שאני רק לא מסוגל לסמן אותו על נייר דווקא באופן הזה). לא ביג דיל. מזל שיש לנו סימון יותר מוצלח שמסמל *בדיוק* את הערך של המספר (בדיוק כמו במקרה של מספרים רציונליים לחלוטין כמו שתי-תשיעיות).

באיזה מובן את מצליחה לדעת את המספר שליש, יותר משאת מצליחה באמת לדעת את המספר ∏? שניהם מבטאים יחס מוגדר היטב אותו אנחנו *כן* יודעים ומכירים ועבור שניהם לא הייתי ממליץ את הנסיון המזוכיסטי בו יושבים מול שולחן הכתיבה ומחליטים לכתוב אותם *במלואם* באמצעות שבר עשרוני (למה אנחנו בכלל צריכים לעשות דבר מוזר כזה, כדי שבאמת "נדע" את גודלו של המספר, אין לי שמץ). אחד מהם רציונלי והשני לא (ושניהם תוצר של חשיבה רציונלית לחלוטין).

"באותו אופן, איננו יכולים לדעת במדויק את טיבו המדויק של שום דבר שאיננו מאורגן בתבניות הידע הרציונליות שלנו."

זה טריוויאלי ואפילו כמעט טאטולוגי (איננו יכולים לדעת במדויק, ברגע נתון, את טיבו של שום דבר שאיננו מאורגן בתבניות הידע שלנו), אבל המשפט הזה מיותר משתי בחינות:

1) צמד המילים "באותו אופן" בראשית המשפט מיותר ושגוי (משום שאין שום קשר או דמיון בין אי-רציונליות בהתיחסות להליך מחשבתי לבין מספרים אי-רציונליים).
2) הוא משפט מאוד לא מעניין שאומר לא כלום על כל כלום.
נ.ב. 309938
ההתיחסויות בתגובה בלשון נקבה, משום שנכנס לי לראש משום מה (לא בטוח למה) שאני מגיב לתגובה של מאיה. התנצלות מראש על כל פספוס מגדרי מצידי.
בשם הבורים 309947
אי יכולתנו לדעת את גודלם המדויק של מספרים אי רציונליים איננה נובעת מהעובדה שאיננו יכולים לסמן אותם על הנייר, אלא מהעובדה שאיננו יכולים לחשב אותם עד הסוף. מספרים רציונליים אינך יכול, אולי, לרשום עד הסוף על הנייר, אבל אתה יכול לחשב במדויק מה יהיה המשכם בכל שלב.
לא אמרתי שהם אינם פרי של מחשבה רציונלית.
במשפט (המסורבל מעט) ''באותו אופן, איננו יכולים לדעת במדויק את טיבו המדויק של שום דבר שאיננו מאורגן בתבניות הידע הרציונליות שלנו.'' יש בהחלט חלק מיותר (אחד המופעים של המלה ''מדויק''), אבל הוא איננו טאוטולוגי ואיננו נוגע לשום ''הליך מחשבתי''.
בשם הבורים 309975
מי לא יכול לחשב במדויק מה יהיה המשכם בכל שלב? אביב? אני חושד שדווקא כן... את סבורה שאי-אפשר לחשב במדוייק את המשכו בכל שלב של שורש שתיים?

נסי להסביר לי מה בעיניך ההבדל בין שני הביטויים הבאים:

A. 0.1111111111111111....

B. [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]

(השני קצת פחות מוכר, אז אני אסביר מהו: קוראים לו שבר משולב והוא שווה ל-

C. 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))))

)

אלו שתי שיטות מקובלות מאוד לרשום ערך של מספר ממשי כגבול של מספרים רציונליים. פיתוח עשרוני את מכירה, והוא זה שגורם לך לחשוב שמספרים אי-רציונליים אי אפשר לחשב במדוייק או משהו כזה.

ערכם של הביטויים שרשמתי הוא תשיעית (רציונלי) ויחס הזהב (אי-רציונלי). יש הרבה מאוד מספרים רציונליים - אפילו מספרים טרנסצנדנטיים - עם שברים משולבים פשוטים מאוד. אין בהם שום דבר מסתורי הנמצא מעבר לידיעתנו.
בשם הבורים 309982
עכשיו נשאלת השאלה: האם מספרים טרנסצנדנטיים הם המספרים האלה שדומים (לא קשורים, רק דומים) למבנים רוחניים במישור האסטרלי?
בשם הבורים 310002
לא, מספרים טרנסצנדנטיים הם תנוחות של יוגיסטים.
בשם הבורים 310003
אמרתי משהו על מסתורין?
(ושורש שתיים הוא ייצוג הרבה יותר קל מ"חתך הזהב". לא זו הבעיה).
בשם הבורים 310005
אז מה הבעייה?
בשם הבורים 310010
הבעיה היא שלומר שמספר מסוים הוא פתרון של משוואה מסוימת עדיין משאיר אותנו בלי המספר. אנחנו רק יודעים שהוא הפתרון של משוואה. ולומר שמספר מסוים הוא אפילו לא פתרון של שום משוואה, אלא של (מה, בעצם? - אני מתכוונת לטרנסצנדנטיים, כמובן) - ודאי משאיר אותנו בלי גודל של מספר.
בשם הבורים 310012
מי דיבר על פתרון משוואות? מה (למען השם) ההבדל בין פיתוח עשרוני מחזורי לפיתוח מחזורי לשבר משולב? (נעזוב בעיות אחרות לאחר-כך, אם בינתיים תעני לי על זה).
בשם הבורים 310059
אבל גם שבר פשוט הוא ''סופי'', לעומת שברים משולבים המייצגים מספרים אירציונליים - שהם אינסופיים (מחזוריים או לא, לא משנה)..
בשם הבורים 310070
מהו הדבר שהוא סופי באלה, אבל הוא אינסופי באלה?
בשם הבורים 310071
כדי ששברים משולבים ייצגו מספר אי רציונלי, צריך להיות מספר אינסופי של שברים.
בשם הבורים 310405
לא הבנתי.

כדי ששבר עשרוני ייצג מספר רציונלי (כמו שליש, למשל), צריך מספר אינסופי של שברים.

0.3333333333... זה פשוט סימון מקוצר שמיצג את הסכום שלוש עשיריות+שלוש מאיות+שלוש אלפיות+...

נכון, לשליש יש סימון קצר יותר אשר מסמנים אותו כהיחס בין המספר 1 לבין המספר 3, אבל למזלנו גם למספרים אי-רציונליים יש סימונים קצרים לפחות באותה מידה (למשל, היחס בין היקף המעגל לקוטרו).

מה ההבדל המהותי (בהקשר של סופי מול אינסופי) בהשוואה ל- [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]?

אחזור על השאלה: מהו הדבר שהוא סופי באלה, אבל הוא אינסופי באלה?
בשם הבורים 310409
אני לא מסכים כל כך עם זה שהיחס בין היקף המעגל לקוטרו הוא "סימון". אני מניח (תקוף את ההנחה הזו) שאנחנו רוצים לייצג הן את המספרים הרציונליים והן את המספרים האי רציונליים בעזרת מספרים שאותם אנחנו מבינים טוב: מספרים שלמים (בייצוג עשרוני, זה בעצם מה שאנחנו עושים). במקרה הזה, לא ממש תצליח לתאר הן את היקף המעגל והן את קוטרו בצורה נוחה בעזרת מספרים שלמים (הרי אחד מהם הוא בהכרח אי רציונלי, ואז מה הרווחנו?)
בשם הבורים 310421
בוודאי שאתקוף את ההנחה הזאת - היא בדיוק הדבר שאני מתפלא שאנשים עושים בלי לחשוב פעמים: אני לא מבין מי החליט שדווקא את המספרים השלמים "אנחנו מבינים טוב" ואת האחרים אנחנו מבינים פחות טוב (או בכלל לא מבינים). אני מקווה שאתה לא מנסה לרמוז שהמספרים הטבעיים הם, נו, טבעיים יותר ממספרים אחרים.

אני "מבין טוב" את הסיפרה 1, לא פחות ולא יותר מאשר שאני "מבין טוב" את פאי. המושג "שלם", הסיפרה 1 או הסתכלות על העולם באופן דיסקרטי/קוואנטי, נראים לי מופלאים ומוזרים לא פחות מאשר מושגים רציפים (האמת היא שהשניים יותר מסתדרים לי עם האינטואיציה שלי). אני ממש לא מבין מדוע צריך לעשות למשהו רדוקציה למשהו דיסקרטי, כדי שנוכל להתחיל להגיד שאנחנו באמת מבינים אותו או כדי להגיד ש"הרווחנו משהו".
בשם הבורים 310503
אוקיי, כאן אנחנו נחלקים. אני "מבין טוב" את הטבעיים כי הם המספרים היחידים שאני מסוגל לחשוב עליהם כמייצגים את כמות האיברים בקבוצה כלשהי. לא יודע אם זה הופך אותם ל"טבעיים" יותר.

אם תרצה הצדקה קצת יותר "מתמטית", לדעתי ה"הבנה" הזו באה לידי ביטוי בכך שהפעולות האלגבריות מוגדרות על המספרים השלמים (למעשה, הבסיס נובע מכך שמגדירים פעולה של עוקב על 0, אבל לא קריטי), ואילו על המספרים הרציונליים והאי רציונליים הפעולות האלגבריות מוגדרות באמצעות הרחבה של ההגדרה על המספרים השלמים. כלומר, אנחנו משתמשים ביכולת שלנו לעבוד עם המספרים השלמים כשאנחנו באים לעבוד עם הרציונליים והאי רציונליים.

דוגמה: כשאתה מחבר 55/313 יחד עם 93/661, מה שתעשה הוא ליצור מכנה משותף (באמצעות פעולת הכפל שאתה מכיר על מספרים שלמים) ואז לחבר את שני הגורמים שבמונה (בעזרת פעולת החיבור שאתה מכיר על מספרים שלמים). אתה לא ממש מסוגל בראש (ואולי כן?) לבצע את החיבור הזה בלי לעבור "דרך" המספרים השלמים.
בשם הבורים 310517
ואללה? כלומר, אתה לא מתחכם כאן אלא דובר אמת לאמיתה? מפתיע ביותר, לאור העובדה שאת השלמים (בעיקר החיוביים שבהם) אנחנו מכירים כבר בגיל אפס (כמה חודשים, אם לדייק), ואפילו שימפנזים מכירים כמה מהם.

(ואם הייתי רוצה לעשות רושם הייתי מוסיף כאן שאצל קונווי והמספרים הסוריאליסטיים שלו, התהום פעורה דווקא בין השברים הדיאדיים לבין כל השאר. מזל שאני לא רוצה.)
בשם הבורים 310519
אני חושב ש*רק* את החיוביים שבהם (כלומר, את הטבעיים). מספרים שליליים או אפס הם לא דבר אינטואיטיבי במיוחד. אני זוכר שקראתי באיזה שהוא מקום שארדש המציא את השליליים בגיל 4, וזה נחשב הישג.
בשם הבורים 310522
כשיש לך אחות גדולה, ''אפס'' הוא מושג שאתה לומד מהר מאד.
בשם הבורים 310538
גם לספור בבינארי אתה לומד מהר מאוד (''יא אפס אחד'').
בשם הבורים 310537
אתה מוכן לפרט איך יודעים שתינוק מכיר את השלמים "כבר בגיל אפס"? (לא שאלה רטורית, באמת מעניין)
בשם הבורים 310539
תתחיל ב תגובה 193895 וגלוש במורד הפתיל.
בשם הבורים 310552
הניסוי הזה לא עובד עם גדלים רציפים? (סוכריה וסוכריה קצת יותר גדולה)
האם יש גיל בו יודעים שחמש זה יותר משלוש, אבל לא יודעים שארוך זה יותר מקצר?
בשם הבורים 310554
אויש נו (קראתי עוד פעם). עזבו, אני באמת צריך ללכת לישון, סליחה.
בשם הבורים 310558
אני לא בטוח שהקשר בין "ארוך" ו"קצר" לבין מספרים (ובפרט מספרים לא שלמים) ברור בגילים צעירים מאד. שוב אני מציע להתבונן באחינו המאותגרים-קמעא השימפנזים: אני מניח שהם יבחרו בבננה הגדולה יותר, אבל אני מסופק מאד אם זה מראה על יכולת מתמטית.
בשם הבורים 310764
באופן מאוד דומה: אני בספק אם זה שילד יודע להבחין בכך שיש יותר M&M בקבוצה אחת מאשר בקבוצה השניה, זה מראה על יכולת מתמטית (=הכרת המספרים הטבעיים). לכן, אני *מנחש* שבאותו הניסוי, אבל עם שתי קבוצות שקשה לאמוד בעין באיזה מהן יש יותר M&M (ולכן יש צורך ממש לספור), התינוק יכשל.
בשם הבורים 310839
תוארו שם כמה וכמה ניסויים, לא רק זה עם הסוכריות. הניסוי עם ה M&M כמובן ייכשל אם הילד הרך יצטרך לספור מספרים גדולים כדי להצליח, והוא מובא בעיקר כדי להראות שיש לילדים הבנה יותר מתוחכמת של המושג "כמות" ממה שפיאז'ה טען.
בשם הבורים 310886
לא הבנתי את הקשר של כל זה לטענה שלך לגבי הכרת המספרים הטבעיים מגיל אפס.

איך הגענו למסקנה שהילד מחליט איזו קבוצה גדולה יותר ע"י ספירה? (אם הם לא באמת סופרים, אלא מבצעים אומדן "בעין", באופן מאוד דומה למה שעושים כאשר מחליטים מה ארוך יותר ומה קצר יותר‏1, אז אני לא מבין מדוע כתבת "מפתיע ביותר, לאור העובדה שאת השלמים (בעיקר החיוביים שבהם) אנחנו מכירים כבר בגיל אפס" בתגובה למעלה).

במילים אחרות (המילים שלך): אני לא בטוח שהקשר בין "יותר" ו"פחות" לבין מספרים שלמים ברור בגילים צעירים מאד... אני מסופק מאד אם זה מראה על יכולת מתמטית.
_____________
1 דבר שלא מעיד על יכולות מתמטיות, לדעתך - תגובה 310558.
בשם הבורים 310889
קראת את תגובה 193984 (ובעיקר את החלק השני שלה) ואת תגובה 194118 ?
בשם הבורים 310972
כן. אני פשוט לא מסכים עם הפירוש שלך של מה שקורה שם (אני לא רואה שם רמז להבנת המושג מספר, יותר מבמקרה של הבחנה בין דברים ארוכים יותר לקצרים יותר). יש שם יכולת מנטלית לזהות באופן השוואתי מהו יותר ומהו פחות (בשביל זה אין צורך במספרים, בספירה ו/או בחיבור/חיסור).
בשם הבורים 311046
רק כדי לדייק: זה לא רק הפירוש *שלי*. כמובן, מותר לך לחלוק גם על האחרים.
השעירים בעקבות הצעירים 320828
אגב, קראתי אתמול שהניסוי נערך גם עם קופים (קופי רזוס וקופי טאמארין) וגם הם הגיבו כמו התינוקות האנושיים, כלומר גילו עניין חריג באותם מקרים בהם מס' העצמים שנגלה לעיניהם היה שונה ממה שהם ראו שמניחים מאחרי המסך לפני כן. הנסיין (שמו יינתן עפ"י דרישה כי הספר בבית) טוען בעקבות כך שגם לקופים האלה ישנה איזו תחושת "מספר" לגבי מספרים טבעיים קטנים, כולל הידע על כך ש 1 < 1+1 < 3. לא נמסר אם אחינו הפרוותיים משתמשים ב PA או ב ZF כדי להגיע לתוצאה הזאת.
השעירים בעקבות הצעירים 321216
יש שימפנזים.
שיושבים מול מחשב , סופרים עצמים בתמונה ואחרי זה בוחרים בסיפרה שמתאימה למספר.
אגב הם עושים את זה יותר מהר מקופים קרחים, הטענה היא כי בחיי הבר הם נזקקים להערכה מספרית מהירה - למשל במאבק בין קבוצות יריבות.
השעירים בעקבות הצעירים 321222
ומה הקשר לקרחות?
השעירים בעקבות הצעירים 321226
מעניין. יש לך לינק?

(ההודעה שלי עסקה, כמובן, בקופים סתם, לא ב"קופי אדם").
השעירים בעקבות הצעירים 321227
אגב, "קופי אדם" הוא שם די מעצבן ל Apes. למישהו יש רעיון טוב יותר?
השעירים בעקבות הצעירים 321237
פעם "קופים" התיחס ל Apes, בעוד Monkeys נקראו "קופיפים", אבל אז הכניסו "קיפופים" בשביל פרימאטים, והלכו הקופיפים.
השעירים בעקבות הצעירים 321261
בעיני זה דווקא שם טוב מאד. קופי אדם הם באמת דומים לאדם וגם האדם עצמו שייך לקבוצה הזו (וגורילה אחת פעם אמרה לי: אתם שכחתם מה זה להיות קוף אדם).

השם הזה אפילו דומה לטקסונומיה המדעית:

primates = קופים סתם + קופי אדם (monkeys+apes)
hominoids = קופי אדם (apes).

בכל מקרה, לגבי רעיון יותר טוב, חשבתי על איזו בירה קרה במרפסת.
השעירים בעקבות הצעירים 321318
אתה בטח גם חי בשלום עם ''כוכב לכת'' (שהוא, יש להודות, עוד יותר גרוע מ''קוף אדם''). פעם קראו ללווין ''ירח מלאכותי'', ואני חושב שיש טעם לפגם בשם עצם שמורכב משתי מלים, למרות שבטח יש עוד כאלה.
טעם לפגם 321321
שוטה הכפר?
יותר עדיף: 321325
''שם עצם''
עוד יותר עדיף: 321331
''מרכאות כפולות''
יותר עדיף: 321368
כן, וגם ''פרפר נחמד'' ו''שבוע טוב''. אני ער לקיומה של הצורה הדקדוקית הזאת.
טעם לפגם 321353
אין דבר כזה. יש ''שוטה הכפר הגלובלי''. שלוש מלים.
טעם לפגם 321367
מובן שאינני יוצא חוצץ נגד כל הסמיכויות באשר הן. אולי זאת שוב הקרינה מהאנטנות, אבל "שוטה הכפר" ו"קוף אדם" הם לא מאותה קטגוריה (ולראיה: ה"א הידיעה) גם אם יש אנשים שחושבים אחרת.
טעם לפגם 321369
''כלב זאב''
''דב נמלים'' (הפעם הגזמת).
טעם לפגם 321372
פרת משה רבנו.
טעם לפגם 321375
"בית ספר" ו- "ספריית וידאו" הן מילים הרבה יותר נפוצות מ"קוף אדם" או "כוכב לכת" והרבה פחות מדוייקות מבחינה מילולית. אני לא חושב שהן מפריעות יותר מדי. בכל אופן, לי הן לא מפריעות :)

בממלכת החי והצומח צורת הסמיכות היא מאד נפוצה. בשמות של מינים או גזעים ספציפים: "מרבה רגליים", "נר הלילה", "חתול פרסי", "אלה אטלנטית", "זבוב פירות", "תרנגול הודו", "בצל ירוק" וכו'. וגם בשמות של מחלקות: "חיות כיס", "מעלי גירה", "דו חיים", "ציפורי שיר", "עצי מחט" וכו'. בקיצור, נראה לי שגם אתה שכחת מה זה להיות קוף-אדם. אבל לא נורא, אנחנו יכולים לפתוח בקבוק של בירה ויתר קופי האדם לא.
טעם לפגם 321693
(אלה אטלנטית, חתול פרסי ובצל ירוק אינן סמיכויות. וסליחה על ההתקטננות.)
טעם לפגם 322184
על ''בית ספר'' כבר יצא הכורת, וכל דרדק יודע שמדובר ב''ביצפר''.
טעם לפגם 322185
התכוונת לבי3פר.
טעם לפגם 322767
אאז''נ, ''בית ספר'' אינו סמיכות אלא צירוף כבול, בדומה ל''עורך דין'' (לא מדובר בבית שבו גר הספר, וכולי).
טעם לפגם 321409
הי, הי, לא לכעוס. התבדחתי... אני מבין למה התכוונת.
טעם לפגם 321470
אני לא כועס.
בונובו! 321276
בשם הבורים 310422
האם היחס בין היקף המעגל לקוטרו נראה לך קצר יותר מ-‏1/3? או אולי הוא נראה כך משום שאתה מסמנו בפאי? לכמה מהמספרים האי-רציונליים יש סימונים כאלה? יותר מ-‏10? יותר מ-‏100?
אבל ל*כל* המספרים הרציונליים יש סימון בשבר פשוט אחד. ולשום מספר אי-רציונלי אין כזה. ואין לו אפילו תיאור כזה שכולל מספר סופי של שברים. נראה לי שיש כאן הבדל מסוים, לא?
בשם הבורים 310492
אבל זה הבדל סטטיסטי: הוא לא מאפשר לך לטעון "כל הרציונליים הם X, וכל האירציונליים הם Y".
בשם הבורים 310559
למה?
בשם הבורים 310699
יש מספר רציונלי ש*לא ניתן* לייצוג כשבר פשוט? יש מספר אירציונלי ש*ניתן* לייצוג כזה?
בשם הבורים 310701
זו לא היית את שדיברת על "לחשב את המשכם בכל שלב"? היה נדמה לי שאת מניחה שכדי "לדעת" מספר צריך להיות מסוגלים לחשב בקלות את הפיתוח העשרוני שלו (תגובה 309947). אם כך, אז אני מטיל ספק בייחודו של הפיתוח העשרוני לעומת שברים משולבים. אם זה לא כך, עליך להסביר במה את כן רואה הבנה או ידיעה של מספר.
בשם הבורים 310750
מאה אחוז. אין בעיה. אם אתה הולך על שברים עשרוניים - אז כפי שאמרתי, אינך יכול לפתח את האירציונליים עד הסוף, מה שאתה יכול לעשות, עקרונית, לכל מספר רציונלי. אם אתה הולך על שברים משולבים - אז מספר אי רציונלי דורש אינסוף שברים, ואילו מספר רציונלי - רק אחד. וכמו שאמרת גם אתה - את המספרים הטרנסצנדנטליים לא תוכל לפתח אפילו כך. וכשאתה אומר שיש "הרבה מאוד מספרים אי רציונליים" שאפשר לגלות את חוקיותם (הדוגמא של חתך הזהב) למה אתה מתכוון ב"הרבה מאוד"? 10? 100? מיליון? כלומר, בכל מקרה מספר אפסי מתוך אינסוף שאיננו אפילו בר מניה?
בשם הבורים 310790
אבל למה, הו למה, את מרשה לעצמך בפיתוח העשרוני לקרוא לפיתוח מחזורי אינסופי "לפתח עד הסוף", ואז זה בסדר, אבל בפיתוח לשברים משולבים לאותו דבר בדיוק (שבר מחזורי אינסופי) את מתייחסת כחישוב לא מספק? למה?

בכל מודל חישובי סביר יש רק מספר בן-מנייה של מספרים "ניתנים לחישוב" ומספר לא בן-מנייה של מספרים שאינם "ניתנים לחישוב". זה ידוע ונחמד. אבל את ניסית כל הזמן לטעון משהו לגבי מספרים *רציונליים*, לא מספרים ניתנים לחישוב. כל הפתיל הזה נועד להבהיר שאין למספרים רציונליים איזשהו יתרון חישובי מהותי, או יתרון הכרתי, על-פני *חלק* מהמספרים האי-רציונליים.
בשם הבורים 310804
א. אני אכן מדברת על *הרציונליים*. ואני אומרת שבכל שיטת חישוב שהיא, יש להם יתרון מובנה: בשברים עשרוניים - מפני שהם ניתנים לפיתוח אינסופי מחזורי, שהמספרים האי-רציונליים לא ניתנים לו. בשברים "רגילים" - משום שהם ניתנים לייצוג כשבר פשוט אחד, והאי-רציונליים לא ניתנים לו.
ב. שוב, כפי שאמרת בעצמך, רק חלק מהמספרים האי-רציונליים ניתנים לפיתוח כשברים משולבים מחזוריים. אפילו אם אתה טוען כאן (אני תוהה אם הבנתי נכון) שיש אינסוף בר מניה של אי-רצניונליים שיש להם ייצוג *נוח* כזה, הוא עדיין מתגמד מאוד לעומת האינסוף מסדר א1 של אלה שחסרים אותו. לעומת זאת, הרציונליים *כולם* ניתנים לייצוג נוח יותר ומדויק יותר בכל שיטה שתבחר (גם אם כמותם הכוללת היא בת מניה בלבד).
ג. מסקנתי מכאן היא, ש*יש* לרציונליים יתרון חישובי מהותי על פני האי-רציונליים. יותר מזה, יתרון הכרתי ודאי שיש להם, אולי למעט חריגים בודדים מאוד מבין האי-רציונליים. בחיי היומייום אנחנו נתקלים בעיקר במספרים טבעיים: שני שולחנות, מאה תלמידים וכיו"ב. אפשר להרחיב את זה לשליליים - למשל, המינוס בבנק. או לשברים פשוטים - פרוסות לחם, חלוקת רכוש וכך הלאה. אלה אמנם אינם ב*פועל* שברים פשוטים: סביר להניח ש*כל* חלוקה כמעט מסוג זה תיפול על קצוות אי-רציונליים. אבל לצורך החישוב היומיומי הם רציונליים לכל דבר. כך גם, אפילו, לגבי הרבה דברים הדורשים דיוק רב יחסית: חישובי מטענים, שרטוטים אדריכליים, אפילו בניית חלליות - נראה לי שאיש איננו מכניס אליה מספרים אי רציונליים. מעניין, לא? בהתחשב בעובדה שמספרם זניח יחסית לאי-רציונליים.
בשם הבורים 310818
חריגים בודדים מאוד: שורש שתיים, שורש שלוש, שורש חמש, שורש שש, שורש שבע, ....

מהם "קצוות אי-רציונליים"?

איש אינו מכניס מספרים אי-רציונליים לבניית חלליות? ישמרנו האל. אפילו בחללית פשוטה יש די הרבה אלכסונים של ריבועים. אפילו תוכנות-מחשב כמו Mathematica או Maple עובדות מצויין עם מספרים אי-רציונליים, וכשמדובר בחישוב מסלולה של וויאג'ר - מזל שכך הוא.

"מעניין, לא?" לא כל כך. למה?

תוכלי להקל על שנינו ולהסביר מה התיזה שאת מציגה? להזכירך, התחלת מהטענות הבאות (אני מניח שזו את):

"השם "אי רציונליים" לא ניתן למספרים האלה מסיבה שרירותית לחלוטין, אלא משום שהם דומים (לא קשורים: מלכתחילה לא דיברתי על קשר, אלא על דמיון) למבנים אי רציונליים". מדוע את סבורה כך?

"אין לנו כל דרך לדעת בדיוק מוחלט את גודלו של מספר אי רציונלי: כלומר, באופן מעשי, איננו יודעים בעצם מהו אותו מספר". כפי שהוסבר פה חזור והסבר, אנחנו יודעים "מהו" כל אחד מבין הרבה מאוד מספרים אי-רציונליים באותה מידה של הצלחה כמו מספרים רציונליים. *יש* מספרים אחרים שלא, נכון. אבל זה לא מה שאת טוענת כאן...
בשם הבורים 310904
כן, נכון, מיד כשסגרתי את תגובתי הקודמת ידעתי שעליי להוסיף הסבר מסוים אבל הייתי עייפה מדי. אני משערת (אולי תגיד שטעיתי) שגם בבניית חלליות המספרים ה*התחלתיים* שעובדים אתם הם רציונליים: למשל, סביר שלא יתכננו מראש תא שאורכו שורש שבע ורוחבו שורש שש. המספרים האי רציונליים נכנסים כ"תוצר" של הרציונליים. כפי שאמרת, למשל באלכסונים. למשל ב*חישוב* מסלולים. כשאני דיברתי על "חריגים בודדים מאוד" התכוונתי, למשל, לפאי - שנכנס מלכתחילה לכל מבנה עגול.
ובעיניי, לפחות, זה מעניין. אנסה לתת דוגמא: נכון שאין במציאות שום מבחר *אינסופי באמת* של דברים מסוג מסוים שאיננו מתמטי. ובכל זאת - דמיין לך ספרייה "אינסופית" כזו, שיש בה אינסוף (בן מניה) של ספרים הכתובים בסינית. ביניהם מפוזרים, באקראי, מיליארד ספרים ביפנית. כיוון שאינך קורא אף אחת מהשפות (לצורך העניין. למיטב ידיעתי, אתה קורא את שתיהן שוטף...), אתה בוחר לך ספר רק לפי צורתו המלבבת. מה הסיכוי שתיפול על ספר ביפנית?1
כמובן (זו אני) התחלתי ממספרים אי רציונליים: אני מדברת על תופעה שתיתכן רק בהם. וגם אם תנפה מהם את כל אותם "הרבה מאוד מספרים שאנחנו יודעים מהם באותה מידה של הצלחה כמו מספרים רציונליים", עדיין תישאר עם עוצמה לא בת מניה של מספרים ש"איננו" יודעים זאת לגביהם.

1. (יש "לתרגם" את הדוגמא, כמובן, לעוצמות א1 ו-א0 בהתאמה, לצורך הצפיפות).
בשם הבורים 310963
למה פאי חריג? אם מישהו מתכנן מעגל ברדיוס 1, יוצא לו "כתוצר" היקף של שני פאי ושטח של פאי. מדוע זה שונה מריבוע עם צלע 1 שיוצר לו אלכסון אי-רציונלי כתוצר?

אם אני מבין נכון, הטענה עכשיו השתנתה מ"אי-אפשר לדעת מספרים אי-רציונליים" ל"בני-אדם נוטים לבחור מספרים רציונליים כשהברירה בידם". זה נכון (כמובן), ולא כל כך מפתיע - ה"סיכוי" שזה יקרה באקראי הוא אפסי, אבל כשאני בוחר את רוחב המיטה שלי אני לא בוחר זאת באקראי. מה את מסיקה מכך, ולמה זה כל כך מעניין?

"אני מדברת על תופעה שתיתכן רק בהם" - איזו תופעה?
בשם הבורים 310975
(אני מקווה שאצליח לכתוב משהו וגם לשלוח אותו. המחשב מאוד מתנכר אלי כרגע).
פאי חריג משום שהוא מופיע ב*כל* חישוב שקשור למבנה מעוגל. עד כמה שידוע לי, לשורש 2 זה לא קורה *אלא*, למשל, בריבוע של 1 על 1.
לא שיניתי את טענתי לגבי אי-הידיעה של האי-רציונליים: נהפוך הוא, אמרתי שגם אם תנפה את כל האי-רציונליים ה"רבים" כהגדרתך, שאפשר לדעתם "בקלות", לכאורה - עדיין תישאר לך בדיוק אותה עצמה של מספרים ש*אי אפשר* לדעת אותם בקלות כזאת.
אבל אתה אמרת ש"אין הבדל מהותי, חישובי או הכרתי, בין הרציונליים והאי רציונליים - ובעניין זה העליתי את נטייתם של אנשים לבחור במספרים רציונליים דווקא: לי, לפחות, נראה שזה אומר ש*קיימים* הבדלים כאלה.
התופעה של מספר שאיננו יכולים לדעת את גודלו באופן מוגדר היטב היא זו שתיתכן רק לגבי האי-רציונליים. (ולגבי א1 מתוכם).
בשם הבורים 310976
זה היה טריק מאוד זול (לדעתי).

טענה: יש דמיון בין המספרים האי-רציונליים לבין מספר העוגות המוקפצות מוקפצות מוקפצות שיש לי במקרר.

הוכחה: אולי ניתן להדגים את חוסר הדמיון בין מספר העוגות המוקפצות מוקפצות מוקפצות שיש לי במקרר למספרים אי-רציונליים מאוד מסוימים (למשל פאי, e, שורש שתיים ועוד רשימה מאוד ארוכה) אבל תמיד למדגים ישארו א1 מספרים כאלה לגביהם הוא לא יצליח להפריך את הדמיון. ==> אין שום סיבה לזנוח את מה שנאמר בטענה. ==> אכן יש דמיון בין המספרים האי-רציונליים לבין מספר העוגות המוקפצות מוקפצות מוקפצות שיש לי במקרר. מ.ש.ל.
בשם הבורים 310979
מה כאן טריק? מה כאן זול? ובעיקר - על מה יצא הקצף? ("עוגות מוקפצות" הן מלאות קצף, אולי? אני לא מתמצאת).
בשם הבורים 311024
הטריק הוא פשוט. שימוש בעובדה שיש א1 איברים בקבוצה, כדי שיהיה אפשר להגיד על רוב האיברים בקבוצה מה שמתחשמק לנו.
בשם הבורים 311168
להזכירך, גם א0 היא עוצמה אינסופית. בעיקרון, לו הרעיון היה ש"יהיה אפשר להגיד על רוב האיברים בקבוצה מה שמתחשמק לנו." - זה היה צריך לפעול גם על הרציונליים.
(ואני עדיין לא מבינה בשם מי אתה נפגע? מדוע הקצף?:))
בשם הבורים 311183
על מה יצא הקצף?
על עוצמת הרצף.

(אביב תמיד הרגיש קירבה לאי-רציונלים באשר הם).
בשם הבורים 311187
אם כך, הוא כנראה מרגיש אליהם קרבה רציונליסטית מאוד. אני, למשל, מרגישה אליהם קרבה רבה בזכות מה שהם.
בשם הבורים 311236
את א0 אני מכיר. הקצף זה בשביל העוגות.

מה שאני מנסה להגיד הוא פשוט: הטענה שלך על האי-רציונלים *בכללותם* לא נכונה (גם אם היא נכונה עבור חלק אחושלוקי גדול מהם). אם הטענה שלך מסתכמת ב:המספרים שלא ניתנים לחישוב, לא ניתנים לחישוב, אז בסדר (אבל אז לפאי, שורש שתיים, e ועוד רבים‏1 אחרים אין שום קשר לטענה שלך - הם כן ניתנים לחישוב ואותם אנחנו כן מבינים).

________
1 א0?
בשם הבורים 311310
תגובה 311303
בשם הבורים 311018
פאי הוא *תמיד* היחס בין היקף מעגל לקוטרו; שורש שתיים הוא *תמיד* היחס בין אלכסון של ריבוע לצלעו. ההבדל לא נהיר לי.

אף פעם לא אמרתי כלום על העצמה של המספרים הקשים-לידיעה. לאורך כל הדרך התווכחתי רק על הטענה שהאי-רציונליים - *כל* האי-רציונליים - הם כאלה, לעומת הרציונליים שהם לא. (אמרת, למשל, "אני אכן מדברת על *הרציונליים*. ואני אומרת שבכל שיטת חישוב שהיא, יש להם יתרון מובנה", או "אי יכולתנו לדעת את גודלם המדויק של מספרים אי רציונליים...")

אם את משנה עכשיו את טענתך, לאמור:

* יש מספרים שאפשר "לדעת" אותם, והם כוללים את הרציונליים, האלגבריים האי-רציונליים, ואינסוף טרנסצנדטיים (גם הם כמובן אי-רציונליים) שהם computable; לעומתם, יש מספר לא בן-מנייה של מספרים שאי-אפשר "לדעת" אותם *

אז אין לי כל ויכוח עם הטענה הזו. אלא שכעת לא ברורות טענותיך על הכינוי הלא-מקרי (לכאורה) "אי-רציונלי", וכו'. יש מספרים ניתנים לחישוב, יש (הרבה יותר) מספרים שאינם ניתנים לחישוב, טוב ויפה. מה לכל זאת ולתבניות ידע, שאלות מדעיות הנוצרות כשבעיות אחרות נפתרות, וכל הג'אז הזה?
הערה 311019
נא לקחת את ''כל הג'אז הזה'' בהומור וברוח טובה, לא כירידה.
הערה 311178
זה בסדר, כך לקחתי אותם, על אף שאני הייתי אומרת "כל הפאנק הזה".:).
בשם הבורים 311022
מה זאת אומרת "מספרים שאי אפשר לדעת אותם"? איזה מספר אי-רציונלי אי אפשר לדעת? (הייתי מבין ניסוח שאומר "מספרים אי-רציונליים שעדיין לא דיברנו עליהם או ניסינו להגדיר" - באמת תמיד ישאר לנו א1 מאלה)

יש מספרים שהם באופן *עקרוני* לא computable? יש דוגמא?
בשם הבורים 311029
(אתה מבקש *דוגמה* למספר שאנחנו לא מסוגלים לחשב, ולכן על אחת כמה וכמה לא לתאר?)
בשם הבורים 311034
תודה.
בשם הבורים 311037
מרתק!
בשם הבורים 313473
ודאי שיש. לחשב זה הרבה יותר חזק מלתאר. למשל:
בשם הבורים 313475
כמו כן, לתת קישור זה הרבה יותר חזק מלעשות קופי-פייסט של כתובת.

בשם הבורים 313492
מגניב.
בשם הבורים 313507
אכן.
בשם הבורים 311044
אתה מנסה לבחון אם אני עקבי? :-)
בשם הבורים 311050
לא. באמת ובתמים לא הכרתי את זה (תוקן באדיבותך ובאדיבות גדי).
בשם הבורים 311052
ברור, רק תהיתי למה שאלת פעמיים (אחת בשביל "באמת" ואחת בשביל "בתמים"?)

(תגיד, אתה לא לומד/למדת/גם/רק מדעי-המחשב? אם לא, קבל את התנצלותי, אבל אם כן - מה לעזאזל מלמדים את הנוער בימינו? סי שארפ?)
בשם הבורים 311054
יש הבדל בין מה שמלמדים את הנוער לבין מה שהנוער לומד ממי שמלמד אותו (הפסקתי להגיע אל ההרצאות ב"מודלים חישוביים" לפני אמצע הסימסטר, תרם התחלתי ללמוד למבחן ואת הספר של Sipser בנושא התחלתי לקרוא רק בסוף השבוע שעבר). אבל נחמד שאתה מתעניין :)
בשם הבורים 311303
את עניין שורש 2 אכן שכחתי. מתנצלת. זה חלק מאוד לא מהותי ממה שאמרתי.
"לאורך כל הדרך התווכחתי רק על הטענה שהאי-רציונליים - *כל* האי-רציונליים - הם כאלה, לעומת הרציונליים שהם לא."
אתה שוכח שטענת, לפחות לגבי האי-רציונליים ש*אינם* קשים לידיעה, שאין שום הבדל מהותי חישובי/הכרתי ביניהם לבין הרציונליים. נראה לי שדוגמת הספרייה שהבאתי אמורה להראות שלרציונליים יתרון הכרתי/חישובי משמעותי על פני האי רציונליים. אחרת איך תסביר את העובדה ש*כל* חישוב של *כל* אחד לגבי *כל* עניין בחיים הממשיים מתחיל, כפי שאמרנו, ממספרים רציונליים - שהם מיעוט זניח מתוך הממשיים? (כלומר, *שום* חישוב כזה אינו מתחיל דווקא מאי-רציונליים).
אשר על כן, אינני רואה שאני נדרשת לשנות את טענתי באופן מהותי.
ולעניין תבניות היידע (וכל הג'ז/הפאנק הזה):
*אם* אני צודקת, ופתרון של בעיות מדעיות מהותיות פותח הרבה מאוד שאלות חדשות, אזי מטבעו של התהליך שהוא אינסופי ולא יסתיים לעולם (כלומר, לא סביר שיסתיים לפני "סיום" האנושות.) לכן, אותם חלקים של העולם (בכל התחומים. לא התכוונתי כאן רק למדעים "קשים") שעדיין לא נחקרו/פוענחו/נחשפו עד תקופה מסוימת יעלו תמיד בהרבה על אלה שכבר גלויים לנו באותה תקופה.
כעת, כיוון שליידע מדעי - גם בתחומים "רכים" יחסית של המדע - נחשב רק יידע שנתפס בפרמטרים רציונליים, ולחילופין - יידע שיש סיבות טובות לקבלו, כשהוא סותר את התפיסה הרציונלית הקיימת, מחייב את הרחבתה (ראה מכניקת הקוואנטים) - פירושו של דבר שהיידע החסר לנו בכל תקופה נתונה, לפחות בחלקו הגדול, שייך מבחינתנו למעין כאוס שלא החלנו/הרחבנו אליו עדיין את התבניות הרציונליות שלנו.1

1. (צר לי על הסרבול. זו פעם ראשונה שאני מנסה לנסח את זה שלא במסגרת דיאלוג).
בשם הבורים 311316
איך הגענו מ"סביר שלא יתכננו מראש תא שאורכו שורש שבע ורוחבו שורש שש" ל"*כל* חישוב של *כל* אחד לגבי *כל* עניין בחיים הממשיים מתחיל, כפי שאמרנו, ממספרים רציונליים"? כפי שאמרנו? מי אמר? אני לא יודע איפה חישוב "מתחיל", אבל היי סמוכה ובטוחה שכשמחשבים מסלול של חללית הרבה פעמים המספרים הראשונים המופיעים בחישוב הם אי-רציונליים למשעי.

"אותם חלקים של העולם... שעדיין לא נחקרו/פוענחו/נחשפו עד תקופה מסוימת יעלו תמיד בהרבה על אלה שכבר גלויים לנו באותה תקופה". כמו שאמרתי, אולי כן, ואולי לא. אני מבין שאת לא מתכוונת *רק* למדעים "קשים", אבל אם את מתכוונת *גם* למדעים קשים, זו דווקא נשמעת לי תחזית לא סבירה.

למשפט האחרון: אני לא יודע איך כאוס, או "מעין כאוס", שייך לכאן. אני לא יודע מה זה "פרמטרים רציונליים" - את מתכוונת ל*מספרים* רציונליים? אנחנו מדברים פה על אנלוגיה, על דמיון מקרי, או על דמיון לא מקרי בין תבניות ידע רציונליות למספרים רציונליים?
בשם הבורים 311327
אתה יכול לתת דוגמא נוספת, חוץ ממסלולים של חלליות (אינני יודעת עליהם מספיק) לחישוב "בחיים הממשיים" ש*מתחיל* ממספרים אי רציונליים?
אתה עדיין סבור ש*אין* הבדל מהותי חישובי ו/או הכרתי בין הרציונליים לאי רציונליים?

"כמו שאמרתי, אולי כן, ואולי לא." או.קיי.: אני אמרתי "אם". למעשה, הרבה קודם, בפתיל, אמרת משהו בסגנון "נניח שכן, אז...". אז בהנחה שכן, אני ממשיכה את המשפט.

כאוס הוא ההיפך מסדר, ולא הייתי אמורה להכניס אותו הנה (כי כדי להסביר למה כוונתי כאן צריך להיכנס לסיפור האונטולוגי, שזה ממש דיון מסוג אחר). "פרמטרים רציונליים" הם, פחות או יותר, קני המידה שלנו לרציונליות.

ו"אנחנו" מדברים פה על דמיון, מקרי או לא מקרי (אינני יודעת) בין:
1. הטענה שיש, וסביר שגם יהיו תמיד, יותר דברים שאינם ידועים לנו מאלה הידועים לנו - כלומר, יותר דברים שטרם "התיישבו" בתוך המערכת הרציונלית שלנו מדברים שעדיין לא מרושתים בה.
ובין:
2. העובדה שיש יותר מספרים אי רציונליים ממספרים רציונליים - כאשר המספרים האי-רציונליים, ברובם המוחלט, סביר שיישארו הרבה פחות נגישים לנו (או כלל לא נגישים לנו) מבחינה הכרתית, מאלה הרציונליים.
בשם הבורים 311333
אני לא מבין משהו. ממה שהבנתי, כל המספרים הניתנים לחישוב הם בני מנייה, ולכן לא נכון לומר שיש יותר אי רציונליים *שאיתם אנחנו מסוגלים לעבוד* מאשר רציונליים (מבחינת עוצמות, יש בדיוק אותו מספר). יש הרבה יותר אי רציונליים מהסוג שאותו אנחנו לא מסוגלים לחשב, אבל אף אחד לא מופתע שאנחנו לא מתחילים חישוב ממנו, נכון?
בשם הבורים 311346
איפה אמרתי (אם אתה טוען שאמרתי) שיש יותר אי-רציונליים שאתם אנחנו מסוגלים לעבוד מאשר רציונליים כאלה?
למיטב הבנתי, אלון טען שאין הבדל חישובי/הכרתי מהותי בין הרציונליים לאי רציונליים. אם הוא מגביל את זה (לא ראיתי את ההגבלה) לאי-רציונליים שניתנים לחישוב, אז או.קיי. יש באמת אותה עוצמה כמו של הרציונליים. ועדיין, משום מה, לא ראיתי בינתיים דוגמא של חישוב ממשי אחד (למעט, אולי, מסלולי חלליות) שמתחילים אותו ממספרים אי רציונליים. למה זה?
בשם הבורים 311352
אני זוכר במעורפל משהו עם ספריה וספרים בסינית ויפנית, ואיכשהו קיבלתי את הרושם שהבעיה הייתה שיש *יותר* אי רציונליים מרציונליים.

אגב, אני, אולי בניגוד לאלון, בכלל לא בטוח שיש חישוב (נומרי) כלשהו בעולם שמשתמש במספרים אי רציונליים, מהסיבה הפשוטה שכל המספרים שהמחשב יכול להכיל הם בעלי מספר סופי של ספרות, ולכן הם בהכרח רציונליים.

אני לא בטוח מה הכוונה ב"חישוב ממשי". אפשר דוגמאות של מה לדעתך צריך "לחשב" (חוץ ממסלולים של חלליות)? בשביל עודף במכולת די ברור שלא צריך אי רציונליים.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311369
סרגל החישוב‏1 שהיה לי פעם היה מתעסק עם אירציונליים בחדוה רבה. למעשה אני יכול להכריז בוודאות גמורה שכל המספרים שהוא עבד איתם היו כאלה, ורק אני הייתי מתרגם אותם למשהו רציונלי בסוף התהליך בגלל מגבלות טכניות.
______________
1- מחשב אנלוגי עממי שהיה נפוץ בתקופת הדינוזאורים
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311373
אחד הסממנים הבולטים של הדינוזאורים היו, אכן, אי-רציונליות מחושבת היטב.
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • אביב י.
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • האייל האלמוני
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • האייל האלמוני
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • עוזי ו.
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • האייל הקטן
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • עוזי ו.
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • האייל הקטן
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • האייל האלמוני
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • אביב י.
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • האייל האלמוני
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • האייל האלמוני
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי • שוטה הכפר הגלובלי
  הצעה לפתרון • האלמוני ממנג
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • גדי אלכסנדרוביץ'
  בשם הבורים • שוטה הכפר הגלובלי
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • גדי אלכסנדרוביץ'
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • גדי אלכסנדרוביץ'
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • עוזי ו.
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • גדי אלכסנדרוביץ'
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • גדי אלכסנדרוביץ'
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • גדי אלכסנדרוביץ'
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • אביב י.
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • ד.ק.
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • ד.ק.
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • ד.ק.
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • ד.ק.
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • ד.ק.
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • ד.ק.
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • ד.ק.
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • ד.ק.
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • ד.ק.
  בשם הבורים • אביב י.
  בשם הבורים • גדי אלכסנדרוביץ'
  בשם הבורים • אלון עמית
  תודה. • אביב י.
  תודה. • אלון עמית
  תודה. • אביב י.
  בשם הבורים • סמיילי
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • שוטה הכפר הגלובלי
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • שוטה הכפר הגלובלי
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • אורי גוראל-גורביץ'
  בשם הבורים • אלון עמית
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • האייל האלמוני
  בשם הבורים • אלון עמית

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים