בתשובה לאורי גוראל-גורביץ', 07/09/05 13:13
טרחנים לכאורה מפורסמים 328388
קרא בבקשה על ראמנוגן בספר על-מרחב של מיציו קאקו
בהוצאת הד ארצי בעמוד 201 את סיפור המכתב עם הרדי וליטלווד
אם תבקש זאת , אצטט את הקטע הזה כאן .
טרחנים לכאורה מפורסמים 328442
כאוות נפשך.
הערה סיגנונית: מנומס יותר לא לחלק פקודות, אלא לידע - "את הסיפור ... ניתן למצוא/קראתי ב..."
טרחנים לכאורה מפורסמים 328446
"יש סימוכין לסיפור? לא הצלחתי למצוא אותו בביוגרפיות של ראמאנויאן."
טרחנים לכאורה מפורסמים 328534
לא הבנתי. האם ניסית לרמוז שהייתי לא מנומס?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328550
תרשה לי להעיר לך עכשיו לגבי הודעת הפתיחה שלך בפתיל זה.
כאשר נוצרת אגדה או מיתוס ( במקרה זה - גלואה) זה ממש מגוכח לבצע מחקר ארכיאלוגי להראות שהמיתוס אינו מדויק.

גלואה הוא בבחינת סמל לגאון נדיר ביותר שהקהילה המתמטית דחתה על הסף.

ועכשיו לנושא ביננו:

נדמה לי שחשפתי בפניך את המורכבות האמיתית היום ( 2005)
לגבי השערת הרצף של קנטור על ידי טובי המתמטיקאים בעולם.
כולל שהרן שלח , ואתה לא ידעת על כך קודם.

נדמה לי לחידשתי לך סוגה חשובה ביותר לגבי ראמנוגן והרדי אשר לא ידעת עליה כלל קודם.

כן, בהחלט פגעת בי בהקשר הדיון , כשהרשת לעצמך לכתוב באופן הבא:

"אני מניח שאתה מתכוון לכל השמות שמשה קליין אוהב לנפנף בהם כשוקד על הבשר בערב חג העצמאות ולא, נניח, אלינו.
בכל אופן, אני לא הייתי מפנה את ג'יימס האריס לשלח על מנת שישקול את מועמדותו לפרס וולף."

אני לא ממש כועס עליך משום שאני רואה שאתה גם מתחיל לנפנף בשמות במכלול של יכולת ההבנה המתמטית שלך.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328575
גלואה הוא אולי סמל לכך _בקרב_ אותם גאונים (?) נדירים (?) שהקהילה המתמטית דוחה על הסף.

נתת אותו כדוגמה לנו בתור *הוכחה* לכך שיכול להיות מצב ריאלי שבו מתמטיקאי גאון לא יזכה להערכה בחייו מהקהילה המתמטית. זה אך טבעי שננסה לבחון ולגלות האם הדוגמה הזאת רלוונטית לנושא הדיון או לא. על כן, האמת ההיסטורית רלוונטית מאוד לנושא.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328628
עייפתי מהדיון על גלואה
בו נתמקד בעיקר- המתמטיקה
טרחנים לכאורה מפורסמים 328582
א. אם פגעתי בך או במישהו אחר אני מתנצל. זו לא היית כוונתי.
ב. אני לא חושב ש"חשפת בפני" את ה"מורכבות האמיתית היום (09.09.2005) לגבי השערת הרצף".
נתת הפנייה לנושא אחד (RGCH, הלינק עצמו ניתן ע"י גיל) מאד מענין, אבל לא משנה כלל את העמדה המקובלת של "טובי המתמטיקאים בעולם" לגבי מעמדה של השערת הרצף (בלתי תלויה, אין סיבה טובה להניח אותה או את שלילתה).
ג. הסיפור על מכתבו של ראמנויאן להארדי הוא קוריוז חביב ותו לא. וודאי שאינו "סוג(י)ה חשובה".
ד. ניסיתי להעביר את סיפורו של גלואה לימינו באמצעות אנלוגיה‏1. לשם כך הייתי צריך לבחור שם של מתמטיקאי נודע ושל פרס מכובד. בכוונה נקבתי בשמו של ג'יימס האריס ולא של דורון כדי לא לעורר אנטגוניזם.
ה. אשמח אם לא תערב את יכולת ההבנה המתמטית שלי באותו אופן מביש בו עשית זאת עם אלון.
ו. מה שהאייל הצעיר‏2 אמר.

1 דיסקליימר: כל ידידי קרובי ומכרי מעידים עלי שאני גרוע באנלוגיות.
2 כמה צעיר, תמהני?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328591
2 בשלב זה תיאלץ להמשיך לתמוה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328598
עד מתי אמשיך לתמוה, תמהני.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328603
אני לא יודע.

בכל אופן, יש פה גרסה של עקרון אי-הוודאות: גם אם תדע ביום t בן כמה אני ביום t, לא תדע בן כמה אני היום, אלא אם כן תקבל (כמו כל המתמטיקאים) את ההנחה הסמויה, שהגיל שלי מתקדם באופן ליניארי.

כמובן שלהנחה זו יש דוגמה נגדית: אני מכיר אישה שהגיל שלה שואף אסימפטוטית ל-‏40.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328605
>אלא אם כן תקבל (כמו כל המתמטיקאים) את ההנחה הסמויה, שהגיל שלי מתקדם באופן ליניארי.

זה כמובן לא מספיק אם לא אדע מהו הקצב.
בכל מקרה, אי הוודאות במקרה זה נובעת דווקא מתורת היחסות. האם גילינו גישה חדשה לאיחוד עם תורת הקוונטים?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328609
"זה כמובן לא מספיק אם לא אדע מהו הקצב."

בגרסה הראשונה של התגובה הקודמת התייחסתי לזה, אבל החלטתי שהניסוח מסורבל ("פונקצית גילי בשנים ביחס לזמן שעבר בשנים מאז [נקודת זמן שרירותית] היא פונקציה ליניארית ששיפועה 1"). גם ככה המשפט ההוא היה ארוך מדי.

לגבי איחוד התורות: פרס הנובל שלנו כבר בדואר.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328607
רוב הנשים שהגיעו לגיל 39 ומעלה, גילן ממשיך לנצח לשאוף אסימפטוטית ל-‏40.
טרחנים לכאורה מפורסמים 331221
מלמטה, אני מקווה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328606
עד שהצעיר יהיה פחות צעיר.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328630
בוא נפסיק את הדיון על גלואה או על דורון
בוא ונשוחח סוף סוף על מתמטיקה
טרחנים לכאורה מפורסמים 328600
עוד דבר: הייתי שמח לדעת מה דעתך על תגובה 328412 והפתיל שהתפתח אחריה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328627
טוב הבה ונשוב לעסוק במתמטיקה. כי זה הנושא החשוב ולא העניין האישי , הכבוד, היוקרה או הפרסים.

בואו נמשיך לעבוד:

אני מעדיף להגדיר את נושא הדיון במקום "מתמטיקה" ל "שפת המתמטיקה".

אם כבר הזכרתם נשים בהקשר של גילם הרי עולה שאלה האם המתמטיקה שהכרנו עד היום היא גברית בעצם והאם יכולה להיות מתמטיקה נשית ?

בקשר לפתיל החדש שפתח דורון על אכסיומת הקיום רציתי להגיד לשאלך אורי, ששנים האחרונות חלה התעוררות גדולה בקשר לתורת הקבוצות. פרשנויות חדשות של השערת הרצף, תורת הקבוצות ללא אכסיומת הבחירה ( השקולה כמובן ללמה של צורן )

מנקודת המבט הסוביקטיבית (שלי ) אני מעדיף לכנות זאת :

בעיתיות בקשר לבעיה הראשונה של הילברט.

כמו כן תסכימו איתי שמהות הקשר בין מתמטיקה לפיסיקה היא עדיין בגדר תעלומה.

לכן אני מציע לנסות ולאפיין שתי הבעיות הקרדינליות שיש היום בשפת המתמטיקה.

1) הבעיה הראשונה של הילברט - השערת הרצף
2) הבעיה השישית של הילברט - הקשר בין מתמטיקה לפיסיקה.

אולי אתם חושבים ( וזה בסדר) שאין כיום בעיה במתמטיקה ( לא במובן הרגיל של חידה המצפה לפיתרון קל או קשה )

אני עוצר כאן ומחכה לתגובה בכדי להמשיך.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328641
אתה ממשיך להזכיר כל הזמן את השערת הרצף ואת תורת הקבוצות, וגם כשאתה לא מזכיר ללא הרף שמות וכנסים זה נשמע כאילו אתה זורק לאוויר מילים רק על מנת להרשים ו"לבלבל את האויב".

תורת הקבוצות לא התעוררה רק בשנים האחרונות (אלא אם כן אתה מדבר על עשרות השנים האחרונות). עוד אבחנה חשובה שאתה מחמיץ היא שהתחום הנקרא "תורת הקבוצות" כבר מזמן איבד כל קשר לקנטור או לאבחנות נאיביות בקשר להגדרה של מספר. רובו המכריע של התחום לא עוסק בכלל ביסודות המתמטיקה. מתוך שלושה קורסים ושני סמינרים שלקחתי בנושא רק השליש הראשון של הקורס הראשון עסק ב"יסודות המתמטיקה". בשאר הזמן למדתי על כפיות והרחבות גנריות ועל עצי סוסלין ומשפחות קורפה ועל שיכונים אלמנטריים לא טריויאליים באמצעות על-חזקות והקשר שלהם למונים גדולים ועל מבנים טכניים שנקראים אקסטנדרים, ועוד כל מיני שמן הסתם כבר שכחתי. רוב העבודה כלל לא נעשתה בתוך ZFC.
בקיצור, ל"התעוררות" הזו כפי שאתה מכנה אין קשר לבסיסה של המתמטיקה. תורת הקבוצות זהו תחום עיסוק פורה ומתפתח (אם כי למרבה הצער מעט מנותק) ועומד בפני עצמו והוא לא "בסיס" לשום דבר. בניגוד לתחומים אחרים במתמטיקה (לפחות עד כמה שאני מכיר), בתורת הקבוצות אכן יש את ההרגשה המוזרה של קרקע לא יציבה - חלק גדול מהעבודה דורש אקסיומות חזקות יותר מ ZFC, ונדרשת אינטואיציה ויכולת רבה על מנת להגדיר אקסיומות עמוקות ובעלות משמעות. כל טרחן יכול להגדיר הגדרה חסרת טעם, אבל האינטואיציה של אדם כמו וודין למשל מביאה לכך שהמונה הקרוי על שמו מתגלה בהקשרים רבים ומועילים.

מפריע לי לשמוע ממך על ה"בעייתיות" של השערת הרצף. כששלח מדבר על השערת הרצף הוא מסתמך על עשרות שנים של עבודה בתחום ועל אינטואיציה באשר ל-עניין- שיש בשאלה. שלח טוען שהשערת הרצף אומנם נפתרה, אולם ניתן לחדד את השאלה על מנת להגיע לאבחנות דקות ומועילות יותר. אין לזה קשר ליסודות המתמטיקה. כאשר דורון מדבר על השערת הרצף, מדובר על אדם שאין לו מושג מה זו תורת הקבוצות, אין לו אינטואיציה מינימלית לנושא, ואף את ההגדרות הבסיסיות הוא איננו מבין. כאשר אתה מדבר על שלח ועל השערת הרצף, התחושה שלי היא שגם אתה לא ממש מבין במה מדובר - הגרסא של שלח היא טכנית ומסובכת, האינטואיציה מאחוריה לא ברורה לי למרות שראיתי דברים דומים בעבר, ואני אופתע מאוד אם יסתבר שאתה מבין אפילו עשרה אחוזים מהנושאים הטכניים המשמשים את שלח להוכחת הלמה הראשונה במאמר אליו קישרתי. דעתי היא שאתה פשוט קופץ כמוצא שלל רב על העובדה שמתמטיקאי ידוע כמו שלח מפרסם מאמרים עם המילים "השערת הרצף" באבסטרקט על מנת לשלוף את העובדה הזו ברגע המתאים ולשוות מכובדות שאינה במקומה להגדרות מטורללות והוכחות טרחניות שקנטור טעה. זה דומה לתיכוניסט מסטול שפולט "הכל יחסי" בעוד חברו שולח אותך לקרוא מאמרים על תורת היחסות הכללית.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328647
גיל יקר,

תודה על התייחסותך הרצינית והמעמיקה לנושא הדיון.
דורון הגיע לתובנות שלו בדרך של חקירה עצמית ואילו אני דווקא יש לי ( לדעתי לפחות) רקע רחב בתחומים רבים במתמטיקה. השאלה שעינינה ומענינת אותי החל משנת 1980 ועד רגע זה היא האם יש דרך משמעותית לחבר או לאחד את ענפי המתמטיקה הרגילה מעבר ללוגיקה הרגילה.

עזוב לרגע את השאלה האם זה מעניין חוקרים באקדמיה שאלה כזו.
אני שואל אותך בפשטות ,לאחר שענית לי בצורה כזו יפה מעמיקה ומקצועית, האם לא היית שמח, כמתמטיקאי, לגלות שקיים חיבור מרענן מפתיע ומעורר באמת, בין כל ענפי המתמטיקה ?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328649
אני הייתי מאוד שמח, אבל זה לא נראה לי סביר. יש לך רעיון לחיבור כזה?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328651
אם אתה שמח על האפשרות, אז אני גאה להקרא "טרחן כפייתי במתמטיקה" בהקשר של חיפוש החיבור המדויק והאורגני בין על ענפי המתמטיקה , אז תאמר לי אייל צעיר, לפני שאני מנסה לגלות מגלה לך את מהות החיבור, האם אתה מצליח לראות את הציור שציירתי בשנת 1980 כחזון מתמטי ?

בקישור המצורף:

www.makom.org.il/ganadam/article/51
טרחנים לכאורה מפורסמים 328656
קודם כל, הרשה לי לומר שאתה מוכשר.

לגופו של עניין: כאשר אתה טוען שהציור הוא חזון מתמטי, אני משער שאתה מרמז על כך שחיבור בין תחומי המתמטיקה ילמד אותנו על האדם ותודעתו. אני מתלבט מאוד בשאלה, עד כמה אני מתחבר לרעיון הזה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328659
א. לא ענית לבקשתי.
ב. מה שגיל כתב (מינוס אקסטנדרים, שעליהם איני יודע דבר. <רמז>).
טרחנים לכאורה מפורסמים 328694
ממה שאני זוכר (פעם אחרונה שנגעתי בזה היתה לפני שנתיים) אקסטנדרים קשורים למונים λ-חזקים. למשל, השיכון שמעיד על מונה שהוא מדיד שקול לקיומו של אולטרה-פילטר. אולם אין פורמולציה מקבילה ב ZFC של תכונת "λ-חזק" באמצעות קיומו של אולטרה-פילטר יחיד, ולכן בניה רגילה של על-חזקה אחת לא מספיקה במקרה הזה, והמודל M שמקבלים בסוף במקרה החזק הוא גבול מכוון של על-חזקות. אפשר גם ללכת הפוך, ואם κ הוא λ-חזק והשיכון נתון אז ניתן להגיע חזרה לקבוצה המכוונת של על-חזקות (עם אולטרה-פילטרים ספציפיים שתלויים ב λ וב κ) המסומנת כ κ,λ)-Extender) . קל יחסית לוודא שהגבול המכוון של המערכת הזו זהו המודל M עצמו, ואז יש לנו שתי הגדרות שקולות.
יש לזה גם מן הסתם טריליון שימושים אחרים (שמעתי הרבה פעמים על כפיה מבוססת אקסטנדרים), אבל אני חושב שזו היתה המוטיבציה המקורית.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328705
תודה. לא הבנתי הכל (עבר הרבה זמן מאז התעסקתי בקבוצות), אבל קיבלתי מושג כללי.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328708
מותר לשאול במה אתה מתעסק?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328731
מותר, ותקבל תשובה עם עודף.
אי שם בנבכי הזמן, מעט לפני ההתפוצצות הקמבריאנית, ומעט אחרי שסיימתי תואר ראשון, עסקתי בתורת הקבוצות (אצל מוטי גיטיק בת"א, למי שאיכפת‏1). לא ממש התמדתי בנושא (זה היה במקביל לצבא), אבל את היסודות (אקסיומות, סוסלין, מרטין, קורפה, כפיות ועוד קצת) אני יודע (או לפחות ידעתי).
אחרי הצבא, פניתי להשלים את התואר וכתבתי תזה בתורת המשחקים (אצל אילון סולן וגו').
היום אני עושה דוקטורט אצל איתי בינימיני במכון ויצמן (זה כבר בטח מענין את כולם‏2) בהסתברות (1, אני מקוה). ליתר דיוק, בפרקולציות, הילוכים מקריים ודברים דומים. עכשיו, אחרי שסבלת דייך, אם תרצה לדעת עוד על הנושאים הללו, שאל.

1 הנה הגדרת את הקבוצה הריקה ללא ההגדרות המעגליות שלכם.
2 הנה הגדרתי גם את הקבוצה המלאה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328762
דווקא על כמה דברים שמעתי, אבל לא ברור לי מה זה ''סוסלין'', ''מרטין'', ''קורפה'', ''אילון סולן וגו''' ו''פרקולציות''.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328869
טוב, נתחיל בקל ביותר. אילון סולן הוא פרופסור לתורת המשחקים באוניברסיטת תל אביב וה-"וגו"' מתיחס להערה בסוגריים הקודמים - "למי שאיכפת‏1".
הלאה. סוסלין מתיחס למתמטיקאי בשם זה שהעלה בעיה מענינת, שנודעה כ-"השערת סוסלין" (SH - Suslin's Hypothesis). הבעיה היתה פתוחה כמה עשרות שנים עד שכהן המציא את הכפיה ב-‏1960 ואז הוכח ש-SH בלתי תלויה ב-ZFC (כתמיד, בהנחת ש-ZFC קונסיסטנטית). להשערה:
קח יחס סדר לינארי S. נניח שהוא
(1) בלי איבר קטן ביותר או גדול ביותר.
(2) "צפוף בעצמו": לכל שני איברים יש איבר בניהם.
(3) שלם: לכל קבוצה יש חסם עליון ותחתון. חסם עליון לקבוצה הוא האיבר הקטן ביותר הגדול מכל האיברים בקבוצה. תחתון אנאלוגי.
(4) ספרבילי: יש קבוצה Q בת-מניה וצפופה בטופולוגית הסדר על S. דהיינו, לכל שני איברים ב-S יש בניהם איבר ב-Q.

מן המפורסמות היא ש-S כזו חייבת להיות איזומורפית ל-R, הממשיים עם יחס הסדר הרגיל (תרגיל: הוכח).

השערת סוסלין:
אם S מקיימת (1)-(3) וגם

(4') כל קבוצה של קטעים פתוחים זרים היא בת מניה.

אז היא איזומורפית ל-R (תרגיל: הוכח (4) => (4')).
דרישה (4') נקראת בדר"כ CCC - countable chain condition, אם כי מן הראוי היה לשים antichain במקום chain.

אחרי שכתבתי כל זאת, נשאלת השאלה למה לא הפניתי לויקי:
על השאר, יותר מאוחר.

1 שאלה: מאיפה צצה המילה הזו "איכפת"?‏2 השימוש בה מאוד משונה, לדעתי.
2 תשובה: למי איכפת?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328892
מעניין מאוד, תודה.

הביטוי "טופולוגיית הסדר" נשמע לי די חדש. אני רגיל למילה "טופולוגיה" רק בהקשר של אוסף קבוצות פתוחות שסגור לחיתוך סופי ואיחוד בן מנייה (ולספרביליות שמוגדרת על ידי דבר שכזה). האם יש שקילות בין המושגים?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328917
זה אותו מובן. בהנתן יחס סדר מלא טופולוגית הסדר עליו היא הטופולוגיה המושרית מכל הקרניים (תת-בסיס) או כל הקטעים (בסיס). בקיצור‏1:
1 מתישהו אני אלמד מנסיון העבר.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328895
לי אכפת.
לפי אבן־שושן, אכפת הוא "לוחץ, נוגע" בארמית. ומכאן "מי שאכפת לו" הוא מי שהדבר נוגע אליו.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328912
תודה. לא באאמת התכוונתי ל‏2.
בכל זאת יש כאן משהו מוזר. במשפט "איכפת לי" הנושא הוא מובלע (או איך שקוראים לזה) כמו ב-"נראה לי". למרות זאת לא מטים את איכפת כמו את נראה. "איכפת לי מהם" ולא "איכפתים לי".
טרחנים לכאורה מפורסמים 328968
כאמור, הביטוי ארמי וקשה להטותו כאילו היה תואר עברי. וטוב שזה לחץ לך - כך גם אני למדתי דבר חדש.
עוד משהו על סוסלין 329037
למרות שזה מופיד בויקי, החלטתי להוסיף עוד קצת.
קח עץ אינסופי כלשהו. קל לראות‏1 שחייבת להיות לו קומה אינסופית או ענף אינסופי.
עכשיו קח עץ מעוצמה א1 ‏2. האם חייב להיות לו ענף באורך א1?
האם חייבת להיות קומה בגודל א1?

מסתבר‏13 שאפשר לבנות עץ בגודל א1 בלי שניהם. עץ כזה נקרא עץ ארונסיאן (aronszajn).
קבוצה של איברים בעץ היא שרשרת אם לכל שני איברים אחד מהם הוא צאצא (לאו דוקא ישיר) של השני. ענף הוא שרשרת וכל שרשרת מוכלת בענף.
קבוצה של איברים בעץ היא אנטי-שרשרת אם לכל שני איברים אין צאצאים משותפים. קומה בעץ היא אנטי-שרשרת אבל לא כל אנטי-שרשרת מוכלת בקומה.
האם יש עץ בגודל א1 כך שאין בו שרשרת בגודל א1 ואין בו אנטי-שרשרת בגודל א1?
עץ כזה נקרא עץ סוסלין, ומסתבר שקיומו שקול לקיום קו סוסלין (הקבוצה מהתגובה הקודמת שאינה שקולה לממשיים)‏1.

1 תרגיל: הוכח.
2 תרגיל: הגדר.
3 כבר לא כל כך קל.
עוד משהו על סוסלין 329044
מרתק.

מה ההבדל בין שרשרת וענף? איך אתה מגדיר ענף? אני לא מכיר "ענף" אלא רק "תת עץ" והוא בבירור לא שרשרת, אבל כמובן שכל שרשרת מוכלת בתת עץ כלשהו.
עוד משהו על סוסלין 329080
אאל"ט, בעץ סופי ההגדרה פשוטה: ענף הוא מסלול משורש העץ אל אחד העלים (יש רק אחד כזה לכל עלה).

באופן כללי (ואם הבנתי נכון) אז ענף של עץ הוא שרשרת שבה יש את השורש, את אחד הבנים של השורש (נסמנו X1), את אחד הבנים של X1 (נסמנו X2) וכן הלאה...
עוד משהו על סוסלין 329121
זה נכון אם מדובר בעץ אינסופי "רגיל", כזה שהגובה שלו הוא א0. עץ כללי מוגדר להיות יחס סדר חלקי כך שלכל איבר קבוצת האיבר הקטנים ממנו סדורה היטב (ביחס לסדר המדובר). ענף מוגדר אז בתור שרשרת מקסימלית.
עוד משהו על סוסלין 329126
תודה.
עוד משהו על סוסלין 329117
הדרך הפשוטה ביותר היא להגדיר ענף בתור שרשרת מקסימלית.
עוד משהו על סוסלין 329842
הבה ונמשיכה (בתקוה שמישהו עוד קורא את זה).

מרטין מתיחס לאקסיומת מרטין.
קח יחס סדר חלקי P, לאו דווקא עץ.
נגיד ששני אברים מתיישבים אם קיים איבר שקטן משניהם.
אנטי-שרשרת היא קבוצה של איברים שאינם מתיישבים (בזוגות).
יחס הסדר שלנו הוא ccc אם אין אנטי-שרשרת לא בת-מניה.

קבוצה D היא צפופה אם לכל איבר x ב-P יש y ב-D שקטן ממנו y<x.
קבוצה F היא פילטר אם:
לכל x ו-y ב-F יש z ב-F שקטן משניהם.
אם x שייך ל-F, כל מה שגדול ממנו (ב-P) גם שייך ל-F.

אם P היתה עץ אז פילטר==ענף.

עכשיו, אקסיומת מרטין לעוצמה k, המסומנת MA(k) היא ההצהרה:
לכל יחס סדר P, המקיים ccc,
לכל משפחה בגודל עד k של קבוצות צפופות,
יש פילטר שהחיתוך שלו עם כל אחת מהקבוצות הצפופות הנ"ל אינו ריק.

ברור‏1 ש-MA(א0) מתקיים.
ברור‏2 ש-MA(2^א0( לא מתקיים.

אקסיומת מרטין, MA היא הטענה MA(k) לכל k שקטנה מ-‏2^א0.
השערת הרצף גוררת MA באופן טריויאלי.

למה זה טוב?
אם אנחנו מניחים שהשערת הרצף לא נכונה (במודל שלנו) מתעוררות כמה שאלות לגבי העוצמות שבין א0 ל-‏2^א0. למשל:
האם איחוד של k קבוצות בעלות מידה אפס היא מדידה ובעלת מידה אפס?
האם איחוד של k קבוצות מקטגוריה ראשונה היא גם מקטגוריה ראשונה?
ועוד כהנה וכהנה.
מסתבר התשובות לשאלות האלו באות ביחד ו-MA(k) גורר תשובה חיובית עבור k.
גם השערת סוסלין נכנסת לכאן. MA(א1( גורר אי קיום קו או עץ סוסלין.
זה שימושי עבור כפיות. למעשה, כל מה שתארנו כאן, מאוד דומה לכפיה.

טוב, זה היה מתיש. ליל מנוחה.

1 אתם יודעים מה בא כאן.
עוד משהו על סוסלין 329843
אני לא מבינה, לא היה פשוט יותר למלא את הבטחתך ולענות לי מה מעניין בהסתברות?
עוד משהו על סוסלין 329844
וואלה. איך לא חשבתי על זה.
מחר‏1. באמת. בהסתברות 1.

1 אולי נפליגה בספינות...
עוד משהו על סוסלין 329856
כאן אני כבר לא מצליח לעקוב. אני צריך לשבת, ולכתוב את ההגדרות, ולעשות תרגילים, ולקלל את המרצה, ולא ללמוד למבחן בתורת השדות תוך כדי.
עוד משהו על סוסלין 329867
עזוב את העצים. אני מעוניין לשמוע על פרקולציה. אולי אתה תצליח להסביר לי את הקשר לקונפורמיות.
פרקולציה 330381
גבירותיי ורבותיי, עקב בקשת הקהל, פרקולציה!

קח את הגרף של Z^2, הסריג הדו-מימדי. להבהרה: הקודקודים הם כל הקואורדינטות השלמות במישור ושני קודקודים מחוברים אם המרחק בינהם הוא אחד, בקיצור, רשת דייגים אינסופית.

עכשיו, ספר מטורף בא עם מספריו, וגוזר חלק מהקשתות (ה"חיבורים" בין צמתים ברשת). כל קשת הוא גוזר בהסתברות (1-p) ומשאיר אותה לנפשה בהסתברות p, באופן בלתי תלוי.

מה קורה לרשת? אנו מתענינים בשאלה האם יש רכיב אינסופי או שמא הרשת נגזרה לגזרים סופיים. אם יש רכיב אינסופי, כמה יש? אחד, שניים, אלפיים, אינסוף?

המשך יבוא...
פרקולציה 330383
במהרה, אני מקווה.
פרקולציה 330604
המשך...

במודל שתיארנו ברור‏1 שההסתברות לקיום רכיב אינסופי (נקרא לה r) עולה עם p.
ברור גם ש- r(0)=0 (אין קשתות) וש-r(1)=1 (כל הקשתות ישנן).
בעזרת חוק 0-1 של קולמוגורוב‏2 נקבל r(p) הוא 0 או 1 לכל p. מאחר ו-r עולה קיבלנו שקיימת נקודה קריטית p_c כך ש:
אם p<p_c אז r(p)=0 (אין רכיב אינסופי),
ואם p>p_c אז r(p)=1 (יש רכיב אינסופי).

נשארו השאלות מהו p_c ובפרט האם אינו טריויאלי (כלומר לא 0 או 1), מהו r(p_c), ומה קורה עם מספר רכיבי הקשירות האינסופיים.

שאלות?
תשובות?

1 תרגיל: הוכח באופן ריגורוזי.
2 לפעורי הפה: החוק אומר שאם מאורע כלשהו, התלוי בתוצאה של אינסוף הגרלות, בלתי תלוי בתוצאה של כל קבוצה סופית שלהן, אז הסתברותו היא בהכרח 0 או 1.
לא באמת הבנתי 330611
אם נתחיל מקשת קיימת (p>0) ונבדוק מה הסיכוי שהיא חלק מרכיב אין סופי, נילך לאחד הצמתות, ואז הסיכוי שקיימת קשת נוספת באותו כיוון היא p' והסיכוי שקיימת קשת בלפחות כיוון מאונך אחד היא 2p-p^2 לכן הסיכוי שיש לפחות עוד קשת אחת הוא 3p-3p^2+p^3 (שתמיד קטן מ1) והסיכוי שמהקשת הזאת יש עוד קשת הוא זהה, לכן הסיכוי שקיימות אין סוף קשתות כאלה הוא אפס. אותו חישוב מתקיים, כמובן, גם לצד השני. לכן, r(p<1)=0.
לא באמת הבנתי 330621
ראשית, לסריג הריבועי שאג"ג מתאר, אפשר להראות משיקולי סימטריה שהנקודה הקריטית היא בחצי, לפחות כאשר מדברים על פרקולצית קשתות. לא ברור לי מה בדיוק לא נכון בשיקול שלך, אבל אם תחשוב שניה על "עץ" שמכל ענף יוצאים עוד שני ענפים (כלומר כל צומת מכילה 3 ענפים‏1) ,תוכל להשתכנע שקיים p לא טריוויאלי שהוא קריטי.

לא באמת הבנתי 330625
>לסריג הריבועי שאג"ג מתאר, אפשר להראות משיקולי סימטריה שהנקודה הקריטית היא בחצי.

מה אתה מקדים את המאוחר? :-)
בכל אופן, זה נכון אבל לא כל כך קל כמו שאתה מתאר את זה. למעשה, אין לזה הוכחה ממש אלמנטרית.

<תוכן פירסומי>
אם מישהו ממש מתענין, הוא מוזמן לבוא לשמוע את הקורס שאעביר בנושא "הילוכים מקריים ופרקולציות" במכון ויצמן בסמסטר א'.
</תוכן פירסומי>

באשר לעצים:
פרקולציה על עץ כזה יוצרת (בערך) את מה שנקרא תהליך Galton-Watson. במקורו, זהו מודל לחישוב סיכויי ההכחדות של שמות משפחה. המודל הוא כדלהלן:
נניח שיש התפלגות P הקובעת את מספר הילדים הזכרים (שממשיכים את שם המשפחה) לאדם (זכר) נתון.

נתחיל בזכר אחד בדור הראשון. בדור השני נגריל את מספר הילדים שלו לפי התפלגות P. בדור הבא לכל אחד מהם נגריל ילדים גם לפי התפלגות P, עד אשר המשפחה נכחדת או לנצח.

ברור‏1 שאם התוחלת של P קטנה מ-‏1, ההכחדות היא ודאית. מה שפחות ברור הוא שאם התוחלת של P גדולה מ-‏1, יש סיכויי חיובי להשרדות (עד אינסוף). הסיכוי המדויק תלוי בהתפלגות והוא יכול להיות קטן כרצוננו, אבל הוא תמיד חיובי. עבור P עם תוחלת 1 בדיוק, ההכחדות היא ודאית‏2, אבל תוחלת גודל המשפחה ומספר הדורות היא אינסופית.

מכאן, שעבור פרקולציה על העץ הבינארי, p_c=1/2 ועבורו אין רכיבים אינסופיים.

1 הוכח.
2 מלבד במקרה הטריויאלי, בו בהסתברות 1 יש ילד אחד.
לא באמת הבנתי 330626
אתה פחות או יותר עשית את החישוב שמסלול נתון קיים בגרף. זה כמובן 0, אבל יש הרבה מסלולים אפשריים.
פרקולציה 330616
2 נראה לי שהפה נפער רק *אחרי* ששומעים מהו החוק הזה. אפשר סקיצה של ההוכחה?
פרקולציה 330628
הדבר הראשון שעולה על דעתי הוא שזה נובע בקלות מהרגולריות של המידה הרלוונטית. הרגולריות אומרת שאם יש לי קבוצה מדידה A, אז יש קבוצה פתוחה B שמכילה את A ועם מידה קרובה ל-A כרצוננו. אם מקרבים את B ע"י איחוד של מספר סופי של קבוצות פתוחות, נסמנו C. אם ההסתברות של A היתה חיובית אז ההסתברות המותנית של A בהנתן C היא גדולה כרצוננו. C הוא מאורע שתלוי במספר סופי של המשתנים ולכן A צריך להיות בלתי תלוי בו. מסקנה: ההסתברות של A היא 1.

עכשיו רק נותר לחשוב איך מוכיחים את הרגולריות של המידה הרלוונטית ולקוות שזה לא נעשה בעזרת חוק ה-‏0-1 של קולמוגורוב.
פרקולציה 330622
את זה אני פחות או יותר מכיר, אבל ראיתי שאפשר לעשות הרבה דברים יפים כאשר ''מניחים'' סימטריה קונפורמית. הבעיה היא שמעבר להגיד את המילים הללו, אני לא מבין בזה כלום.
עוד משהו על סוסלין 329894
אח, הנוסטלגיה...גם לך גיטיק נתן איזה 20 שאלות מהפרק בקומבינטוריקה של Kunen ?
עוד משהו על סוסלין 330078
25, כמדומני. אודה ולא אבוש, עבדנו על השאלות הללו בקבוצה (!) וזה היה אחד הדברים המהנים ביותר בתואר הראשון.
עוד משהו על סוסלין 330635
מרוב עצים אצלך באמת לא רואים את היער...
טרחנים לכאורה מפורסמים 329063
" שלם: לכל קבוצה יש חסם עליון ותחתון. חסם עליון לקבוצה הוא האיבר הקטן ביותר הגדול מכל האיברים בקבוצה. תחתון אנאלוגי."

אם אף אחד מאברי הקבוצה האיסופית הנ"ל אינו שווה למספרים המשמשים כחסמים עליונים ו/או תחתונים, אז מה בדיוק נחסם כאן?
הריי יש לנו אינסוף איברים בקבוצה וברור לחלוטין שהיא מקיימת אינטרפולציה אינסופית בין אבריה המובחנים, ואינטרפולציה זו אינה מושפעת כהוא זה מקיומם או אי-קיומם של החסמים.

לדוגמא:

===========================================================
bad_logic wrote:

All it says is, no matter how close you get to L, the sequence gets closer.
===========================================================

Again, there are two different points of view in this case, which are:

1) The sequence point of view is based on the ratio between x and 1 (notated as x/1) where x is any element in the sequence, and we do not need any hypothetic limit in order to define the exact place of any x along the sequence.

It is also can be done by |x-L| = epsilon, where epsilon > |L-L| = 0.

In any case, since we do not need the limit, then nothing becomes closer to any hypothetic limit.

2) If we try to compare any x to |L-L| (which is the "gap" between the limit to itself) we actually use the expression x/0, and from the point of view of the limit itself, we do not have any information about the explored sequence.

I am going to add my previous posts to this post, and this time please do not ignore them, thank you:

===========================================================
Originally Posted by Wade-d
Since "scale levels" has not been rigorously defined, this is a non-answer.
===========================================================

It is rigorously defined, and all we have to do is to understand x/1 expression.

x/1 is the ratio between each R member to number 1, and by this ratio it is clearly understood that .999... is no more than a non-finite long addition of the rational numbers 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 ... where each one of them exists in a different scale level (which in this particular case is based on base 10 fractal)
and the sum of this long addition is not equivalent to 1.

Therefore .99999... < 1

===========================================================
bed_logic wrote:

there are no triangles in the koch fractal's boundary. Although, to be fair, we shouldn't be talking about triangles. After the first iteration, no iteration has any "triangles" on it
===========================================================

You are wrong about that, for example:

http://www.andymeneely.com/Prog/Fractals/PracticalFr...

0.99999... = 1 if and only if these sharp patterns can form a smooth sharpless boundary.

Since this is not the case, 0.99999... < 1

As you can see, I did not use any triangle here, but you, with out any good reason, continue to talk about it, so please overcome this "problem".

-------------------------------------------------------------------------------

Any limit of some non-finite sequence in the common Math, is always based on a gap > 0 between any element of the sequence and the hypothetic limit.

The gap of this non-finite sequence is the absolute value |x-L| where L is the limit value itself and x is any arbitrary value of the sequence, that cannot be L itself, if we are talking about a non-finite sequence.

In other words, there is a clear dichotomy between the non-finite sequence and any hypothetic limit of it, simply because no non-finite collection (ordered or not) can be limited by any shape or form, otherwise it is not a non-finite collection, but a finite collection.

Again we define smaller or greater elements in some sequence, because we take one of the gaps which is > 0, then we call it 1, then we compare the entire gaps to it, and only then we can determinate if some element is greater or smaller than 1.

It cannot be done if we try to do that by using the "gap" between L to itself |L-L|, which is always 0.

If we want to understand the behavior of some sequence, all we have to do is to use the expression x/1.

If the absolute result is always < 1 we say that the sequence's elements become smaller, otherwise they do not change or become bigger, and we do not need the epsilon-delta 1-1 mapping technique , or any L as the limit of a non-finite sequence.

As I wrote, we can understand the behavior of the sequence, only if we compare any one of its members to some value, which is not 0, for example x/1.

If we try to compare any x to |L-L| (which is the "gap" between the limit to itself) we actually use the expression x/0, and from the point of view of the limit itself, we do not have any information about the explored sequence.

A part of my work:

Let us say that we have a sports car (where the name of the back wheels is "epsilon" and the name of the front wheels is "delta") and our mission is to cross the zero point of X,Y-axis with both "delta" and "epsilon" wheels.

http://www.geocities.com/complementarytheory/SportsC...

We are seated in the car and trying to reach point zero.

We realize that no matter how fast we drive, we are not getting any closer to the zero point, and the reason is: the faster we drive, the smaller we become (as can be seen in the picture above) and we have here a Lorenz-like transformation.

Shortly speaking, our mission cannot be completed.

In the same manner set R is an incomplete collection.

Actually we reach point zero, if and only if we don’t have a car anymore but a single point, which is a phase transition that cuts the infinitely many smaller states, and we don’t have an incomplete collection over infinitely many scales, but a finite collection of many scales.

===========================================================
bad_logic wrote:

If I can't follow your logic, it's not being rigorous.
===========================================================

No, it says that you did not grasp yet the deep meaning of Godel's work about the incompetence of the axiomatic framework itself.

Here it is again:

Gödel used mathematical rigorous methods in order to research the language of Mathematics itself, and he found an interesting connection between consistency and completeness concepts.

In other words, no consistent framework is necessarily complete, and no complete framework is necessarily consistent.

He showed that in any, so called, consistent framework, there can be theorems which are based on some axiomatic system, but they cannot be solved within the framework of this axiomatic system.

Strictly speaking, we have no choice but to add new axioms to the current axiomatic system, in order to deal with these theorems, but then we discover that this addition is an “endless story”.

In other words, no axiomatic framework can be proven as both consistent and complete, within the framework of the axiomatic method.

-------------------------------------------------------------------------------

As I said bad_logic, you did not grasp yet that the Cantorean conceptual mathematical world does not exist anymore after Gödel's work, but the current community of professional mathematicians does not understand it (yet) and continue to use formal technical grammatical rules without any deep insights behind them (in the case of the Cantorean non-finite).

Since a non-finite collection of axioms cannot be both consistent and complete, we have no choice but conclude that a non-finite collection cannot be completed, in order to save its consistency (or in other words, its "mathematical existence").

===========================================================
bad_logic wrote:

It doesn't say a "non-zero length segment becomes a 0-length segment".
===========================================================

In this case |x-L| = epsilon > 0, where epsilon is the unclosed interval between x and L.

In other words, no infinitely many elements can eliminate this epsilon > 0.

===========================================================
bad_logic wrote:

Godel. Axioms. Completeness. Consistancy. Ho-fucking-Hum. It doesn't say mathematics is wrong.
===========================================================

No, it says that Mathematics is an open framework that deeply can be changed by paradigm-shifts, when new fundamental insights are created/discovered.

In this case my insight about the non-finite is richer, simpler and much more interesting then the Cantorean transfinite universe.

Because you did not read carefully all of http://www.iidb.org/vbb/showpost.php?p=2388287&p... you do not realize it yet, so please this time read all of it, thank you.

===========================================================
bad_logic wrote:

Don't tell me I don't understand Godel. Don't tell me the cantorean infinity is wrong. I don't believe you, Doron. I have no reason to.
===========================================================

Do not believe to my posts, all you need is a real , courage in order to be able to see things from a deeper point of view about the fundamental concepts of the language of Mathematics and its logical reasoning.

Until this very moment we did not find the strength within you to do this paradigm-shift in your mind, that will let you to read and, for the first time, understand:

http://www.geocities.com/complementarytheory/TAP.pdf

http://www.geocities.com/complementarytheory/My-firs...

And also http://www.geocities.com/complementarytheory/No-Naiv...

where at the end of it (pages 9 to 19) you can find the logical reasoning which I use in my framework.

I call this logical reasoning Complementary Logic, and please read the above link if you want to understand it.

If you don't understand it after you read it, then please ask me questions about it, thank you.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329068
זה ההבדל בין סופרמום ומקסימום: סופרמום לא חייב להיות איבר בקבוצה שאותה הוא חוסם (=גדול מכל האיברים בה על פי יחס הסדר, כשיחס הסדר מוגדר מן הסתם על קבוצה רחבה יותר שאבריה הם לפחות אברי הקבוצה שאתה חוסם והחסם עצמו).

אני לא ממש מבין למה אתה מנצל גם את ההודעה ההיא של אורי כדי לכתוב את כל הטקסט המיותר שהבאת באנגלית. בפרט אני לא מבין מה בעצם אתה רוצה. אורי מדבר על המתמטיקה שכבר הבנו שאתה פוסל, אז אולי תעזוב אותה בשקט?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329073
סופרמום ואינפימום נחשבים ל*חסמים* של קבוצה אינסופית.

היות ואני טוען שכל מילה במתמטיקה צריכה להיות מדיוקת כתער, והיות וקבוצה אינסופית איננה ניתנת לחסימה (כי אחרת היא קבוצה-סופית) אז מה התובנה הפתלתלה העומדת מאחורי "משחטת המילים" הזו, שמרוקנת את משמעות המילה המקורית, ומעניקה לה את המשמעות ההפוכה ע"י קהילת המתמטיקאים?

"אני לא ממש מבין למה אתה מנצל גם את ההודעה ההיא של אורי כדי לכתוב את כל הטקסט המיותר שהבאת באנגלית. בפרט אני לא מבין מה בעצם אתה רוצה. אורי מדבר על המתמטיקה שכבר הבנו שאתה פוסל, אז אולי תעזוב אותה בשקט?"

הוכח נא שהטקסט שכתבתי הוא מיותר אינו קשור לנושא המדובר.

תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329078
גרוע מכך:

אורי משתמש במושג החסימה כדי להגדיר את השלמות של קבוצה אינסופית.

הנה הם דבריו:

" שלם: לכל קבוצה יש חסם עליון ותחתון. חסם עליון לקבוצה הוא האיבר הקטן ביותר הגדול מכל האיברים בקבוצה. תחתון אנאלוגי."

אם קבוצה אינה מגיעה ל"חסמיה"-ההיפוטטיים הריי ברור לחלוטין שהיא אינה שלמה, כי תמיד מתקיים פער בינה לבין ה"חסמים"-ההיפוטטיים.

למעשה השימוש בסופרמום ואינפימום מוכיח בצורה חד-משמעית וריגורוזית, שקבוצה אינסופית היא בלתי-שלמה בהכרח.

ושוב אנו נוכחים לדעת כיצד המתמטיקה-הרגילה מסיקה בדיוק את המסקנות ההפוכות מהאלמנטים הנחקרים, והיפוכים אומללים אלה מובילים אותה מדחי אל דחי לחוסר תבוניות הולך וגדל.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329083
שלא לדבר על החוצפה שלהם לכנות במילה "עץ" משהו שאף פעם לא צמח עליו אפילו תפוח אחד. אפרופו תפוחים: אתה מנסה לנתח את השפה המתמטית באמצעות השפה הטבעית ומגיע למסקנות בשפה הטבעית באמצעות מושגים מתמטיים, למרות שהקשר התוכני של המילים/מושגים יכול להיות מאסוציטיבי ועד לשרירותי (אתה מתרץ את הטעות הנ"ל באמצעות הטיעון שהמתמטיקה מבוססת תובנה). זה מקרה קלאסי של "תפוחים ותפוזים".

זו לא "משחטת מילים" אלא יצירה של מושגים חדשים באמצעות מילים קיימות (מתמטיקאים הם בני אדם - קל להם יותר להגיד "עץ" במקום להגיד "עמןםדגמיוםןעויןםינ").
טרחנים לכאורה מפורסמים 329113
''זו לא ''משחטת מילים'' אלא יצירה של מושגים חדשים באמצעות מילים קיימות ''

ברגע שאתה מרוקן את משמעותה של מילה, באותו רגע את אינך יכול להשתמש בתובנה שיצרה אותה, ובכך תובנה זו הולכת לאיבוד, ואיננה יכולה לשמש יותר כבסיס לשפה מתפתחת.

עוצמתה של שפה קשורה עמוקות לשמירה והעצמה של מגוון התובנות העומדות לרשותה, ומשמעותה של מילה יכולה להשתנות רק ואך ורק אם מתגלה תובנה עמוקה יותר של אותה משמעות.

כל שינוי אחר מצריך המצאת מילים חדשות, כדי לא לפגוע הן במגוון האפשרויות שקיימות והן באפשרות להעמקתן בעתיד.

בריאת מילים חשדות מאפשרת הגדלת המגוון ופותחת את שערים להעמקת התובנות העומדות בבסיסה של שפה עשירה, עמוקה, מתפתחת וחיה.

''שלא לדבר על החוצפה שלהם לכנות במילה ''עץ'' משהו שאף פעם לא צמח עליו אפילו תפוח אחד''

זוהי דווקא דוגמא לשימוש נבון במושג קיים, אשר מוסיף למושג המילה ''עץ'' ולא גורע ממנה דבר ממשמעותה המקורית.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329145
הסבר לי את הקשר (החורג מגבולות האסוציציה הפרועה) בין המילה "עץ" (במובנה הרגיל) לבין המושג המתמטי המכונה "עץ".

אינני מבין מדוע השינויים דורשים "המצאת מילים חדשות". כאשר המתטיקאי משתמש במילה "עץ" הוא מיחס לאוביקט רק את התכונות שהוגדרו היטב לאוביקט (או נגזרו מתכונות ידועות קודמות) במסגרת התורה *המתמטית*. הוא לא "מתבלבל" ומשתמש בהוכחותיו בתכונות שיש לעץ שצומח בגינתו. אני גם די משוכנע שהסכנה שהוא ינסה להריץ BFS על האורן של השכנה ממול, איננה חורגת מגבול הסביר. לכן, אינני מבין מה זה משנה אם הוא מכנה את האוביקט "עץ", "קישוא" או "מלפפון חמוץ". הוא מכנה את זה "עץ" משום שככה קל לזכור על מה מדברים או סתם כי ככה נהוג לכנות את האובייקט. מהתוית שהודבקה לאובייקט אי אפשר ללמוד *שום דבר* על התכונות שיש לאובייקט (בהצגה הראשונית של האוביקט, במופע מאוד פרטי שלו כסופי ובעל מספר קטן של צמתים, מצירים משהו על הלוח שיכול באופן אסוציטיבי להזכיר לנו ציור נאיבי של העצים שיש לנו בחצר, אבל פה מתחיל ונגמר הקשר בין מה שהמילה עץ בשפה הטבעית מסמלת לבין מה שהמושג המתמטי "עץ" מסמל).
טרחנים לכאורה מפורסמים 329170
"הסבר לי את הקשר (החורג מגבולות האסוציציה הפרועה) בין המילה "עץ" (במובנה הרגיל) לבין המושג המתמטי המכונה "עץ"."

צמתים ו/או פיצולים.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329189
גם לכסא שלי בחדר יש "צמתים ו/או פיצולים" במובן הזה וזו לא סיבה להסיק מכך איזו תכונה "כסאית" שיש לאיזה עץ חישוב של מ"ט ל"ד. ראיתי לא מעט עצים שאפשר לקבל מהם *אסוציציה* לגרפים שאינם עצים כגון DAG או אפילו גרפים לא מכוונים עם מעגלים. כמו שאמרתי - השם מבוסס על אסוציציה ראשונית בזמן ההכרות הראשונית עם האוביקט המתמטי ה*חדש* והשונה מהאוביקט המסומן בשפה הטבעית (מצירים כמה צמתים וקשתות וזה נראה כמו ציור נאיבי של עץ אשר צויר ע"י מישהו חסר כישרון).

אין לי מושג איזו מתמטיקה זו תהיה, אם התוית השרירותית שנתנו לאובייקט תוכיח משהו לגבי התכונות שיש לו (האם כך עובדת "המתמטיקה המונדית"?).
טרחנים לכאורה מפורסמים 329300
"גם לכסא שלי בחדר יש "צמתים ו/או פיצולים" במובן הזה וזו לא סיבה להסיק מכך איזו תכונה "כסאית" שיש לאיזה עץ חישוב של מ"ט ל"ד. "

נהפוך הוא, אתה יכול להסיק שלכסא שלך יש תבונה "עצית".

"ראיתי לא מעט עצים שאפשר לקבל מהם *אסוציציה* לגרפים שאינם עצים כגון DAG או אפילו גרפים לא מכוונים עם מעגלים."

עם יש באפשרותך לקבל *אסוציציה* מעץ לאלמנט שאינו עץ, הריי ואתה משתמש בתכונת העץ והלא-עץ ומגלה משהו עמוק יותר המקיים זיקה בין העץ והלא-עץ.

זיקה זו אינה יכולה להתקיים אם תכונות העץ והלא-עץ נהרסות בזמן ה*אסוציציה* ביניהן.

כוחה של המתמטיקה-המונדית הוא לשמר את תכונותיהם העצמיות של האלמנטים, המקיימים זיקה ביניהם.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329364
אני חושב שאני מבין עכשיו מה אפשר לעשות עם ''המתמטיקה-המונדית'' ומה אי אפשר לעשות עמה. תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329368
''אני חושב שאני מבין עכשיו מה אפשר לעשות עם ''המתמטיקה-המונדית'' ומה אי אפשר לעשות עמה. תודה.''

אנא שתף אותי בתובנותיך.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329371
אי אפשר ליצור:
1. שפה עם מושגים חד משמעיים.
2. מסגרת פורמלית להוכחת טענות.
3. דרך מוסכמת להכרעת תקפות טענות.

אפשר ליצור:
1. זריקת שברי רעיונות ותובנות לחלל האוויר, בלי דרך להכריע מה לפח ומה לתיקונים.
2. שפה המשתמשת במושגים מתמטיים בתור מבחן רורשאך.
3. דיונים עם אלפי תגובות באייל (דיאלוגים אינטליגנטיים בהם שני אנשים חכמים מדברים עם עצמם).
טרחנים לכאורה מפורסמים 329376
"אי אפשר ליצור:
1. שפה עם מושגים חד משמעיים.
2. מסגרת פורמלית להוכחת טענות.
3. דרך מוסכמת להכרעת תקפות טענות."

הוכח את 1 , 2 ו-‏3
טרחנים לכאורה מפורסמים 329387
הפרך את 1, 2 ו-‏3.

אני חושש שאין לי מה להוסיף לדיון זה. המשך דיון נעים.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329396
"הפרך את 1, 2 ו-‏3."

אין קל מזה.

עיין נא בכל הכתוב בhttp://www.geocities.com/complementarytheory/My-firs...

"אני חושש שאין לי מה להוסיף לדיון זה."

אשמח לדעת את תגובתך לתגובה 328976

תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329423
אני חושש שאין לי מה להוסיף לדיון זה.

תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329810
''אין קל מזה.''

אתה צודק, זה כל-כך קל שאפילו הליום טהור (במצב גזי) כבד מזה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329400
"הוכח את 1, 2 ו-‏3."

אין קל מזה.

עיין נא בכל הכתוב בדיון 1571.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329801
''אין קל מזה.''

אתה צודק, זה כל-כך קל שאפילו הליום טהור (במצב גזי) כבד מזה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329086
לא נעים לי להפריע לך להראות כמה המתמטיקה מטומטמת, אבל:

א) לא קיים שום "פער" בין הקבוצה לבין החסם. בכל "פער" כזה יש עוד אינסוף איברים של הקבוצה.
ב) הרבה פעמים החסם עצמו הוא איבר של הקבוצה (לידיעתך: מקסימום הוא גם סופרימום).
ג) "הוא" (ההגדרות המקובלות) לא מגדיר "שלמות" בשום מובן שאליו אתה מתכוון. מה מונע ממך להבין שבני אדם אחרים מתכוונים לדברים שונים כשהם משתמשים באותן מילים בהן אתה משתמש?
ד) אם אתה חושב שזו הוכחה "ריגורוזית", אתה לא מבין את המונח.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329110
"א) לא קיים שום "פער" בין הקבוצה לבין החסם. בכל "פער" כזה יש עוד אינסוף איברים של הקבוצה."

אינסוף איברים לא משנים את העובדה שאם:

x=1/(n+1)

אז:

|x-0|>0
טרחנים לכאורה מפורסמים 329111
אז?

רק כדי שנדבר באותה שפה: איך אתה מגדיר "פער"?

מה דעתך על ההגדרה השדמיסטית הבאה: "'פער' הוא חור רציף (ששום דבר לא קוטע אותו) בין שתי נקודות"?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329118
"מה דעתך על ההגדרה השדמיסטית הבאה: "'פער' הוא חור רציף (ששום דבר לא קוטע אותו) בין שתי נקודות"?"

"פער" הוא הרצף-המוחלט הגדול מ-‏0, הקיים בין כל שניי אלמנטים מובחנים.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329125
ודבר לא קוטע רצף, נכון?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329150
"ודבר לא קוטע רצף, נכון?"

לא.

לא ניתן "לרסק" רצף באופן מוחלט לאוסף אינסופי מובחן של אלמנטים המקיימים ביניהם תנאי XOR .

במילים אחרות: תמיד מתקיים בין שני אלמנטים מובחנים רצף המקיים תנאי AND בין קצוותיו.

וכפי שאמרתי, נקודה איננה קצה של קטע כי קצה של קטע הוא תכונה בלתי נפרדת מהקטע, ולכל קטע יש אינהרנטית את תכונת הכיוון (ולכן גם לקצה יש אינהרנטית את תכונת הכיוון ותכונה איהרנטית זו היא העומדת בבסיס תנאי ה-AND הקיים בין קצות קטע נתון)

לנקודה אין אינהרנטית את תכונת הכיוון ולכן שתיי נקודות מובחנות, תמיד מקיימות יחס XOR ביניהן.

גם אוסף אינסופי של תת-קטעים אינו יכול להשיג את עוצמת-הרצף של קטע רציף יחיד המשמש להם כ"מצע", כי "שברים" אינם רצף, פשוטו כמשמעו.

כאן אני מדגים בבירור את היתרון שבשמירה ושימוש במשמעות המקורית של מילים, המאפשרת יצירת יקומים מתמטיים מעניינים לאין ערוך ועשירים לאין ערוך, מהתוצאה המבוססת על חטיפת מילים ,ריקונם מתוכנם המקורי, וכפיה של משמעותם ההפוכה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329157
יופי. הבעיה היחידה היא שלא הבנתי על מה אתה מדבר.

שאלתי שאלה פשוטה: האם רצף יכול להיות קטוע לשני חלקים או יותר, ועדיין להיות "רצף"?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329174
"שאלתי שאלה פשוטה: האם רצף יכול להיות קטוע לשני חלקים או יותר, ועדיין להיות "רצף"?"

אם אתה לוקח קטע ושובר אותו, אתה מקבל שניי קטעים מובחנים, שכל אחד מהם הוא רצף.

תכונת הרצף נשמרת גם באינסוף שבירות, כאשר כל שבירה היא תמיד אלמנט מתמטי המיוצג ע"י נקודה, ואינסוף שבירות אין בכוחן לבטל כליל את קיומו של רצף בין שתי נקודות שבירה.

יש לך כאן תכונה של דמיון-עצמי על פני אינסוף קני-מידה, כאשר הדמיון-העצמי הוא קיומו הפרמננטי של קטע.

למעשה, אם נטען שניתן לבטל כליל את הרצף ע"י ריסוקו, הריי שאין לנו מה לרסק יותר, והמשמעות היא שיש לנו רמה סופית של שבירות, וזו בסתירה ליכולתנו לשבור לאינסוף.

לכן קיומו של קטע רציף בין כל שתיי נקודות-שבירה, היא למעשה תכונה אינהרנטית של אוסף אינסופי, ולכן לעולם קיים קטע רציף בין האוסף האינסופי לחסם-ההיפוטטי, ולכן מושג החסם בטל ומבוטל כי הוא לא חוסם את אינטרפולציית השבירות האינסופית.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329175
לקחתי רצף, שברתי אותו ל-‏2. עכשיו הוא כבר לא רצף. יש לי שני רצפים חלקיים לו, אבל _הוא_ כבר לא קיים כרצף. נכון?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329307
"יש לי שני רצפים חלקיים לו, אבל _הוא_ כבר לא קיים כרצף. נכון?"

לא, הרצף ממשיך להתקיים כרצף בכל אחד מהחלקים הנ"ל, ושום תהליך שבירה אינסופי לא מבטל את תכונת-הרצף.

הסיבה היא פשוטה מאוד והיא: אם הרצף "מושמד" כליל אנו מקבלים מערכת בעלת עומק-שבירה סופי, ואז ברור לחלוטין כי אין לנו אוסף אינסופי.

לכן המסקנה הבלתי נמנעת היא שקיומו של אוסף אינסופי תלוי בקיומו של עומק-שבירה אינסופי, כאשר עומק-שבירה אינסופי תלוי בקיומו הפרמננטי של קטע-רציף באינסוף רמות-שבירה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329186
האם לדעתך אפשר לשבור חלק מהישר, כך שמידתו תהא 0?
האם לדעתך אפשר לבנות את קבוצה קנטור? האם היא "רצף" להגדרתך?

ובכלל, מה פירוש "קבוצה משלימה לקבוצה ריקה", בלי הקשר של קבוצה אוניברסלית נתונה? אם הצלחת למצוא פירוש כזה, מה הפירוש של "הקבוצה המשלימה ל-{1}" בלי הקשר של קבוצה אוניברסלית ידועה?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329333
"האם לדעתך אפשר לשבור חלק מהישר, כך שמידתו תהא 0?"

שאלה נהדרת.

תשובתי:

נקודה (אלמנט שמידתו 0) איננה חלק מהישר.

למעשה יש יחס של עצמאיות-הדדית בין ישר לנקודה, המונע את היגזרותם זה מזה.

"האם לדעתך אפשר לבנות את קבוצה קנטור? האם היא "רצף" להגדרתך?"

אם קבוצת-קנטור היא אוסף אינסופי, הריי שאוסף זה חייב להכיל גם נקודות-שבירה וגם קטעים על פני אינסוף רמות של קני-מידה שונים, השומרים על דמיון-עצמי, כאשר הדמיון-העצמי מוגדר ע"י קיומם הסימולטני של קטעים-רציפים AND נקודות-שבירה, ולא פחות מכך.

"ובכלל, מה פירוש "קבוצה משלימה לקבוצה ריקה","

אם אי-תוכן הקבוצה-הריקה הוא ריקנות מוחלטת (המיוצגת כ-{}), אז תוכן הקבוצה-המלאה הוא מלאות מוחלטת (המיוצגת כ-{__}).

__ אינו מכיל בתחומו שום תת-אלמנטים ולכן תחומו אינו ניתן להגדרה במונחים של אוסף.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329116
במיוחד עבורך, דורון, ערכתי מחדש את תגובתי:

סוסלין מתיחס למתמטיקאי בשם זה שהעלה בעיה מענינת, שנודעה כ-"השערת סוסלין" (SH - Suslin's Hypothesis). הבעיה היתה פתוחה כמה עשרות שנים עד שכהן המציא את המילרוך ב-‏1960 ואז הוכח ש-SH לא-קרוזה ב-ZFC (כתמיד, בהנחת ש-ZFC מורבזת). להשערה:
קח מקש לפן בירקלי S. נניח שהוא
(1) בלי איבר מימר ביותר או שישר ביותר.
(2) ברוג: לכל שני איברים יש איבר בניהם.
(3) סוטק: לכל צירשה יש אזח עליון ותחתון. אזח עליון לצירשה הוא האיבר המימר ביותר השישר מכל האיברים בצירשה. תחתון אנאלוגי.
(4) קולמוגי: יש צירשה Q בת-נמיה ופצופה בטופולוגית הסדר על S. דהיינו, לכל שני איברים ב-S יש בניהם איבר ב-Q.

מן המפורסמות היא ש-S כזו חייבת להיות איזומורפית ל-R, הממשיים עם יחס הסדר הרגיל (תרגיל: הוכח).

השערת סוסלין:
אם S מקיימת (1)-(3) וגם

(4') כל צירשה של נברים חונים זרים היא בת-נמיה.

אז היא איזומורפית ל-R (תרגיל: הוכח (4) => (4')).
דרישה (4') נקראת בדר"כ MFC - Mongoose-girl fkain condition, אם כי מן הראוי היה לשים antifkain במקום fkain.

אחרי שכתבתי כל זאת, נשאלת השאלה למה לא הפניתי לויקי:

כנראה בגלל שהם כותבים שם בשפה מוזרה חסרת מרחב גישור.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329122
סוף סוף הצלחתי להבין על מה אתה מדבר, חוץ מהמילה ''איבר'' שהשתרבבה הנה, כנראה מהודעה אחרת שכתבת על צ'יצ'ולינה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329130
לא זכור לי שכתבתי על האיטלקיה שאת שמה קצת קשה לי לבטא. בכל אופן, לכבוד הוא לי לשרבב את האיבר.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329233
מעניין שהמלה ''איבר'' מיד מזכירה לך את צ'יצ'ולינה...
טרחנים לכאורה מפורסמים 329123
"במיוחד עבורך, דורון, ערכתי מחדש את תגובתי:"

יפה.

עכשיו הסבר לנו מהו ההבדל בין התובנות השונות, המבוטאות כ-"אזח" ו-"חסם"?

תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329127
ההבדל הוא שבעזרת המילה ''חסם'' אורי יכול לתקשר עם שאר העולם, בעוד שאת הגדרת המילה ''אזח'' רק הוא מכיר.

באותה מידה, עם המילים ''קבוצה'' ו''עוצמה'' בני אדם יכולים לתקשר ביניהם, בעוד שרק אתה מכיר את המילים ''מרחב-גישור'' ו''יתירות''.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329128
אזח היא לצירשה מה שחסם הוא לקבוצה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329137
"אזח היא לצירשה מה שחסם הוא לקבוצה."

האם יש סיבה מדוע מתמטיקאים השתמשו במילה "חסם"?

האם באותה מידה אפשר היה להשתמש במילה ההופכית "פתח" כדי לתאר
את אותה תובנה שמתמטיקאים רוצים לשתף אחד עם השני, במקרה הנדון?
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  סייג לחוכמה שתיקה • אח של אייל
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל-גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל הצעיר
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל הצעיר
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל הצעיר
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל הצעיר
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל הצעיר
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל-גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל האלמוני
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • סמיילי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  בבקשה, יותר לאט • סמיילי
  בבקשה, יותר לאט • דורון שדמי
  בבקשה, יותר לאט • סמיילי
  אולי די??? • האייל האלמוני
  ואולי, אולי, אם נבין את זה באמת נבין על מה הוא מדבר? • סמיילי
  ואולי • האייל האלמוני
  ואולי • סמיילי
  ואולי • האייל האלמוני
  ואולי • סמיילי
  בבקשה, יותר לאט • דורון שדמי
  בבקשה, יותר לאט • סמיילי
  בבקשה, יותר לאט • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל-גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל-גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל-גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • משה קליין
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • משה קליין
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל-גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • דורון שדמי
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל האלמוני
  טרחנים לכאורה מפורסמים • משה קליין
  טרחנים לכאורה מפורסמים • גדי אלכסנדרוביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל האלמוני
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • פעורת הכאן (ועכשיו)
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • פעורת הכאן (ועכשיו)
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל-גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל האלמוני
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל האלמוני
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  טרחנים לכאורה מפורסמים • האייל האלמוני
  טרחנים לכאורה מפורסמים • ראובן
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • אלון עמית
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • אלון עמית
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • אלון עמית
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • אלון עמית
  SLE • שוטה הכפר הגלובלי
  SLE • אלון עמית
  SLE • כבשה
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • כבשה
  SLE • כבשה
  SLE • כבשה
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • כבשה טרחנית
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  SLE • כבשה
  SLE • אורי גוראל גורביץ'
  So Far So Good • ראובן
  So Far So Good • אורי גוראל גורביץ'
  So Far So Good(כה"ב) • ראובן
  So Far So Good(כה"ב) • אורי גוראל גורביץ'
  So Far So Good(כה"ב) • ראובן
  So Far So Good(כה"ב) • אורי גוראל גורביץ'
  "למבינים בלבד!" • ראובן
  "למבינים בלבד!" • אורי גוראל גורביץ'
  "למבינים בלבד!" • ראובן
  "למבינים בלבד!" • אורי גוראל גורביץ'
  הלאה ל-SLE • אורי גוראל גורביץ'
  הלאה ל-SLE • ראובן
  הלאה ל-SLE • אורי גוראל גורביץ'
  הלאה ל-SLE • אורי גוראל גורביץ'
  הלאה ל-SLE • אורי גוראל גורביץ'
  הלאה ל-SLE • ראובן
  הלאה ל-SLE • אורי גוראל גורביץ'
  הלאה ל-SLE • ראובן
  הלאה ל-SLE • אורי גוראל גורביץ'
  הלאה ל-SLE • סמיילי
  שאלה קשה • אורי גוראל גורביץ'
  שאלה קשה • סמיילי
  שאלה קשה • שוטה הכפר הגלובלי
  טרגדיה • ראובן
  טרגדיה • אורי גוראל-גורביץ'

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים