בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 10/09/05 8:27
טרחנים לכאורה מפורסמים 328869
טוב, נתחיל בקל ביותר. אילון סולן הוא פרופסור לתורת המשחקים באוניברסיטת תל אביב וה-"וגו"' מתיחס להערה בסוגריים הקודמים - "למי שאיכפת‏1".
הלאה. סוסלין מתיחס למתמטיקאי בשם זה שהעלה בעיה מענינת, שנודעה כ-"השערת סוסלין" (SH - Suslin's Hypothesis). הבעיה היתה פתוחה כמה עשרות שנים עד שכהן המציא את הכפיה ב-‏1960 ואז הוכח ש-SH בלתי תלויה ב-ZFC (כתמיד, בהנחת ש-ZFC קונסיסטנטית). להשערה:
קח יחס סדר לינארי S. נניח שהוא
(1) בלי איבר קטן ביותר או גדול ביותר.
(2) "צפוף בעצמו": לכל שני איברים יש איבר בניהם.
(3) שלם: לכל קבוצה יש חסם עליון ותחתון. חסם עליון לקבוצה הוא האיבר הקטן ביותר הגדול מכל האיברים בקבוצה. תחתון אנאלוגי.
(4) ספרבילי: יש קבוצה Q בת-מניה וצפופה בטופולוגית הסדר על S. דהיינו, לכל שני איברים ב-S יש בניהם איבר ב-Q.

מן המפורסמות היא ש-S כזו חייבת להיות איזומורפית ל-R, הממשיים עם יחס הסדר הרגיל (תרגיל: הוכח).

השערת סוסלין:
אם S מקיימת (1)-(3) וגם

(4') כל קבוצה של קטעים פתוחים זרים היא בת מניה.

אז היא איזומורפית ל-R (תרגיל: הוכח (4) => (4')).
דרישה (4') נקראת בדר"כ CCC - countable chain condition, אם כי מן הראוי היה לשים antichain במקום chain.

אחרי שכתבתי כל זאת, נשאלת השאלה למה לא הפניתי לויקי:
על השאר, יותר מאוחר.

1 שאלה: מאיפה צצה המילה הזו "איכפת"?‏2 השימוש בה מאוד משונה, לדעתי.
2 תשובה: למי איכפת?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328892
מעניין מאוד, תודה.

הביטוי "טופולוגיית הסדר" נשמע לי די חדש. אני רגיל למילה "טופולוגיה" רק בהקשר של אוסף קבוצות פתוחות שסגור לחיתוך סופי ואיחוד בן מנייה (ולספרביליות שמוגדרת על ידי דבר שכזה). האם יש שקילות בין המושגים?
טרחנים לכאורה מפורסמים 328917
זה אותו מובן. בהנתן יחס סדר מלא טופולוגית הסדר עליו היא הטופולוגיה המושרית מכל הקרניים (תת-בסיס) או כל הקטעים (בסיס). בקיצור‏1:
1 מתישהו אני אלמד מנסיון העבר.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328895
לי אכפת.
לפי אבן־שושן, אכפת הוא "לוחץ, נוגע" בארמית. ומכאן "מי שאכפת לו" הוא מי שהדבר נוגע אליו.
טרחנים לכאורה מפורסמים 328912
תודה. לא באאמת התכוונתי ל‏2.
בכל זאת יש כאן משהו מוזר. במשפט "איכפת לי" הנושא הוא מובלע (או איך שקוראים לזה) כמו ב-"נראה לי". למרות זאת לא מטים את איכפת כמו את נראה. "איכפת לי מהם" ולא "איכפתים לי".
טרחנים לכאורה מפורסמים 328968
כאמור, הביטוי ארמי וקשה להטותו כאילו היה תואר עברי. וטוב שזה לחץ לך - כך גם אני למדתי דבר חדש.
עוד משהו על סוסלין 329037
למרות שזה מופיד בויקי, החלטתי להוסיף עוד קצת.
קח עץ אינסופי כלשהו. קל לראות‏1 שחייבת להיות לו קומה אינסופית או ענף אינסופי.
עכשיו קח עץ מעוצמה א1 ‏2. האם חייב להיות לו ענף באורך א1?
האם חייבת להיות קומה בגודל א1?

מסתבר‏13 שאפשר לבנות עץ בגודל א1 בלי שניהם. עץ כזה נקרא עץ ארונסיאן (aronszajn).
קבוצה של איברים בעץ היא שרשרת אם לכל שני איברים אחד מהם הוא צאצא (לאו דוקא ישיר) של השני. ענף הוא שרשרת וכל שרשרת מוכלת בענף.
קבוצה של איברים בעץ היא אנטי-שרשרת אם לכל שני איברים אין צאצאים משותפים. קומה בעץ היא אנטי-שרשרת אבל לא כל אנטי-שרשרת מוכלת בקומה.
האם יש עץ בגודל א1 כך שאין בו שרשרת בגודל א1 ואין בו אנטי-שרשרת בגודל א1?
עץ כזה נקרא עץ סוסלין, ומסתבר שקיומו שקול לקיום קו סוסלין (הקבוצה מהתגובה הקודמת שאינה שקולה לממשיים)‏1.

1 תרגיל: הוכח.
2 תרגיל: הגדר.
3 כבר לא כל כך קל.
עוד משהו על סוסלין 329044
מרתק.

מה ההבדל בין שרשרת וענף? איך אתה מגדיר ענף? אני לא מכיר "ענף" אלא רק "תת עץ" והוא בבירור לא שרשרת, אבל כמובן שכל שרשרת מוכלת בתת עץ כלשהו.
עוד משהו על סוסלין 329080
אאל"ט, בעץ סופי ההגדרה פשוטה: ענף הוא מסלול משורש העץ אל אחד העלים (יש רק אחד כזה לכל עלה).

באופן כללי (ואם הבנתי נכון) אז ענף של עץ הוא שרשרת שבה יש את השורש, את אחד הבנים של השורש (נסמנו X1), את אחד הבנים של X1 (נסמנו X2) וכן הלאה...
עוד משהו על סוסלין 329121
זה נכון אם מדובר בעץ אינסופי "רגיל", כזה שהגובה שלו הוא א0. עץ כללי מוגדר להיות יחס סדר חלקי כך שלכל איבר קבוצת האיבר הקטנים ממנו סדורה היטב (ביחס לסדר המדובר). ענף מוגדר אז בתור שרשרת מקסימלית.
עוד משהו על סוסלין 329126
תודה.
עוד משהו על סוסלין 329117
הדרך הפשוטה ביותר היא להגדיר ענף בתור שרשרת מקסימלית.
עוד משהו על סוסלין 329842
הבה ונמשיכה (בתקוה שמישהו עוד קורא את זה).

מרטין מתיחס לאקסיומת מרטין.
קח יחס סדר חלקי P, לאו דווקא עץ.
נגיד ששני אברים מתיישבים אם קיים איבר שקטן משניהם.
אנטי-שרשרת היא קבוצה של איברים שאינם מתיישבים (בזוגות).
יחס הסדר שלנו הוא ccc אם אין אנטי-שרשרת לא בת-מניה.

קבוצה D היא צפופה אם לכל איבר x ב-P יש y ב-D שקטן ממנו y<x.
קבוצה F היא פילטר אם:
לכל x ו-y ב-F יש z ב-F שקטן משניהם.
אם x שייך ל-F, כל מה שגדול ממנו (ב-P) גם שייך ל-F.

אם P היתה עץ אז פילטר==ענף.

עכשיו, אקסיומת מרטין לעוצמה k, המסומנת MA(k) היא ההצהרה:
לכל יחס סדר P, המקיים ccc,
לכל משפחה בגודל עד k של קבוצות צפופות,
יש פילטר שהחיתוך שלו עם כל אחת מהקבוצות הצפופות הנ"ל אינו ריק.

ברור‏1 ש-MA(א0) מתקיים.
ברור‏2 ש-MA(2^א0( לא מתקיים.

אקסיומת מרטין, MA היא הטענה MA(k) לכל k שקטנה מ-‏2^א0.
השערת הרצף גוררת MA באופן טריויאלי.

למה זה טוב?
אם אנחנו מניחים שהשערת הרצף לא נכונה (במודל שלנו) מתעוררות כמה שאלות לגבי העוצמות שבין א0 ל-‏2^א0. למשל:
האם איחוד של k קבוצות בעלות מידה אפס היא מדידה ובעלת מידה אפס?
האם איחוד של k קבוצות מקטגוריה ראשונה היא גם מקטגוריה ראשונה?
ועוד כהנה וכהנה.
מסתבר התשובות לשאלות האלו באות ביחד ו-MA(k) גורר תשובה חיובית עבור k.
גם השערת סוסלין נכנסת לכאן. MA(א1( גורר אי קיום קו או עץ סוסלין.
זה שימושי עבור כפיות. למעשה, כל מה שתארנו כאן, מאוד דומה לכפיה.

טוב, זה היה מתיש. ליל מנוחה.

1 אתם יודעים מה בא כאן.
עוד משהו על סוסלין 329843
אני לא מבינה, לא היה פשוט יותר למלא את הבטחתך ולענות לי מה מעניין בהסתברות?
עוד משהו על סוסלין 329844
וואלה. איך לא חשבתי על זה.
מחר‏1. באמת. בהסתברות 1.

1 אולי נפליגה בספינות...
עוד משהו על סוסלין 329856
כאן אני כבר לא מצליח לעקוב. אני צריך לשבת, ולכתוב את ההגדרות, ולעשות תרגילים, ולקלל את המרצה, ולא ללמוד למבחן בתורת השדות תוך כדי.
עוד משהו על סוסלין 329867
עזוב את העצים. אני מעוניין לשמוע על פרקולציה. אולי אתה תצליח להסביר לי את הקשר לקונפורמיות.
פרקולציה 330381
גבירותיי ורבותיי, עקב בקשת הקהל, פרקולציה!

קח את הגרף של Z^2, הסריג הדו-מימדי. להבהרה: הקודקודים הם כל הקואורדינטות השלמות במישור ושני קודקודים מחוברים אם המרחק בינהם הוא אחד, בקיצור, רשת דייגים אינסופית.

עכשיו, ספר מטורף בא עם מספריו, וגוזר חלק מהקשתות (ה"חיבורים" בין צמתים ברשת). כל קשת הוא גוזר בהסתברות (1-p) ומשאיר אותה לנפשה בהסתברות p, באופן בלתי תלוי.

מה קורה לרשת? אנו מתענינים בשאלה האם יש רכיב אינסופי או שמא הרשת נגזרה לגזרים סופיים. אם יש רכיב אינסופי, כמה יש? אחד, שניים, אלפיים, אינסוף?

המשך יבוא...
פרקולציה 330383
במהרה, אני מקווה.
פרקולציה 330604
המשך...

במודל שתיארנו ברור‏1 שההסתברות לקיום רכיב אינסופי (נקרא לה r) עולה עם p.
ברור גם ש- r(0)=0 (אין קשתות) וש-r(1)=1 (כל הקשתות ישנן).
בעזרת חוק 0-1 של קולמוגורוב‏2 נקבל r(p) הוא 0 או 1 לכל p. מאחר ו-r עולה קיבלנו שקיימת נקודה קריטית p_c כך ש:
אם p<p_c אז r(p)=0 (אין רכיב אינסופי),
ואם p>p_c אז r(p)=1 (יש רכיב אינסופי).

נשארו השאלות מהו p_c ובפרט האם אינו טריויאלי (כלומר לא 0 או 1), מהו r(p_c), ומה קורה עם מספר רכיבי הקשירות האינסופיים.

שאלות?
תשובות?

1 תרגיל: הוכח באופן ריגורוזי.
2 לפעורי הפה: החוק אומר שאם מאורע כלשהו, התלוי בתוצאה של אינסוף הגרלות, בלתי תלוי בתוצאה של כל קבוצה סופית שלהן, אז הסתברותו היא בהכרח 0 או 1.
לא באמת הבנתי 330611
אם נתחיל מקשת קיימת (p>0) ונבדוק מה הסיכוי שהיא חלק מרכיב אין סופי, נילך לאחד הצמתות, ואז הסיכוי שקיימת קשת נוספת באותו כיוון היא p' והסיכוי שקיימת קשת בלפחות כיוון מאונך אחד היא 2p-p^2 לכן הסיכוי שיש לפחות עוד קשת אחת הוא 3p-3p^2+p^3 (שתמיד קטן מ1) והסיכוי שמהקשת הזאת יש עוד קשת הוא זהה, לכן הסיכוי שקיימות אין סוף קשתות כאלה הוא אפס. אותו חישוב מתקיים, כמובן, גם לצד השני. לכן, r(p<1)=0.
לא באמת הבנתי 330621
ראשית, לסריג הריבועי שאג"ג מתאר, אפשר להראות משיקולי סימטריה שהנקודה הקריטית היא בחצי, לפחות כאשר מדברים על פרקולצית קשתות. לא ברור לי מה בדיוק לא נכון בשיקול שלך, אבל אם תחשוב שניה על "עץ" שמכל ענף יוצאים עוד שני ענפים (כלומר כל צומת מכילה 3 ענפים‏1) ,תוכל להשתכנע שקיים p לא טריוויאלי שהוא קריטי.

לא באמת הבנתי 330625
>לסריג הריבועי שאג"ג מתאר, אפשר להראות משיקולי סימטריה שהנקודה הקריטית היא בחצי.

מה אתה מקדים את המאוחר? :-)
בכל אופן, זה נכון אבל לא כל כך קל כמו שאתה מתאר את זה. למעשה, אין לזה הוכחה ממש אלמנטרית.

<תוכן פירסומי>
אם מישהו ממש מתענין, הוא מוזמן לבוא לשמוע את הקורס שאעביר בנושא "הילוכים מקריים ופרקולציות" במכון ויצמן בסמסטר א'.
</תוכן פירסומי>

באשר לעצים:
פרקולציה על עץ כזה יוצרת (בערך) את מה שנקרא תהליך Galton-Watson. במקורו, זהו מודל לחישוב סיכויי ההכחדות של שמות משפחה. המודל הוא כדלהלן:
נניח שיש התפלגות P הקובעת את מספר הילדים הזכרים (שממשיכים את שם המשפחה) לאדם (זכר) נתון.

נתחיל בזכר אחד בדור הראשון. בדור השני נגריל את מספר הילדים שלו לפי התפלגות P. בדור הבא לכל אחד מהם נגריל ילדים גם לפי התפלגות P, עד אשר המשפחה נכחדת או לנצח.

ברור‏1 שאם התוחלת של P קטנה מ-‏1, ההכחדות היא ודאית. מה שפחות ברור הוא שאם התוחלת של P גדולה מ-‏1, יש סיכויי חיובי להשרדות (עד אינסוף). הסיכוי המדויק תלוי בהתפלגות והוא יכול להיות קטן כרצוננו, אבל הוא תמיד חיובי. עבור P עם תוחלת 1 בדיוק, ההכחדות היא ודאית‏2, אבל תוחלת גודל המשפחה ומספר הדורות היא אינסופית.

מכאן, שעבור פרקולציה על העץ הבינארי, p_c=1/2 ועבורו אין רכיבים אינסופיים.

1 הוכח.
2 מלבד במקרה הטריויאלי, בו בהסתברות 1 יש ילד אחד.
לא באמת הבנתי 330626
אתה פחות או יותר עשית את החישוב שמסלול נתון קיים בגרף. זה כמובן 0, אבל יש הרבה מסלולים אפשריים.
פרקולציה 330616
2 נראה לי שהפה נפער רק *אחרי* ששומעים מהו החוק הזה. אפשר סקיצה של ההוכחה?
פרקולציה 330628
הדבר הראשון שעולה על דעתי הוא שזה נובע בקלות מהרגולריות של המידה הרלוונטית. הרגולריות אומרת שאם יש לי קבוצה מדידה A, אז יש קבוצה פתוחה B שמכילה את A ועם מידה קרובה ל-A כרצוננו. אם מקרבים את B ע"י איחוד של מספר סופי של קבוצות פתוחות, נסמנו C. אם ההסתברות של A היתה חיובית אז ההסתברות המותנית של A בהנתן C היא גדולה כרצוננו. C הוא מאורע שתלוי במספר סופי של המשתנים ולכן A צריך להיות בלתי תלוי בו. מסקנה: ההסתברות של A היא 1.

עכשיו רק נותר לחשוב איך מוכיחים את הרגולריות של המידה הרלוונטית ולקוות שזה לא נעשה בעזרת חוק ה-‏0-1 של קולמוגורוב.
פרקולציה 330622
את זה אני פחות או יותר מכיר, אבל ראיתי שאפשר לעשות הרבה דברים יפים כאשר ''מניחים'' סימטריה קונפורמית. הבעיה היא שמעבר להגיד את המילים הללו, אני לא מבין בזה כלום.
עוד משהו על סוסלין 329894
אח, הנוסטלגיה...גם לך גיטיק נתן איזה 20 שאלות מהפרק בקומבינטוריקה של Kunen ?
עוד משהו על סוסלין 330078
25, כמדומני. אודה ולא אבוש, עבדנו על השאלות הללו בקבוצה (!) וזה היה אחד הדברים המהנים ביותר בתואר הראשון.
עוד משהו על סוסלין 330635
מרוב עצים אצלך באמת לא רואים את היער...
טרחנים לכאורה מפורסמים 329063
" שלם: לכל קבוצה יש חסם עליון ותחתון. חסם עליון לקבוצה הוא האיבר הקטן ביותר הגדול מכל האיברים בקבוצה. תחתון אנאלוגי."

אם אף אחד מאברי הקבוצה האיסופית הנ"ל אינו שווה למספרים המשמשים כחסמים עליונים ו/או תחתונים, אז מה בדיוק נחסם כאן?
הריי יש לנו אינסוף איברים בקבוצה וברור לחלוטין שהיא מקיימת אינטרפולציה אינסופית בין אבריה המובחנים, ואינטרפולציה זו אינה מושפעת כהוא זה מקיומם או אי-קיומם של החסמים.

לדוגמא:

===========================================================
bad_logic wrote:

All it says is, no matter how close you get to L, the sequence gets closer.
===========================================================

Again, there are two different points of view in this case, which are:

1) The sequence point of view is based on the ratio between x and 1 (notated as x/1) where x is any element in the sequence, and we do not need any hypothetic limit in order to define the exact place of any x along the sequence.

It is also can be done by |x-L| = epsilon, where epsilon > |L-L| = 0.

In any case, since we do not need the limit, then nothing becomes closer to any hypothetic limit.

2) If we try to compare any x to |L-L| (which is the "gap" between the limit to itself) we actually use the expression x/0, and from the point of view of the limit itself, we do not have any information about the explored sequence.

I am going to add my previous posts to this post, and this time please do not ignore them, thank you:

===========================================================
Originally Posted by Wade-d
Since "scale levels" has not been rigorously defined, this is a non-answer.
===========================================================

It is rigorously defined, and all we have to do is to understand x/1 expression.

x/1 is the ratio between each R member to number 1, and by this ratio it is clearly understood that .999... is no more than a non-finite long addition of the rational numbers 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 ... where each one of them exists in a different scale level (which in this particular case is based on base 10 fractal)
and the sum of this long addition is not equivalent to 1.

Therefore .99999... < 1

===========================================================
bed_logic wrote:

there are no triangles in the koch fractal's boundary. Although, to be fair, we shouldn't be talking about triangles. After the first iteration, no iteration has any "triangles" on it
===========================================================

You are wrong about that, for example:

http://www.andymeneely.com/Prog/Fractals/PracticalFr...

0.99999... = 1 if and only if these sharp patterns can form a smooth sharpless boundary.

Since this is not the case, 0.99999... < 1

As you can see, I did not use any triangle here, but you, with out any good reason, continue to talk about it, so please overcome this "problem".

-------------------------------------------------------------------------------

Any limit of some non-finite sequence in the common Math, is always based on a gap > 0 between any element of the sequence and the hypothetic limit.

The gap of this non-finite sequence is the absolute value |x-L| where L is the limit value itself and x is any arbitrary value of the sequence, that cannot be L itself, if we are talking about a non-finite sequence.

In other words, there is a clear dichotomy between the non-finite sequence and any hypothetic limit of it, simply because no non-finite collection (ordered or not) can be limited by any shape or form, otherwise it is not a non-finite collection, but a finite collection.

Again we define smaller or greater elements in some sequence, because we take one of the gaps which is > 0, then we call it 1, then we compare the entire gaps to it, and only then we can determinate if some element is greater or smaller than 1.

It cannot be done if we try to do that by using the "gap" between L to itself |L-L|, which is always 0.

If we want to understand the behavior of some sequence, all we have to do is to use the expression x/1.

If the absolute result is always < 1 we say that the sequence's elements become smaller, otherwise they do not change or become bigger, and we do not need the epsilon-delta 1-1 mapping technique , or any L as the limit of a non-finite sequence.

As I wrote, we can understand the behavior of the sequence, only if we compare any one of its members to some value, which is not 0, for example x/1.

If we try to compare any x to |L-L| (which is the "gap" between the limit to itself) we actually use the expression x/0, and from the point of view of the limit itself, we do not have any information about the explored sequence.

A part of my work:

Let us say that we have a sports car (where the name of the back wheels is "epsilon" and the name of the front wheels is "delta") and our mission is to cross the zero point of X,Y-axis with both "delta" and "epsilon" wheels.

http://www.geocities.com/complementarytheory/SportsC...

We are seated in the car and trying to reach point zero.

We realize that no matter how fast we drive, we are not getting any closer to the zero point, and the reason is: the faster we drive, the smaller we become (as can be seen in the picture above) and we have here a Lorenz-like transformation.

Shortly speaking, our mission cannot be completed.

In the same manner set R is an incomplete collection.

Actually we reach point zero, if and only if we don’t have a car anymore but a single point, which is a phase transition that cuts the infinitely many smaller states, and we don’t have an incomplete collection over infinitely many scales, but a finite collection of many scales.

===========================================================
bad_logic wrote:

If I can't follow your logic, it's not being rigorous.
===========================================================

No, it says that you did not grasp yet the deep meaning of Godel's work about the incompetence of the axiomatic framework itself.

Here it is again:

Gödel used mathematical rigorous methods in order to research the language of Mathematics itself, and he found an interesting connection between consistency and completeness concepts.

In other words, no consistent framework is necessarily complete, and no complete framework is necessarily consistent.

He showed that in any, so called, consistent framework, there can be theorems which are based on some axiomatic system, but they cannot be solved within the framework of this axiomatic system.

Strictly speaking, we have no choice but to add new axioms to the current axiomatic system, in order to deal with these theorems, but then we discover that this addition is an “endless story”.

In other words, no axiomatic framework can be proven as both consistent and complete, within the framework of the axiomatic method.

-------------------------------------------------------------------------------

As I said bad_logic, you did not grasp yet that the Cantorean conceptual mathematical world does not exist anymore after Gödel's work, but the current community of professional mathematicians does not understand it (yet) and continue to use formal technical grammatical rules without any deep insights behind them (in the case of the Cantorean non-finite).

Since a non-finite collection of axioms cannot be both consistent and complete, we have no choice but conclude that a non-finite collection cannot be completed, in order to save its consistency (or in other words, its "mathematical existence").

===========================================================
bad_logic wrote:

It doesn't say a "non-zero length segment becomes a 0-length segment".
===========================================================

In this case |x-L| = epsilon > 0, where epsilon is the unclosed interval between x and L.

In other words, no infinitely many elements can eliminate this epsilon > 0.

===========================================================
bad_logic wrote:

Godel. Axioms. Completeness. Consistancy. Ho-fucking-Hum. It doesn't say mathematics is wrong.
===========================================================

No, it says that Mathematics is an open framework that deeply can be changed by paradigm-shifts, when new fundamental insights are created/discovered.

In this case my insight about the non-finite is richer, simpler and much more interesting then the Cantorean transfinite universe.

Because you did not read carefully all of http://www.iidb.org/vbb/showpost.php?p=2388287&p... you do not realize it yet, so please this time read all of it, thank you.

===========================================================
bad_logic wrote:

Don't tell me I don't understand Godel. Don't tell me the cantorean infinity is wrong. I don't believe you, Doron. I have no reason to.
===========================================================

Do not believe to my posts, all you need is a real , courage in order to be able to see things from a deeper point of view about the fundamental concepts of the language of Mathematics and its logical reasoning.

Until this very moment we did not find the strength within you to do this paradigm-shift in your mind, that will let you to read and, for the first time, understand:

http://www.geocities.com/complementarytheory/TAP.pdf

http://www.geocities.com/complementarytheory/My-firs...

And also http://www.geocities.com/complementarytheory/No-Naiv...

where at the end of it (pages 9 to 19) you can find the logical reasoning which I use in my framework.

I call this logical reasoning Complementary Logic, and please read the above link if you want to understand it.

If you don't understand it after you read it, then please ask me questions about it, thank you.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329068
זה ההבדל בין סופרמום ומקסימום: סופרמום לא חייב להיות איבר בקבוצה שאותה הוא חוסם (=גדול מכל האיברים בה על פי יחס הסדר, כשיחס הסדר מוגדר מן הסתם על קבוצה רחבה יותר שאבריה הם לפחות אברי הקבוצה שאתה חוסם והחסם עצמו).

אני לא ממש מבין למה אתה מנצל גם את ההודעה ההיא של אורי כדי לכתוב את כל הטקסט המיותר שהבאת באנגלית. בפרט אני לא מבין מה בעצם אתה רוצה. אורי מדבר על המתמטיקה שכבר הבנו שאתה פוסל, אז אולי תעזוב אותה בשקט?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329073
סופרמום ואינפימום נחשבים ל*חסמים* של קבוצה אינסופית.

היות ואני טוען שכל מילה במתמטיקה צריכה להיות מדיוקת כתער, והיות וקבוצה אינסופית איננה ניתנת לחסימה (כי אחרת היא קבוצה-סופית) אז מה התובנה הפתלתלה העומדת מאחורי "משחטת המילים" הזו, שמרוקנת את משמעות המילה המקורית, ומעניקה לה את המשמעות ההפוכה ע"י קהילת המתמטיקאים?

"אני לא ממש מבין למה אתה מנצל גם את ההודעה ההיא של אורי כדי לכתוב את כל הטקסט המיותר שהבאת באנגלית. בפרט אני לא מבין מה בעצם אתה רוצה. אורי מדבר על המתמטיקה שכבר הבנו שאתה פוסל, אז אולי תעזוב אותה בשקט?"

הוכח נא שהטקסט שכתבתי הוא מיותר אינו קשור לנושא המדובר.

תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329078
גרוע מכך:

אורי משתמש במושג החסימה כדי להגדיר את השלמות של קבוצה אינסופית.

הנה הם דבריו:

" שלם: לכל קבוצה יש חסם עליון ותחתון. חסם עליון לקבוצה הוא האיבר הקטן ביותר הגדול מכל האיברים בקבוצה. תחתון אנאלוגי."

אם קבוצה אינה מגיעה ל"חסמיה"-ההיפוטטיים הריי ברור לחלוטין שהיא אינה שלמה, כי תמיד מתקיים פער בינה לבין ה"חסמים"-ההיפוטטיים.

למעשה השימוש בסופרמום ואינפימום מוכיח בצורה חד-משמעית וריגורוזית, שקבוצה אינסופית היא בלתי-שלמה בהכרח.

ושוב אנו נוכחים לדעת כיצד המתמטיקה-הרגילה מסיקה בדיוק את המסקנות ההפוכות מהאלמנטים הנחקרים, והיפוכים אומללים אלה מובילים אותה מדחי אל דחי לחוסר תבוניות הולך וגדל.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329083
שלא לדבר על החוצפה שלהם לכנות במילה "עץ" משהו שאף פעם לא צמח עליו אפילו תפוח אחד. אפרופו תפוחים: אתה מנסה לנתח את השפה המתמטית באמצעות השפה הטבעית ומגיע למסקנות בשפה הטבעית באמצעות מושגים מתמטיים, למרות שהקשר התוכני של המילים/מושגים יכול להיות מאסוציטיבי ועד לשרירותי (אתה מתרץ את הטעות הנ"ל באמצעות הטיעון שהמתמטיקה מבוססת תובנה). זה מקרה קלאסי של "תפוחים ותפוזים".

זו לא "משחטת מילים" אלא יצירה של מושגים חדשים באמצעות מילים קיימות (מתמטיקאים הם בני אדם - קל להם יותר להגיד "עץ" במקום להגיד "עמןםדגמיוםןעויןםינ").
טרחנים לכאורה מפורסמים 329113
''זו לא ''משחטת מילים'' אלא יצירה של מושגים חדשים באמצעות מילים קיימות ''

ברגע שאתה מרוקן את משמעותה של מילה, באותו רגע את אינך יכול להשתמש בתובנה שיצרה אותה, ובכך תובנה זו הולכת לאיבוד, ואיננה יכולה לשמש יותר כבסיס לשפה מתפתחת.

עוצמתה של שפה קשורה עמוקות לשמירה והעצמה של מגוון התובנות העומדות לרשותה, ומשמעותה של מילה יכולה להשתנות רק ואך ורק אם מתגלה תובנה עמוקה יותר של אותה משמעות.

כל שינוי אחר מצריך המצאת מילים חדשות, כדי לא לפגוע הן במגוון האפשרויות שקיימות והן באפשרות להעמקתן בעתיד.

בריאת מילים חשדות מאפשרת הגדלת המגוון ופותחת את שערים להעמקת התובנות העומדות בבסיסה של שפה עשירה, עמוקה, מתפתחת וחיה.

''שלא לדבר על החוצפה שלהם לכנות במילה ''עץ'' משהו שאף פעם לא צמח עליו אפילו תפוח אחד''

זוהי דווקא דוגמא לשימוש נבון במושג קיים, אשר מוסיף למושג המילה ''עץ'' ולא גורע ממנה דבר ממשמעותה המקורית.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329145
הסבר לי את הקשר (החורג מגבולות האסוציציה הפרועה) בין המילה "עץ" (במובנה הרגיל) לבין המושג המתמטי המכונה "עץ".

אינני מבין מדוע השינויים דורשים "המצאת מילים חדשות". כאשר המתטיקאי משתמש במילה "עץ" הוא מיחס לאוביקט רק את התכונות שהוגדרו היטב לאוביקט (או נגזרו מתכונות ידועות קודמות) במסגרת התורה *המתמטית*. הוא לא "מתבלבל" ומשתמש בהוכחותיו בתכונות שיש לעץ שצומח בגינתו. אני גם די משוכנע שהסכנה שהוא ינסה להריץ BFS על האורן של השכנה ממול, איננה חורגת מגבול הסביר. לכן, אינני מבין מה זה משנה אם הוא מכנה את האוביקט "עץ", "קישוא" או "מלפפון חמוץ". הוא מכנה את זה "עץ" משום שככה קל לזכור על מה מדברים או סתם כי ככה נהוג לכנות את האובייקט. מהתוית שהודבקה לאובייקט אי אפשר ללמוד *שום דבר* על התכונות שיש לאובייקט (בהצגה הראשונית של האוביקט, במופע מאוד פרטי שלו כסופי ובעל מספר קטן של צמתים, מצירים משהו על הלוח שיכול באופן אסוציטיבי להזכיר לנו ציור נאיבי של העצים שיש לנו בחצר, אבל פה מתחיל ונגמר הקשר בין מה שהמילה עץ בשפה הטבעית מסמלת לבין מה שהמושג המתמטי "עץ" מסמל).
טרחנים לכאורה מפורסמים 329170
"הסבר לי את הקשר (החורג מגבולות האסוציציה הפרועה) בין המילה "עץ" (במובנה הרגיל) לבין המושג המתמטי המכונה "עץ"."

צמתים ו/או פיצולים.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329189
גם לכסא שלי בחדר יש "צמתים ו/או פיצולים" במובן הזה וזו לא סיבה להסיק מכך איזו תכונה "כסאית" שיש לאיזה עץ חישוב של מ"ט ל"ד. ראיתי לא מעט עצים שאפשר לקבל מהם *אסוציציה* לגרפים שאינם עצים כגון DAG או אפילו גרפים לא מכוונים עם מעגלים. כמו שאמרתי - השם מבוסס על אסוציציה ראשונית בזמן ההכרות הראשונית עם האוביקט המתמטי ה*חדש* והשונה מהאוביקט המסומן בשפה הטבעית (מצירים כמה צמתים וקשתות וזה נראה כמו ציור נאיבי של עץ אשר צויר ע"י מישהו חסר כישרון).

אין לי מושג איזו מתמטיקה זו תהיה, אם התוית השרירותית שנתנו לאובייקט תוכיח משהו לגבי התכונות שיש לו (האם כך עובדת "המתמטיקה המונדית"?).
טרחנים לכאורה מפורסמים 329300
"גם לכסא שלי בחדר יש "צמתים ו/או פיצולים" במובן הזה וזו לא סיבה להסיק מכך איזו תכונה "כסאית" שיש לאיזה עץ חישוב של מ"ט ל"ד. "

נהפוך הוא, אתה יכול להסיק שלכסא שלך יש תבונה "עצית".

"ראיתי לא מעט עצים שאפשר לקבל מהם *אסוציציה* לגרפים שאינם עצים כגון DAG או אפילו גרפים לא מכוונים עם מעגלים."

עם יש באפשרותך לקבל *אסוציציה* מעץ לאלמנט שאינו עץ, הריי ואתה משתמש בתכונת העץ והלא-עץ ומגלה משהו עמוק יותר המקיים זיקה בין העץ והלא-עץ.

זיקה זו אינה יכולה להתקיים אם תכונות העץ והלא-עץ נהרסות בזמן ה*אסוציציה* ביניהן.

כוחה של המתמטיקה-המונדית הוא לשמר את תכונותיהם העצמיות של האלמנטים, המקיימים זיקה ביניהם.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329364
אני חושב שאני מבין עכשיו מה אפשר לעשות עם ''המתמטיקה-המונדית'' ומה אי אפשר לעשות עמה. תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329368
''אני חושב שאני מבין עכשיו מה אפשר לעשות עם ''המתמטיקה-המונדית'' ומה אי אפשר לעשות עמה. תודה.''

אנא שתף אותי בתובנותיך.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329371
אי אפשר ליצור:
1. שפה עם מושגים חד משמעיים.
2. מסגרת פורמלית להוכחת טענות.
3. דרך מוסכמת להכרעת תקפות טענות.

אפשר ליצור:
1. זריקת שברי רעיונות ותובנות לחלל האוויר, בלי דרך להכריע מה לפח ומה לתיקונים.
2. שפה המשתמשת במושגים מתמטיים בתור מבחן רורשאך.
3. דיונים עם אלפי תגובות באייל (דיאלוגים אינטליגנטיים בהם שני אנשים חכמים מדברים עם עצמם).
טרחנים לכאורה מפורסמים 329376
"אי אפשר ליצור:
1. שפה עם מושגים חד משמעיים.
2. מסגרת פורמלית להוכחת טענות.
3. דרך מוסכמת להכרעת תקפות טענות."

הוכח את 1 , 2 ו-‏3
טרחנים לכאורה מפורסמים 329387
הפרך את 1, 2 ו-‏3.

אני חושש שאין לי מה להוסיף לדיון זה. המשך דיון נעים.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329396
"הפרך את 1, 2 ו-‏3."

אין קל מזה.

עיין נא בכל הכתוב בhttp://www.geocities.com/complementarytheory/My-firs...

"אני חושש שאין לי מה להוסיף לדיון זה."

אשמח לדעת את תגובתך לתגובה 328976

תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329423
אני חושש שאין לי מה להוסיף לדיון זה.

תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329810
''אין קל מזה.''

אתה צודק, זה כל-כך קל שאפילו הליום טהור (במצב גזי) כבד מזה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329400
"הוכח את 1, 2 ו-‏3."

אין קל מזה.

עיין נא בכל הכתוב בדיון 1571.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329801
''אין קל מזה.''

אתה צודק, זה כל-כך קל שאפילו הליום טהור (במצב גזי) כבד מזה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329086
לא נעים לי להפריע לך להראות כמה המתמטיקה מטומטמת, אבל:

א) לא קיים שום "פער" בין הקבוצה לבין החסם. בכל "פער" כזה יש עוד אינסוף איברים של הקבוצה.
ב) הרבה פעמים החסם עצמו הוא איבר של הקבוצה (לידיעתך: מקסימום הוא גם סופרימום).
ג) "הוא" (ההגדרות המקובלות) לא מגדיר "שלמות" בשום מובן שאליו אתה מתכוון. מה מונע ממך להבין שבני אדם אחרים מתכוונים לדברים שונים כשהם משתמשים באותן מילים בהן אתה משתמש?
ד) אם אתה חושב שזו הוכחה "ריגורוזית", אתה לא מבין את המונח.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329110
"א) לא קיים שום "פער" בין הקבוצה לבין החסם. בכל "פער" כזה יש עוד אינסוף איברים של הקבוצה."

אינסוף איברים לא משנים את העובדה שאם:

x=1/(n+1)

אז:

|x-0|>0
טרחנים לכאורה מפורסמים 329111
אז?

רק כדי שנדבר באותה שפה: איך אתה מגדיר "פער"?

מה דעתך על ההגדרה השדמיסטית הבאה: "'פער' הוא חור רציף (ששום דבר לא קוטע אותו) בין שתי נקודות"?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329118
"מה דעתך על ההגדרה השדמיסטית הבאה: "'פער' הוא חור רציף (ששום דבר לא קוטע אותו) בין שתי נקודות"?"

"פער" הוא הרצף-המוחלט הגדול מ-‏0, הקיים בין כל שניי אלמנטים מובחנים.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329125
ודבר לא קוטע רצף, נכון?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329150
"ודבר לא קוטע רצף, נכון?"

לא.

לא ניתן "לרסק" רצף באופן מוחלט לאוסף אינסופי מובחן של אלמנטים המקיימים ביניהם תנאי XOR .

במילים אחרות: תמיד מתקיים בין שני אלמנטים מובחנים רצף המקיים תנאי AND בין קצוותיו.

וכפי שאמרתי, נקודה איננה קצה של קטע כי קצה של קטע הוא תכונה בלתי נפרדת מהקטע, ולכל קטע יש אינהרנטית את תכונת הכיוון (ולכן גם לקצה יש אינהרנטית את תכונת הכיוון ותכונה איהרנטית זו היא העומדת בבסיס תנאי ה-AND הקיים בין קצות קטע נתון)

לנקודה אין אינהרנטית את תכונת הכיוון ולכן שתיי נקודות מובחנות, תמיד מקיימות יחס XOR ביניהן.

גם אוסף אינסופי של תת-קטעים אינו יכול להשיג את עוצמת-הרצף של קטע רציף יחיד המשמש להם כ"מצע", כי "שברים" אינם רצף, פשוטו כמשמעו.

כאן אני מדגים בבירור את היתרון שבשמירה ושימוש במשמעות המקורית של מילים, המאפשרת יצירת יקומים מתמטיים מעניינים לאין ערוך ועשירים לאין ערוך, מהתוצאה המבוססת על חטיפת מילים ,ריקונם מתוכנם המקורי, וכפיה של משמעותם ההפוכה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329157
יופי. הבעיה היחידה היא שלא הבנתי על מה אתה מדבר.

שאלתי שאלה פשוטה: האם רצף יכול להיות קטוע לשני חלקים או יותר, ועדיין להיות "רצף"?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329174
"שאלתי שאלה פשוטה: האם רצף יכול להיות קטוע לשני חלקים או יותר, ועדיין להיות "רצף"?"

אם אתה לוקח קטע ושובר אותו, אתה מקבל שניי קטעים מובחנים, שכל אחד מהם הוא רצף.

תכונת הרצף נשמרת גם באינסוף שבירות, כאשר כל שבירה היא תמיד אלמנט מתמטי המיוצג ע"י נקודה, ואינסוף שבירות אין בכוחן לבטל כליל את קיומו של רצף בין שתי נקודות שבירה.

יש לך כאן תכונה של דמיון-עצמי על פני אינסוף קני-מידה, כאשר הדמיון-העצמי הוא קיומו הפרמננטי של קטע.

למעשה, אם נטען שניתן לבטל כליל את הרצף ע"י ריסוקו, הריי שאין לנו מה לרסק יותר, והמשמעות היא שיש לנו רמה סופית של שבירות, וזו בסתירה ליכולתנו לשבור לאינסוף.

לכן קיומו של קטע רציף בין כל שתיי נקודות-שבירה, היא למעשה תכונה אינהרנטית של אוסף אינסופי, ולכן לעולם קיים קטע רציף בין האוסף האינסופי לחסם-ההיפוטטי, ולכן מושג החסם בטל ומבוטל כי הוא לא חוסם את אינטרפולציית השבירות האינסופית.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329175
לקחתי רצף, שברתי אותו ל-‏2. עכשיו הוא כבר לא רצף. יש לי שני רצפים חלקיים לו, אבל _הוא_ כבר לא קיים כרצף. נכון?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329307
"יש לי שני רצפים חלקיים לו, אבל _הוא_ כבר לא קיים כרצף. נכון?"

לא, הרצף ממשיך להתקיים כרצף בכל אחד מהחלקים הנ"ל, ושום תהליך שבירה אינסופי לא מבטל את תכונת-הרצף.

הסיבה היא פשוטה מאוד והיא: אם הרצף "מושמד" כליל אנו מקבלים מערכת בעלת עומק-שבירה סופי, ואז ברור לחלוטין כי אין לנו אוסף אינסופי.

לכן המסקנה הבלתי נמנעת היא שקיומו של אוסף אינסופי תלוי בקיומו של עומק-שבירה אינסופי, כאשר עומק-שבירה אינסופי תלוי בקיומו הפרמננטי של קטע-רציף באינסוף רמות-שבירה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329186
האם לדעתך אפשר לשבור חלק מהישר, כך שמידתו תהא 0?
האם לדעתך אפשר לבנות את קבוצה קנטור? האם היא "רצף" להגדרתך?

ובכלל, מה פירוש "קבוצה משלימה לקבוצה ריקה", בלי הקשר של קבוצה אוניברסלית נתונה? אם הצלחת למצוא פירוש כזה, מה הפירוש של "הקבוצה המשלימה ל-{1}" בלי הקשר של קבוצה אוניברסלית ידועה?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329333
"האם לדעתך אפשר לשבור חלק מהישר, כך שמידתו תהא 0?"

שאלה נהדרת.

תשובתי:

נקודה (אלמנט שמידתו 0) איננה חלק מהישר.

למעשה יש יחס של עצמאיות-הדדית בין ישר לנקודה, המונע את היגזרותם זה מזה.

"האם לדעתך אפשר לבנות את קבוצה קנטור? האם היא "רצף" להגדרתך?"

אם קבוצת-קנטור היא אוסף אינסופי, הריי שאוסף זה חייב להכיל גם נקודות-שבירה וגם קטעים על פני אינסוף רמות של קני-מידה שונים, השומרים על דמיון-עצמי, כאשר הדמיון-העצמי מוגדר ע"י קיומם הסימולטני של קטעים-רציפים AND נקודות-שבירה, ולא פחות מכך.

"ובכלל, מה פירוש "קבוצה משלימה לקבוצה ריקה","

אם אי-תוכן הקבוצה-הריקה הוא ריקנות מוחלטת (המיוצגת כ-{}), אז תוכן הקבוצה-המלאה הוא מלאות מוחלטת (המיוצגת כ-{__}).

__ אינו מכיל בתחומו שום תת-אלמנטים ולכן תחומו אינו ניתן להגדרה במונחים של אוסף.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329116
במיוחד עבורך, דורון, ערכתי מחדש את תגובתי:

סוסלין מתיחס למתמטיקאי בשם זה שהעלה בעיה מענינת, שנודעה כ-"השערת סוסלין" (SH - Suslin's Hypothesis). הבעיה היתה פתוחה כמה עשרות שנים עד שכהן המציא את המילרוך ב-‏1960 ואז הוכח ש-SH לא-קרוזה ב-ZFC (כתמיד, בהנחת ש-ZFC מורבזת). להשערה:
קח מקש לפן בירקלי S. נניח שהוא
(1) בלי איבר מימר ביותר או שישר ביותר.
(2) ברוג: לכל שני איברים יש איבר בניהם.
(3) סוטק: לכל צירשה יש אזח עליון ותחתון. אזח עליון לצירשה הוא האיבר המימר ביותר השישר מכל האיברים בצירשה. תחתון אנאלוגי.
(4) קולמוגי: יש צירשה Q בת-נמיה ופצופה בטופולוגית הסדר על S. דהיינו, לכל שני איברים ב-S יש בניהם איבר ב-Q.

מן המפורסמות היא ש-S כזו חייבת להיות איזומורפית ל-R, הממשיים עם יחס הסדר הרגיל (תרגיל: הוכח).

השערת סוסלין:
אם S מקיימת (1)-(3) וגם

(4') כל צירשה של נברים חונים זרים היא בת-נמיה.

אז היא איזומורפית ל-R (תרגיל: הוכח (4) => (4')).
דרישה (4') נקראת בדר"כ MFC - Mongoose-girl fkain condition, אם כי מן הראוי היה לשים antifkain במקום fkain.

אחרי שכתבתי כל זאת, נשאלת השאלה למה לא הפניתי לויקי:

כנראה בגלל שהם כותבים שם בשפה מוזרה חסרת מרחב גישור.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329122
סוף סוף הצלחתי להבין על מה אתה מדבר, חוץ מהמילה ''איבר'' שהשתרבבה הנה, כנראה מהודעה אחרת שכתבת על צ'יצ'ולינה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329130
לא זכור לי שכתבתי על האיטלקיה שאת שמה קצת קשה לי לבטא. בכל אופן, לכבוד הוא לי לשרבב את האיבר.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329233
מעניין שהמלה ''איבר'' מיד מזכירה לך את צ'יצ'ולינה...
טרחנים לכאורה מפורסמים 329123
"במיוחד עבורך, דורון, ערכתי מחדש את תגובתי:"

יפה.

עכשיו הסבר לנו מהו ההבדל בין התובנות השונות, המבוטאות כ-"אזח" ו-"חסם"?

תודה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329127
ההבדל הוא שבעזרת המילה ''חסם'' אורי יכול לתקשר עם שאר העולם, בעוד שאת הגדרת המילה ''אזח'' רק הוא מכיר.

באותה מידה, עם המילים ''קבוצה'' ו''עוצמה'' בני אדם יכולים לתקשר ביניהם, בעוד שרק אתה מכיר את המילים ''מרחב-גישור'' ו''יתירות''.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329128
אזח היא לצירשה מה שחסם הוא לקבוצה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329137
"אזח היא לצירשה מה שחסם הוא לקבוצה."

האם יש סיבה מדוע מתמטיקאים השתמשו במילה "חסם"?

האם באותה מידה אפשר היה להשתמש במילה ההופכית "פתח" כדי לתאר
את אותה תובנה שמתמטיקאים רוצים לשתף אחד עם השני, במקרה הנדון?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329142
אפשר להשתמש בכל מילה להעביר את התובנה הנ''ל. הרבה פעמים במאמרים מגדירים את תכונה וקוראים לה ''יפה'' או ''נחמד''. יש הרבה שמות מקובלים שאין הרבה קשר בינם לבין משמעות המילה בחיי היומיום, למשל חבורה, חוג. לפעמים הקשר ברור יותר כמו ב''מרחב'', אבל אף פעם המשמעות לא זהה לזו היומיומית.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329159
"יש הרבה שמות מקובלים שאין הרבה קשר בינם לבין משמעות המילה בחיי היומיום, למשל חבורה, חוג. לפעמים הקשר ברור יותר כמו ב"מרחב", אבל אף פעם המשמעות לא זהה לזו היומיומית."

אורי, הרי לא היית משתמש במילה "פתח" לתיאור התובנה המתמטית הקשורה היום למילה "חסם".

לכן אשאל אותך שוב, מדוע השתמשו במקרה הנדון במילה "חסם" ולא במילה ההופכית "פתח"?
סייג לחוכמה שתיקה 329172
תרתי משמע, במקרה הזה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329245
למילה "חסם" יש אסוציאציות שונות בשפת היומיום מאשר למילה "פתח". בחירת המילים אינה שרירותית. ומה בכך? הרי גם שמות המשתנים בתוכנית שאני כותב נבחרו באופן שיקל עלי את זכירתם והשימוש בהם, ובכל זאת אפשר לשנותם והתוכנית לא תושפע.
כבר אמרתי שלפעמים נבחרות מילים ללא כל קשר בין ההגדרה המתמטית ליומיומית. לפעמים יש קשר אבל יש בו מידה של שרירותיות. לדוגמא: בתורת המידה מגדירים מהי העתקה "מערבבת" ומהי העתקה "ארגודית". למילה מערבבת יש משמעות יומיומית ולארגודית אין‏1. באותה מידה היינו יכולים להגדיר אותן הפוך.

1 באה מיוונית:
ergon - עבודה
hodus - דרך
טרחנים לכאורה מפורסמים 329326
"למילה "חסם" יש אסוציאציות שונות בשפת היומיום מאשר למילה "פתח". בחירת המילים אינה שרירותית. ומה בכך? הרי גם שמות המשתנים בתוכנית שאני כותב נבחרו באופן שיקל עלי את זכירתם והשימוש בהם, ובכל זאת אפשר לשנותם והתוכנית לא תושפע."

האם את מכוון לומר בפשטות שה*חסם* במובנו המתמטי אינו חוסם דבר?

אם כן, אז באיזה אסוציאציה מדובר?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329079
אמר כבר מי שאמר: "מתמטיקאים הם כמו צרפתים. כל דבר הם מתרגמים לשפתם המיוחדת, ובה יש לזה משמעות שונה לגמרי."

אכן, כל מילה במתמטיקה מדויקת כתער, אבל לא תמיד משמעות המילה אצל המתמטיקאים זהה למשמעות בקרב אנשים נורמלים. מבחינה פרקטית, הדרישה ממתמטיקאים להמציא לכל מושג מילה חדשה היא לא סבירה. מתמטיקאים לא יוכלו לנסח כך רעיונות או לתקשר. לכן כדאי שתפנים: כאשר אומרים מילה כלשהי בהקשר מתמטי, משתמשים בהגדרתה המתמטית ובהגדרה זו בלבד. המתמטיקאים, מצדם, מתחייבים שהגדרה זו תהיה מדויקת לגמרי.

בחן בבקשה את הקבוצה הבאה: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6...
האם היא סופית? (לא)
האם היא חסומה? (כן, משני הצדדים)
תודה רבה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329082
"בחן בבקשה את הקבוצה הבאה: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6...
האם היא סופית? (לא)
האם היא חסומה? (כן, משני הצדדים)
תודה רבה."

הוכח ש-‏0 חוסם את האינטרפולציה האינסופית המתקיימת בקבוצה הנ"ל.

תודה רבה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329092
בבקשה:

n>0
1>0
נחלק את אי-השיוויון השני במספר החיובי n:
1/n>0
מכאן, כל איברי הסדרה חיוביים.

כמו כן:
n>=1
נחלק את אי-השיוויון במספר החיובי n:
n/n>=1/n
1>=1/n
מכאן, כל איברי הסדרה קטנים או שווים ל-‏1.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329102
"מכאן, כל איברי הסדרה קטנים או שווים ל-‏1"

מה זה קשור לטענה ש-‏0 הוא חסם של
x=1/n

הריי ברור לגמריי ש:
|x-0|>0

טרחנים לכאורה מפורסמים 329107
בהתחלה הוכחתי את הטענה ''כל איברי הסדרה חיוביים''. אח''כ החלטתי לנצל את ההזדמנות ולהוכיח שהקבוצה חסומה גם מלמעלה (החל מהמילים ''כמו כן'').
טרחנים לכאורה מפורסמים 336105
"כל איברי הסדרה חיוביים"

אז אתה מתאר תכונה מסויימת המשותפת לאוסף איברים, אבל אין כל קשר בין תכונה זו לגודל הקבוצה המקיימת תכונה זו, ולכן אינך יש לחקור את מושג האוסף האינסופי ללא כל קשר לתכונות המשותפות לאיברי האוסף.

מתוך נקודת השקפה זו עולה כי 0 לא חוסם את אינסוף איברי הסדרה, כי לעולם מתקיים פער בין איברי הסדרה ל-‏0.

למעשה, ללא קיומו הפרמננטי של פער זה הייתה הסדרה סופית בהחלט.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329091
"לכן כדאי שתפנים: כאשר אומרים מילה כלשהי בהקשר מתמטי, משתמשים בהגדרתה המתמטית ובהגדרה זו בלבד."

אייל צעיר, הגדרות ללא תובנה אין להם כל ערך.

עם אתה לוקח מילה בעלת משמעות ומשמיד את המשמעות שלה, אתה למעשה משמיד תובנה היכולה לשמש אותך רבות.

ההשמדה השיטתית הזו של משמעויות קימות במקום להמציא מילים חדשות לתובנות חשדות, דומה לעקירה חסרת הבחנה של יער טרופי על מגוון צמחיו, והקצאת שטחי האדמה המבוראים לגידולים חקלאיים.

הרס וברוא השפה הטבעית המתפתחת לה לאיטה במשך אלפי שנים, וריקון התובנות המצטברות ע"י אינוסם בידי אנשים חסרי דמיון, שאינם יכולים להמציא את שפתם בכוחות עצמם, הינו מעשה שלא צריך לעבור עליו בשתיקה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329098
"הגדרות ללא תובנה אין להם כל ערך"

אני מסכים איתך.

מצד שני, אני מבין (בתובנתי) למה את המתמטיקאים עניין המושג, שאנו קוראים לו היום "גבול". אני גם מבין למה הם העדיפו לקרוא לו גבול ולא "פחרציטון". עד שבא דורון שדמי ואמר "לפונקציה אינסופית יש גבול? השתגעתם?"

הבעיה היא שלהרבה מושגים שהמתמטיקאים מבינים בתובנתם אין מילים שיתארו אותם. לכן הם שואלים מילים מתחומים אחרים. אתה מתעקש לקרוא את המילים לפי משמעותם המקורית. לכן אתה מסיק מסקנות שגויות.

מה שמשעשע במיוחד, זה שאתה נותן למילים משמעויות שרחוקות מאוד ממשמעותן האינטואיטיבית ("קבוצה", "שלם"). אחר כך אתה מתרגז על מי שמשתמש בהם במשמעות אחרת כי זו "לא המשמעות המקורית" (אתה כועס על אורי שמגדיר "שלמות" אחרת ממך, בשעה שלאף אחד אין מושג למה אתה קורא "שלם").

"הרס וברוא השפה הטבעית המתפתחת לה לאיטה במשך אלפי שנים, וריקון התובנות המצטברות ע"י אינוסם בידי אנשים חסרי דמיון, שאינם יכולים להמציא את שפתם בכוחות עצמם, הינו מעשה שלא צריך לעבור עליו בשתיקה."

אני מציע לאסור בחוק על עיסוק במתמטיקה. 3 שנות מאסר לכל מי שיעסוק במתמטיקה. 10 שנות מאסר נוספות לפלטוניסטים.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329178
''מה שמשעשע במיוחד, זה שאתה נותן למילים משמעויות שרחוקות מאוד ממשמעותן האינטואיטיבית (''קבוצה'', ''שלם''). ''

הוכח נא שהמשמעות שאני נותן למילים אילה רחוקה ממשמעותן המקורית.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329183
שלם היה מוגדר בוודאי כ''לא שבור'' או ''שאין בו פגם'', ולא כ''מכסה את הרצף''. אני אהיה מאוד מופתע אם לא תסכים איתי על זה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329335
''אני אהיה מאוד מופתע אם לא תסכים איתי על זה.''

אני מופתע מאוד שאתה מסכים איתי, אך לא מודע לזה שאתה מסכים איתי.

אם משווים בין קטע-רציף לקטע המכיל נקודת-שבירה, אנו רואים מייד שמבחינת האורך המצטבר לא חל כל שינוי, אך מבחינה מבנית, קטע לא-שבור שונה לחלוטין מקטע שבור.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329346
" אני גם מבין למה הם העדיפו לקרוא לו גבול "

שתף נא אותנו בהבנתך והסבר נא מדוע מתמטיקאים בחרו את המילה "גבול" כדי לתאר משהו שאין לו גבול?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329397
''אני מציע לאסור בחוק על עיסוק במתמטיקה.''

אני מציע להפוך את המתמטיקה לשפת התודעה עצמה.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329106
>הריי יש לנו אינסוף איברים בקבוצה וברור לחלוטין שהיא מקיימת אינטרפולציה אינסופית בין אבריה המובחנים, ואינטרפולציה זו אינה מושפעת כהוא זה מקיומם או אי-קיומם של החסמים.

אנא הוכח את טענתך.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329131
"אנא הוכח את טענתך."

מושג האינסוף מופיע בשתיי קטגוריות נפרדות:

קטגוריה אחת הינה אוסף בעל אינסוף איברים מובחנים.

קטגוריה שניה הינה רצף מוחלט ואינסופי כאשר אינסופיותו היא גם מבנית (שום תת-אלאמנטים לא "שוברים את" רציפותו) ויכולה להיות גם עוצמתית (כאשר עוצמה = oo).

שום אוסף אינו יכול להיות רציף (מעצם הגדרתו) או להשיג את העוצמה oo .

לסיכום, כל אינטרפולציה אינסופית של תת-אלמנטים ("שבירות" מובחנות-היטב) למעשה מרחיקה את האוסף האינסופי מעוצמת-הרצף, ומדגימה בבירור את השוני המהותי שבין שתיי הקטגוריות של מושג האינסוף.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329134
>כל אינטרפולציה אינסופית של תת-אלמנטים ("שבירות" מובחנות-היטב) למעשה מרחיקה את האוסף האינסופי מעוצמת-הרצף

אנא הוכח את טענתך.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329171
''אנא הוכח את טענתך.''

רק לרצף יש את עוצמת-הרצף, פשוטו כמשמעו.

שבירה אינסופית של רצף היא האנטיתיזה של רצף.

כפי שאתה רואה אורי, אני משתמש בפשטות בתובנותיהן המקוריות של מילים, ורק מרוויח מפשטות זו.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329247
>רק לרצף יש את עוצמת-הרצף, פשוטו כמשמעו.

אנא הוכח את טענתך.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329301
"אנא הוכח את טענתך"

א) הרצף-המוחלט (הבלתי-מורכב, האטומי וכו') המיוצג ע"י אלמנט > 0 , הינו אקסיומה, כאשר האקסיומה המשלימה הינה הבדידיות-המוחלטת, המיוצגת ע"י אלמנט אטומי (בלתי-מורכב) השווה בדיוק ל-‏0 .

המלאות-המוחלטת והריקנות-המוחלטת הם מושגי-היסוד הבלתי משתנים העומדים בבסיס מרחב-הגישור שבין הרצף-המוחלט להבדידיות-המוחלטת, כאשר התודעה עצמה משמשת כפונקציית-הגישור בין הרצף-המוחלט לבדידיות-המוחלטת, ותוצאות גישור אלה מתקיימות (וניתנות למיון) בין גישור מקבילי לחלוטין לבין גישור סדרתי לחלוטין.

המתמטיקה-המונדית עוסקת בחקירת מרחב-הגישור.

כידוע היטב, אקסיומה אינה ברת-הוכחה, אלא צריכה להדגים את יכולתה להיות עצמאית-הדדית ועקבית במסגרת מערכת אקסיומות נתונה, המאפשרת יצירת מרחב חקירה לא-טריוויאלי, ומרחב-הגישור הנ"ל מדגים בבירור כי המתמטיקה-הרגילה מבוססת על פונקציית-גישור סדרתית בלבד.
טרחנים לכאורה מפורסמים 329302
איפה באקסיומות שלך יש משהו על "עוצמת הרצף"?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329338
תוכן הקבוצה המלאה הוא הרצף בכבודו ובעצמו, ואין בילתו!
טרחנים לכאורה מפורסמים 329339
תוכן הקבוצה המלאה הוא הרצף בכבודו ובעצמו, ואין בילתו!
טרחנים לכאורה מפורסמים 329342
ומה זה "עוצמת" הרצף?
טרחנים לכאורה מפורסמים 329351
עומצת-הרצף שקולה לתכונה ה*מבנית* של הרצף, ותכונה מבנית זו נעדרת כליל מאוסף.

לכן לאוסף אין את עוצמת-הרצף, כי אוסף מכיל בתחומו תת-אלמנטים ואילו רצף אינו מכיל בתחומו תת-אלמנטים ולכן יש לו את עוצמת-הרצף.
בבקשה, יותר לאט 329352
לא הבנתי את מה שכתבת. אם אתה בוחר להשתמש בשפה משלך, ההגינות מחייבת אותך להסביר לנו את המושגים בהם אתה משתמש. למשל, כשאתה אומר "עוצמת הרצף" למה אתה מתכוון? מה זה "עוצמה" אצלך?
  בבקשה, יותר לאט • דורון שדמי • 11 תגובות בפתיל
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל-גורביץ' • 4 תגובות בפתיל
  טרחנים לכאורה מפורסמים • אורי גוראל-גורביץ' • 11 תגובות בפתיל

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים