יופי 316831
מאמר מעניין ובהיר, כצפוי. הוא מרגיש לי כמעין סיכום לשיחתנו בדיון על אלוהים והקוביות. אני חושב, גם כן כצפוי, שאתה מפספס משהו מאוד חשוב.

להרבה אנשים, כשהם לומדים או שומעים על משפט גדל, יש ההרגשה שהוא מצביע על איזושהי אמת עמוקה ורלוונטית יותר מאשר לתחום המתימטיקה. האנשים האלה עשויים להיות חוקרי ביקורת הספרות, מאזיני היפ-הופ צעירים וגם פילוסופים מעמיקי-חשוב.
משפט גדל הוא משפט בלוגיקה פורמאלית. בגלל שההשלכות שלו חורגות, לדעת רבים, מתחומה המצומצם של המתימטיקה, נוטים אנשים לנסח את מסקנותיהם ממנו בשפה לא פורמאלית, או בטיעונים שאינם ריגורוזים מספיק. ניסוחים אלה גוררים זלזול וביטול מקרב אנשים שפורמאליות חשובה בעיניהם, והם מתייחסים למסקנות כאל נפנופי ידיים אסוציאטיביים ולא טורחים להתייחס לגוף הטענה. וזה חבל.
אין ספק שבדיון פילוסופי יש חשיבות רבה לניסוח בהיר ופורמאלי של טיעון. אבל העדרו של ניסוח כזה אינו מהווה הוכחה להיות הטיעון שגוי. בנושא כמו משפט גדל, שמדבר על המוגבלות של מערכות פורמאליות (לא כולן, אולי), אין פלא שקשה לנסח את ההשלכות בצורה פורמאלית.

*******

אני חושב ששנה הבאה תהיה שנת המאה להולדתו של גדל ושמעתי שלפחות באוניברסיטה העברית יהיו כל מיני דברים לכבוד זה. אז נראה לי שאפשר להכריז בזאת על פתיחת עונת גדל באייל?
יופי 316835
אם אותם פילוסופים עמוקי חשוב או מאזיני היפ הופ צעירים רוצים לומר משהו - מצוין. הם מוזמנים לומר. לשם מה הם צריכים להיתלות באילנות לא רלוונטיים לשם כך? אם יש חכמה בדבריהם היא תישמע גם מבלי לתלות את הדברים בגדל.
הפורמליות של משפט גדל היא לא בשוליים. היא המהות.

ומשהו אחר:
בדומה ל abuse שעושים למשפט גדל, נראה שתורת היחסות ("הכל יחסי") ועיקרון אי הוודאות, זוכים ללא פחות התעללות. וגם כאן, מותר לדבר על יחסיות בפילוסופיה כמו גם על אי וודאות, אבל אין צורך להגיד ש"הכל יחסי כי איינשטיין אמר".
יופי 316914
איזו התעללות עובר עקרון אי הודאות?
יופי 316918
מהסוג של ''אין אמת מוחלטת... אין מציאות אחת... המציאות אינה מוחלטת...'' ושאר שיחים פוסט מודרניים.
יופי 316921
או למשל ''אפילו גדולי המדענים טוענים שהמדע לא יכול לגלות הכל''.
יופי 316923
שלא לדבר על ''הצופה משפיע על תוצאות הניסוי, ולכן אין אפשרות לדבר על אמת אובייקטיבית''.
יופי 316929
זה עוד כלום. מה עם "המתודולוגיה המדעית נכשלה, והותירה פער שרק הסתכלות של האדם פנימה יכולה למלא. רק דרך ההכרה ניתן להכיר את היקום."?
יופי 317006
ומה תגידו על "אפקט הפרפר"...?
(או על הבחור שניסה לא מזמן להרשים בנוכחותי את ידידותיו בגילוי: "אתן יודעות שהסרט מבוסס על תאוריה של פרויד"...? תגידו לי, איך הייתי אמורה *להתחיל* להסביר למה אני מתגלגלת על הרצפה מצחוק?...)
יופי 317456
אשמח אם תצליחי להסביר *לי* למה את התגלגלת מצחוק. ואם אפשר - להימנע מלגחך גם עליי.

לדעתי בסרט בולטת מאוד הגישה הפרוידיאנית, שנגזר על אדם לשחזר את שגיאותיו (ואת שגיאות הוריו) במהלך חייו. ואם נוסיף לכך את התקווה שמודעות לשורש הבעייה אי־שם בילדות מאפשרת להשתחרר ממנה, לא נותר ספק שהתסריט מכיל התייחסות מודעת לפסיכואנליזה.
בלבלות 317494
כנראה שלא הבהרתי את עצמי. הבן אדם חשב שהתורה ממנה נגזר הרעיון עצמו של *אפקט הפרפר* היא של פרויד. מכאן ההתגלגלות. חשבתי שכוונתי מובנת, שהרי לא דיברנו על הסרט הזה אלא על התופעה- שבגלל שהכל, כולל מדע, שייך כבר ל"תרבות הפופ" (מגמה חיובית באופן כללי, לדעתי), כל טמבל ששמע על איזו תורה מסרט ויודע איזה שם חשוב, מחבר ביניהם אוטומטית ע"מ שישמשו את המטרה שלו (למרות שבמקרה הזה לא מדובר באיזה אג'נדה מורכבת, אלא רק בלהרשים כמה בנות). בסופו של דבר, לבחור בדוגמה הנ"ל אין בעצם מושג מי הגה את הרעיון של אפקט הפרפר ומה בעצם הוא אומר במקור, וכנראה שגם לא מתמצא במיוחד במפעלו של פרויד.
על אי-הבהירות אני מתנצלת.
כהערת שוליים- גם אז לא צחקתי על הבחור ההוא- הצחיק אותי המצב; ובהחלט גם עלייך אינני מגחכת.
בלבלות 317511
אולי הוא חשב ש''אפקט הפרפר'' פירושו ''האפקט שיש ל''פרפר'' על הבחורות בסביבתו''...
בלבלות 317647
אם את כל כך חכמה- מי (בלי גוגל) באמת הגה את "אפקט הפרפר"?
בלבלות 317818
אדווארד לורנץ. לא כל-כך חכמה, יותר סקרנית. עם זיכרון טוב. ומדען בתור אבא. (חכמה היה אומר שאני גם מבינה את תורת הכאוס יותר מבצורה בסיסית ביותר- מה שלא נכון).
1:0 לטובתך 317821
1:0 לטובתך 317834
אני משתדלת... :)
1:0 לטובתך 317838
עכשיו שהנושא הוסדר, שאלה אחרת- נניח שאותו בחור היה אומר שהסרט מבוסס על תורתו של *לורנץ*, לא היית גם פורצת בציחקוקים?
1:0 לטובתך 317848
זה כבר תלוי בשאלה אם היא מ''ט או לא.
1:0 לטובתך 317859
תראה... כן, אבל לאו דווקא בגלל הסרט עצמו. הוא לא ניסה להגיד שהסרט מבוסס על זה, הוא רק חזר על משהו שהוא שמע (או אולי יותר מדבר אחד שהוא שמע וערבב בראש), בצורה ריקה לחלוטין... אני בזמנו עוד לא ראיתי את הסרט ואני חושבת שגם הוא לא, לפי המשך השיחה שהייתה.
מאז ניסיתי לראות את הסרט פעמיים, והוא הצליח לשעמם אותי כל-כך שאין לי מושג מה קורה בו בסופו של דבר. אבל מהמעט שראיתי, בתור "השאלה ספרותית" של הרעיון *הפואטי* באפקט הפרפר (ובהחלט יש משהו יפה ברעיון הזה), אני מבינה למה השתמשו בזה, וזה אפילו לא מצחיק אותי, זה בעיקר חבל לי- לדעתי זה יכל לשמש כותרת לסרט טוב בהרבה (עם רעיון דומה אולי, וביצוע אחר לחלוטין).
1:0 לטובתך 317865
למעשה, הסרט די נוגד את העקרון שבשמו הוא נקרא. הרעיון הוא ששינויים קטנים בתנאי ההתחלה יגרמו לשינויים גדולים בתוצאות. בסרט מודגם בעיקר איך שינויים *עצומים* בתנאי ההתחלה גורמים לשינויים גדולים בתוצאות.
1:0 לטובתך 317887
כשאני חושבת על זה, אתה צודק.
הסרט עצבן אותי כנראה ברמות כל-כך בסיסיות שלא חשבתי בכלל על הקשר בינו לבין התופעה על שמה הוא קרוי‏1. כמו שאמרתי, אפילו לא הצלחתי לסיים אותו, ובאמת שננתי לו צ'אנס- פעמיים.
אם הבנתי מאחרים, הסרט סותר את העקרון בכלל- הגישה בו היא שמה שלא משתנה, הגורל שלהם הוא לסבול כל עוד הם ביחד (זה נכון? ככה הבנתי מאחרים שראו). אם זה באמת כך, אין שום קשר בין הסרט הזה, בו אפילו השינויים הגדולים לא מזיזים כלום (מבחינת גורל, במקרה הזה), לבין "אפקט הפרפר", על-פיו כל דבר קטן יכול לשנות הכל...
אבל שוב, אני אפילו לא בטוחה שאני צודקת בהקשר הזה. באמת באמת שזה פשוט סרט משעמם, חטא שבסרט הוא אחד הגדולים, לדעתי, המאפיל על כל השאר.

____________

1 קרוי זו מילה נכון? ככה כותבים אותה? (פתאום נראתה לי מוזרה)
1:0 לטובתך 317903
אני דווקא מאוד נהניתי מהסרט, אולי זה עניין של טעם.

(ספוילרים ל"אפקט הפרפר" החל מעכשיו)
להגיד "הגורל שלהם הוא לסבול כל עוד הם ביחד" נשמע לי כמו פרשנות עקומה מאוד, למרות שבפועל הסרט מסתיים כאשר הגיבור מבין שהדרך הטובה ביותר למנוע את כל הצרות היא למנוע את הידידות שלהם כבר מגיל צעיר.

אז למה האמירה לא נכונה? ראשית כי רוב הזמן הם בכלל לא בייחד. רק בפעם אחת (שבה בגלל הסבל של מישהו אחר גם הם סובלים בסופו של דבר). בשאר הפעמים אחד משניהם סובל (או מת), אבל הם לא בייחד ממילא.

שנית, כי אני נוטה לפרש את המסר של הסרט ככזה שיוצא נגד מושג ה"גורל", אבל לא הולך לחלוטין לכיוון השני. הוא מראה שהגיבור מסוגל לשלוט על הגורל שלו עד רמה מסויימת, אבל שלנסיונות השליטה הללו יש מחיר, והוא אף פעם לא ישלוט בהם עד הסוף. נכון, יש אספקט של דטרמיניזם, אבל באותה מידה אפשר לומר שהגורל שלי קבע שאני אף פעם לא אחטיף בוקס לנפוליאון.

למרבה הצער, אני חושב שהבמאי לא הסכים איתי בקשר ל"גורל" לפי מה שהבנתי שקורה בגרסת הבמאי. (ממה שהבנתי, הגיבור מגיע למסקנה שה"גורל" שלו היה לא להיוולד כלל, ולכן הוא חוזר ללידה שלו והורג את עצמו. נשמע איום ונורא).
1:0 לטובתך 317909
כמו שאפשר היה לנחש, אני דווקא אהבתי את הסרט מאוד. לטעמי הוא העביר בהצלחה גישה מקובלת בפסיכולוגיה על שחזור של יחסים חולניים, מאב לבן ובמשך החיים.

גם שמו של הסרט מוצלח למדי; בחירה קטנה ויומיומית של ילד כמו לישון אצל חברים מובילה לסיפור חיים שונה; עם זאת, ה"גורל" הבסיסי נותר ללא שינוי - עד לסוף הסרט. זה מזכיר מעט את "מושך לורנץ", בו שינוי קל בתנאי ההתחלה מוביל למסלול חדש לחלוטין - תוך שמירת צורת ה־8 האופיינית. מעבר לכך, מופיע דימוי צורני יפה של הפרפר אל המוח ואל כתמי רורשך.

חוץ מזה, איך זה שאשטון קוצ'ר לכשעצמו אינו מקור לעניין בסרט??

ולשאלתך: בעברית המקראית שמוּר הוא מה ששומרים. קרוּא הוא מה שקוראים לו. בעברית המשנאית האל"ף האילמת נוטה להיעלם ומגיעה הצורה היותר מקובלת קרוּי. דוגמה נוספת: מילוי של פחזנית ומילואים בעזה.
1:0 לטובתך 317911
לא מסכים (ספוילרים ל"אפקט הפרפר").

הבחירה של הילד היא לא "לישון אצל חברים". הבחירה היא לבוא לבקר אצלם. התוצאה של החוויה הפדופילית שהגיבור עובר לא ניכרת בו במיוחד (הוא לא ממש זוכר אותה), ועיקר ההשפעה היא אצל הבן והבת של הפדופיל, שברור שההתעללות שלו בהם היא רציפה ולא מאורע בודד. החשיבות של אותו ביקור של הגיבור אצלם היא שבחזרות שלו לאותה סצינה הוא מסוגל לשנות את המשך התגלגלות העניינים. בפעם הראשונה הוא מפחיד את האבא (לא מאורע קטן ויומיומי אלא משהו שהוא היה צריך מוח של אדם בוגר כדי לבצע) וגורם לכך שהוא יחוס על הילדה ויתעלל בילד עוד יותר. בפעם השנייה הוא מפוצץ את הילדה (מאורע יומיומי?).

כלומר, מה שגורם לשינויים ומוביל לסיפור החיים השונה הוא דווקא שינוי חריף מאוד, לא משהו יומיומי.

אגב, מהו "הגורל הבסיסי", לדעתך?
1:0 לטובתך 317920
אני חושש שאתה זוכר את הסרט טוב ממני (אם כי לפחות ההחלטה האחרונה בסרט היא מאוד יומיומית), וניסחת את הדמיון והשוני בין קווי העלילה החלופיים היטב בתגובה 317903. אני זוכר שמשותפת להם תחושה של החמצה, ניכור, וחוסר שליטה - זאת לעומת ההליכה המחויכת הבוטחת והשלמה עם עצמה, שבסצנה המסיימת.
1:0 לטובתך 317923
הגורל הבסיסי הוא, כמובן, ''אינסטיקט בסיסי''.
למדתי משהו- אז עכשיו 1:0 לטובתי 317962
תודה רבה על העברית :)
בעניין הסרט, אין מה לעשות, יש פה עניין של טעם- ואותי אישית קוטצ'ר לא הרשים במיוחד (לא שיש לי טענות גדולות מדי כלפיו, בסך הכל עשה את עבודתו)- אבל אני יכולה להבין למה אנשים אהבו את הסרט.
לגבי השימוש בפרפר בתור דימוי- כבר הסכמתי שהוא יפה ואף פואטי, עם או בלי הקשר מדעי. :)
יופי 318286
"את יודעת שהסרט מבוסס על תאוריה של לפלאס ?"

יופי 316942
אפשר הסבר לבורים לגבי למה זה לא נכון? לי היה נדמה שלהגיע למסקנות כאלה כתוצאה מניסוי שני הסדקים זה לא כזה מופרך
יופי 316945
שלא לדבר על החתול של שרדינגר.
יופי 317050
הפרשנות הפיזיקלית לניסוי 2 הסדקים אומרת שאי אפשר ל"דעת" דרך איזה סדק חולף הפוטון אלא באמצעות תפיסתו באחד מהם. אם לנסות לדייק, צריך להגיד שלכלל הלוגי האינטואיטיבי שלנו האומר שהפוטון בהכרח חלף דרך סדק זה או משנהו אין חלות בתחום הפיזיקה. אם רוצים לקבל תוצאות "אמת" צריך דוקא להניח שהחלקיק עבר דרך שניהם. אם תשימי גלאים בשני הסדקים, והפוטון ילכד באחד מהם, אז ורק אז, תקבלי "אמת" פיזיקלית משמעותית האומרת היכן נלכד הפוטון. (כדאי מאוד לקרוא את סדרת המאמרים המצויינים של ירדן דיון 1177 כדי לקבל הבנה אמיתית שלהניסוי הנ"ל).
לפנייך מערכת הפועלת באופן זהה למעשה לפורמליזם המתמטי שהציג אלון ומגדירה בצורה ברורה מאוד מהי "אמת" פיזיקלית מדידה, מה אינו אמת כזאת ומה בלתי ניתן להכרעה במסגרת האקסיומות והפורמליזם של המתודה.
במדעי החברה המצב שונה. שם באמת קשה בד"כ לזהות ולבודד אמיתות אובייקטיביות מוחלטות.
לכן לומר שמן המדעים המתמטיים אפשר להוכיח שאין אמת מוחלטת והכל סובייקטיבי הוא מופרך. (אחרי הכל, אחד מהעקרונות הבסיסיים של המדע אומר שלא משנה מי ולמה מציב את הגלאי בסדק. התוצאות חיבות להיות זהות(=הדירות).
יופי 317064
"הפורמליות של משפט גדל היא לא בשוליים. היא המהות."
משפט גדל אומר משהו (זה ניתן לוויכוח) *על* הפורמליות. הוא מדבר על המוגבלות של הבעה פורמלית. כך שהפורמליות שלו היא אמנם מהותית במובן מסויים, אבל האי-פורמליות או חוץ-פורמליות של השלכותיו, גם הן מהותיות.
יופי 316870
לי נדמה שעיקר הקצף יוצא לא על אנשים שמנסחים את טענותיהם בשפה לא פורמלית, אלא על אנשים שמייחסים למשפט גדל משמעות שלא קיימת בו בכלל. זו גישה שניתן לראות לעתים בדיונים - אנשים שמתבססים על כך ש"הוכיחו" משהו, במתמטיקה או בפיזיקה, ולכן הוא נכון ואפשר להשתמש בו כדי להצדיק אלף ואחד דברים - אבל הם לא משתמשים במה שהוכיחו, אלא במין גרסה פופולרית לציבור הרחב שלו, שמה שהיא אומרת לא קשור בכלום לדבר המקורי. נראה לי שזה בדיוק מה שאלון דיבר עליו כאן.

אגב, דוגמה לטיעון לא ברור (לדעתי, אולי אני טועה) הוא "בנושא כמו משפט גדל, שמדבר על המוגבלות של מערכות פורמאליות (לא כולן, אולי), אין פלא שקשה לנסח את ההשלכות בצורה פורמאלית". לא ברור לי למה בגלל שמדברים על משפט גדל אין פלא שקשה לנסח את ההשלכות בצורה פורמלית (האם זה קשה? אני לא חושב שזה קשה יותר מאשר קשה לנסח "השלכות" באופן כללי בצורה פורמלית).
יופי 317063
"דוגמה לטיעון לא ברור הוא "בנושא כמו משפט גדל, שמדבר על המוגבלות של מערכות פורמאליות (לא כולן, אולי), אין פלא שקשה לנסח את ההשלכות בצורה פורמאלית""

הציטוט הנ"ל מתגובה קודמת שלי אינו מהווה טיעון. הוא בעיקר מביע את התסכול מהמונופוליזציה שעושים מתימטיקאים למשפט גדל, מונופוליזציה שמרוקנת אותו מתוכנו המטא-מתימטי.

____

משפט גדל עוסק, בין השאר, בהבחנה בין מה שניתן לחישוב לבין מה שלא ניתן לחישוב. בין מה שמוגדר היטב (עד כדי פורמאלית) ומה שנובע לוגית ממה שמוגדר היטב, לבין מה שלא עונה על הקריטריונים האלה.
גם הפילוסופיה הלא-פורמאלית היא מדע נוקשה יחסית. אתה לא יכול להגיד סתם כל דבר, אלא אתה צריך להראות איך מה שאתה אומר נובע לוגית מההנחות שלך, שהן צריכות להיות מוגדרות היטב. הלוגיקה הפורמאלית היא לקיחה לקיצוניות של הנוקשות הזאת בפילוסופיה.
פילוסופים כמו לייבניץ חשבו שבשלב מסויים נוכל לפרמל את כל הפילוסופיה ואז ידיעת האמת תהיה תהליך מכאני לחלוטין. כיום, בפילוסופיה האנליטית האנגלו-סכסית ניתן לראות את ההדים של החשיבה הזאת. הרעיון שמשפט גדל אומר משהו רלוונטי לסוג כזה של פילוסופיה הוא לא בשמיים.

זה נראה לי קצת פזיז לחשוד בפילוסופים כמו סרל ופנרוז (ולוקאס ואחרים) המסיקים ממשפט גדל כל מיני אמיתות רחבות יותר לגבי החישוביות של היקום ושל ההוויה האנושית, שלא הבינו את משפט גדל. ייתכן שבטיעוניהם יש פגם, אבל זה נכון בערך עבור כל פילוסוף בהיסטוריה. לבקר אותם זה נכון וזה חיובי, זה חלק מהתהליך הפילוסופי. לבטל אותם זה טיפשי.
דוגמא מצוינת ! 317086
(למה שאלון ניסה להדגים במאמר).
יופי 317090
לןקאס, סרל ופנרוז עשו שימוש מסוג אחר במשפט גדל. הטיעון שלהם (בהפשטה גסה) הוא: גדל הוכיח שמערכת פורמלית (=מחשב) היא מוגבלת, מסקנה: המוח אינו מערכת פורמלית. (תוצאת משנה: בינה-מלאכותית אמיתית אינה אפשרית).

זוהי שטות, כמובן, משום שאף אחד עוד לא הוכיח שהמוח האנושי אינו מוגבל באופן בו מוגבלות מערכות פורמליות.
יופי 317254
ההפשטה שלך היא גסה מדי. לא קראתי את הטיעונים של סרל ופנרוז, אבל הטיעון של לוקאס הוא אחר. הוא לא אומר שהמוח אינו מערכת פורמאלית רק מפני שמערכות פורמאליות הן מוגבלות. הוא אומר שהמוח אינו מערכת פורמאלית מפני שכשאדם מכיר מערכת פורמאלית, הוא מיד ידע לראות כנכון ("להוכיח") משפט שהמערכת הפורמאלית לא תדע להוכיח. הפגם העיקרי בטיעון הזה הוא שאנחנו לא יודעים שהמערכת הפורמאלית שהיא אדם היא עקבית, ואז אין שום משפט שהאדם יודע כנכון והמערכת הפורמאלית לא.
פרט חשוב שכדאי להזכיר: מטיעונו של לוקאס לא נובע ישירות שהאדם אינו מ"ט מבחינה אונטולוגית, אלא שאם הוא מ"ט, לא ניתן לדעת את התכנות שלה. מ"ט שלא ניתן לדעת את התכנות שלה אינה ממש מ"ט, ולכן האדם אינו מ"ט.

***

אני הייתי נזהר מלכנות "שטות" טיעונים שלא ירדת לסוף עומקם.
יופי 317097
תן לי רק להעיר שהמשפט "המונופוליזציה שעושים מתימטיקאים למשפט גדל, מונופוליזציה שמרוקנת אותו מתוכנו המטא-מתימטי" הוא ממש ממש תמוה בעיני. ראשית אתה מניח שיש לו תוכן מטא-מתמטי (הנחה שדורשת הצדקה מאוד רצינית), ואח"כ אתה נעלב שהמתמטיקאים לוקחים לך אותה בכוח? *מונופוליזציה*? נו, באמת. תעשה איתו מה שאתה רוצה.
יופי 317135
"לבקר אותם זה נכון וזה חיובי, זה חלק מהתהליך הפילוסופי. לבטל אותם זה טיפשי."

מי זה "הם"? את סרל, פנרוז ולוקאס אכן אין טעם "לבטל" - הם בלי ספק אנשים חכמים יותר מרובנו. לא ראיתי שמישהו מציע לבטל אותם. אבל אם אתה מתכוון לטיעונים שלהם, אני בדעה שאם הוברר שבטיעון כלשהו יש פגם מהותי, צריך גם צריך "לבטל" אותו. מה זה אומר בדיוק? לזנוח אותו. להתקדם הלאה. זו לא תלונה עליך דווקא: אחד הדברים שעושים לי אולקוס בצורה שבה מלמדים פילוסופיה הוא הקנוניזציה: טיעון שבזמנו היכה גלים, גם אם הופרך מהר, הופך לקנון, וקורסים אחרי קורסים מתעמקים בו, ואת ההפרכה מזכירים (אם בכלל) רק בהערה - בעוד שלדעתי זה צריך להיות הפוך. דוגמה בולטת: המאמר Two dogmas of empiricism של קוואיין, כנראה המאמר המצוטט והמוערך ביותר בפילוסופיה האנגלוסקסית של המאה העשרים. נכון שהוא ניפץ קונספציה ושינה את פני הפילוסופיה - אבל זה בזכות המסקנה הכללית בסופו, ולא בזכות הטיעון הספציפי שמפורט בו. הטיעון הזה די בבירור לא נכון (וכמה שנים אחר כך הראו זאת באופן משכנע, ובסוף גם קוואיין הכיר בכך)‏1. אז למה שנתונים על שנתונים של סטודנטים משקיעים קורסים שלמים בניתוח מדוקדק של המאמר? לא עדיף לקפוץ ישר למסקנה היותר כללית שלו, שכן שרדה את הביקורת?

יש טיעונים בהיסטוריה של הפילוסופיה שהופרכו מהר, אבל הם מאוד יפים; אותם אני בהחלט רואה טעם ללמוד, פשוט בשביל הכיף, לצד ההפרכה שלהם. אחד הוא ההצעה של רייל לביהביוריזם לוגי; אחר הוא (והנה אני חוזר לנושא המאמר והפתיל) הטיעון של לוקאס. אבל לא צריך לייחס להם יותר חשיבות מלהוכחה מתמטית שהתבררה כשגויה.

1 במקרה הזה המצב יותר גרוע: לדעתי (צריך לומר שזו דעה לא מקובלת במיוחד) המאמר גם לא כתוב טוב כל כך, וחלק מהחולשות בטיעון שבו די קופצות לעין.
יופי 317146
האם אתה יכול להפנות אותי לאותם מאמרים שמראים בבירור שהטיעון של קוויין איננו נכון?
יופי 317153
Grice & Strawson: In Defence of a Dogma הוא תשובה ישירה.
"The Analytic and the Synthetic" של פאטנם מאזכר את המאמר של גרייס וסטרוסון, אבל מקדם את הדיון הכללי הרבה שלבים. יש לו אולי עוד עבודות בעניין זה - אני במקרה מכיר את זו.
יופי 317156
תודה. אחפש.
יופי 317255
הפילוסופיה רצופה טיעונים וביקורות וביקורות-נגד משחר היווצרותה. לימוד פילוסופיה אינו לימוד מסקנות סופיות מפני שמסקנות סופיות אין. גם אם מצאת פגם בטיעון של פנרוז, ייתכן שיבוא מישהו אחר ויראה שהפגם הזה הוא שולי ושעיקר דבריו עומדים. בסופו של דבר קשה מאוד להכריע "נכונות" בפילוסופיה, ואנשים בדרך כלל נוקטים בעמדה מסוימת מתוך איזושהי נטייה אישית שלהם, גם אם הם טוענים בתוקף שזו האמת האובייקטיבית.

אני לא יודע באיזו מידה התעמקו הכותבים הנסערים כאן בטיעונים הנידונים, אבל גם אם התעמקו בהם הרבה (אני בטוח שאלון התעמק בהם) עדיין ייתכן שהם פשוט לא הבינו אותם לעומקם. וייתכן גם שהטיעונים האלה פגומים ולא עקיבים, אבל הקשר שהם רואים בין משפט גדל לבין מסקנתם הסופית הוא אמיתי.
מה שאני מנסה להגיד, זה שעד שלא הוכחת ש*אין* קשר, ועד שלא הוכחת שהאדם *הוא* מכונת טיורינג, אתה עושה עוול לעצמך בהכריזך שההיפך הוא שטות.
יופי 317263
א) באיזה כלים אתה רוצה להוכיח שאין קשר כזה?
ב) באיזה כלים אתה רוצה להוכיח שהאדם הוא מכונת טיורינג?
ג) אם האדם הוא מכונת טיורינג צריך להיות לו זיכרון אינסופי. כנראה שהאדם *חלש* יותר ממכונת טיורינג. לתשומת לבך.
יופי 317266
לא הבנתי.
יופי 317276
באיזה מובן אתה מצפה שתוכח הטענה, לפיה האדם הוא מכונת טיורינג? אמפירית? מתמטית? תיאולוגית? אולי אתה דורש לראות את האלגוריתם על פיו פועל האדם?

אני סתם שואל מתוך עניין.
יופי 317280
אין לי הרבה ציפיות בנידון. אני, אישית, מרגיש שלא ייתכן שהאדם הוא מכונת טיורינג מסיבות שמפורטות בתגובות מרובות לאורך דיון זה ואחרים. אנשים אחרים כאן מרגישים ההיפך. אף אחד לא הוכיח שהאדם הוא מ''ט, וגם לא שייתכן שהוא מ''ט. מאידך גיסא, ההוכחות שלא ייתכן שהאדם הוא מ''ט גם הן לא משכנעות במיוחד בינתיים. כך שהשאלה הזאת נותרת פתוחה ולכולנו יש ההזדמנות המלבבת להתחבט בה בצוותא.
יופי 317282
(וגם ההזדמנות המלבבת להתווכח על קוצו של יוד:)
למה אתה מתכוון שאתה אומר, שאף אחד לא הוכיח שייתכן שהאדם הוא מ"ט? כל דבר הוא בחזקת אפשרי כל עוד לא הוכח אחרת.
יופי 317288
המממ...לא בדיוק.
כרגע ההבדל בין אדם לבין מחשב הוא כ''ך גדול (ומהותי, בעיניי) שהמחשבה שהאדם הוא בעצם מחשב מורכב מאוד שקולה למחשבה שאבטיח הוא בעצם פסנתר ישן מאוד. במקרה השני אני חושב שמוסכם על כולנו שחובת ההוכחה חלה על מי שטוען שזה ייתכן. במקרה הראשון יש מחלוקת.
כך שאפילו ש''כל דבר הוא בחזקת אפשרי כל עוד לא הוכח אחרת'' זה משפט יפה מאוד ולעתים קרובות נכון, בפועל הוא לא עובד עבור כל מקרה.
יופי 317289
אולי כדאי להפריד בין המכשיר המוזר שדרכו אנחנו מתקשרים, לבין מ"ט. זאת מאחר שיש לנו הרבה דעות קדומות על המחשב, והרבה מושגים שאנו מקשרים עם מחשב ואין לה ממש קשר למכונת טיורינג. אתה רואה הבדל בין האדם למחשב כי אתה משווה "יכולות" של שני האובייקטים: זיכרון, עיבוד תמלילים, תקשורת, חישוב, יצירתיות, תנועה, רגש וכו'. למ"ט אין "יכולות" באותו מובן. מ"ט פשוט מחשבת פונקציות.
משמעות הטענה "האדם חזק יותר ממ"ט" ‏1 היא שיש פונקציה שמ"ט לא יכולה לחשב, ואדם כן. אין לי סיבה להניח את הטענה הזאת, באותה מידה שאני מניח שפסנתר אינו אבטיח ‏2.

1 גם הטענה שהאדם הוא *ממש* מכונת טיורינג לא סבירה, כי למכונת טיורינג יש זיכרון אינסופי. כנראה שהאדם, כמו המחשב, חלש יותר ממכונת טיורינג.
2 אם כי יש שאלה אחת מטרידה: האם כל ה"קלט" שהאדם מקבל, לרבות משתנים פיזיולוגיים אקראיים בתוך המוח שלנו, וכל ה"פלט" שהאדם מוציא, ניתנים לתיאור כמשתנים בדידים?
יופי 317290
הטענה אינה שהאדם חזק יותר ממ''ט, רק שהם שונים מהותית. אולי יש גם מובן אחד של ''חזק'' שלפיו האדם חזק ממ''ט, אבל אני לא יודע להגדיר את המובן הזה, ולכן אסתפק בטענה החלשה יותר.

''משמעות הטענה ''האדם חזק יותר ממ''ט'' היא שיש פונקציה שמ''ט לא יכולה לחשב, ואדם כן.''
זה לא בדיוק נכון. האדם בד''ך לא עסוק בלחשב פונקציות. אם אתה עושה רדוקציה של התנהגות האדם לכדי פונקציות, ייתכן שכבר אז איבדת משהו.
יופי 317343
"אולי יש גם מובן אחד של "חזק" שלפיו האדם חזק ממ"ט, אבל אני לא יודע להגדיר את המובן הזה, ולכן אסתפק בטענה החלשה יותר".
ו-"שונים מהותית" אתה יודע להגדיר? לאדם יש אוזניים, למ"ט לא. לאדם אין בתוכו סרט באורך אינסופי, למ"ט יש. למ"ט אין משפחה, לאדם כן. האם הדברים האלה נקראים "שונים מהותית"?

האייל הצעיר נתן את ההגדרה היחידה של שוני שלדעתי יש לה משמעות. קיימות בעיות‏1 שהאדם יכול לפתור ומ"ט לא, או להיפך. אם אין לך הגדרה חילופית למה זה "שונה מהותית", איך אתה מצפה להחליט אם האדם "שונה מהותית" או לא ממ"ט?
______
1 האייל הצעיר קרא לזה "חישוב פונקציות" , אבל חשוב להבין שהכוונה היא במובן הרבה יותר רחב מ-f(x)=x+5. פונקציה היא גם דבר שלוקח את המצב הנפשי של האדם, המצב המשפחתי שלו, הקלט החושי שלו וכדומה ומחזיר תווים של סימפוניה מוזיקלית.
יופי 317354
ניסוח מצוין למה שרציתי להגיד.

נ.ב.
אני חייב להפסיק לראות את העולם כאוסף של אוביקטים, פונקציות, קבוצות וכו'.
יופי 317356
יש כל מיני דרכים להוכיח שהם שונים מהותית מבלי להגדיר מה זה. הדרך של לוקאס‏1 (וכנראה של פנרוז גם כן) היא להראות ששום מ"ט אפשרית אינה זהה לאדם. אולי כולן ביחד יכולות לחשב את כל הפונקציות שיכול האדם לחשב, אבל שום מ"ט ספציפית לא יכולה לעשות זאת. יש הרבה פונקציות שמ"ט יכולה לחשב ושלאדם יהיה קשה, ולכן אני לא מתעקש על "חזק".

"פונקציה" ו"מ"ט" הם מושגים מתימטיים. ה"אדם" אינו מושג מתימטי. לכן על אלה שטוענים שהאדם הוא מ"ט מוטלת חובת ההוכחה שניתן בכלל לעשות רדוקציה משכנעת של האדם למתימטיקה. מודלים סטטיסטיים בסוציולוגיה וכלכלה מנסים לעשות את זה, לעתים בהצלחה מרובה, אבל אף מודל לא יכול לצפות את התנהגותו של אדם יחיד.
_______

1 שיהיה ברור, אני לא טוען שהטיעון של לוקאס הוא נכון וזהו. אלון מצא בו פרכה לא רעה בדיון הקודם שלנו. אבל זה שהטיעון שלו לא מושלם לא מצדיק את הגישה הכללית (שרווחת כאן באייל) לטיעונים אנטי-רציונאליסטיים, בין השאר כאלה שמנסים לעשות שימוש חוץ-מתימטי למשפט גדל.
יופי 317363
אנחנו מתחברים כאן בעצם לדיון בתגובה 317330, אבל אני חייב לשאול את אותה שאלה שנשאלה שם, בשפה שלי:

יש בעולם הרבה מאוד אנשים. האנשים שונים אחד מהשני בתכונות שלהם. יש דברים שאני יכול לחשב ואתה לא, ויש דברים שאתה יכול לחשב ואני לא‏1

לעומת זאת אין בעולם הרבה מכונות טיורינג שונות. למעשה, אין אפילו מכונת טיורינג אחת‏2. מכונת טיורינג היא לא יותר מהגדרה מתמטית, והשאלה האם "פונקציה" מסוימת ניתנת לחישוב ע"י מכונת טיורינג היא שאלה מתמטית.
לכן לא ברור לי מה זה אומר "כל מכונות הטיורינג ביחד"? אם נכתוב את ההגדרה מלא פעמים על מלא דפי נייר זה לא יגביר את כוח החישוב של המודל...
____
1שוב, לחשב לא רק במובן של אינטגרלים כפולים, אלא גם לחבר סימפוניות.
2 בגלל המגבלה השולית של סרט באורך אינסופי.
יופי 317365
לא כל כך הבנתי.

השאלה אינה אם האדם הוא סרט, כמה מצבים וראש קורא, אלא האם הוא ניתן לביטוי באמצעות מערכת פורמאלית או מ''ט (שזה שקול). אני חושב שיותר קל (לי לפחות) לדון במערכות פורמאליות, והן שקולות למ''ט בכל מקרה. מערכת פורמאלית מורכבת מסט (ניתן לחישוב) אפקטיבי של אקסיומות וכללי היסק, כפי שאלון הסביר בצורה בהירה בדיון הזה. הפלט של מערכת כזאת הוא המשפטים של המערכת. הטענה של לוקאס אינה שיש משפט שבן אדם יכול להוכיח ואף מערכת לא יכולה, אלא שעבור כל מערכת נתונה יש משפט שהאדם יודע להוכיח והמערכת לא.
יופי 317028
"להרבה אנשים... יש ההרגשה שהוא מצביע על איזושהי אמת עמוקה ורלוונטית יותר מאשר לתחום המתימטיקה."

ודאי, ואני לא חושב שפספסתי את זה (אחרת לא הייתי כותב את המאמר). הבעייה היא שלהרבה אנשים יש כל מיני תחושות, לפעמים נכונות, לפעמים שגויות. במקרה הזה, חלק ניכר מהתחושות הללו מבוסס על אי-הבנה של המשפט, או על שימוש שגוי במסקנותיו. מי שרוצה לדבוק בהרגשתו זו גם לאחר שהבין בדיוק את תוכן המשפטים ומגבלותיהם - שיבושם לו. כשמישהו כזה מביא טיעון כלשהו המסתמך על משפט גדל, הטיעון יכול וצריך לעמוד לביקורת, ובשביל זה המציאו אנשים כמו טורקל פרנזן ו(בקנה מידה קטן יותר)אני.

לגבי זלזול וחוסר התייחסות - אני באמת מקווה שאתה לא רומז אלי. אם נדמה לך שהפגנתי זלזול בדיון הארוך בינינו, ושלא התייחסתי לגופם של טיעוניך, אני מקווה שלא תראה אותי אף-פעם *באמת* מזלזל במישהו, כי אז תחשוב שאני רוצחו-נפש. הרושם שלי הוא שבהרבה תגובות התייחסתי ספציפית ועניינית לשגיאות שלך, ובהרבה מקרים דווקא ההתייחסויות שלי לא זכו למענה. YMMV.

"העדרו של ניסוח כזה אינו מהווה הוכחה להיות הטיעון שגוי". ודאי שלא. אני מסוגל לעמוד גם בטיעונים פילוסופיים לא פורמליים, ואתה מוזמן לנסות אותי. יש בעייה פצפונת בנושא הזה כשעוסקים במשפטי-גדל: הם מוגבלים, מטבע ברייתם, למערכות פורמליות לגמרי, ואפילו בתוך מערכות פורמליות, למערכות מסויימות עם תכונות מסויימות. אם רוצים לשאוב מהם השראה, ולטעון משהו אחר על העולם - כה לחי. אם רוצים לומר "ממשפט גדל אנו רואים ש..." או "האם גדל לא הוכיח שאדם איננו מחשב?" או משהו כזה, הטוענים צריכים להבין שהם חשופים לביקורת עניינית למדי.

דוגמה למצב כזה יש בתגובה 316781: טיעון, טיעון, טיעון, מסקנה: לא ניתן לתת תיאור שלם של העולם. אני הגבתי ברוגז (לא מוצדק, ואני מצר על כך) עקב העובדה שהמשגים שם נדונו לעייפה עוד קודם; אם תסתכל בתגובתי, יש שם (מבעד לכעס) גם התייחסות עניינית לחולשה האינהרנטית בטיעונים כאלה. אם אתה רוצה לשוב ולדון בהם כאן, בבקשה - רק בקשה אחת: נסה להבהיר מתי אתה משתמש במשפט גדל כמטפורה, ומתי אתה משתמש במשפט גדל.
יופי 317070
מה זה YMMV?
לגבי הדיון הקודם שלנו, אין לי תלונות. נהניתי מאוד ולמדתי הרבה ואני מקווה להמשיך לעשות זאת גם כאן. בכל זאת הייתי רוצה לחלוק איתך את ההרגשה שנוצרה בי שאתה מחפש לפעמים בקטנות במקום לנסות בעצמך להבין למה בן שיחך מתכוון. אם הייתי כותב מאמר על זה, תאמין לי שהייתי טורח הרבה יותר לחסנו מפני ביקורת, אבל בדיון חופשי יש מקום מסויים לרישול.

*_*_*

לגופו של עניין:
השימוש שאני מנסה לעשות במשפט גדל אינו מטאפורי, אך גם אינו פורמאלי לחלוטין, כפי שציינתי לפני שנות דור (האם השלישי נמנע?). הטיעון הוא כדלקמן (אעריך את זה אם תעזור להגיע לניסוח אופטימלי שלו ורק אז תבטל אותו. הביקורת שלך תהיה חזקה בהרבה ככה):

א. נניח שהעולם הוא מכונת טיורינג.
ב. מ"ט, לפי הגדרה, מורכבת מקלט בינארי וממספר סופי של מצבים. בהתאם למצב שבו היא נמצאת ולקלט שאותו היא בוחנת, היא עושה משהו (משנה את הפלט ו\או מחליפה מצב).
ג. היא פועלת באופן דטרמיניסטי. מקלט מסויים במצב מסויים יש תמיד פעולה אחת.
ד. תיאור כזה של מ"ט שקול למערכת פורמאלית עקבית. נכונים בה משפטים כגון "אם הקלט הוא A והמצב הוא a, אז המכונה תעשה B" וכד'. חשוב לציין שלא מדובר במערכת הפורמאלית שמקבילה למכונה עצמה אלא לתיאור שלה.
ה. מכונת טיורינג שהיא העולם מכילה בתוכה גם את האריתמטיקה.
ו. תיאור של מ"ט כזאת אינו יכול להיות שלם.
ז. לא ניתן לתאר את העולם כמ"ט.

עכשיו אלון, הטיעון הזה לא בשל. יש בו נקודות חולשה. אם תוכל להצביע עליהן, אני אנסח אותן מחדש בצורה שתתגבר על החולשה. זה אינו אותו הטיעון כמו זה של לוקאס והמשגים בו (ויש) לא נדונו עדיין. לדעתי הם לא קריטיים.
יופי 317089
1. אם אתה מנסה להחליף את המערכת-שמקבילה-למכונה במערכת-שמתארת-את-המכונה, כל חולשה שתגלה במערכת תהיה חולשה בתיאור המכונה. אבל מ"ט הן (כפי שציינת) אובייקטים מכניים קלים מאוד לתיאור. באיזה מובן תיאור כזה יכול להיות לא שלם? אתה יודע לומר בדיוק מה היא תעשה בכל עת.

2. תוכל להסביר את ה'?

3. תוכל להסביר איך הסקת את ו'? הלא אתה מדבר עכשיו על התיאור של המכונה, לא על המערכת המקבילה למכונה.

אני לא מבין (באמת) מה בדיוק אתה חושב שהרווחת מההחלפה של המערכת בזו המתארת את המכונה.

לדעתי המשגים פה מאוד קריטיים. במקום להגיב על הנקודות לעיל, אתה מוזמן לחשוב על השאלה הבאה. דמיין עולם אחר, לא זה שלנו, שהוא *באמת* מכני. כולו עשוי רובוטים, מחשבים משוכללים ומכונות. נניח שהמכונות באותו עולם ניסחו לעצמן את האקסיומות של PA ו-ZFC, והן מוכיחות בחדווה משפטים מתמטיים במערכות אלה. איך קרה הפלא הזה? זה לא כל כך קשה, לאקסיומות האלה יש תיאור אפקטיבי קצרצר, ומצדי המכונות סתם עלו במקרה על השעשוע המכני הזה, "גזור את המשפט", והן משחקות בו.

אם אתה לא מאמין שעולם כזה קיים, אני אתכנת כזה בעבורך על המחשב שלי. אם תטען שבעצם המעשה הזה הזרקתי את אנושיותי לתוך העולם, אני אעשה את זה אחרת: אכתוב תכנית-מחשב שכותבת את כל תכניות-המחשב האפשריות עד גודל מגה-בייט, ומריצה עותק של כל אחת מהן לנצח. רובן לא תעשינה כלום, אבל חלק מהן תעשינה בדיוק את מה שתיארתי. די דומה למה שקורה ביקום.

האם העולם ה*זה* לא ניתן לתיאור כמ"ט? (ודאי שהוא כן).

אם הנימוק שאתה מנסה להעלות, מה שלא יהיה, אינו תקף לגבי העולם הדמיוני הזה, אבל הוא כן תקף לעולמנו, איזה נתון לגבי עולמנו אתה מביא בחשבון שאינו קיים בעולם הדמיוני? לוקאס ניסה לומר שהאלמנט הזה הוא שבני-אדם יודעים ש-G נכון, ואף מכונה לא. זה, כפי שראינו, פשוט לא נכון. מה המועמד שלך לנתון כזה? האם אתה מסכים שבלי נתון כזה, כל טיעון נדון לכשלון, שכן הוא יהיה לכאורה תקף גם בעולם הדמיוני?

האתגר עבורך הוא לעשות עם הטיעון הזה את מה שהצעת לי לעשות עם הטיעונים שלך: לחשוב עליו.
יופי 317103
אני לא יודע לענות על שאלותיך במונחיהן. אנסח מחדש את הטיעון:

א. בוא נניח שיש לך תיאור של מ"ט שהיא העולם. תקרא לזה מודל פיזיקלי של העולם שבו יש חוקים פיזיקליים שהם כללי היסק והיערכות החלקיקים הראשונית שהיא האקסיומות. זוהי מערכת פורמאלית אפקטיבית ועקבית לכל דבר.

ב. עכשיו בוא נניח שהאדם הוא יצור מכאני, שניתן לתיאור גם הוא ע"י מ"ט שכזו. אני מניח שהמכונה-אדם תהיה חלקית למכונה-יקום. ואם זה נכון אז גם היא צריכה להיות עקבית. (האם מערכת לא-עקבית יכולה להיות מוכלת במערכת עקבית?). בכל מקרה, מודל פיזיקלי של משהו צריך להיות עקבי, נכון?

ג. מערכות שחשופות למשפט גדל כמו PA הן תוצר מחשבתו של האדם, או לפחות מוכלות ע"י מחשבתו של האדם. כלומר, הן חלקיות למערכת שמתארת את האדם כמ"ט. המ"ט שהיא האדם מסוגלת ליצור אותן. אם הן חשופות למשפט גדל (ולכן בלתי-שלמות), אזי גם המערכת שמתארת את האדם וגם זו שמתארת את היקום הן כאלה.

____

מה שהרווחתי בהחלפה של המערכת שמקבילה למ"ט בזו שמתארת את המ"ט הוא העקביות. מערכת שמתארת את המ"ט חייבת להיות עקבית, כי מתוך מערך נתונים וסט מצבים יכולה לנבוע רק פעולה אחת.

לא לגמרי הבנתי מה הדוגמה שלך עם תוכנות המחשב אמורה להראות. איך ניתן להסיק מהן על העולם, מבלי להניח את המבוקש? להזכירך, הטענה אינה שלא קיימים מבני נתונים, אלא שעולמנו שלנו לא ניתן לתיאור ע"י מבנה נתונים.
יופי 317120
____

לא נעים לי לומר, אבל יש לי תחושה חזקה שלא התאמצת במיוחד להבין את הטיעון שלי. הנחת המבוקש? זו היתה הנחת המבוקש אילו הייתי מבקש ממך לדמיין שהעולם הוא מ"ט, ואז טוען שהעולם הוא מ"ט. זה לא מה שעשיתי.

אתה טוען שהאדם/העולם הוא לא מ"ט. ישנם דברים שהם כן מ"ט, נכון? אם כך, באיזו תכונה של האדם/עולם אתה משתמש כדי להראות שהם אינם כאלה? התכונה היחידה שהזכרת עד כה היא "מכילים את האריתמטיקה". אולי אני לא מבין אותך, אבל תכנת-מחשב היודעת להוכיח משפטים בתורת-המספרים גם היא "מכילה את האריתמטיקה"; הלא זה בדיוק מה שבני-אדם עושים בהקשר הזה. אבל תכנת-מחשב כזו כן ניתנת לתיאור כמ"ט, לא? אז מה העניין?
יופי 317256
הדיון התפצל לשניים. הטיעון שלי ותגובותיך, והטיעון שלך ותגובותיי. משום מה לא הגבת לטיעון שלי בתגובתך האחרונה.

___

אני לא יודע כמה התאמצתי, אבל בהחלט יש נקודה שפיספסתי. אמרת שיש מ"ט שיכולה להוכיח משפטים בתורת המספרים? את כל המשפטים? כלומר היא מכילה מערכת פורמאלית של האריתמטיקה שהיא שלמה? מוזר, לא?
יופי 317310
לא "משום מה", אלא בכוונה. אני רוצה שנתמקד, והפעם בא לי שדווקא נתעקש לבחון את הטיעונים שלי.

_____

אני אמרתי "את כל המשפטים"? לא, סתם משפטים. כמו שהאדם לא יכול להוכיח את כל המשפטים. אני אומר: מחשב יכול לעשות אריתמטיקה, והוא מתואר (היטב) כמ"ט. אתה אומר שאדם אינו מתואר כמ"ט. כלומר, אתה מניח שאדם שונה ממחשב. איך אתה מצדיק את ההנחה הזו? איזו אבחנה לגבי האדם מהווה את נקודת המוצא שלך?

אתה מסכים ש*איזושהי* אבחנה כזו נחוצה? "האדם" אינו מושג פורמלי; הוא משהו שאנחנו מכירים אמפירית. כדי להוכיח עליו משהו, צריך להתחיל מאיזושהי תכונה שאנחנו בטוחים שיש לו (כמו "האדם יכול לראות שנוסחת גדל G עבור ZFC היא נכונה"), ואז אפשר להראות שבכך הוא שונה מכל מחשב. כל עוד אין בידינו תכונה כזו, ממה נתחיל?

אז יש לך תכונה כזו? מהי?
יופי 317320
אוקיי, נתמקד בטיעונים שלך, אבל אני מקווה שלא נשכח את הטיעון שלי, כי אני אשמח לשמוע את הביקורת שלך עליו.

___

ההבדל בין אדם לבין מכונה הוא דק. זו בעיה להצביע על תכונה שיש לו, כי כל תכונה שאגדיר, ניתן יהיה להגדיר אותה במונחים של מכונה. האדם שונה ממכונה במקום שהוא דק מכדי הגדרה.
אני אדגים. ניקח את האלכסון של קנטור. האלכסון מוכיח שישנם אינסוף (גדול מא-‏0) מספרים לא מוכרים לנו. הוא עושה זאת ע"י הצבה של כל המספרים מול כל השמות האפשריים (מייצגים את ההכרה שלנו) ומראה שבהכרח קיים מספר שלא נמצא בסידור הזה. את המספר הזה אתה יכול עכשיו להוסיף לקבוצה של המספרים המוכרים, אבל המצב לא משתנה. אתה יכול לעשות את זה עבור כל מספר ממשי שתמצא, והמצב עדיין לא ישתנה.
באותה צורה בענייננו. כל תכונה של האדם שנגדיר תיכנס לרשימת היכולות של המחשב. רשימה זו עשויה להיות אינסופית (בת-מנייה), אבל תמיד יישאר אינסוף (לא בר-מנייה) של תכונות שלא הגדרנו.

(זה אינו מהווה הוכחה, רק מסביר למה ההוכחה לא נדרשת לתכונה מסויימת של האדם)
יופי 317324
______

מה פתאום כל תכונה שתגדיר, ניתן יהיה להגדיר אותה במונחים של מכונה? הנה, עד לפני כמה ימים היתה לך תכונה נפלאה כזו: האדם יודע ש-G נכונה, המכונה לא. כל מה שאני מנסה להראות לך הוא שאם תמשיך להתאמץ את מה שאתה כל הזמן מתאמץ להראות, והוא ש*משפט גדל* אומר משהו על ההבדל הדק הזה, תמשיך להיתקל באותו קיר עד שלא תסביר לי, או לעצמך, מהי אותה יכולת מופלאה של האדם שאין למכונה.

איך ההסבר עם האלכסון מסביר למה ההוכחה לא נדרשת לתכונה מסויימת של האדם? הוא רק מסביר (דרך משל) למה יהיה קשה לנסח כזו. נו, איזו מין סיבה זו לומר שתכונה כזו אינה נדרשת? כי קשה לתת אותה? כל עוד לא תביא אחת כזו, תוכל להמשיך בכיף להניח או להאמין שהאדם אינו ניתן לתיאור כמ"ט, ואני אמשיך להאמין שכן, וכך זה יישאר.
יופי 317357
ההסבר עם האלכסון מראה שאני לא נדרש לשום תכונה מוגדרת מראש. כל מ"ט מסויימת שתביא לי, אני אמצא את הדבר שהאדם יכול לעשות והיא לא. כמו שהוכחת האלכסון נשענת על הסידור הנוכחי של השמות מול הממשיים, אבל היא תעבוד עם כל סידור שהוא.

זה כמו שתבוא לקנטור ותגיד לו: "אתה אומר שיש מספרים שלא ניתן לבטא? תראה לי אחד." וכשהוא לא יצליח, תגיד לו: "ההוכחה שלך לא תקפה".
יופי 317405
אם תוכיח לי שלכל מ"ט מסויימת שאני אביא לך, אתה תמצא את הדבר שאדם יכול לעשות והיא לא, התקדמנו הרבה. אתה יכול? איך? אני לא דורש שהתכונה תהיה "מוגדרת מראש"; מצדי שתהיה לך הוכחה כללית הבוחנת את תכונותיה של כל מ"ט נתונה ומראה שהיא לא יכולה לעשות משהו (התלוי במ"ט הספציפית) שאתה ואני כן.

שוב: מתישהו תצטרך להכניס פה יכולות אנושיות שאתה בטוח לגביהן. על מה אתה חושב בהקשר הזה? מדי פעם הזכרת שהמוח האנושי "מכיל" את האריתמטיקה. הוא לא, לא במובן יותר חזק מזה של מכונה להוכחת משפטים אריתמטיים.
יופי 317452
אני לא יודע למה אתה חוזר לנקודה הזאת בדיון למרות שכבר עברנו אותה. את הטיעון של לוקאס מראש הצגתי בהסתייגות, וקיבלתי, פחות או יותר, את הדחייה שלך אותו. והצגתי טיעון אחר, חזק יותר לדעתי, שאליו עדיין לא התייחסת.
____

"אכתוב תכנית-מחשב שכותבת את כל תכניות-המחשב האפשריות עד גודל מגה-בייט, ומריצה עותק של כל אחת מהן לנצח. רובן לא תעשינה כלום, אבל חלק מהן תעשינה בדיוק את מה שתיארתי. די דומה למה שקורה ביקום.
האם העולם ה*זה* לא ניתן לתיאור כמ"ט? (ודאי שהוא כן)."

אתה בטוח שכל העולמות המכאניסטיים (עד לגודל של מגה-בייט) כלולים בפלט של תכנית המחשב שכתבת? אתה בטוח שלעולם שלנו סיבוכיות סופית?
יופי 317461
התגובה הזו שלך מתייחסת באיזשהו אופן לתגובה שלי, או שהיא סתם פה? אנא קרא שוב את תגובה 317405. איזה טיעון של לוקאס?

ננסה עוד פעם, אני מקווה בפעם האחרונה. אתה מאמין שאנשים אינם ניתנים לתיאור כמ"ט. יופי. אתה מחפש לכך איזושהי הוכחה. אם אתה רוצה, בסדר. עד אתה ניסית לבסס את הוכחותיך על משפט גדל. ההוכחות שלך *כולן*, עפ"י הגדרה, בנויות כך:

1. משפט גדל מראה לנו שלמערכות פורמליות או מ"ט יש תכונה A.

2. לבני-אדם אין את תכונה A.

3. לכן, בני-אדם אינם מערכות פורמליות.

ניסית ש-A תהיה "לא יודעת להוכיח את G", או "מתוארות ע"י מערכות לא שלמות", או "לא מכילות את האריתמטיקה", בווריאציות שונות. לפעמים שגית בטענה שגדל מראה את זה, לפעמים לא. לא חשוב. הנקודה שאני מנסה לעמת אותך איתה היא שכל טיעוניך בשלב 2 מבוססים על תחושות, תקוות או הנחות שאין להן תימוכין יותר מוצקים מעצם ה*הנחה* שאנשים אינם מ"ט. אתה רוצה להניח זאת? סחתיין. אבל אתה מנסה *להוכיח* זאת. בשביל זה עליך *להוכיח* משהו מסוג 2. מהו הדבר הזה? באיזה מובן אתה חושב שאתה יכול להוכיח אותו? אמפירית? אינטואיטיבית? מתוך אמונה?
יופי 317476
אני לא משתמש בסתמי פה. התגובה הזאת התייחסה ישירות לפתיל הנוכחי, שהתפצל לטיעון שלי ולטיעון שלך, ואת הטיעון שלי נראה לי שלא קראת לעומק במיוחד. אני אחזור עליו

א. אתה טוען שהאדם הוא מכונת טיורינג. כדי לתאר איך דבר כזה עובד אתה צריך להגיד לי מה המכונה עושה בכל מצב (אלא אם כן אתה מתכוון למ"ט לא דטרמיניסטית, אבל לא נראה לי שאתה מתכוון לזה).
ב. התיאור הזה שלך את מכונת הטיורינג מהווה מערכת פורמאלית. היא מהווה מערכת פורמאלית עקבית, מפני שמאותו מצב עניינים יש רק תוצאה אפשרית אחת.
ג. אם היא מהווה מערכת פורמאלית עקבית, אז או שהיא לא שלמה, או שהיא פחות חזקה מ-PA, או שהיא לא נאותה.
ד. מאחר והיא מתארת אדם, לא ייתכן שהיא פחות חזקה מ-PA. מכאן שהיא לא שלמה.
ה. לא מדובר במערכת מסויימת. כל מערכת פורמאלית שתנסה לתאר את מכונת הטיורינג שהיא אדם תהיה לא שלמה. לא ניתן לתאר מ"ט-אדם בצורה פורמאלית.

____

אין לי כוונה שהדיון הזה יהפוך אגרסיבי. באמת, אם לא הייתי חושב שיש משהו במה שאני אומר לא הייתי מתעקש. אם הדיון באמת יהפוך לאגרסיבי, גם אז אפסיק להתעקש. אין לי שום אינטרס להוכיח את זה, מספיק לי שאני מאמין בזה. העניין שלי בדיון הוא בלמידה שלי ממנו, ולמדתי ממנו הרבה.
אבל הטיעון שהצגתי לך הרגע, ואותו כבר הצגתי פעמיים, הוא לא אותו טיעון כמו הטיעון שאתה אומר שאני חוזר עליו שוב ושוב. הבנתי את הביקורת שלך על הטיעון הקודם ואני מציב טיעון חדש, אחר מהראשון. אין כאן הבדל בין אדם לבין מ"ט, יש כאן משהו אחר. תעשה לי טובה, אם לא בא לך להתייחס אליו, פשוט תגיד ונפרוש. אין טעם שתשים בפי טיעונים אחרים ואז תבטל אותם כלאחר יד.
יופי 317484
"אין כאן הבדל בין אדם לבין מ"ט"? אתה לא שם לב ששלב ד' בנימוק החדש שלך הוא בדיוק מהטיפוס 2 שהזכרתי? זה המקום בו נכנס המושג "אדם" לנימוק שלך, והוא כולל היגד בלתי0-מוצדק. למה מערכת המתארת אדם לא יכולה להיות פחות "חזקה" מ-PA?
יופי 317486
אולי אני לא מבין למה אתה מתכוון בייצוג של האדם כמ"ט. אם האדם יכול לדעת את PA, ללמוד אותה בקורס לוגיקה או להמציא אותה, אז אני לא רואה איך רדוקציה של אותו אדם לכדי מ"ט תהיה שלמה אם היא לא מכילה בתוכה את PA, אם לא ניתן לבטא כל משפט ב-PA במ"ט הזאת.
יופי 317565
"לבטא כל משפט"? איזו בעייה יש לבטא כל משפט של PA במ"ט? אולי אתה לא ממש מסביר למה אתה מתכוון בייצוג. אני למדתי את PA, כן; ואת מה שאני יכול לעשות עם PA, יכולה גם תכנית מחשב שיקח לי חצי-יום לכתוב.

בפעם השלישית: מה יש לאדם שאין ל-PA? אתה מבין, או לא מבין, ש"לדעת את PA" או "ללמוד אותה בקורס בלוגיקה" או "להמציא אותה" זה לא מספיק?
יופי 317569
מה עם היכולת להוכיח בעזרת ZFC את משפט גודסטיין? (סתם שליפה, אל תירה בי)
יופי 317575
שלח את המ"ט לקורס המתקדם (זה שבו לומדים את ZFC); היא תוכיח לך בחדווה גם את גודסטין. אתה רוצה שהיא *תמציא* את ZFC? תן לה קצת לשחק, וגם זה יקרה (למה לא?)
יופי 317577
שאלת "מה יש לאדם שאין ל-PA". לי אישית ברור שמכונת הטיורינג (האוניברסלית) הממוצעת הרבה יותר חכמה ממני, רק שבגלל נסיבות טכניות עוד לא בנו אותה.
יופי 317587
בהקשר של הדיון ביני לבין ד.ק., אין הבדל בין PA למערכת אחרת (אלא אם כן ד.ק. יפתיע).
יופי 318417
PA היא "חשופה למשפט גדל", ולכן היא או לא עקבית, או לא שלמה, נכון?
יש לי כמה שאלות.
א. ב-ZFC אני יכול לבנות מודל ל-PA וכך להוכיח את עקביותה ב-ZFC?
ב. האם אני יכול לעשות גם ההיפך?
ג. אם לא, האם זה אומר ש-ZFC יותר חזקה מ-PA?
ד. אם כן, האם זה אומר ש-ZFC בהכרח חשופה גם היא למשפט גדל?
יופי 318429
א. כן, ZFC מוכיחה עקביות PA (מה זה עקביות *ב*-ZFC?). ראה תשובה מפורטת יותר לעוזי מתישהו מאוחר יותר.
ב. לא.
ג.במובן מסוים כן.
ד. ZFC חשופה למשפט גדל ללא קשר מכיון שהיא תורה אריתמטית ואפקטיבית.
יופי 318443
א. מאחר ואנחנו לא יודעים אם ZFC בעצמה היא עקבית, אנחנו גם לא בטוחים שההוכחה שלה את עקביות PA היא נכונה. כלומר, PA מוכחת כעקבית רק בתוך ZFC, לא?
יופי 318433
ג. אני רק רוצה להזכיר, שוב, שיש תורות המוכיחות את עקביות PA, ו-PA לא מוכיחה את עקביותן, אבל הן לא "יותר חזקות" מ-PA כי יש משפטים ש-PA מוכיחה והן לא.

לגבי השאר, אין לי הערות נוספות על התגובה של אורי. אני עדיין מנסה להבין את כיוון החשיבה שלך: אחרי שתסיים ללבן את כל התכונות של מערכות פורמליות ומכונות-טיורינג שאנו מכירים, מה יהיה הנתון לגבי *אדם* שייכנס לטיעון שלך וממנו ייגזר שאדם שונה, באיזה-מובן-שלא-יהיה, ממחשב?
יופי 318441
ג. אילו תורות מוכיחות את עקביות PA אבל לא את כל המשפטים ש-PA מוכיחה? ואיך?

כיוון החשיבה שלי הוא כזה: קשה לי לראות איך מערכת פורמאלית שמתארת את האדם יכולה לעשות זאת מבלי להיות אריתמטית ואפקטיבית. מאחר והיא בהכרח עקבית (כאן אנחנו חייבים עקביות) אז היא בהכרח לא שלמה. אם אין לך תיאור פורמאלי שלם של האדם אז אתה גם לא יכול לצפות לבנות מ"ט שלו.
יופי 318450
ג. קח תורה פרימיטיבת (נגיד Presburger Arithmetic) וצרף אליה את עקביות PA, או משהו מתוחכם יותר שממנו נובעת עקביות PA כאקסיומה. זו לא "רמאות" - אין כל דרך להבחין בין זה לבין ZFC ש"באמת" מוכיחה ש-PA עקבית. בשני המקרים, יש אקסיומות, ומהן גוזרים פורמלית את הטענה.

אני אחזור, גם כאן, על תגובת הראי שלי: "קשה לי לראות איך מערכת פורמאלית שמתארת את PA/מחשב אישי/שימפנזה/ZFC יכולה לעשות זאת מבלי להיות אריתמטית ואפקטיבית. מאחר והיא בהכרח עקבית (כאן אנחנו חייבים עקביות) אז היא בהכרח לא שלמה. אם אין לך תיאור פורמאלי שלם של PA/מחשב אישי/שימפנזה/ZFC אז אתה גם לא יכול לצפות לבנות מ"ט שלו."

אתה לא מסביר מה זה "תיאור", אבל אם זה מה שנראה שזה, אז גם את PA אי-אפשר לתאר; לא רק שהאדם איננו מערכת פורמלית, אפילו מערכות פורמליות אינן מערכת פורמלית.

אם אתה טוען שאדם יודע מתמטיקה ושימפנזה לא וZFC לא, עליך להסביר באיזה מובן אדם יודע משהו על מספרים משהו ש-ZFC לא יודעת.
יופי 318474
אני לא מבין מה המשמעות של לתאר את PA ואת ZFC באמצעות מערכת פורמאלית. אולי מטא-מערכת מתארת מערכת-בת. מטא-שפה כנראה מתארת שפה-אובייקט. אבל אני לא יודע, זה מוזר להתייחס אליהן בצורה הזו.

אם יש שימפנזה-מ"ט אז כנראה שההתנהגות שלה ניתנת לתיאור כרצף סיבתי של אירועים. אם נדע את המכלול שלה ברגע t, נדע בדיוק מה יקרה בה ברגע t+1. תיאור כזה הוא בעצם מערכת פורמאלית דדוקטיבית. יכול להיות שהיחסים והפונקציות והקבועים הם אלה של הפיזיקה. כלומר, המערכת מתארת מה קורה לכל חלקיק וחלקיק בכל רגע על סמך חוקי הפיזיקה. זה יהיה תיאור פיזיקליסטי של השימפנזה. ייתכן שתיאור פיזיקליסטי שלם של שימפנזה הוא באפשר, אם כי הוא נראה לי רחוק מאוד (בלשון המעטה).

עכשיו תיאור כזה, כדי להיות שלם, צריך לתאר גם את המאורעות הנפשיים של השימפנזה. אם התיאור הזה הוא של בן אדם אז הוא צריך לכלול גם את המחשבות שלו ואת כל מה שהוא יודע. זה כולל את PA ואת ZFC. זה כולל גם את התיאור עצמו.
יופי 318478
המשמעות של לתאר את PA ואת ZFC באמצעות מערכת פורמלית ברורה לך פחות מהאפשרות לתאר אדם באופן הזה? כתוב תכנת-מחשב שמוכיחה משפטים ב-PA או ב-ZFC, והא לך מכונת טיורינג. מה "מוזר" בזה, ואיזה תוקף לוגי יש לטענה שזה "מוזר"? המכונה הזו "יודעת" את PA ואת ZFC בדיוק כמו שהאדם יודע. אם אתה טוען שלא, הסבר מדוע. זה צריך להיות ליבו של הטיעון שלך.
יופי 318490
אין תוקף לוגי לטענה שזה מוזר. אתה קשוח, אה?

להוות תיאור של משהו זה להיות מטא-המשהו הזה. PA עצמה אינה תיאור של PA. כשהמורה שלי ללוגיקה לימד אותי את PA, אז הוא תיאר את PA. כדי לתאר אותה הוא צריך להשתמש במטא-שפה (פונקציית העוקב על n מחזירה את n+1). כלומר, אני צריך לדעת מה זה n+1 כדי להבין מה זה פונקצית העוקב. (אז זה לא כ"ך מוזר, אתה צודק).
תיאור מדוייק כזה של האדם בהכרח מהווה מטא-מערכת לאדם. אבל האדם מכיל את התיאור הזה. אז התיאור הוא מטא-מערכת של עצמו?
יופי 318500
"להוות תיאור של משהו זה להיות המטא-משהו הזה". מדוע אתה אומר זאת? איזה פשר יש להיגד הזה? זה שהמורה שלך השתמש בשפה-טבעית כדי לתאר את PA, זה סביר מאוד; מה זה אומר? כבר ניסית פעם לטעון שיש איזו היררכיית-מטא בין מערכות, ולא הצלחת, כמדומני.

לעניין: כן, PA מסוגלת בקלות לתאר את עצמה. זה אחד הדברים שעושה ההוכחה של משפט גדל. אז?
פינת השאלה הקטנה 318521
אמרת באיזו הודעה שהמשפט הראשון של גדל מוכח בתוך PA ולא באיזו מטא-PA או מה-שלא-יהיה. מתוך ההיכרות השטחית שלי עם ההוכחה אני מבין את האמירה הזאת, אבל נשאר באיזו אי-הבנה בסיסית: הרי ההוכחה מתבססת על המשפט האריתמטי שאומר "אינני יכיח ב PA" והיא *מראה (בקלות) שהוא אינו יכול להיות שגוי* אם PA עקבית. אם היא עושה את זה בתוך PA עצמה, הרי הפסוקית בין הכוכביות שלנו מהווה בעצמה הוכחה למשפט, והגענו לסתירה, לא לאי שלמות. אמנם זאת הוכחה בדרך השלילה שאינה מקובלת אצל אידיאליסטים מסויימים, אבל ודאי שלא זה הפתרון לקושיה.

(תשובה עם "אלוהים אדירים" תתקבל בהכנעה. ברור לי שאני טועה, רק לא ברור לי איפה)
פינת השאלה הקטנה 318547
אלוהים אדירים!

(סתם, אני סקרן לראות אותך כנוע).

לא כל כך הבנתי את הטריק עם הכוכביות: שמת אתן מסביב לחלק מהטענה, והשמטת את ה"אם PA עקבית". ההוכחה ב-PA לא מראה את החלק המכוכב לבדו, אלא את כל הטענה - *אם* PA לא מוכיחה סתירה, *אז* המשפט האריתמטי G הוא נכון. ליתר דיוק, מה שההוכחה מראה הוא שאם G יכיח ב-PA, אז גם שלילתו יכיחה ב-PA, ואז PA לא עקבית. את כל זה באמת אפשר להראות ב-PA.

(אגב, זה לא הכל; מה שהראינו בינתיים זה שאם PA עקבית אז G לא יכיח ב-PA. זה לא אומר ש-PA לא שלמה: צריך גם להראות ש*שלילת* G לא יכיחה ב-PA. את זה *אי-אפשר* לעשות בלי להניח עוד משהו, סוג של נאותות, על PA; מי שהצליח להיפטר מהדרישה הנוספת הזו היה רוסר, אבל הוא לא השתמש במשפט האריתמטי שהזכרת אלא במשפט אחר, יותר מתוחכם ונבזי).

זה פותר את הבעייה? אם לא, אנא, תן לי את הצ'אנס לראות אותך שוב מקבל בהכנעה.
פינת השאלה הקטנה 318591
קראת לי?

ההסבר שלך פותר את הבעיה רק בערך. אני מסתבך כאן כבר כמה דקות בנסיון לנסח את מה שמפריע לי, ולא מגיע לתוצאה שמשביעה את רצוני. הנה כמה עניינים שקשורים לחוסר הנחת שלי, בתקוה שתצליח להבין מה אני ממלמל שם:

1. מאחר והשכל הישר מתקומם נגד ההנחה ש PA אינה עקבית (מה כבר יכול להיות שם לא עקבי, הוא שואל אותי), אנחנו נותרים עם האפשרות שהיא אינה שלמה. זאת גם ה"מסקנה" המקובלת ממשפט גדל בקרב הציבור הרחב.

2. אבל אם PA אינה שלמה המספר G טוען טענה נכונה. את אמיתות הטענה *הוכחנו* ב PA (תחת הנחת העקביות שלה), ואם כך היא שוב "שלמה" לפחות לגבי המספר G, וכל הבניין שלנו קורס על עצמו. מספר גדל הרי אומר "אינני יכיח" ואם הצלחנו להראות שהטענה נכונה הרי *הוכחנו את חוסר היכיחות*. כל כחכוחי הגרון האלה משאירים אותנו עם:

3. אם כך, PA אינה סתם "או לא עקבית או לא שלמה" אלא "לא עקבית" ממש, בניגוד גמור לסעיף 1 לעיל.

4. כידוע, זאת לא המסקנה האמיתית ממשפט גדל שטוען טענה חלשה יותר.
פינת השאלה הקטנה 318669
למה? אם PA אכן לא מוכיחה את G, G דובר אמת, נכון. אבל זה לא אומר שיש הוכחה פורמלית ב-PA של G; מסתמא אין כזו, דווקא.

1. לא לגמרי הבנתי איך זה קשור לטיעון. נכון שזה סביר יותר, אבל איך זה מקנה תוקף להמשך?

2. "את אמיתות הטענה *הוכחנו* ב PA" - את אמיתות איזו טענה? שוב אתה מנסה להדחיק את "הנחת העקביות שלה": קודם הגלית אותה מחוץ לכוכביות, עכשיו שמת אותה בסוגריים. מה ש-PA מראה הוא את הגרירה PA עקבית -> G; זה פסוק פורמלי שיש לו הוכחה פורמלית ב-PA: אקסיומה, אקסיומה, מסקנה, אקסיומה, מסקנה, מסקנה, מסקנה, בום, מש"ל. הוכחה פורמלית כזו ל-G עצמה, סובר הציבור הרחב, דווקא אין!

"מספר גדל הרי אומר "אינני יכיח" ואם הצלחנו להראות שהטענה נכונה הרי *הוכחנו את חוסר היכיחות*". הצלחנו להראות שהטענה נכונה? לא, הצלחנו רק לומר "G נכונה!" ואז למלמל בחיפזון מתחת לשפמנו, "כן, נו, בהנחה ש-PA עקבית, מה זה, איזו מין הנחה זו, ברור ש-PA עקבית". הבה נודה, בינינו לבינינו, שמה ש"הראינו" זה לא ש-G נכונה, אלא שאם PA עקבית ("ברור, ברור") אז G נכונה.

וזה, כזכור, בדיוק מה שגם PA יודעת להראות, פורמלית לגמרי. אני מציין זאת כדי להדגיש שוב שאין פה איזו מערכת חיצונית ל-PA, איזה הגיון-ברזל משולב בחכמת-חיים, שמצליח להראות משהו ש-PA לא. את C->G מראה גם הגיוננו וגם PA, כש-C זה הפסוק "PA עקבית"; את G עצמה לא אנחנו ולא PA יודעים להראות.

3. כדי להסיק ש-PA לא עקבית, יש לעשות דבר פשוט: להוכיח פורמלית דבר והיפוכו, או לפחות להוכיח פורמלית שיש הוכחה פורמלית של דבר והיפוכו. כפי שאתה רואה, לא עשינו את זה ולא עשינו את זה - נכון? את איזה פסוק-והיפוכו הוכחנו?

נדמה לי שקודם הרגשת בנוח עם משפט גדל והוכחתו, ומה שמבלבל אותך עכשיו הוא הטענה שלי שלא רק שהמשפט נכון, אלא שהוכחתו ניתנת לפירמול ב-PA. שוב, כל מה שזה אומר הוא שהפסוק C->G יכיח ב-PA - והפסוק הזה איננו G עצמו.
פינת השאלה הקטנה 318843
זהו נסיון נוסף שלי לעשות סדר, לפני שנחליט להעביר את המשך הפתיל ל דיון 1571. שוב אמספר את הטענות שלי כדי שתוכל לשלות במלקחיים את הטענה השגויה ולהסביר לי את הטעות. אני גם משמיט, בשלב הראשון, כל מיני פסאודו-טענות מעורפלות ואמירות כלליות ומנסה לגעת בלב העניין.

1. G הוא משפט ב PA.

2. G אומר "אני לא יכיח ב PA".

3. אם G אינו נכון, הרי שהטענה שהוא טוען שגויה, דהיינו הוא כן יכיח ב PA. מכאן: ב PA אפשר להוכיח משפטים לא נכונים (שהרי זאת ההנחה על G בסעיף זה), ומכאן שהיא לא עקבית. אם אתה מתעקש על הוכחה של משפט וגם של המשפט המנוגד לו, אפשר בקלות לנסח את המצב גם באופן הזה.

4. אם G נכון, הרי הטענה שהוא טוען מתקיימת, ומצאנו משפט נכון שאינו יכיח, ומכאן ש PA אינה שלמה.

עד כאן אין לי בעיה, וזה המקום בו הסיפור נגמר בד"כ. הצרוף של 3 ו 4 הוא המסקנה המקובלת ממשפט גדל: PA אינה שלמה או אינה עקבית. עכשיו:

5. האם ייתכן ש PA עקבית אך לא שלמה? הרי הראינו בסעיף 3 שאם היא עקבית אזי G חייב להיות נכון (אינו יכול להיות לא נכון).

6. מה זה "הראינו בסעיף 3"? הוכחנו. אם לא השתמשנו שם בשום דבר שחורג מתחומי PA הרי שהוכחנו זאת ב PA.

7. אם כך הוכחנו את מה שכביכול אינו יכיח והגענו שוב לסתירה.

8. אם כך PA אינה עקבית.

והערה לסיום: כידוע אני לא נמנה עם מחנה "מותר האדם ממכונות טיורינג" כך שאין צורך לחשוד בי שאני מנסה להשתמש במשפט גדל כדי לשרת איזו אג'נדה אנתרופוצנטרית. אתה צודק בכך שהרבה זמן חייתי בשלום עם G מתוך שהינחתי שסעיף 6 לא נכון, דהיינו שבסעיפים 3 ו 4 נעשה שימוש בטיעונים שחורגים מ PA (אין לי מושג אילו מחוקי הלוגיקה הם חלק ממנה ומה בדיוק מותר לטעון במסגרתה). רק כשהערת באחת ההודעות שהכל כולל הכל נעשה בתוך PA התחלתי להרגיש את תחושת חוסר הנוחות ממה שהולך כאן. אני מכיר היטב את התחושה הזאת: היא מהסוג שמתחלף מהר בהרגשה "איזה אידיוט אני", אבל אליה כבר התרגלתי מזמן.
פינת השאלה הקטנה 318927
לא הבנתי את 7. איזו סתירה? מה שהוכחנו הוא, כדבריך (ואני מצטט את סעיף 5): "הראינו בסעיף 3 שאם היא עקבית אזי G חייב להיות נכון". זהו, זה כל מה שהראינו: ש*אם* PA עקבית *אז* G חייב להיות נכון. זה (כמו שציינת ב-‏6) כל מה שאנחנו יודעים להוכיח ב-PA. איפה הסתירה?
פינת השאלה הקטנה 318942
אבוי. הראינו (תחת הנחת העקביות) ש G חייב להיות נכון, אבל G עצמו הרי אומר שאנחנו לא יכולים להראות דבר כזה ("א... אי.. אינ... אינני יכיח" הוא חוזר ואומר), כלומר הוא לא נכון. סתירה.

אולי העניינים יתבררו לי ביתר קלות אם תשיב על שאלה אחרת: האם ניתן לבנות בדומה ל G את המספר R שהטענה שהוא מייצג היא "אינני נכון ב PA"?
פינת השאלה הקטנה 318945
אבל אתה מבלבל בין "תחת הנחת העקביות, G נכון" ל-"G נכון".
שים לב:

"הראינו (תחת הנחת העקביות) ש G חייב להיות נכון"

נכון...

"אבל G עצמו הרי אומר שאנחנו לא יכולים להראות דבר כזה"

לא נכון. הוא אומר "אינני יכיח מהאקסיומות של PA ותו לא; אני לא מתחייב על מה יקרה איתי אם תצרף הנחות נוספות (למשל ההנחה ש-PA עקבית)".

בוא נסכים קודם על זה (או שלא), ואח"כ נדון בבעייתיות של המספר R.
פינת השאלה הקטנה 319014
התגובה הראשונה שלי היתה "אהה!" אבל מיד אחריה חזרה הרגשת חוסר הנחת.

אוקיי, היא אומרת לי, אז בוא נבנה את המערכת האקסיומטית SA, שהיא PA בצרוף האקסיומה "PA עקבית". המספר G ב SA הוא ממש אותו אחד שאנחנו מכירים ב PA (כלומר הוא עצמו עדיין מדבר על אי-יכיחותו ב PA, אבל אנחנו מסתכלים עליו מ SA) אלא שעכשיו הוא מוביל לסתירה: מאחר ו PA עקבית עפ"י האקסיומה שהוספנו, הוכחנו (בדרך השלילה) את המשפט שאומר על עצמו שאינו יכיח. לכן SA לא עקבית, אבל קל לראות ש SA עקבית אם"ם PA עקבית, ולכן PA אינה עקבית.

מה היית עונה לאותה הרגשה טורדנית?
פינת השאלה הקטנה 319027
"הוכחנו (בדרך השלילה) את המשפט שאומר על עצמו שאינו יכיח".

וביתר פירוט:

"הוכחנו (ב-SA) את המשפט שאומר על עצמו שאינו יכיח-ב-PA"

לכן SA לא עקבית? למה?
פינת השאלה הקטנה 319124
אהה! תודה.
פינת השאלה הקטנה 320295
אם טרם מיציתי את הסבלנות שלך, ואם יש לך זמן וחשק: מה עם המספר R?

(אם התשובה על הרישא שלילית זה בסדר, הכי גרוע אשוב אל GEB הישן והטוב, נדמה לי שהוא מזכיר אותו).
R מה הוא אומר? 320384
אין בעייה :-) אבל לא הבנתי מה ברצונך שהמספר R "יגיד". מה זה "נכון ב-PA"? נובע מהאקסיומות? נכון במודל הסטנדרטי של הטבעיים? אם זה הראשון, אז זה בדיוק "יכיח", כמו G. אם השני, אין לזה קשר ל-PA, ואין פרדיקט ב-PA האומר "x נכון בטבעיים". להגיד ש-x נכון זה פשוט להגיד "x"; להגיד שהוא לא נכון זה פשוט להגיד "לא x". אתה רוצה ש-R יהיה "לא R"? אי-אפשר...
יופי 318459
ג. אנסה להתחכם עוד יותר מהמתטיקאי שמעלי (תוך הסתכנות באמירת שטויות): התורה שיש בה אקסיומה אחת: "PA עקבית".
  יופי • עוזי ו.
  יופי • אלון עמית
  יופי • אורי גוראל-גורביץ'
  יופי • אלון עמית
  יופי • אורי גוראל-גורביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • אורי גוראל-גורביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • אורי גוראל-גורביץ'
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • ד.ק.
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • האייל האלמוני
  כלל לופיטל • משה כהן
  כלל לופיטל • האייל האלמוני
  כלל לופיטל • האייל האלמוני
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • ירדן ניר-בוכבינדר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל המבוהל
  יופי • ד.ק.
  יופי • אורי גוראל-גורביץ'
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • אורי גוראל-גורביץ'
  יופי • האייל האלמוני
  יופי • אורי גוראל-גורביץ'
  ללא כותרת • האייל האלמוני
  ללא כותרת • אורי גוראל-גורביץ'
  ללא כותרת • האייל האלמוני
  ללא כותרת • האייל האלמוני
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה מצודד? • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה מצודד? • האייל האלמוני
  אתה מצודד? • אורי גוראל-גורביץ'
  אתה מצודד? • האייל האלמוני
  אתה מצודד? • אורי גוראל-גורביץ'
  אתה מצודד? • האייל האלמוני
  עם ישראל חִי • ירדן ניר-בוכבינדר
  עם ישראל חִי • easy
  עם ישראל חִי • אלון עמית
  עם ישראל חִי • האייל האלמוני
  עם ישראל חִי • אלון עמית
  עם ישראל חִי • האייל האלמוני
  עם ישראל חִי • בלשן חובב
  עם ישראל חִי • גדי אלכסנדרוביץ'
  עם ישראל חִי • האייל האלמוני
  עם ישראל חִי • גדי אלכסנדרוביץ'
  או • אורי גוראל-גורביץ'
  או • ראובן
  עם ישראל חִי • האייל האלמוני
  עם ישראל חִי • עוזי ו.
  יופי • אלון עמית
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • אלון עמית
  יופי • ד.ק.
  יופי • אלון עמית
  יופי • ד.ק.
  יופי • אלון עמית
  יופי • ד.ק.
  יופי • אלון עמית
  יופי • ד.ק.
  יופי • גדי אלכסנדרוביץ'
  יופי • ד.ק.
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • ד.ק.
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • ד.ק.
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • ד.ק.
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • ד.ק.
  יופי • אלון עמית
  יופי • ד.ק.
  יופי • אלון עמית
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • ד.ק.
  יופי • האייל הצעיר
  יופי • האייל האלמוני
  איך מיידעים • ירדן ניר-בוכבינדר
  איך מיידעים • ראובן
  איך מיידעים • האייל הצעיר
  איך מיידעים • עומר
  איך מיידעים • האייל האלמוני
  איך מיידעים • עומר
  איך מיידעים • האייל האלמוני
  מגן דוד • שולם
  מגן דוד • ירדן ניר-בוכבינדר
  מגן דוד • האייל הצעיר
  מגן דוד • האייל האלמוני
  מגן דוד • האייל המבוהל
  מגן דוד • האייל האלמוני
  מגן דוד • האייל הצעיר
  מגן דוד • האייל הצעיר
  מגן דוד • ירדן ניר-בוכבינדר
  מגן דוד • האייל האלמוני
  מגן דוד • האייל הצעיר
  מגן דוד • ירדן ניר-בוכבינדר
  מגן דוד • האייל האלמוני
  יופיה אינו ידוע • ירדן ניר-בוכבינדר
  יופיה אינו ידוע • האייל האלמוני
  מגן דוד • האייל הצעיר
  מגן דוד • ירדן ניר-בוכבינדר
  יופי • ד.ק.
  YMMV = Your Mileage May Vary • יובל נוב
  YMMV = Your Mileage May Vary • ד.ק.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים