בתשובה לאלון עמית, 28/08/05 10:07
תגובתי לתגובת אלון עמית 326354
שלום לך אלון עמית,

אשמח לתגובתך המפורטת ל- http://noticingnumbers.net .

בהקשר לקשר בין שפת המתמטיקה לקיומנו כמערכות מורכבות המודעות לעצמן:

מדוע אתה חושב שאין שום קשר בין שרידה של מערכות כמונו לשפת המתמטיקה? (הריי שפה זו הינה פרי יצירה/גילוי שלנו כתוצאה מאינטראקציה מבוססת אבולוציה
בינינו (המרחב הפנימי המופשט) למרחב הפיזי הסובב אותנו.

תמוהה בעיני הגישה הבסיסית המתעלמת מהחבירה בין כישורים מולדים לכישורים נרכשים, כאשר חבירה זו מתקיימת במערכת מורכבת כמונו, הטומנת בחובה פרי מיליארדי שנות אבולוציה,
אשר הפכו אותנו למערכות פתוחות היכולות לכייל ולפתח עצמן תוך חבירה בונה בין כישורים מורשים לכישורים נרכשים.

מושג ההקשר משמש כתובנה מכוננת במתמטיקה, וכפי שציינת במקרה של שאלתו של משה קליין, הקו הינו מושג שונה בהקשרים שונים, מכאן שהמשמעות של מושג תלוייה בהשתייכותו למערכת
העקבית (קונסיסטנטית) הכוללת אותו.

מדוע אין מושג ההקשר אינו ניתן להרחבה לשפה המאפשרת יצירת/גילוי הקשרים שבין תכונותינו הטכנולוגיות/לוגיות לתכונותינו האתיות?

אם כושר השרידה שלנו תלויי בהקשר שבו אנו מעניקים משמעות לקיומנו, הריי שלדעתי אין לבטל על הסף מחקר היכול להוביל לפיתוח שיטות המאשפרות שילוב בונה בין תכונותינו השונות.

תובנה זו שימשה לי כרעיון מכונן ב-‏20 שנים האחרונות, שבהן פיתחתי את היסודות של מה שכיניתי "מתמטיקה-מונדית", אשר רובה ככולה עוסק במושגים היסודיים ביותר של שפת המתמטיקה כגון:

מושג הסימטריה, לוגיקה, מערכת אקסיומטית, ,מושג הקבוצה, מושג המספר, מושג הגבול, מושג האין-סוף וכו'.

הרעיון המכונן של המתמטיקה-המונדית, מבוסס על חבירה משלימה בין לפחות שני מושגים הופכיים אשר מונעים/מגדירים בו-זמנית את מרחב- החבירה ביניהם, לדוגמא:

אם נתייחס לשפת המתמטיקה כאל מערכת מידע, הרי שגבול המידע המינימלי הינו חוסר נתוני קלט, כאשר מצב זה מיוצג ע"י אי-התכולה של הקבוצה הריקה (המסומנת כ-{}).

אם אנו נוקטים בגישה משלימה, הריי שלפי גישה זו ניתן לבחון מהו גבול המידע המכסימלי אשר אינו יכול לשמש כנתון קלט, מכיוון שתכולתו אינה ניתנת לפירוק ע"י מערכת מידע.

אם הקבוצה-הריקה הינה גבול המידע המינימלי, הריי שהקבוצה-המלאה הינה גבול המידע המכסימלי.

הקבוצה-המלאה הינה קבוצה לא-ריקה המכילה תוכן בלתי-פריק, ומכאן נובע שאי-ריקנות זו אינה ניתנת לתיאור תוך שימוש במושג האוסף, מכיוון שתכונת אי-הפריקות מעניקה לתוכן הקבוצה-המלאה מעמד של אלמנט יסוד השקול לאי-פריקותה של תבנית-מידע המיוצגת ע"י נקודה (אלמנט בגודל 0).

ניתן לתאר את תוכן הקבוצה המלאה ע"י תבנית מידע המיוצגת העזרת קו רציף לחלוטין (אלמנט שאינו= 0 ואינו מורכב מתת-אלמנטים כמו נקודות, תת-קוים וכו').

תוכן הקבוצה המלאה יכול להיות מיוצג ע"י קו אינסופי פתוח ( {__}) , קו אינסופי פתוח-חלקי ({._} או {_.}) , קו סופי פתוח ({._.}) וקו סופי סגור ({O}).

תבניות המידע הנוספות שאינן קשורות לקבוצה המלאה הן הנקודה ({.}) והקבוצה הריקה ({}).

כמו כן יש לציין כי קצה של קו אינו שקול לנקודה, מפני שמושג הקצה הינו תכונה אינהרנטית ובלתי-נפרדת של הקו, כאשר מושג הכיוון הינה תכונה אינהרנטית של הקו (ומכאן, תכונה אינהרנטית של מושג הקצה).

מושג הנקודה (אלמנט שגודלו 0) אינו מכיל אינהרנטית את מושג הכיוון, ולכן הוא אינו שקול למושג הקצה.

ברצוני להדגיש שוב, שהקו והנקודה במתמטיקה-המונדית הן תבניות מידע כלליות שאינן שייכות לענף מתמטי מסויים, כמו גיאומטריה, טופולוגיה וכו'.

כאשר אנו משלבים את הקבוצה המלאה בתורת-קבוצות, משתנה התובנה שלנו לגבי מושג האוסף האין-סופי, מכיוון שאם מושג הרצף משוייך עתה לתוכן הקבוצה המלאה, הריי ששום אוסף אינסופי אינו יכול להשיג את עוצמת-הרצף של הקבוצה המלאה, ולכן כל אוסף אינסופי אינו שלם בעליל.

מתוך תובנה חדשה זו משתנה מושג העוקב מאיבר כלשהוא המוכל בקבוצה, לאיבר הקיים תמידית מחוץ לתחום הקבוצה ואינו מאפשר את השימוש בכמת אוניברסלי (לכל) על קבוצה אינסופית.

נובע מכך שהמערכת הקנטוריאנית הטרנספיניטית מבוססת על כשל מושגי הנובע מהתעלמות מקיומה של הקבוצה המלאה (שהיא, כאמור האלמנט המשלים של מושג הקבוצה-הריקה),

וכתוצאה מכשל מושגי זה מתקבלת האשליה שניתן לדעת את הערך המדוייק של הקרדינל של קבוצה אינסופית, דבר שנוגד את עצם המושג של אוסף אינסופי.

ניתן לטעון: "אם קיימת קבוצה N הריי שכל אברי N מוכלים בה, וכלן לא קיים איבר של N שהוא מחוץ לתווך של N.

התשובה לטענה זו היא: "המספרים הטבעיים מתקיימים מתוך המערכת האקסיומטית המגדירה את תכונותיהם, וכל אלמנט מתמטי הנובע מהגדרות אלה, הינו מספר טבעי המוכל בקבוצה N.

במילים אחרות, לא N קובעת את קיומם של המספרים הטבעיים, אלא האקסיומות המכוננות אותן, כאשר מושג הקבוצה עוזר למצוא את היחסים השונים היכולים להתקיים בין המספרים הטבעיים לעצמם, או למספרים אחרים.

לדוגמא: מערכת האקסיומות של Peano מגדירה את המספרים הטבעיים ללא שימוש במושג הקבוצה.

במילים אחרות, מושג האוסף האינסופי נגזר מהבנתנו את מושג העוקב, ומכיוון שהמערכת הקנטוריאנית אינה מכילה את מושג הקבוצה המלאה, הריי שהיא מבוססת על מערכת לא-סימטרית הנכשלת בהבנת מושג העוקב (Successor).

מאמר לא-טכני (בעברית) על המתמטיקה המונדית:
דוגמא למושג העוקב הנובע משימוש בקבוצה-המלאה: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=45&...
דוגמא להשפעה על הלוגיקה, הנובעת משימוש בקבוצה-המלאה: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=37&...
דוגמא לשימוש במושג הפרופורציה, באופן המדגים את עדיפותו על מושג הגבול: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=39&...

דיון על הקשר שבין מתמטיקה למושג האבולוציה: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=47&...

דיון על מושג העוצמות: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=27&...

שלך, דורון
תגובתי לתגובת אלון עמית 326366
a note written today by robert Ihnot

According to the Russian paper Pravda, "Fermat's theorem is the unproved theorem indicating that the equation xn + yn = zn has no solution for x,y,z nonzero integers when n is greater than 2."

However, the matter has changed: "Doctor of Technical Sciences Alexander Ilyin will present his proof of Fermat's theorem at a meeting to be held at the Academy of Aviation and Aeronautics. His colleagues in Omsk believe Alexander's proof is flawless and simple."

http://english.pravda.ru

Remember you heard it here first!

לרר היה אומר 326429
"I have a friend in Minsk, Who has a friend in Pinsk, Whose friend in Omsk Has friend in Tomsk With friend in Akmolinsk."

(הקישור המלא:

בין שאר עובדות תמוהות מצטיין המשפט:

There is a general proof by means of the Taniyama-Shimura theorem but it is subject to certain conditions. )

לרר היה אומר 698523
יום הולדת 90 שמח, טום לרר.
מאמר שנכתב עליו לפני שנתייםhttp://www.hesherman.com/2016/04/09/88-years-on-88-k...
תגובתי לתגובת אלון עמית 326368
רעיון "המתמטיקה המונדית" הזכיר לי את שתי התגובות האלו.
תגובה 199910
תגובה 206404

התודעה האינפיניטיסימלית של לייבניץ, הלוגריתם של החוויה עפ"י פכנר והתודעה האלגבראית של הרבטאל (כולל שימוש במושגי המונדות).
תגובתי לתגובת אלון עמית 326373
"הקבוצה-המלאה הינה קבוצה לא-ריקה המכילה תוכן בלתי-פריק, ומכאן נובע שאי-ריקנות זו אינה ניתנת לתיאור תוך שימוש במושג האוסף, מכיוון שתכונת אי-הפריקות מעניקה לתוכן הקבוצה-המלאה מעמד של אלמנט יסוד השקול לאי-פריקותה של תבנית-מידע המיוצגת ע"י נקודה (אלמנט בגודל 0)."

לא הבנתי:
1) מה זה "תוכן בלתי פריק" (בפרט מהי "אי הפריקות" שעליה אתה מדבר. האם הקבוצה {1} מכילה תוכן אי פריק? אם לא, איך מפרקים את 1? אם כן, האם {1} היא "הקבוצה המלאה"? אם לא, ההגדרה שלך לוקה בחסר. אפשר לנסות גם עבור הקבוצות {ש} ו-{?}).

2) לא הבנתי מדוע אי הריקנות אינה ניתנת לתיאור תוך שימוש במושג האוסף.

3) לא הבנתי איך אתה קובע גודל של אלמנט ואיך אתה מגדיר "0" בהקשר הנוכחי של הדיון.

4) האם אתה יכול להסביר מה כוונתך ב"תבנית-מידע"? לא צריך כמובן הגדרה פורמלית, כי אני מניח שזה מושג יסוד, אבל הסבר אינטואיטיבי יוכל מאוד לעזור.
תגובתי לתגובת אלון עמית 326406
אוף. לא הבנת ולא הבנת ולא הבנת כי הוא טרללללה, ואתה יודע את זה טוב מאוד. אלון עמית ישב וכתב מאמר שלם שמסביר עד כמה מה שאתה מנסה לעשות הוא חסר כל תועלת, אז מה ההגיון? בשביל מה?
תגובתי לתגובת אלון עמית 326418
במפתיע, אני לא מקבל את כל מה שאלון כותב כתורה מסיני ואני רוצה להתנסות בעצמי בדיאלוג עם כמה ''טרחנים'' לפני שאני גוזר עליהם (על כל קהילת הטרחנים) דין מוחלט. אני לא בטוח למה זה כל כך מפריע לך.
תגובתי לתגובת אלון עמית 326461
האייל האלמוני,

אני פתוח לביקורת, ולכן אשמח להבין מדוע אתה חושב שאני טרללללה.

הבמה לרשותך.

דורון
תגובתי לתגובת אלון עמית 326457
שלום גדי,

שאלה: מה זה "תוכן בלתי פריק" (בפרט מהי "אי הפריקות" שעליה אתה מדבר. האם הקבוצה {1} מכילה תוכן אי פריק? אם לא, איך מפרקים את 1? אם כן, האם {1} היא "הקבוצה המלאה"? אם לא, ההגדרה שלך לוקה בחסר. אפשר לנסות גם עבור הקבוצות {ש} ו-{?}).

תשובה: המתמטיקה-המונדית משתמשת בתבניות-מידע אלמנטריות המטרימות את מושג המספר הטבעי והן: מלאות אינסופית {__}, מלאות אינסופית חלקית {_.} או {._}, מלאות סופית פתוחה {._.}, מלאות סופית סגורה {O}, בדידיות {.}, ריקנות {}.

המתמטיקה המקובלת משתמשת רק ואך ורק ב-{.} ו-{} כתבניות-מידע אלמנטריות, לדוגמא:

היות ואתה משתמש רק ב-{.} בכדי להגדיר את {1}, אתה מתעלם מכך שהמספר 1 הוא לא פחות מ-{._.} המיוצג כ-{1_0}, המספר 2 הוא לא פחות מ-{._.} המיוצג כ-{2_0} וכו'.

המספר 1- הינו "תמונת-ראי" של {1_0} ומיוצג כ-{0_1} וכו'.

המספר 0 מבוסס על {.} ומיוצג כ-{0}.

המושג oo מיוצג ע" {__}, oo+ מיוצג ע" {_.}, oo- מיוצג ע" {._}.

מושג ההעדר מיוצג ע"י {}.

שאלה: לא הבנתי מדוע אי הריקנות אינה ניתנת לתיאור תוך שימוש במושג האוסף.

תשובה: אי-ריקנות בלתי-פריקה אינה ניתנת לתיאור ע"י מושג האוסף כי שום אוסף אינו קיים בתוכה.

מאידך, ניתן ליצור אוסף סופי או אינסופי של אלמנטים בלתי פריקים כגון:

{3_0, 0, 9_,0_...3.14, 7_0}, {...,1_0, 0, 2_,0_...3.14, 0.5_0} וכו'.

שאלה: לא הבנתי איך אתה קובע גודל של אלמנט ואיך אתה מגדיר "0" בהקשר הנוכחי של הדיון.

תשובה: כל האלמנטים שגודלם 0 מבוססים על {.}, כל האלמנטים שאינם 0 מיוצגים ע"י שאר תבניות-המידע בהתאם לגודלם.

שאלה: האם אתה יכול להסביר מה כוונתך ב"תבנית-מידע"?

תשובה: תבנית-מידע הינה הקיום המנימלי ההכרחי לשם דיון פורמלי או לא פורמלי.

לפרטים נוספיםת ראה נא: http://www.geocities.com/complementarytheory/My-firs...
תיקון קטן 326460
תיקון קטן לתגובתי הקודמת.

במקום {3_0, 0, 9_,0_...3.14, 7_0}, {...,1_0, 0, 2_,0_...3.14, 0.5_0}

צריך להיות {3_0, 0, 9_0, 0 _...3.14, 7_0}, {...,1_0, 0, 2_0, 0_...3.14, 0.5_0}
שאלה/ בקשה 326465
אתה כל הזמן חוזר על אותו טקסט, במקום להסביר אותו, למשל, מה אומר המשפאט "תבניות-מידע אלמנטריות המטרימות את מושג המספר הטבעי והן: מלאות אינסופית {__}, מלאות אינסופית חלקית {_.} או {._}, מלאות סופית פתוחה {._.}, מלאות סופית סגורה {O}, בדידיות {.}, ריקנות {}"?

או בפירוט, מה זה "תבניות מידע אלמנטריות"?

איך הן מטרימות(?) את "מושג המספר הטבעי"?

למה בכלל צריך להטרים מושג?

מה רע עשה לך מושג המספר הטבעי כמו שהוא מוגדר היום?

מה זה אומר "מלאות אינסופית {__}" (באותה הזדמנות, כל שאר הסימונים וההגדרות שאתה משתמש בהם).
שאלה/ בקשה 326479
שלום סמיילי,

האם ניסית לעיין ב-http://www.geocities.com/complementarytheory/gishoor... ?

כל שאליך להבין הוא את ההבדל היסודי שבין מושג הקו למושג הנקודה.

בוא ונבחן את מושג הנקודה לא כאלמנט גיאומטרי אלא דרך מושג השייכות, שהוא מושג מכונן בתורת-הקבוצות.

אלמנט הנקודה מסוגל להתקיים או בתוך הקבוצה {.} או מחוץ לקבוצה .{}, ואינו מסוגל להתקיים סימולטנית בתוך ומחוץ לקבוצה.

אלמנט הקו מסוגל להתקיים בתוך הקבוצה {__}, מחוץ לקבוצה __{} ואף סימולטנית בתוך ומחוץ לקבוצה _{_}.

תכונה זו משנה באופן יסודי את הבנתנו את מושג הקבוצה ומאפשרת שימוש במושג כמו אי-וודאות כתכונה מסדר-ראשון בתורת-קבוצות.

לפרטים נוספים אנא עיין ב: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=37&...

תודה,

דורון
שאלה/ בקשה 326487
כן, הסתכלתי בלינק הראשון, ובלינק השני.

לפני ש"נבחן" את מושג הנקודה ומושג הקו, בו נגדיר על מה אנחנו מדברים. אני קורא שוב ושוב את מה שאתה כותב, וזה פשוט חסר לי. אתה צריך להסביר את השפה בה אתה משתמש. כשאתה אומר "נקודה" אתה מתכוון לנקודה גיאומטרית, נקודה אבסטרקטית, סימון של נקודה ('.')? ולמה בדיוק אתה קורא "קו"?

כשאתה אומר "אלמנט הנקודה מסוגל להתקיים או בתוך הקבוצה או מחוץ לקבוצה, ואינו מסוגל להתקיים סימולטנית בתוך ומחוץ לקבוצה. אלמנט הקו מסוגל להתקיים בתוך הקבוצה, מחוץ לקבוצה ואף סימולטנית בתוך ומחוץ לקבוצה"‏1 אתה מכוון שיש "אלמנט נקודה" בודד ו"אלמנט קו" בודד, או שיש אוסף של אלמנטים מסוג נקודה ואוסף של אלמנטים מסוג קו? והאם יש קבוצה בודדת, או אוסף של קבוצות? האם בשפה שלך קו הוא "אוסף של נקודות", או משהו אחר? מה זה אומר שקו נמצא סימולטנית בתוך ומחוץ לקבוצה (האם זה אומר שחלק מהנקודות שעל הקו נמצאות בקבוצה)?

בכל מקרה, לא ראיתי בשום מקום (עד עכשיו) הגדרות שישנו "באופן יסודי את הבנתנו את מושג הקבוצה".
א. כשאתה מגדיר מושג חדש, מן הסתם התכונות שלו יהיו שונות מאשר המושגים הקיימים, אפילו אם הוא נקרא באותו שם.
ב. יש כבר תורות במתמטיקה בהם מוגדרים קבוצות של אלמנטים בסיסיים, אז אין כאן באמת "שינוי יסודי".

1 הוצאתי את הסימונים שלך, לא רק שהם לא עוזרים, הם פשוט מפריעים. אם אתה חושב שהם חיוניים, אתה צריך להסביר מה הם אומרים.
שאלה/ בקשה 326498
סמיילי,

קודם כל הרשה לי להודות לך על התענינותך בעבודתי.

אני אכן מתכוון לאלמנט קו יחיד (singleton) ולאלמנט נקודה יחידה (singleton) .

היות ואלמנט קו יחיד (singleton) אינו מורכב משום תת-אלמנטים,
יש לו את התכונה להיות In AND Out קבוצה נתונה.

לדוגמא, ראה נא את ההשפעה של אלמנט הקו על Venn Diagram:
שאלה/ בקשה 326772
בוא נמשיך לעבוד באופן מסודר, בלי לדלג או להביא דברים שלא הוסברו.

אז בשפה שלך יש שני אלמנטים יחידים, לאחד קוראים "נקודה" ולשני קוראים "קו" (באותה מידה אפשר היה לקרוא להם "1" ו"2", "אמת" ו"שקר" או "דוד" ו"שלמה"). את זה הבנתי (אני מקוה), נמשיך למושג הבא, "קבוצה".

מה זה, בשפה שלך, "קבוצה"? האם אלמנט מסויים ("קו" או "נקודה") "שייך" ל"קבוצה"? מה זה אומר שה"קו" "In AND Out" ב"קבוצה"? האם גם ה"נקודה" יכולה להיות "In AND Out" ב"קבוצה"? כמה "קבוצות" יש?
שאלה/ בקשה 326862
אלו אינם אלמנטים, אלא *סוגים* של אלמנטים. (יש הרבה "נקודה", יש הרבה "קו").
שאלה/ בקשה 326867
זה לא מה שדורון שדמי הגדיר, תגובה 326498.
שאלה/ בקשה 326874
אני באמת לא בטוח לגבי "אלמנט הקו" (מר שדמי - יש אחד כזה, או הרבה?), אבל "אלמנט נקודה" בוודאי יש כחול הים ("אשר לא יספר מרוב" זה "לא בן מניה").
שאלה/ בקשה 326879
האמת, אני לא בטוח בכלום, בגלל זה אני שואל. עד עכשיו, ככל שאני קורא יותר, אני מבין פחות. דווקא אתה נראה לי כאחד שמבין את השפה שלו, מה זה ה"קבוצה" הזאת, ומה הקשר שלה ל"נקודה" (או ל"נקודות") ול"קו" (או ל"קווים")?
תגובתי לתגובת אלון עמית 326500
סוגי ה"מלאות" השונים שלך מזכירים לי את ההגדרה של קטעים. האם לזה כיוונת? לא ברור לי לגמרי למה אתה טוען שהמתמטיקה המקובלת משתמשית רק ב-{.} וב-{}. בכל מקרה, מכיוון שלא הגדרת בצורה ברורה את סוגי המלאות שלך אלא רק נתת להם שם וסימן, אני לא מבין על מה אתה מדבר.

יתר על כן, בכלל לא ענית לשאלה שלי באשר לאי הפריקות. זה די מעליב.

בוא ננסה משהו אחר. תסביר לי (ונסה לא לגלוש למחוזות אחרים) מה בדיוק כוונתך בסימון {_.}.
תגובתי לתגובת אלון עמית 326505
קטע (באופן המתואר על-ידי) הינו אלמנט רציף לחלוטין שאינו מורכב מתת-אלמנטים.

רציפות מוחלטת שקולה לאי-פרוקות.

{_.} הינו אלמנט רציף לחלוטין בעל התחלה וללא סוף (או ההיפך).
תגובתי לתגובת אלון עמית 326510
חשבתי שהבנתי את הרעיון באי פריקות, אבל עכשיו שוב יש לי בעיה. הבאת את 3.14..._ בתור דוגמה לאלמנט אי פריק (שלוש הנקודות והקו אמורות לבוא מימין למספר ולא משמאלו). לי דווקא נראה שאפשר לפרק את המספר הזה בקלות: נניח, 3+0.14..._, אתה מבין את הרעיון. הרי כשאתה אומר "אינו מורכב מתת אלמנטים" אתה צריך גם להרחיב קצת על מהם כללי ההרכבה המותרים.

עכשיו מעניינת אותי השאלה מדוע לדעתך המושגים שעליהם אתה מדבר כאן לא קיימים כבר עכשיו במתמטיקה. מה למשל הפירוק של oo במתמטיקה "רגילה"?
תגובתי לתגובת אלון עמית 326512
היות ובמתמטיקה-המונדית מושג המספר מבוסס על שילוב מבני/כמותי

3.14_0 = 14._0 + 3_0 במבחינת כמות מצטברת אך שני הקטעים אינם שקולים לקטע היחיד בבחינה מבנית.
תגובתי לתגובת אלון עמית 326514
איך בא לידי ביטוי המבנה המדובר, ואיך זה שונה מהמתמטיקה הרגילה?
תגובתי לתגובת אלון עמית 326520
עיין נא ב http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=46&...

תודה,

דורון
אוקיי, ויתרתי 326524
אוקיי, ויתרתי 326530
זו טופולוגיה של קטעים על הישר הממשי (מוצפנת היטב). קבוצה ''אי פריקה'' היא קבוצה קשירה, שאי אפשר לפרק לאיחוד זר של שני קטעים. ''האינסוף האי-פריק'' הוא הישר הממשי כולו, והאינסופים עם נקודה באחד הקצוות הם קרניים. שני קטעים הם ''שווים'' (אם קראתי נכון) אם הם חופפים.
אוקיי, ויתרתי 326535
יפה מאוד ותודה. כשאתה אומר את זה, זה נשמע הרבה יותר ברור. להערכתך לרוב הטרחנים ניתן לעשות "תרגום" דומה?

אני חושב שהדיון הזה מסייע לי להעריך עוד יותר את המרצים שיש לי, ואת מי שפיתחו את המתמטיקה לצורה שבה מלמדים אותה היום (צורה שבה אפשר באמת להבין דברים מסובכים, במקום לסבך אותם עוד יותר).
אוקיי, ויתרתי 326556
זו שאלה מעניינת. אני חושב שלחלק גדול מאלו שאנחנו מסווגים כטרחנים יש באיזשהו מקום רעיון שהם מנסים לבטא - אבל הם לא טורחים ללמוד את הטרמינולוגיה המקובלת. במקום לנסות לקרב את הרעיון החדש שלהם אל הרעיונות המוכרים, הם עושים כל מאמץ *להתרחק* מהחומר ה"שגרתי", כדי להדגיש עד כמה מהפכני מה שהם עושים. אולי זה בגלל הרושם המוטעה-עד-מאד שכך נראות מהפכות (אמיתיות) במתמטיקה ובמדע.
אוקיי, ויתרתי 326570
טוב, זה לא חכמה. עוזי אשף בהסברים.
אוקיי, ויתרתי 326624
גדי,

עוזי לא נתן הסבר הקשור למתמטיקה-מונדית, והמרצים שלך אינם יכולים להסביר את האלמנט הבלתי-פריק במונחי תורת-הקבוצות הרגילה, אשר אינה משתמשת במושג המלאות כתוכן של קבוצה (מה שמכונה בפי הקבוצה המלאה (המסומנת כ-{__}) שהיא הקבוצה המשלימה של הקבוצה הריקה (המסומנת כ-{})).

ראה נא את תגובתי אליו ב-תגובה 326619

תודה,

דורון
אוקיי, ויתרתי 326639
תראה, אני לא הצלחתי להבין על מה אתה מדבר, כי אתה משתמש בעולם מושגים שנהיר ככל הנראה לך בלבד. האובייקטים היסודיים שאיתם אתה עובד ושלא הגדרת בצורה ברורה מזכירים מאוד את הקבוצות הפתוחות שאיתן עובדים בטופולוגיה הסטנדרטית על הישר. אם לדעתך יש הבדל מתמטי ולא סמנטי, נסה להראות אותו במקום להגיד שהוא קיים.

לעת עתה התחושה שלי היא שהתורה שלך לוקחת משהו קיים, נותנת לו שם מפוצץ, לא מסבירה מהו בדיוק ושמה עליו עוד כמה מגבלות, ולא ברור בשביל מה זה טוב.
אוקיי, ויתרתי 326652
אני משתמש במושג אחד פשוט בתכלית, שעד כה נבצר ממך להבינו, כי אתה מנסה להבינו במונחים של אוסף.

המושג הזה נקרא מלאות והוא המשלים של מושג הריקנות.

כשם שאינך יכול למצוא שום אוסף בקבוצה-ריקה, באותה מידה אינך יכול למצוא שום אוסף בקבוצה-מלאה.

מושג האוסף מתקיים רק ואך ורק במרחב-החבירה שבין ריקנות מוחלטת למלאות מוחלטת.

מושג הקו (הייצוג המינימלי של רצף או מלאות) ומושג הנקודה (הייצוג המינימלי של בדידיות) הינם שתיי תבניות-מידע יסודיות אשר אינן תלויות זה בקיומו של זה, והחבירה בין שני אלמנטים בלתי-פריקים (אטומיים) אלה מגדירה את תבניות המידע הקיימות במרחב-החבירה שבין מלאות מוחלטת לריקנות מוחלטת.

Emptiness {} and Fullness {__}, are the natural limits of any language, formal or informal.

Let Emptiness be represented by {}

Let a point be represented by {.}

Let a segment be represented by {._.}

Let Fullness be represented by {__}

By {} ← x(={.}) we mean that {.} is a potential {}.

By x(={._.}) → {__} we mean that {._.} is a potential {__}.

Monadic Mathematics is:

({},{__}):={x|{} ← x(={.}) AND x(={._.}) → {__}}

אנא הסבר נא לי מה מונע ממך להבין את מושג המלאות, כפי שתואר לעיל?

תודה,

דורון
אוקיי, ויתרתי 326658
מה שמונע *ממני* להבין ולו משפט אחד שלך היא השאלה מה לכל זה ולחברה תבונית מול חברות תבוניות אחרות?
אוקיי, ויתרתי 326659
ראשית, ברור שאתה לא משתמש בהגדרות המקובלות של תורת הקבוצות ולכן אמירה כמו "משלים" היא בעייתי, כי מדובר במושג שאני מכיר מתורת הקבוצות, ומשמעויות לא מתמטיות שלו הן סובייקטיביות מאוד.

נעזוב את זה. אני מוכן לקבל את זה ש"הקבוצה המלאה" שלך היא פשוט קבוצה שמכילה אובייקט אחד שלא ניתן להצגה כתוצר של אובייקטים אחרים (אם זו הכוונה ב"לא פריק"). זה לא עוזר לי במיוחד לדעת כיצד האובייקט הזה מקיים אינטראקציה עם אובייקטים אחרים, ומה ההבדל בינו ובין אובייקט לא פריק נקודתי (להשתמש במילה "רצף" לא עוזר כאן. אני מכיר "רצף" רק בהקשר של פונקציה רציפה).

עכשיו, בוא ננסה לדבר על מה שעוזי הציע (זה, לטעמי, החלק המעניין באמת בדיון): במה המודל שלך שונה מטופולוגיה של קטעים על הישר הממשי, כש"קבוצה אי פריקה" היא קבוצה קשירה, והקבוצה המלאה שלך היא הישר כולו? כוונתי להבדלים מתמטיים, לא סמנטיים. למשל: הישר הממשי ניתן להצגה כאיחוד בן מניה של קטעים פתוחים. האם אצלך "הקבוצה המלאה" לא ניתנת להצגה כאיחוד כלשהו של איברים אחרים? אם כן, מה ההגיון שעומד מאחורי כך ומדוע אין זו סתם הגבלה שרירותית? (אם זו סתם הגבלה שרירותית, בוא נוריד גם מהטופולוגיה את הדרישה שאיחוד של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה ונישאר סתם עם אוסף קבוצות שאנחנו קוראים להן "קבוצות פתוחות" ואין להן שום מבנה מעניין).
אוקיי, ויתרתי 326667
אין שום דבר בעייתי במושג משלים, הנגזר משיקולים של יופי המבוסס על מושג הסימטריה.

אם יש קבוצה-ריקה, אז יש קבוצה-מלאה ותכולותיהם של קבוצות אלה אינן ניתנות לתיאור במושגים של אוסף.

אנא עיין ב- תגובה 326354 והתחל נא לקרוא תגובה זו מהפסקה המתחילה במילים:

"הרעיון המכונן של המתמטיקה-המונדית, מבוסס על חבירה משלימה בין לפחות שני מושגים הופכיים ..."

הקבוצה-המלאה היא הישר-הממשי עצמו, ועוצמת הרצף שלו אינה מאפשרת קיומו של מושג האוסף בתחום קיומו.

הישר-הממשי מתקיים כאלמנט רציף לחלוטין שאינו מורכב מישויות יסודיות יותר, ולכן מושג האוסף לא מתקיים ללא תודעתו של החוקר.

האוסף מתקיים כתוצאה מחבירה שוברת רצף שבין תודעת החוקר לישר-הממשי, וגם אז מתקיים האוסף במצב של סופרפוזיציה, המשמש ככר לפעילות נוספת של תודעת החוקר, העוסקת בשבירה, מיון וחקירת היחסים האפשריים שבין אוסף הסימטריות השבורות.

מכאן נובע שאוסף כל המספרים הממשיים אינו קיים מראש, אלא הוא תוצר של שבירת הרצף של הישר-הממשי, ומיון תוצאות השבירה עפ"י דרגת הסימטריה הפנימית שלהם, המתקיימת בין מצב של סופרפוזיציה, למצב של מובחנות מלאה של כל אחד מאיברי האוסף.

כל אוסף אין-סופי הינו בלתי-שלם מעצם טיבעו כי הוא אינו יכול להשיג את עוצמת-הרצף של הישר-הממשי.

כפי שכבר הסברתי ב-תגובה 326512
3_0 ו- 2_1+0_0 שונים זה מזה מבחינה מבנית, דבר המעשיר את אפשרויות הבטוי של שפת המתמטיקה.
אוקיי, ויתרתי 326671
"הקבוצה-המלאה היא הישר-הממשי עצמו, ועוצמת הרצף שלו אינה מאפשרת קיומו של מושג האוסף בתחום קיומו"

אני לא מבין כיצד אתה יכול להשתמש כאן ב"עוצמת הרצף", שזה מושג שאני מכיר רק בהקשר של תורת הקבוצות הקלאסית ומבוסס על מושג האוסף.

את הדיבורים אחר כך, שמערבים את "תודעתו של החוקר" ו"סופרפוזיציה" אני לא יכול להבין עדיין, חכה עד שאני אלמד קוואנטים 1.

לא ראיתי שענית לשאלות שלי על הנושא שאני ציינתי בתור המעניין ביותר: למה הטופולוגיה של עוזי לא זהה למה שאתה מדבר עליו. אם השורה האחרונה בהודעתך ניסתה לעשות זאת, לא ברור לי איך, כי בטופולוגיה של עוזי אין 2_0 או 1_0.

תנסה לעזור לי קצת: דבר בשפה שלי, לא שלך. אני הבור מבין שנינו.
אוקיי, ויתרתי 326687
לפני כ-‏150 שנה נוצרו יסודותיה של המתמטיקה המודרנית, כאשר הטורמים העיקריים הינם פרגה, קנטור, דדקינד, ויירשטרס, ראסל,וייטהד, הילברט, צרמלו, פרנקל ועוד.

מושג הקבוצה הוגדר באוסף של אלמנטים מובחנים-היטב הניתנים לחקירה ע"י פונקציות המשמשות כאצמעי מיפוי בין קבוצות לעצמן ו/או לקבוצות אחרות.

על בסיס השילוב של מושג הקבוצה עם מושג המיפוי, הוגרדה קבוצה אינסופית כקבוצה השקולה לתת-קבוצה של עצמה.

בהמשך הובחנו עוצמות שונות של הקרדינלים של קבוצות אינסופיות, כאשר עוצמת-הרצף מוענקת ל-R , שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים, או במילים אחרות: R|=c|

במילים אחרות, המובן הפשוט של המילה "רצף" (כאשר לפי מובן זה רצף הינו שלימות אחת בלתי-פריקה ומוחלטת) הוענק לאוסף מובחן היטב של אלמנטים.

בקיצור "עוצמת-הרצף" מיוחסת לאוסף ולא לישות בלתי-פריקה כמו הישר-הממשי עצמו.

גרוע מכך, הישר-הממשי עצמו מתואר במונחים של אוסף, שזוהי סתירה מושגית יסודית של מושג הרצף במשמעותו הפשוטה המקורית.

שפת המתמטיקה הינה שפה התלוייה רבות באופן השימוש המדוייק של מושגיה, ולכן אי-דיוק זה יצר כשל מושגי יסודי אשר מנע את ההבנה המלאה והמדוייקת של מושג הרצף.

הכנסת מושג הקבוצה-המלאה מחזירה לתחום המתמטיקה את התובנה הפשוטה והמקורית של מושג הרצף.

הטופולוגיה המתוארת ע"י עוזי אינה מבוססת על מושג הקבוצה-המלאה, כי מושג זה פשוט אינו קיים באף ענף של המתמטיקה המודרנית (בינתיים).
אוקיי, ויתרתי 326692
תודה על הסקירה ההיסטורית. האם ב"רצף" אתה מתכוון ל"אי פריקות" וזהו? למה להשתמש בשתי מילים לתאר את אותו דבר?

בכל מקרה, זה לא מסביר את השימוש במונח "עוצמת הרצף" שמתייחס לקרדינליות של *קבוצה*, כלומר של אוסף. לכן, כשאתה אומר "הקבוצה-המלאה היא הישר-הממשי עצמו, ועוצמת הרצף שלו אינה מאפשרת קיומו של מושג האוסף בתחום קיומו" זה נשמע כאילו יש לך סתירה פנימית.

בכלל, נראה לי שכל הדיון על ה"רצף" הוא דיון סמנטי. אני חושב שהגיע הזמן להפסיק להשתמש במילה "רצף", ומעכשיו בבקשה כשאתה רוצה להשתמש במילה "רצף" במשמעות שאתה מייחס לה, השתמש במילה "רפץ". מכיוון שהמילה הזו חפה מקונוטציות מתמטיות קיימות כלשהן, תצטרך לנסות ולהסביר מה משמעותה בעינייך כדי שהדיון יתקדם.

השורה האחרונה שלך לא עונה לי על השאלה. חמור מכך, היא מתחמקת בדיוק כפי שחששתי שהיא תתחמק.

בוא אני אדגים לך למה זו התחמקות. אתה ודאי מכיר את מושג החבורה מאלגברה מופשטת. עכשיו בוא נניח שאני מגדיר "שלמות אקזיסטנציאלית" בתור "הרמוניה של אובייקטים" כך שכל שני אובייקטים הם "ניתנים למימוש משותף" כשהתוצר של "מימוש משותף" הוא אובייקט חדש השייך ל"הרמוניה". כמו כן אני אומר שבהרמוניה קיים "איבר האל" ש"מימוש משותף" שלו עם כל אובייקט X יוצר את האובייקט X. בנוסף, לכל אובייקט X קיים "אובייקט האחווה האלוהית" Y כך ש"מימוש משותף" של X עם Y יוצר את "איבר האל", וכך גם "מימוש משותף" של Y עם X. בנוסף אני דורש שאם X מתממש עם Y והתוצר מתמשש עם Z נקבל את אותו דבר כאילו מימשנו את Y עם Z ו-X התממש עם התוצר של התהליך הזה.

עכשיו יבוא עוזי ויגיד שהמצאתי את מושג ה"חבורה" כשהוא מוצפן היטב. אני, בתגובה, אגיד לו "מושג ה"חבורה" שמתואר על ידי עוזי אינו מבוסס על מושג ה"שלמות האקזיסטנציאלית"/"הרמוניית האובייקטים"/"האחווה האלוהית" כי מושג זה פשוט אינו קיים באף ענף של המתמטיקה המודרנית (בינתיים)"

אתה מבין? זה הרושם שמתקבל מקריאת הדברים שאתה כותב. נראה כאילו אתה נותן שם מפוצץ למשהו שכבר קיים ודוחה כל נסיון למצוא את אותו דבר במתמטיקה הנוכחית בגלל שלא קוראים לו באותו שם כמו זה שאתה המצאת. זו הסיבה שבגללה אני מבקש כל הזמן הבדלים מתמטיים ולא מילוליים בין מה שאתה מדבר עליו ובין הטופולוגיה של עוזי. טרם ראיתי כאלו.
אוקיי, ויתרתי 326694
גדי - נראה לי שהמצאת הוכחה משכנעת לקיומו של אלוהים! אני במקומך הייתי מציעה אותה לרב יצחק (נדמה לי?) תמורת אחוז סביר מרווחיו (אפשר להסתפק ב-‏20%, סביר שגם כך תוכל לעשות בכוטה לא קטנה...)
אוקיי, ויתרתי 326778
גדי,

הדברים שאני אומר פשוטים בתכלית, ומה אני אומר הוא שמושג הרצף במשמעותו המקורית (שהיא: אלמנט אחד ויחיד אשר גודלו לא=0 והוא אינו מורכב מתת-אלמנטים) אינו יכול לשמש כמושג המתאר אוסף של איברים מובחנים.

ברגע שאתה מבין את זה, אתה מבין מייד ששום אוסף של אלמנטים מובחנים אינו יכול ליצור רצף במובנו המקורי, ולכן כאשר אנו משווים בין אוסף אינסופי כלשהוא למצב הרצף עצמו, נובע מכך מיידית שכל אוסף אינסופי הוא בלתי שלם בהכרח.

במילים אחרות, הישר-הממשי איננו אוסף אלא הרצף עצמו, וקבוצה R (המוגדרת כאוסף של אלמנטים מובחנים היטב) אינה יכולה להשיג את הרצף עצמו, ולכן אין לה את עוצמת הרצף, פשוטו כמשמעו.

קבוצה R מתקיימת בתחום הישר-הממשי בגלל שאין לה את עוצמת-הרצף של הישר הממשי, וקיומה ככקבוצה תלוי בקיומו של הישר-הממשי, לדוגמא:

קיומו של הלוח עליו אני כותב אינו תלוי במה שאכתוב עליו, או במילים אחרות, הלוח אינו מורכב מאינסוף סימנים היכולים להכתב עליו, אלא הוא רקע רציף ללא כל סימן, המאפשר קיומם של אלמנטים מובחנים היטב.

באותה מידה R (שהיא אוסף של מצבים מובחנים היטב, ולכן אין לה את עוצמת הרצף) תלוייה בקיומו של הישר-הממשי (שהוא הרצף עצמו) ואין הישר-הממשי (הרצף עצמו) תלוי בקיומה של R.

מכיוון שעוצמת-הרצף מתקיימת רק ואך ורק באלמנט אחד ויחיד ורציף לחלוטין, והוא הישר-הממשי עצמו, נובע מכך באופן מיידי שלקבוצה R אין את עוצמת-הרצף, או במילים אחרות, הערך המדויק של הקרדינל של R (או של כל אוסף אינסופי אחר של אלמנטים מובחנים) פשוט אינו קיים, מכיוון ש-R (או כל אוסף אינסופי אחר של אלמנטים מובחנים) אינו שלם בהכרח, כאשר הוא מושווה למצב הרצף עצמו (כאשר מושג הרצף מוצג כאן במשמעותו הפשוטה והמקורית, ולא ע"י השימוש המסולף שנעשה בו מקנטור ואילך).

לפני שנמשיך, הייתי מבקש לדעת אם אתה מבין היטב את מושג הרצף במשמעותו המקורית (כפי שאני מציג אותו בתגובה זו).
אוקיי, ויתרתי 326788
הייתי רוצה להבהיר היטב את ההבדל בין המושגים "אוסף" ו-"קבוצה".

קבוצה הינה אמצעי לבחינת אלמנטים והיחסים ביניהם.

אוסף הוא אחד מהצורות היכולות להחקר בעזרת אמצעי זה, ולכן מושג האוסף אינו שקול למושג הקבוצה.

לדוגמא: הריקנות (שהיא אי-התכולה של הקבוצה-הריקה) והמלאות (שהיא התוכלה הרציפה לחלוטין של הקבוצה המלאה) אינן מוגדרות ע"י מושג האוסף, אך הן בהחלט אלמנטים ברי-דיון במסגרתה של תורת-קבוצות.

האם דבריי ברורים?
אוקיי, ויתרתי 326794
לא ממש. אני חושב על ''קבוצה'' כעל קופסה, ועל ''אוסף'' כעל מה שאותה קופסה מכילה. במסגרת התפיסה הזו ''ריקנות'' יכולה להיחשב כמצב של היעדר אוסף כלשהו (כלומר, הקבוצה הריקה אינה מכילה אף אוסף) אך אני לא מסוגל לחשוב על ''מלאות'' בצורה דומה.

אני חושב שההבחנה שאתה מנסה לבצע כאן היא פילוסופית-סמנטית מעיקרה, לא מתמטית.
אוקיי, ויתרתי 326797
"אני חושב שההבחנה שאתה מנסה לבצע כאן היא פילוסופית-סמנטית מעיקרה, לא מתמטית."

לא, זוהי הגדרה תבונית ישירה שאינה מוגבלת לא לפילוסופיה ולא למתמטיקה.

המשך הדיון ביננו תלויי ביכולתי להעביר אליך את התובנה הזו, ולכן אנסה לחדד את דבריי:

אני חושב על קבוצה כאל מרחב-דיון שבו ניתן לדון באלמנטים מופשטים/לא-מופשטים והיחסים ביניהם.

מושג הריקנות ומושג המלאות אינם קשורים למושג האוסף, וכל אחד מהמושגים הנ"ל הוא אלמנט בר-דיון במסגרתה של תורת-קבוצות, כאשר המושגים ריקנות ומלאות אינם נגזרים זה מזה, ויש להם מעמד עצמאי השקול לשתיי אקסיומות.

במילים אחרות: ריקנות ומלאות הם מושגים עצמאיים-הדדית (אינם נגזרים זה מקיומו של זה), וחבירה בונה ביניהם מגדירה מרחב המתואר במושגים של אוסף.

במילים אחרות, האוסף תלויי בקיומם העצמאי-הדדית של הריקנות והמלאות, אך לא להיפך (יש כאן היררכית תלות חד-משמעית לחלוטין).

הבנה חד-משמעית שלך לדברי אלה, היא קריטית להמשך הדיון ביננו, ולכן אשאל אותך, טרם נמשיך, האם אני מובן?
אוקיי, ויתרתי 326806
לא הבנתי כלום. אני אחכה לעוזי...
אוקיי, ויתרתי 326809
האם קשה לך להבין שאין כל אוסף במצב של ריקנות מוחלטת או במצב של מלאות מוחלטת?

או במילים אחרות, האם קשה לך להבין שאוסף קיים רק ואך ורק בין ריקנות למלאות, אך אינו בנמצא לא במצב ריקנות מוחלטת ולא במצב מלאות מוחלטת?

הסבר נא לי מהו הקושי שלך להבין את הנ"ל.

תודה,

דורון
אוקיי, ויתרתי 326810
אני לא מבין מה זו "מלאות מוחלטת". אני לא רואה סימטריה בין "ריקנות" ובין "מלאות". כשמשהו הוא ריק, אין בו כלום, ואני מכיר רק סוג אחד של "כלום". כשמשהו הוא מלא, לעומת זאת, יש בו משהו, אבל לאותו "משהו" יכול להיות אופי מסויים, ויכול להיות לו גם אופי שונה לגמרי. אני יכול למלא צנצנת באבנים, במלט, בצפרדעים או במיץ פטל. אני לא מסוגל לדמיין צנצנת שמלאה ב"מלאות" ואי אפשר לדבר על מהות הדבר שהיא מכילה.

בצורה מתחכמת אפשר לומר שצנצנת שאם צנצנת היא ריקה היא "לא מכילה צפרדעים" וגם "לא מכילה מלט" וכו' וכו'. שבירת הסימטריה עדיין קיימת: צנצנת היא לא ריקה אם *כל* דבר לא נמצא בתוכה. צנצנצת היא מלאה לחלוטין אם *קיים* משהו שממלא אותה.

לכן, אני מסוגל לחשוב על מה שאתה מדבר עליו כ"מלאות מוחלטת" רק בתור המושג המתמטי של "הקבוצה שמכילה הכל". בפרט הקבוצה הזו מכילה את עצמה ואז יש לנו את הבעיה הישנה של הקרדינליות שלה.

המושג שעליו אתה מדבר מזכיר לי יותר את הישר הממשי לאחר שנכפתה עליו המגבלה לפיה אי אפשר לפרק אותו לתת קבוצות. מכיוון ש"פירוק" במובן הרגיל כמובן שאפשרי, המבנה המתמטי שאתה מדבר עליו מזכיר את זה שעוזי דיבר עליו: הטופולוגיה הרגילה על הישר כאשר "פירוק" צריך להתבצע לשתי קבוצות פתוחות, ואז אובייקט הוא "רציף" על פי הגדרתך אם הוא קשיר על פי ההגדרה הטופולוגית המקובלת.
אני רק שאלה 326813
כתבת: "אני לא מסוגל לדמיין צנצנת שמלאה ב"מלאות" ואי אפשר לדבר על מהות הדבר שהיא מכילה."

אחד הדברים, כנראה, שמאפשרים תודעה - להיות מודעים - זה 'קשב'. אם מסביבנו יש אוסף של דברים אליהם אנחנו יכולים להיות קשובים, אליהם אנחנו יכולים להסיט את תשומת הלב שלנו, הרי תודעה קיימת כשאתה מעביר את הקשב שלך בין 'גרוי' אחד למשנהו. הקפיצתיות ו'התחרותיות' בין דברים שנוים כדי להיות מברכז הקשב שלך היא התודעה, מעבר הקשב בין גירוד בגב למחשבה על מוסר לאכילת מלפפון. עכשיו, אם יש משהו - נקרא לו אלוהים - שהוא כל יודע, אחד יחיד ומיוחד, הרי שעבורו כל הארועים כולם נמצאים ממרכז הקשב שלו. תשומת הלב של א' לא עוברת מדבר אחד למשנהו אלא היא קבועה ומכילת-כל, ולכן אומרים שא' איננו משתנה (לפחות מן המבט הזה) משום שהוא קבוע ומכיל בעת ובעונה אחת את כל האפשרויות שהיו גורמות לחיה רגילה להסיט את תשומת ליבה מדבר אחד למשנהו. יצא מכך שליציר כזה - אלוהים - לא יכולה להיות תודעה, קרי הוא לא מודע, ולא ניתן לדבר עליו במונחים אלה.

זה קשור?
אני רק שאלה 326814
אולי זה קשור למה שדורון מדבר עליו, אבל אני לא רואה הרבה קשר בינו ובין מה שאני מכיר בתור ''מתמטיקה''.
אני רק שאלה 326816
זה נשמע כמו הטענה שהאלים אינם מחייכים (וסביר שאינם חולמים).
אני רק שאלה 326817
לא, אבל זה קשיר. וכשר.

ועל ה''רציף'' של התורה המונאדית כבר אמר מי שאמר שהדרך לגיהנום רציפה בכוונות טובות.
אני רק שאלה 326834
למעשה, האסוציאציה הראשונה שקפצה לי לראש כשקראתי את ההודעות של דורון היא הדיאלוג האפלטוני ''פרמנידס''. בדיאלוג ההוא (אשר נידמה לי ששימש את אפלטון כתגובה להשגות של אריסטו על תורת האידאות) דנים סוקרטס הצעיר ופרמנידס על מהותו של ה''אחד'', מה שדורון היה אולי קורא לו ''הקבוצה המלאה''. טיעון אופייני לדיאלוג הוא שהאידאה של האחד היא בלתי מוגבלת, מאחר ואין לה התחלה אמצע או סוף (שהרי אלו חלקים שונים, ואילו מטבעו של האחד איננו פריק), לא בזמן ולא במרחב. בהמשך מסתבר שהאחד איננו יכול לזוז ואיננו יכול להשתנות, ועוד ועוד אבחנות מעניינות לזמנן. מה שדורון עושה נשמע כמו פרמנידס שנפל לפתע לתוך האלף השלישי לספירה.
אני רק שאלה 326835
אכן, זו הייתה גם האסוציאציה הראשונה שלי. הוא באמת מקדם את זמנו.
אני רק שאלה 327521
"...ועוד ועוד אבחנות מעניינות לזמנן. מה שדורון עושה נשמע כמו פרמנידס שנפל לפתע לתוך האלף השלישי לספירה."

גיל, על סמך מה אתה קובע גבולות בזמן לטיבן של אבחנות?

מה שאני עושה הוא דבר פשוט לחלוטין.

אני יוצר סימטריה בתורת-הקבוצות ע"י הוספת מושג הקבוצה-המלאה, שתוכנה הוא ההיפוך המדויק של אי-תוכן הקבוצה-הריקה.

תכני (או אי-תכני) הקבוצות הנ"ל אינן אוסף, ולכן מושג הקבוצה עובר הרחבה והוא איננו מקיים יותר את השקילות קבוצה=אוסף.

יותר מכך: היות ו-R הינו אוסף אינסופי, אנו מבינים מייד שמושג הרצף אינו משוייך אליו יותר, כי עתה רק לקבוצה-המלאה יש את עוצמת הרצף ולכן כל אוסף אינסופי נתון אינו שלם בהכרח, כי הוא אינו יכול "לכסות" כליל (בשלימות) את תוכן הקבוצה-המלאה, ולכן הקרדינל המדוייק של קבוצה איסופית אינו קיים כלל, והעולם הטרספיניטי אומר שלום ויוצא מהמשחק.

במילים אחרות, במקום השערת-הרצף יש כאן תשובה פשוטה וריגורוזית המראה בבירור את אי-קיומו של העולם הטרנספיניטי.
אני רק שאלה 327563
האם זה נכון ש"הקבוצה המלאה" היא כל-כך מלאה עד ש*אף* קבוצה (במובן הקלאסי של המלה, לפני ההרחבה שאתה מציע) לא יכולה לכסות אותה?

אם כך, מדוע המתמטיקאים אינם יכולים לבנות את קבוצת המספרים הממשיים במסגרת תורת הקבוצות, כפי שהם נהגו לעשות במאה השנים האחרונות, ולהמשיך להוכיח שם שמתקבל שדה סדור שלם (="רצף") עם עוצמה כזו-וכזו? כל זה יקרה בארגז החול שלנו; בעולם האמיתי יהיו גם "קבוצות מלאות" שעליהן המתמטיקה אינה יודעת להגיד דבר וחצי דבר (אגב - לא ענית לי עדיין לשאלה האם יש רק קבוצה מלאה אחת, או יותר). בשביל מה לך להחריב למתמטיקאים את המשחק הקטן שלהם, שבתוכו יש משמעות לקרדינלים אינסופיים וכל השאר? אתה יודע שאם נוסיף את הקבוצה המלאה למערכת, המושגים האלה יאבדו משמעות. הנח לאנשים שרוצים דווקא לא להוסיף, לדבוק בתאוריות שלהם.
ושפוני טמוני חול 327625
כל מה שמר שדמי מנסה לעשות הוא להראות לכם את חוף הים הסמוך, שעה שאתם מתעקשים לשחק בארגז החול הקטן שבו אתם שבויים כתינוקות אלו.
אני רק שאלה 326958
אפשר לתאר זאת באופן הפשוט הבא:

התודעה היא שילוב בין רצף מוחלט לבדידיות מוחלטת, היוצרת מערכת אורגנית הניתנת לחקירה.

החקירה הינה תהליך רקורסיבי של התודעה את עצמה, הכוללת גם את המידע המזוהה כמה שאינו עצמה.

השילוב שבין המידע השייך לעצמה ובין המידע שאינו שייך לעצמה, הוא מרחב החקירה של המתמטיקה-המונדית.
אוקיי, ויתרתי 326837
מלאות מוחלטת הינה ההיפוך המדויק של ריקנות מוחלטת

תורת-הקבוצות הרגילה מבוססת על שתיי תבניות מידע בסיסיות והן:

הקבוצה-הריקה (המסומנת כ-{})

קבוצה לא-ריקה (המסומנת כ-{x})

המתמטיקה-המונדית מבוססת על ארבעה תבניות מידע בסיסיות והן:

הקבוצה-הריקה (המסומנת כ-{} וזהה ל-{} של המתמטיקה הרגילה)

קבוצה לא-ריקה (המסומנת כ-{.} וזהה ל-{x} של המתמטיקה הרגילה)

קבוצה לא-מלאה (המסומנת כ-{._.})

הקבוצה-המלאה (המסומנת כ-{__})

כל שאליך להבין הוא את ההבדל היסודי שבין מושג הקו (קבוצה לא-מלאה/מלאה) למושג הנקודה (קבוצה לא-ריקה) .

בוא ונבחן את מושג הנקודה לא כאלמנט גיאומטרי אלא דרך מושג השייכות, שהוא מושג מכונן בתורת-הקבוצות.

אלמנט הנקודה מסוגל להתקיים או בתוך הקבוצה {.} או מחוץ לקבוצה .{}, ואינו מסוגל להתקיים סימולטנית בתוך ומחוץ לקבוצה.

אלמנט הקו מסוגל להתקיים בתוך הקבוצה {__}, מחוץ לקבוצה __{} ואף סימולטנית בתוך ומחוץ לקבוצה _{_}.

תכונה זו משנה באופן יסודי את הבנתנו את מושג הקבוצה ומאפשרת שימוש במושג כמו אי-וודאות כתכונה מסדר-ראשון בתורת-קבוצות.

לפרטים נוספים אנא עיין ב: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=43&...

כמו כן ניתן להראות בעזרת המתמטיקה המונדית, כי לכל מספר טבעי יש מבנה פנימי הניתן לסידור לפי דרגות סימטריה שונות הקיימות בין אי-בהירות למובחנות, כאשר הכמות נשארת ללא שינוי.

בתוך מרחב פנימי זה מתקיים יחס משלים בין הפעולות כפל וחיבור, אשר אינן משנות את הכמות.

ניתן להציג מרחב פנימי זה כמרחב-החבירה הקיים בין Set ל-Multiset .

הבה ונדגים את מרחב-החבירה הפנימי של המספר הטבעי 4:

A set is only a framework to explore our ideas.

The concept of an oredered set does not depend on the quantity concept as shown here:

By Complementary Logic multiplication is noncommutative,
but another interesting result is the fact that multiplication
and addition are complementary opreations that can be ordered
by different internal symmetrical degrees where the quantity
remains unchanged, for example:

A Number is anything that exists between ({},{__})

Or in more formal definition:

({},{__}):={x|{} <-- x(={.}) AND x(={._.})--> {__}}

Where -->(or <--) is ASPIRATING(= approaching, but cannot become closer to).

If x=4 then number 4 example is:

Number 4 is a fading transition between multiplication 1*4 and
addition ((((+1)+1)+1)+1) ,and vice versa.

This fading transition can be represented as:

(1*4)..............={1,1,1,1}.<-------------.Maximum symmetry-degree,
((1*2)+1*2)........={{1,1},1,1}..............Minimum information's
(((+1)+1)+1*2).....={{{1},1},1,1}............clarity-degree
((1*2)+(1*2))......={{1,1},{1,1}}............(no uniqueness)
(((+1)+1)+(1*2))...={{{1},1},{1,1}}
(((+1)+1)+((+1)+1))={{{1},1},{{1},1}}
((1*3)+1)..........={{1,1,1},1}
(((1*2)+1)+1)......={{{1,1},1},1}
((((+1)+1)+1)+1)...={{{{1},1},1},1}.<------ Minimum symmetry-degree,
..............................................Maximum information's
..............................................clarity-degree
..............................................(uniqueness)

אוקיי, ויתרתי 326840
נראה לי שהבנתי משהו. בתורת הקבוצות הרגילה כל קבוצה מאופיינת על ידי האיברים שהיא מכילה, כשלכל איבר יש את התכונה שהוא שייך לקבוצה A או לא שייך לקבוצה A, ובהכרח אחד משני אלו.

ההרחבה שלך מוסיפה סוג חדש של איברים, שאני אקרא להם "קסומים" כדי להימנע מקונוטציות קיימות (אתה קראת להם "אלמנט קו"): איברים שיכולים להיות שייכים לקבוצה ולא שייכים לה בו זמנית (לא ברור לי אם אתה מאפשר את האופציה האחרונה - שהם לא יהיו שייכים לא לקבוצה ולא למשלימתה).

מכאן ועד להבנה של מה זו "קבוצה מלאה" עוד רחוקה הדרך. מהסימנים שלך מתקבל הרושם כי קבוצה מלאה היא קבוצה שמכילה איבר קסום. כאן בערך איבדתי אותך, כי הציור של קבוצה הלא-מלאה נראה כמו קבוצה שמכילה איבר קסום כש"סביבו" שני איברים רגילים, ואני לא מכיר מושג של "סביב" בקבוצה רגילה שאין בה סדר - כלומר, אני לא רואה מה ההבדל בין {.__.} ובין {..__} או {__..}.

מיותר לציין שלא ברור לי מה עשית עם 4 בסוף, אבל ממבט חטוף באוסף הביטויים שלקראת הסוף מתקבל הרושם שהמצאת שיטת קידוד לא רעה לביטויים אריתמטיים בעזרת קבוצות.

אגב, להגיד ש"מלאות מוחלטת היא ההיפוך המדויק של ריקנות מוחלטת" לא אומר לי כלום מהסיבות שציינתי קודם. באותה מידה יכלת לומר ש"עכחגךלע מוחלטת היא ההיפוך המדוייק של צהוב/"יוליסס" של ג'יימס ג'ויס/נייר טואלט/מטריצה עם שורת אחדים ושורת אפסים". לא לכל דבר אפשר לחשוב על "היפוך מדוייק".
אוקיי, ויתרתי 326859
"הציור של קבוצה הלא-מלאה נראה כמו קבוצה שמכילה איבר קסום כש"סביבו" שני איברים רגילים, ואני לא מכיר מושג של "סביב" בקבוצה רגילה שאין בה סדר - כלומר, אני לא רואה מה ההבדל בין {.__.} ובין {..__} או {__..}."

{._.} הינו סימון כללי לרצף מוחלט פתוח בעל גודל סופי ({O} הינו סימון לרצף מוחלט סגור בעל גודל סופי).

שתי הנקודות ב-{._.} מציינות את קצוות הרצף הפתוח הסופי, כאשר קצה אינו שקול לנקודה.

קצה של קו (רצף פתוח סופי) אינו שקול לנקודה, מפני שמושג הקצה הינו תכונה אינהרנטית ובלתי-נפרדת של הקו, כאשר מושג הכיוון הינה תכונה אינהרנטית של הקו (ומכאן, תכונה אינהרנטית של מושג הקצה).

מושג הנקודה (אלמנט שגודלו 0) אינו מכיל אינהרנטית את מושג הכיוון, ולכן הוא אינו שקול למושג הקצה.

ברצוני להדגיש שוב, שהקו והנקודה במתמטיקה-המונדית הינן תבניות מידע כלליות שאינן שייכות לענף מתמטי מסויים, כמו גיאומטריה, טופולוגיה וכו'.
אוקיי, ויתרתי 326860
שני דברים לא ברורים:

1) כיצד מוגדר "גודל" של האובייקטים שבהם אתה מתעסק?

2) מה ההבדל בין {__} ובין {__.}? כלומר, איך בא לידי ביטוי "קצה"? האם ההבדלה היא שרירותית? ("יש רצף שאין לו קצה ויש רצף שיש לו קצה אחד ויש רצף שיש לו שני קצוות")
אוקיי, ויתרתי 326953
גודל של אלמנט יחיד מוגדר ע"י פרופורציה, לדוגמא:

{.} הינו בדיוק 0.

{._.} הינה תבנית המידע הכללית המציינת גודל סופי שאינו= 0.

ניתן להגדיר באופן שרירותי 1_0 השקול ל-‏1+ ו-‏0_1 השקול ל-‏1-.

על סמך גדלים אלה ניתן למצוא את שאר המספרים הממשיים, לדוגמא:

2__0, 3___0 השקולים ל-‏2+ ול-‏3+

3.14____0 , 0____3.14 השקולים ל-‏3.14+ ול-‏3.14- , וכו'

{__} הינו רצף מוחלט ללא התחלה וללא סוף והוא שקול ל-oo

{_.} שקול ל-oo+

{._} שקול ל-oo-
אוקיי, ויתרתי 327015
אני מצטער, אבל לא ברור איך הגדרת את 2__0, למשל, באמצעות הגדלים השרירותיים 1_0 ו-‏0_1. גרוע מזה, לא ברור איך אתה משיג את כל המספרים הממשיים אם אתה מגדיר גודל באמצעות "פרופורציה". במובן שאני מכיר של "פרופורציה" אי אפשר להגדיר מספרים כמו שורש 2, למשל.
אוקיי, ויתרתי 327043
גדי:

"אני מצטער, אבל לא ברור איך הגדרת את 2__0, למשל, באמצעות הגדלים השרירותיים 1_0 ..."

דורון:

כל R member הינו תוצר של היחס בין 1_0 ל-x כאשר 1_0/x = 0_x

כאשר 1_0 ידוע כל שאר המספרים הממשיים ידועים:

First let us examine a well-known relation between mathematical objects and their representations.

=>> is ‘represented by’

|{}|=>>0 ; |{{}}|=>>|{0}|=>>1 ; |{{},{{}}}|=>>|{0,{0}}|=>>|{0,1}|=>>2 ;

|{{},{{},{{}}}}|=>>|{0,{0,{0}}}|=>>|{0,1,2}|=>>3 ; …

Let us see how we use my method to construct a collection of R members.

R members are constructed like this:

1) First let us examine how we represent a number by my system:

=>> is ‘represented by’

a) |{}|=>>0

b) There is 1-1 and onto between ‘0’ and the left edge of {._.} and we get {‘0’_.}

c) |{{}}|=>>|{0}|=>>1

e) There is 1-1 and onto between ‘1’ and the right edge of {._.} and we get {‘0’_’1’}

In short, {.} is the initial place of R collection, which is represented by ‘0’, where {‘0’_.} is the initial place of the second place of R collection, which is represented by ‘1’, and we get our first two must-have building-blocks of R collection.

2) When we get {‘0’_’1’} we have our two must-have numbers, which are ‘0’
and _’1’. Be aware that ‘0’ is the representation of {.} where ‘1’ is the representation of {._.}.

3) If we get {.}_AND_{._.}, then and only then we have the minimal must-have information to construct the entire R collection because:

a) We have ‘0’ AND _’1’ that give us the to basic scale factors 0 and _1.

b) We also have our initial domain _1, which stands at the basis of any arbitrary scale factor that is determined by the ratio between the initial domain _1 and another segment, which is smaller or greater than the initial domain _1 , for example:

0 = .

1 = 0__1

2 = 0____2

3 = 0______3

.5 = 0_.5

0_________pi

The negative numbers are the left mirror image of the above numbers.

There is no division in my number system because both {.} and {._.} are indivisible by definition.

In short, any segment is an independent element that clearly can be shown in the above 2-D representation.

If we use a 1-D representation, we get the standard Real-line representation, but then we can understand that division is only an illusion of an overlap of independent elements when they are put on top of each other in a 1-D representation,
for example:

0_.5__1_____2_____3__pi

Since in my system nothing is divisible, then '/' stands for a ratio between at least any given two (indivisible) numbers.

אוקיי, ויתרתי 327045
אכפת לך להסביר את הסימונים שלך (כן, כבר ביקשתי את זה, ואפילו התחלת להסביר, ומשום מה לא ענית לתגובה 326772, ויש כאן לפחות קורא אחד שהסימונים שלך ברורים לו פחות מסינית).
אוקיי, ויתרתי 327050
הי סיילי,

אנא ראה תגובה 326837
אוקיי, ויתרתי 327080
כן, קראתי, ואם בכל זאת שאלתי סימן שלא הבנתי. אם אתה לא רוצה להסביר, זאת זכותך, אבל הרושם שאתה עושה הוא בהחלט של טרחן כפייתי. הרושם הזה נגרם, לפחות אצלי, משילוב של כמה גורמים ביחד (רשימה חלקית):
א. שימוש בשפה פרטית שהמצאת ושאף אחד לא ממש מבין, (וודאי שאף אחד לא מצליח איך לחפש בה סתירות).
ב. חוסר נכונות להסביר את אבני היסוד של השפה הזאת.
ג. הצהרות באשר ליכולת של השפה לפטור בעיות שלא ברור לי כמה אתה מודע לקושי שלהן (שילוב של קוונטים ויחסות).
ד. הצהרות באשר ליכולת של השפה לפטור בעיות ששפה מתמטית, מוצלחת ככל שתהיה, לא תוכל לפתור לעולם (למשל, תודעה).
ה. הכתרת עבודות של מתמטיקאים אחרים כ"טעות". חשוב להדגיש, כאן זאת פשוט גסות רוח וטפשות. יכול להיות שהשפה שלך באמת מחזיקה מים, יכול להיות שהיא אפילו תענה מתישהו לסעיפים א,ב וג. זה עדיין לא עושה מהעבודה של קנטור לא נכונה. מקסימום, וזה ממש המקסימום, הגדרת שפה מתמטית חדשה, שמקסימום פוטרת בעיה פיזיקלית או מתמטית.
ו. התעקשות על שימוש יחודי במושגים שבשפה שלך, אתה חוזר ואומר שהקו שאנחנו מכירים איננו באמת קו, ושהקבוצה שאנחנו מכירים איננה קבוצה. זה פשוט מגוחך, קבוצה היא מושג שמוגדר בצורה מסויימת, לך יש הגדרה אחרת למושג אחר, דבר לגיטימי לחלוטין, ואתה מתעקש לקרוא למושג שלך באותו שם, גם כן לגיטימי, זה ודאי לא הופך את ההגדרות הישנות ללא נכונות. הן הגדרות, ולכן הן נכונות מעצם הגדרתן.
ז. השוואה לאינשטיין. אינשטיין הצליח למצוא את הנוסחה לפליטה של גוף שחור מהגדרה בסיסית, ובעזרתה הביא הסבר ראשון לתלות שהיתה ידועה ובלתי מוסברת, ושימוש ראשון בקוונטיזציה של פלאנק. איינשטיין הצליח להסביר גם את תוצאות ניסוי מייקלסון מורלי. אתה לא מצליח להביא הסבר לשום תופעה ידועה ולא מוסברת, ולא מצליח להביא אפילו לא תחזית אחת.
ח. שחצנות בלתי מנומקת, אפילו איינשטיין ידע להסביר את עצמו ולקבל ביקורת טוב ממך.

אם אתה חושב שיש לך "זהב" אמיתי בידיים, וכל מה שחסר לך זה הכרה, אתה צריך להפסיק ליצור את הרושם הזה לפני שיגנבו לך את הזהב. לצורך כך, נסה להפסיק ליצור כזה רושם.
אוקיי, ויתרתי 327090
סמיילי,

איפה מצאת בעבודתי השוואה ביני לבין אינשטיין?

על שמח מה אתה מסיק שאיני מקבל ביקורת?

על סמך מה אתה מבסס את טענתך ששפת המתמטיקה פסולה מראש כאמצעי לחקר התודעה?

איך אתה מגיע למסקנה הסוחפת בדבר אי-נכונותי להסביר את יסודות השפה שאני מפתח?

איפה מצאת שאני מצהיר כי ביכולתה של עבודתי לפתור את הבעיות שביו תורת-היחסות הפרטית למכניקת-הקוואנטים?

טענתי לגבי שפת המתמטיקה מכוונת לגישה הדדוקטיבית, אשר מעצם טבעה אינה מאפשרת שינויים במושגי-יסוד שלה לאחר שהוגדרו, כי כל קיומה תלוי בשיטה של נדבך על גבי נדבך.

שיטת חשיבה זו היא בפירוש נוגדת אבולוציה, מכיוון שאין באפשרותה לעבור מוטציה במושגי היסוד שלה, כאשר מתגלות/ממוצאות תובנות עמוקות יותר שלהם.

מושג הקבוצה שקול למושג האוסף במתמטיקה הרגילה, ולכן אין באפשרותה של תורת קבוצות לעסוק באלמנטים שאינם ניתנים להגדרה ע"י מושג האוסף.

שניי אלמנטים כאלה הם ריקנות מוחלטת ומלאות מוחלטת , ואי-התכולה של הקבוצה-הריקה או התכולה של הקבוצה-המלאה אינן ניתנות להגדרה במונחים של אוסף.

תובנה זו גורמת לשינוי-פרדיגמה במושג הקבוצה מכיוון שעתה ניתן להסיק מסקנות מרחיקות לכת בקשר למושג האוסף, כאשר המסקנה המיידית היא שאוסף אינסופי הוא בלתי-שלם בהכרח כאשר הוא מושווה לקבוצה-המלאה, שלה ורק לה ניתן ליחס את מושג הרצף.

מתוך תובנה אקסיומטית זו, ניתן להבין שלא ניתן להכיל את מושג הכמת-האוניברסלי (לכל) על אוסף אינסופי,ויש להחליפו בכמת המתייחס באופן פרטני לתוכן האוסף.

קנטור נמנע מלעסוק במושג המלאות מתוך שיקולים דתיים (הוא ייחס את המלאות לאלוהים עצמוhttp://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_Infinite ) ובכך "פספס" את ההזדמנות להשתמש במושג הקבוצה באופן שאינו שקול למושג האוסף.
אוקיי, ויתרתי 327107
לגבי השאלות בהתחלה, חלק מהדברים לא נאמרו על ידך, אלא ע"י משה קליין.

"טענתי לגבי שפת המתמטיקה מכוונת לגישה הדדוקטיבית, אשר מעצם טבעה אינה מאפשרת שינויים במושגי-יסוד שלה לאחר שהוגדרו, כי כל קיומה תלוי בשיטה של נדבך על גבי נדבך."

גיאומטרית לובצ'צסקי-בוליאי, גיאומטרית רימן, גיאומטריה פרויקטיבית והמספרים הסוריאליסטים של קונווי הן רק 4 דוגמאות פופולריות למקרים שבהם מתמטיקאים שיחקו עם הנחות היסוד של המתמטיקה, והגיעו לתוצאות מעניינות, ולרוב גם חשובות.
ההבדל בינך לבינם (שכמו שאלון הסביר במאמר, הוא ההבדל העיקרי שגורם לרוב הקוראים לראות בך טכ"מ ובהם לא) הוא שהם יצרו משהו חדש, בלי לטעון שהמתמטיקאים לפניהם טעו.

אם היית מדבר על "רעיון", על "תחום חדש", או על "תורה חדשה" מצבנו היה הרבה יותר טוב. אבל אתה מדבר על "תובנה" (ועל "טעות יסודית") ובכך אתה פוסל את המתמטיקה שפותחה לפניך, בלי להסביר איזו סתירה פנימית יש בה.

"שיטת חשיבה זו היא בפירוש נוגדת אבולוציה, מכיוון שאין באפשרותה לעבור מוטציה במושגי היסוד שלה, כאשר מתגלות/ממוצאות תובנות עמוקות יותר שלהם."

דווקא הגישה המתמטית המקובלת, אותה אלון הדגיש כל כך במאמר, שרואה באקסיומות סתם "חוקי משחק" מוסכמים, מאפשרת הסתכלויות נוספות על הנחות היסוד. אילו המתמטיקה הייתה עוסקת ב"אמת" המוחלטת, לא היה מקום "להחליף" את הנחות היסוד ככה פתאום.
אוקיי, ויתרתי 327117
האייל הצעיר: אם היית מדבר על "רעיון", על "תחום חדש", או על "תורה חדשה" מצבנו היה הרבה יותר טוב. אבל אתה מדבר על "תובנה" (ועל "טעות יסודית") ובכך אתה פוסל את המתמטיקה שפותחה לפניך, בלי להסביר איזו סתירה פנימית יש בה.

בהחלט, הטעות היסודית היא הימנעותו של קנטור לעסוק במושג המלאות משיקולים דתיים, ובכך נוצרה שקילות בין מושג האוסף למושג הקבוצה.

האייל הצעיר: דווקא הגישה המתמטית המקובלת, אותה אלון הדגיש כל כך במאמר, שרואה באקסיומות סתם "חוקי משחק" מוסכמים, מאפשרת הסתכלויות נוספות על הנחות היסוד. אילו המתמטיקה הייתה עוסקת ב"אמת" המוחלטת, לא היה מקום "להחליף" את הנחות היסוד ככה פתאום.

הגדרות יסוד (של מערכת אקסיומטית קיימת) ששונו לעולם אינן מחליפות את ההגדרות הקיימות, אלא משמשות להגדרתה של מערכת מקבילה אשר מניחה את המערכת האקסיומתית הקודמת "לנפשה".

בכך נמנעת באופן מלאכותי תופעת המוטציה, אשר היא תכונת יסוד של המשחק האבולוציוני, אשר בהחלט משנה מערכות קיימות, ובעיני המשחק האבולוציוני הוא המשחק המשמעותי ביקום בו אנו חיים, ולא המשחק הדדוקטיבי המלאכותי השולל מוטציה מעצם טבעו.
אוקיי, ויתרתי 327122
שוב אתה מתעקש על "טעות יסודית" בהבנת ה"מציאות" שבה יש קבוצה מלאה. אין טעם לדון האם ב"מציאות" יש קבוצה מלאה. מתמטיקה עוסקת בהנחות יסוד, ובמסקנות מהן. אני אפילו לא בטוח שאפשר לדבר על השאלה "האם במציאות יש קבוצה מלאה?". לא הראית סתירה *פנימית* אצל קנטור. הרעיונות שלו עדיין מבריקים, מעניינים ויפים. זה מספיק כדי להפוך את התיאוריה שלו למוצלחת.
בכל מקרה, אני ממליץ לך לקרוא שוב את המאמר, ולהבין מה טיבן של מערכות אקסיומות ושל הגדרות במתמטיקה.

"תכונת יסוד של המשחק האבולוציוני" - האבולוציה נוצרת כשהמין המקורי והמוטציה חיים זה לצד זה. אז, לפעמים, אחד מהם נכחד. אם כל המתמטיקאים היו משתכנעים שגיאומטרית לובצ'בסקי-בוליאי טובה יותר מהגיאומטריה האוקלידית, הגיאומטריה האוקלידית הייתה לאט לאט דועכת, ונעלמת מן העולם. היא אמנם לא הייתה מוכרזת בקול גדול כ"שגויה" - כי אין בה מה ש*יכול* להיות שגוי (למעט ההנחה שהיא עקבית). גם אם היא לא הייתה מתארת את המציאות הפיזית, היא הייתה יכולה להיות גיאומטריה מספיק מעניינת.
אוקיי, ויתרתי 327123
עוד הערה חשובה על המשחק האבולוציוני: למה בעצם שנרצה אותו?
אם תיאוריה אסטרונומית אחת טוענת שהירח עשוי מגבינה צהובה, ואחרת טוענת שהירח עשוי מ"לגו", יש צורך להכריע ביניהן. הן לא יכולות להתקיים במקביל. לפחות אחת מהן שגויה. זאת מכיוון שהן טוענות טענות סותרות על אותו עולם (העולם הפיזי).
הגיאומטריה האוקלידית וגיאומטרית לובצ'בסקי-בוליאי, לעומת זאת, לא טוענות שום דבר על אותו עולם. הן מדברות על עולמות מופשטים שונים, ולכן אין ביניהן סתירה. הן יכולות (ואפילו כדאי) שהן יתקיימו ויתפתחו במקביל.

אם נחזור רגע לכיוון הפסיכולוגי של המאמר, עושה רושם ש*לך* יש רצון עז ליצור "אבולוציה" במתמטיקה, כדי לפסול כל תיאוריה שקדמה לך, ולחולל מהפכה. נדמה שאלה מוטיב ומוטיבציה שחוזרים על עצמם אצל טכ"מים.
צר לי לאכזב אותך, אבל אין הרבה מהפכות במתמטיקה. כנראה שמהמדע הזה לא תבוא הישועה.
אוקיי, ויתרתי 327125
אייל צעיר: עוד הערה חשובה על המשחק האבולוציוני: למה בעצם שנרצה אותו?

האבולוציה "לא שמה קצוץ" על הרצון שלך לא לשחק לפי חוקיה.

כל-כולך היית הווה ותהיה תמיד יצור מונחה אבולוציה מקצה עצם הזנב שלך ועד אחרון תובנותיך.
אוקיי, ויתרתי 327141
למקרא הודעות כאלו אני נזכר בכמה דיונים שהיו לי עם אורי פז (סליחה, אורי).
אוקיי, ויתרתי 327183
כן, ברור שהאבולוציה האמיתית של המינים מתרחשת אם נרצה ואם לא. אתה השתמשת באבולוציה כמטאפורה כדי לתאר התפתחות של תיאוריות מדעיות, וטענת שעדיף לבחור בשיטה הלא-מתמטית כדי *לעודד* אבולוציה של תורות מתמטיות. מכאן השאלה: למה שנרצה בכלל שתיאוריות מתמטיות "ימותו"?
אוקיי, ויתרתי 327212
אייל צעיר על סמך מה אתה טוען שהמערכת הנדונה אינה מערכת מתמטית?
אוקיי, ויתרתי 327215
על סמך מה אתה טוען שאני טוען את זה?

לא אמרתי שום דבר כזה.
אוקיי, ויתרתי 327229
סליחה אייל צעיר, אתה כתבת:

וטענת שעדיף לבחור בשיטה הלא-מתמטית כדי *לעודד* אבולוציה של תורות מתמטיות.

איפה כתבתי שעדיף לבחור בשיטה לא-מתמטית, ומי דיבר על עידוד מלאכותי של תהליכים אבלוציונים טבעיים?

כל מה שאליך לעשות הוא להכניס את מושג הקבוצה-המלאה לתורת הקבוצות, זה הכל.

אחרי שעשית זאת, אתה לא צריך אותי יותר כדי להבין את ההשפעה שיש לקבוצה-המלאה על ZF.

האם יש לך האומץ להתחיל במסע הזה במחשבתך?
אוקיי, ויתרתי 327231
"הגדרות יסוד (של מערכת אקסיומטית קיימת) ששונו לעולם אינן מחליפות את ההגדרות הקיימות, אלא משמשות להגדרתה של מערכת מקבילה אשר מניחה את המערכת האקסיומתית הקודמת 'לנפשה'.

בכך נמנעת באופן מלאכותי תופעת המוטציה, אשר היא תכונת יסוד של המשחק האבולוציוני, אשר בהחלט משנה מערכות קיימות, ובעיני המשחק האבולוציוני הוא המשחק המשמעותי ביקום בו אנו חיים, ולא המשחק הדדוקטיבי המלאכותי השולל מוטציה מעצם טבעו." (תגובה 327117)

דיברת פה על אבולוציה של תיאוריות, ועל כך שהשיטה ה"דדוקטיבית" מונעת את האבולוציה הזאת ‏1.

"ההשפעה שיש לקבוצה-המלאה על ZF"

אתה מתכוון שצריך להוסיף את הקבוצה המלאה ל-ZF? כי אז נקבל מערכת אקסיומות שעל-פיה יש קבוצת חזקה לקבוצה המלאה. אני כבר יודע מה אתה עומד לענות: "הקבוצה המלאה אינה פריקה, ולכן אין לה קבוצת חזקה" ‏2. זו בדיוק הבעיה. הקבוצה המלאה לא משתלבת ב-ZF. לכן, אני לא יכול לראות את "ההשפעה שיש לקבוצה-המלאה על ZF".

"אתה לא צריך אותי יותר"

כנראה שכן. כי אין לי מושג איך כתוצאה מהכנסת הקבוצה המלאה לתורת הקבוצות מתברר ש"אף קבוצה אינסופית אינה שלמה" (מה זה "שלמה"?) ובטח ובטח שאין לי מושג למה "לכן העוצמה שלה בלתי מוגדרת".

"האם יש לך האומץ להתחיל במסע הזה במחשבתך?"

כבר התחלתי אותו. אני מוכרח להודות שאין לי מושג מה אני לומד מקיומה של הקבוצה המלאה.
אין לי, אגב, שום פחד מלהניח אקסיומות לא-סטנדרטיות. כבר היית צריך להבין את זה.

1 אגב, שמתי לב שאתה נמנע מלדבר על "אבולוציה של תיאוריות", ומדבר רק על "אבולוציה", כאילו אתה מקשר את הגישה המתמטית הדדוקטיבית עם האבולוציה הביולוגית. קישור זה מגיע לקיצוניות יוצאת דופן בתגובה 327125, אם אתה זה שכתב אותה.

2 למה לא, בעצם? ניתן להגדיר לה קבוצת חזקה שעוצמתה 1, כמו לקבוצה הריקה: {{__}} .
אוקיי, ויתרתי 327236
אין הפרדה בין אבולוציה פיזית לאבולוציה של רעיונות.

הנסיון של הגישה הדדוקטיבית ליצור עולם מלאכותי נטול מוטציות, עתיד להעלם כמו כל מערכת שאינה מסוגלת להתמודד עם תהליכי אבולוציה.

{{___}} הינה אוסף של איבר אחד בדיוק כמו ש- {{}} הינה אוסף של איבר אחד.

אבל אני מדבר על התכולה של {__} אשר אינה אוסף ושום אוסף כגון
ה-Multiset {...,{__},{__},{__}} לא יכול לעבור את תוכן הקבוצה המלאה כי לדוגמא: 1=|{{___}}| ו- oo=|{___}| .
אוקיי, ויתרתי 327238
"ניתן להגדיר לה קבוצת חזקה שעוצמתה 1, כמו לקבוצה הריקה: {{__}}"

oo=|{___}|

0=|{}|
אוקיי, ויתרתי 327245
אני מסכים [?] עם מה שכתבת בשתי התגובות האחרונות.

נראה לי שלא הבנת את ההקשר של תגובה מס' 2 שלי.

אני אמרתי שאם מכניסים את אקסיומת הקבוצה המלאה, אז מגיעים למסקנה שיש קבוצת חזקה לקבוצה המלאה, וזה לא הגיוני. בהערה מס' 2 חזרתי בי, ואמרתי שזה דווקא כן הגיוני, ואתה בשתי התגובות האחרונות הסכמת איתי.

אבל עדיין לא הצלחתי להבין חלק מרכזי בטיעונים שלך: מה זו "שלמות", למה אף קבוצה אינסופית לא "שלמה", ולמה זה אומר שלאף קבוצה (חוץ מלקבוצה המלאה) אין עוצמה.

[?] עד כמה שאפשר לדבר על הסכמה כשאנחנו לא מדברים באותה שפה. בוא נאמר שזה נשמע לי פחות לא-הגיוני מהרבה דברים שאתה אומר.
אוקיי, ויתרתי 327317
ראה נא את ההסבר שלי לשלמות הקבוצה-המלאה ע"י שימוש בכדור רימן במרחב המרוכב:

אוקיי, ויתרתי 327318
לא הבנתי איך ההסבר הזה מסביר את המושג ''שלמות''.
אוקיי, ויתרתי 327321
האם אינך מבין בבירור, שמושג האוסף (המוגדר במודל זה כאוסף של אינסוף נקודות חיתוך (המובחנות היטב אחת משניה) אינו יכול להשיג את השלימות המתקיימת ברצף עצמו (המסומן כ-oo) אשר אינו מכיל ולו נקודת חיתך אחת (ולכן הוא אינו מתואר במונחים של אוסף, אלא במונחים של ה"מצע" השלם והבלתי נחלק המתקיים ברקע של כל אוסף, כאשר האוסף, מעצם טבעו הנחלק, אינו יכול להשיג את השלימות הרציפה של מצב oo)?
אוקיי, ויתרתי 327322
ואיך מכאן אתה מסיק שלא ניתן למצוא את העוצמה של קבוצה אינסופית?
ושלא ניתן להשתמש בכמת "לכל"?
אוקיי, ויתרתי 327337
אנא הסבר לי כיצד אתה יכול להשתמש בכמת-אונברסלי (לכל) על אוסף אינסופי, כאשר אתה נוכח לדעת שהוא אינו שלם (אינו יכול "לכסות" כליל את הרצף) מעצם טבעו?
אוקיי, ויתרתי 327339
אני לא רואה מה הקשר בין זה שהקבוצה מכסה את הרצף לבין האפשרות להשתמש ב"לכל". להפך: הכמת "לכל" מתייחס לכל איבר באופן בדיד ("לכל איבר בודד x מתקיים..."), ודווקא על הרצף שהגדרת אי אפשר להשתמש בו ‏1.

למשל, למרות שהמספרים הטבעיים לא מכסים את הרצף, כהגדרתך, אני בהחלט מבין את הטענה "לכל מספר טבעי קיים עוקב טבעי".

1 "ולגדולתו אין חקר"?
אוקיי, ויתרתי 327343
אני מתכוון להבדל שבין ALL (לכל) ל-EACH (לכל פרט באוסף בנפרד).

כתוצאה מאי-הבחנה זו ניתו להסיק כי הקרדינל המדוייק של אוסף אינסופי אכן קיים, מה שמתברר כל-נכון, כאשר הקבוצה-המלאה נכנסת למשחק.

למיטב ידיעתי לא קיימת מילה בודדת בעברית המקבילה במובנה המדוייק ל-EACH .

האם אתה מכיר מילה כזו?
אוקיי, ויתרתי 327346
אני לא מצליח לחשוב על מילה כזאת.

טוב, אז על הקבוצה המלאה ניתן להשתמש ב-ALL, אבל לא ב-EACH.

אוסף מוגדר אך ורק ע"י האיברים שלו, ולכן אם משהו נכון לגביו EACH, הוא נכון לגביו גם ALL.

"מה שמתברר כל-נכון, כאשר הקבוצה-המלאה נכנסת למשחק." - עדיין לא הבנתי למה, או איך אתה מגדיר עוצמה.
אוקיי, ויתרתי 327350
תוכן הקבוצה המלאה אינו ניתן להגדרה במונחים של אוסף ולכן ה-ALL של הרצף אינו יכול להיות מתואר במונחי EACH של אוסף, ולכן מה שנכון לגביו ב-ALL אינו נכון לגביו ב-EACH .

"עדיין לא הבנתי למה, או איך אתה מגדיר עוצמה."

אנא עיין בכל http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=45&... (כולל הקישורים).

תודה.
אוקיי, ויתרתי 336113
"ודווקא על הרצף שהגדרת אי אפשר להשתמש בו ‏1"

הצץ נא ב http://www.iidb.org/vbb/showpost.php?p=2605678&p...
אוקיי, ויתרתי 327246
"אין הפרדה בין אבולוציה פיזית לאבולוציה של רעיונות."

באיזה מובן?
אוקיי, ויתרתי 327319
""אין הפרדה בין אבולוציה פיזית לאבולוציה של רעיונות."

באיזה מובן?"

במובן הפשוט ששום מערכת לא-טריוויאלית אינה חסינה ממוטציות, כאשר מוטציה הינה שינוי בהגדרות יסוד של מערכת קיימת, אשר משפיעה על כל הדברים הנגזרים מהגדרות היסוד (ששונו ע"י המוטציה).

כפי שציינתי חזור וציין, השיטה הדדוקטיבית הינה נעדרת מוטציות מעצם הגדרתה, ולכן איננה נחשבת למרחב אבולוציוני רעיוני טבעי, אלא למרחב מסורס העונה לצרכי הנוחות המדומה של קהילת המתמטיקאים "הטהורים" המתקיימים במרחב זה.

היות ומרחב זה אינו מרחב אבולוציוני רעיוני טבעי, הוא לו עתיד לשרוד במתקונתו המסורסת הנוכחית, קרי מושג המוטציה יהפוך לחלק טבעי מהתכונות היסודיות המעצבות את המרחב הרעיוני של קהילת המתמטיקאים "הטהורים".

המתמטיקה-המונדית הינה מעין סנונית ראשונה המתקיימת במרחב רעיוני אבולוציוני טבעי, הכולל אף כולל את האפשרות למוטציה בהגדרות יסוד של מערכת נתונה.
אוקיי, ויתרתי 327320
כמו שכבר אמרתי, *יצירה* של מוטציות מתרחשת כל הזמן במתמטיקה, ברמה הרבה יותר בסיסית מאשר במדעים אחרים. השאלה היא האם בין המקור למוטציה יש קרב הישרדות. במתמטיקה אין כזה.

המתמטיקה, אם כן, היא תורה חזקה ביותר, מתאימה ביותר לסביבה, שורדת ביותר, ולכן היא דווקא זו שתשרוד במרחב האבולוציוני של כלל התיאוריות המדעיות.

אז איפה הכשל שלך? אבולוציה מתקיימת רק כאשר יש קרב הישרדות. זה מתרחש רק כאשר אין אפשרות לדו-קיום. בטבע הסיבה לכך היא משאבים מוגבלים. במדעים האמפיריים הסיבה לכך היא חוסר ההתאמה בין תיאוריות שעוסקות באותה מציאות. אפשר לומר שגם שם הבעיה היא במשאבים מוגבלים: יש מציאות אחת, והרבה תיאוריות. במתמטיקה יש אפשרות לדו-קיום (רב-קיום, ליתר דיוק) של תיאוריות שונות, מאחר שהמתמטיקה יכולה לעסוק באין-ספור עולמות מופשטים.

תנאי הכרחי לאבולוציה הוא המוות (המשלים של ההישרדות). תיאוריות מתמטיות לא יכולות למות בשום מובן ‏1. בניגוד לתיאוריות מדעיות בתחומים אחרים, הן לא יכולות להיות "שגויות". לכן, המתמטיקה היא בת-אלמוות.

זה לא מונע מהמרחב המתמטי להמשיך להתפתח. המתמטיקה יולדת עוד ועוד צאצאים, וחלקם שורדים וגדלים יפה מאוד.

1 אלא אם כן תתגלה בה סתירה פנימית, או שהיא תתפס כמשעממת ע"י החברה העתידית. שתי האפשרויות לא סבירות.
אוקיי, ויתרתי 336117
"תיאוריות מתמטיות לא יכולות למות בשום מובן ‏1."

הן תעלמנה מן העולם אם הן תמשכנה למנף רק את כישוריו הלוגיים/טכניים של ממציאן/מקיימן, תוך הזנחה של כישוריו האתיים.

במילים אחרות, אם הלוגיקה העומדת בבסיס שפת המתמטיקה מתעלמת משרידתו של מקיימה, הריי שעוצמתה תשמיד את מקיימה.
אוקיי, ויתרתי 327340
""אין הפרדה בין אבולוציה פיזית לאבולוציה של רעיונות."

באיזה מובן?"

במובן הפשוט שמערכת אבולוציונית (רעיונית או פיזית) אינה יכולה להמנע ממוטציות במרכיבי-היסוד או ההגדרות המכוננות שלה, אשר משנות את כל המערכת המבוססת על היסודות ששונו.

מוטציה הינה תמיד שינוי אינהרנטי במערכת קיימת, והשינויים מתרחשים תמיד מפנים המערכת (מהגדרות היסוד) כלפי חוץ (שינוי תוצרי אותה מערכת, המשתנים כתוצאה משינוי בהגדרות היסוד של אותה מערכת).

החשיבה הררוקטיבית איננה חשיבה מונחית אבולוציה, מכיוון שהיא נמנעת מעצם טבעה מכל אפשרות שינוי היסודות של מערכת קיימת, וכל שינוי כזה גורר אחריו את הצורך ליצור מערכת מקבילה בצד המערכת הקיימת, באופן שישמר בצורה מלאכותית את קיומה של המערכת המקורית, וימנע כל תחרות אבולוציונית בין המערכות.
אוקיי, ויתרתי 327344
יש לך בלבול במושגים: יצור לא עובר אבולוציה בחייו. יצור יולד יצורים אחרים, מקבילים, ואם הם צריכים להשתמש במשאבים מוגבלים שמספיקים רק לחלק מהם, המתאימים יותר לסביבה ישרדו, והאחרים ימותו.

אגב, האם אתה חושב שצריך להחליף את השיטה הדדוקטיבית?
אוקיי, ויתרתי 327352
"יש לך בלבול במושגים: יצור לא עובר אבולוציה בחייו."

אני מדבר איתך ברמה של עקרונות התעופה, המשותפים ל-F15 ולציפורים, ואתה מגביל עצמך למקרה הפרטי של ציפורים.

במילים אחרות, אתה מגביל את עצמך לפן הפיזי של מושג האבולוציה.

אתה מדבר איתי על מזון ואני מדבר איתך מהמושג הכללי של שימוש נבון של משאבים.

שימוש נבון של משאבים מכיל בתוכו גם את האפשרות לניצול יעיל יותר של המשאבים המנטליים שלנו.

האם אתה באמת מאמין שהעיסוק במתמטיקה, אינו מייצר אנטרופיה (שוב במובן הכללי של מידע) ולכן מדלל את כוח-העבודה הסדור העומד לרשותינו?

האם אתה חושב שניתן לשמר כל פיסת מידע עפ"י השיטה הדדוקטיבית באופן שאינו גוזל משאבים ומגדיל את סך האנטרופיה של המערכת בה אנו מתקיימים?

עצם היכולת שלך שלא לראות את התמונה מהפן האסטרטגי האבולוציוני, הנובעת מחשיבה דדוקטיבית, מראה כאלף עדים את הכשלון המובנה בשיטת חשיבה זו, שאינה מונחית אבולוציה ואינה מודעת למשאבים שהיא גוזלת.
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • האייל האלמוני
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • nickless
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • סמיילי
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  שלום, ותודה לכולם • דורון שדמי
  {... _ _ _ ...} • סמיילי
  {... _ _ _ ...} • דורון שדמי
  שאלה טריויאלית • סמיילי
  שאלה טריויאלית • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • האייל האלמוני
  אוקיי, ויתרתי • האייל האלמוני
  אוקיי, ויתרתי • סמיילי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  שאלת הגדרה • האייל האלמוני
  שאלת הגדרה • האייל הצעיר
  שאלת הגדרה • אורי גוראל גורביץ'
  שאלת הגדרה • לא דורון שדמי
  שאלת הגדרה • גדי אלכסנדרוביץ'
  שאלת הגדרה • האייל הצעיר
  שאלת הגדרה • אורי גוראל גורביץ'
  שאלת הגדרה • האייל הצעיר
  שאלת הגדרה • אורי גוראל גורביץ'
  שאלת הגדרה • לא דורון שדמי
  שאלת הגדרה • אורי גוראל גורביץ'
  שאלת הגדרה • לא דורון שדמי (בתקווה)
  שאלת הגדרה • אלון עמית
  שאלת הגדרה • האייל הצעיר
  שאלת הגדרה • גדי אלכסנדרוביץ'
  שאלת הגדרה • אלון עמית
  שאלת הגדרה • nickless
  שאלת הגדרה • אורי גוראל-גורביץ'
  שאלת הגדרה • האייל הצעיר
  שאלת הגדרה • אורי גוראל-גורביץ'
  שאלת הגדרה • לא דורון שדמי (בתקווה)
  שאלת הגדרה • אלון עמית
  שאלת הגדרה • אלון עמית
  שאלת הגדרה • אורי גוראל גורביץ'
  שאלת הגדרה • לא דורון שדמי (בתקווה)
  שאלת הגדרה • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלת הגדרה • האייל האלמוני
  שאלת הגדרה • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלת הגדרה • האייל האלמוני
  שאלת הגדרה • סמיילי
  שאלת הגדרה • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלת הגדרה • סמיילי
  שאלת הגדרה • האייל האלמוני
  שאלת הגדרה • ראובן
  שאלת הגדרה • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלת הגדרה • גדי אלכסנדרוביץ'
  שאלת הגדרה • לא דורון שדמי (בפעם האחרונה)
  שאלת הגדרה • לא דורון שדמי (בפעם האחרונה)
  שאלת הגדרה • האייל האלמוני
  שאלת הגדרה • האייל האלמוני
  שאלת הגדרה • לא דורון שדמי (בפעם האחרונה)
  שאלת הגדרה • שוטה הכפר הגלובלי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • הקשה המקשה
  D-: !! • אלון עמית
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • האייל האלמוני
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • האייל האלמוני
  אוקיי, ויתרתי • עוזי ו.
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  סיכום ביניים: • שוטה הכפר הגלובלי
  אוקיי, ויתרתי • עוזי ו.
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • אורי גוראל-גורביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  נסיון פענוח נוסף • עוזי ו.
  נסיון פענוח נוסף • האייל האלמוני
  נסיון פענוח נוסף • האייל הצעיר
  נסיון פענוח נוסף • האייל האלמוני
  נסיון פענוח נוסף • האייל הצעיר
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי? • האייל האלמוני
  אוקיי, ויתרתי? • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי? • אלמוני אחר, מהטובים
  אוקיי, ויתרתי? • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי? • שוטה הכפר הגלובלי
  אוקיי, ויתרתי? • אלמונית, מהרעות
  אוקיי, ויתרתי? • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי? • אלמוני אחר, מהטובים
  אוקיי, ויתרתי? • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • עוזי ו.
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • עוזי ו.
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • עוזי ו.
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • שוטה הכפר הגלובלי
  אוקיי, ויתרתי • גדי אלכסנדרוביץ'
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  אוקיי, ויתרתי • דורון שדמי
  עוד פענוח • עוזי ו.
  עוד פענוח • דורון שדמי
  עוד פענוח • האייל הצעיר
  עוד פענוח • גדי אלכסנדרוביץ'
  מדרון חלקלק • האייל הצעיר
  עוד פענוח • האייל הצעיר
  עוד פענוח • גדי אלכסנדרוביץ'
  עוד פענוח • האייל הצעיר
  עוד תובנה על תורת הקבוצות • עוזי ו.
  עוד תובנה על תורת הקבוצות • nickless
  תגובתי לתגובת אלון עמית • דורון שדמי
  במקום תגובה • אלון עמית
  כנות • דורון שדמי
  סליחה. • עוזי ו.
  לא קרה כלום. • אלון עמית
  לא קרה כלום. • עוזי ו.
  לא קרה כלום. • אלון עמית
  במקום תגובה • משה קליין
  במקום תגובה • שוטה הכפר הגלובלי
  ללא כותרת • nickless
  במקום תגובה • משה קליין
  במקום תגובה • גדי אלכסנדרוביץ'
  במקום תגובה • משה קליין
  במקום תגובה • גדי אלכסנדרוביץ'
  במקום תגובה • משה קליין
  במקום תגובה • דורון שדמי
  במקום תגובה • האייל הצעיר
  במקום תגובה • דורון שדמי
  במקום תגובה • גדי אלכסנדרוביץ'
  במקום תגובה • דורון שדמי
  במקום תגובה • האייל הצעיר
  במקום תגובה • גדי אלכסנדרוביץ'
  במקום תגובה • גדי אלכסנדרוביץ'
  במקום תגובה • דורון שדמי
  במקום תגובה • גדי אלכסנדרוביץ'
  במקום תגובה • שוטה הכפר הגלובלי
  במקום תגובה • משה קליין
  במקום תגובה • ראובן
  במקום תגובה • משה קליין
  במקום תגובה • ראובן
  במקום תגובה • אורי גוראל-גורביץ'
  במקום תגובה • אלון עמית
  חוששני שכן • גדי אלכסנדרוביץ'
  תגובתי למאמר הראשון • עוזי ו.
  תגובתי למאמר הראשון • דורון שדמי
  תגובתי למאמר הראשון • עוזי ו.
  תגובתי למאמר הראשון • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אח של אייל
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל האלמוני
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל האלמוני
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אח של אייל
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אח של אייל
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אח של אייל
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אח של אייל
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל האלמוני
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אח של אייל
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גיל לדרמן
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  מתמטיקה מונאדית • משה קליין
  מתמטיקה מונאדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  מתמטיקה מונאדית • משה קליין
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גיל לדרמן
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גיל לדרמן
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  42 • שוטה הכפר הגלובלי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גיל לדרמן
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל הצעיר
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל הצעיר
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל הצעיר
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אורי גוראל-גורביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אורי גוראל-גורביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גדי אלכסנדרוביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל הצעיר
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • בניה קורן
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אורי גוראל-גורביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אלון עמית
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל הצעיר
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • אורי גוראל-גורביץ'
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל הצעיר
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל הצעיר
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גיל לדרמן
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • גיל לדרמן
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • האייל האלמוני
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • דורון שדמי
  ועוד חדשות על השערת פרמה • משה קליין
  פרסום (?) למתמטיקה מונדית • משה קליין
  לא יפה • האייל האלמוני
  לא יפה • משה קליין
  לא יפה • האייל הצעיר
  לא יפה • האייל האלמוני
  לא יפה • האייל הצעיר
  לא יפה • האייל האלמוני
  לא יפה • האייל הצעיר
  אחדות המתמטיקה • משה קליין
  אחדות המתמטיקה • האייל הצעיר
  אחדות המתמטיקה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אחדות המתמטיקה • משה קליין
  אחדות המתמטיקה • האייל הצעיר
  אחדות המתמטיקה • עוזי ו.
  אחדות המתמטיקה • האייל האלמוני
  אחדות המתמטיקה • עוזי ו.
  אחדות המתמטיקה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אחדות המתמטיקה • אורי גוראל-גורביץ'
  אחדות המתמטיקה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אחדות המתמטיקה • אלון עמית
  אחדות המתמטיקה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אחדות המתמטיקה • אלון עמית
  שאלת הבהרה • סמיילי
  שאלת הבהרה • אלון עמית
  וואוו. • סמיילי
  וואוו. • יהושפט גבעון
  אחדות המתמטיקה • האייל האלמוני
  אחדות המתמטיקה • אלון עמית
  לא יפה • גדי אלכסנדרוביץ'
  לא יפה • nickless
  לא יפה • משה קליין
  אכן • אלון עמית
  אכן • משה קליין
  אכן • אלון עמית
  אכן • שוטה הכפר הגלובלי
  אכן • סמיילי
  אכן • שוטה הכפר הגלובלי
  אני זה רק שאלה • ראובן
  Tiptronics • שוטה הכפר הגלובלי
  Tiptronics • ראובן
  לא יפה • nickless
  לא יפה • האייל הצעיר
  פתרון בעיית 4 הצבעים • משה קליין
  פתרון בעיית 4 הצבעים • האייל הצעיר
  שכחתי את ההערה • האייל הצעיר
  פתרון בעיית 4 הצבעים • דורון שדמי
  פתרון בעיית 4 הצבעים • האייל הצעיר
  פתרון בעיית 4 הצבעים • שוטה הכפר הגלובלי
  פתרון בעיית 4 הצבעים • האייל הצעיר
  פתרון בעיית 4 הצבעים • דורון שדמי
  פתרון בעיית 4 הצבעים • האייל הצעיר
  פתרון בעיית 4 הצבעים • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתרון בעיית 4 הצבעים • האייל האלמוני
  פתרון בעיית 4 הצבעים • משה קליין
  על פתרון בעיית ארבע הצבעים • משה קליין
  על פתרון בעיית ארבע הצבעים • האייל הצעיר
  פתרון בעיית הצבעים • משה קליין
  פתרון בעיית הצבעים • האייל הצעיר
  פתרון בעיית העידן החדש • משה קליין
  פתרון בעיית הצבעים • אלון עמית
  פתרון בעיית הצבעים • משה קליין
  פתרון בעיית הצבעים • האייל הצעיר
  פתרון בעיית הצבעים • משה קליין
  פתרון בעיית הצבעים • האייל הצעיר
  פתרון בעיית הצבעים • דורון שדמי
  פתרון בעיית הצבעים • האייל הצעיר
  פתרון בעיית הצבעים • אלון עמית
  פתרון בעיית הצבעים • משה קליין
  פתרון בעיית הצבעים • אלון עמית
  פתרון בעיית הצבעים • משה קליין
  פתרון בעיית הצבעים • אלון עמית
  פתרון בעיית הצבעים • האייל הצעיר
  הנח • האייל האלמוני
  פתרון בעיית 4 הצבעים • האייל האלמוני
  פתרון בעיית ארבע הצבעים • משה קליין
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • משה קליין
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • משה קליין
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • משה קליין
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  על ספר היסודות של אוקלידס • משה קליין
  עידכון נוסף בקשר לנסיון של ויקטור לפתור את השערת פרמה • משה קליין
  עידכון נוסף בקשר לנסיון של ויקטור לפתור את השערת פרמה • האייל הצעיר
  על ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  המשפט האחרון של פרמה • משה קליין
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • nickless
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • nickless
  דיאלוג גלואה • משה קליין
  דיאלוג גלואה • nickless
  דיאלוג גלואה • משה קליין
  דיאלוג גלואה • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • nickless
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • משה קליין
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • nickless
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל האלמוני
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל האלמוני
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • ברוך
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  המטרה היא לא ''תובנה'' • סמיילי
  המטרה היא לא ''תובנה'' • דורון שדמי
  המטרה היא לא ''תובנה'' • סמיילי
  המטרה היא לא ''תובנה'' • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • אורי גוראל-גורביץ'
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל האלמוני
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  שאלה אל דורון • משה קליין
  שאלה אל דורון • דורון שדמי
  שאלה אל דורון • האייל הצעיר
  שאלה אל דורון • משה קליין
  שאלה אל דורון • דורון שדמי
  שאלה אל דורון • האייל הצעיר
  שאלה אל דורון • משה קליין
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • אייל מולד(ר)
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • אח של אייל
  עוד 10 הודעות למנאייק • אח של אייל
  פרסום ל Zim Mathematics • אח של אייל
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • עומר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • מ. השור
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • האייל הצעיר
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • מ. השור
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • דורון שדמי
  פתיחת ספר היסודות של אוקלידס • משה קליין
  על ספר היסודות של אוקלידס • משה קליין
  על ספר היסודות של אוקלידס • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • ראובן
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • ראובן
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האלמוני ממנג
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האלמוני ממנג
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האלמוני ממנג
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האלמוני ממנג
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האלמוני ממנג
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האלמוני ממנג
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • האלמוני ממנג
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • .
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • גדי אלכסנדרוביץ'
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • אלון עמית
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • האייל האלמוני
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • אלון עמית
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • גדי אלכסנדרוביץ'
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • אלון עמית
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • .
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • האייל האלמוני
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • גדי אלכסנדרוביץ'
  אלגוריתם אוקלידס - נוסח מקוצר • האייל האלמוני
  על מושג האירציונליות • האלמוני ממנג
  על מושג האירציונליות • האייל האלמוני
  על מושג האירציונליות • עוזי ו.
  ערך לא פדגוגי ולא מתמטי • גדי אלכסנדרוביץ'
  ערך לא פדגוגי ולא מתמטי • האייל האלמוני
  ערך לא פדגוגי ולא מתמטי • גדי אלכסנדרוביץ'
  ערך לא פדגוגי ולא מתמטי • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • אורי גוראל גורביץ'
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • עוזי ו.
  על מושג האירציונליות • אביב י.
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  איך מוכיחים • אלון עמית
  איך מוכיחים • עוזי ו.
  תחומי שלמות אחרים • אלון עמית
  תחומי שלמות אחרים • עוזי ו.
  תחומי שלמות אחרים • אלון עמית
  תחומי שלמות אחרים • אלון עמית
  תחומי שלמות אחרים • עוזי ו.
  תחומי שלמות אחרים • אלון עמית
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • גדי אלכסנדרוביץ'
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • אורי גוראל-גורביץ'
  על מושג האירציונליות • משה קליין
  על מושג האירציונליות • האייל הצעיר

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים