בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 09/09/05 19:21
על מתמטיקה לא טרחנית 328676
מה בדיוק השאלה בתגובה 328387?
על מתמטיקה לא טרחנית 328683
מה ההוכחה שהגבול של sinx/x כש-x שואף לאפס הוא 1 שאינה משתמשת בכך ששטחו של מעגל ידוע או בכך שסינוס *מוגדר* כטור חזקות. לחילופין, אשמח עוד יותר לשמוע על הדרכים למצוא שטח של מעגל בלי להתבסס איכשהו על הגבול הזה.

העניין הוא שכשחיפשתי בספרים הוכחה לגבול הזה כל ההוכחות שמצאתי מתבססות על זה שמראים בצורה גאומטרית שעבור x ברביע הראשון, sinx<x<tanx. היו שתי דרכים שבהן הראו את זה: אחת באמצעות השוואת שטחים (דרך שנראית לי לגיטימית חוץ מהשאלה איך יודעים מהו שטח גזרה) והשנייה על ידי השוואת אורכים של ישרים והקשת שנשענת על x, ושם לא ראיתי שום נימוק ששונה מ"קל לראות" עבור x<tanx. זה באמת נראה כאילו זה ככה, אבל לא ברור לי איך מוכיחים את זה.

אם התשובה היחידה היא שסינוס מוגדר כטור חזקות, אני סקרן לשמוע איך מראים את השקילות בין הטור הזה ובין המושג של סינוס שמוגדר באמצעות מעגל היחידה.

(אם אתה לא זוכר את ההוכחה אני יכול לנסות להזכיר, אבל קשה להביא כאן את השרטוט. בכל אופן, אני בטוח שיש אותה בכל ספר אינפי/חדו"א בסיסי)
על מתמטיקה לא טרחנית 328689
למה צריך לדעת מהו שטח גזרה בשביל השוואת השטחים?

(ולמה להעליב? :-) )
על מתמטיקה לא טרחנית 328706
כי יש לך שם משולש שחסום בתוך הגזרה שמתקבלת על ידי שני רדיוסים שביניהם הזווית x ומשולש שחוסם את הגזרה הזו. השטח של הגזרה יוצא x/2 בזמן ששטחי המשולשים יוצאים בהתאמה sinx/2 ו-tanx/2. אם לא תכניס את הגזרה לעניין תאבד את העוקץ: תוכיח ש-tanx גדול מ-sinx עבור זווית ברביע הראשון, אבל מבט אחד בהגדרה של טנגנס מראה לנו שזה לא כזה שוס.
על מתמטיקה לא טרחנית 328713
את זה אני מבין, אבל ניסיתי לרמוז לך שאתה לא מדייק בניסוח הבעייה. איך אתה מודד זווית?

(בציור שלך, אתה מראה לי את הקו המשופע הזה, ואומר לי: "רואה שם את הזווית? זה x". מה זאת אומרת? איך אתה מתרגם את הגודל הגיאומטרי הזה למספר?)
על מתמטיקה לא טרחנית 328716
בתמונה
הקשת BE היא הזווית x שלנו (נמדדת ברדיאנים, רדיוס יחידה), BC הסינוס ו־DE הטנגנס (משיק בעברית צחה).
מאי־שוויון המשולש והגרת הישר, ברור שהקשת ארוכה מהסינוס. אני מתקשה לשכנע באותו סוג של ביטחון שהקשת קצרה מהטנגנס. אשמח לעזרת הציבור.
על מתמטיקה לא טרחנית 328722
זה בדיוק השרטוט שעליו אני מדבר, ואני מסכים איתך - בכל מקום שבו נתקלתי במישהו שטען שהקשת קצרה מהטנגנס הוא השתמש בנפנופי ידיים או ב"קל לראות". היה הסבר אחד שנראה יותר משכנע מהאחרים - גם הוא השתמש ב"קל לראות" אבל צייר משיק שעובר דרך B, סימן את החיתוך עם DE בתור F ואמר שהקשת קצרה מ-BF ועוד EF (למה? כאן הוא לא נימק) ולכן ברור שהיא קצרה מ-DE.

דרך ההוכחה המקובלת יותר, כאמור, מתבססת על השוואת שטח המשולש ABE (חצי סינוס x), הגזרה ABE (חצי x) והמשולש ADE (חצי טנגנס x). במקרה הזה ברור שיש לנו הכלות ולכן אי שוויונים. הצרה, כאמור, היא שלא ברור איך אנחנו יודעים מהו שטח הגזרה.
על מתמטיקה לא טרחנית 328735
מה מפריע לך לגבי שטח גזרה על עיגול היחידה? זה שהוא לינארי בזווית, או שהוא מסתכם ל־π?

(אולי זה המקום להודות שאין לי מושג איך הוכיחו שכל המעגלים "דומים")
על מתמטיקה לא טרחנית 328741
אני מניח ששאלתך בסוגריים היא "איך מוכיחים שהיקף מעגל פרופורציוני לרדיוס שלו", נכון?

אצל אוקלידס, אחת האקסיומות דנה במעגלים, אבל בגיאומטריה מודרנית זה לא כך:

זו מערכת אקסיומות שלמה לגיאומטריה (של המרחב, אבל לא קשה להצטמצם למישור אם רוצים). "מעגל" בכלל לא מוזכר כאן, אבל אפשר להגדיר אותו כאוסף הנקודות B כך שהקטע OB חופף לקטע OA נתון.

מהמערכת הזו, אפשר כבר לפתח את המושג של מרחק כמספר ממשי, ומשם את מושג האורך והשטח (כגבולות של תהליכי מיצוי, כשהם קיימים), ומשם זה כבר די קל להוכיח את כל העובדות הצפויות. אני לא יודע אם אפשר לעשות זאת בפחות עבודה, זו שאלה מעניינת.
על מתמטיקה לא טרחנית 328775
כפי שאולי יכולת לנחש, אני חיפשתי ליווי צמוד יותר... לומר "הנה האקסיומות, מכאן זה רק מכניזם לוגי" לא מועיל הרבה, לא כן?

נראה לי שאת גדי מטרידה ההוכחה ש:
"במעגל, יחס ההיקף לקוטר שווה ליחס השטח לריבוע הרדיוס".
ולא הערך המדויק של היחס הזה. לכן תיתכן אולי הוכחה גאומטרית טהורה נטולת גבולות ואינטגרלים.
על מתמטיקה לא טרחנית 328778
נטולת גבולות: לא סביר, כיוון שאנחנו מגדירים שטחים ואורכים כגבולות, ואני לא מכיר (ולא חושב שיש) דרך אחרת‏1.

נטולת אינטגרלים: יש כזו בתגובה 328771.

1 במישור, יש משפט יפה של בוליאי וגרווין שאומר כך: אם לשני מצולעים יש אותו השטח, אז אפשר לחלק אותם למספר סופי של חלקים חופפים. כלומר, שוויון בין שטחים של פוליגונים אפשר תמיד להוכיח באופן "קומבינטורי". אני זוכר שלפני לא הרבה זמן (שנות השמונים?) הצליח איזה ממזר להוכיח שזה נכון גם למעגל ולריבוע - אין לי מושג איך מראים זאת. אולי כך אפשר איכשהו לצאת מזה בלי מיצוי? אני לא בטוח בכלל.

במרחב, אפילו (האנלוג של) הטענה על המצולעים לא נכונה; יש שני פאונים שווי-נפח שאי-אפשר לחלקם לצורות חופפות. נדמה לי ש-Dehn היה הראשון להוכיח זאת, וזו היתה אחת הבעיות של הילברט (והראשונה שנפתרה). אני חושב שהילברט התעניין בשאלה הזו בדיוק כדי לבחון אם אפשר לבנות תורת-נפחים בלי גבולות (ובמרחב, לפחות, אי-אפשר).
על מתמטיקה לא טרחנית 328764
זה שהוא מסתכם ל־π, וזה לא ממש מפריע לי - אני פשוט סקרן לדעת איך מוכיחים את זה בלי להיכנס למעגלים.
על מתמטיקה לא טרחנית 328717
אם אני לא טועה, אפשר לחשב את הזווית ‏1 באמצעות איזומטריות שומרות אוריינטציה (קומפוזיציה של שתי סימטריות). בהינתן שתי קרניים A,B שיוצאות מאותה נקודה, קיימת איזומטריה שומרת-אוריינטציה יחידה שמעתיקה את A ל-B. נעשה זאת שוב ושוב. הזווית תהיה רציונלית אם ורק אם ניתן אחרי כמה איטרציות לחזור למיקום המקורי של כל קרן. המכנה של המספר יהיה מספר האיטרציות, והמונה יהיה מספר הסיבובים המלאים שהשלמנו (איך מגדירים אותו פורמלית? אין לי מושג).
כדי להגדיר גם זוויות אירציונליות צריך להניח ש-arctan רציפה בכל נקודה בה היא מוגדרת.

דיסקליימר: אני לא ממש מתבסס פה על ידע. זה רק ניסיון שלי להגדיר גודל של זווית.

1 מתוך 1, לא מתוך 2*פאי או 360.
על מתמטיקה לא טרחנית 328720
אה, זה קל: הזווית מוגדרת כאורך הקשת שנשענת עליה במעגל היחידה.
על מתמטיקה לא טרחנית 328738
ואתה מוכן לקבל ששטח הגזרה פרופרציוני לאורך הקשת?
על מתמטיקה לא טרחנית 328765
כן, בוודאי, משיקולי סימטריה. לא יצאתי משיעורי פיזיקה ללא נזק מסויים.

הבעיה היא עם שטח המעגל כולו. אם נתון שטח המעגל אין לי בעיה להסכים ששטח הגזרה הוא x/2.
על מתמטיקה לא טרחנית 328771
בסדר, האמת שלא מוכרחים את הנחת הפרופורציה, אבל די ברור שאין מנוס מ*איזשהו* תהליך מיצוי. מצד שני, את π אין צורך לחשב (די סביר, בהתחשב בעובדה שהוא לא מופיע בנוסחה).

כדי להקל על התיאור, נשתמש בציור שהביא/ה .:

1. שיטת האורכים: הסכמנו שהזווית x היא אורך הקשת BE. נזרוק לסיפור גם את ה*מיתר* BE, ונקרא לו y. ברור ש-BC<y, ולא קשה גם לראות ש-y<DE: הזווית EBA היא זווית חדה (מהיותה נשענת על פחות מקוטר), ולכן EBD היא זווית קהה, ומכאן ש-DE היא הצלע הגדולה במשולש EBD.

עכשיו מהסנדוויץ' BC<y<DE מקבלים שכאשר x->0, הביטוי sin(x)/y שואף ל-‏1. זה לא בדיוק מה שרצינו, אבל זה דומה: נותר להבין למה שואף הביטוי x/y. הוא שואף כמובן ל-‏1, וכדי לראות זאת חייבים לזכור מה זה "אורך קשת". מה זה בכלל אורך של עקום? מקרבים אותו פוליגונלית, מחברים את אורכי הקטעים הקטנים, ומעדנים את הקירוב (כלומר מקטינים את האורך המקסימלי של הקטעים לאפס); הפטנט הוא שלא משנה איך מעדנים, תמיד יוצא אותו האורך‏1. מכיוון שהמיתר y הוא בעצמו קירוב פוליגונלי לקשת x, ומכיוון שזהו קירוב שאורכו שואף לאפס, מתקבל ש-x/y שואף ל-‏1.

2. שיטת השטחים: את זה ששטח הגזרה BAE נמצא בין שטח המשולש BAC לזה של המשולש DAE רואים מיד. את שני השטחים האחרונים קל לחשב; נשאר לראות למה שטח הגזרה שווה לחצי הזווית. זה מה שקיוויתי להתחמק ממנו כששאלתי אותך על פרופורציה, אבל כמובן שאי-אפשר להתחמק (שוב) מאיזשהו תהליך מיצוי, כמקודם. הפעם אפשר לעשות זאת בלי להשאיף את x ל-‏0; פשוט מוכיחים קודם למה שאומרת ששטח גזרה הוא חצי הזווית (כפול הרדיוס, אם הוא לא 1). את זאת יש לעשות ע"י חלוקת הגזרה למשולשים, אני לא רואה דרך אחרת, ושוב נזדקק לאבחנה שהאורך הכולל של בסיסי המשולשים קרוב לאורך הקשת. אבל שים לב שאין, שוב, צורך לחשב את פאי.

זה בסדר, או שלא את זה חיפשת?

1 אפשר להקשות ולומר, איך יודעים שקשת של מעגל היא אכן מדידה (rectifiable), שהרי לא לכל עקום יש אורך. במלים אחרות, אין צורך לחשב את היקף המעגל, אבל יש לפחות להראות שהוא קיים. אני מניח שלרוב האנשים זה נשמע סביר, ואם רוצים להראות זאת פורמלית מהאקסיומות של הגיאומטריה, אין ברירה אלא לעשות משהו דומה לתגובה 328741.
על מתמטיקה לא טרחנית 328779
זה (בעיקר 1) הסבר סביר, אבל אני לא "אקנה" אותו לגמרי עד שאני לא אראה אותו כתוב בצורה פורמלית לגמרי, וכמובן שאני לא מצפה שתעשה את זה כאן (אני אנסה לעשות את זה בעצמי). לא כל כך ברור איך לבצע בפועל את הקירוב הפוליגונלי (אם הצלחת לקרב את הקשת בעזרת n קטעים שווים, למשל, מה האורך של כל קטע? איך מחשבים אותו). הכי נחמד יהיה אם תפנה אותי למקום שעושה את זה במדוייק.

מה שהכי מרגיז אותי בכל הסיפור הוא שיש ספרים רבים שמתבססים במוצהר על שטח של מעגל וגם מראים איך מכך שהשטח ידוע הם מסיקים את שטח הגזרה, אבל כמובן שלא אומרים כלום על איך הגענו לשטח הזה. ספר אחד הגדיל לעשות ו*הגדיר* את פאי בתור שטח המעגל. (מה ההגדרה המקובלת בימינו לפאי, באמת? עדיין היקף חלקי קוטר?)
על מתמטיקה לא טרחנית 328780
אני אחפש רפרנס, אין לי כזה בראש. די בטוח שהילברט עושה זאת בספרו על גיאומטריה.

לא לגמרי הבנתי מה כל כך רע בלהגדיר את π כשטח מעגל; תלוי ביישום, אבל אני לא רואה שזו פתיחה גרועה כל כך. כיום, ברוב ההקשרים שאני מכיר, מקובל להגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות כטורים, ואת π מגדירים בעזרתן; מובן שאם אתה רוצה לעשות גיאומטריה, אתה צריך פעם אחת לקשור את ההגדרות הללו למובן הגיאומטרי שלהן, ואת זה אפשר מן-הסתם לעשות באופן יעיל יותר ממה שאני עשיתי כאן.
על מתמטיקה לא טרחנית 328790
לא אמרתי שזה בהכרח רע, אבל כשכל מה שמעניין אותי בספר הוא איך הוא מתמודד עם הבעיה הספציפית הזו, זה נראה לי כמו התחמקות בדיוק כמו להגדיר את סינוס כטור. כמובן שזו קטנוניות שאינה במקומה.

נחפש את הילברט. מה שם הספר?
על מתמטיקה לא טרחנית 328797
אבל גם להגדיר את סינוס כטור זו לא התחמקות - התחמקות ממה? אם רוצים לעשות סדר בהכל, אפשר גם להתחיל מהטור ו*אח"כ* להראות שזה מתלכד עם ההגדרה הגיאומטרית. ואם לא מעוניינים דווקא בגיאומטריה, אז בכלל אין שום סיבה לא להגדיר את סינוס כטור.

# Foundations of Geometry, D. Hilbert (trans. L. Unger), Open Court Publ.

(זה מתוך העמוד של האקסיומות שהבאתי קודם, בטח יש עוד הרבה הוצאות ותרגומים. אם אתה בקטע של גרמנית, תגיד).
על מתמטיקה לא טרחנית 328822
''התחמקות'' במובן שזה לא פותר את המעגליות שיש בספרים, אלא אומר ''הספרים מרמים אותך'' והולך ופותר את הבעיה מגישה שונה לגמרי. זו גם ''התחמקות'' כי השלב של ''להראות שזה מתלכד עם ההגדרה הגאומטרית'' הוא השלב שבו המרצים אומרים ''אבל זה כבר מסובך'' ואתה יוצא מהחדר.
על מתמטיקה לא טרחנית 328784
האקסיומות בקישור שהבאת בתגובה 328741 (http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math306Spr02/Axio...) נראות לי בעצמן לא מאוד פורמליות. יש שם המון מונחים לא מוגדרים מבלי שיוצהר עליהם ככאלה: side, segment, angle, ray, אולי עוד. בפוסטולט III.4, המונח "side" מופיע, ישמרנו האל, בתוך מרכאות!
על מתמטיקה לא טרחנית 328785
נכון, אבל אין שם שום דבר שקשה לתקן. אם אתה מעוניין ברשימה מדוייקת של אקסיומות, יש כזו (אפילו בעברית) ב''ביסוס אקסיומטי ליסודות הגאומטריה'' של דיבשה אמירה.
על מתמטיקה לא טרחנית 328786
תודה.
על מתמטיקה לא טרחנית 328848
אני מתנצל מראש בלב השיחה בינכם, על הטרחנות הריגעית שלי..בנושא הקו והנקודה על פי הספר היסודות של הגאומטריה, של הילברט:

Axioms
Axioms of Incidence
Postulate I.1.
For every two points A, B there exists a line a that contains each of the points A, B.

כלומר, על פי הילברט הקו מכיל ! את הנקודות שיש בו
על מתמטיקה לא טרחנית 328851
והנקודה מכילה את הישרים שעוברים דרכה, אאל''ט.
על מתמטיקה לא טרחנית 328888
הי אייל,

האם זוהי הפרשנות שלך או שזה נכתב במפורש על ידי הילברט?

תודה
משה
על מתמטיקה לא טרחנית 328898
למען האמת, מעולם לא קראתי את הילברט. קראתי רק על הילברט. המשך התגובה אכן מבוסס על ידע.

באופן כללי, אני מכיר שתי דרכים להתייחס לישרים ולנקודות במישור האוקלידי (ובמישור הכללי):
הראשונה, ובה נתקלתי הכי הרבה, מתייחסת לשני המושגים כמושגי-יסוד, כך שישר מסוים ונקודה מסוימת, מקיימים או לא מקיימים ביניהם יחס חילה/חלות (אני לא בטוח איך אומרים את המילה הזאת). כמובן, שלכל ישר ניתן להתאים את קבוצת הנקודות שחלות בו, ולכל נקודה אפשר להתאים את קבוצת הישרים שחלים בה ‏1.
גישה שנייה, נדירה יותר, היא הגישה ה"חסכנית". היא אומרת, שמאחר ששורה מגדירה ישר באופן חד-משמעי, ואלומה מגדירה נקודה באופן חד-משמעי, אפשר להתייחס מלכתחילה לישרים ולנקודות כקבוצות. פעולה כזאת לא מוספיה או גורעת כלום ממערכת האקסיומות. זו *רק* צורת רישום.

כרגע חשבתי גם על מצב שבו מגדירים ישר כקבוצת נקודות: גרף הפונקציה f(x)=x הוא ישר, אך הוא מוגדר (כמו כל גרף של פונקציה) כקבוצת הנקודות שהקואורדינטות שלה מקיימות את הפונקציה. אם אתם רוצים לסקול את דקארט על אי-הבנה של מושג הרצף, אתם מוזמנים.

1 מוקדם יותר בדיון, השתמשתי במילים "שורה" ו"אלומה" כדי להגדיר את הקבוצות האלה. שתי המילים שאולות מתחום הגיאומטריה הפרוייקטיבית.
על מתמטיקה לא טרחנית 328921
הי אייל
תודה על תגובתך,

הנה כך, סיים הילברט את ההרצאה המפורסמת שלו בפריס:

The organic unity of mathematics is inherent in the nature of this science, for mathematics is the foundation of all exact knowledge of natural phenomena. That it may completely fulfil this high mission, may the new century bring it gifted masters and many zealous and enthusiastic disciples!
---------------------------------------------------

לטעמי, זה יפה מאד.

האם תוכל לקרוא בהפניה ליסודות הגאומטריה של הילברט איזו תמונה נוצרת על פי הילברט לגבי היחסים בין הקו והנקודה.

בכל אופן כדאי להשוות גם לעמוד הראשון בספר היסודות

לי נדמה, שאוקלידס השאיר את היחסים במובן מסויים פתוחים והילברט הוא זה שקיבע שהקו בעצם מכיל ומורכב מנקודות.

לדקארט, אולי, עוד נגיע בהמשך.

אשמח לשמוע את דעתך.
על מתמטיקה לא טרחנית 328928
למען האמת, לא רלוונטי עבורי איזו תמונה ראה הילברט במוחו של יחסי הנקודה והישר. זו סוגיה ספק פילוסופית, ספק פרקטית. לא מתמטית.
מה שעבורי רלוונטי היא העובדה שניתן לעסוק באותה גיאומטריה, באופן פורמלי, _עם או בלי_ יצירת קשר בין יחס החילה הגיאומטרי ליחס השייכות מתורת הקבוצות. לכן, שאלת יחסיהם ה"אמיתיים" בין הישרים לנקודות לא יכולה להיות נקודת התורפה של השיטה הדדוקטיבית.
על מתמטיקה לא טרחנית 328934
''שאלת יחסיהם ה''אמיתיים'' בין הישרים לנקודות לא יכולה להיות נקודת התורפה של השיטה הדדוקטיבית''

סבבה
על מתמטיקה לא טרחנית 329467
אני יודע שאני אתחרט על זה, אבל הבהרה:

זה אחד ההבדלים המרכזיים בין מי שכותב מתמטיקה למי שכותב פסאודו-מתמטיקה. גם מי שכותב מתמטיקה משתמש במונחי יסוד שאותם הוא לא מגדיר, ובאקסיומות שאותן הוא לא מוכיח. ההבדל הוא שהמתמטיקאי *מודע* לזה. אם תשים לב, בראש הדף יש חלק חשוב שנקרא "Undefined Terms", ושם מופיעה רשימה של כל מושגי היסוד שאותם לא מגדירים. בין היתר, הגיאומטריה דורשת קיום איזשהו יחס בין נקודות לישרים (אותו היחס שבאופן אינטואיטבי אפשר להתייחס אליו כ"הישר עובר דרך הנקודה" או "הנקודה נמצאת על הישר"). Hilbert מגדיר יחס כזה, וקורא לו "contains".

זה לא אומר שהקו מכיל (!) את הנקודות שיש בו בשום מובן מתמטי. לאותו יחס בין נקודות לישרים אפשר היה גם לקרוא "eats" או "loves", והמתמטיקה הייתה נשארת זהה לחלוטין. האם אז היית מפתח תיאוריה שמדברת על המתמטיקה במונחים של יחסי אהבה בין נקודות לישרים?

לשם השוואה, אצל דורון שדמי, למרות בקשות חוזרות ונשנות מצד חברי האייל, לא מצאתי בשום מקום רשימה של מושגי יסוד ואקסיומות (בלי הסברים ארוכים שקשה בהם למצוא את הידיים והרגליים, בלי הפניות לקבצי pdf עלומים, פשוט רשימה ממוספרת, שאחרי כל מספר יש מילה אחת או שתיים - מושג שבו דורון משתמש בלי להגדיר אותו)
על מתמטיקה לא טרחנית 329486
"לשם השוואה, אצל דורון שדמי, למרות בקשות חוזרות ונשנות מצד חברי האייל, לא מצאתי בשום מקום רשימה של מושגי יסוד ואקסיומות (בלי הסברים ארוכים שקשה בהם למצוא את הידיים והרגליים, בלי הפניות לקבצי pdf עלומים, פשוט רשימה ממוספרת, שאחרי כל מספר יש מילה אחת או שתיים - מושג שבו דורון משתמש בלי להגדיר אותו)"

הסיבה מאוד פשוטה אייל אלמוני.

המערכת שלי מבוססת תובנה, כאשר ההגדרות אינן אלא אמצעי טכני לייצוג התובנה, תוך הקפדה יתירה של הייצוג המיטבי של התובנה.

משמעות הדבר היא, שכל מושג צריך להיות מובן עד תומו *טרם* השימוש בו.

דרישה *ריגורוזית* זו מאפשרת קיומן של מערכות מכוננות תובנה, ולא מכוננת הגדרה-בלבד, כי בבסיס מערכות מכוננות הגדרה-בלבד לא קיימת שום תובנה מכוננת.

התובנה המכוננת של מושג הקו ומושג הנקודה, מאפשרת הבחנה קטגורית ברורה לחלוטין ביניהם כבר ברמה הלוגית.

מבחינה לוגית ברור לחלוטין שקו יכול להתקיים סימולטנית בשני מצבים שונים כגון: פנים AND חוץ, מעלה AND מטה, שמאל AND ימין, אמת AND שקר וכו'.

מבחינה לוגית ברור לחלוטין שנקודה אינה יכולה להתקיים סימולטנית בשני מצבים שונים, ולכן התנאי-הלוגי ביניהם הוא XOR, לדוגמא: פנים XOR חוץ, מעלה XOR מטה, שמאל XOR ימין, אמת XOR שקר וכו'.

בקיצור, תנאי-האמת של קו ונקודה שונים בתכלית זה מזה, ומאפשרים הגדרת מרחב גישור ביניהם תוך שימוש בלוגיקה משלימה, החוקרת את מצבי המעבר הסדורים המתקיימים בין תנאי-האמת 1=(אמת AND שקר) לתנאי-האמת 1=(אמת XOR שקר).

השיטה מכוננת-ההגדרה המקובלת כיום מוגבלת לתנאי-האמת 1=(אמת XOR שקר) בלבד ולכן מרחב הגישור הנחקר ע"י המתמטיקה-המונדית הוא מחוץ לתחום החקירה שלה.

אינני מבין אייל-אלמוני, מדוע אתה משבח את שיטת ההגדרות המכאניות המשוללות תובנה-מכוננת?

הריי ללא תובנה זו אתה נוהג כסומא בארובה הרודף אחרי זנבו שלו.

אם אתה חושב שמושגים לא-מוגדרים שקולים למשתנים, אשר תוכנן התבוני ניתן להם במסגרת מערכת-האקסיומות המשתמשת בהם, הריי שאתה טועה טעות מרה, כי מושגי יסוד של מערכת אינם כלי-קיבול אלא התוכן עצמו, המעניק את העומק התבוני ה*חייב* להתקיים בכל מערכת מעניינת.

אי-הבנתם של מושגי-יסוד *טרם* השימוש בהם, יוצרת מערכת ריקה מתבוניות, המבוססת על "נפנופי-ידיים" מכאניים חסרי כל תוכן.

ניתן לראות את סימניה של שיטה ריקה-מתוכן זו, ע"י ידי בחינת האופן שבו בוחרים מתמטיקאים מילים מהשפה המדוברת, כדי להשתמש בהם במסגרת שפה פורמלית, לדוגמא:

הריי ברור לחלוטין שסידרה אינסופית של אינטרפולציות בין אלמנטים מובחנים אינה נחסמת מעצם מהותה (אחרת היא לא היתה אינסופית), אז מדוע בחרה קהילת המתמטיקאים להשתמש במושגים "גבול" ו"חסם" כדי להגדיר אינטרפולציה זו?

ברור לחלוטין כי יש הבדל מהותי בין המושגים EACH ו-ALL, אז מדוע בחרה קהילת המתמטיקאים לא להבדיל בין מושגים אלה בעת הגדרת הכמת-האוניברסלי?

ולעייננו, ברור לחלוטין כי יש הבדל מהותי (כבר ברמה הלוגית) בין קו לנקודה, אז מדוע בחרה קהילת המתמטיקאים לתאר את תוכן R (שהוא אוסף של אלמנטים מובחנים) במושגים של קו ("הישר-הממשי)?

ברור לחלוטין שמושג הרצף הינו הפוך ממושג האוסף (רצף אינו מכיל שום תת-אלמנטים בתחומו מעצם מהותו) אז מדוע משתמשת קהילת המתמטיקאים במושג הרצף כדי לתאר עוצמה הקשורה לאוסף של איברים מובחנים (לקרדינל של R יש את עוצמת-הרצף)?

כמו-כן אשמח לדעת את תגובתך לתגובה 328976 , המראה בבירור את כשלונה של השיטה-הפורמלית כבר באת הגדרת-הקיום של הקבוצה-הריקה ב-ZF.

אשמח לתגובתך הבהירה, אייל-אלמוני, לכל הנ"ל.

תודה.
על מתמטיקה לא טרחנית 329577
"דרישה *ריגורוזית* זו" - זה לא היקש ריגורוזי. בתור מי שמתלונן כל הזמן על הוצאת המשמעות ממילים, אתה "גונב" מילים בלי סוף לצרכיך שלך.

"ברור לחלוטין שקו יכול להתקיים סימולטנית בשני מצבים שונים" - לך זה ברור. לי לא. תוכל לתת דוגמה?

"ברור לחלוטין כי יש הבדל מהותי בין המושגים EACH ו-ALL" - מה ההבדל המהותי?

"הריי ברור לחלוטין שסידרה אינסופית של אינטרפולציות בין אלמנטים מובחנים אינה נחסמת" - לך זה ברור. לי לא.
אגב, אתה נוטה כל הזמן לדחוף את המילה "אינטרפולציות" בלי סיבה ברורה. אולי תאמר פשוט "סידרה אינסופית של אלמנטים מובחנים"?

"ברור לחלוטין כי יש הבדל מהותי (כבר ברמה הלוגית) בין קו לנקודה" - לך זה ברור. לי לא.

"ברור לחלוטין שמושג הרצף הינו הפוך ממושג האוסף" - לך זה ברור. לי לא.
אולי די??? 329581
על מתמטיקה לא טרחנית 329751
משמעות המילה "ריגורוזי" היא "חמור" (לא זה שנוער) ואין שום בעיה שבעולם לדבר על "דרישה חמורה" (לא הנקבה של החמור).

"אתה "גונב" מילים בלי סוף לצרכיך שלך"

נהפוכו, אני מעורר מחדש את משמעותם המקורית של מילים שהושחתו ע"י מתמטיקאים.

""ברור לחלוטין כי יש הבדל מהותי בין המושגים EACH ו-ALL" - מה ההבדל המהותי?"

EACH הינה התיחסות פרטנית לכל אלמנט ללא כפיית המסקנות על הכלל.

ALL כופה תנאי כללי על אוסף של אלמנטים מובחנים, ללא התיחסות להבדלים ביניהם.

""ברור לחלוטין שקו יכול להתקיים סימולטנית בשני מצבים שונים" - לך זה ברור. לי לא. תוכל לתת דוגמה?"

"ברור לחלוטין כי יש הבדל מהותי (כבר ברמה הלוגית) בין קו לנקודה" - לך זה ברור. לי לא.

כן: ראה נא את http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=43&...

""הריי ברור לחלוטין שסידרה אינסופית של אינטרפולציות בין אלמנטים מובחנים אינה נחסמת" - לך זה ברור. לי לא."

קרא נא זאת:

I think you understand the idea of a smooth (pointless) segment, but you still have problems to understand that when we deal with the non-finite, the limit concept (which is a natural property of any finite mathematical object) is replaced by the proportion concept.

The simplest way to understand the proportion concept (which is valid in both non-finite andr finite mathematical objects) is to use 0_1 as the basic unit of any other mathematical object.

0_x/0_1 = 0_x and 0_1/0_x is the multiplicative inverse of 0_x.

Sine any segment is indivisible by definition, we have to understand '/' not as a division operation but as a ratio between indivisible segments.

For example Circumference/Diameter is the ratio between a close segment and a non-closed segment, and since this ratio is very important to us we give it a unique name, which is: Pi.

The base method is a measurement tool that takes 0_1 and uses some invariant proportion according to it that can be found on infinitely many different scale levels that have self similarity over scales, where this self similarity is determined by the base value n where n = 2 → ∞ .

In other words base_2 fractal is not identical to base_3 fractal ... etc. ad infinitum.

When we understand fractals and the invariant proportion that is naturally related to them, we can understand something, which is simply amazing and beautiful:

a) We know that 0_1 is a finite mathematical element, when it is compared to itself (or in other words, we use 0_1 as the ratio of itself, or the scale level of itself, for example 0_1/0_1).

b) Let us say that we use base_2 fractal, and in this case we use smaller (fractions) or greater (integers) segments, to construct each scale level of the Base_2 fractal.

c) Please pay attention that any base_n fractal is made of segments, where each segment is a finite mathematical object, which is length > 0 where 0 is not a finite segment, but a point.

d) The basic difference between a point and a segment is this:

A segment has a direction, for example: we can move forward of backward along closed of opened segment. Also we can talk about the right edge or the left edge of a segment, top and bottom, ... atc.

We cannot do that in the case of a point, because a point has no direction at all (not 0 direction, but no direction at all).

e) Since any base_n fractal is based on segments, and only on segments, this basic property cannot be changed, even if we have a non-finite base_n fractal.

f) At the moment that we understand this fundamental fact about the base method, we immediately understand, that any non-finite path along this fractal cannot change the fact that any base_n fractal is made only by segments, where each segment > 0.

g) 0 is used only as an initial place, which helps us to the base_n fractal as a measurement tool, but when we go beyond the initial place we are in the kingdom of segments.

h) when we understand all of what is written above, we immediately understand that 0.111... [base_2] < 1 or in a more accurate way, since we are in the kingdom of segments the accurate notations for this notion is:

[0.111..., _1) < 0_1 (where the notation '_1)' of [0.111..., _1) is not natural number 1, but an infinitesimal and non-reachable segment, which permanently prevents from 0.111... to reach the exact value of 0_1).

Each [0.###, _#) has [0.000..., _1) which is an infinitesimal segment that is the complement of
[0.###, _#) to 0_1.

We have to understand some very interesting facts about this complement segment.

a) If the complement segment is not used (by an addition operation), then [0.###, _#) is a non-finite unique sequence along some base_n fractal.

b) If the complement segment is used (by an addition operation), then immediately we reach 0_1, but than [0.###...,_#) is changed to [0.###...,_#] or in other words, we get a finite sequence of segments, where the last segment is = or > than the previous first segment.

But a deeper understanding of the above is this:

Let us use base_10 in order to understand it, but it holds for any other base.

By understanding [0.999..., _9) and [0.000..., _1) we get another beautiful insight, which is:

If we do not use an addition between [0.999..., _9) and [0.000..., _1),
then [0.999..., _9) is a non-finite fractail where [0.000..., _1) is an infinitesimal segment.

When we use an addition between [0.999..., _9) and [0.000..., _1), then and only then [0.999..., _9) and [0.000..., _1) become finite objects ( notated as [0.999..., _9] and [0.000..., _1] ) that their exact length is segment 0_____1.

By this insight we understand that our own action can change a mathematical object from a non-finite state to a finite state and vise versa.

In other words, the mathematician himself is not an objective observer, but an active participator of any explored mathematical universe, which his influence on this universe must not be ignored anymore.

"אגב, אתה נוטה כל הזמן לדחוף את המילה "אינטרפולציות" בלי סיבה ברורה. אולי תאמר פשוט "סידרה אינסופית של אלמנטים מובחנים"?"

כנראה שאינך מבין את ההבדל בין הפנמה (אינטרפולציה) להחצנה (אקסטרפולציה).

הפנמה היא התייחסות לאלמנט Z , הסמוך יותר לאלמנט X מסמיכותו של אלמנט Y לאלמנט X .

הפנמה היא התייחסות לאלמנט Z , המרוחק יותר מאלמנט X מהמרחק של אלמנט Y לאלמנט X .

סמיכות ומרחק אינם בהכרח מושגים מטריים, אלא מצביעים על דמיון או אי-דמיון בין אלמנטים שונים.

""ברור לחלוטין שמושג הרצף הינו הפוך ממושג האוסף" - לך זה ברור. לי לא."

הראה נא לי את האוסף המרכיב אלמנט רציף לחלוטין, אשר אינו מורכב מתת-אלמנטים.

הדגם נא זאת על _________
על מתמטיקה לא טרחנית 329758
תיקון טעות:

החצנה (אקסטרפולציה) היא התייחסות לאלמנט Z , המרוחק יותר מאלמנט X מהמרחק של אלמנט Y לאלמנט X .
את האלמנט כבר הכנסתם לנו 329761
על מתמטיקה לא טרחנית 329769
1. אתה רוצה להגיד לי שההגדרה שלך ל"מספר" יותר מקורית (כלומר, עתיקה ואינטואיטיבית) מההגדרה המקובלת, שההגדרה ה"מקורית" של המונח "קבוצה" יכולה להיות "מלאה אך בלתי פריקה", שההגדרה המקורית ל"שלם" היא "מכסה את הרצף", ושיש משמעויות "מקוריות" ל"מרחב-גישור" ול"פונקצית גישור"? תהיה בריא.

2. מצא את ההבדלים: "לכל איש יש שם", "לכל האנשים יש שמות". האם טענה כלשהי מהשתיים *גוררת* את השנייה ‏1? האם יכולה להתקיים טענה אחת מבלי שתתקיים הטענה השנייה?

3. העמוד http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=43&... זכה ליותר ביקורים ממני מאשר "גוגל". אני עדיין לא מבין איך זה מוכיח את הטענה שלך. בנוסף, ראה סעיף 4.

4. כל הטקסט הזה הוא ההבנה שלך את המושג "ברור"? חוץ מזה, לא הבנתי בכלל איך זה מוכיח את הטענה.

5. אני מבין בהחלט למה אתה מתכוון במילה "אינטרפולציה". ובכל זאת, אין טעם שתחזור עליה שוב ושוב. מספיק לשאול האם קיימת סדרה אינסופית חסומה של מספרים.

6. לגבי בקשתך בסוף: אתה מניח שאני מקבל את קיומה של קבוצה המכילה "אלמנט רציף לחלוטין, אשר אינו מורכב מתת-אלמנטים". לרוע המזל, כל דבר שאני מזהה כ"רציף", אתה שולל בטענה שזהו "אוסף של איברים מובחנים". כל תשובה שלי לא תספק אותך.

7. שאלה מעניינת ויסודית שמשום-מה לא שאלתי קודם: כיצד אתה מגדיר קבוצה?
על מתמטיקה לא טרחנית 329773
1 ואביב י. היה מוסיף: "איך גוררת אם אין לה חבל?"
על מתמטיקה לא טרחנית 329818
"1. "אתה רוצה להגיד לי שההגדרה שלך ל"מספר" יותר מקורית (כלומר, עתיקה ואינטואיטיבית) מההגדרה המקובלת, שההגדרה ה"מקורית" של המונח "קבוצה" יכולה להיות "מלאה אך בלתי פריקה", שההגדרה המקורית ל"שלם" היא "מכסה את הרצף", ושיש משמעויות "מקוריות" ל"מרחב-גישור" ול"פונקצית גישור"? תהיה בריא."

1. תהיה בריא גם אתה.

א. ההגדרה שלי למספר הטבעי היא עמוקה יותר מההגדרה הרגילה, המשתמשת עדיין בספירת עיזים, כבשים, ומיונם.

הגיע הזמן לנוע הלאה, ולבסס את מושג המספר הטבעי על יכולותיה המובנות של התודעה עצמה, וזאת עשיתי, וכתוצאה מכך חשפתי יקום שלם שלא טופל עד כה במסגרת המתמטיקה הרגילה, אשר מתעלמת כליל התכונותיה המובנות של התודעה, המתוארות כפונקציות-גישור בין זכרונה לבין אוסף מחשבותיה.

7. שאלה מעניינת ויסודית שמשום-מה לא שאלתי קודם: כיצד אתה מגדיר קבוצה?"
ב. "קבוצה" הינה מרחב-הדיון של התודעה, ומרחב זה אינו מוגבל לאוסף בלבד אלא למצב רציף כמו הזכרון.

ג. השלם אינו מכסה את הרצף, אלא הוא הרצף בכבודו ובעצמו.

ד. פונקציית-גישור היא תצורת גישור בין הרצף לאוסף, המתקיימת בין גישור מקבילי לגישור סדרתי. מרחב-הגישור הינו התחום המשמש למגוון אינסופי של אפשרויות חבירה בין פונקציות הגישור.

"מצא את ההבדלים: "לכל איש יש שם", "לכל האנשים יש שמות"."

במה ידיך אתה מדגים שוב את אי ההבחנה בין EACH ל- ALL כי הכמת "לכל" מקביל למילה ALL ולא למילה EACH.

". כל הטקסט הזה הוא ההבנה שלך את המושג "ברור"? חוץ מזה, לא הבנתי בכלל איך זה מוכיח את הטענה"

הסבר לי באיזה מחסום בלתי-עביר בתודעתך אתה נתקל כאשר את מתבקש להבין כי קטע יכול להמצא סימולטנית בשני צדדיה של של מערכת בינרית , כאשר לנקודה אין אפשרות להמצא סימולטנית השני צדדיה של מערכת בינרית?

."6 לגבי בקשתך בסוף: אתה מניח שאני מקבל את קיומה של קבוצה המכילה "אלמנט רציף לחלוטין, אשר אינו מורכב מתת-אלמנטים". לרוע המזל, כל דבר שאני מזהה כ"רציף", אתה שולל בטענה שזהו "אוסף של איברים מובחנים". כל תשובה שלי לא תספק אותך."

א. למה אתה חושב שאתה צריך לספק אותי? אם אתה באמת מבין את ההבדל שבין רצף לאוסף הריי שאין כאן שום "עיגולי-פינות" או "כיפופי-התאמה" לצרכיו של מישהו.
על מתמטיקה לא טרחנית 329824
1.א. "לבסס את מושג המספר הטבעי" - אתה לוקח מושג ונותן לו משמעות אחרת לגמרי, ובכך מרוקן אותו ממשמעותו המקורית, אשר ניתנת להבנה ע"י התודעה. מכיוון שכך, ההוכחות שלך לא מייצגות שום תובנה.
וואו! אני פשוט יכול להיות הדובר שלך.

ב. *זאת* אמורה להיות המשמעות ה"מקורית" של המונח "קבוצה"? אני, במלוא תובנתי, אפילו לא מבין אותו. אני בכלל לא יודע מה זה "מרחב דיון". אני בקושי יודע מה זו "תודעה". אני לא חווה את הזכרון שלי כרצף.
אני חוזר לשאלה שכבר שאלתי: מה דעתך על הפרדוקס של ראסל?

ד. החלפת את המונח "פונקצית גישור" במונח "תצורת גישור". זה לא ממש עוזר. אני לא יודע באיזה מובן היא (הפונקציה? התצורה?) מתקיימת בין גישור סדרתי לגישור מקבילי. אני לא יודע מה זה "גישור סדרתי" ו"גישור מקבילי". אני לא יודע מה הן "חבירות" של פונקציות-גישור.
נסח לי בשפה פסיכולוגית: מהי פונקצית הגישור? איפה היא משתלבת בתהליך המחשבתי?

2. "במה ידיך אתה מדגים" - תרגם בבקשה לאנגלית את שני המשפטים. עכשיו תראה לי את ההבדלים המהותיים ביניהם. האם יש ביניהם יחסי גרירה? האם יכול כל אחד מהם להתקיים ללא השני?

3. "הסבר לי באיזה מחסום" - אני בהחלט "רואה" למה אתה מתכוון כשאתה אומר IN AND OUT. אם נתון חצי מישור, אז כל נקודה תהיה "בתוכו" או "מחוצה לו", ואילו ישר יכול להיות "בתוכו", "מחוצה לו", או "גם וגם". הבעיה: כאשר אתה בוחר "תחום" במישור אתה בוחר קבוצה של *נקודות*. באותה מידה היית יכול לבחור קבוצה של *ישרים* (רעיון הרבה פחות אינטואיטיבי ויזואלית), ואז כל ישר היה "בתוכה" או "מחוצה לה", ודווקא הנקודות היו יכולות להיות בשלושה מצבים.
על מתמטיקה לא טרחנית 329909
".א. "לבסס את מושג המספר הטבעי" - אתה לוקח מושג ונותן לו משמעות אחרת לגמרי, ובכך מרוקן אותו ממשמעותו המקורית, אשר ניתנת להבנה ע"י התודעה. מכיוון שכך, ההוכחות שלך לא מייצגות שום תובנה.
וואו! אני פשוט יכול להיות הדובר שלך."

מה מונע ממך מלהבין את http://www.geocities.com/complementarytheory/ONN1.pd...
או http://www.geocities.com/complementarytheory/TAP.pdf ?

"*זאת* אמורה להיות המשמעות ה"מקורית" של המונח "קבוצה"? אני, במלוא תובנתי, אפילו לא מבין אותו."

הריי את המשפט הנ"ל בחנת במרחב-התודעה שלך, אז מה בדיוק אתה לא מבין ואיפה אתה חושב ההבנה או אי-ההבנה שלך מתקיימת?

"נסח לי בשפה פסיכולוגית: מהי פונקצית הגישור? איפה היא משתלבת בתהליך המחשבתי?"

זאת איננה פסיכולוגיה אלא מתמטיקה במיטבה, אשר אינה מתעלמת יותר מהתודעה, כגורם מכונן שלה.

עיין נא בhttp://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=38&...

"אני חוזר לשאלה שכבר שאלתי: מה דעתך על הפרדוקס של ראסל?"
""במה ידיך אתה מדגים" - תרגם בבקשה לאנגלית את שני המשפטים. עכשיו תראה לי את ההבדלים המהותיים ביניהם. האם יש ביניהם יחסי גרירה? האם יכול כל אחד מהם להתקיים ללא השני?"

EACH אינו ניתן לתרגום לעברית, ALL הינו "לכל" בעברית.

ההבדל בין EACH ל-ALL הוא כמו ההבדל שבין דדוקציה(ALL) לאינדוקציה(EACH).

" הבעיה: כאשר אתה בוחר "תחום" במישור אתה בוחר קבוצה של *נקודות*. "

מי דיבר על אוסף? אני מתכוון **בפירוש** להבדל שבין קטע יחיד לנקודה יחידה!
על מתמטיקה לא טרחנית 330012
"מה מונע ממך מלהבין..."

א. העובדה שהחלטתי לא לקרוא יותר קישורים שלך. כמו שאמר אלון, אני עקשן מאוד בניסיון (חסר הסיכוי, פחות-או-יותר) להבין אותך. הקישורים כבר דורשים ממני יותר מדי מאמץ. את רובם אני כבר מכיר היטב, ועדיין לא מבין. עוד קישור אליהם לא יעזור. מעבר לתוכן התגובות, אני לא מתכוון להתאמץ.
ב. העובדה שהוא בלתי-קריא. הייתי בעמוד הזה כל כך הרבה פעמים!

"מה בדיוק אתה לא מבין?"

א. איך אדם יכול לחשוב שההגדרה הזאת לקבוצה היא "המשמעות המקורית של המילה".
ב. מה זה "מרחב דיון", למשל.

"זאת איננה פסיכולוגיה"

אני לא מבין מה זו "פונקצית גישור". אני אשמח אם תסביר לי בלשון בני אדם.

"אלא מתמטיקה במיטבה"

<הוסף כאן ריקנות מוחלטת.>

"EACH אינו ניתן לתרגום לעברית"

ביקשתי שתתרגם ל*אנגלית* את שני המשפטים "לכל איש יש שם", "לכל האנשים יש שמות". אני אחסוך לך את העבודה:
"All people have names."
"Each person has a name."
כעת ענה על השאלות: האם אחד משני המשפטים גורר את השני? האם יכול כל אחד מהם להתקיים ללא השני?
(התשובות יכולות לכלול נימוקים, ואפילו רצוי שיכילו, אבל אנא: תשובה אחת לכל שאלה, ושתתחיל במשפט "כן." או במשפט "לא.")

"מי דיבר על אוסף..."

לא הבנת אותי. לא משנה. אני לא מתכוון להסביר את זה שוב.
על מתמטיקה לא טרחנית 330106
'' אני עקשן מאוד בניסיון (חסר הסיכוי, פחות-או-יותר) להבין אותך.''

לך לשלום אייל צעיר.
על מתמטיקה לא טרחנית 330206
אין סיכוי, אייל צעיר,
כי תבין את דורון,
לכן קבל בברכה, את עצמו אליך.
לוותר על השטחים? 328930
אני מקווה לא להחשב לטרחן בעצמי, אבל הוכחות כאלה יכולות להרוס את כל האינדוקרינציה‏1 של תלמידי אינפי נגד הוכחות בנפנופי ידיים.

יש שתי אפשרויות. הראשונה היא *להגדיר* זווית במונחי שטח, ואז ההוכחה של הגבול sin(x)/x מיידית, אבל נדמה לי שזה לא יגמר בטוב (לא בדקתי עד הסוף).

אם מגדירים זווית לפי אורך הקשת במעגל היחידה, אז באמת מוכרחים להשוות את הקשת לקטעים. הצרה היא שאנחנו יודעים מתי הקשת ארוכה מסכום של קטעים (אם הם מחברים נקודות על הקשת - קו ישר הוא הדרך הקצרה ביותר וגו'), אבל אין שום דרך לחסום את אורך הקשת מלמעלה. לפי השוואה בין הקשת למיתר רואים ש- sin(x)<x. אם חוצים את הזווית, מתקבל גם 2sin(x/2)<x, ובאותו אופן N*sin(x/N)<x לכל N שלם. מצד שני, "רואים" שהקו השבור באגף שמאל "שואף" לקשת (אפשר להסיר את המרכאות אחרי שמגדירים שאיפה של קוים לעקומה), ולכן הגבול של (N*sin(x/N, כאשר N שואף לאינסוף, הוא x. מכאן שהיחס (sin(x/N)/(x/N שואף ל-‏1. זה בערך מה שרצינו (אם רוצים שאיפה של פונקציה ולא של סדרה, צריך לעבוד עוד קצת).
(הויתור על השוואת שטחים נראה כמו בזבוז של נימוק מצויין, אבל אני לא בטוח שיש דרך טובה יותר).

1 בכוונה, אלא מה.
לוותר על השטחים? 328941
1) תוכל לתת לי ספר שבו רואים שהקו השבור באגף שמאל שואף לקשת, ולא רק "רואים" שהקו השבור באגף שמאל "שואף" לקשת?

2) האם כל מי שמשתמש בהוכחה מבוססת השטחים (=למשל, הספר של בן ציון קון שהוא הטקסט הבסיסי לתלמידי החדו"א בטכניון, וההרצאה המצולמת של חדו"א בטכניון) בעצם "מרמה" ועושה משהו מעגלי?
לוותר על השטחים? 528971
וואו. נוסטלגיה.

הספר שהשביע את רצוני בסופו של דבר היה Calculus של Moise, בהמלצת אחד הפרופסורים בפקולטה.
לוותר על השטחים? 528983
ואיך הוא עושה את זה?
לוותר על השטחים? 528987
הוא מציג את העניין עם הקו בצורה די מפורטת עם גלישה לגאומטריה, ולא משתמש שם בגבולות אלא באי שוויונות; ובמקום אחר הוא גם מוכיח ששטח עיגול היחידה הוא פאי בלי להשתמש בגבול ההוא.
waiving the hand waving 328977
האמת ש"אפשר להסיר את המרכאות אחרי שמגדירים שאיפה של קוים לעקומה" זה גם מה שאני ניסיתי לומר, אבל באופן פחות ברור.

אני בכל זאת רואה יתרון לנתיב של השטחים, והוא האפשרות להפריד את תהליך המיצוי מתהליך השאיפה של הזווית ל-‏0. בעיני זה יותר ברור: קודם מראים קשר בין שטח גזרה לאורך קשת (לכל זווית, קטנה כגדולה), ואח"כ השאלה של sin(x)/x כש-x שואף ל-‏0 נהיית קלה מאוד.
לוותר על השטחים? 328989
הי עוזי,

אני מאמין, כי ראש ממשלתנו מתחבט היום הרבה בשאלה המתמטית בנושא ויתור של השטחים.

לאחרונה ידיד שלי שעובד בפרוייקט של הכנות למבחני בגרות באמצעות האינטרנט, שאל אותי איך להגדיר זווית. הוא ציטט אחד מספרי ההכנה ( 3 יחידות) שם נכתבה ההגדרה הבאה :

"הסיבוב בין שני קרניים היוצאות מנקודה אחת"

הוא לא היה שבע רצון, ובצדק מהגדרה זו ולכן הוא ביקש מממני להגדיר זווית .ערכתי מיד את ההגדרה של אותו ספר ל :

מידת הסיבוב בין שתי קטעים הפוגשים נקודה"

אבל בהחלט אני עדיין רחוק מלהיות שבע רצון ממהגדרה שנתתי למושג הזווית. ראשית יש להבחין בין המושג עצמו למידה המספרית שלו.
לוותר על השטחים? 328991
שאלה מצויינת. עוזי, אני מציע שתכתוב את התשובה שלך כאן:

לוותר על השטחים? 328996
אם הבנתי נכון, זוית מוגדרת בתור אורך הקשת במעגל היחידה. קל להוכיח שהיא גם היחס בין אורך הקשת לרדיוס בכל מעגל.
לוותר על השטחים? 329027
הגדרת רדיאן (יחידת מידה לזווית), לא זווית.

שים לב: "אורך הקשת במעגל היחידה" - איזו קשת? יש הרבה. מה מבדיל בין הקשתות השונות?
לוותר על השטחים? 329045
האורך הוא מה שמבדיל ביניהן, ואני לא רואה למה הוא לא יכול לשמש להגדרה של זוית. אם אתה מתכוון להרבה קשתות באותו אורך, הרה כל אחת מהן מגדירה אותה זוית.
לוותר על השטחים? 329049
אני לא אומר שאי אפשר, רק שחסר לך משהו בדרך. למשל, לפי ההגדרה הנוכחית שלך לא ברור מה הכוונה במשפט ''סכום הזוויות במשולש הוא פאי''. בתרגום מילולי מההגדרה שנתת המשפט הזה הופך ל-''סכום אורכי הקשתות במעגל היחידה במשולש הוא פאי''.
לוותר על השטחים? 329057
אני בכ''ז לא רואה מה הבעיה. אחרי שתציב בחזרה ''זוית'' במקום ''אורכי הקשתות במעגל היחידה'' עפ''י ההגדרה קיבלנו את מה שרצית. המשפט הביזארי שרשמת לא שונה ממה שיקרה להרבה משפטים כאשר תיתעקש לשבץ בתוכם את ההגדרות של כל המונחים שהשתמשת בהם.
לוותר על השטחים? 329070
ההבדל הוא שבאותם משפטים אני מבין מספיק מה המושג שעליו מדברים כדי לשבץ אותו בחזרה בצורה סבירה. במקרה הזה אני לא מבין איך ''זווית'' באה לידי ביטוי בצורות שבהן אין לנו מעגל (בפרט, אני לא רואה מה הקשר בין ''זווית'' שהיא משהו ש''יש בין שני ישרים נחתכים'' ובין המושג שאתה הגדרת, אם אני מסתכל רק על ההגדרה שלך)
לוותר על השטחים? 329076
ואני לא רואה את הקשר בין סינוס לבין משולשים שאינם ישרי זוית. אומרים לי שאני יכול לבנות משולש ישר זוית כרצוני בכל פעם שאני נתקל בזוית כלשהי של איזה משולש כדי להזכר איפה מתחבא שם הסינוס שהוגדר במשי''ז ואני אומר לך באותו אופן לשרטט קשת בין אותם ישרים נחתכים כדי להזכיר לך מה זה זוית. תשים לב שזה מה שאתה עושה בלאו הכי כדי לסמן זוית ככה שיש לך יתרון על פני.
לוותר על השטחים? 329081
מילת המפתח כאן היא בדיוק זו: "בנייה".

בהנתן שתי קרניים שנפגשות בנקודה, ניתן לבנות מעגל ברדיוס 1 שמרכזו באותה נקודה, למצוא את שתי נקודות החיתוך של הקרניים עם המעגל, ואת אורך הקשת שביניהם. אורך זה ייקרא ה"זווית" (ברדיאנים) שבין שתי הקרניים.
לוותר על השטחים? 329090
זה מה שאמרתי.
לוותר על השטחים? 329093
נכון. רק רציתי לנסח את זה באופן מדויק יותר. אני מאמין שבניית המעגל זה השלב שהיה חסר לגדי בהגדרה שלך.
לוותר על השטחים? 329235
שתי ההגדרות בעייתיות למדי. הראשונה צ"ל "הסיבוב בין *שתי* קרניים היוצאות מנקודה אחת". השנייה צ"ל "מידת הסיבוב בין *שני* קטעים הפוגשים נקודה". אני מודה שגם כך מעלותיהן מוטלות בספק.
על מתמטיקה לא טרחנית 328698
אני אולי שוב מפספס משהו, אבל מה הבעיה לחשב באמצעות אינטגרל פשוט את שטח מעגל היחידה?
1) עוברים לקוארדינטות פולריות.
2) מחוג ברדיוס 1 מסתובב על פני זווית של 2pi.
3) כל תזוזה ב-dTheta מכסה שטח של 0.5*dtheta שזה שטח משולש בעל גובה 1 (הרדיוס) ובסיס dtheta (שזה אורך הקשת עבור רדיוס 1).
4) עושים אינטגרציה על 0.5dtheta (במקור זה 0.5*R^2*dtheta) מ-‏0 עד 2pi ומקבלים שהשטח הוא pi.
על מתמטיקה לא טרחנית 328707
הבעיה היא שכלל לא ברור שהחישוב הזה לא מתבסס על זה שהוכחנו את הגבול הזה פעם. זה כמו שאוסרים להוכיח את הגבול עם כלל לופיטל למרות שהוא יוצא פשוט מאוד ככה - כי כלל לופיטל מסתמך על גזירה, ובשביל לגזור את סינוס צריך את הגבול הזה.

השלבים בהוכחה שלך שמטרידים אותי הם 1 ו-‏3.

בקשר לשלב 1: אני מודה ומתוודה שעד היום אין לי ממש מושג מה בדיוק קורה בזמן המעבר לקוארדינטות פולריות, אבל אני זוכר שיש שם יעקוביאן ואקשן, ויעקוביאן כולל גזירה, והגזירה היא של סינוס וקוסינוס - בעיה.

בקשר לשלב 3: תזוזה קטנה (להבדיל מאינפיניטסימלית) בהחלט לא מכסה שטח של משולש אלא שטח קצת יותר גדול. כמובן שכשאנחנו עוברים לתזוזה אינפיניטסימלית זה שואף להיות שטח של משולש - אבל איך אתה מבצע בצורה פורמלית את המעבר הזה? האם אין שם תהליך גבולי שמעורב בעניין ומתבסס על הגבול שלנו? אני לא יודע, אבל אני צריך לראות יותר לעומק מה אתה עושה.

אני, אגב, הכי אוהב את ההוכחה שהבנתי שמיוחסת לארכימדס, ומתבססת על חסימת מצולעים משוכללים במעגל ובדיקה לאן מתכנס השטח שלהם (ארכימדס גם השתמש במצולעים חוסמים, דומני). אם מנסים לכתוב בצורה פורמלית את הגבול רואים בדיוק איך בסוף הדרך אנחנו מקבלים פאי כפול הגבול sinx/x כאשר x שואף לאפס.
על מתמטיקה לא טרחנית 328710
אני לא מכיר שום בעיה במעבר לפולריות, אבל יכול להיות שזה ידע שחסר לי. עזוב את "מעבר הקוארדינטות" ותחשוב על האינטגרל כגבול של סכימה של משולשים שווי שוקיים. אתה נשאר עם הבעיה שלך ב-‏3 (כמובן שהתכוונתי לתזוזה אינפיניטסימלית) אבל אני לא מבין אותה בדיוק - יכול להיות שחסר לי רקע פורמלי.
על מתמטיקה לא טרחנית 328724
"גבול של סכימה של משולשים שווי שוקיים" נשמע לי דומה לשיטה של ארכימדס. נסה לכתוב מהו בדיוק הגבול הזה (מה השטח של כל אחד מהמשולשים וכמה יש?)

לא אמרתי שיש "בעיה" במעבר לפולריות. אמרתי שצריך לחשב יעקוביאן ולגזור סינוסים תוך כדי התהליך. אתה טוען שזה לא כך?
על מתמטיקה לא טרחנית 328770
שברתני בפעם השניה. אכן, בגבול של הסכימה שהצעתי מופיע sinx/x (מכפלת הבסיס בגובה היא בדיוק sinx ומספר המשולשים הוא 2pi/x).

אני לא מכיר שום חישוב יעקוביאן במעבר וגזירת סינוסים במעבר קוארדינטות, אבל אני סטודנט לפיזיקה - אצלנו פשוט עוברים קואורדינטות ולעזאזל עם הפורמליזם...
על מתמטיקה לא טרחנית 328772
על פי מסורת פיזיקלית עתיקה שקיבלתי ממורי, כשעוברים באינטגרל לקורדינטות קטביות יש לשבת בהסבת ימין ולרשום r^2 sinθ לזכר יעקובי אבינו.
על מתמטיקה לא טרחנית 328776
זה כאשר עוברים לקוארדינטות כדוריות (תלת מימד), לא פולריות (דו-מימד). במעבר בדו מימד dxdy הופך ל-rdThetadr. אבל במקרה שלנו r קבוע ולכן אין dr. בכל מקרה אין סינוס.
על מתמטיקה לא טרחנית 328782
אני חושש שאתה לא צודק. יש r, אחרת האינטגרל היה יוצא שני פאי ולא פאי. תחשוב על זה שנייה: אתה עושה אינטגרל על מעגל ברדיוס 1 עם הפונקציה f(x)=1. אם לא יהיה לך r, איזה אינטגרל תקבל?

באופן כללי, גם ה-r שמתווסף בקוארדינטות פולריות וגם ה-r^2sinθ שמתווסף בקוארדינטות כדוריות שניהם נובעים מחישוב היעקוביאן. בחדו"א לא נותנים לחשב יעקוביאנים? באינפי 3 עשיתי את זה עד שיצא מהאף...

מה שקורה בפולריות זה שאתה כותב x=rcosθ, y=rsinθ ואז כדי לעבור לקוארדינטות הפולריות לא מספיק לבצע את ההצבה: צריך גם לכפול בגורם כלשהו שנקרא "היעקוביאן של הטרנספורמציה" שהמטרה שלו לתקן את הפרופורציות של השטחים שהתעוותו. היעקוביאן זו הדטרמיננטה של מטריצה שכל שורה בה היא גרדיאנט של אחד מהרכיבים של הטרנספורמציה. בשורה השנייה יהיה למשל (sinθ, rcosθ) (גזרנו את y קודם לפי r ואח"כ לפי θ). אתה מחשב את הדטרמיננטה הזו, נעזר בזהות הנחמדה

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1

ואז כל הסינוסים והקוסינוסים נעלמים לך (במקרה הפולרי). זה לא משנה את זה שכדי להגיע לזה היית צריך לדעת נגזרות (ומכיוון שאף פעם לא הצלחתי לעקוב עד הסוף אחרי ההוכחה של מעבר הקוארדינטות, לא ברור לי איזה עוד דברים מתוחכמים אתה כבר צריך להניח שאתה יודע).

אם הקטע של "הפרופורציות של השטחים שהתעוותו" לא ברור, נסה את הדבר הבא: צייר ריבוע עם אורך צלע 1 על דף משובץ ותכתוב את הקוארדינטות של הקודקודים שלו. עכשיו תעשה את מעבר הקוארדינטות הבא:

s=(x+y)/2
r=(x-y)/2

ונסה לכתוב את הקוארדינטות של הקודקודים על פי המערכת החדשה. תגלה שהריבוע שלך הסתובב. עכשיו נסה לחשב את השטח של הריבוע במערכת החדשה על ידי העלאה בריבוע של אחת הצלעות (במערכת הקודמת, כזכור, השטח היה 1) - מה קיבלת? (כדאי מאוד לצייר את הריבוע החדש, זה עוזר מאוד להבין מה השתנה).
על מתמטיקה לא טרחנית 328788
לא אמרתי שאין r אמרתי שאין dr.
לנו פשוט הראו את זה ככה: "בקוארדינטות קרטזיות, שטח של מלבן אינפי' הוא dx*dy, כשאנחנו רוצים לייצג את זה בקוארדינטות פולריות, אז האורך הופך להיות dr והרוחב r*dTheta (אורך הקשת). נכון שזה לא בדיוק מלבן, אבל כששואפים לגבול אינפי' זה יוצא מלבן". יכול להיות שנלמד את זה פורמלית יותר בשנה הבאה - אני עדיין סטודנט, כאמור - אבל אני די בספק. הדגשים מעכשיו הם בעיקר פיזיקליים ולא מתמטיים. אם כבר יהיו דגשים מתמטיים הם כנראה יתמקדו יותר באופרטורים ובמשוואות דיפרנציאליות.
על מתמטיקה לא טרחנית 328793
יש גם r וגם dr. האינטגרל הכפול שמתקבל הוא rdrdθ על המלבן שאורך צלע אחת שלו היא 1 ואורך הצלע השנייה 2 פאי. אם אתה עוד לא משוכנע, נסה לפתח עם אינטגרל את השטח של מעגל כללי ולא רק מעגל היחידה.

אני לא כל כך אוהב את ההסברים של הפיזיקאים. הם טובים מאוד כדי לתת את האינטואיציה, אבל אתה לא באמת מסוגל להבין מהם מה הולך שם (שלא לדבר על "למה זה חוקי" ו"מתי זה חוקי", שאלו שאלות שאליהן כמעט ולא התייחסו בשני הקורסים הפיזיקליים שאני למדתי).
על מתמטיקה לא טרחנית 328821
אני מבינה שהאינטגרל הזה נולד בליל הסדר.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים