|
||||
|
||||
אקסיומת הקיום של ZF: קיימת קבוצה A כך שלא קיים x עבורו x נכלל ב- A . כלומר, אקסיומה זו קובעת שקיימת קבוצה ריקה. ניסוח באנגלית: There is a set A such that, given any set x, x is not a member of A. הבה ונבחן לעומק אקסיומה זו:x אינו יכול להיות הקבוצה-ריקה כי איננו יכולים להשתמש במושג זה במסגרת האקסיומה המגדירה אותו, ולכן x הוא קבוצה מלאה, זאת אומרת יש בו לפחות קבוצה אחת אשר איננה הקבוצה-הריקה (כי הקבוצה הריקה אינה יכולה להתקיים במסגרת האקסיומה המגדירה אותה) כך ש- x אינו יכול להכיל באף רמה שלו את הקבוצה-הריקה, לדוגמא: {{}} אינו אפשרי כי {} הוא הקבוצה-הריקה, וכאמור אסור להשתמש בקבוצה-הריקה כאלמנט במסגרת האקסיומה המגדירה אותו. {{{}}}, {{{{}}}},..., {{},{}}, {{},{{}}}, (כולל היררכיית פון-נאומן שבבסיס המספרים הטבעיים, וכו')... אינם אפשריים כנ"ל. נובע מכך ש- x אינו קבוצה של קבוצות-ריקות לדוגמא:{{.}}=x או {_}=x וכו'. אבל אז מתעוררות מייד שתיי בעיות: אם x אינו קבוצה של קבוצות-ריקות הריי שקבוצה של קבוצות-ריקות, או קבוצות מקוננות שבבסיסם קבוצה ריקה, אינם יכולים להתקיים במסגרת ZF טרם הגדרת הקבוצה הריקה, וכל קבוצה שאינה ריקה חייבת להיות מבוססת על אלמנט יסוד שאינו קבוצה, בשלב ראשוני זה. מכאן ש- ZF איננה מבוססת בשלמותה על מושג הקבוצה, אלא מכילה בהכרח אלמנטים שהם אינם קבוצה, המשמשים כמרכיבי-יסוד בצד הקבוצה הריקה. ובכך אנו רואים כי ZF עצמה אינה תורת-קבוצות טהורה, והיא משתמשת בהנחה סמוייה, של קיומם של אלמנטים שהם אינם קבוצה, כדי להגדיר את הקבוצה הריקה. אשמח לדעת את דעתכם, תודה. |
|
||||
|
||||
נדמה לי שהתכוונת לדבר על A ולא על x אבל אני כבר מפחד לפתוח את הפה, אחרי השטיפות הקודמות שחטפתי כאן. |
|
||||
|
||||
"נדמה לי שהתכוונת לדבר על A ולא על x אבל אני כבר מפחד לפתוח את הפה, אחרי השטיפות הקודמות שחטפתי כאן." לא אני מתכוון בפירוש ל-x . אנא הרגש חופשי לומר את כל העולה בדעתך. תודה. |
|
||||
|
||||
האקסיומה אומרת: "יש קבוצה A שאין לה איברים". שים לב עד כמה האקסיומה אינה מדברת על x. |
|
||||
|
||||
(אני בדרך לאנשהו, ולא אוכל להגיב בזמן הקרוב). |
|
||||
|
||||
"האקסיומה אומרת: "יש קבוצה A שאין לה איברים". שים לב עד כמה האקסיומה אינה מדברת על x." זוהי התוצאה של קיומם של כל האיברים הללו מחוץ ל- A . האיברים הללו הם x , ו-A אינו יכול להיות אחד מהם, כי אז יש כאן הנחה סמויה שהקבוצה-הריקה קיימת עוד בטרם הגדרנו אותה. אם כך בנויה המתמטיקה, אז לא צריך אקסיומות בכלל, כי אפשר להניח מראש שכל דבר קיים מבלי שנצטרך להגיר אותו. |
|
||||
|
||||
היא קיימת לפני שהגדרנו אותה. האקסיומה פשוט "מספרת" לנו על זה. שים לב שההגדרה לא *מניחה* שהקבוצה הריקה קיימת עוד לפני שהגדרנו אותה. אבל אם ההגדרה מכילה טענה על כל הקבוצות, הקבוצה (הקיימת) שאותה אנחנו מגדירים מקיימת אותה אף היא. |
|
||||
|
||||
''היא קיימת לפני שהגדרנו אותה. האקסיומה פשוט ''מספרת'' לנו על זה.'' אם כך אתה אפלטוניסט, המאמין שהמתמטיקה רק חושפת בסיפוריה דברים הקיימים במנותק מהתובנות או האקסיומות שלנו. איני שותף לגישה הדטרמינסטית-מכאנית הזו, וטוען כי דבר אינו קיים בתודעה שלנו עד לרגע שבו שהוא מכונן ע''י תובנה ומנוסח ע''י הגדרה (מה שאתה מכנה ''כסיפור'', אך סיפור זה לא קיים ללא התובנה המכוננת אותו ואסור לנו להשתמש בתובנה כהנחה סמויה שאינה מנוסחת בהגדרה). |
|
||||
|
||||
לא, התגובה הזו לא מעידה על היותי פלטוניסט. העניין הוא שהאקסיומה לא יוצרת שום דבר. היא טוענת טענה. |
|
||||
|
||||
"העניין הוא שהאקסיומה לא יוצרת שום דבר. היא טוענת טענה" כן , והטענה היא טענת קיום של קבוצה שאין בה כל איברים. טענת הקיום כפי שהיא מנוסחת ב-ZF , איננה יכולה להניח שקיימת קבוצה כזו טרם הטענה, ושהטענה רק מספרת לנו על קיומה שאינו תלוי בטענה. אם אתה מקבל את קיומה של הקבוצה-הריקה במנותק מאקסיומת הקיום שלה, אתה אפלטוניסט. |
|
||||
|
||||
"איננה יכולה להניח שקיימת קבוצה כזו טרם הטענה" - והיא לא עושה זאת. "ושהטענה רק מספרת לנו על קיומה שאינו תלוי בטענה" - אין לי מושג מה אמרת. "אם אתה מקבל את קיומה של הקבוצה-הריקה במנותק מאקסיומת הקיום שלה" - אני לא. או אם לדייק: אני לא *מתבסס* על קיומה של הקבוצה הריקה במנותק מאקסיומת הקיום שלה. |
|
||||
|
||||
מי שמשתמש בהגדרה טרם זמנה הוא אתה. כתה ראשונה: מתמטיקאי: "אקסיומה: קיימת קבוצה A כך שכל x איננו איבר שלה. הגדרה: שתי קבוצות שוות זו לזו אם כל איבר של זו הוא גם איבר של זו, ולהיפך. מסקנה: כל שתי קבוצות המקיימות את התנאי שבאקסיומה הן שוות זו לזו; לקבוצה המקיימת את התנאי נקרא 'הקבוצה הריקה'." סטודנט קונווציונלי: "הבנתי, תודה רבה". כתה שניה: מתמטיקאי: "אקסיומה: קיימת קבוצה A כך שכל x איננו איבר שלה." מר שדמי: רגע רגע, ה-x הזה, יכול להיות שווה לקבוצה הריקה? מתמטיקאי: אינני יודע על מה אתה מדבר. למה אתה מתכוון באמרך "הקבוצה הריקה"? אני לא זוכר שהגדרנו דבר כזה. מר שדמי: הקבוצה A שהרגע אמרת שקיימת - היא ריקה כי אין לה איברים. מתמטיקאי: אכן כך. עכשיו שאתה מציין שאין לה איברים, אני באמת מסכים שהיא די ריקה. אולי, אם נמשיך בשעור, באמת נגלה שכדאי אפילו לאמץ את הריקנות הזו בתור שם לקבוצה שלנו. צריך להזהר, כי אולי יש יותר מאחת כזו, ואם ניתן לכולן שמות עם הא הידיעה אנה אנו באים. מר שדמי: בוא נתחיל מהתחלה. מתמטיקאי: בבקשה. "אקסיומה: קיימת קבוצה A כך שכל x איננו איבר שלה." מר שדמי: ה-x האלה, הם קיימים מחוץ ל- A. מתמטיקאי: אינני יודע. האקסיומה לא אומרת שהם קיימים. האקסיומה אומרת ש*כל* x איננו איבר של A, אבל ככל הידוע לנו אולי אין בכלל x כאלה. חשוב לדוגמא על האקסיומה "כל השפנים הטורפים אינם גרים בחצור הגלילית". האם אפשר להסיק ממנה שיש שפנים טורפים כאן באוניברסיטה שלנו? מר שדמי: מהתחלה. מתמטיקאי: בשמחה. "אקסיומה: קיימת קבוצה A כך שכל x איננו איבר שלה". מר שדמי: יש כאן הנחה סמויה - אתה מניח שהקבוצה הריקה קיימת עוד בטרם הגדרנו אותה. מתמטיקאי: שאני אעשה כזה דבר? איפה הנחתי שהקבוצה הריקה קיימת (עוד לא הזכרתי בכלל את המונח הזה). מר שדמי: כשאתה אומר "כל x איננו כך-וכך", זה כולל את הקבוצה הריקה או לא? מתמטיקאי: קצת מבלבל אותי לדבר על הקבוצה הריקה בשלב כל-כך מוקדם של השעור, אבל אין לי ספק שאם יתברר בהמשך שיש קבוצה כזו, אז היא בהחלט נכללת בטענה. כתוב במפורש - "כל x", הכל כולל הכל. מר שדמי: הרי לך. אתה משתמש בקבוצה הריקה בטרם הגדרנו אותה. מתמטיקאי: מה פתאום? איפה השתמשתי בקבוצה הריקה? מר שדמי: יש שתי אפשרויות לנסח את האקסיומה מחדש. - אפשרות א': "קיימת קבוצה A כך שכל x, פרט לקבוצה הריקה, איננו איבר שלה". - אפשרות ב': "קיימת קבוצה A כך שכל x, כולל הקבוצה הריקה, איננו איבר שלה". במקרה הראשון הקבוצה A לא באמת ריקה (היא מכילה את הקבוצה הריקה). במקרה השני, שאליו אתה מתכוון, ההגדרה שלך לקבוצה הריקה משתמשת במושג הזה עצמו! מתמטיקאי: הבנתי. אתה בוודאי זוכר שבשעור הקודם, כשדיברנו על שפות מסדר ראשון, הדגשנו שבכל שפה יש קבועים ועוד דברים שאפשר להתייחס אליהם (כמו פונקציות ויחסים), ושכל האקסיומות חייבות להיות מנוסחות במונחים אלה בלבד. כדי לנסח אקסיומה כמו "1>0" צריך להסכים מראש שבשפה הזו יש קבועים בשם 1 ו- 0, ויש יחס בשם '>'. אחרת לאקסיומה אין משמעות. בשפה של תורת הקבוצות *אין* קבוע שנקרא 'הקבוצה הריקה'. למעשה אין קבועים בכלל. לכן שני הניסוחים שאתה מציע לאקסיומה אינם קבילים - הם בכלל לא אקסיומות. האמת היא שאני מאד שמח שהעלית את הרעיון הזה, כי עכשיו כל הכתה מבינה מדוע אנחנו לא מרשים להשתמש במושגים חיצוניים בתוך האקסיומות. האקסיומות חייבות להיות מנוסחות באופן שכל המושגים המופיעים בהן נמנו מראש. רק *אחר כך* אפשר להגדיר מושגים חדשים, ולהוכיח עליהם משפטים. את האקסיומות כל העסק הזה לא מעניין. |
|
||||
|
||||
הדיאלוג הנ"ל כתוב מצוין. חסר כל טעם1, אבל כתוב מצוין. 1 עבור הנמען העיקרי. עבור הקורא המזדמן, שאינו בקיא ברזי השיטה האקסיומטית, זה הסבר נהיר וקולח. |
|
||||
|
||||
1 לי הוא דווקא עזר, בעיקר הפסקה האחרונה. אני חושב שזה יכול לעזור גם למרצים עתידיים למתמטיקה להציל סטודנט בסמסטר הראשון מלהחליק אל מחוזות הטרחנות. |
|
||||
|
||||
"מתמטיקאי: "אקסיומה: קיימת קבוצה A כך שכל x איננו איבר שלה." מר שדמי: רגע רגע, ה-x הזה, יכול להיות שווה לקבוצה הריקה?" טעות בידך עוזי, אני לא שואל דבר אלא קובע של-x אין את התכונות של A , מפני ש-x משמש להגדרת A ו-A לא קיימת לפני שהיא מוגדרת. בקיצור, אינך יכול להניח ש-x היא A וגם מגדירה את קיום A. כפי שאתה רואה, לא דיברתי על שום שמות של שום קבוצות. |
|
||||
|
||||
מתמטיקאי: "אקסיומה: קיימת קבוצה A כך שכל x - " מר שדמי: עצור! אני קובע של-x אין את התכונות של A. מתמטיקאי: איזה תכונות, לא הספקתי לנסח שום תכונות. מר שדמי: סליחה, תמשיך את המשפט. מתמטיקאי: "אקסיומה: קיימת קבוצה A כך שכל y איננו איבר שלה". מר שדמי: אני קובע של- y אין את התכונות של A. מתמטיקאי (מסתובב ללוח, מוחק את y וכותב במקומו w. מסתובב בחזרה): תוכל לחזור על מה שאמרת? מר שדמי: אני קובע של- w אין את התכונות של A. מתמטיקאי (מסתובב ללוח, מוחק את w וכותב במקומו x. מסתובב בחזרה): סליחה, לא שמעתי. תוכל לחזור על מה שאמרת? מר שדמי: אני קובע של- x אין את התכונות של A. מתמטיקאי: אני לא כל-כך מבין למה אתה מתכוון כשאתה אומר "x". נכון שהשתמשנו בסימון הזה כדי לנסח משהו על A, אבל (כמו שהסברנו בשעור על משתנים קשורים ומשתנים חופשיים) למשתנה כזה אין שום קיום מחוץ לטענה שבה הוא מופיע. הטענה הרי לא אומרת שום דבר על x, או y, או w. היא מדברת על A. מר שדמי: טוב, אבל בזמן שאתה מנסח את הטענה, לאותו x או y אין התכונות של A. מתמטיקאי: מניין לך איזה תכונות יש או אין לאותו x? האקסיומה לא עוסקת בתכונות של x; היא אומרת במפורש - "לכל x", בלי קשר לשאלה אילו תכונות יש לו. מר שדמי: אבל האם הקבוצה שהיא בסופו של דבר A נכללת באותם x-ים או לא? הרי אי אפשר להשתמש ב-A לפני שהיא מוגדרת. מתמטיקאי: כמובן שאי אפשר. מר שדמי: אז אי אפשר להשתמש בקבוצה עם התכונות של A לפני ש- A מוגדרת. מתמטיקאי: למה אי אפשר? מר שדמי: כי A עוד לא מוגדרת! מתמטיקאי: נכון, A עוד לא מוגדרת. איפה אנחנו משתמשים ב- A? מר שדמי: אמרת הרגע ש- x יכולה להיות גם A! מתמטיקאי: כן, למה לא. אבל x לא *חייב* להיות שווה ל- A, הוא עובר על כל האפשרויות, וסתם כך עובר גם על (מה שיהיה בסופו של דבר) A. מר שדמי: אבל... מתמטיקאי: בוא ננסה דוגמא אחרת. נניח שאנחנו רוצים לתאר המספרים הטבעיים עם יחס הסדר, ולכלול בבסיס את האקסיומה שאומרת שקיים מספר קטן ביותר. האקסיומה תהיה מנוסחת כך: "קיים מספר a כך שלכל x, המספר a קטן או שווה ל- x". האם כשאומרים "לכל x" זה כולל גם את המספר המינימלי? מר שדמי: בוודאי שלא. אני קובע של- x לא יכולות להיות התכונות של a, מפני ש- x משמש להגדרת a ו-a לא קיימת לפני שהיא מוגדרת! מתמטיקאי (יוצא למסדרון, מהלך הלוך ושוב, חוזר אחרי כמה דקות. מקריא מספר): "עליזה באה במבוכה נוראה. דומה היה שפסוקו של הכובען בלשון בני אדם נאמר, ובכל זאת נשאר לא מובן". |
|
||||
|
||||
"אקסיומה: קיימת קבוצה A כך שכל x איננו איבר שלה." "מתמטיקאי: כן, למה לא. אבל x לא *חייב* להיות שווה ל- A, הוא עובר על כל האפשרויות, וסתם כך עובר גם על (מה שיהיה בסופו של דבר) A. עוזי, לכתוב לעיל יש שם פשוט ביותר והוא: הנחה סמויה. הנחה סמויה העוסקת בקיום, מניחה קיומו של אלמנט טרם או בעת הגדרת קיומו. זכור שאנו עוסקים באקסיומה המגדירה את קיומו של A ולא שום תכונה כמו סדר וכו' המבוססת על קיומו של A. מכיוון שזוהי אקסיומת הקיום של A , אין ל-x את התכונות של A בעת הגדרת A, הכמת "לכל" אינו מוכל על A ואסור לנו לעשות מקצה-שיפורים בנושא, לאחר הגדרת A . לכן קבוצות מהסוג {{}} אינן מוגדרות היטב ב-ZF . "מתמטיקאי: בוא ננסה דוגמא אחרת. נניח שאנחנו רוצים לתאר המספרים הטבעיים עם יחס הסדר, ולכלול בבסיס את האקסיומה שאומרת שקיים מספר קטן ביותר. האקסיומה תהיה מנוסחת כך: "קיים מספר a כך שלכל x, המספר a קטן או שווה ל- x". האם כשאומרים "לכל x" זה כולל גם את המספר המינימלי?" אם האקסיומה הנ"ל עוסקת בתכונה של a לאחר ש-a הוגדר היטב בעזרת אקסיומת-הקיום שלו, אז x מוכל על a ואין כאן שום הנחה סמויה. "מתמטיקאי (יוצא למסדרון, מהלך הלוך ושוב, חוזר אחרי כמה דקות. מקריא מספר): "עליזה באה במבוכה נוראה. דומה היה שפסוקו של הכובען בלשון בני אדם נאמר, ובכל זאת נשאר לא מובן"." הרחבת תחום קיומה האפשרי של סכנת ההנחה הסמויה מ-"בטרם" בלבד ל-"בטרם ובעת" לאקסיומות העוסקות בהגדרות קיום, היא פשוטה בתכלית, ואיננו צריכים לגלוש לציטוט פסוקים נבחרים מסיפרו הנפלא של צ'ארלס דודג'סון. |
|
||||
|
||||
"מכיוון שזוהי אקסיומת הקיום של A , אין ל-x את התכונות של A בעת הגדרת A, הכמת "לכל" אינו מוכל על A ואסור לנו לעשות מקצה-שיפורים בנושא, לאחר הגדרת A." כאן אתה טועה. A בהחלט קיימת לפני שהגדרנו אותה, ולכן טענה שעוסקת ב"כל x" עוסקת גם בה. "אם האקסיומה הנ"ל עוסקת בתכונה של a לאחר ש-a הוגדר היטב בעזרת אקסיומת-הקיום שלו, אז x מוכל על a ואין כאן שום הנחה סמויה." אתה מוכן להסביר איפה ההבדל בין שני המקרים? לי זו נראית דוגמה מצוינת. במילים אחרות: תסביר לי למה ההגדרה של המספר המינימלי חוקית. |
|
||||
|
||||
"כאן אתה טועה. A בהחלט קיימת לפני שהגדרנו אותה, ולכן טענה שעוסקת ב"כל x" עוסקת גם בה." מה שכתבת שקול למשפט הבא:"A בהחלט קיימת טרם קיומה". "אתה מוכן להסביר איפה ההבדל בין שני המקרים? לי זו נראית דוגמה מצוינת. במילים אחרות: תסביר לי למה ההגדרה של המספר המינימלי חוקית." קיומם של המספרים הטבעיים נובע מאקסיומה המקיימת אותם. לאחר שהם קיימים, ניתו להפעיל אליהם אקסיומות המתארות תכונות כמו סדר רכו' שלהם. במקרה זה אין שום בעייה להפעיל את הכמת "לכל" על כל a , כי כל a כבר קיים בזכות אקסיומת הקיום שלו (שאיננה עוסקת בתכונות משניות כמו סדר בין אברי a). |
|
||||
|
||||
א) מה שעוזי אמר. הסבר מצוין. א2) מה שכתבתי שקול למשפט: "A בהחלט קיימת גם לפני שאנחנו יודעים שהיא קיימת". ב) הטענה הייתה "קיים a", לא "לכל a". "קיים a כך שלכל x, מתקיים: a קטן-או-שווה ל-x." זו הגדרת המספר המינימלי. האם יש בה לדעתך בעיה? |
|
||||
|
||||
אני אנסה לענות כי לדעתי יש כאן סוגיה מעניינת. כשאתה מתעסק עם מספרים ומדבר על המספר "הקטן ביותר" זה לא משנה את העובדה שהמספר הוגדר קודם לא בתור "המספר הקטן ביותר" אלא בדרך אחרת. למשל, אם אתה מגדיר את X בתור המספר הטבעי הקטן ביותר שגדול מאפס, תקבל ש-X=1, והרי את 1 הגדרנו כבר בעבר בתור {{}}, ולכן אין כאן שום בעיה. לא הגדרנו את 1 בתור "המספר הטבעי הקטן ביותר שגדול מ-0" (לכל היותר אנחנו משתמשים באקסיומת העוקב כדי להגדיר את 1). לעומת זאת, *אם* אקסיומת הקיום של הקבוצה הריקה היא מה ש"יוצר" אותה (אתה טוען שהיא לא) אז יש כאן בעייתיות. השאלה המעניינת שעולה מהאמירה "A בהחלט קיימת לפני שהגדרנו אותה" היא - קיימת איפה? באקסיומות של תורת החבורות דורשים שבחבורה יהיה איבר יחידה. כשמסתכלים על חבורת השלמים עם פעולת החיבור רואים ש-0 הוא האיבר הזה. זו דוגמה מובהקת למקרה שבו "0 בהחלט קיים לפני שהגדרנו אותו באמצעות אקסיומות החבורה" - כי כשבנינו את השלמים הגדרנו את 0 בתור {}. כשזה מגיע לקבוצה הריקה, שהיא מושג היסוד שממנו אנחנו בונים את השאר - זה כבר פחות ברור. האם לא עולה ניחוח פלטוניזם מאמירה כמו "A בהחלט קיימת לפני שהגדרנו אותה" *בהקשר הזה*? |
|
||||
|
||||
"המספר הוגדר קודם לא בתור "המספר הקטן ביותר" אלא בדרך אחרת" יכול (מאוד) להיות שאני טועה, אבל עכש"י אקסיומות פאנו לא שוללות את הקיום של מספרים שלא ניתן לכתוב כ-"0"""'...". לכן הטענה שקיים מספר מינימלי לא בהכרח מדברת על מספר שכבר הוגדר. (אתה התייחסת אמנם ל-1 כ-{{}} ולא כ-0', אבל במקרה הזה, כדי להראות מקבילה לטענה בתורת הקבוצות, כדאי דווקא ללכת לתחום אחר.) "קיימת איפה?" הטענה "יש קבוצה ריקה" הייתה נכונה במקרים פרטיים מסויימים של מערכת האקסיומות שהייתה לנו קודם. בהוספת האקסיומה הזאת, אנחנו מתייחסים כעת רק לאותם מקרים פרטיים. עבורם, הטענה הייתה נכונה גם קודם. "באקסיומות של תורת החבורות..." אם אתה רוצה לטעון טענה כללית על חבורות אתה צריך להתייחס לסעיפי ההגדרה של חבורה כאקסיומות 1. אם אתה רוצה להראות שהמספרים השלמים מקיימים את ההגדרה הזאת, אתה צריך להוכיח טענות מסוימות על השלמים. אותם סעיפים ממלאים בשני המקרים תפקידים שונים: במקרה אחד הם אקסיומות, ובמקרה השני הם סעיפים של הגדרה. "האם לא עולה ניחוח פלטוניזם..." אני לא מומחה גדול לניחוחות. בכל מקרה, אני מקווה שהתשובה שלי לשאלה "קיימת איפה?" היא תשובה מספקת. 1 ואם נחזור לדיון הקודם על מיקום הכמת "לכל": עבור כל חבורה, תוכל לקבל את הדרישות כאקסיומות, ולהוכיח שהיא מקיימת את משפט לגראנז'. לעומת זאת, כדי להוכיח ש"בכל חבורה (סופית) הסדר של כל חבורה חלקית מחלק את סדר החבורה" תצטרך לקבל את הדרישות כהגדרה. |
|
||||
|
||||
אני חושש שלא ענית לי ל"קיימת איפה". אתה אומר "הייתה נכונה במקרים פרטיים מסויימים..." וזו בדיוק השאלה שלי: איפה הם, אותם מקרים פרטיים מסויימים? תוכל לתת לי דוגמה שלהם בלי להשתמש במושג "הקבוצה הריקה"? |
|
||||
|
||||
לא. אבל העובדה ש_אנחנו_ לא יכולים לדבר עליהם בלי להגדיר את הקבוצה הריקה, לא אומרת שאין להם קיום ללא ההגדרה. "הגדרה" היא סך הכל פעולה שבה אנחנו נותנים שם למשהו (ואגב כך, לפעמים, טוענים גם שהוא קיים ושהוא יחיד). |
|
||||
|
||||
אכן, אבל טענה לפיה משהו קיים גם בלי שנגדיר אותו מדיפה, כאמור, ניחוח של פלטוניזם, כשאותו ''משהו'' הוא לא אובייקט פיזיקלי או דבר מה דומה, אלא מושג מתמטי לחלוטין. |
|
||||
|
||||
לא תמיד. למשל ברור שקיימים מספרים ראשוניים (למשל ב-PA) גם בלי שנגדיר "מספר ראשוני". נדמה לי שה-"בעיה" כאן טמונה בשאלה למה מתייחס הכמת "לכל". אם הוא מתייחס באמת "להכל" אז ברור שבמשפט כמו "לכל x, x אינו ב-A" אז x מתייחס גם ל-A. אבל נראה לי שזו גישה בלתי סבירה (במובן מסויים, היא מניחה גם את קיומה של קבוצה-לגמרי-אוניברסלית, שכידוע, אינה יכולה להיות מוגדרת היטב - וגם את אקסיומת הבחירה). כנראה ש-"לכל" מתייחס לכל מה שאפשר לנסח בשפה ולהוכיח את קיומו בעזרת האקסיומות (כולן, בדיעבד) - כלומר לכל מה שקיים בתורה. אני לא חושב שיש כאן בעיה של מעגליות, ופלטוניזם אינו נחוץ לצורך העניין. |
|
||||
|
||||
יודע מה? אני די משוכנע עד שיבוא הצד השני ויביא טיעונים משכנעים משל עצמו. אני בטוח שנצטרך לחכות מעט מאוד... |
|
||||
|
||||
"לא תמיד. למשל ברור שקיימים מספרים ראשוניים (למשל ב-PA) גם בלי שנגדיר "מספר ראשוני"." ברור למי? מי הוא זה שברור *לו* שיש מספרים ראשוניים מבלי ש*הוא* מגדיר אותם? הרי זו הנחה סמויה אפלטוניסטית לעילא ולעילא. כפי שכבר הסברתי, רק מצבים מוחלטים כמו מלאות מוחלטת או ריקנות מוחלטת, יש בהם את הפשטות שמעבר לצורך שלנו להגדיר אותם. כל שאר המצבים המופשטים תלויים בהגדרות של תודעתנו, ואם הם אינם מוגדרים אז כל מה שיש זה המוחלט בכבודו ובעצמו, שקיומו נובע מעצמו ללא כל תלות בשאינו עצמו. |
|
||||
|
||||
''הרי זו הנחה סמויה אפלטוניסטית לעילא ולעילא.'' זאת הפעם הראשונה שאתה טוען להנחה סמויה פלטוניסטית, ואני מסכים איתך. עם זאת, יש לציין שאין חילוקי דעות בין פורמליסטים ופלטוניסטים לגבי הדרך שבה עוסקים במתמטיקה. השאלה היא שאלה פילוסופית תיאורטית לחלוטין, על המשמעות שנותנים למשפטים לאחר שהוכחו. (במילים אחרות, העובדה שזו הנחה סמויה לא מוכיחה את הטענה ''במתמטיקה יש הנחות סמויות''.) ''רק מצבים מוחלטים כמו מלאות מוחלטת או ריקנות מוחלטת, יש בהם את הפשטות שמעבר לצורך שלנו להגדיר אותם.'' לא שכנעת אותי בזה. |
|
||||
|
||||
"לא שכנעת אותי בזה." אין לי שום צורך או רצון לכפות עליך את דעתי. כל מה שאני עושה הוא לשתף אחרים ברעיונותי. כמו שאומרים בבדיחה המפורסמת:"ירצו יאכלו, לא ירצו לא יאכלו". |
|
||||
|
||||
לכפות? לא דיברתי על כפייה. דיברתי על שכנוע. והסיבה שלא שכנעת אותי בזה היא כנראה כי אין לך טיעון משכנע להצדקת הטענה שלך. |
|
||||
|
||||
"והסיבה שלא שכנעת אותי בזה היא כנראה כי אין לך טיעון משכנע להצדקת הטענה שלך." פשטות שאין פשוט ממנה כמו ריקנות מוחלטת או מלאות מוחלטת, אינה משכנעת אותך? תמהני מה לא משכנע בתגובה 334032 ונספחיה. |
|
||||
|
||||
דווקא לזה אתה מסכים? ואני לחלוטין מתנגד... נניח שאנחנו מגדירים את המספרים בעזרת PA. קיבלנו קבוצה של מספרים שאפשר לכפול, לחלק עם שארית וכו'. אנחנו לא מדברים על זה שאולי קיימים מספרים שמתחלקים רק בעצמם וב-1 ובטח שלא מגדירים אותם. האם זה אומר שהם לא קיימים בקבוצה שאנחנו עובדים איתה ושהגדרנו בעזרת PA? בטח שהם קיימים. זה בדיוק כאילו שנעבוד עם המספרים השלמים ופעולת החיבור ולא נקרא לאפס "איבר יחידה". זה אומר שאין במספרים השלמים איבר יחידה, כי לא הגדרנו אותו? בטח שיש. |
|
||||
|
||||
לא "בלי" שנגדיר אותו. *לפני* שנגדיר אותו. |
|
||||
|
||||
יש הבדל? אם משהו קיים לפני שאנחנו מגדירים אותו, אז גם אם נחליט "ברגע האחרון" שאנחנו לא מגדירים אותו, הוא עדיין יהיה קיים. |
|
||||
|
||||
''הוא עדיין יהיה קיים.'' אבל זה בדיוק הפלטוניזם. |
|
||||
|
||||
לא נראה לי. בוא ניקח את המספרים השלמים עם פעולת החיבור. גם לפני שאנחנו מדברים על ''איבר נייטרלי'' קיים כזה - אפס. מה שלא קיים הוא השם שאנחנו נותנים לו (''איבר נייטרלי'') ומתייחס לתכונות שלו. גם בלי שניתן לו שם בהתבסס על התכונות הללו, האיבר עדיין יהיה קיים והתכונות שלו עדיין יתקיימו (תחבר כל מספר איתו ותקבל את המספר). |
|
||||
|
||||
או.קיי, אנחנו צריכים להקפיד להבחין בין שתי פעולות שונות שאנחנו עושים. "הגדרה", כמו של יחידת החיבור, ו"אקסיומת קיום + הגדרה" כמו של הקבוצה הריקה. פורמלית, אנחנו יכולים להסתדר בלי הגדרות בכלל. זה פשוט יסבך לנו את החיים בצורה יוצאת-דופן. גם אם לא נגדיר "יחידה", נוכל להוכיח על המספרים השלמים שקיים e כך שלכל a מתקיים: e+a=a+e=a. לעומת זאת, אם ננסה להסתדר בלי _אקסיומת הקיום_ של מה שאנו עתידים לכנות "הקבוצה הריקה", נקבל מערכת שבה (כנראה) הרבה משפטים מהמערכת שלנו יהיו בלתי-כריעים. (אכן, טעיתי בסיווג המספרים הראשוניים. זאת רק הגדרה. מעתה נצטרך לזכור שהדיון כולו הוא על אקסיומות קיום, ולא על הגדרות.) |
|
||||
|
||||
אם אתה מסכים איתי שיש הבדל בין "אקסיומת קיום" כמו זו שבה אומרים "בחבורה קיים איבר שנסמנו e והוא מקיים..." ובין אקסיומת הקיום "קיימת קבוצה שלא מכילה אף איבר ונקרא לה הקבוצה הריקה" דיינו. |
|
||||
|
||||
לא, אני לא רואה הבדל בין שתי האקסיומות שהצגת. אם במקום האקסיומה הראשונה שכתבת היית כותב "קיים *מספר שלם* שנסמנו 0 והוא מקיים..." אז אכן הייתי רואה הבדל, כי זו אינה אקסיומת קיום, אלא משפט קיום. (בכל מקרה, התעלמתי מהמילים "ונקרא לה הקבוצה הריקה" ו"שנסמנו", כי אלה הגדרות, ולא חלק מהטענה.) |
|
||||
|
||||
אייל צעיר, אתה בכיוון הנכון אך לא הולך מספיק עמוק. הדברים היחידים שאנו יכולים להיות בטוחים בהם לגמרי חייבים להיות מוחלטים ולא-אישיים. מלאות מוחלטת ו/או ריקנות מוחלטת הן בדיוק המצב הפשוט ביותר והלא-אישי שאיננו תלויי לחלוטין בקיומנו היחסי, כאשר קיומנו היחסי איננו אלא אוסף של מצבים מופשטים ו/או לא מופשטים של חיינו האישיים. היות ובמתמטיקה "טהורה" אנו מגבילים עצמינו לאוסף המחשבות שלנו, הריי ששום אוסף מחשבות אינו קיים בלעדינו, אלא הוא תוצר ישיר של תודעתנו, כאשר היא פועלת כפונקציית-גישור בין המוחלט והלא-אישי ליחסי והאישי. מתמטיקה עמוקה היא למעשה מחקר ישיר של מרחב-הגישור שבין המוחלט והלא-אישי לבין היחסי והאישי, ובו התודעה הלכה למעשה חוקרת את מרחב-הגישור ומנסה להגדיר מערכת סדורה של מצבים המתקיימים בין המוחלט והלא אישי ובין היחסי והאישי. וזהו *בדיוק* שדה פעולתה של המתמטיקה-המונדית. |
|
||||
|
||||
"הדברים היחידים שאנו יכולים להיות בטוחים בהם לגמרי חייבים להיות מוחלטים ולא-אישיים." כרגע, עושה רושם שהדברים שאתה בטוח בהם הם מאוד יחסיים ומאוד אישיים. אתה חווה את הזיכרון שלך כקו ואת המחשבות שלך כנקודות. חוץ ממך וממשה, אף אחד אחר לא חווה כך את הדברים. ובכל זאת, אתה טוען שוב ושוב בבטחון שאלה בדיוק המאפיינים האוניברסליים של התודעה. א) על סמך מה אתה מסיק את זה לגבי עצמך בכזה בטחון? ב) על סמך מה אתה מסיק את זה לגביי ולגבי שאר העולם? |
|
||||
|
||||
"כרגע, עושה רושם שהדברים שאתה בטוח בהם הם מאוד יחסיים ומאוד אישיים. אתה חווה את הזיכרון שלך כקו ואת המחשבות שלך כנקודות. חוץ ממך וממשה, אף אחד אחר לא חווה כך את הדברים. ובכל זאת, אתה טוען שוב ושוב בבטחון שאלה בדיוק המאפיינים האוניברסליים של התודעה. א) על סמך מה אתה מסיק את זה לגבי עצמך בכזה בטחון? ב) על סמך מה אתה מסיק את זה לגביי ולגבי שאר העולם?" הזכרון הוא לא קו והמחשבות הם לא נקודות. הקו והנקודות משמשים רק כאצמעי ייצוג של הרצף המוחלט והאוסף היחסי. אם אבקש ממך להגדיר את המצב המתאר את התודעה שלך, האם היית בוחר לתאר אותה רק כאוסף או שהיית מכליל גם תכונה מאגדת כלשהי? |
|
||||
|
||||
מהי "תכונה מאגדת", לצורך העניין? |
|
||||
|
||||
אני מבין את הטיעון. אם היה מדובר ב"אקסיומות יצירה", אז אתה צודק בהחלט. כנגד מערכת שמנסה לברוא "קבוצה A כך שאף x איננו איבר של A", אפשר היה לטעון שבזמן הבריאה של A, האיבר x=A עדיין אינו קיים - ולכן אולי הוא מתגנב לתוך A בזמן שאנחנו מנתקים את חבל הטבור שלה. אני חושב שאפשר היה לעקוף את הבעיות האלה, אבל הגישה המתמטית היא אחרת. האקסיומות הן "אקסיומות קיום" ולא אקסיומות יצירה. האקסיומה אומרת ש"קיים A כך שלכל x ...", ואם הוא קיים (זו הרי האקסיומה) אז הכמת "לכל" מכסה אותו כמו שהוא מכסה כל דבר אחר. מכיוון שהיא לא מנסה ליצור שום דבר, באקסיומה גם אין "תהליך" - בהתחלה כך ואחר-כך אחרת; הכמת "לכל" מכסה תמיד את אותם דברים, בין אם הם "כבר נוצרו" ובין אם לאו (פשוט מפני שהאקסיומה מתייחסת למערכת קיימת, ולא בונה אותה). כדי להשלים את התמונה, נסה להתייחס למודל שבו יש בדיוק קבוצה אחת, C, ללא איברים. האם האקסיומה שלנו תקפה במודל הזה? היא אומרת כך: "קיים A [כאן אנחנו מהנהנים לעצמנו, כמובן ש- A מוכרח להיות C] כך שלכל x [עוברים על כל האפשרויות: x=C, ותו לא] x איננו איבר של A [אכן, C איננה איבר של C]". |
|
||||
|
||||
"אני מבין את הטיעון. אם היה מדובר ב"אקסיומות יצירה", אז אתה צודק בהחלט." כאן אנו עוברים לאמונותינו השונות לגבי המושג "קיום" אני טוען ש-A אינה קיימת טרם_ובעת הגדרת הקיום של A , ולכן הכמת "לכל" אינו חל על A . ואין לנו שום אפשרות לעשות "מקצה-שיפורים" לתוצאותיהם של הגדרות קיום. תקן אותי עם אני טועה, אך לפי הבנתי אתה פחות מחמיר ממני ומרשה ל-A להתקיים בעת-הגדרת A (ואם אתה אפלטוניסט הריי שלגביך A קיימת טרם הגדרתה, וכל מושג הגדרות הקיום הופך למעין "דיווח על קיומם של ישויות שיש להם קיום עצמאי, שאינו תלוי כלל בדיווחינו). |
|
||||
|
||||
''(פשוט מפני שהאקסיומה מתייחסת למערכת קיימת, ולא בונה אותה).'' זוהי הגדרה אפלטוניסטית מובהקת. |
|
||||
|
||||
לא, זאת לא. גם הגישה הפורמליסטית תגיד שהאקסיומות לא "בונות" את המערכת. הויכוח יהיה אחר לחלוטין: הפורמליסט יטען שהוא לא בטוח בקיומן של "הקבוצות האמיתיות", והפלטוניסט כן. זה הכל. |
|
||||
|
||||
עוזי לא צריך "להאמין" בשום דבר בקשר למושג "קיום". כמו שהוא אמר, הוא (ועוד שניים-שלושה מתמטיקאים) *בחרו* לעבוד בתוך מערכת, שמתייחסת כך לקיום. להזכירך, "קיים" היא רק "מילה" בשפה של מערכת האקסיומות. עוזי לא רק "מרשה" ל-A להתקיים בעת הגדרת A, אלא גם לפניה. למשל, שתי האקסיומות הבאות תקניות לחלוטין: "קיים A כך שלכל x, מתקיים f(A,x)" "קיים B כך שלכל x, מתקיים g(B,x)" לא חשוב באיזה סדר תקרא את האקסיומות, תוכל להסיק מהן את המסקנות הבאות: f(A,B)
g(B,A) |
|
||||
|
||||
" עוזי לא צריך "להאמין" בשום דבר בקשר למושג "קיום". כמו שהוא אמר, הוא (ועוד שניים-שלושה מתמטיקאים) *בחרו* לעבוד בתוך מערכת, שמתייחסת כך לקיום. להזכירך, "קיים" היא רק "מילה" בשפה של מערכת האקסיומות." עוזי ועוד איך צריך להאמין בקיומן של ישויות טרם הגדרתם, כי אין לדיווחיו אין שום השפעה על קיומם. אני טוען שישויות אלה אינן קיימות טרם_ובעת הגדרתם, ולכן אופן קיומן המובחן תלויי אף תלויי בהגדרותינו אותן. אוסיף ואומר פה ששיטתי עוסקת בחיבור שבין המוחלט (שקיים במנותק לנו) לקיום היחסי המושפע מאיתנו. המוחלט הינו תוכן הקבוצה-המלאה ואי-תוכן הקבוצה הריקה. שניי מצבים מוחלטים אלה קובעים קטגורית את גבולות הקיום היחסי, והגישור ביניהם (כאשר קבוצות אלה מקיימות יחס של עצמאיות הדדית ביניהן, או במילים אחרות: הן אינן נגזרות זה מזה) הוא מרחב הגישור שבו תפתחת לה העקומה-הקיברנטית של מערכות המודעות לעצמן, שבעת התפתחותן, מאפשרת תודעתן להעמיק את הגישור בין תוכן הקבוצה-המלאה לאי-תוכן הקבוצה הריקה). עבודתי המתמטית עוסקת בבניית מודל המתאר בצורה סדורה את מצבי-הגישור הנ"ל, המתקיימים ביו סימטריה מקבילית לאי-סמטריה סדרתית. |
|
||||
|
||||
"אוסיף ואומר פה ששיטתי עוסקת בחיבור שבין המוחלט (שקיים במנותק לנו) לקיום היחסי המושפע מאיתנו. המוחלט הינו תוכן הקבוצה-המלאה ואי-תוכן הקבוצה הריקה." כלומר, לגבי הקבוצה המלאה והקבוצה הריקה אתה פלטוניסט? אז תסביר איפה ראית אותן? מנין לקחת אותן? |
|
||||
|
||||
"כלומר, לגבי הקבוצה המלאה והקבוצה הריקה אתה פלטוניסט? אז תסביר איפה ראית אותן? מנין לקחת אותן?" קבוצות אלא הן הסימטריה בכבודה ובעצמה ולא תוצרים שלה. תוכן או אי-תוכן של קבוצות אלה אינן מכילות דבר מראש אלא הן ה"מצע" האולטימטיבי הפשוט ביותר, וכל דבר שאינו הן עצמן, חייב להיות מורכב מהן (תרתי-משמע). |
|
||||
|
||||
אני שואלת שוב: מנין לקחת אותן? הן "קיימות במציאות" באיזה אופן? במרחב האידיאות? הן הכרחיות למחשבה? |
|
||||
|
||||
"אני שואלת שוב: מנין לקחת אותן? הן "קיימות במציאות" באיזה אופן? במרחב האידיאות? הן הכרחיות למחשבה?" תוכן הקבוצה-המלאה ואי-תוכן הקבוצה-הריקה הן הפשטות בהתגלמותה. כל מצב שאינו פשטות זו מתואר במונחים של אוסף (Set,Multiset). מצב האוסף אינו יכול, קטגורית, להשיג את הפשטות המוחלטת של תוכן הקבוצה-המלאה ואי-תוכן הקבוצה-הריקה. בכך משתנה מושג הקבוצה מן היסוד והוא אינו שקול יותר רק ואך ורק למושג האוסף (כפי שקיים במתמטיקה הרגילה) אלא הופך לאמצעי המאפשר לבחון את מושג האוסף עצמו מול הפשטות המירבית המגולמת בתוכן הקבוצה-המלאה ו/או באי-תוכן הקבוצה-הריקה. |
|
||||
|
||||
טוב, אני אנסה שוב. *מאיפה* *לקחת* את הקבוצות האלה? (ואנא אל תחזור על הטקסט מתגובה 328665 אותו אני יודעת כבר בעל פה). |
|
||||
|
||||
"טוב, אני אנסה שוב. *מאיפה* *לקחת* את הקבוצות האלה?" לא ניתן *לקחת* מצבים מוחלטים כמו ריקנות מוחלטת ומלאות מוחלטת כי הם לא איברים באוסף אלא הבסיס הפשוט ביותר לקיומו של כל אוסף מחשבות נתון בתודעתנו אנו. תודעתנו היא הלכה למעשה פונקציה-גישור בין הפשטות המירבית *המוחלטת* והלא אישית המגולמת במלאות מוחלטת ו/או ריקנות מוחלטת, לבין הקיום מופשט או לא-מופשט של אוסף התופעות *היחסיות* של חיינו אנו. מתמטיקה אשר אינה מבוססת על המוחלט והלא-אישי, איננה מתמטיקה עמוקה באמת. |
|
||||
|
||||
"תודעתנו היא הלכה למעשה פונקציה-גישור בין הפשטות המירבית *המוחלטת* והלא אישית המגולמת במלאות מוחלטת ו/או ריקנות מוחלטת, לבין הקיום מופשט או לא-מופשט של אוסף התופעות *היחסיות* של חיינו אנו." לפי מה? |
|
||||
|
||||
בוא ננסה משהו אחר. דורון והמתמטיקאי עומדים ליד בית. הםלא יודעים שום דבר על מי שנמצא בבית, ולדעתם בכלל יכול להיות שאין בבית אף אחד. לפתע מופיעה השכנה הרכלנית מהבית ממול. היא מספרת להם שיש בבית גבר יחיד, שזוכר בעל-פה את מספר הטלפון של כל אדם שנמצא בבית. "רגע, רגע, רגע," אומר דורון, "אותו 'אדם שנמצא בבית' מהסיפא של המשפט לא יכול להיות הגבר, כי עד שלא אמרת את כל המשפט הוא בכלל לא היה קיים. לכן הגבר זוכר את מספר הטלפון של כל אדם *מלבדו*, ואולי בכלל לא זוכר את מספר הטלפון שלו!" "לא בדיוק." עונה המתמטיקאי וסוגר את 'אליסה בארץ הפלאות'. "הגבר היה בבית גם לפני שאנחנו ידענו את זה. לכן הביטוי 'כל אדם' תקף לגביו." מי לדעתך צודק? |
|
||||
|
||||
"מי לדעתך צודק?" פרדוקס השקרן רלוונטי רק לדברים הקיימים ללא תלות בידיעתנו. פרדוקס זה אינו מוכל (שים לב לשימוש שלי לכמת "לכל" על הפרדוקס עצמו בקשר לנושא הנדון) על הנושא הנדון, כי המושג "בית-ריק" אינו קיים בטרם הוגדר לחלוטין על ידינו, ואם אנו מניחים מראש מושג זה ללא תלות בהגדרתנו, הריי שאין שום טעם לשחק את המשחקים הסכולסטיים "זוללי-האנרגיה" והמיותרים בתכלית של ZF ומערכות דומות לה. כל מה שאלינו לעשות הוא להצהיר ישירות:"קיימת קבוצה ללא כל תכולה, ואנו נכנה אותה בשם "הקבוצה-הריקה". בכך אנו חוסכים גם את השימוש המסורבל של אקסיומת היחידות, כי ברור לחלוטין שיש רק ואך ורק ריקנות מוחלטת אחת ויחידה, ולכן יש בנמצא רק קבוצה-ריקה אחת ויחידה. |
|
||||
|
||||
- אין לי מושג מה הקשר לפרדוקס השקרן. - אין לי מושג למה הפרדוקס רלוונטי רק לדברים הקיימים ללא תלות בידיעתנו. - אין לי מושג מתי השתמשת בכמת "לכל" על הפרדוקס. - אולי לא הבנת את המשל שלי: "בית ריק" הוא לא המקבילה ל"קבוצה הריקה", אלא לטענה "אין קבוצות" (האנשים שבבית היו משל לקבוצות). - אין לי מושג מה זה "להניח מראש הגדרה". - אין לי מושג מה זו "תכולה" של קבוצה. המושג הכי קרוב שאני מכיר זה "איבר". קבוצה שאין לה איבר. קבוצה שכל דבר אינו איבר שלה. אתה מגדיר מונחים באמצעות מונחים אחרים שאני, לפחות, לא מכיר. - אין לי מושג למה "ברור" שיש ריקנות אחת. - לא ענית על השאלה הפשוטה שלי. |
|
||||
|
||||
אייל צעיר, אנא עיין בתגובה 328687 תודה. |
|
||||
|
||||
זה לא עונה על אף נקודה שהצגתי בתגובה 328684. |
|
||||
|
||||
''(פשוט מפני שהאקסיומה מתייחסת למערכת קיימת, ולא בונה אותה).'' כדי לחדד את העניין אוסיף ואומר כי התפיסה האפלטוניסטית טוענת כי כל הגדרה מכוננת איננה אלא דיווח על קיומם של ישויות הקיימות במנותק מהדיווח, והמתמטיקה אינה אלא סך מאמצינו לשפר את טכניקות הדיווח שלנו. יותר מכך, גישה זו טוענת שכל הקשרים בין הישויות האפלטוניות גם הן קיימות במנותק מדיווחינו. בקיצור לפי גישה זו, אין שום משמעות לכוח היצירה הטמון בנו, וכל מי שעוסק במתמטיקה, צריך לדעת כי כל מה שנדרש ממנו, זה לעסוק בחשיפת יקומים קיימים, נטולי כל תמורה או התפתחות, ושהכל נתון בהם מראש ובמנותק לחלוטין מקיומנו או אי-קיומנו. אין פלא שגישה זו מחוברת ''להפליא'' לנו, ולכן העולם מוצף באנשים שעומדים בתור שעות ,ימים וחודשיםש כדי לזכות באפשרות המרנינה ללמוד מתמטיקה. |
|
||||
|
||||
פלטוניסט לא יטען שהאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית/לובצ'בסקי/ריימן לא לגיטימיות, אלא רק שקיימים "ישרים" ו"נקודות" אמיתיים, שמקיימים לכל היותר אחת משלוש מערכות האקסיומות. ה"יצירה" היא בבניית מערכת האקסיומות. האקסיומה עצמה לא "בונה" כלום. |
|
||||
|
||||
''ה''יצירה'' היא בבניית מערכת האקסיומות. האקסיומה עצמה לא ''בונה'' כלום.'' ליצירה יש גבולות (או אי-גבולות) בתודעתנו ולא בשום יציר תודעתנו לכשעצמו. אתה מנסה לקבוע גבולות ליצירה באופן חוץ תודעתי, אך גבולות אלה עצמם אינם אלא פרי יצירה של תודעתך, או בקיצור אתה קובע סייגים לכוח היצירה של תודעתך, ומנסה לכפות עלי סייגים אלה, וזה בדיוק מה שעושה קהילת המתמטיקאים ה''טהורים'' למושג המתמטיקה. אני מתנגד נחרצות לחינוך מבוסס-כפייה זה, ולעניות דעתי כל אדם סקרן, טרחן וכו' המעיז לחשוב, מתנגד לגישת-כפייה זו כל עוד נפשו בו. |
|
||||
|
||||
אין כאן שום גישה פלטוניסטית ולא שום צורך בגישה כזאת. לא מדובר ביקומים קיימים שבאנו לחשוף אותם. קח את גלואה, למשל, שהזכרת אותו יותר מפעם בדיון הזה. מה עשה גלואה? הוא אמר כך - עד כה, נעשו במתמטיקה כל מיני דברים - דיברו על מספרים, משוואות, פונקציות וכדו'. בואו נסתכל על הדברים האלה, שכבר "נוצרו", ונראה איך אפשר למיין אותם באופן מעניין, כך שאלה ייתנו לנו עוד אפשרויות מתמטיות. כלומר, הוא לא ניסה "לחשוף" יקומים חדשים, אלא לבדוק את יצירי הדמיון והמחשבה של המתמטיקאים שפעלו עד ימיו מזווית חדשה. |
|
||||
|
||||
"כלומר, הוא לא ניסה "לחשוף" יקומים חדשים, אלא לבדוק את יצירי הדמיון והמחשבה של המתמטיקאים שפעלו עד ימיו מזווית חדשה." האם נובע מכך שאנו חייבים להמשיך בכל תנאי את המסורת של קודמינו, ואסור לנו לבטא רעיונות בסדר-גודל של שינוי-פרדיגמה של מושג המתמטיקה עצמו? מי נתן לך את הסמכות לקבוע סייגים להתפתחות התודעה? |
|
||||
|
||||
לא קבעתי סייגים ולא ציפורים. רק ניסיתי להסביר מדוע אין בעיה של פלטוניזם עם ההגדרות והאקסיומות בתורת הקבוצות, למשל. |
|
||||
|
||||
אמרת:"ה"יצירה" היא בבניית מערכת האקסיומות. האקסיומה עצמה לא "בונה" כלום." אני קורה לזה סייג, כי אתה קובע באופן שרירותי את גבולות הפעילות היצירית של התודעה במצב יחסי של פעילות מחשבתית כלשהי (ובמקרה זה, הגדרת מושג האקסיומה), כאשר גבולות היצירה הן רק המצב המוחלט של ריקנות-מוחלטת ו/או מלאות מוחלטת, שבהן לא קיימת שום פעילות מחשבתית. |
|
||||
|
||||
זה אני שכתבתי את אותו משפט, ולא האלמוני. מהפסקה השנייה שלך אני לא מבין כלום. |
|
||||
|
||||
''מהפסקה השנייה שלך אני לא מבין כלום.'' כי אתה מתנסה בתודעתך רק ברמת החשיבה, אך בבסיס החשיבה קיים מצב נטול פעילות מחשבתית לחלוטין ומצב זה ניתן לתיאור כמודעות עצמית טהורה רציפה לחלוטין ובלתי משתנה. אך יש הבדל בין התיאור שתיארתי לבין ההתנסות הישירה שלך בתוך עצמך. רק אם אתה מתנסה בתוך עצמך במצב הפשוט ביותר של תודעתך, תוכל להבין בדיוק על מה אני מדבר, ושום תיאורים שלי על התנסותי במצב זה לא יועילו לך ללא התנסותך בעצמך (תרתי משמע). |
|
||||
|
||||
מצטער, אבל כבר כמה מאות תגובות שאני מנסה "לראות את האור" ולא מצליח. במקום זה, בוא ננסה משהו אחר, כדי שאוכל ללמוד את המתמטיקה שלך. אילו טענות על התודעה אתה יכול לנסח במילים, ונוכל להשתמש בהן כהנחות יסוד (אקסיומות, למעשה) כדי לדון במתמטיקה שלך? (טענות שלא ניתן לנסח במילים, הן טענות שאנחנו לא יכולים לתקשר לגביהן, כך שבכל מקרה אין טעם להתייחס אליהם בדו-שיח שלנו.) |
|
||||
|
||||
"אילו טענות על התודעה אתה יכול לנסח במילים, ונוכל להשתמש בהן כהנחות יסוד (אקסיומות, למעשה) כדי לדון במתמטיקה שלך?" אייל צעיר, אם לא קראת את http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=8&a... אז אנא עשה זאת. מערכת האקסיומות שלי היא http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=5&a... |
|
||||
|
||||
או.קיי, עכשיו קח טענה שטענת במהלך הדיון, ותראה לי איך אתה מסיק אותה מתוך האקסיומות שלך (כאשר _כל_ צעד היקש כולל רפרנס לאקסיומה הרלוונטית). |
|
||||
|
||||
Set: עמוד 4:A set is a collection of objects in which order has no significance, and multiplicity is also ignored. Multiset: A set-like object in which order is ignored, but multiplicity is explicitly significant. Let p be a point. Let s be a segment. The axiom of independency: p and s cannot be defined by each other. הסבר: לקו יש אינהרנטית את תכונת הכיוון (קיום סימולטני של בדיוק שני מצבים כגון: פנים/חוץ, שמאל/ימין, אחורה/קדימה, מעלה/מטה וכו' כאשר הקשר הלוגי בין מצבים שונים הוא x AND y = true) לנקודה אין אינהרנטית את תכונת הכיוון (קיום סימולטני של בדיוק מצב אחד כאשר הקשר הלוגי בין מצבים שונים הוא x XOR y = true) The axiom of minimal structure: עמוד 5:Any number which is not based on p, is at least based on s. הסבר: כל מספר שאין לו את תכונת הנקודה, יש לו את תכונת הקו. The axiom of duality(*): עמוד 5:Any number is both some unique element of the collection of minimal structures, and a scale factor (which is determined by p or s) of the entire collection. (*) The Axiom of Duality is the deep basis of +,-,*,/ arithmetical operations. הסבר: כל מספר הוא גם איבר בקבוצה וגם משמש כגורם המשפיע באופן כללי על אברי הקבוצה, שהוא משתייך אליה. Urelement:(no internal parts) עמוד 5:An urelement contains no elements, belongs to some set, and is not identical with the empty set http://mathworld.wolfram.com/Urelement.html . The axiom of completeness*: A collection is complete if and only if its Urelement** cardinal and/or Quantitative** cardinal can be found, including the Quantitative** cardinal of its scale levels. *Let us clarify the 'finite' concept in my framework: In my system I have 4 building-blocks, which are: {}, ., ._., __ and the hybrid .__ The Quantitative** cardinal of {} is 0. The Quantitative** cardinal of . is one of many. The Quantitative** cardinal of ._. is one of many. The Quantitative** cardinal of __ is The one. The Quantitative** cardinal of .__ is one of two. The bounds of lowest and highest existence (the ends) of these building-blocks ({} is excluded) are determined by their Urelement** cardinals, for example: The lowest and highest bounds of . are Urelement** cardinals 0 and 0. The lowest and highest bounds of ._. are Urelement** cardinals 0 and x>0. The lowest and highest bounds of {} has no Urelement** cardinals. The lowest and highest bounds of __ are Urelement** cardinals The 1 and The 1. The lowest and highest bounds of .__ are Urelement** cardinals 0 and The 1. הסבר: אקסיומת השלמות קובעת כי קבוצה נחשבת לשלמה רק אם ערכי הקרדינל הכמותי והקרדינל המבני ידועים היטב. Tautology: עמוד 5:The identity of a thing to itself. הסבר: זהותו של אלמנט היא תכונה אינהרנטית שלו, ולכן כל מצב זהות עצמית אינו תלוי בתכונות שמחוץ לאלמנט. Some details עמוד 6:‘=’ notation is used for both tautology (4=4) and quantity equality (4=2+2), which means that this system has to distinguish between elements not only by their quantity and/or order, but also by their structural properties, for example: 0 = . 1 = 0_1 2 = 0__2 3 = 0___3 4 = 0____4 are all tautologies, where 4 = 3+1 (for example) is not a tautology but quantity equality between the two different structures {0____4} and {0___3, 0_1}. Now we can clearly see that in this framework we have two kinds of cardinals: a)** Urelement cardinal: which is based on the lowest and highest bounds of bulding-blocks . , ._. , __ An example: The lowest and highest bounds of {0____4} are the Urelement cardinals 0 and 4. The Quantitative cardinal of {0____4} is the quantity 1. b)** Quantitative cardinal: which is based on the quantity of . or ._. or . AND ._. that can be found in some set. An example: The Quantitative cardinal of {0___3, 0_1} is the quantity 2 . Also, according to The axiom of duality, any arbitrary segment can be considered as {0_ ... _1}, and in this case the rest segments have their unique notations according to this segment. The Axiom of the unreachable weak limit: No input can be found by {} which stands for Emptiness. The Axiom of the unreachable strong limit: No input can be found by __ which stands for Fullness. הסבר: אקסיומות הגבול החלש והחזק מגדירות את גבולות הפעילות של המערכת הפורמלית The Axiom of potentiality: עמוד 6:p is a potential Emptiness {}, where s is a potential Fullness __ הסבר: אקסיומת הפוטנציאליות קובעת שנקודה היא אלמנט השואף לריקנות מוחלטת, ואילו קטע הוא אלמנט השואף למלאות מוחלטת. The Axiom of phase transition: עמוד 7:a) There is no Urelement between {} and . b) There is no Urelement between . and ._. הסבר: אקסיומת מעבר המופע קובעת שאין מצבי ביניים בין ריקנות לנקודה, ואין מצבי ביניים בין נקודה לקטע. The axiom of complementarity: עמוד 9:Each number's structure which is not . or ._. is at least . AND ._. הסבר: אקסיומת ההשלמתיות קובעת שמבנה של מספר אשר איננו מבוסס על נקודה או קטע, הוא לפחות נקודה וקטע. |
|
||||
|
||||
תיקון לתגובה קודמת: The axiom of duality(*): עמוד 5:Any number is both some unique element of the collection of minimal structures, and a scale factor (which is determined by p or s) of the entire collection. (*) The Axiom of Duality is the deep basis of +,-,*,/ arithmetical operations. הסבר: כל מספר הוא גם איבר באוסף וגם משמש כגורם המשפיע באופן כללי על אברי האוסף, שהוא משתייך אליו. אוסף מכיל אלמנטים מובחנים-היטב, או לא מובחנים-היטב. |
|
||||
|
||||
לא עשית מה שביקשתי. קח טענה שטענת במהלך הדיון, ותראה לי איך אתה מסיק אותה מתוך האקסיומות שלך (כאשר _כל_ צעד היקש כולל רפרנס לאקסיומה הרלוונטית). |
|
||||
|
||||
''לא עשית מה שביקשתי.'' בסדר, בוא נעשה את זה ביחד, בחר לך טענה שטענתי ונבחן אותה. |
|
||||
|
||||
אוקיי אייל צעיר הנה טענה שטענתי בתגובה 328610 "אוסיף ואומר פה ששיטתי עוסקת בחיבור שבין המוחלט (שקיים במנותק לנו) לקיום היחסי המושפע מאיתנו. המוחלט הינו תוכן הקבוצה-המלאה ואי-תוכן הקבוצה הריקה. שניי מצבים מוחלטים אלה קובעים קטגורית את גבולות הקיום היחסי, והגישור ביניהם (כאשר קבוצות אלה מקיימות יחס של עצמאיות הדדית ביניהן, או במילים אחרות: הן אינן נגזרות זה מזה) הוא מרחב הגישור שבו תפתחת לה העקומה-הקיברנטית של מערכות המודעות לעצמן, שבעת התפתחותן, מאפשרת תודעתן להעמיק את הגישור בין תוכן הקבוצה-המלאה לאי-תוכן הקבוצה הריקה). עבודתי המתמטית עוסקת בבניית מודל המתאר בצורה סדורה את מצבי-הגישור הנ"ל, המתקיימים ביו סימטריה מקבילית לאי-סמטריה סדרתית." The Axiom of the unreachable strong limit: עמוד 6:No input can be found by __ which stands for Fullness. הסבר: אקסיומות הגבול החלש והחזק מגדירות את גבולות הפעילות של המערכת הפורמלית The axiom of complementarity: עמוד 9:Each number's structure which is not . or ._. is at least . AND ._. הסבר: אקסיומת ההשלמתיות קובעת שמבנה של מספר אשר איננו מבוסס על נקודה או קטע, הוא לפחות נקודה וקטע. |
|
||||
|
||||
דומני שאפילו כשזה נוגע למשמעות המילה "טענה", אנחנו לא מדברים באותה שפה. ציפיתי לטענה מתמטית, בסגנון: "בכל קבוצה של מספרים טבעיים קיים איבר מינימלי". אצלך, טענה היא טקסט בן 4 פסקאות (!) שאומר "עבודתי עוסקת ב...". כמובן שזו טענה שלא ממש דורשת הוכחה... הנה אני אתן לך טענה, ואתה תוכיח לי אותה, צעד אחר צעד, בלי הנחות סמויות ובלי מושגים שלא הוגדרו קודם לכן 1. "לקבוצה אינסופית שאינה מלאה אין עוצמה". 1 טוב, אני כבר יודע מה תגיד: שלא ניתן לעבוד בלי מושגים מסויימים שהדרך היחידה להבין היא דרך התודעה. לכן אני ארשה לך להשתמש-בלא-הגדרה מושגים *ממש* פשוטים, שגם התודעה הקטנה שלי תוכל להבין. כמו כן, אני מבקש שתצרף רשימה של כל המושגים שאתה נמנע מלהגדיר (כמו הגדרת משתנים בכתיבת תוכנית מחשב). |
|
||||
|
||||
The Axiom of potentiality: עמוד 6:p is a potential Emptiness {}, where s is a potential Fullness __ הסבר: אקסיומת הפוטנציאליות קובעת שנקודה היא אלמנט השואף לריקנות מוחלטת, ואילו קטע הוא אלמנט השואף למלאות מוחלטת. The Axiom of the unreachable weak limit: עמוד 6:No input can be found by {} which stands for Emptiness. The Axiom of the unreachable strong limit: No input can be found by __ which stands for Fullness. הסבר: אקסיומות הגבול החלש והחזק מגדירות את גבולות הפעילות של המערכת הפורמלית "לקבוצה אינסופית שאינה מלאה אין עוצמה". זה נובע מיידית מאקסיומת הגבול החזק ואקסיומת הפוטנציאליות. |
|
||||
|
||||
אני חושש שתצטרך להסביר לי יותר מזה. אני לא מבין איך האקסיומות גוררות את הטענה, ואני צריך שתסביר לי את ההיקש שלב אחרי שלב. אחת הבעיות המרכזיות שלי היא שהאקסיומות שהבאת לא כוללות שום התייחסות למושגים ''קבוצה'', ''אינסוף'' ו''עוצמה''. נשמע לי הגיוני שאקסיומות שמוכיחות טענה יכילו את כל המושגים בהם הטענה משתמשת. |
|
||||
|
||||
חס ושלום. אקסיומות פאנו לא משתמשות במושג ''ראשוני'' ובכל זאת ניתן מהן להוכיח שקיימים אינסוף ראשוניים. יותר הגיוני לבקש שלפני שמנסחים טענה שעוסקת במושגים מסויימים, אותם המושגים יוגדרו, אחרת הטענה שקולה למשפט ''לא קיים בבלעחג כגדחעגך כך שגדכדג גגש דגכלח''. |
|
||||
|
||||
באופן כללי אתה צודק, אבל לבקש מדורון הגדרות (שלא יתבססו על עוד מונחים לא מוגדרים) זה כמו לבקש מלוויתן להושיט יד. לכן הסכמתי להתפשר, ולהסתפק באקסיומות שיטענו משהו על משהו שמזכיר או נשמע כמו קבוצה 1, אקסיומות שיטענו משהו על משהו שמזכיר או נשמע כמו אינסוף 1, ואקסיומות שיטענו משהו על משהו שמזכיר או נשמע כמו עוצמה 1. אפילו את זה לא קיבלתי. 1 במובן המוכר או בווריאציה סבירה שלו. |
|
||||
|
||||
"חס ושלום" בהקשר כזה זה לא קצת דרמטי מדי? והמשפט שנתת מעניין מאוד, אבל לא הוכחת אותו. |
|
||||
|
||||
"חס ושלום" זה מה שהמרצה שלי לתורת הקבוצות היה אומר בערך אחרי כל שאלה ששאלו אותו, נדבקתי. בוא נניח שיש מספר סופי של ראשוניים. נכפול את כולם ונוסיף 1 לתוצאה. מה קיבלנו? |
|
||||
|
||||
מה קיבלנו? |
|
||||
|
||||
לא ייתכן שקיבלנו ראשוני, כי הרי המספר הזה גדול מכל הראשוניים. מצד שני, כל ראשוני מחלק אותו עם שארית 1 ולכן לא קיים מספר שאינו 1 או עצמו שמחלק אותו ללא שארית (למה?). קיבלנו סתירה. |
|
||||
|
||||
תודה. המשפט הנחמד שביקשתי שתוכיח הוא ''לא קיים בבלעחג כגדחעגך כך שגדכדג גגש דגכלח''. |
|
||||
|
||||
אה, למה לא אמרת? ההוכחה דווקא די יפה: (a+b^n)/n = x מ.ש.ל. |
|
||||
|
||||
הוכחה נאה, אם כי קצת ארוכה מדי... בעצם, נראה לי שדי להגיד Q. |
|
||||
|
||||
הפרכה: {___} |
|
||||
|
||||
זו לא הפרכה, זו הוכחה. כרגע ייצגת את רצף ה-Q. |
|
||||
|
||||
אני תוהה אם אתה ער להשלכות החמורות העלולות לנבוע מהפרכה זו, במידה שהיא תקפה. (אני מתקשה בבירור). עלול לחול כאן שבר הסימטריית הגישור בין התודעה לקבוצה המלאה, באופן שתתגלה ערוותה (שומו שמיים) של חצי הכוס... האם אתה מסוגל לקחת על עצמך תוצאות הרות אסון מעין אלה? |
|
||||
|
||||
"קבוצה": קבוצה (Scope) הינה מרחב-דיון לחקירת אלמנטים (מרחב הדיון מתקיים בתודעה). "אינסוף": קיים בשתיי קטגוריות נפרדות: A) An infinitely long entity is a non-composed non-empty scope which is not closed on itself and has no more than one reachable edge. B) אוסף שאינו מקיים את אקסיומת השלמות.An example: __ , .__ , __. "עוצמה": מתקיימת רק ב-(A) |
|
||||
|
||||
"אפילו את זה לא קיבלתי." טענותיך מופרכות מיסודם, כל המושגים שאני משתמש בהם נגזרים בקלות ובטבעיות מהאקסיומות וההגדרות הריגורוזיות לחלוטין שבתחילת http://www.geocities.com/complementarytheory/My-firs... . הבעייה שלך היא שאתה מנסה לכפות את צורת ההתנהלות הטכנית המוכרת לך על מערכת התובנות ושיטת ההתנהלות הטכנית החדשה שפיתחתי. במקרה זה, לא תוכל להבין את המערכת הנ"ל אם תחפש אותה מתחת ל"אור הפנס שלך". כדי להבין את המתמטיקה-המונדית נדרשת יוזמה אישית לעזוב את "עיגול האור של הפנס השכונתי שלך" ולצאת למרחבים לא מוכרים. עד כה לא ראיתי שאתה מעיז לעשות צעד זה. |
|
||||
|
||||
אשמח אם תגיב, ספציפית, לתגובה 328633 (רצוי *אחרי* שתקרא אותה). |
|
||||
|
||||
"רק ניסיתי להסביר מדוע אין בעיה של פלטוניזם עם ההגדרות והאקסיומות בתורת הקבוצות, למשל." אז, לדעתי, לא הצלחת להראות זאת, מכיוון שברור לחלוטין שאם אתה טוען בעת הגדרת הקיום של הקבוצה-הריקה שהכמת "לכל" פועל גם על הקבוצה הריקה בעת הגדרתה, אתה משתמש ללא צל של ספק בהנחה סמויה של קיום הקבוצה-הריקה ללא תלות בהגדרת הקיום שלה. אתה יכול טעון:"אני לא פלטוניסט, אני פורמליסט ופורמליסט יאמר שהוא אינו יודע אם קיימת או לא קיימת קבוצה-ריקה במנותק מהגדרתה, ולכן אי-ידיעה קטגורית זו מאפשרת, עקרונית, את קיומה של הקבוצה-הריקה בעת הגדרתה, ולכן הכמת "לכל" חל גם על הקבוצה-הריקה". תשובתי לתגובה פורמליסטית זו היא: אתה למעשה מקבל מצב של אי-כריעות כתכונה לגיטימית ואינהרנטית של מערכת אקסיומות ריגורוזית. זאת אומרת, עמימות ומצבים אי-כריעים הם חלק בלתי נפרד של יסודות המתמטיקה. אם כך, הראה נא לי מערכת ריגורוזית הטוענת ליכולת הכרעה של כל טענה בתחומה, אך באותה עת משתמשת במצבים בלתי-כריעים כבסיס לגיטימי להגדרות-קיום של, כמו במקרה של אקסיומת-הקיום של ZF. אני טוען שאו שיש כאן הנחה סמויה לקיומה של הקבוצה-הריקה במנותק מהגדרת-הקיום שלה, או שיש כאן שימוש נסתר במצב אי-כריעות כתכונה איהרנטית של מערכת אקסיומות ריגורוזית (הטוענת ליכולת-הכרעה של טענותיה). תוצריה של אי-הכרעה זו הוא קיומם או אי-קיומם של קבוצות מהסוג {{}} וכו', אשר מצב אי-הכריעות שלהם הוא תוצאה ישירה מהתוכן הפתלתל של אקסיומת-הקיום של ZF. איננו צריכים כלל את משפטי אי-הכריעות של גדל, כי השיטה הפורמליסיטית משתמשת בתכונת אי-הכריעות כתכונה מובנית שלה עצמה, אשר ממוטטת אותה כליל מבפנים. |
|
||||
|
||||
"A לא קיימת לפני שהיא מוגדרת." אתה טועה. |
|
||||
|
||||
אני מציע שתשקול לכתוב מחזות בשעות הפנאי שלך (אם יש כאלה). אני, לפחות, אשמח לקרוא אותם (או לראות על במה). |
חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש | © כל הזכויות שמורות |