הפרדוקס ההפוך של זינון 236
צפייה בחץ הנורה מהקשת עשויה להאיץ את מעופו.

זה יותר מ2,500- שנה מדענים ופילוסופים חוקרים את הפרדוקס הידוע של זינון, ומתווכחים עליו. ב-‏30 השנה האחרונות סברו מדענים רבים כי המקבילה של פרדוקס זה, הידועה כ"פרדוקס הקוואנטי של זינון", ניתנת למימוש בעולם המיקרוסקופי הנשלט על ידי חוקי הפיסיקה הקוואנטית. אבל עכשיו הראו מדעני מכון ויצמן כי ברוב המקרים, הפרדוקס הקוואנטי של זינון אינו אמור להתקיים. מאמר המתאר את דרך החישוב המובילה למסקנה המפתיעה הזאת, מתפרסם היום בכתב העת המדעי "נייצ'ר".

הפילוסוף היווני זינון שפעל באיטליה הקדומה עשרות שנים לפני תקופת פעילותו של הפילוסוף סוקרטס, והיה הראשון שעסק בפרדוקסים לוגיים, ניסח, בין היתר, את הפרדוקס הידוע שלפיו חץ הנורה מקשת לעולם לא יגיע למטרתו, ולמעשה לא יוכל כלל לנוע. הטיעון שהוביל למסקנה מפתיעה ומקוממת זו, היה כי אם נחלק את מסלול החץ לקטעים קטנים עד אין־סוף, כי אז, בכל קטע זעיר עד אין־סוף כזה, החץ יימצא במצב מנוחה (לא ינוע). זינון טען (במידה לא מעטה של צדק), כי הסכום של הרבה מאוד אפסים, הוא עדיין אפס. ולכן, החץ אינו יכול לנוע. הוא הסיק מהפרדוקס הזה כי תנועה היא אשליה, ושאי אפשר לחלק את המרחב והזמן לקטעים קטנים כרצוננו. הוא האמין שחלוקה כזאת תגרום לכך ששום דבר לא יוכל לקרות במציאות הקטועה הזאת. במובן זה זינון היה תלמיד נאמן של מורהו, פרמנידס, שגרס כי כל שינוי הוא לא יותר מאשר אשליה.

התפיסה הפילוסופית הזאת נדחתה על ידי אריסטו, ששלל חלוקה אין־סופית, וכן על ידי מדענים ופילוסופים במאה ה-‏19, שהגדירו את המושגים המתמטיים של "נגזרת" ו"גבול" (לפי ההגדרות האלה, לחץ יש מהירות קבועה גם אם מחלקים את מסלולו לקטעים קטנים עד אין־סוף). בכך נפתר כביכול הפרדוקס. אולם, השקפתו של זינון חזרה ונעשתה פופולרית הודות לפיסיקאי ליאוניד חלפין שפעל בברית־המועצות בשנות השישים של המאה ה- 20, ולפיסיקאים ב. מיסרא ו- א.ג. סודרשן, שפעלו בארצות־הברית בשנות השבעים של המאה העשרים. מדענים אלה בחנו מחדש, בחישוביהם, את הפרדוקס בעולם המיקרוסקופי שבו שולטים חוקי תורת הקוואנטים. חישובים אלה הראו, כי אם "צופה" יביט ויחזור ויביט במערכת המשתנה בזמן (למשל חומר הדועך דעיכה רדיואקטיווית), בהפרשי זמן קצרים מאוד, קיימת הסתברות גבוהה מאוד לכך שהמערכת הדועכת הזאת תישאר קפואה בזמן, והתפתחותה תיעצר. המבטים, או התצפיות המבוצעים בהפרשי זמן קצרים מאוד, מחלקים את מסלול ההתפתחות של המערכת לקטעים זעירים עד אין־סוף, בדומה לחלוקה העקרונית של מסלול החץ, שתיאר זינון. במלים אחרות, הם הראו שבעולם המיקרוסקופי ה"צופה" יכול "להקפיא במבט" את השינוי במצבו של עצם המנסה לנוע או להתפתח (ממש כפי שמתאר זאת זינון, בפרדוקס החץ שלו).

מי שחשב שפילוסופיה ותיאוריה הן עניין אחד ומציאות היא עניין אחר הופתע למדי כאשר ניסוי שביצע הפיסיקאי ג'והן ויינלנד באוניברסיטת קולורדו בשנת 1990, הראה כי ה"הקפאה במבט" אכן מתרחשת הלכה למעשה (לפחות במערכת "פשוטה", בעלת שתי רמות אנרגיה בלבד). מאז ניסו פיסיקאים רבים להבין את משמעות הניסוי. האם, למשל, יכול הפרדוקס של זינון לאפשר "הקפאה במבט" של התפרקות גרעינית רדיואקטיבית, ובכך לבלום את הקרינה? התשובה שרווחה בין הפיסיקאים בשלושים השנים האחרונות היתה כי הקפאה כזאת אכן תתאפשר אם התצפיות החוזרות ונשנות יבוצעו בקצב גדול דיו.

אבל, פרופ' גרשון קוריצקי וד"ר אברהם קופמן ממכון ויצמן למדע הראו באחרונה כי - לטוב ולרע - "הקפאה" כזאת אינה מתקיימת במציאות, ולמעשה, אי אפשר לבלום דעיכה רדיואקטיווית (או כל דעיכה "אמיתית" אחרת) באמצעות "הפצצה" של המערכת ב"מבטים" (תצפיות) חוזרים ונשנים. חישוביהם המסתכמים במסקנה הזאת מתוארים במאמר שמתפרסם היום בכתב העת המדעי "נייצ'ר". למעשה, לפי החישובים האלה, האפשרות ל"הקפיא" תהליכי דעיכה באמצעות תצפיות, תלויה ביחס שבין זמן הזיכרון של הסביבה (ה"אמבט") שלתוכה מתרחשת הדעיכה, לבין משך הזמן החולף בין תצפית לתצפית. לדוגמה, "זמן הזיכרון" בתהליך הדעיכה הקרינתית של אטום מעורר (הנתון במצב לא יציב), הוא פחות ממיליארדית המיליארדית של שנייה. "זמן הזיכרון" הוא, פרק הזמן שבו הקרינה עדיין לא "ברחה" מן האטום, ולכן המערכת עוד "זוכרת" את מצבה שמלפני הדעיכה. כדי "להקפיא" את הדעיכה הזאת יש צורך ברצף תצפיות שביניהן מפרידים פרקי זמן הקצרים בהרבה ממיליארדית המיליארדית של שנייה. אלא שרצף של תצפיות כה צפופות בזמן יגרום להופעת חלקיקים חדשים (אלקטרון ופוזיטרון), דבר שישנה לחלוטין את המערכת ויהרוס אותה, כך שלא תהיה עוד משמעות לעצירת או לאי־עצירת הדעיכה. לעומת זאת, לפי חישוביהם של פרופ' קוריצקי וד"ר קופמן, אם פרק הזמן בין ה"מבטים" יהיה ארוך מזמן הזיכרון של הדעיכה, הוא יגרום להגדלת ההשפעה של "האמבט" שאליו דועך האטום המעורר. כתוצאה מכך, יגבר קצב הקרינה, הפרדוקס של זינון לא יתקיים ולמעשה יתקיים היפוכו המוחלט: "אפקט אנטי־זינון".

פרופ' קוריצקי: "במלים אחרות, אם נמשיל את השינוי בזמן של עצם קוואנטי, כגון דעיכת העירור באטום או בגרעין למעופו של החץ בפרדוקס של זינון, הרי שברוב המקרים מעופו של החץ הזה יואץ ככל שקצב ה'מבטים' יגבר". המסקנה המפתיעה העולה מהמחקר הזה היא ש"אפקט אנטי־זינון" (האצת הדעיכה באמצעות תצפיות), ניתן למימוש בכל תהליך דעיכה, בעוד שאפקט זינון המקורי (האטת הדעיכה או הקפאתה באמצעות תצפיות), מחייב תנאים המתקיימים בתהליכי דעיכה לעתים רחוקות בלבד.

קישורים
מכון ויצמן
נייצ'ר
פרסום תגובה למאמר

פרסומים אחרונים במדור "מדע"


הצג את כל התגובות | הסתר את כל התגובות

ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5444
הפרדוקס, כביכול, של זינון מזכיר לי את שיטת ציד אריה במדבר סהרה.
מחלקים את המדבר לשני חלקים שווים. את הצד שבו האריה נמצא מחלקים שוב לשניים, וכן הלאה וכן הלאה עד שמגיעים לאריה.
אבל איך תופסים אותו ? הוא מסוכן.
אין בעיה. ממשיכים לחלק את השטח שמתחת לאריה, עד שהוא חייב לעמוד על רגל אחת, ואז קל להפילו ולהשתלט עליו.
אבל מה קורה אם האריה שלנו בכל זאת מסוגל לעמוד על רגל אחת ?
העובדה הזאת לא תעמוד למכשול בפנינו. נוכל להמשיך ולחלק את המדבר מתחת לכף רגלו היחידה של האריה שעליה הוא רשאי לעמוד עד שיהיה חייב לעמוד על שטח בגודל של ראש מסמר, והדקירה הזאת תכאיב לו כל כך שהוא יהיה חייב להיכנע . . .
אגב, "שיטת חיפוש האריה" היא שיטה ידועה באנליזה נומרית לפתרון משוואות אלגבריות, כך שיש לנו אסמכתא מדעית לשיטת הציד שלנו . . .
זה פחות או יותר הסיפור על החץ והמסלול. אנחנו נחלק והחץ יתרשם. . .

ואם אנו כבר עוסקים בשטויות בו נביא עוד אחת:
שואלים מתמטיקאי ומהנדס את השאלה הבאה: נניח שאתה עומד בקצהו האחד של אולם גדול שבקצהו השני נמצאת בחורה חתיכה ועירומה. עליך לצעוד לעברה אבל תוך קיום התנאי הזה: עבור חצי מהמרחק ביניכם, אחר כך חצי מהמרחק שנותר וכן הלאה וכל הלאה . . . התקבל עליך את המשימה ?
אומר המתמטיקאי: לא אקבל את המשימה. למה לצאת מתוסכל ?
לעולם לא אגיע . . .
אומר המהנדס: מבחינתי זה בסדר. זה נכון שלעולם לא אגיע, אבל מבחינת מה שאני רוצה אגיע מספיק קרוב אחרי מעט מאד שלבים . . .
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5459
האם קראת את המאמר בכלל? הרי בפירוש נכתב שם הרעיון של הקפאה במבט נוסה בהצלחה בשנת 1990 על-ידי ויינלנד. ניסוי. פיזי. ממשי.
אתה צריך לזכור שבעולם הקוואנטי, לצופה יש השפעה משמעותית על התהליכים בהם הוא צופה. לא מדובר פה בדיבורים בעלמא, אלא בדברים שנוסו והוכחו.

מסתבר שהחץ (או לפחות החץ הקוונטי) כן מתרשם מהחלוקה שלנו, בדיוק כשם שהחלקיקים כן מתרשמים מהמדידה שלנו, והופכים לגלים כשאנו מנסים לצפות בהם כגלים.
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5461
זינון, לא ידע שום דבר על קוונטים (וגם אני לא, חוץ מחוות דעת של פיסיקאי שאני מעריך מאד את דעתו שזו תורה לא מוצלחת)
ההתפלספויות שלו לא מתייחסות לעולם המיקרו אלא לעולם המקרו שבו אנו חיים , והודעתי התייחסה רק לעניין זה.
אשר לעולם המיקרו, צריך להבין שמדובר במודל שבא להסביר את מה שקיים במקרו. אין אנו יכולים להיכנס לשם ולבדוק ישירות את כל הדברים שאנו מדברים עליהם, וההוכחות לגבי קיומו הן תמיד עקיפות. (אני למשל לא מאמין שיש באמת אטומים. אבל ''כדאי'' להניח שהם קיימים כדי להסביר בצורה הפשוטה ביותר את מה שיש במקרו. אם באמת יש אטומים אי אפשר להוכיח וזה גם לא חשוב.)
לכן, כל ההתייחסויות לעולם המיקרו כאילו הוא במקרו והתבוננות ב''חצים'' וירטואליים, בתוכו, ומציאת פרדוקסים שבנויים על אינטואיציה שלנו שרכשנו בעולם האמיתי, עולם המקרו אינה אומרת לי שום דבר.
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5463
ברצוני להוסיף כמה מילים ולהסביר מדוע הגבתי בלגלוג.

אופן המחשבה של אותו פילוסוף יווני קדום נוגד, לדעתי, את האופן שבו צריך לחשוב מדען, לפחות לפי התפישה המקובלת בזמננו.
הבסיס לכל תיאוריה הוא התצפית וההתבוננות. אחרי שברור מה רואים אפשר לגשת ולפתח תיאוריות. הנחת היסוד היא שהאמת היא מה שאנו רואים. ללא הנחה זו לא נוכל להתקדם לשום מקום.
ניוטון ראה את התפוח נופל, ובנה מודל שמחשב ומסביר את התנועה שבה חזה. אילו היה ניוטון מפתח תיאוריה שלפיה התפוח נע, בעצם, כלפי מעלה, ומה שאנו רואים הוא אשליה, הייתי פוסל את תורתו על הסף ולא מנסה להתעמק בה. חבל על הזמן.
פילוסופנו חזה כנראה בחייו בחצים נורים ומגיעים למטרתם, ואולי גם את התוצאה ההרסנית שחוללו בסוף דרכם. אז הוא בא לספר לנו שבעצם החץ לא עף ? האין בכך הגזמה מסוימת ?
אתה כותב : "לפחות" החץ הקונטי.
אני חושב שהיה נכון יותר לכתוב: "רק" החץ הקונטי, וכפי שאמרתי אין לי מה להגיב לגביו כי איני יודע מה זה ואני מפקפק אם ניתן בכלל להסביר בצורה רצינית מה זה באמצעים של מדע "פופולרי".
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5465
נו, באמת, אתה מדבר כאן על פילוסוף יווני, ואתה מצפה ממנו לצורת חשיבה מדעית? עקרונות המדע המודרניים נוסחו רק במאות האחרונות.
לא זינון הוא החשוב בגילוי הזה, אלא הקאונטר-אינטואיטיביות של התגליות. על מי אתה מלגלג? על פילוסוף מלפני אלפיים חמש-מאות שנה? נו, באמת...

הצרה עם צורת ההסתכלות שלך, היא שאתה מוגבל למה שאתה יכול לראות. אתה לא יכול לראות פוטונים כחלקיקים בדידים, אתה לא יכול לראות חשמל זורם, אתה לא יכול לראות מולקולות - אתה לא יכול לראות חיידקים, אפילו. תאוריית הקוונטים היא לא שלמה? נכון, אבל היא בהחלט מתארת משהו שקיים.

ברור שלא ניתן באמת לעצור חץ בתנועה, וגם לא להאיץ את מהירותו, באמצעות הסתכלות. בשום מקום במאמר לא נרמז שניתן ליישם את הגילויים הללו על עולם המקרו, והנסיון שלך לזלזל בגילוי מדעי רק בגלל ש*אתה* לא יכול להבין אותו, לכל היותר, מציג אותך באור קלוקל למדי.
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5470
אתה מתעלם מדבריי. הגבתי רק על הפתיחה, כלומר על דבריו של הפילוסוף היוני שהיו חלק מהמאמר המקורי. לא הגבתי על התגלית משום שתורת הקונטים מבוססת על תורת החבורות, ועל מנגנונים מתמטיים מורכבים שאיני מכיר ואני בטוח שאיש מהמגיבים כולל אתה וכותב המאמר אינם שולטים בהם יותר ממני, ושללא הבנתם, כל תורת הקונטים אינה יותר מסיפור. אין לי מה להגיד על דברים שאיני מבין בהם דבר.
אשר לפוטונים שהזכרת, שאותם אין אנו רואים (גם בעניין זה ידיעתי פחות מקלושה), נראה לי שאתה מחמיץ נקודה חשובה.
בתורת ניוטון , למשל כחות גוף הם חלק מהמודל. בתורת היחסות הכללית אין כלל מושג כזה, והתנועה מוסברת באמצעות מודל מתמטי מורכב של תנועה ע"ג "יריעה" במרחב ארבע מימדי.
אז יש כוחות גוף או אין ? צריך להבין שהמושג הזה הוא חלק ממודל , ושני התורות האלה מסבירות את אותן תופעות, כשתורת היחסות מדייקת יותר.
אי אפשר להתייחס לקיומן או לאי קיומן של כחות גוף כ "אמת".
הוא הדין בפוטונים. ישנה תיאוריה לפיה לאור אין תכונות חומריות והוא מהווה גל, והתיאוריה של אינשטיין מכניסה למודל תכונות חומריות.
השאלה מה נכון אינה שאלה נכונה. המודלים תפקידם להסביר תופעות, ואין זה משנה אם הן עצמן אמת או לא.
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5545
א. ההבדל העיקרי בין חוק הכבידה של ניוטון לתורת היחסות הוא שהראשון עונה אל השאלה איך והשני גם עונה על השאלה מדוע.
ב. למיטב ידיעתי הצליח הפיזיקאי ריצ'רד פינמן לתת הסבר לתופעות הגליות של האור תוך הסתמכות על המודל החלקיקי ובכך סתם את הגולל על התיאוריה של ניוטון.
ג. עקרונית אי אפשר להתיחס לגרביטציה כאמת אבל מצד שני קשה להתחמק ממנה.
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5548
אני לא מסכים עם שום דבר שכתבת בתגובתך, אך כיון שהדיונים האלה מתחילים לעייף אותי לא אנמק.
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5597
אל תנופף בבורות שלך בכזו גאווה. אתה פשוט טועה.

א) ההבדל (העיקרי, לצורך העניין) בין תורתו של ניוטון לבין זו של אלברט, היא בחוקיות אשר הן מצאו בקבוצה מסוימת של תופעות. זו של תורת היחסות רחבה יותר, ולכן היא נחשבת טובה יותר. זה הכל. אין תורה מדעית שעונה על ''מדוע'', ולמען האמת, אני לא לגמרי מבין את השאלה הזו.

ב) מיטב ידעתך, על פי מיטב ידעתי, לוקה בחסר. המודל הדואלי הוא עדיין הרווח ביותר.

ג) מכיוון שאיני בטוח למה התכוונת, תוכל להנות מהספק, אם כי סביר להניח שגם כאן אתה טועה.
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 5612
א. ניוטון לא מסבור את מקור הכוח הגרביטציוני אלא קובע שהוא קיים ומכמת אותו. תורת היחסות נותנת הסבר מרחבי בעל עומק תיאורטי רב יותר מכיוון שהיא אינה מתבססת על כוחות עלומים.
ב. המודל הדואלי הוא הנפוץ משום שהוא מאפשר טיפול נוח בתופעות קונטיות על פי המודל החלקיקי ותופעות מאקרוסקופיות על פי המודל הגלי. ישנו ספרון בשם אור וחומר (בזמנו ראיתי שמוכרים אותו בדיונון אבל כבר הרבה זמן לא הייתי שם) שפרסם פינמן ובו הוא מסביר גם את התופעות הגליות ע''י המודל החלקיקי. (לצערי בזמן שניסיתי לקרוא אותו לא ידעתי הרבה על גלים ולכן לא ממש הבנתי את התיאוריה שלו אבל היא קיימת ואני אנסה להשיג את הספר ולפרוש אותה כאן בשבועת הקרובים).
ג. הקביעה בנושא גרביטציה הייתה בתגובה לאמירה בעלת אופי פוסטמודרניסטי שהייתה בתגובה של דב.
תמהני איך עברו 3 ימים 5708
ואף אחד לא מצא לנכון להתייחס לזה:
sunday-times.co.uk/news/pages/sti/2000/06/04/stifgnusa01007.html

אטומים 5464
דווקא כן אפשר 'לראות' אטומים. במעבדות יבמ פותח מכשיר הנקרא "מיקרוסקופ סורק-מתעל" (scanning-tunneling microscope). אפשר לדמיין אותו לאדם עיוור המנסה להתבונן באמצעות מישוש: כאשר מקרבים מחט דקיקה (שבקצה עוביה הוא אטום אחד בלבד) לאטום אחר, היא יכולה 'לחוש' את האטום האחר כשינויים בזרם חשמלי העובר דרכה. ע"י דגימות חוזרות ונשנות של נקודות שונות על השטח, ניתן למפות שטח שלם ולראות את האטומים הבודדים שבו.
אפשר למצוא מידע על המיקרוסקופ, ותמונות מרהיבות של שטחים שונים, בכתובות http://physics.nist.gov/GenInt/STM/text.html ו http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html .

אתה יכול לטעון שמה שאנחנו מבצעים כאן הוא לא התבוננות אמיתית, אלא ניצול של אינטרקציה בין חומרים שונים כדי ליצור אשליה של ראיה; ואני אשיב שגם הראיה הרגילה והפשוטה שלנו היא לא יותר מניצול האינטרקציה בין החומר שבעולם, פוטונים (חלקיקי האור) והעין שלנו כדי ליצור אשליה שאנחנו באמת מבינים מה מונח מולנו. ולראיה, אם אני אשים מולך תמונה (או, יותר טוב, הולוגרמה) איכותית, אתה בהחלט עלול לטעות ולחשוב שאתה רואה את *המוצג* בתמונה, ולא מה שיש שם באמת, חתיכת נייר שטוחה מצופה בחומר מחזיר אור.
אטומים 5471
כאשר אני מביט בטלוויזיה בודאי איני רואה ישירות את הדמויות והנופים משמוצגים שם אלא מסך פלורסצנטי צבוע, אבל מה שמראים שם הם דברים שאני רגיל לראות יום יום , ולכן יש לי יכולת שיפוט והשוואה, וברור לי מה שאני רואה.
כאשר מציגים לי תמונות מעולם לא שלי, עולם המיקרו, תמיד קיימת שאלת הפרשנות לגבי מה שאני רואה והדברים אינים ברורים כלל.
יש גם מקרי ביניים. למשל ראיית חידקים באמצעות מיקרוסקופ דוגבה שהביא דוב בתשובה לי. גם כאן מראים לי משהו שאיני יכול לראותו ללא מיקרוסקופ, אבל זה בכל זאת משהו אחר.. עדיין מדברים אתי על עולם בו שוררים אותם חוקי פיסיקה, העולם שאותו אני מכיר, ויש לי יכולת לתת לעצמי מושג במה מדובר.
אטומים 5541
אתה טוען שתיאורית הקוונטים אינה מוצלחת?
מאיזו בחינה? כיצד אתה מחליט האם תיאוריה היא מוצלחת?
נכון, תיאורית הקוונטים היא מסובכת להפליא. מנוגדת להגיון הטבעי שלנו ובלתי מובנת מבחינה פילוסופית. אבל, מבחינת התועלות שצמחו ממנה היא הצלחה פנומנלית! כמעט כל דבר שאני רואה לנגד עיני בחדרי הוא תוצאה כזו או אחרת של פיזיקה קוונטית - הפלאפון שלי עם הצג הגרפי והשבבים שבו. מסך המחשב שלי והמחשב עצמו, כרטיסי הזכרון שבו. מכשיר ה-CD. השעון הדיגיטלי שלי
אם אתה מחפש את ה"אמת" אולי לא תמצאנה אבל אם בחיפוש אחר ה"סנרק" הקוונטי צצים ועולים יתרונות, הסברים ותועלות יישומיות - מה לנו כי נלין?
אטומים 5547
כפי שראית אני מנסה להתחמק מדיון בתורת הקונטים אותה פשוט איני מכיר .
הזכרתי דברים של מישהו אחר (ואני יודע שאין לי שום סיכוי לגרור אותו לכאן) שכן מכיר את התורה הזאת היטב. הטענה שהתורה אינה מוצלחת אינה טענה שלי אלא שלו. אני מוכן בהמשך לתפקידי כ "מימסר" למסור גם את נימוקיו כפי שהם זכורים לי.
ובכן, הטענה היא שתורה טובה צריכה להתאים גם לתופעות חדשות שמתגלות מאוחר יותר.
תורת הקוונטים באה להסביר תחילה תופעה מסוימת, ומאוחר יותר כשהתגלו בניסוי תופעות חדשות אי אפשר היה לומר בפרוש שהתיאוריה מאמתת את הממצעים החדשים אלא היה צריך להלביש "תלאי" ע"ג התורה. ובסופו של דבר יצא שהיא בנוייה תלאי ע"ג תלאי.
איני יכול לענות לטענותיך שתיאורית הקונטים עזרו לפתח את כל הדברים הנחמדים שהזכרת, כי פשוט איני יודע. אם זה נכון ואי אפשר היה להסתדר בלעדיה כדי לעשות זאת אז ברור שיש לה ערך. השאלה היא אם אכן זה חד משמעי כך.
בעצם, בגישה שלך שאומרת: "אנו לא מחפשים אמת, אלא מודלים שיעזרו לנו להבין כיצד פועלים דברים , ושבעזרתפ נצליח גם לפתח טכנולוגיות מועילות", אתה מתפרץ מבחינתי לדלת פתוחה. זה גם מה שאני מנסה להגיד כל הזמן.
אטומים 5549
עקרון ה''תיעול'' (מלשון תעלה) של תורת הקוונטים הוא הבסיס של האלקטרוניקה המודרנית (על בסיס עיקרון זה פועלים הטרנזיסטור והדיודה). על פי העיקרון הזה, אלקטרון יכול בהסתברות מסוימת לעבור מחסום פוטנציאלים סופי גם אם אין לו את האנרגיה הדרושה לכך על פי עקרונות הפיזיקה הקלאסית.
תורת הקוונטים מסבירה הרבה תופעות בעולם, אבל יש בה גם בעיות לא מוסברות שהמפורסמת בהן היא חוסר התאמתה לתורת היחסות. זה נכון שהיו לא מעט מקרים של תיקונים בתורה הזו אבל עד כמה שידוע לי התכיפות שלהם לא גבוהה כפי שמשתמע מדבריך.
תורת הקוונטים נתנה הרבה תחזיות שהוכחו בניסויים, והסבירה הרבה תופעות שהתגלו בניסויים אחרים.
קשה לי להאמין שתורת הקוונטים תיזנח אי פעם, אני מקווה שיומצאו בעתיד כלים מתמטיים פשוטים יותר שיאפשרו הבנה קלה יותר ופיתוח ''אינטואיציה'' קוונטית.
בעיות וסתירות 5555
כמו כל תורה מדעית, תורת הקוונטים איננה סוף פסוק בפיסיקה. יש בה בעיות חמורות - לא רק הקוונטיזציה של הכבידה, שלא לגמרי עובדת. תיעול, למשל, כולל בעיה נוראה: כל חלקיק שמבצע תיעול, נמצא לפרק זמן קצר מאוד בתוך המחסום. אבל הוא לא יכול להיות שם, כי המהירות שלו תהיה מספר מדומה, והמסה שלו חסרת משמעות. זו הפרה של חוק שימור האנרגיה. המודל הסטנדרטי של חלקיקים אלמנטריים מכיל סתירות פנימיות, וגם האופן שבו פיסיקאים מבצעים חישובים בתורת הקוונטים לא תמיד תקפה מבחינה מתימטית.
אין כיום שום דרך להתייחס למכניקה הקוונטית כאל תאוריה סגורה ומוכחת.
כמובן, אין לנו אלטרנטיבות סבירות. (יש תורת מיתרים, שאמורה לפתור את כל הבעיות, אבל שם אנחנו לא יודעים לחשב שום דבר).
בעיות וסתירות 5558
נכון. תורת הקוונטים אינה סגורה והיא גם מכילה יותר בעיות ופרדוקסים מרוב התורות המדעיות האחרות (לפחות זה הרושם שאני קיבלתי).
הרבה מהתופעות שהיא צופה והרבה מההסברים שלה אינם מתיישבים עם עקרונות מבוססים אחרים (שימור האנרגיה שהזכרת, בעיות של מעבר מידע במהירות גבוהה ממהירות האור).
מעבר לכך, היא בפירוש לא יכולה להיות האמת משום שהיא מיחסת לחלקיקים תכונות מתמטיות תיאורטיות. לא מתקבל על הדעת שחלקיקים הנם פונקציות סטטיסטיות. זה יכול להיות לכל היותר תיאור מתמטי.

אבל כפי שציינת זוהי התיאוריה הטובה ביותר שיש למדע כיום והיא מאפשרת חיזוי אמין למדי של תוצאות ניסויים ונותנת מסגרת תיאורטית המאפשרת להסביר תופעות.
סנגוריה 131072
אנשלוביץ, אתה מסנגר מישהו שאינו ראוי לסינגור.
הטענה כי תאוריה מדעית כלשהי היא לא מוצלחת היא טענה שאינה מובילה לשום מקום.
תורת הקוונטים הינה תאוריה מופלאה. היא לוקה בכמה חורים ואינה מסבירה את הכל, אך תפקידה הינו להסביר כמה מן התופעות שלא ניתן, לפחות כיום, להסביר ללא שימוש בתיאוריה זו. מובן שתאוריה זו תוחלף, תשופץ, תשתנה תאוחד, אך זה הרעיון הבסיסי שבמדע.
אם אתה מעוניין בתיאוריה אחת שתהווה את האמת המוחלטת, לא תשונה וחסרת כל פגם, שים כיפה על ראשך.
הגישה הקוונטית היא הטובה ביותר שיש בידינו כעת להסבר תופעות שבמיקרו. יש לידיד העלום שלך תאוריה טובה יותר ? אני בטוח שלא. לנביחות "התאוריה לא טובה" אין כל תרומה מדעית.

בקיצור: התיאוריה הקוונטית הינה תיאוריה ולא תורה כפי שחברך חושב.
ציד אריות וההבדל בין מהנדס למתמט 265210
רוצה לצטט לך כמה שורות מספרו של עמית הגר על "מכניקת הקוונטים"--" מכניקת הקוונטים היא אחת התורות המוצלחות ביותר הקיימות בפיזיקה המודרנית,ותחזיותיה אומתו במאות ניסויים.היא עוסקת בעולם המיקרוסקופי,עולמם של החלקיקים התת-אטומיים,ועד היום לא נימצא לה כל תחליף."
אני לא יודעת מי זה הפיסיקאי שאתה מעריך את דעתו,שטוען שזו תורה לא מוצלחת.ידוע,שתורת הקוונטים הפכה לחלק בלתי נפרד מתוכנית הלימודים של כל פיזיקאי,ומדענים משתמשים בה בהצלחה מרובה.נכון להיום,הרבה מאד מדענים משתמשים בה בהצלחה מרובה. הסוגייה היא,לא אם היא קיימת? זה ברור שכן,אלא,קיים צורך למצוא דרך לשלב בין שתי התיאוריות הגדולות של הפיזיקה המודרנית,וזה עניין של זמן,ושל מתמטיקה מסובכת.
דב! מה שלא רואים אינו מוכיח שאינו קיים.
ואיך צדים פיל עם פינצטה ומשקפת? 5778
וזה מזכיר לי את התיאור של אחד מחברי חסמב"ה
(אהוד השמן?) איך אפשר לתפוס פיל (או חיה אחרת) עם פינצטה משקפת וקופסת גפרורים.
פשוט - מסתכלים על החיה הפוך במשקפת עד שהיא נעשית קטנה-מיקרוסקופית, תופסים אותה עם הפינצטה ומכניסים לקופסת הגפרורים.
בהצלחה.
ואם כבר מדברים על פילים . . . 5780
יודע מה ההבדל בין פיל לקפה ?
נכון שאינך יודע ?
זה רע מאד. אתה עוד עלול לשתות פיל . . .
5451
יבשם,
אינני פילוסוף יווני ואף לא מתמטיקאי אבל נדמה לי שיש שיבוש בתיאור שלך את הפרדוקס של זנון.

אתה כותב כך: "זנון טען כי הסכום של הרבה מאוד אפסים הוא עדיין אפס. ולכן החץ אינו יכול לנוע." האם הוא טען בפירוש שחלוקה אינסופית של ישר יוצרת קטעים בעלי אורך אפס או שזו פרשנות שלך?

טענה מעין זו שקולה לטענה הבאה: אם ניקח עוגה במשקל קילוגרם ונחלק אותה בסכין (חדה לאין שיעור) לאינסוף חלקים הרי שנקבל לבסוף פירורים חסרי משקל והעוגה תשקול אפס קילוגרם (כי כל פירור שוקל אפס), לאמור, פעולת החיתוך העלימה את מסת העוגה. נשמע מופרך ובצדק. אין פה כל פרדוקס אלא אבסורד.

המעניין בפרדוקס של זנון בגירסה שאני מכיר הקרויה "אכילס והצב" הוא שהקטעים שואפים לאפס, הם אינפיניטיסמליים ככל שנרצה, ובכל זאת אכילס אינו משיג את הצב (המטרה של אכילס).

למי שאינו מכיר את הגירסה הזו: אכילס וצב עושים תחרות ריצה. היות ואכילס רץ פי עשר מהר מהצב הוא נותן לו "פור" של קילומטר.
האינטואיציה אומרת שאם הם ירוצו מספיק זמן אכילס ידביק את הצב ויעבור אותו. אבל זנון מציע את הפרוצדורה הבאה: אכילס רץ קילומטר עד לנקודת המוצא של הצב אבל הוא עדיין לא ידביק את הצב כי הצב הספיק להתקדם 100 מטר. אכילס רץ את 100 המטר שביניהם אבל הצב הספיק להתקדם בינתיים 10 מטר. אכילס רץ 10 מטר אבל הצב הספיק להתקדם מטר וכו'.
ע"פ הפרוצדורה הזו המרחק ביניהם מתקצר כל העת אבל "דווקא משום שהחלוקות הבאות לא יביאו לקטע באורך אפס" (כי כל חלוקה של קטע ל-‏10, קטן ככל שיהיה, עדיין תשאיר אורך מסויים) - דווקא משום כך אכילס לעולם לא ישיג את הצב.

לאמור, הפרדוקס בגירסה שאני מכיר (והיא מפורסמת למדי) מבוסס בדיוק על ההנחה ההפוכה לזו שציינת במאמרך (זו שציטטתי למעלה).

אשמח לקבל את תגובתך.

בברכה,
ג. שמעון.
שנים 5455
ג. שמעון שלום,
אלו שני פרדוקסים שונים.
שני פרדוקסים 5458
כאמור, זינון הקדיש את חייו למטרה של הוכחת הטענה כי התנועה היא אשליה, וכמובן שהוא הוציא תחת ידיו כמה וכמה פרדוקסים. אכילס והצב הוא אחד מהם, ופרדוקס החץ הוא פרדוקס לא פחות מוכר. אכילס והצב מראה דוגמא לכך שהחלוקה לאינסוף היא בלתי אפשרית, שכן כל פעם שנחלק, עדיין יהיה אורך מסויים. פרדוקס החץ תוקף את העניין מהכיוון השני - בו נניח שכן אפשר לחלק - ונראה שאם ניתן לעשות כן, הרי שהתנועה היא בלתי אפשרית.
אם נחלק קו (לצורך העניין - מסלולו של החץ) לאינסוף, הרי שנקבל אינסוף נקודות אפס-ממדיות (לנקודה אין ממדים, לקו יש ממד אחד, למישור שניים ולנפח שלושה, כמובן). מכיוון שאין ממדים - לא ניתן לנוע, ועל כן על כל נקודה בקו הזה, החץ נמצא במנוחה. השאלה ששאל זינון היא - מתי, בדיוק, החץ מבצע את התנועה מנקודה א' ל-ב'? אין זמן בין הנקודות, כי כבר חילקנו אותו לאינסוף מקטעים. על כן - התנועה בלתי אפשרית, והיא אינה אלא אשליה.
שני פרדוקסים 5467
סלח לי אם אני טועה בצורה מחפירה, אבל הפרדוקס לא מתבטל לנוכח העובדה שבעצם אי אפשר, פיסית, לחלק קטע נתון לאינסוף קטעים?
אלא אם נחלק אותו לאינסוף, אורך הקטעים לא יהיה שווה לאפס, אלא רק ישאף לאפס ככל שנתקדם. זה יכול להדמות לנו כאפס, מאחר ויש תמיד עיגול כלפי מטה במקרים כאלה, אבל לעולם לא נגיע לאפס אמיתי.

אינסוף הוא הפשטה מתמטית. למיטב ידיעתי, אף אחד לא "ראה" אינסוף, וגם לעולם לא יראה - האומדן לנפח היקום עומד על מוגדר לחלוטין שהוא סופי לחלוטין, ולמיטב ידיעתי אינשטיין כבר אמר לפני (וכידוע, כל מה שאינשטיין אומר הוא נכון) שגם תאוריות שעוסקות במהירות אינסופית הן חסרות משמעות, מאחר ולא ניתן לעבור את מהירות האור (עד כמה שאני זוכר, כי בשלב מסוים גרף המהירות/אנרגיה מגיע לאסימפטוטה, בסביבות מהירות האור). אם אתה מערב מספר שלא בהכרח קיים במשוואות מתמטיות, אתה מבטל את כל המשמעות שלהן, כך שאין זה משנה כמה אבסורדית התוצאה שמתקבלת, מאחר ואין לה בסיס בעולם האמיתי.

אגב, לכותב המאמר - אוכל לקבל ממך באימייל הסבר יותר מפורט לגבי אותו ניסוי שדיברת עליו, או הפניה למקור אחר שבו אוכל למצוא עוד פרטים?
שני פרדוקסים 5469
החלטתם לשגע אותי, תגידו לי? כולה פילוסוף מלפני 2500 שנה. איזה אינשטיין? מה אינשטיין? הוא שמע על אינשטיין? כפי שכבר כתבתי - קו, תאורטית, מורכב מאינסוף נקודות. נכון? זו ההגדרה של קו (בדיוק כפי שמישור מורכב מאינסוף קווים ונפח מאינסוף מישורים). בא זינון הנכבד ואמר - אה, כן? אפשר לחלק אותו לאינסוף? אז אם אפשר לחלק אותו לאינסוף, הרי שאי אפשר לזוז, ונתן את פרדוקס החץ כדוגמא.
השימוש במילה פרדוקס מראה שמדובר פה במשהו שלא יכול להיות - איפהשהו יש טעות. טענתו של זינון הייתה שהטעות היא בהגדרה של קו כאינסוף נקודות.
שני פרדוקסים 5474
אינך טועה - למעשה, הפרדוקס של זנון (שניהם, גם אכילס והצב) ניתן לפתירה (למרבה האוקסימורניות) בדיוק בעזרת ההסבר שנתת בזה הרגע: למעשה אורכם של כל הקטעים לא יהיה אפסי אלא ישאף לאפס, כלומר האסימפטוטה של האורך הקטע לזמן היא 0.
כמובן שבעת הגיית הפרדוקס בידי זנון, לא היה מוכר מושג האסימפטוטה במתמטיקה, ולכן לא היה לאל ידו להשתמש בו ע"מ לפתור את הבעייה שהעלה.
"פרדוקסים פתירים" הם למעשה נפוצים יותר ממה שמקובל לחשוב, בעיקר כתוצאה מהתפתחויות מתמטיות או לשוניות.

ובנוגע לקישור - אני משוכנע שישנם עוד אנשים שהיו מעוניינים לקרוא הסבר שכזה, אם הוא קיים באינטרנט, ולכן הייתי ממליץ לפרסמו באתר (עדיף כמובן היה במאמר המקורי...)

גלעד
קישורים 5478
הסבר להדיוטות של המאמר המקורי
אתר חביב של פיסיקאי בריטי השולל מכל וכל את מכניקת הקוואנטים, ולא משיקולים זרים
כל טוב
שטויות! 6150
משהו חלקי אינסוף הוא לא שואף לאפס הוא לא כמעט אפס הוא אפס אמיתי!!!

מצד שני אפס כפול אינסוף שוה לאורך הקטע (במקרה הזה)
מקווה שזה יעזור... 131357
תגובה 131355
זנון - קטעים איתו 5482
נדמה לי שפרדוקס חלוקת הקטע של זנון הוא פשוט חץ דו-כיווני. את הניסוח להלן שמעתי בקורס "פילוסופיה ומתמטיקה" בטכניון, מפי ד"ר פידלמן, ונדמה לי שהוא עונה לפחות לחלק התמיהות כאן.
ובכן, מחלקים את הקטע לאינסוף קטעים שווים, ואז יש שתי אפשרויות: אם אורך כל קטע הוא אפס, אז יש סכום של אינסוף אפסים, ואורך הקטע המקורי הוא אפס. אם, לחילופין, כל קטע הוא גדול מאפס, ונסמן את אורכו ב- X, אז אורך הקטע המקורי הוא אינסוף כפול X, כלומר אינסופי. בשני הכיוונים מקבלים סתירה.
באשר לפתרון - ראו תגובתו של דובי.
זנון - קטעים איתו 5487
אם מישהו יוכל להפנות אותי למקור (ספר או מאמר במתמטיקה) שטוען שאין סוף כפול אפס הוא תמיד אפס, אשמח לראות.
אני חושב שאין הגדרה בסיסית כזאת בשום שטח של המתמטיקה. נכון שאם תכפיל אפס בכל מספר סופי אפילו גדול מאד תקבל אפס. אבל ההגדרות של המושג אין סוף לא דומות למספר סופי גדול מאד. זה בכל זאת משהו אחר. ההנחה הזאת שמדברים עליה כאן כמובנת מעליה , ובלעדיה לא קיים הפרדוקס של זנון, אם איני טועה, פשוט אינה אפשרית, כי תוביל מיד לסתירה פנימית, וזה אסור במתמטיקה.
זנון - קטעים איתו 5490
בחשבון אינפיניטסימלי לומדים שלפעמים אינסוף כפול אפס אכן יכול להיות מספר כלשהו, אולם החישוב הזה יכול להטעות.
כשמדברים על אורך אפס בקורס הזה מדברים על משהו ששואף לאפס (כלומר מאד מאד קרוב לאפס, נתעלם כרגע מההגדרה המדויקת), ואז כאשר כופלים אותו במספר גדול מאד (אינסוף), אזי התוצאה באמת יכולה להיות רחוקה מאפס.
אולם, כאשר לוקחים קטע שהאורך שלו הוא באמת אפס, כמו שהסביר ד''ר פילדמן מהטכניון, אז לא משנה במה כופלים אותו, האורך שלו עדיין יהיה אפס.
זנון - קטעים איתו 5501
איך ייתכן שזה קטע שהוא באמת אפס ?
הרי הוא התקבל ע"י חלוקת קטע סופי באינסוף. לא זו הטענה של זנון ?
אם כך יש להניח שאם תכפיל את אותו אפס באותו אינסוף שהוא חלק מהגדרת האפס הזה, תקבל בדיוק את אותו קטע סופי שממנו התחלת.
זנון - קטעים איתו 5502
זה בדיוק העניין שזינון ניסה להראות. הרי למדת גאומטריה כמו כולנו (ואף יותר, אם אני זכור נכון אתה מהנדס) - ואתה יודע טוב מאוד שתאורטית, כל קו מורכב מרצף של אינסוף נקודות. זינון ניסה להוכיח שהמושג הזה של אינסוף הינו נוגד את ההגיון ואת המציאות.
זנון - קטעים איתו 5516
איני זוכר (זה היה לפני המון שנים) שהמורה שלי הגדיר קו כרצף של אין סוף נקודות, אבל לו עשה זאת, והייתי אז פחות ביישן, בודאי הייתי שואל אותו למה כוונתו.
בכלל, דווקא ההגדרות הבסיסיות והאקסיומטיקה הן הכי בעייתיות במתמטיקה. הן בנויות על תפישה בסיסית ועל שפת דיבור רגילה ולא על שפה מתמטית (בבסיס אין ברירה), ושפת דיבור רגילה מביאה הרבה פעמים לדבר והיפוכו ולסתירות. הגיאומטריה האוקלידית בנויה בהגדרותיה הבסיסיות על הבנה בסיסית וטבעית של הסובב אותנו. הגדרת קו כרצף של אין סוף נקודות אינה דרושה לבניית המשפטים שמהן בנויה התורה הזאת. די בכך שאומרים קו. אין צורך להגדיר מה הוא בעזרת מושגים כאין סוף שהם עוד יותר מסובכים ובעייתיים מהמושג הפשוט והבסיסי "קו".
בעניין זה, אני נזכר בהגדרה משעשעת שנתן המורה למתמטיקה שלימד אותי בתיכון, למושג אקסיומה.
הוא אמר שאקסיומה היא סטירת לחי. מדוע ? ילדים קטנים נוהגים לשאול הרבה פעמים את אביהם את השאלה "למה". כל פעם שהאב מסביר להם משהו הם שואלים "למה" וכשהוא מסביר להם מושג בסיסי יותר, הם שואלים שוב "אבל למה".
בשלב מסוים העניין הזה נמאס לאב, הוא מתעצבן ובמקום לענות מפליק לבן השואל סתירת לחי. זו אקסיומה . . .
אז בסופו של דבר אני מגיע למסקנה שבעצם זינון היה בסדר גמור. אם בזמנו השתמשו במושג "אין סוף" ובעזרתו הגדירו קו, ומטרת הפרדוקס שלו הייתה להראות שיש בעיה בהגדרה כזאת, אין לי שום וויכוח אתו. ההפך הוא הנכון. לצערי, לא כך הבנתי את הכוונה בקריאת הדברים במאמר המקורי.
הכוונות של השמונה השוכב 5511
הרשה לי לחלוק עליך. בחשבון האינפיניטסימלי שאני למדתי (הטכניון, חדו"א 1 מ') לא דיברנו בכלל על אינסוף כפול אפס. לצערי הרבה מרצים בקורס מחמיצים את אחת הנקודות היפות ביותר בו, ובעקבותיהם הרבה סטודנטים. זה כולל את המרצה שלי, ועל הנקודה הזו עמדתי רק אחר כך (כך שזה על אחריותי).
הניסוח שלמדנו של החשבון האינפי' (ככל שהבנתי, פורמליזציה שפותחה רק במאה ה-‏19, כלומר הרבה אחרי הפיתוח הראשוני של האינפי') בכלל לא מתייחס למושג האינסוף. הכיצד, תאמר, הרי כל הזמן רשמנו שם את השמונה השוכב? זהו, שזה רק *סימון*. שים לב שבהגדרות הגבול (במובן הרחב, זה שמתייחס לכאורה לאינסוף) בכלל לא מופיע האינסוף. במקומו מופיע כימות - "לכל X שגדול מ 0M...". וזו בדיוק הגדולה. המתמטיקאים הבינו (למיטב הבנתי) שהפרדוקסים של זנון מראים שיש בעיה בהבנה שלנו את מושג האינסוף, ואם המתמטיקה יכולה להסתדר בלעדיו, עדיף כך.
(זהירות: הפסקה הבאה טכנית במיוחד, ואינה מומלצת לילדים)
כשדיברת על "אינסוף כפול אפס", אולי התכוונת ל"פונקציה השואפת לאינסוף כפול פונקצית האפס", וזה אכן אפס (בגבול), כפי שאפשר להוכיח מתוך הגדרת "שאיפה לאינסוף". שוב, ניתן להתייחס ל"שאיפה לאינסוף" כאל סימון בלבד, ועדיף להזהר מביטויים חלקלקים כמו "אינסוף כפול אפס".
זנון - קטעים איתו 131074
אם נחלק קטע באורך X לאינסוף חלקים, נקבל חלקים בעלי אורך X חלקי אינסוף. נשאלת השאלה האם X חלקי אינסוף שווה אפס. התשובה הינה לא. ישנה שאיפה לאפס. (כפי שהוזכר כבר)
כמו שאוסרים לחלק באפס, יש לאסור חלוקה באינסוף.

דרך אגב, עושה רושם שזנון (על משקל חנון ?!) הינו מאבות העתודאים. (לפחות לפי דבריו)
זנון - קטעים איתו 131094
אם X סופי, X חלקי אינסוף הוא בפשטות אפס, הוא לא שואף לכלום‏1.
______________.________________.____________
1- ככה לפחות המורה שלי היה טוען: "אפס שכמוך, אין לך שום שאיפות"
זנון - קטעים (קטנים) איתו 131298
הבה ניקח קטע סופי באורך X ונחלקו לאינסוף חלקים שווים, את אורך כל קטע שכזה נסמן ב Y.
אתה טוען שאם נבצע סיגמה של אינסוף חלקים באורך Y נקבל את אותה התוצאה שנקבל בסיכום אינסוף פעמים אפס ?
במקרה של אינסוף פעמים Y נקבל את האורך המקורי X. במקרה של סיכום אינסוף אפסים נקבל אפס.
זנון - קטעים (קטנים) איתו 131303
למה "סיגמה" אם אפשר פשוט "סכום"? אבל בלי קשר - האם אתה אומר שיש מספר חיובי Y שאם נכפיל אותו באינסוף יתקבל מספר שאינו אינסוף?

אבל זהו הרי הפרדוקס כולו, ומטרתו היא להראות שלא יכול להתקיים המספר אינסוף. אין לו משמעות, והוא לא יכול לתפקד במערכת אלגברית סבירה - לא יחד עם מספרים אחרים, בכל מקרה.
אם פתרו את הפרדוקס הזה או לא, אינני יודע. אני לא מתמטיקאי. אבל על פניו הפרדוקס נראה לי ברור, והמשמעות היחידה שניתן להפיק היא שלא יכול להיות שקו מורכב מאינסוף נקודות.
זנון - קטעים (קטנים) איתו 131333
לא קיים מספר חיובי יחיד שכזה, אבל קיימות סדרות של מספרים שכולם חיוביים - והן מסתכמות לאינסוף.
זנון - קטעים (קטנים) איתו 131336
למה אני טיפש?
היה צריך להיות "מסתכמות לאפס באינסוף".
זנון - קטעים (קטנים מאוד) איתו 131355
בנוסף למה שכבר נאמר ב:
תגובה 5474

ניתן ל"פתור" את כל הפרדוקסים של זנון (אני מכיר שלושה אבל יודע שיש יותר) ע"י הפסקאות הבאות:
- הבעיה: החץ, בכדי להגיע למרחק חצי המסלול, חייב לעבור ברבע המסלול, בכדי להגיע לנקודה זו הוא חייב לעבור בנקודת שמינית המסלול, וכו'
- הפרדוקס: החץ לא יזוז כלל מכיוון שעליו לעבור באינסוף נקודות
- הפתרון: בצע סיגמה... סתם, סתם.

- הפתרון: יש לתקוף את ההנחה הסמויה כי סיכום אינסוף מרחקים, לא חשוב כמה קצרים, יתן מרחק אינסופי. הנחה זו נכונה כל עוד המרחקים שווים בגודלם, אולם, בדוגמת הפרדוקס המופיעה כאן, מדובר במרחקים ההולכים וקטנים. החלוקה אינה על כל המרחק לאינסוף קטעים שווים.
המרחק שעל החץ (הצב, הגוייבה, שאול יהלום) לעבור בתחילה הינו חצי, לאחר מכן מדובר בנקודת הרבע, שמינית, וכו'. המרחקים הולכים וקטנים.
ולכן ההנחה כי איסוף/סיכום/סיגמה אינסוף המרחקים, קטנים ככל שיהיו, יתן מרחק אינסופי אינה נכונה. תוצאת הסיכום נותנת מספר/מרחק סופי.
זנון לא הכיר את קושי (צרפתי גאה שהתעסק עם סדרות מתכנסות אינסופיות בתחילת המאה ה 19 (אני משוכנע שהיה עתודאי)). קושי התבסס על היסודות שהניחו ניוטון ולייבניץ (עוד עתודאי ?) במאה ה 17.
ולפיתוח המתמטי: נניח ש S יהיה הסכום של המרחקים שעל החץ לעבור ונניח ש A1 יהווה את המרחק הגדול (חצי במקרה שלנו), A2 את המרחק השני (= רבע מהמרחק הכולל) וכו'. נרשום:
S = a1 + a2 + a3 + ... + an
כאשר An מהווה את המרחק האחרון. כאשר נשאיף (לא לריאות) את N לאינסוף, S ישאף למספר לתוצאה המבוקשת.
סדרה שכזו קרויה מתכנסת כאשר יש לה גבול ומתבדרת כאשר אין לה גבול.

ועכשיו לשורת הפאנץ'. במקרה שלנו הסדרה נראית כך:
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16...
(אני מקווה שההמרה תראה את שלוש הנקודות אחרי השש-עשרית)
ניתן לראות, נסו זאת במחשב פשוט, כי סכום סדרה זו אינו אינסופי, כפי שסברו החברים הנכבדים, אלא מתכנסת לאחד. המספר אחד מהווה למעשה את אורך המסלול (זוכרים? הנקודה הראשונה היתה חצי המסלול. ניתן היה לסמן את אורך המסלול ב M ולהראשות כי הסדרה, בתוספת כל ה M-ים מתכנסת ל M)

מקווה שאלו שלא נרדמו מבינים כי הפרדוקס (ים) של זנון הופרך/נפתר.

בקיצור: החץ לא יקפא באוויר, הוא יגיע למטרה, אכילס (או שהיה זה אטלס) כן יעברו את הצב ואולי אף יכינו ממנו מרק.
זנון - קטעים (קטנים מאוד) איתו 131366
<נד בראשו מצד לצד> אנשים לא מקשיבים.
ראשית, לא סיפרת לי שום דבר שלא ידעתי כבר.
שנית, לא זה הפרדוקס עליו מדובר. אתה מדבר על פרדוקס אכילס והצב, בעוד שאני מדבר על פרדוקס החץ, שהוא שונה לגמרי.

פרדוקס החץ, שים לב, הולך ככה: יורים חץ מנקודה A לנקודה B. עכשיו אנחנו בוחנים את הדרך שעושה החץ - המדובר בקו (נניח לצורך השאלה) ישר. קו, כידוע, אינו אלא רצף של אינסוף נקודות - פר הגדרה, נכון? יפה, אז נחלק את דרכו של החץ לאינסוף נקודות. אם חילקנו את הדרך לאינסוף, אז צריך לחלק גם את הזמן שלקח לו להגיע לשם לאינסוף, נכון? אז בואו נעשה את זה יחדיו. חילקנו את הזמן לאינסוף נקודות זמן. אחלה. אז מה קורה עכשיו? יש לנו אינסוף נקודות שונות בהן נמצא החץ, ויש לנו אינסוף נקודות זמן שבכל אחת מהן - אויה! - החץ נמצא *במנוחה* (שהרי בנקודת הזמן נ' הוא נמצא בנקודת מרחק נ', ולא בשום נקודה אחרת, פר הגדרה). אז מתי החץ זז?! אין זמן בין נקודה נ' לנקודה נ+1 - כי כבר חילקנו את הזמן לאינסוף נקודות. אם נמצא את נקודת הזמן שבין נ ל-נ+1, אז פשוט נמצא עוד נקודה שבה החץ נמצא במצב נייח.
מכאן - אין תנועה.
עכשיו לך תפתור לי את הפרדוקס הזה עם סדרות מתכנסות.
זנון - קטעים (קטנים מאוד) איתו 133011
<מצקצק ומנתר מרגל לרגל> לך אולי לא חידשתי, אך מה עם אולי הקוראים האחרים ?

אתה מדלג בקלות על עניין חלוקת הקטע לאינסוף. כיצד אתה מציע לחלק את הקטע לאיסוף קטעים שווים ?

בכל רגע נתון בחלוקה שתציע, ניתן לעצור את הזמן ולראות מה יש לנו ביד: שתי נקודות, שני זמנים שונים ושני מקומות שונים בהם שרוי החץ

יש שתי אופציות:
1) להמשיך לחלק את הקטע והזמן ולשוב למצב הקודם
2) לעצור

מכיוון שאתה מעוניין להמשיך עד אין סוף (זהו סוף בר-מניה) ניתן בכל רגע נתון לבדוק את המצב ושוב נקבל שתי נקודות, שני זמנים שונים ושני מקומות שונים של החץ (בתנאי שאנו מניחים שאין חלקיקים שלא ניתן לחלק וכן כי הזמן רציף)

כאשר אתה לוקח כל שתי נקודות (לאחר החלוקה שביצעת) ובודק אותן. יהיו שוב שני מקרים:
1) המרחק בין שתי הנקודות = 0
2) המרחק אינו אפס

במקרה הראשון, סתירה להנחה שלקחנו שתי נקודות שונות. במקרה השני, נחזור למצב שתואר למעלה, שתי נקודות שונות (לכן המרחק אינו אפס, שני זמנים שונים ושני מקומות של החץ.

לכן, בכל בדיקה שכזו, ישנה תנועה ברורה של החץ.

ולגבי עניין חלוקת הקט לאינסוף. שוב, הצע שיטה והפעל את סיכום הסדרות המתכנסות שרשמתי קודם.
זנון - קטעים (קטנים מאוד) איתו 133069
אבל הרי זו בדיוק טענתו של זינון - שאין משמעות למושג האינסוף. אי אפשר לחלק קטע לאינסוף חלקים, ולפיכך לא ניתן לטעון שקטע אכן מורכב מאינסוף חלקים (או אינסוף נקודות).
זנון - קטעים (קטנים מאוד) איתו 134312
המשפט "לא ניתן לחלק קטע לאינסוף חלקים (בזמן סופי)" אינו מוביל למסקנה כי "לא ניתן לטעון כי קטע מורכב מאינסוף חלקים/נקודות"

כל קטע מורכב מאינסוף חלקים/נקודות אך לא ניתן לעבור על כולם/ן ולהציג את החץ על כל נקודה ונקודה.

זנון הציג פרדוקס נחמד, די מזמן, אשר נפתר, די מזמן ומהווה תרגיל מחשבתי משעשע ותו לא. מכן ועד הוכחה כי התנועה היא אשליה ו/או למושג אינסוף אין משמעות המרחק גדול.
וכל שאיפה היתה אוי 131367
להרחיב קצת בעניין הפונדמנטליסטי ("יסודות המתמטיקה", קוראים לתחום): נראה שכמה מכותבי התגובות כאן נפלו למלכודת (בחברה טובה עם רבים מגדולי המתמטיקה, מזנון ועד ניוטון ולייבניץ), של נסיון הפעלת כללי הגיון פשוט על מושגים כמו אינסוף. מה שאפשר לראות כאן הוא שצריך להיות זהירים, כי האינסוף קצת מותח את ההגיון הפשוט שלנו.

מה שקושי וויירשטראס עשו, בסוף המאה ה-‏19, היה להוציא את האינסוף מהמתמטיקה. סטודנטים לחדו"א אמנם רושמים ללא הרף שמונה שוכב, אבל חשוב לשים לב שזה *סימון* בלבד. אותו דבר עם שאיפה לאינסוף ושאיפה לאפס (וכל שאיפה): סימונים. למיטב ידיעתי, מתמטיקאי היום צריך לסרב לענות על שאלות מסוג "מה סכום אורכם של אינסוף קטעים קטנים מאוד".

אין ארוחות חינם: את האינסוף החליפו קושי ושות' בכמת כולל (כך שהסימון "שואף לאינסוף" מוגדר במשפט שעיקרו "כל המספרים ש..."). יכול להיות שגם זה בעייתי, אם מגרדים מספיק, אבל במאה ומשהו שנים מאז נראה שההכללה בכל זאת עושה עבודה יותר טובה מהאינסוף, בתחום יכולת השכנוע הקונסנסואלי.

לקריאה נוספת (כבר המלצתי על הספר באייל, אבל לא אלאה מכך): "משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה", ארנון אברון. למרות שמו (הלא מוצלח) הוא קטן, ידידותי גם למפחדי מתמטיקה (יצא באוניברסיטה המשודרת), ואולי הספר המחכים ביותר פר מילה שקראתי (ואחד המחכימים ביותר אבסולוטית).
ול-dx הייתה עדנה 131375
בשנות ה-‏60 נולדה האנליזה הלא-סטנדרטית, שמשיבה לאינפיניטיסימלים את כבודם האבוד כאובייקטים מתמטיים ולא סימנים גרידא.
קושי וירשטראס 131597
קושי-וירטראס היתה אשתו של קושי. מהפמינסטיות הראשונות. חברתה הטובה היתה גברת בולצאנו-שוורץ
זנון - קטעים (קטנים) איתו 131402
אני לא מדבר מהיכרות טובה של החומר, אבל ישנה דרך לשלב מושגים כמו "אינסוף" ו"קטן עד כדי אפס אבל לא ממש אפס" במערכת אלגברית, הכוללת מקבילים למספרים הממשיים - המספרים הסוריאליסטיים (אכן כך).
יקשה עלי לתת הסבר פורמלי להם, אבל הם מאפשרים מספר כמו אינסוף, אינסוף ועוד אחד, וכן הלאה, והם עצמם גם מפרמלים את תורת המשחקים הקומבינטוריים, כאשר כל מספר מייצג מהלך במשחק, וכן הלאה.
עוד מידע יתן לכם דוד גוגל: חפשו surreal numbers.
זנון - קטעים (קטנים) איתו 131531
ולמי שיש גישה לספריה ראויה לשמה (של מחלקה למתמטיקה), אין כמו המקור: On Numbers and Games, של J.Conway, מ- 1976.
זנון - קטעים (קטנים) איתו 131370
חוששני שלא קל לחלק קטע סופי לאינסוף חלקים שוים. הסיבה היא בדיוק מה שכתבת אח"כ: אם אורכו של כל קטע כזה גדול מאפס סכומם יהיה אינסופי, ואם גודלו של כל קטע כזה הוא אפס בדיוק סכומם יהיה אפס, ובכל מקרה הסכום הזה לא יהיה Y.

עוד כמעט קט יתעורר מר ו. משנת השבת שלו ויבוא להעמידני על טעותי.
זנון - קטעים (קטנים) איתו 131378
לא בטוח שמר ו. מגיע למאמר הזה. הוא היה לפני זמנו.
אני מקדים את זמני. 131380
שבוע טוב 131379
1. אפשר לחלק קטע סופי (למשל, המספרים בין 0 ל- 1) לאינסוף חלקים שווים באורכם: כל מספר ממשי בקטע ישב בחלק משל עצמו. האורך של כל קטע כזה הוא 0.

2. את האורכים של הקטעים האלה אי-אפשר לסכם, משום שהם רבים מדי. אפשר לסכם מספר סופי של מחוברים. אפשר, במאמץ מסויים, לסכם סדרות של מחוברים (לפעמים). אי-אפשר‏1 לסכם קבוצת ערכים שאינה בת מניה.

3. אי-אפשר לחלק קטע סופי למספר *בן-מניה* של קבוצות (מדידות) באורכים שווים.

1 "אי-אפשר": אף אחד לא הציע פירוש שיתן משמעות לביטוי "סכום" בהקשר הזה.
שבוע טוב 131547
תגיד, אפשר לסכם סדרת מספרים אינסופית מתבדרת? (-:
שבוע טוב 131571
כתבתי ''לפעמים'', והתכוונתי לכל מלה.
תודה 131587
מן הספרות... 5488
בספר ''פירמידות'' מאת טרי פראצ'ט מתוארים שני פילוסופים יוונים היורים חצים על צב ומתווכחים כיצד ייתכן שהצב נפגע.

מומלץ בחום...
מן הספרות... 5494
בקטע ענק באותו מקור מתוארת החיה שנעה במהירות העולה על מהירות האור, המכלה את כל שנותיה במרדף אחר בנות זוגה שכבר אינן במקום בו הן נצפות. גם עקרון אי הודאות משולב בקטע בשנינות.
ב''פירמידות'' גם מתואר אדם ששילמו 5515
לו כדי שיקשיב לכל הוויכוחים הפלספניים שלהם.

אני מרגיש קצת כמוהו. נדמה לי שמגיע לכל מי שקרא עד הסוף איזה תשלום על זמנו :-(

כפי שהגדיר זאת פראצ'ט בגאוניותו:
"תפקיד המקשיבים לא תמיד הוערך במלואו. אולם ידוע שרוב האנשים אינם מקשיבים. הם משתמשים בזמן שבו מישהו אחר מדבר, כדי לחשוב מה יאמרו הם בהמשך. מקשיבים אמיתיים זכו תמיד לכבוד רב בתרבויות אורליות, ולרוב הוקרה על תכונתם הנדירה; פייטנים ומשוררים ניתן למצוא בכל פינה, אך מקשיב טוב הוא פנינה נדירה."

המלצה לכולם - קחו איזה גמל שיפתור את הוויכוח הזה סופית :-(

שאלה לליאור: היכן בדיוק הקטע שדיברת עליו בספר?

ותמיהה לסיום: היכן תגובתו של כותב המאמר יבשם עזגד?
לא זוכר 5529
נראה לי מתישהוא כשהם במדבר

ובאשר לחדו"א 1 מ', אני זוכר את המתרגל מדגיש את ההבחנה בין 0 ממש הנכפל באינסוף, אז הגבול הוא כמובן אפס, לבין פונקציה השואפת לאפס הנכפלת בפונקציה השואפת לאינסוף, ואז צריך להפעיל את הכלים הכבדים
יותר כדי לדעת מה הגבול, אם קיים בכלל.
עוד דבר שמדגישים המרצים לרוב הוא שאינסוף אינו מספר אלא מצב לא מוגדר, ולכן נדרשת ההתפלפלות של "לכל אפסילון חיובי קיים.. כזה שלכל.. מתקיים..."וכו'
וזאת מבלי להיכנס לסוגיה הלא-רלבנטית של אינסוף בר-מניה ואינסוף שאינו בר-מניה
אינסוף כפול אפס 5557
צריך לעשות כאן קצת סדר.
1. חלק מהיוונים, כמו אריסטו, ניסו להראות שאינסוף הוא מושג חסר מובן. אי אפשר לדבר על אינסוף, כי תתקלו בפרדוקסים.
2. ניוטון ולייבניץ היו הראשונים שהצליחו לעשות חשבון במספרים קטנים לאינסוף: אינסוף כפול אפס, וכאלה דברים. את זה אתם לומדים בחדו"א. אבל החישוב לא היה מבוסס על ניתוח לוגי סביר של המושגים. הביקורת של היוונים יורדת די חזק על החישובים שלהם.
3. במאה ה-‏19 ביססו ויירשטראס, דיריכלה, קושי ואחרים את החשבון האינפיניטסימאלי על גדלים סופיים. זה מה שאתה לומד היום בקורס חדוו"א - ואין שם בשום מקום אינסוף ממש. כל תורת הגבולות משמשת להתחמק מהצורך לדבר ממש על אינסוף.
4. יש דרך לדבר של אינסוף ועל גדלים "אינפיניטסימאליים" (כאלה שגדולים מאפס אבל קטנים מכל מספר חיובי). קוראים לזה "אנליזה לא סטנדרטית - NON STANDARD ANALYSIS". זו חזרה לנסיון של לייבניץ לדבר על אינפיניטסימאלים - ואין פה סתירות. אבל אתה צריך קורס בלוגיקה מתימטית כדי להבין מה הולך שם.
יבשם, אייכה? 5567
אצטרף לכותב/ת המכונה \'\'מג\'יק\'\' ואתהה היכן כותב המאמר. הרי מסורת ארוכה ומפוארת באייל היא שמחברי המאמרים מתפלמסים עם המגיבים - והלא בכך קסמו של האייל הקורא.

הישג וכבוד הוא לאייל הצעיר שכותב ותיק ומלומד כמר עזגד (אשר את טוריו ב-\'\'ידיעות אחרונות\'\' הייתי קורא עוד כילד) הואיל לתרום מפרי עטו. ברם, מצער לראות שהכתבות שלו מפורסמות In absentia, בשיטת שלח-ושכח. מתקבל הרושם שמר עזגד תורם לנו את כתביו אך אינו מעונין בקריאת כתבינו. לגיטימי, כמובן, אך מתסכל משהו.

אני קורא למר עזגד להצטרף אלינו, ולו כקורא פאסיבי בעיקר, על-מנת שידעו קוראיו שכאשר יגיבו למאמריו או ישאלו שאלות, הן יגיעו לעיניו של מחבר המאמר, ויש סיכוי שתיעננה ישירות, ולא בפי העורך, למשל (אשר עושה מאמץ ראוי לייצג את דעת הכותב, בהיעדרו).
יבשם, אייכה? 5571
הרשיני להבטיח לך כי מר עזגד אכן קורא את התגובות השונות ויגיב (ותסלחו לי על הקלישאה) בזמן ובמקום שימצא לנכון.
הרשה לי לגחך קלות :-) 5588
כשם שאני עושה בכל פעם שאני נתקל בחיפוי או בקלישאה כמו שבהודעתך :-)
עברו 17 ימים מיום פרסום המאמר 6109
ו-‏14 ימים מיום הודעתו של מר קננגיסר על כך שמר עזגד אכן קורא את התגובות ויגיב בזמן ובמקום שימצא לנכון.

הגיחוך מתרחב לו לאיטו :-)

מצד שני, לפי התיאוריה שהוצגה במאמר - כנראה צריך להיות מובן שלא נזכה לעולם לראות תגובה שכזו :-)
עברו 17 ימים מיום פרסום המאמר 6116
אתה, כמובן, מתעלם מהאפשרות שמר עזגד פשוט בחר שלא להגיב על הדברים שנאמרו, או שאין לו מה להוסיף.
אין לי מושג מה אתה רוצה בדיוק שיקרה פה, אבל הוא לבטח אינו מעוניין בהתנצחות מטופשת עם מר מג'יק.
ואולי פשוט זנון צדק? 5947
ואולי פשוט זנון צדק?
אם ניתן לחלק את הקו לאינסוף קטעים ואת הזמן לאינסוף רגעים, החץ לא יעוף לעולם.
אבל יתכן שהעולם הפיזי הוא קוואנטי, והזמן הוא קוואנטי. האטומים של כל גוף מאכלסים מספר סופי של קוואנטים של נפח בזמן נתון. כאשר הם נעים, פירושו של דבר הוא שבקוואנט הבא של הזמן הם יוסטו קוואנט אחד של נפח ביחס למיקומם הנוכחי. לאחר מכן הם ינוחו במצבם החדש מספר מוגבל של קוואנטי זמן וינועו שוב.
ההבדל בין גופים הנעים במהירויות שונות, על פי תיאוריה זו, הוא הזמן שבו הם נחים בכל מצב.
תיאוריה זו מסבירה גם מדוע קיים גבול עליון למהירות. גוף לא יכול להיות פחות מקוואנט אחד של זמן בכל שלב במסלולו.
ואולי פשוט זנון צדק? 134566
למה להשתמש במושג "קוונט" ? מדוע לא להניח כי הזמן אינו רציף או להגיד כי הזמן הינו דיגיטלי ולא אנאלוגי ? (זה יהיה מובן ליותר אנשים)
נדמה לי שקראתי פעם אודות תאוריה המניחה כי הזמן פועם. לכן לא ניתן לחלקו עד אינסוף. ניתן להניח את אותו הדבר לגבי מימד האורך ולהגיד כי מכיוון שישנם חלקיקים כה קטנים שלא ניתן לחלקם ולכן גם מימד האורך הינו "דיגיטלי".
ואולי פשוט זנון צדק? 134567
כי זה לא נכון. בין לומר שאי אפשר למדוד מרחק של יותר מ[הכנס יחידה קטנה כאן], לבין לומר שכל מרחק מורכב משרשרת סופית של חלקים באורך [הכנס יחידה קטנה כאן], יש מרחק גדול (יחסית ל-[הכנס יחידה קטנה כאן]).
ואולי פשוט זנון צדק? 303975
זה שיש מרחק לא אומר שזה לא נכון.
אמרת ''כי זה לא נכון'' ולא נימקת.
אם יש באמת אינסוף מקומות בין נקודה א' לנקודה ב' (לא על קו תאורטי אלא ביקום הנצפה) אז זינון צודק, חבל''ז.
לא חידה קלה ... 6212
בעוד נכון כי כל דבר כפול אפס הוא אפס אל תשכחו כי גם כל דבר כפול אינסוף הוא אינסוף... אינסוף כפול אפס לדעתי זו לא חידה פשוטה ולפרושי האישי פתרונה כשתלות במקרה ..
לא חידה קלה ... 6385
באריתמטיקה אין מספר אינסוף ופעולת כפל באינסוף או חלוקה באינסוף אינן מוגדרות (כשם שפעולת חלוקה ב 0 אינה מוגדרת).
לא חידה קלה ... 6398
נכון, לא בחשבון של בית ספר יסודי. אבל אפשר להגדיר פעולות חשבון עם ''המספר'' אינסוף. יש אי אילו תורות מתמטיות שנוגעות בעניין. אפשר להגדיר כפל, חיבור, חזקה ואפילו חילוק בגדלים אינסופיים. כל ספר בתורת הקבוצות עושה את זה. אתה מקבל אריתמטיקה שונה, קצת מוזרה, אבל תקפה לחלוטין. נסה לפתוח ספר בתורת הקבוצות.
לא חידה קלה ... 6399
עד כמה שזכור לי תורת הקבוצות עוסקת בעוצמות של קבוצות ולא במספרים ואף על פי שבחלק מהמקרים יש דמיון רב לאריתמטיקה המשמעות של הפעולות הללו, במיוחד כשמדובר בקבוצות אינסופיות, היא אחרת לחלוטין.
לא חידה קלה ... 6808
מה היא עוצמה של קבוצה? זה מספר האיברים בקבוצה. (לפחות לעוצמות סופיות). אז מה הוא מספר אינסופי? יש לך כאן כמה הגדרות אפשריות, שמתלכדות עבור גדלים סופיים: קארדינלים ואורדינאלים.
כמובן שאריתמטיקה של מספרים אינסופיים היא "מוזרה". למשל, לכל מספר אינסופי Y:
Y*Y=Y
אבל Y^2Y
המשמעות של הפעולות האריתמטיות על מספרים אינסופיים היא פשוט הרחבה של הפעולות שאתה מכיר מחשבון סופי. לא צריך להפתיע אותך שמתקבלות תוצאות "מוזרות" כמו Y+3=Y.
ה"פרדוקסים" שעליהן מדברים הם לא באמת פרדוקסים. הם פשוט הפתעות: ברגע שאתה מנסה להרחיב את האריתמטיקה למספרים אינסופיים, תקבל תופעות חדשות ומרתקות. זה לא צריך להפחיד אותך.
לא חידה קלה ... 6813
עבר זמן רב מאז שלמדתי את החומר הזה אבל אני אנסה לאמץ את זיכרוני.
עוצמה היא חסרת משמעות ללא קבוצה שהיא משויכת אליה. פעולות החיבור חיסור כפל או החילוק אינן מבוצעות על העוצמות של הקבוצות אלא על הקבוצות עצמן.
באריתמטיקה לסימן החיבור יש משמעות של ניקח את ה"ערך" X ונוסיף לו את ה"ערך" Y. בעוצמות המשמעות היא אחרת. אם X הוא עוצמת קבוצה א ו Y הוא עוצמת קבוצה ב אז X+Y היא עוצמת הקבוצה המתקבלת מאיחוד א וב.
סימן שוויון בין עוצמות פירושו שישנה פונקציה חד חד ערכית בין אברי שתי הקבוצות שאנו "משווים".

המשמעות של הפעולות מאוד דומה כשמדובר בקבוצות סופיות עד כדי כך שבכיתות הנמוכות מלמדים אריתמטיקה באמצעות דוגמאות פשוטות מתורת הקבוצות ("אמא שמה בתיק 3 תפוחים ו 2 תפוזים, כמה פירות יש בתיק? "= מהי עוצמת הקבוצה המתקבלת מאיחוד קבוצה המכילה 3 תפוחים עם קבוצה שאיבריה הם 2 תפוזים).
אבל כשמגיעים לקבוצות אינסופיות הניסוחים המורכבים מקבלים משמעות אמיתית שמבדילה בין תורת הקבוצות לאריתמטיקה. למשל עוצמה אינה יכולה להיות מספר האיברים בקבוצה כשמדובר בקבוצה אינסופית משום שאין בנמצא מספר כזה.
עבור קבוצות אינסופיות הוגדרו טיפוסים שונים של אינסוף, א0 פירושו שישנה התאמה בין הקבוצה לקבוצת המספרים הטבעיים (או מה שניקרא אינסוף בר מניה), א1 פירושו שישנה התאמה בין הקבוצה לקבוצת המספרים הממשיים (אינסוף שאינו בר מניה). אני לא יודע מה ההמשך אבל זה משהו בסגנון הזה (העלאה בחזקת אינסוף כדי להוסיף אינדקס לסימן א).
איחוד קבוצות שעוצמתן א0 ייתן קבוצה שעוצמתה א0 אך המשמעות היא לא חיבור שני מספרים שערכם אינסוף אלא הערכת העוצמה של קבוצה שנוצרת כתוצאה מאיחוד שתי קבוצות אינסופיות ברות מניה ע"י והוכחת קיום פונקציה חד חד ערכית ועל בין האיחוד של שתי הקבוצות ההן לקבוצת המספרים הטבעיים.

זה לא מפחיד, זה אפילו יפה. אבל כשעושים קורס שאחוז המעבר שלו עומד על 30%, אין בו מועדי ב' וסיומו בציון סביר הוא תנאי הכרחי למעבר לשנה ב במדעי המחשב קצת קשה לראות את היופי שבו (זה לחלוטין לא קשור לעניין שלנו).
תיקון קליל 6848
סימן שיוויון בין עוצמות פירושו שיש פונקציה חד-חד ערכית *ועל* בין אברי שתי הקבוצות.
תיקון קליל 6860
אתה צודק, נשמטה לי מילה (אם תבדוק תראה שבדוגמא שנתתי בהמשך המילה שבה והופיעה).
לא חידה קלה ... 72150
איפה למדתם את כל זה???
לא חידה קלה ... 72202
שנה ראשונה מתמטיקה.
בקורסים ''מתמטיקה בדידה'' או ''תורת הקבוצות'' (תלוי באוניברסיטה).
ובפרק הלפני-אחרון של ''דילברט'' 6826
(ערוץ 3, יום א', 20:50)
אוטובוס של "הפיקניק השנתי של חתני פרס נובל", והם שרים בשמחה (בהסבה קלה לעברית):

יש אינסוף תפוחים על העץ
אחד נפל והתפוצץ
יש אינסוף תפוחים על העץ
אחד נפל והתפוצץ
יש אינסוף תפוחים על העץ
אחד נפל והתפוצץ
...
חידה מאוד קלה 7710
פשוט מעבירים את כל הפעולות למילים
בדיוק כמו בכיתה ה' בהקבצה הטיפולית
(ואני גאה להיות בוגר ההקבצה הזאת)

מספר אינסופי של גפרורים שמוכפל בשום דבר
ממשיך להיות מספר אינסופי.
(0 כפול אינסוף = אינסוף)

למרות שלפי הפירוש הזה גם 4 כפול 0 צריך להמשיך להיות 4
ואז כל התיאוריה המבריקה שלי מתמוטטת
...אבל על ה*** שלי
חידה מאוד קלה 58462
לא ממש... אפס אינסוף זה פשוט אפס...וגם אם לא היה כך זה לא בהכרח היה גורר ש-‏4*0 זה 4.

סתם הערה, אם אריתמטיקה של חיבור (או כפל) מודולו 4 אז 0*4=4 במידה מסויימת, ובכלל, במתמטיקה כמו במתמטיקה אין דבר כזה שאין דבר כזה, הכול תלוי באקסיומות מהן אתה יוצא (ואם אתה רוצה להגיע למשהו ממש מופרך פשוט תדאג שתהיה בהן סתירה...)
חידה מאוד קלה 310938
זה לא בהכרח נכון ש אפס*אינסוף=אינסוף
למשל: חשב את הגבול של xlnx כאשר x שואף לאפס ותקבל שהגבול הוא אפס...

ויש עוד הרבה דוגמאות כאלה (למעשה יש אינסוף דוגמאות כאלה...)
חידה מאוד קלה 310939
אינטואיטיבית, לי זה נראה בדיוק ההפך ממה שהוא אמר: קח אפס ותחבר אותו לעצמו אפילו אינסוף פעמים. לא נראה הגיוני שתקבל משהו שהוא לא אפס. (אולי אפשר להוכיח את זה באינדוקציה טרנספיניטית?)

כמובן שעם גבולות זה יותר מעניין ואפשר לקבל תוצאות לכאן או לכאן, אבל זה רק כי אנחנו "מרמים" ולא באמת מחברים את אפס אינסוף פעמים, אלא מספרים קטנים מאוד אינסוף פעמים (כן, גם זו לא אמירה מדוייקת לגמרי מתמטית).
חידה מאוד קלה 313477
"אולי אפשר להוכיח את זה באינדוקציה טרנספיניטית?"

זו היתה שאלה רצינית, או הומור רטורי? (רק שאבין אם יש טעם לענות).
חידה מאוד קלה 313493
הומור, כי אני לא באמת יודע מה זו אינדוקציה טרנספיניטית. מה שכן, אני באמת סקרן: אפשר להוכיח שסכום של אינסוף אפסים הוא אפס? (באינדוקציה רגילה, דומני, אפשר להוכיח רק שסכום של מספר סופי כלשהו של אפסים הוא אפס).
חידה מאוד קלה 313494
טוב, רגע, בגישה הרגילה שלנו לסכומים אינסופיים (פשוט להתעסק עם סכומים חלקיים) ברור שאפשר לעשות את זה. אני לא בטוח שלזה כיוונתי בהודעה המקורית, אבל כרגע לא ברור לי למה כיוונתי. אם יש לך תשובה לסכומים לא בני מניה (תהיה משמעותם אשר תהיה) זה יהיה מעניין.
חידה מאוד קלה 313501
אי-אפשר להוכיח (באינדוקציה טרנספיניטית או בכל דרך אחרת) כלום על סכומים אינסופיים (של אפסים או של כל דבר אחר) לפני שעושים משהו אחר: *להגדיר* מהו סכום אינסופי. שגיאה נפוצה היא להניח שמכיוון שאנחנו יודעים מה זה a+b, ולכן מה זה a+b+c+d+e, אז הערך של a+b+c+d+e+... כבר נקבע בעבורנו ואנחנו רק צריכים לגלות מהו, או להוכיח לגביו דברים. זה פשוט לא כך: סכום אינסופי הוא פונקציה לא מוגדרת של אינסוף משתנים, ואפשר להגדיר אותה בכל מיני דרכים, יותר או פחות שימושיות, ולא כולן מתלכדות תמיד.

אם תאמר לי איך אתה מגדיר סכום של (סודר כלשהו של) מספרים - ואתה מסתמא תשתמש באינדוקציה טרנספיניטית בהגדרה - אני אוכל להשיב לך על השאלה, מהו סכום של מספר לא בן-מנייה של אפסים, כנראה גם באינדוקציה טרנספיניטית. התשובה עשויה להיות תלויה בסודר, ולא רק בעוצמה. אם אתה מכיר קצת סודרים (סודר עוקב וסודר גבולי), אתה יכול להמציא די בקלות הגדרות טבעיות לסכום של טורים וגבולות של סדרות בהקשר המתאים. אחרי שתעשה זאת, תוכל לחשב את הסכום של המון-המון אפסים (סביר שיצא אפס).

(טעות אחרת, הקשורה לפתיל הזה, היא לחשוב שכדאי להגדיר את אפס כפול אינסוף כתוצאה של החשבון הזה. מסיבות שאני חושב שאתה מכיר, לא כדאי להגדיר את אפס כפול אינסוף בכלל).
חידה מאוד קלה 313503
אני לא בטוח שאני מכיר, ואני תמיד שמח לשמוע עוד נימוקים נגד הזיווג הנלוז בין אפס ואינסוף.
חידה מאוד קלה 313557
הבעייה הבסיסית היא שכפל של שני אובייקטים הוא מושג חסר-טעם אם הוא אינו משתלב באיזשהו אופן עם מושגים אחרים, נניח שטח בגיאומטריה, או סכום ומכפלה של אובייקטים אחרים באלגברה כשמתקיימים כללים אלגבריים נוחים מסויימים (כמו חוק הפילוג). אני יכול להגדיר ש-מ' כפול ו' זה ס', אבל מה יצא לי מזה? במקרה שלנו, לא קיימת דרך להגדיר את המכפלה הזו באופן שיהיה בה איזשהו טעם אנליטי (גבול של מכפלת פונקציות, למשל) או אלגברי (להרחיב את הממשיים לשדה הכולל את אינסוף, נניח). כל אחד רשאי להגדיר את 0 כפול אינסוף להיות פאי, אבל לא ברור איזה טעם יש בהגדרה כזו.

לפעמים זה סתם נוח להגדיר את 0 כפול אינסוף כ-‏0, כדי לחסוך קצת מלל בניסוח טענות - זה קורה בתורת המידה, למשל.

<מנטרה> בכל מקרה, להתווכח על ה"ערך" של 0 כפול אינסוף כאילו שיש לזה איזשהו מובן אובייקטיווי (למשל כשמנתחים תנועה של חץ) זה בדיוק כמו להתווכח על האם מספר הנקודות במשחקון ראשון בטניס צריך באמת להיות 15. </מנטרה>
חידה מאוד קלה 313558
למה באמת מספר הנקודות הוא 15? שמעתי שמועות לפיהן פעם נתנו נקודה אחת בפעם, אבל אז המשחקים נמשכו שלושה ימים במקום שלוש שעות, והסתיימו לרוב במותו של אחד השחקנים. יש בזה משהו?
חידה מאוד קלה 313559
באיזה מין משחקים מדובר? "הסתיימו לרוב במותו של אחד השחקנים"? לא מוגזם?
חידה מאוד קלה 313561
אל תסמוך אף פעם על הודעות שצירוף המילים ''שמעתי שמועות'' מופיע בהן.
חידה מאוד קלה 313563
שמעתי את זה.
חידה מאוד קלה 313564
אולי זה היה נכון בתקופה בה הזורק בבייסבול היא רץ בעצמו אל החובט, שהיה מעיף לו את הראש עם האלה. רק אחר-כך מישהו עלה על הפטנט, אולי כדאי לזרוק כדור במקום.

בחייך.
חידה מאוד קלה 313577
השאלה עדיין עומדת: מה הסיבה שזה דווקא 15? הנימוק הוא ככל הנראה אנקדוטלי, אבל זה עדיין מסקרן.
חידה מאוד קלה (כה''ב) 313589
לא חידה שעורך הטריוויה היה מקבל.

חידה מאוד קלה (כה''ב) 313631
ובעברית:
חידה קלה מאוד 314633
עשרים תגובות ורק לי מפריע שהכותרת היא בעברית מאונגלת להחריד?
אני הופך לדודה פולנית או מה ?
חידה מאוד קלה 314838
אני לא יודע למה 15, אבל יש לי הרגשה שאת כל שיטת הספירה פיתחה אישה. גם אשתי מדי פעם מגוונת, ובמקום לקרוא לי "אפס" כהרגלה, קוראת לי "Love".
חידה מאוד קלה 313528
מה זה "סודר עוקב" ו"סודר גבולי"?
חידה מאוד קלה 313537
חידה מאוד קלה 313539
תודה.:)
72255
כמה תגובות חסרות תועלת!
בקיצור נמרץ, עבור עוצמת אניסוף ברת מניה,כמו המספרים הרציונליים או הטבעיי(1,2,3,4...) סכום של אפסים הוא אפס.

עבור עוצמת אינסוף של רצף, כמו זה הנמצא בקטעים, הסתברות ועוד, סכום של אפסחם אינו בהכרח אפס.

עכשיו לשאלה : לפי המאמר תצפיות בזמנים קצרים מאוד הנדרשים לשמירה על "הקפאה" יוצרים אלקטרונים ופוזיטרונים שהורסים את המערכת.
השאלה שלי היא האם זה קורה בעקבות שיטות המדידה והתצפית שלנו, או שיש מגבלה תיאורטית(כמו עיקרון אי הודאות, שלא אמור להיות תלוי בשיטות מדידה) לפיה מדידות בזמן קצר יהרסו את המערכת?
מקווה
אם לא ענו לך זה רק כי נעלבו ממך 94952
(אבל אני לא הייתי פה אז מה אכפת לי שלכלכת על הדיון)

קיים עיקרון אי-ודאות הנוגע למכפלת האנרגיה בזמן. בזמנים קצרים והולכים קיימת אי-ודאות גדלה והולכת בכמות האנרגיה המופיעה במערכת.

דמיין לעצמך מיתר של גיטרה באורך מטר - אם תחולל בו הפרעה בגובה סנטימטר הוא ימשיך להתנודד כך בשלווה. במיתר של עשר סנטימטר הפרעה של סנטימטר ניכרת הרבה יותר, ואילו במיתר של סנטימטר תצטרך לחולל הפרעה די רצינית כדי לגרום לו להימתח סנטימטר לגובה.

למעשה, סביר להניח שאחרי שתמתח מיתר באורך מילימטר לגובה של סנטימטר, הוא כבר לא יחזור לעצמו אח"כ. הפרעות עצבניות כ"כ מביאות את המיתר מעבר לגבול האלסטיות שלו, ואז הוא מתעוות או ניתק.

תופעות אלה משולות למה שעובר על חתיכת חומר כשבועטים בה חזק מדי. תבעט בה חלש היא תתנודד, תבעט בה יותר חזק היא תתעוות, עוד יותר חזק היא תתפרק לחתיכות.

עכשיו תתחיל לבעוט בחתיכות חזק. יותר חזק. הן ייקרעו בעצמן למרכיביהן האלמנטריים, שבעצמם יטוסו לכל כיוון מהר. מאד מהר. קרוב מדי למהירות האור מכדי שלמישהו ישנה ההפרש.

בשלב זה הרגל שלך כבר עייפה ממאמץ וקיבלת כוויות מינוריות ברחבי הגוף מרסיסים תועים. אתה נזכר במושיקו האידיוט שחטף אלומת חלקיקים אלמנטריים שחדרה דוך דרך החזה שלו ושרפה לו חצי מהריאות.

אתה קופץ למחסום תרקומייא ומרים להם כמה קוביות בטון כדי להתחמק מהרסיסים. בשוונג אתה גם שותה לרחובות כמה קוואדרופולים שיחזיקו חזק את אלומת החלקיקים בזמן שהיא נדפקת.

ואז מתחיל הכיף.

כשחלקיקים קטנים מדי נעים מהר מדי, גבול הרציפות של הכוחות האלמנטריים ביניהם נשבר. פתאום אתה רואה שהשדה האלקטרו-מגנטי הוא לא באמת רציף, אלא מורכב מהרבה ג'וקים קטנים שניתזים מחלקיק אחד עד שהם פוגעים בחלקיק אחר.

הג'וקים האלה נעים מאד מהר (במהירות האור למעשה), והם גם קטנים מאד (נקודתיים למעשה). הם כ"כ מהירים שאתה אף פעם לא יכול למצוא אותם במקום אחד - בלי שתרגיש הם נעלמים לך בין האצבעות איך שאתה סוגר עליהם.

אז מה עושים? סוגרים על הרבה ג'וקים כאלה ביחד (מה אכפת לך, ממילא הם נקודתיים). אבל אז מתחילה לשרוף לך היד, כי לא אלמן ג'וק ישראל, ואם צובטים אותו הוא ישר צובט חזרה את כל מה שהוא רואה (כל מה שמבצע אינטראקציה אלקטרו-מגנטית, האנדס אינקלוסיב).

אז היד שלך מתחילה לכאוב כי הג'וקים (בוא נקרא להם פוטונים) מחממים לך אותה. משמע משקיעים כל טיפת אנרגיה שטמונה בהם כדי לחמם אותך. ואז אנחנו כבר באמת משחקים באש, מצד שני תמיד אפשר לסגור אותם בכלי עם החתיכת חרא שניסית לפוצץ מלכתחילה.

אז עכשיו שהחתיכה שלך נעה בכמעט מהירות האור, שטף הג'וקים האינסופי מדפנות הכלי מפסיק להיראות רציף ונראה כמו שטף בדיד של ג'וקים מחוממים. לא נעים, מצד שני אם בורחים מהם מספיק מהר חוטפים רק את אלה שבאים עליך מקדימה ומהצדדים, האלה מאחורה בקושי מגיעים אליך.

אז בוא נחשוב לרגע כמו חתיכה אלמנטרית של חומר הנע במהירות האור (פחות מטר לשניה או שניים). אלקטרון למשל. הפוטונים מקדימה באים עליך במהירות עצבנית רצח, אם תעצור יתפסו אותך אלה שמזנבים בעורפך, וזה בכלל לא לשיקולך אם להאיץ או להאיט, כי מהמגנטים שמסביבך מגיעים כל הזמן נחשולים של פוטונים שדופקים אותך חזק וקדימה.

עוד אתה מקלל את היום שבו נבראת, פתאום מגיעה לאוזניך צרחה מקפיאת דם שאין לטעות בה. אין זה אלא פוזי, ידיד נפשך האהוב שהופרד ממך בלידה. אתה מסתכל לפנים ורואה אותו טס לעומתך במהירות פנטסטית, מואץ ע"י אותם נחשולים מסריחים של פוטונים חסרי (מסת) מנוחה.

לא הספקת לפלוט 'פוזי אחיייייייי מה המצבבבבבבבבבבבב' וכבר נכנסתם דוך ראש בראש במהירות האור. לא נעים.

לא נעים בכלל. ככה כמו ששניכם מדברים אתם מתאיינים ללא כלום, מוסרים חזרה ליקום את כל האנרגיה האצורה בגופכם הנקודתי.

אז ברוב המקרים כל מה שיש ליקום לעשות עם האנרגיה הזו זה עוד שני פוטונים חסרי השראה. אבל מדי פעם התנגשות כזו מתרחשת בנוכחות משקיף חיצוני של האו"ם, איזה אטום נורבגי עם כומתה אלקטרונית מדוגמת שפתאום עפה לו לקיבינימט דקה לפני המסדר. ממש בוגר מצדכם להתאיין לו ככה באמצע השלשות.

ואז מתחיל הפאן. יש מאין צריך להמציא כומתה חדשה, או למצוא את הישנה, או לעכב את הסמלת עם איזה יון וירטואלי כוסון. אז יאללה, היישר מתוך הואקום יווצרו לך סילונים של חלקיקים וירטואליים מזווגים (פוטון ופוטון, אלקטרון ופוזיטרון, פרוטון ואנטי-פרוטון, וכו').

כעיקרון אם לא תשלם לכל וירטואון כזה מלגת קיום ראויה, הוא יתאיין עם הבן-זוג לפני שתספיק לומר 'פלוגה ח' מוכנה ומזומנה לקבלתך'. יש לך משהו כמו 10^-35 שניות לשים להם ביד ומיד מספיק אנרגיה כדי להצדיק את הופעתם מן הריק, אור אלס הם מתאיינים על המקום עם כל הבא ליד, אלקטרונים מאטומים נורבגים אחרים אינקלוסיב.

מסקנה: אם אתה עומד למסדר, אל תתחיל לשחק עם הרגל בחול. מי יודע אם לא תעורר בטעעעות איזה זוג אלקטרון-פוזיטרון או שניים שיתאיינו לך על קצה הפרמשטק ואז גוד לאק סטאיינג זקוף ומתוח עם נשק מדוגל.
חרא קדוש! 94956
יש לי הצעה טובה יותר:
קח מישור אינסופי (יש המון כאלה, למעשה, אם תירק בפקולטה סבירה למתמטיקה, תפגע בכמה כאלה), חורר אותו, ומשוך את החור לאינסוף - קיבלת גליל אינסופי. לא מעניין - קרע ממנו עיגול, וחבר את כל המעגל יחדיו, ותקבל ספירה. עתה, חורר אותו, ומתח את החור הנ"ל לאינסוף - קיבלת מישור אינסופי, שוב. עכשיו, משהו מתוחכם יותר: חתוך ריבוע, חבר זוג צלעות נגדיות, ואז חבר את שני המעגלים הנוצרים - קיבלת בייגל. אכול אותו לתיאבון.

רואה? גם משעשע, גם מתמטי, וגם טעים. (במיוחד עם ריבה.) הכי חשוב: אין מסדר מחר בבוקר.
דגמת את המישור, נתת לי הקשב, 30ש 94976
לא שכנעת אותי. עד שכל ה"פיסיקאים" של תורת המיתרים לא יואילו בטובם לתת תחזית נסיונית חד-משמעית *אחת* (אחת!) שניתן לבדוק באיזשהוא בונקר ביקום *הנראה*, אתה תשמור את הטורואידים שלך מנויילנים ומזוודים יפה בימ"חים שבין הר יותם, הר צפחות ונמל עקבה.

ודיר באלאק שאני לא אשמע מחוסייני מילה רעה על איך שאתה מתייחס למישורים האינסופיים ש'ך. אחרת אתה עולה אצלי על טיל ישיר מראשית הצירים לאין-סוף, ומתחנן עד קץ הימים להיתקע על איזה קוטב כפול (או שארית).

אתה הבנת אותי נאורי?
דגמת את המישור, נתת לי הקשב, 30ש 94977
אני מכיר לפחות "פיזיקאי" אחד של תורת המיתרים שישמח להפוך אותך לחלקיק וירטואלי עם אנרגיה שלילית אם לא תוריד את המרכאות שלך בזמן קצר יותר מזה שלוקח לאור לעבור את רדיוס פרמי.

לא יודע איזה פטריות אכלת שם בערש התרבות, אבל אני ממליץ לך בחום (8^10 קלוין) לחזור למרחב-זמן שלנו.
עלבונות קיבלתי, תחזיות נסיוניות? 94980
עובדים על זה 94986
ובינתיים יש הטוענים שקיום הגרביטון גם הוא משהו.
גרביטון זה משהו אחר 94992
זה פסדר שיש איזה ג'וק היפותטי שצריך מערך נורא נורא גדול של גלאים בשביל למצוא אותו. אתה יודע מה, זה אפילו מתקבל על הדעת שלא יוכלו לתת תחזית תיאורטית ספציפית לגבי מסה או ספין. אממה, החברים המיתורטיקנים שלך לא מוכנים לומר כלום כרגע. נגיד הם אומרים לי 'שים שמונים מיליארד דולר באדמה עשרים שנה ותמצא לי מיתר קטן' ואני שם מאה שמונים מיליארד ולא מוצא דבר, מבחינתם כל תורת המיתרים עדיין תקפה באותה מידה. זה לא פיסיקה תיאורטית, זה מתימטיקה פסאודו-ישומית. החברים חמומי-המוח שלך צריכים לעבוד קשה כדי להצדיק את מימון העפרונות והאימיילים שלהם מחשבון משרד המדע (והיו צריכים לעבוד קשה שבעתיים ביום בו היו מתיימרים להיות נסיונאיים). פה זה לא רוסיה, תתחילו להציג קבלות.

ואם היה לך אימייל הייתי מביא עליך טביעת דיבה על ההשמצות לגבי פטריות. בקושי שמפיניון ראיתי שם, וגם זה בניוקי.
גרביטון זה משהו אחר 94995
תתחיל מטביעת אצבע, אח"כ תעבור לדיבה. איך אתה יכול לתבוע אותי אם אתה מודה שאכלת שמפיניון? מה זה שמפיניון, עז?

והחברים שלי עובדים קשה, הסר דאגה מליבך. אם יצליחו או לא, זאת שאלה פתוחה, אבל שאלה בעלת חשיבות.
מוות בהטבעת אימיילים עצבנית 95005
ואתה אפילו את האצבע שלי לא תראה, למה התיבת דואר הוירטואלית שלי כבר יומיים לא מגיבה, ואם מישו לא נרתע מהחזיר הפשיסטי הגדול והחליט להיענות להזמנה שלי למפגש איילים אצלי בשוקת, אז אני בכלל לא יודע מזה עדיין.

אז ככה, יום חמישי אני בחיפה, ואח"כ אושיק לוי מארח את ברי סחרוף, מיכה שטרית, קורין אלאל ולאה שבת, אי לכך ובהתאם לזאת המפגש אצלי נדחה ליום שישי או שבת בכניסה לפארק רעננה, בוא נגיד בשלוש אחה"צ.

אני אביא תמונות ואבטיחים, אסף מסונג'ר בזאת להביא גבינה בולגרית טרייה, עפרונית מסדרת לנו חומוס יפואי ויובל מקפיץ לנו חומוס כרובי. שמעון מקבל רשות להביא ממטעמיה של רווה, ערן מקפיץ לפה את גלעד ומשאיל מא.ב. יהושע כמה קרפעלך חמים ממעיין הבירה.

טל יכול להביא את אביב, כליל את ברקת ואסתי את מיץ. גלעד יתפוס טרמפ על הטוסטוס של לוינסון, מאור ואיזי על השתיה ורון על התקליטייה.

כדאי מאד שירדן וסמיילי יצדיקו את הגעתם עם איזה מופלטה נאה או מינימום בקלאווה חמה מדליית אל כרמל.
מנדלסון מקבל אישור לסיור רכוב אח"כ בשמורת חרוצים או שדמות יד-חנה, גילית ואשר יכולים רק להביא לנו איזה קיגל וללכת לפני שנהיה שבת, עודד יכול להקפיץ את דובי ונטע ואלכס יכול לקנא.

הולך?
צר לי לאכזבך. 95009
ואת ברקת. אבל אני אהיה באילת מיום רביעי, בערך, ובכלל, אין לי רכב, אני לא יכול להביא אף אחד משום מקום לשום מקום.
אם אתה רוצה לעשות משהו מצומצם, מחר, בטכניון או באיזור חיפה, אולי אפשר לארגן משהו בהשתתפותי - אני בטוח שעדיף לך לוותר עלי, לטובת אנשים מעניינים הרבה יותר.

בכלל, יש לי בחינה בתרמו עוד כשבועיים, מה אני עושה פה?
מוות בהטבעת אימיילים עצבנית 95015
אני עם כליל (כלומר מאכזב).
מועד ב' בפיזיקה קוונטית 2 ביום ג' הבא.
מוות בהטבעת אימיילים עצבנית 95035
גם אני כיוון שאין לי קיום ממשי נבצר ממני להשתתף במפגשים חברתיים.
מוות בהטבעת אימיילים עצבנית 95051
מבטיח לך שאם תגיע אני אקרא: "יו, הנה פופק!".
גם אני במאכזבים. 95337
אבל סתם כי לא בא לי, וכי אני לא חושבת שזה באמת יאכזב מישהו.

_______
העלמה עפרונית, רוצה לציין שוב, שהיא כבר לא גרה בתל-אביב.
חזרנו הביתה, להורים. שום חומוס יפואי ושום נעלים. אתם מוזמנים להפסיק לזרות לי פצעים על המלח.
רואים שבאמת היית בחו''ל הרבה זמן 95088
שמורת רכס חרוצים עלתה באש בתחילת יולי ונשרפה כמעט כליל.
הספקתי לבקר לפני כשבועיים - כחלק מהמרתון לסיום הסקר הגדול בשרון הדרומי.
מכל מקום, הרעיון נחמד ואם תהיה יותר התעניינות מצד הקוראים אז אני אבוא גם.
ואגב הכניסה לפארק רעננה עולה כסף לכל מי שלא גר ברעננה.
יאללה מסיבה 95338
מגיעים נכון לעכשיו:
ב. ערן, ד. גלעד, ג. מאור, ג. ליאור

מבריזים בודאות:
נ. יזהר, נ. כליל, ב-י. רון, מ. אלכסיי, כ. טל, ע. עלמה,

לא סגורים על עצמם:
מ. עמית, ג. שמעון, ר. יובל, ב-ד. עודד, מ. נטע, פ. מיץ, נ. ירדן, א. אייל, ש. אסף, ג., א. וס.

עב"מים:
ק. דובי, ל. חיים, י. אייל
יאללה מסיבה 95356
ליאור, אם תודיע את המקום, היום והשעה המדויקים אולי גם אני אגיע. (הבנתי שהדואל שלך לא פועל עכשיו ולכן פניתי אלייך כאן.)
פרסמתי הכל בארץ הצבי, אך צונזרתי 95368
מקום: הכניסה לפארק רעננה
זמן: יום שישי, 15:00 (אפשר גם 14:00, לא מזיז לי)

הוראות הגעה:

מהרצליה ודרומה - סעו לרעננה בדרך ירושלים. רמזור ראשון שמאלה. מצאו חנייה. לכו לשער. אל תיכנסו עדיין, החלו לנופף בעצבים זה לזה.

מרעננה וצפונה - חצו את רחוב אחוזה לכל אורכו לכיוון מערב. חלפו על פני דרך ירושלים מן הנתיב הימני. מצאו חנייה. לכו לשער וגו'.

מה להביא: שתיה קלה, כיבוד קיצי, מצלמה, מצברוח, דורונות ומגדנים. אפשר להביא קוים מנחים לדיון או נאום, אין להביא חומר פרסומי, לפטופים או נשק חם.

שאלות ומאנות: כאן או לתיבת הדואר של ערן בלינסקי, כיוון שהדואל שלי מת.

כן רבותיי, כרגע אין לי תעודת זהות, דרכון, טלפון סלולרי, יתרה בבנק, דואל רלבנטי או כובע אופנתי. אפילו האיציק שלי (45568012) גונח באופן בלתי נסבל לאחרונה, אבל אני אופטימי.
נחטפתי ברומא 95412
אולי נוותר על קוים מנחים לדיונים ונאומים? מה קרה, אי אפשר סתם מפגש חברתי?

ולא, בבקשה אל תפציצו לי את תיבת הדואר, גם ככה מדור החדשות יתום לאחרונה, חוץ מפרצי אשמה שפורעים בי בתוך ים העבודה שבה אני עכשיו שקוע. יום שישי, תתחילו להגיע ב 14:00, אנשים יגיעו (אני מקווה שהרבה), סבלנות. בינתיים תעסיקו את עצמכם ותרכיבו איילים קוראים ממחטי אורן (אם יש שם אורנים).
יאללה מסיבה 95390
כיליד רעננה אני לא יכול להרשות לעצמי להעדר מהמפגש!
הבעיה היא שאני עובד עד 16:00
לכן אני אגיע לאחר מכן.
אני אגיע. 95448
יאללה מסיבה 95450
ד. גלעד מבקר במדינת התועבה ושוב תורם לפשעי המלחמה שלה ע"י תשלום מיסי נמל? אני מחכה לו בהאג.
מוות בהטבעת אימיילים עצבנית 130656
אולי הגיע הזמן לארגן פגישת אייל נוספת? הייתי מציע מקום לידי, אלא שיש לי הרגשה שזה ימנע מאיילי הצפון להגיע, והאיילים ה02ניקים הם, בספירה אחרונה, בסה"כ ארבעה. רעננה באמת נשמע הוגן גאוגרפית. פארק אמרת?
זה דווקא כן פיסיקה תיאורטית 95209
רק בשלבי פיתוח.
זה דווקא כן פיסיקה תיאורטית 95210
אז אולי שישימו על האתר שלהם איזה מין שלט Under Construction, רצוי עם תאריך יעד (כמו בכבישים של מע"צ), כדי שנדע לחזור אחרי הפתיחה החגיגית.
אין כאן הודעה 95212
מדע זה לא בניית כבישים 95216
אי אפשר לתת תאריכי יעד, אפילו אי אפשר לומר שהפיתוח יסתיים בהצלחה (=תיאוריה מדעית ברת הפרכה שנותנת תחזית ומתאימה לתוצאות התצפיתיות הקיימות).
אולי תתעניין ב: 130644
(גם לאחרים מותר להציץ)
גרביטון זה משהו אחר 432077
התפתחויות מסויימות:

(לקורא ראובן: אני יודע, עוד מוקדם לחגיגות)
גרביטון זה משהו אחר 432085
1) המאמר(לאייל) כבר בכתיבה.
2) כדאי לך לקרוא ביתר עיון את הלינק הראשון שהבאת. המאמר הזה לא סתם בודק האם "תורת המיתרים" נכונה. הוא בודק האם *יחסות פרטית* נכונה. אתה מוזמן לנחש מה יהיה יותר מרעיש- כישלון של תורת המיתרים או כישלון של תורת היחסות הפרטית.
גרביטון זה משהו אחר 442314
1) דיון 2832
מיתרים? 94985
עכשיו בלבלתני. הטורואידים של מי? תחזיות נסיוניות? מנויילנים? אתה מדבר על פיסיקה של אנרגיות גבוהות, ואני על טופולוגיה.

אם כי, בסוף, אתה חוזר אל הטופולוגיה, מתחום תורת הפונקציות המרוכבות.

בכל מקרה, נאורי תקרא לי כשאני אהיה פקוד שלך, ולא שניה אחת קודם, מר גולגר.

אה כן, אם אנחנו כבר כאן, איך קוראים בטופולוגיה לצ'ופצ'יק של הקומקום? סביבה של האינסוף.
קננגיסר 94987
בטופולוגיה, אמרתי, בטופולוגיה! 94998
אם לא ענו לך זה רק כי נעלבו ממך 95156
איפה היית כשאני למדתי פיזיקה?
בש''ש, אני מניח 95170
אבל תודה (-:
בש''ש, אני מניח 95336
תהיתי לגבי זה- עשית שנת שירות, או שסתם היית בבטן של אמא שלך?

________
העלמה עפרונית, בתהיה שהתעוררה אצלה אחרי שגם היא השתמשה בביטוי הזה.
אני אמנם לא פיסיקאי או מדען אבל 95341
הפרדוקס הזה מסתכל על עולם חד מימדי שבו החץ כול לנוע רק בכיוון אחד, המקרה כנראה(!)תקף גם בעולם דו מימדי, אך בעולם תלת מימדי כמו שלנו המקרה הפוך.. החץ תמיד עובר את החצי מרחק, ציירו את החץ ואת הנקודה אליה הוא אמור להגיע ותתחילו לחלק, אם תעשו זאת באופן תלת מימדי תגלו שבנק' מסוימת החץ, מזווית אחת, לפני הנק' ואילו מזוויות אחרת כבר עבר את הנק', עולם תלת מימדי תמיד נמצא בתנועה, למעשה, אנחנו שמים לב לזה שעולמנו אף פעם לא נמצא במנוחה באיזושהי רמה, לדוגמא-הסלע נראה דומם אבל מבחינה אטומית הוא בתזוזה מתמדת,איטית אך בלתי פוסקת.
ושאלה:- בניסוי המבט צוין שזה נעשה בשתי רמות אנרגיה, אם הבנתי נכונה המצב מדמה עולם דו-מימדי האם הבנתי נכונה?
ובכן 95407
1. הקשר בין הפרדוקס המקורי של זנון לבין התופעה שחקרו מדעני מכון וייצמן הוא סיפורי בלבד. מסתבר שחלק מהעבודה של כתבנים מדעיים היא למצוא גם קישורים כאלה.
2. לא צריך להיות שום הבדל בפרדוקס של זנון (או בפתרונו) בין עולם חד-ממדי לעולם דו- או תלת-ממדי.
3. שתי רמות האנרגיה בניסוי מדמות עולם דיסקרטי (עם שתי רמות אנרגיה, כאמור). זה אפילו פחות מאשר תנועה בעולם חד-ממדי (שבו יש רצף של מקומות).
הפרדוקס של וייצמן 95446
דבר ראשון תודה.
1. מסכים ואשמח גם ליותר מידע בנושא הניסוי
2. יש הבדל ואתה מוזמן לנסות, אם הנק' שאתה אומר היא שהפרדוקס לא אמור להיות מושפע מנושא המימד, אז הפרדוקס שגוי מראש מכיוון שמרחב חד-מימדי שונה ממרחב דו מימדי וכן הלאה וכאן מדברים על תפיסת מרחב, במרחב חד מימדי אין סיכוי שהוא יגיע למצב של הגעה לנק' ואילו בתלת מימדי אין מצב שהוא לא יעבור אותה(לפי הסברי לעיל). ד"א אני קיבלתי את סיפור החץ בתור סיפור הרץ האולימפי היווני, מה המקורי?
3. גם פה אשמח מאוד להרחבה.
הפרדוקס של וייצמן 95729
1. על הניסוי (חישוב, למעשה) שהוזכר במאמר אני לא יודע דבר מעבר למה שכתוב בו.

2. אנא הסבר איך המימד משפיע על הפרדוקס, שכולו ממילא חד ממדי. למה אתה מתכוון בכך שאפשר "להסתכל מכיוון אחר", ואיך זה משפיע על הגעת החץ למטרה?
שני פרדוקסים מפורסמים מיוחסים לזנון: אחד עוסק בתנועת החץ (כדי להגיע מכאן לשם החץ צריך לעבור באינסוף נקודות בדרך - מכאן שאין תנועה), והשני באכילס (הרץ האולימפי?) והצב (אכילס אינו יכול להשיג את הצב, כי באינסוף נקודות זמן הוא טרם עשה זאת).

3. לפי מכניקת הקוונטים חלקיק יכול להמצא רק במספר דיסקרטי של רמות אנרגיה (1,2,3,...) והוא "מעדיף" ליפול תמיד לנמוכה ביותר. כדי להרים את החלקיק לרמת האנרגיה הבאה צריך, ובכן, להשקיע אנרגיה - והניסוי עוסק בשאלת הנפילה הספונטנית מול הצופה (שעצם ההתבוננות שלו מוסיף למערכת אנרגיה).
הפרדוקס של וייצמן 95775
ההסבר:
א. הפרדוקס בחד מימד:- דרך ההוכחה של האין תנועה של החץ שאני ראיתי הייתה שכדי שהחץ יגיע למטרה הוא צריך לעבור את חצי המרחק ובשביל לעבור את חצי המרחק הוא צריך לעבור את חצי המרחק לחצי המרחק וכן הלאה...
בחד מימד הוא לא מצליח לעבור.
ב. הפרדוקס בתלת מימד:- בתלת מימד יש לך שלוש צירים כך שבעצם החץ אינו כפוף לכיוון תנועה אחד ואם תעשה את חישוב חצי המרחק תגלה שבאיזשהו שלב החץ יעבור מעל,מתחת או מצידי הנק' של חצי המרחק ובמס' אופציות יגיע למטרה המיועדת. אני יודע שאין פה שימוש במס' ובדוגמאות אך כמו שציינתי קודם, אינני מדען. אם אתה רוצה לבדוק זאת קח חץ וקח מטרה וסמן ביניהם את נק' החצי מרחק.

בעניין אכילס והצב, המקרה איננו פרדוקס, אתה יכול לבדוק את זה.

בעניין רמות האנרגיה- תודה,הבנתי את ההסבר, פשוט אני לא מבין איך בהסתכלות ניתן להוסיף אנרגיה.
הפרדוקס של וייצמן 95779
א. אם השאלה היא על חץ שזז מA לB בקו ישר אז השאלה חד מימדית פר הגדרה. לא משנה כמה מימדים יש לך.

ב. כן, כל הפרדוקסים האלה נפתרים או תוך שימוש בחדו"א או על ידי דיסקריטזציה של המרחב.

ג. הסתכלות בחלקיק פרושה שליחת חלקיק אחר וצפיה בתבנית הפיזור שלו. פעולה זו מוסיפה אנרגיה.
הפרדוקס של וייצמן 95784
אני חושש שהיה כאן היפוך. אכילס והצב הוא הפרדוקס בו אכילס לעולם לא ישיג את הצב, משום שכדי להשיג אותו, הוא צריך קודם להגיע לנקודה שבו הצד נמצא עכשיו, אבל עד שהוא יגיע, הצב התקדם קצת, וכך שוב הוא צריך להתקדם ושוב הצב מקדים אותו וכו'.

פרדוקס החץ, כמו שאני מבין אותו, הוא שכדי שהחץ יגיע מהקשת אל המטרה, הוא צריך לעבור דרך אינסוף נקודות, כשהזמן המוקצב לו כדי לעבור מנקודה לנקודה הוא אפס (המרחק המלא לחלק לאינסוף נקודות). יתר על כן - בכל "נקודת זמן" (אחת מאינסוף הנקודות) החץ נמצא בהכרח במנוחה (כי זה אפס זמן) ולכן אין שום שלב שבו החץ יכול ממש *לנוע*.
לאחר קריאת כל התגובות.....סתם הערה 126943
אם באמת החץ נע כל הזמן חצי מהמרחק, או אכילס אשר אינו משיג את הצב....
אין לי בעיה מחר לעמוד מול כיתת יורים ואפילו להמר על התוצאה :-)

אבל.......
אני ריאליסט, מה לעשות
אני מאלו ששותים את הכוס אשר האופטמיסט והפסמיסט בוחנים

והמציאות מראה שהחץ מגיע בסופו של דבר למטרה , ונכון שאפשר בדרך האקסטרפולציה למרחק ששואף לאפס להגיע לאפס, מתחת למרחק בין אטומים.

בברכרה
ערפל
לאחר שנים מספר... 250956
אומנם לא קראתי את כל ההערות אבל קיבלתי רושם כללי. דבר בסיסי שכולכם מתעלמים ממנו הוא שמדובר בפילוסופיה. בניגוד למדע ששואל איך העולם עובד, הפילוסופיה שואלת מדוע ולמה? פרדוקס זנו הוא תיאור של מטה-מציאות ואני מניח שזה מה שעושה אותו לפרדוקס. איש מאתנו אינו אלוהים... אם יש כזה, ואיש מאתנו לא יודע מהי האמת. זנו טען שהחושים מטעים אותנו ואפשר לשלוח אתכם כרפרנס לדארט ב-"מחשבות" שאת משפטו "אני חושב משמע אני קיים" הוא מפרש בקצרה כך: איני יודע מי אני או מה אני, ייתכן שאני מחשבה וייתכן שאני אדם בשם דקארט. כך או כך, הדבר הוודאי הוא שאני קיים. ומלבד זה... הכל מוטל בספק (לא מטרת הכתיבה שלו אבל מסקנה מאוד חשובה...). את הדבר הזה זנו טען בספקו מערכת חלופית.
המשך 250991
פרדוקס זנו הוא לוגי וצריך להפריך אותו באופן לוגי. בין אם הניסוי המתואר ראשון הוא המקובל, או שמא זה שמפריך אותו התקבל, הרי שלמעשה הם ניסויים על בסיס מציאות הנתפסת על ידי החושים, או מכשור שהוא הרחבה שלהם. מכאן שניסויים כאלה, למרות שהם מעניינים (וחלק ממטרת הפילוסופיה זה לגרום להם), והדיון הפיזיקלי בהם מעניין, אינם מוכיחים או מפריכים דבר בנוגע לפרדוקס לוגי.
המשך 251115
מה בעצם הפרדוקס בפרדוקס של זנון? חשבתי שהבעיה היחידה איתו נוצרת מאחר שה"מציאות" שהוא מתאר לא מתאימה למציאות שאנחנו מכירים (הוא טוען שתנועה אינה אפשרית ובמציאות שלנו אנחנו יודעים שתנועה אפשרית), ולכן רק מעיד על תפיסה לא שלמה שלנו של המציאות, ועל כך שהנחות היסוד שעומדות בבסיס ההסקות שלו אינן מתאימות למציאות שלנו.

כלומר, אלמלא הייתה לנו המציאות הפיזית, מה שזנון מתאר כלל לא היה פרדוקס.

תקן אותי אם ולמה אני טועה.
לא הייתי אומר טועה... 251157
הפרדוקס של זנון נובע מהקביעה של פרמנידס שהכל אחד. תדמיין עולם אפשרי בו הזמן/מרחב לא קיים. החיים הם אוסף של נקודות כמו חוט על שולחן. כל רגע ורגע קיים בו זמנית. למעשה מין תפישה של אל זמניות. לולא הייתה לנו תפיסה של זמן הרי שלא היה כאן פרדוקס. ייתכן שהתפיסה שלנו היא אשלייתית. למעשה, הפרדוקס מאלץ אותך לבחור בין תופעת הריבוי (ריבוי בזמן ובמרחב - תנועה ואירועים) לתופעת הייחוד, בין השלם לחלקיו. יום, קאנט (שפתרונו הוא בקצרה מה שכתבתי) והגל הציעו פתרונות משלהם. יום בחר בחלקים, הגל טען שההפרדה שקרית. כיום יש השקפה אחרת שנובעת ממתמטיקה ומדעים וכוללת את מה שגילו במהלך המאות על מספרים (יש לנו הרבה יותר סוגים ממה שזהנו הכיר), גיאומטריה וסדרות. אני מניח שלו הייתי במקום זנו הייתי מתעקש שהפרדוקס לא נפתר כי כאשר סדרה שואפת לגבול אין היא מגיעה למעשה לגבול אלא באינסוף. ומבחינת מטה-מציאות זה לא פתרון אלא התחמקות. בסכומו של יום, זנו טוען שהמציאות היא אשליה וקיומנו אינו תלוי בזמן מרחב... למיטב הבנתי. לך תוכיח :)
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 251160
זה עם אכילס והצב? כי זה, בפשטות, לא פרדוקס בכלל, ולא צריך גיאומטריה והתכנסות בשביל זה.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 251165
איך זה "לא פרדוקס", בלי טורים והתכנסות?
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 251178
איך זה כן? הטיעון לרוב הולך ככה:

"עד שאכילס יגיע ל-A, הצב כבר יהיה ב-B

עד שאכילס יגיע ל-B, הצב כבר יהיה ב-C

עד שאכילס יגיע ל-C, הצב כבר יהיה ב-D

...אכילס לא ישיג לעולם את הצב." זה לא פרדוקס, זה non sequitur. הטיעון מציג אינסוף דוגמאות למצבים בהם אכילס יהיה באמת מאחורי הצב, שזה טוב ויפה אבל איך מסיקים מכך שהוא לא יהיה לפני הצב בשעה עשר וחצי, בנקודה Z? איפה הפרדוקס? אין פה דקויות של טורים מתכנסים, יש פה טיעון שלא מראה את מה שהוא טוען שהוא מראה.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 251186
קרא את ההגיון שהצגתי בתגובה 251185. אם מתעקשים להתעלם מהסתירה החשבונית, ומנחים שהטור המדובר אכן מתבדר, הפרדוקס מראה בדיוק את מה שהוא טוען שהוא מראה: אכילס לא ישיג את הצב.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 251391
צריך לזכור שבתקופתו של זנון, הרעיון של "טור מתכנס" היה בלתי נתפס. הסופי הרי אינו יכול להכיל את האין-סופי. מרגע שזנון הצביע על אינסוף דברים שצריכים לקרות *לפני* שאכילס ישיג את הצב, דברים שקורים בזה אחר זה, הוא הוכיח שאכילס לעולם לא ישיג את הצב.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 251424
את הקושי האינטואיטיבי אני מבין, אבל לא את הקשר שלו לטורים מתכנסים. אם מישהו באמת סבור שאינסוף מאורעות מוכרחים לקחת אינסוף זמן סתם כי יש אינסוף מהם, איך ההגדרה המתמטית של טור מתכנס אמורה לעזור לו? יש אפילו יותר מהגדרה אחת כזו (סכומי צ'זארו, למשל). ההגדרות הללו הן מתמטיות, והן באות למלא חלל מתמטי: עד שלא הגדרת בדיוק מהו סכום של טור, אין לסכומים אינסופיים שום מובן. אבל מי שיש לו בעייה עם הסיטואציה הפיזיקלית, למה שיסכים בכלל שההגדרה הפורמלית קשורה אליה?

אני חושב שמי שסבור שהנימוק של זנון אכן מצביע על איזושהי בעייה, צריך לעזור לו לתקן את האינטואיציה הזו: כשאני חובט בכף ידי על השולחן, היד חלפה בדרך באינסוף מקומות שונים, כלומר קרו אינסוף מאורעות מהסוג "היד שלי היתה פה", אבל אין שום סיבה להסיק מכך שלקח לי אינסוף זמן לעשות זאת. לשון אחר, גם אם יש אינסוף היגדים נכונים מהצורה "בשעה תשע ושלושים ועשרים שניות ועוד אחד חלקי שבע עשרה השנייה, היד שלי היתה מרוחקת מהשולחן", אין שום סיבה להסיק מכך שהיד שלי לא היתה צמודה לשולחן בשעה תשע ושלושים ועשרים ואחת שניות. זה נראה לאלמוני אינטואיטיבי? מצויין. זה נראה לפלמוני לא אינטואיטיבי? הבה ננסה להבין את שורש הקושי של פלמוני, אבל אני אישית לא הייתי מתחיל מ"סכום של טור אינסופי מוגדר כגבול, אם יש כזה, של סדרת הסכומים החלקיים...".
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 251998
1. בטור בעל איברים חיוביים, כל שיטות הסומביליות מגיעות לאותה מסקנה (אם הטור חסום הוא מתכנס, אחרת לא).

2. נניח שאתה פוגש את זנון, ורוצה לפתור לו את הפרדוקס. הוא מסביר לך בלהט שהסופי אינו יכול בשום אופן להכיל את האינסופי (ולכן אין תנועה). איפה היית מתחיל?
(אני הייתי מתחיל בהגדרה של סדרות מתכנסות).
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252079
1. חיוביים: בהחלט.

2. (אני לא). הייתי מצייר קטע, ושואל: כמה נקודות יש עליו? יש מכאן כל מיני המשכים אפשריים, אבל מט בשלושה מסעים לכל היותר נראה לי ודאי.
(זה הייתי אני גם קודם). 252080
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252088
זה כבר נשמע מוזר. זנון לא שאל את עצמו בדיוק את אותה שאלה? הרי לפני שזרקו את אותו תלמיד סורר לנהר, הפלטוניסטים "הבינו" שיש התאמה בין מספרים רציונליים לנקודות שעל הקטע, ובלי ספק ידעו שיש אינסוף מספרים רציונליים (אחד-חלקי-n למשל) ושהקטעים הם סופיים.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252097
אז איך הוא מסביר בלהט שהסופי אינו יכול בשום אופן להכיל את האינסופי? לא הבנתי את מה זנון קיבל ואת מה הוא דחה. אם בזה (קטע סופי כולל אינסוף נקודות) הפרדוקס, אז: 1. אין צורך לסבך עוד יותר עם "תנועה", 2. איך ההגדרה של סדרות מתכנסות עוזרת?
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252120
כנראה שהפרדוקס קשור יותר למהות הזמן מאשר לאינסוף. (הפרדוקס הוא שאפילו כשיש לך מספר סופי של דברים לעשות, לא תמיד יש זמן לכולם).
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252129
1. אז זנון היה מסכים שבקטע יש אינסוף נקודות, אך כופר בכך שבדקה יש אינסוף רגעים?

2. איך ניתן לבאר קשיים במהות הזמן ע"י ההגדרה של סדרות מתכנסות?

(שני סימני השאלה הם מהסוג התמים, לא הרטורי).
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252216
1,2. אני לא בטוח שהבנתי את ההוא-אמינא של זנון.

(אני מקווה שלא החמצת את התירוץ הנאה שאני מכין לך, בסוגריים של ההערה הקודמת).

(עוד הערה: איך זה שיש רק סוג אחד של סימן שאלה?).
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252192
בהחלט הפרדוקס קשור למהות הזמן. לפי זנו/פרמנידס הזמן לא קיים בפני עצמו אלא כתלות בתודעה ובחושים.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252194
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252214
אתה יכול לנסח את הפרדוקס של החץ מנקודת המוצא הזו?
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252357
כל הפרדוקסים של זנו הם גרסאות לאותה הבעיה. הפרדוקסים של זנו מנסים להבהיר את האמירה של פרמנידס על אי שינוי. פרמנידס אומר כך:
1. היש ישנו והאין איננו.
2. אין משהו, יש הכל או לא כלום.
1. די ברור כי כיצד ניתן לומר שמשהו שאיננו קיים?
2. מדגיש את אותה נקודה... אם יש משהו, אז יש משהו אחר וביניהם יש מעין אין. (או שהם ממלאים את הכל ואז הם הכל ובלתי ניתנים להבדלה, או שלא ואז יש אין).
לזה אתה יכול לקשור את האמירה של דקארט שאומרת שיש משהו - מכאן שיש הכל.
במילים פשוטות התיאוריה היא תיאוריה של גשטלט, השלם ולא החלקים. הפרדוקסי של זנו מפרקים את השלם לחלקים ומראים את הגיחוך שבכך. איני יודע לאיזה מהפרדוקסים של החץ אתה מתכוון, אבל הכי קל לי לדבר על אכילס והצב. תדמה שהיית מצייר את כל תהליך המירוץ של אכילס והצב ברצף. נניח שהיית מסוגל להבחין בפרטים ברורים במריחה המתקבלת, הרי שהיית רואה 3 מצבים יחסיים. המצב הראשוני - אכילס מפגר אחרי הצב. מצב שני - אכילס והצב כתף אל כתף, מצב שלישי- אכילס עקף את הצב שנמצא כעת מאחוריו. זנו בא וטוען שהציור המתקבל הוא המציאות. אין אלה שלושה מצבים נפרדים כמו שנראה לי ולך (ולזנו) אלא מצב אחד - כמו ציור אחד. כך שכל שינוי כמו לידה, מיתה, עליית אימפריה, נפילתה וכו' הוא כזה רק משום שהתודעה תופסת אותו ככזה. למעשה כל הדברים מתקיימים בו בזמן ומכאן שניטלת המשמעות מהמילה זמן. הזמן לפי זנו אינו קיים ואם הוא קיים הרי שאינו משפיע על המציאות שלנו, בדיוק כפי שהתמונה התלויה אצלך על הקיר הייתה אותה תמונה לפני 10 דקות היא אותה תמונה עכשיו ותישאר אותה תמונה בעוד מיליון שנה (בהתעלם משינויי מיקרו של הרכב המולקולות בתמונה שלך שמנקודת המבט של זנו ממילא לא קיימים.). הזמן לפיכך הוא המצאה של התודעה שהיא רק נקודה (או אפיון משני של נקודה) בציור.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252368
כלומר: זנון אומר שאפשר לחשוב על העולם בארבעה ממדים, כולל מימד הזמן, בבת-אחת? מהבחינה הזו, אין "תנועה", אלא חץ שנמצא ב{נקודה A בזמן 0} וחץ שנמצא ב{נקודה B בזמן 1}; {אכילס אחרי הצב בזמן 0}, {אכילס כתף-אל-כתף עם הצב בזמן 1}, {אכילס לפני הצב בזמן 2}.
האמנם?
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252428
למעשה אין צורך בזמן. הוא פיקטיבי. לפי זנו. החץ הזה - תודעה מוגבלת שלא מסוגלת לתפוס את כלל התמונה.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252456
איך הזמן יכול להיות פיקטיבי, ומה שומר שהחץ לא יהיה בכל המקומות בבת-אחת? האופן שבו אני מבין "פיקטיבי" הוא שמשום מה זנון רוצה להתבונן בהיטל התלת-ממדי של העולם הארבעה-ממדי שהרגע הגדרנו.
אני לא רואה את הקשר לתודעה (אפשר לתת לזנון עצמו לשחק את תפקיד החץ).
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252624
אתה מבין היטב. הזמן לטענת זנון לא קיים. החץ הוא שיוצר אותו. אם תקרא לחץ אלוהים/יקום תוכל לטעון שהוא בכל המקומות. זנון טוען שמה שאתה קורא לו הגדרה 4 מימדית היא שקרית. המימד הרביעי אם קיים כמהות הוא התודעה ובוודאי שאינו משקף את המציאות כולה. הפרדוקס מציג את הגיחוך בהתייחסות לחץ כזה כהתגלמות המציאות. יש ויכוחים שונים על מהות הזמן, ההצעה של זנו היא אחת מיני רבות. אתה יכול להציץ בקישור שנתתי בדיון קודם, או בכל קישור שתמצא בעניין הדיון הפילוסופי על הזמן. ה-"משום מה" אלה הטיעונים/הנחות של פרמנידס שהזכרתי קודם.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252682
את זה אפשר לתרגם לטענה שכאשר שום דבר ביקום אינו משתנה, גם הזמן לא זז (ועד כמה שאני מבין הטענה הזו נובעת מחוקי הפיזיקה שאנחנו מכירים היום).
מה בעצם ניסה זנון להוכיח בפרדוקס שלו? (ככל שאנחנו חוזרים ומנסחים את הפרדוקס, הוא נשמע כמו התקפה על הנחות היסוד של פרמנידס. אולי הפתרון הוא להניח להן?)
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252692
לא ברור לי איך אתה מגיע מהפרדוקסים של זנו להתקפה על ההנחות של פרמנידס. הרי פרמנידס טוען דבר שאפשר לנסחו בקצרה - הכל הוא אחד. אם ממה שכתבתי משתמע ההפך, הטעות כנראה שלי ועליך לפנות לספרות שמסבירה זאת טוב יותר. בסך הכל פרמנידס וזנו טוענים ליקום חסר זמן - יקום מטריאליסטי (איני יודע מה יחסם לנשמה - כנראה התגלמות של חומר) שלמרות שלתפיסתו של חלקיק ביקום (האדם, ומהי התפיסה הזו - עוד נושא גדול לדיון) הוא משתנה, הרי שאין זה כך. חוקי הפיזיקה והמדע כולו לא יוכלו להבנתי להפריך את הפרדוקס, משום שהם עוסקים במראית העין, בעולם המתגלה לנו בעד החושים והמכשירים שהם שלוחותיהם. השפה שלנו מנוסחת כך שהיא מגלמת בה תפיסה של זמן וחומר ולכן הפרדוקס נראה מוזר. אם היית ממציא שפה בעלת משמעות שאינה כוללת את התפיסות האלה - הפרדוקס היה אמיתה פשוטה. מאחר והמציאות שלנו כוללת תפיסה של זמן (קאנט והקטגוריות) שפה כזו אינה סבירה במיוחד.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252694
אולי בכל זאת הבנתי אותך. זנו משתמש בפרדוקסים שלו כדי להראות שאם ניגשים בהנחות הפוכות לאלו של פרמנידס - כלומר השתנות כביטוי של תנועה וזמן הרי שבאופן לוגי אנו מגיעים ליקום שתוצאותיו סותרות את הנראות לעין ולא מסבירות אותן.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252696
בדיוק לזה התכוונתי. תודה על ההבהרות.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252092
2. לי שיטת האריה במדבר נראית נגישה יותר.

______
ברוך השב
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 252098
_________________
תודה, אבל לא ממש.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 265948
בניגוד לקונספציה המוכרת, זנון לא יצא נגד היכולת לתנועה, אלא נגד הרעיון שניתן לחלק את הזמן (ואת המרחק) לאינסוף, ונגד רעיון האינסוף באופן כללי. הפדוקסים שלו פשוט נועדו להראות שאם יש אינסוף, לא יכולה להתקיים תנועה. אנחנו יודעים שיש תנועה, ולכן אין אינסוף.
כלומר, על השאלה שלך, סביר להניח, הוא היה עונה "הרבה, אבל לא אינסוף".

אני עדיין לא הבנתי מה הפתרון לפרדוקס החץ.
(תזכורת: חץ נורה מקשת. את פרק הזמן שהוא עף באוויר אפשר לחלק לאינסוף נקודות בזמן. בכל אחת מאינסוף הנקודות הללו, החץ נמצא במקום אחד בלבד (תנועה היא פונקציה של זמן, ולכן אם אין זמן, אין תנועה). אז מתי הוא נע מנקודה אחת לשניה?)
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 265976
אי ודאות?
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 266007
אי ודאות חלה על אובייקטים בגודל של חץ?
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 266011
אי ודאות על מדידת זמן מתחת ל(נניח) עשר במינוס 40 שניות.
(לא, אני לא חושב שזה הפיתרון לפרדוקס).
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 266077
אני הדיוט מוחלט, אבל אנסה בכל זאת: מה אתה בדיוק מחפש כשאתה שואל "מתי הוא נע מנקודה אחת לשנייה"? פרק זמן מיקרוסקופי שבו החץ נמצא בשני מקומות בו זמנית? אני חושב שבציפייה שיהיה פרק זמן שכזה, וש"תראה" תנועה (איך אפשר לראות את זה, באמת?) יש בעייתיות , ולא צריך ללכת אפילו לאינסוף בשביל זה.

נניח שאנחנו מחלקים את הזמן לא לאינסוף חלקים, אלא ל"אטומי זמן" - היחידה הבסיסית ביותר של זמן. באטום זמן איקס החץ יהיה בנקודה כלשהי, ובאטום זמן איקס ועוד אחד החץ יהיה בנקודה אחרת. איך הוא עבר ביניהן? האם הוא עבר בזמן ש"בין" שני האטומים? אבל אם אלו אטומים, איך יש זמן ביניהם?

ההבנה שלי בפיזיקה אפסית, אבל אם מניחים שהמרחב הוא ארבע ממדי, כשהממד הרביעי הוא זמן, לא צריך בכלל לצפות שנראה "תנועה", נכון? הרי כל מה שקיים בארבע הממדים הללו, תמיד קיים. בגישה שכזו, אין שום בעיה בכך שמשהו לא נע מנקודה אחת לשנייה - פשוט בקוארדינטת זמן אחת, קוארדינטות המרחב שלו הן כך וכך, ואילו בקוארדינטה אחרת הן אחרות. זה לא משונה, בדיוק כפי שלא משונה לשאול איך ייתכן שמשהו שבגובה מסויים הוא בעל היטל מסויים על המישור, ואילו בגובה אחר ההיטל שלו על המישור הוא אחר.

כמובן שאני טועה, אבל יהיה מעניין לשמוע את אלו שמפריכים אותי.
על איזה פרדוקס אתה מדבר? 266153
אם אתה מניח שהזמן מחולק לאטומי זמן, אתה יכול להניח שהמרחב מחולק לאטומי מרחב. מכיוון שהמרחב והזמן אינם רציפים, אפשר להגיד שבכל ''אטום זמן'' החץ מסוגל לדלג על כמות מסויימת של ''אטומי מרחק'' (שזו המשמעות של מהירות - היחס בין אטומי הזמן לאטומי המרחק).
זה, לפחות, ההסבר שמצאתי עבור עצמי לפני שנים רבות, כשדברים כאלו עוד הטרידו את נפשי הרכה.
לא הייתי אומר טועה... 251168
כל זה נהדר, אבל זה לא עונה לי על השאלה. מה הפרדוקס כאן? איך אפשר לדבר על "פרדוקס" בכל הנוגע לזנון מבלי לערב את המציאות הפיזית בעניין? ובהנחה שאי אפשר, איך אפשר לדרוש "וצריך להפריך אותו באופן לוגי" בזמן שברור שהדבר אינו אפשרי, שכן מבחינה לוגית טהורה אין בפרדוקס שום בעייה?
לא הייתי אומר טועה... 251170
ככה:
ההעתק, כפונקציה של הזמן, הוא
x(t)=v*t
לא אטרח להראות שאם מהירותו של אכילס גדולה מזו של הצב, אחרי זמן מאד סופי העתקו של אכילס מנקודת ההתחלה צריך להיות גדול יותר משל הצב. אך אם נלך לפי הגיונו של זנון, נגלה שלא כך הדבר. סתירה ופרדוקס, בלי מציאות.

אבל אני לא רואה איך "פותרים" אותו בלי להתייחס לכך שהסכימה האינסופית של המרחקים אינה מוגדרת היטב אצל זנון.
לא הייתי אומר טועה... 251171
רגע, רגע, רגע, מאיפה בדיוק הגיעה הנוסחה הזו? האם זנון טוען שהנוסחה נכונה? האם מהמכניקה שזנון מציע עולה הנוסחה הזו? אני יכול כרגע גם להביא את נוסחאות התנועה של תורת היחסות ולהגיד שהן סותרות את אלו של המכניקה הניוטונית. האם זה ייצור פרדוקס במכניקה הניוטונית?
לא הייתי אומר טועה... 251172
זה בכלל לא קשור לזנון או למכניקה. אפשר לראות בפרדוקס פרדוקס מתמטי (''לוגי'' לצורך העניין). אפילו לא צריכים את מושג ה-''מרחק'' בשבילו (על אף שהוא מתמטי לעילא), מספיק לדבר על כפל וחיבור של מספרים רציונליים.

הקשר לזנון, או למציאות, הוא בפירוש של ''מספר רציונלי'' כ-''אורך קטע''. אבל הפרדוקסיליות אינה נובעת מפירוש זה, ולכן הוא אינו מעניין בהקשר הפרדוקס.
לא הייתי אומר טועה... 251175
אני מצטער, אבל למרות שמתמטיקה ולוגיקה לא זרות לי, לא הבנתי עדיין מה פרדוקסלי פה.

אנא הסבירי לי מדוע הפרדוקס הוא פרדוקס מתמטי. ממה שאני יודע, כדי שמשהו יהיה פרדוקס, עלינו לצאת מהנחות יסוד שנראות לנו נכונות, להשתמש בכללי היסק שנראים לנו נכונים, ולהגיע לסתירה. אם את מסכימה להגדרה זו, הצביעי על הסתירה וההנחות שיש אצל זנון. אם את לא מסכימה, אנא הסבירי לי מה ההגדרה שלך לפרדוקס.

תודה מראש, וסליחה על הטרטור.
לא הייתי אומר טועה... 251185
המילה פרדוקס משמשת לתיאור כל מהלך מחשבתי שמסקנתו סותרת את "השכל הישר", גם אם אין בו שום סתירה לוגית (למשל "פרדוקס יום ההולדת"). אבל זה לא המקרה אצל זנון.

אזכיר (לפחות לעצמי): הפרדוקס אומר ש-"כאשר יגיע אכילס למקום ממנו התחיל הצב לרוץ, הרי זה יהיה כבר הלאה, במרחק הקטן מן המרחק הקודם ביניהם כיחס מהירויותיהם". זנון הניח שסדרת הפרשי המרחקים בין אכילס לצב מסתכמת ליותר מכל מרחק שהוא (כלומר "אחרי 100 מטרים" אפשר להמשיך לסכם את סדרת הפרשים כנזכר לעיל כך שיתקבל יותר מ-"100 מטרים", וגם שם כמובן שאכילס יהיה מאחורי הצב לפי אותו היגיון).

למעשה ההנחה הבעייתית אצל זנון היא "סכום של אינסוף מספרים חיוביים אינו יכול להיות מספר סופי" (או לפחות: הסכום הזה אינו יכול). למעשה, סכום סדרת המרחקים ביניהם הוא טור גיאומטרי, שמתכנס (לפי הגדרה שלא הייתה זמינה עבור זמון) בדיוק כאשר אכילס מהיר מהצב, בדיוק למקום בו אכילס "אמור" להשיג את הצב (ואותו הדבר עבור סדרת הזמנים).

למה זנון בכלל "אמור" להשיג את הצב, אם מתעלמים מהמציאות? אם נפשט עוד את סיפורו של זנון, ונסתכל על מקרה פרטי שלו (אכילס מהיר פי 2), נקבל משהו כזה:
1. נבחר מספר.
2. נתחיל מחצי מהמספר שבחרנו (זה יהיה ההפרש ההתחלתי בין אכילס לצב).
3. נוסיף למספר שכבר יש לנו, חצי מההפרש בינו לבין המספר שבחרנו (זה יהיה המרחק החדש).
4. חזור ל-‏3.
מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה. אם לא נניח שהסכום בהכרח מתבדר, נוכל אולי להסכים שאכילס כן ישיג את הצב, במרחק השווה למספר אותו בחרנו בתחילה.

זה הפרדוקס, למיטב הבנתי. הסתירה אינה נובעת מה-"הפרשנות" של החשבון, אלא מהחשבון עצמו.

נותר רק לברר אם אני עושה מעצמי צחוק בשיחה הזו. כנראה שזה תיכף יתגלה.
לא הייתי אומר צחוק... 251194
ההצגה שלך את הפרדוקס של זנון אינה מדוייקת. לא קראתי אותו במקור, אבל בכל התאורים של הפרדוקס שכן קראתי‏1, זנון לא דיבר על מהירויות או יחסים. טיעון המחץ הוא תמיד משהו בסגנון מה שכתבתי למעלה:

Thus, whenever Achilles reaches somewhere the tortoise has been, he still has farther to go. Therefore, Zeno says, swift Achilles can never overtake the tortoise.

אם הפרדוקס מנוסח כך, אז הוא פשוט לא קיים. המילה "never" במשפט האחרון אינה מנומקת ואינה מוצדקת. בכל אופן, זנון לא דיבר על טורים מתכנסים ומתבדרים.

אם רוצים, אפשר לדון בפרדוקס אחר, שהוא זה שהצעת: איך ייתכן שסכום של אינסוף מספרים יצא מספר סופי. כאן, המשפט "מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה" לא לגמרי ברור לי: סתירה למה, בדיוק? ברור שאתה מתכוון ל"סתירה להגיון הפשוט" או ל"שכל הישר", אבל לי דווקא נראה שרוב האנשים יסכימו בקלות שאם אתה מדביק חצי דף לרבע דף לשמינית דף וכו', לעולם לא תקבל יותר מדף אחד.

אני חושב שאם משהו מפריע ל"שכל הישר", הגדרה מתמטית (כמו ההגדרה הפורמלית של טור מתכנס) לא יכולה לפתור את הבעייה. מדוע שתקבל את ההגדרה המתמטית, אם הגיונך אומר לך אחרת? הדרך הנכונה היא להשתכנע בסבירות של ההנחה.

1 כולל כאן, בויקיפדיה

לא הייתי אומר צחוק... 251199
ניסוח הפרדוקס כפי שהצגתיו לעיל לקוח מתוך "תולדות הפילוסופיה היוונית - הפילוסופים הקדם סוקרטיים" של שמואל שקולניקוב, אך הוא לא מוצג כציטוט ולא מצאתי התייחסות למקורותיו. בכל מקרה, אין זה משנה אם זנון דיבר על יחסים ומהירויות או לא (טורים ברור שהוא לא הזכיר במפורש...).

גם בהצגת הפרדוקס שהבאת אתה, המילה Never עשויה להיות מוצדקת ועשויה להיות לא מוצדקת. כדי לברר זאת לא מספיק להתבונן בה ולהחליט לפי תחושת הבטן אם "זה נראה נכון" או לא (הטענה לא יסודית מספיק, רחוק מכך), יש לפרקה ולנסות להבין מה עומד בבסיסה, וזאת - לדעתי - ההנחה שסכום הפרשי המרחקים בין אכילס לצב בקטעים המדוברים (אכילס עומד במקום בו הצב היה קודם, והצב עומד הלאה היכן שהספיק להגיע בינתיים), כל עוד אכילס עומד מאחורי הצב (כלומר המרחק שאכילס עובר כל עוד לא השיג את הצב) יכול לגדול ללא הגבלה. פירוש הדבר, אם ההנחה נכונה, שאין זה משנה "כמה רחוק" אכילס ילך, הצב עדיין יהיה לפניו - ואכילס לעולם לא ישיגו.

המילה "פרדוקס" מתאימה לתוצאה סופית של סכום אינסופי בערך כמו שהיא מתאימה ל-"פרדוקס ימי ההולדת". כלומר לא כמציינת סתירה, אלא לכל היותר דבר שאנשים עלולים לראות כ-"לא הגיוני" עד שיוסבר להם.

המילה "סתירה" במשפט "מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה" מתייסת להנחה אותה טענתי שזנון הניח במובלע, דהיינו "הסכום האינסופי אינו מספר סופי".

הגדרות מתמטיות פורמליות הן דרך מצויינת ליישב בעיות של ה-"שכל הישר". כאשר יודעים *בדיוק* על מה מדברים (מגדירים אותו פורמליות), אפשר לטפל בו תוך שמירה על עיקביות ובהירות מקסימליות. החוכמה היא כמובן להגדיר את המושג באופן נכון (שיהיה מעניין ועשיר מצד אחד, ושיתפוס מספיק מה-"מושג האינטואטיבי" מצד שני). בכל מקרה, הדרך הנכונה להשכנע בסבירותה של הנחה כלשהי כוללת בוודאי התייחסות לעיקביותה ולכושר הכללתה. "השכל הישר" יוצא נבוך ומובס לעיתים קרובות (מובס בידי "ההגיון הנוקשה"). דווקא טורים מתכנסים מהווים דוגמא נהדרת לכל זה, לטעמי - והרבה בזכות זנון.
מסכים 251218
כאמור מדובר בפרדוקס של חלוקה, האם ניתן לחלק את הזמן מרחב עד אינסוף? אם כן, נובע שסכום של אפסים (ואולי עדיף להסתכל על השאלה מצד שני - האם אוסף של נקודות שלפי הגדרה מימדן אפס, יוצר משהו? כך נמנע מהאמירה שואף לאפס) הוא מספר ואם לאו נובע שקיים חומר שלא ניתן לחלק אותו. 2 המסקנות סותרות את החושים. לומר שאין פה כלום זה מצחיק, כי הנה אנחנו יושבים פה אחרי 2500 שנה... ואגב, בהצגה של 2 חיצים הנעים זה מול זה ביחס לחץ נייח יש הצגה של תנועה ויחסיות. ההצעה של זנו פרדוקסלית ביחס למציאות הנראית ונשאלת השאלה למה? אתה קורא/שומע את הפרדוקס ואומר... אני יודע שיש פה טעות... אבל איפה? כל תקופה באה עם ההגדרות שלה ומנסה לפחות להכיל את הפרדוקס ולומר, לפי הגדרות אלה אין לנו בעיה. הזכרתי את יום והפתרון שלו נראה כושל, אבל קאנט והגל ספקו תשובות נאות. באשר לגבולות, ולצפיפות המספרים... ייתכן שהאלגנטיות של הפתרון חולפת מעליי... ולכן אני אומר שזנו יכול לטעון שמספר השונה באפסילון קטן כפי רצוננו מהמספר הנבחר, כלומר שואף לו קרוב כפי רצוננו, אינו המספר הנבחר.
מסכים 251227
"2 המסקנות סותרות את החושים", "ההצעה של זנו פרדוקסלית ביחס למציאות הנראית". האם עכשיו אתה טוען שללא המציאות, לפרדוקס אין תקפות ואין קיום (בתור פרדוקס)?
לא הייתי אומר צחוק... 251215
קישור פועל לערך בויקיפדיה: http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s%5Fparadoxes
לא הייתי אומר טועה... 251230
לפרדוקס ימי ההולדת אכן לא הייתי קורא פרדוקס של ממש, פשוט תוצאה לא אינטואיטיבית.

עכשיו, בהודעה שלך לא הסברת מדוע יש כאן סתירה. אם מקבלים את ההנחה שהסכום אינו מתכנס, נובע מכך שאכילס לא ישיג את הצב וכולם מרוצים - אלא אם מישהו פתאום קופץ ואומר "מה, אבל ראיתי אתמול את אכילס והצב רצים, ואכילס נתן לו מקדמה וניצח!"

את אומרת "מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה". לי זה נשמע, בתרגום חופשי, כמו "סכום של אינסוף מספרים חסום על ידי מספר כלשהו. סתירה". זה בעייתי, כי איך אפשר לדבר על סכום של אינסוף מספרים באמצעות ההגדרות של זנון ומבלי לגלוש לאינפי? אם זנון מניח בתור הנחת יסוד את זה שסכום של אינסוף מספרים (אני משער שהכוונה למספרים חיוביים) הוא אינסוף, די קשה לסתור את זה באמצעות ההגדרה של זנון לחיבור של אינסוף מספרים. אפשר לראות שזה בעייתי אם משתמשים בסכומים חלקיים וכדומה, אבל אז כבר גולשים לאינפי, ובאינפי ממילא לא מקבלים את ההנחה של זנון.

נסי להסביר לי מה היה הפרדוקס *על פי זנון*. כלומר, מה הוא הצביע עליו כבעייתי, ולא מה אנחנו, כתלמידים חכמים שמכירים אינפי, רואים בו כבעייתי.
לא הייתי אומר טועה... 251234
אבל ניסיתי להסביר, ונכשלתי בברור (או שאולי נכשלתי להבין). אנסה לנסח שנית:

זנון: "ההיגיון שהצגתי מראה שעבור כל מרחק שלא נבחר, כשאכילס יהיה שם - הצב יהיה לפניו".
אני: הנה, בחרתי מרחק (אותו מצאתי במקרה), והראיתי שהצב לעולם לא יגיע לשם בדרך שלך.

מכיוון שזנון מניח שהצב בסופו של דבר יגיע לנקודה רחוקה כרצוננו בדרך הזו (למעשה, זו ההנחה שהוא מנסה להפריך, ובמובן מסויים הוא הצליח), מתקבלת סתירה.

הרי אם מניחים "אכילס לא ישיג את הצב עד לנקודה הזו, שם הוא משיג את הצב" לא נשאר הרבה מהטיעון...

קשה לי להאמין שהפעם הצלחתי לשכנע יותר מקודם. אולי אתה תצליח.
לא הייתי אומר טועה... 251236
לא הבנתי את השורה של "אני". איך הוכחת לזנון שהוא טועה בדרך שלו? מבחינה מתמטית טהורה, אני צריך לראות הוכחה (רצוי מתמטית) שמתבססת על האקסיומות של זנון. להפריך את זנון באמצעות אינפי (במקרה זה - סכום של טור אינסופי יכול להיות מספר סופי/סכום של טור אינסופי חסום על ידי החסם של סדרת הסכומים החלקיים שלו) זו לא בעיה, אבל אז זה לא פרדוקס או אפילו סתירה, פשוט שתי תורות מתמטיות שונות שנותנות תוצאות שונות - כלומר, זה כבר *הפתרון* של הפרדוקס (השינוי שצריך לעשות בהנחות היסוד כדי שהפרדוקס יתפוגג בעשן).

==זהירות, פסקה טרחנית ומטופשת==
אני אנסה להסביר גם מה ההבדל, לדעתי: אם בא גאוס ומציג גיאומטריה לא אוקלידית, ואז בא אוקלידס ומציג גיאומטריה אוקלידית, האם אוקלידס יכול לומר לגאוס "הא! הוכחתי שאתה סותר את עצמך!"? ודאי שלא. לעומת זאת אוקלידס כנראה יאמר לגאוס "הא! כל בר דעת שעיניו בראשו רואה שדרך נקודה אחת ניתן להעביר רק מקביל אחד לישר! אתה טועה!" (זאת בהנחה שהעולם שלנו למראית עין מקיים את הגיאומטריה האוקלידית. וכן, אני יודע שזה לא מדוייק לומר, בלשון המעטה). כך גם ניוטון לא יכול לבוא לזנון ולהגיד לו "אתה טועה! התורה שלך סותרת את עצמה כי בתורה שאני פיתחתי רואים שאתה לא צודק!" אבל הוא כן יגיד לו "שמע נא, אתמול נתתי לצב מקדמה של חצי שעה וכיסחתי לו את הצורה". ולזה יענה זנון "בדיוק, לכן התפיסה שהצבתי פרדוקסלית - היא לא מתאימה למציאות שאנחנו מכירים".
לא הייתי אומר טועה... 251238
הטיעון של זנון הוא טיעון נגד התנועה. כדי להפריך אותו אי אפשר להצביע ולומר "הנה, יש תנועה" או לחילופין "הנה, אכילס השיג את הצב". אלה רק "סברות השווא של בני תמותה" כפי שניסח זאת פארמינדס. הטיעון הוא שההיגיון חזק מהחושים, וההיגיון מורה ש-"שהגורל אילצו [את היש] להיות כוליות ונטול תנועה", לכן החושים טועים. כדי להתווכח עם זנון, אין ברירה אלא להראות שהוא טועה, לוגית.

לא *כל* הגדרה היא לגטימית. רק הגדרה שעקבית עם שאר ההגדרות המקובלות עליך. לטענתי זו של זנון אינה כזו. "זה לא הגיוני" שהצב יגיע כך לכל נקודה, כי הראיתי על סמך טיעון "פשוט יותר" שהוא לעולם לא יעבור נקודה מסויימת. כדי לנסח את הדברים בדרך פורמלית יותר מזו שניסחתיהם קודם, אאלץ להתנסח בטרחניות וסרבול מהן יש ברצוני להמנע. לא נראה לי שהדבר יבהיר את עמדתי, כי אם נהפוכו.
לא הייתי אומר טועה... 251240
כדי להתווכח עם זנון לא בהכרח מספיק להראות שהוא טועה (אם הוא בנה את הטיעון שלו היטב, הוא אינו טועה) אלא להראות מהן הנחות היסוד שלו שאינן מקובלות עלינו. אני סברתי עד עכשיו שזנון, במודל שהוא מציג, אינו טועה, והמודל קוהרנטי ואכן אינו מאפשר תנועה, ועל כן הבעייה היא בדיסוננס שבין המודל שלו ובין מה שהחושים אומרים לנו.

את אומרת שההגדרה של זנון אינה לגיטימית, אבל עדיין לא הוכחת את זה בשום צורה. אני חושב שאם לא תנסי להראות בצורה מפורשת כיצד מדבריו של זנון נובעת סתירה, לא יובהרו עמדותייך. כבר עכשיו ברור *מה* את מנסה לומר, אבל כלל לא ברור למה מה שאת אומרת הוא נכון. את בעצם אומרת "זנון טועה ומה שהוא אומר מוביל לסתירה, ואפשר להראות את זה באמצעות שימוש באקסיומות של זנון עצמו". כלומר - כל אדם, גם בימיו של זנון, היה יכול לבוא אליו ולהראות לו למה הוא מקשקש שטויות. מאחר שזה לא קרה, אני לא בטוח אם זה אכן אפשרי, ולכן אשמח אם תראי לי, ואפילו אם זה יהיה טכני ומסורבל, כיצד את עושה את זה *בהתבסס על הנחות היסוד של זנון*.
משעשע 251252
נחמד לעקוב אחרי הפינג פונג שלנו. לשאלתך גדי, כן... ללא המציאות מה הטעם בפרדוקס? הרי כל העניין התחיל מכך שמציאות החושים אינה הגיונית. נדמה לי שזה מרומז גם בחלק מטיעוניך בהשוואה בין גאומטריה אוקלידית לזו של גאוס. אם עקבתי היטב אחרי הוויכוח בינך לילדה, אנסה להציע מודל נוסף. נאמר שאין זמן ואין מרחב. כל הנקודות שאנו קוראים להן זמן מרחב קיימות בו זמנית ומשום מה אנו תופסים אותם כרצף. לכן אין אפשרות לומר לזנו... עצם העובדה שהצב קיבל פור מראה שהייתה תנועה לפני הפור. מתן הפור הוא רק לצורך המחשה. אם כל הנקודות קיימות במקביל הרי שבלי קשר בין נקודה לנקודה קיימות 3 מיקומים יחסיים. א- הצב נמצא לפני זנו. (התבלבלתי אבל אם הוא נותן לנו כל כך הרבה עבודה אז שירוץ:)) ב- הצב וזנו נמצאים באותה נקודה. ג- זנו נמצא לפני הצב. במציאות כזו זהנו נמצא ב-‏3 הייחוסים בו זמנית ובאותה מידה אפשר לומר שאין הוא נמצא באף אחד מהם. ולכן אין משמעות למרחב ולתנועה והקיום הוא כמו מין ספר רציף או שלא... לפי רצונכם.
משעשע 251253
לי אין ויכוח עם כך שהפרדוקס של זנון תלוי מאוד במציאות. התחלתי את הפינג פונג בעקבות האמירה שלך ''פרדוקס זנו הוא לוגי וצריך להפריך אותו באופן לוגי''.

כמובן שלא כל פרדוקס זקוק למציאות (הפרדוקס של ראסל הוא דוגמא טובה לפרדוקס שמצביע על הכשל הבסיסי בהנחות של התורה שבה הוא מנוסח, וזוהי תורה מתמטית לחלוטין).

את המודל הנוסף שלך לא הבנתי.
משעשע 251308
מהי בעצם המציאות? מה שהחושים מעבירים לנו. מהי הפרשנות למציאות? ניתוח המוח של קלט החושים, וגם זה חלק מהמציאות. מה עוד יש לנו? הסקות של המוח לגבי הניתוחים שהוא ביצע. עוד נדבך במציאות. הבעיה היא בין 2 ניתוחים. האחד ישיר - המשמעות כפשוטה, השני עקיף, התנגדות למציאות כפשוטה מתוך ידיעה שחושינו מטעים אותנו, ידיעה שמביאה למחשבה שאולי יש שם משהו אחר. היות ומדובר בהתנגשות בין 2 רעיונות של המוח (ניתוחים שלו) ביקשתי הפרכה לוגית. גם את זאת ביקשתי רק משום שהתרשמתי מתגובות שאנשים חיפשו בניסוי הפרכה או אישור לפרדוקס. שום ניסוי מציאותי לא יכול להביא להפרכה של מודל מטה-מציאותי. אם נוכל למצוא כשל רעיוני בתפיסה שאומרת שהעולם אינו מה שהחושים מראים, נפריך את טענת זנו. לגבי המודל, אחרי שהגבתי כאן, קראתי רשומה על פרמנידס שאספק אותה בתגובה הבאה... אני מקווה שזה יהיה מספק.
משעשע 251310
http://www.iep.utm.edu/ אפשר לבדוק תחת פרמנידאס למודל, גם הערך זנו מופיע שם, ותחת הערך הזה יש רפרנס למושג הזמן שאני אחטט בו מחר.
משעשע 251937
אכילס, לא זנו. כמו כל פילוסוף שמכבד את עצמו זנו ישב בכורסא ונתן לאכילס ולצב להזיע.
משעשע 251994
:) כאמור... נתתי לו לרוץ מתוך בלבול ואחר כך זה מצא חן בעיניי. כורסאות של ממש לא נראה לי שהיו אז, ובכל מקרה, אחד הדברים היפים בפילוסופיה היוונית ובתקופה ההיא, היא האינטראקציה שלה עם החברה. פיתגוראס, פרמנידס, זנו, אפלטון ושות' היו די פעלתנים, נעו הרבה והפיצו "אור". היום יש לנו מולטימדיות וכפר גלובלי... גם נחמד.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300509
(וידוי: לא קראתי את התגובות ואם חזרתי על דברי קודמיי, אודה על קישור ואתנצל מראש)

אני זוכר שקראתי את המאמר הזה לראשונה,
או אז, אופן ההצגה של הפרדוקס של זינון לא נראתה לי מעניינת או מובנת דיה בכדי להתעמק בו.
עתה, פגשתי בו שנית בספר שאני קורא עתה ("המנושל" פרי עטה של אורסולה לה-גווין הנפלאה) והיא הציתה זיק של עניין בפרדוקס הזה:

הפרדוקס מוצג כך שאנו משליכים אבן על קיר.
בדרכה של האבן לקיר עליה לחצות את נקודת אמצע הדרך, וזה לוקח זמן.
אבל גם למקטע בין ההתחלה לאמצע יש אמצע, וגם להגיע אליו לוקח זמן.
וגם לאמצע הזה יש אמצע.. וכך עד אינסוף.
יוצא מזה שיעבור זמן אינסופי עד שהאבן תפגע בקיר, כלומר היא לא תפגע בו.
יתרה מכך, המיקום של הקיר הוא שרירותי ויכול להיות גם ממש סמוך לאבן, כלומר האבן בכלל לא יכולה לזוז.
מצד שני, אנחנו יודעים שהיא כן זזה וכן פוגעת בקיר.
פרדוקס.

משהו לא מסתדר, אז בואו נבדוק את הנחות המוצא פה, ונחפש את השגויה:
1. יש ממשות לאבנים וקירות.
2. יש לכל מקטע נק' המייצגת את האמצע שלו.
3. תנועה תמיד צורכת זמן.
4. יש תנועה.
5. יש פגיעה בקיר.

הנחות 1,4,5 נראות (בעיניי) לטריוויאליות ביותר.
אם ננסה להפר את 3 ונניח שיש מקטעי מרחב קטנטנים שהמעבר בהם הוא מיידי, הרי שניתן יהיה לחלק כל אורך למקטעים כאלה ואז התנועה בכל קנה מידה תהיה מיידית, וזה אינו קורה.
לעומת זאת, הנחה 2 היא לא מובנית מאליה שכן היא מניחה את הרציפות של המרחב והיכולת להמשיך לחלקו עד אינסוף.
די לנו שנסרב לקבל הנחה זו ונטען ל"אטומי מרחב" (כפי שעשה דמוקריטוס כשהניח אטומים עבור חומר) בכדי לעצור את הגלגל השועט של הפרדוקס ולהביא את האבן ליעדה.
בהנתן זאת, אני מוצא את מסקנתו של זינון כי דווקא הנחות 1,4,5 שגויות (וכי הכל אשליה ו-"There is no spoon") תמוהה.

בקיצור,
האין פרדוקס זה הוכחה בשלילה שהמרחב אינו רציף אלא בדיד?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300515
הבעיה היא במעבר מ''יקרו אינסוף דברים'' ל''יעבור זמן אינסופי''. אבנים יכולות לעשות אינסוף דברים בזמן סופי (בתנועה מכאן לשם הן עוברות באינסוף נקודות).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300524
"בתנועה מכאן לשם הן עוברות באינסוף נקודות" הוא המשפט היחיד בתגובתך שהבנתי.
על סמך מה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300527
אני לא טוען טענה פיזיקלית, אלא רק מנסה להצביע לשלב החסר בניסוח שלך את הפרדוקס. אמנם האבן עוברת באמצע הקטע, ולפני כן באמצע של המחצית, וכן הלאה - אז מה? למה זה צריך לקחת זמן אינסופי?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300517
(גם אני לא קראתי את כל ההודעות הקודמות, וגם אני מתנצל מראש)

אין בפרדוקס הזה הוכחה שהמרחב בדיד. משתי סיבות:
1) אפשר ליישב אותו גם בתורת הרצף. בעזרת העבודה שסדרות אינסופיות יכולות להתכנס למספר סופי. למשל 1+0.5+0.25+.... כך עד אינסוף.. הולך ומתקרב למספר סופי בהחלט, ודי קטן - 2.
כך גם החץ של זנון עושה מסלול רציף - המרחק כפונקציה של הזמן. x(t). אפשר לחלק את המסלול הזה לאינסוף חלקים, לכל אחד מתאים זמן מעוף משלו, אבל עדיין סכומם (זמן המעוף של החץ) יהיה סופי.
זה אולי סותר את האינטואיציה. שסכום של אינסוף איברים מתכנס. אבל זה רק אומר שאנחנו מספיק טפשים :). זה לא סותר את ההיגיון.

2) אם אי אפשר להוציא מפרדוקס זינון *כמה* הזמן והמרחב הם בדידים. (מספר, בשניות, או במטרים). אז הוא לא מוכיח שהמרחב הוא בדיד.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300519
2) למה ("אי אפשר להוכיח שמרחב הוא בדיד בלי שההוכחה תגיד כמה הוא בדיד")? אני מכיר המון הוכחות שדברים מסויימים הם סופיים בלי שיהיה אף רמז לגודל המדוייק שלהם.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300523
הסופיות של משחק שחמט למשל (אאל''ט)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300529
מושג הגבול כנראה אלמנטרי למתמטיקאים,
אך אני מרשה לעצמי לאשש את הסטריאוטיפ על ביולוגים ולהקשות במופלא ממני:
יופי, אז סדרות אינסופיות *במתמטיקה* *מתכנסות*.
מה לזה ו*לעולם האמיתי*, וכל עניין ההתכנסות והאינסוף הם בעייתיים ביותר ונעשו נסיונות עקשים (וכושלים אאל"ט) לסלק את האינסוף מן המתמטיקה ע"י ענקי מתמטיקה בעבר.
אך עקרוני מכך,
מה הם אותם האיברים של הסדרה האינסופית שתיארת?
אם המרחק בין היד המשליכה את האבן לקיר הוא 2 מטר, האיברים 1,0.5,0.25 וכו' הם המרחקים שהאבן עברה כבר.
אולם זה בדיוק מה שאנו באים לבדוק, ולא יכולים להתלות בכך.
אם כבר עלינו לומר משהו כמו: האבן עברה 1 מטר. לא. היא עברה 0.5 מטר. לא. היא עברה 0.25 מטר. איפה זה יעצר? ‏1
האמנם המושגים שהגו מתמטיקאים בדורות שחלפו כמושג הגבול, הינם מספיק ממשיים עבור העולם האמיתי בו אנו חיים? מספיק ממשיים כדי לפייס אותנו עם הפרדוקס הזה?

בדיחה נושנה היא ששמים מתמטיקאי ופיסיקאי בקצה אולם כשבצד השני שאפה ומאפשרים להם בכל דקה לסגור מחצית מהמרחק ממנה.
המתמטיקאי אומר "למה לטרוח? ממילא לא אוכל להגיע" ואילו הפיסיקאי אומר "לצורך העניין, זה יספיק לי בהחלט".
אלא שלאבנים אין צורך להגיע קרוב לקירות.
הן פשוט מגיעות.

1 רקורסיה, זה לא יגמר אם לא תספר : )
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300535
זהו, שגם בעולם האמיתי סדרות אינסופיות יכולות להתכנס. הוכחה (לביולוגים): האבנים שאנחנו זורקים מגיעות לקיר.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300545
דווקא מושג הגבול נראה לי ממשי הרבה יותר מכל הטיעונים המשונים ("האבן חייבת לנוע במשך זמן אינסופי") שמשתמשים בהם כדי להסביר למה הפרדוקס הוא פרדוקס.

בוא נחשוב שנייה איך עובד מושג הגבול, מבחינה "פיזיקלית". אני טוען שבעזרת הגבול אני מסוגל לתת לך סרט צילום שבו רואים את האבן בכל נקודה מאינסוף הנקודות במסלול שלה. אתה, בתור בן אדם, מסוגל לעשות רק דברים סופיים, ולכן תסתכל בסרט רק על תמונה אחת בפעם (זה לא משנה אם זו תמונה אחת או מיליארד תמונות).

עכשיו, אתה רוצה להיווכח שהסרט באמת מתאר את כל התנועה של האבן אל הקיר. אתה חושב על מרחק כלשהו של האבן מהקיר (זה האפסילון שבהגדרת הגבול), ואז אני מביא לך את התמונה בסרט שהחל ממנה האבן קרובה יותר לקיר מאשר המרחק הזה (זה ה-N שבהגדרת הגבול), יחד עם הזמן שבו התמונה נלקחה. אתה מניד בראש ואומר וואלה. את זה אני יכול לעשות כמה פעמים שרק תרצה, עד שתשתכנע שהסרט באמת מתאר את כל המעוף של האבן אל הקיר. אמנם, ככל שאנחנו מתקדמים בסרט כך הולכים הפרשי הזמנים בין התמונות וקטנים, אבל עדיין יש אינסוף כאלה.

עד כאן תיארתי את ה*יכולת* לומר על משהו שהוא הגבול, כלומר את היכולת לתת N לכל אפסילון. הפואנטה היא שאני מוסיף לסרט הצילום את התמונה האחרונה, שבה האבן פוגעת בקיר וכתוב זמן הפגיעה הסופי בהחלט שלה. אתה, כזכור, מסוגל להסתכל רק על תמונה אחת בפעם. האם יראה לך לא הגיוני או "לא נכון" שזו התמונה האחרונה? המקום היחיד שבו זה חורק הוא אם תביט על התמונה ותגיד לי "יופי, תביא את התמונה שלפניה". אופס, את זה אי אפשר לעשות.

כמובן, כמו שה"אופס" הזה מראה, גם התיאור של הגבול לא מצליח להתיישב לגמרי עם האינטואיציה שלנו. השאלה היא האם הוא לא מתיישב איתה הרבה יותר מכל הסבר אחר. לדעתי הוא הרבה יותר טוב מכל הסבר אחר (לא שאני מכיר הרבה הסברים), ולכן מושג הגבול הוא בהחלט ממשי מספיק עבור העולם האמיתי שבו אנו חיים.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300600
אגב, התיאור שלי כאן מתאים להגדרת הגבול עבור סדרה, ואולי זה לא בדיוק מה שאתה מחפש כשזה מגיע לזריקת האבן. לא קשה לתקן את זה: עכשיו במקום סדרה של תמונות יש לי אוסף (לא בן מנייה אפילו) של תמונות כשלכל חלקיק זמן (שמיוצג על ידי מספר ממשי) יש תמונה, כך שבכל פעם שבו תדרוש מרחק כלשהו מהקיר של האבן, אני אוכל לתת לך פרק זמן מרגע כלשהו ועד לרגע שבו האבן פוגעת בקיר כך שכל התמונות של פרק הזמן הזה מראות את האבן קרובה לקיר לפחות במרחק שדרשת. כאן האנומליה של "אין איבר קודם" קיימת עבור כל האיברים, כי הרי אם יש לך תמונה של מה שקרה בשנייה מס' 1 אז לפניה יש תמונה של מה קרה בשנייה מס' 0, אבל ביניהן יש תמונה של שנייה 0.5 וכו', כך שזה נראה אפילו פחות חריג שאין קודם מיידי לתמונה ה"אחרונה", שמראה את האבן פוגעת בקיר.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301361
לא הבנתי אם הצליחו לפתור לך את הבעייה?

"אז סדרות אינסופיות *במתמטיקה* *מתכנסות*. מה לזה ו*לעולם האמיתי*?...האמנם המושגים שהגו מתמטיקאים בדורות שחלפו כמושג הגבול, הינם מספיק ממשיים עבור העולם האמיתי בו אנו חיים? מספיק ממשיים כדי לפייס אותנו עם הפרדוקס הזה?"

יש, בערך, שתי אפשרויות. או שאתה מניח שה"עולם האמיתי" הוא דיסקרטי (הכל עשוי מפיקסלים בגודל זעיר, והשעון מתקתק), או שלא (בין כל שתי נקודות שונות יש עוד נקודה). הטיעון של האבן אינו יכול בשום אופן לקבוע עבורך מי משני אלה הוא הנכון. (למעשה, ככל הידוע לי אין בכלל דרך לקבוע מי משני אלה נכון).

אם אתה דיסקרטאי, הטיעון נופל, כמובן.

אם אתה רציפאי, תהיה רציפאי עד הסוף. זה לא עקבי (או, לפחות, לא מעניין במיוחד) להחזיק בשתי הדעות: בעולם האמיתי אפשר לחתוך כל מרחק לשניים, אבל "התכנסות" הוא מושג רלוונטי רק לתאוריטקנים המתמטיקאים. אם יש אינסוף אורכים שונים בין "מטר" ל"שני מטר", אז כמובן ששני מטר זה יותר ממטר, וגם יותר ממטר וחצי, וגם יותר ממטר ושלושת-רבעי, וכו'. אם מישהו "מסיק" מכך ששני מטר זה אינסוף, זו בעיקר בעייה בדרך הסקת המסקנות שלו. אני לא רואה כל סיבה להסיק את זה, וודאי לא רואה למה זה "מוכיח" שאין מרחקים רציונליים עדינים כרצוננו (לא צריך, אגב, להסתבך עם מספרים ממשיים).

במילים אחרות: אם אתה *מניח* (ואתה לא חייב) שיש מרחקים קטנים כרצוננו, אתה בהזדמנות זו גם מניח שמרחק סופי גדול מאינסוף מרחקים קטנים יותר. גם להניח את זה וגם לא להניח את זה נראה לי מוזר.

"כל עניין ההתכנסות והאינסוף הם בעייתיים ביותר ונעשו נסיונות עקשים (וכושלים אאל"ט) לסלק את האינסוף מן המתמטיקה ע"י ענקי מתמטיקה בעבר."

אני לא בטוח שאני יודע למה אתה מתכוון.

(אני זוכר שאני חייב לך עוד את השערת-רימאן, אבל האמת שעוד לא מצאתי דרך סבירה להציג אותה במגבלות המדיום הזה. יש כמה ספרים חביבים ופופולריים שיצאו לאחרונה...)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301363
"אני לא בטוח שאני יודע למה אתה מתכוון"

לדעתי הכוונה לנסיונות של המתמטיקאים להיפטר ממושגים כמו אינפיניטסימל בעזרת ה"אינסוף האקטואלי" (ככה קוראים לזה?)

בגלל שהגדרת הגבול של קושי לא באמת משתמשת באינסוף אלא רק בדברים סופיים, אוהבים לרדת עליה שהיא לא *באמת* מתארת את האינסוף. לאחרונה ניסיתי לקרוא ספר של זאב בכלר בשם "שלוש מהפכות קופרניקיות", ושם הוא קוטל את ההגדרה של קושי לסכום של טור אינסופי (שלו הוא קורא "סכום" ואומר שהוא לא מתאר כלום ובפרט לא פותר את הפרדוקס של זנון, זה עם אכילס), אז אולי יש דברים בגו (אצל הפילוסופים).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301544
יש לי איזה קושי עם התגובה שלך.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304271
ציטטת אך לא השבת על האופטופיק שלי,
האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות (בפרט אחרי שברה בפטישו של גדל)?
האם בעצם לא יתכן ייצוג שכזה?
ואם כך איך זה יכול להיות ומה יש לפילוסופים להגיד על זה?

אני מתקשה לעקוב אחרי ההסבר,
לא הבנתי בעיקר את:
"אם אתה *מניח* (ואתה לא חייב) שיש מרחקים קטנים כרצוננו, אתה בהזדמנות זו גם מניח שמרחק סופי גדול מאינסוף מרחקים קטנים יותר. גם להניח את זה וגם לא להניח את זה נראה לי מוזר."
אם אני דיסקרטאי, הפרדוקס נופל כי לא לכל קטע אמצע.
עד כאן, בסדר.
אם אני רציפאי ומניח אינסוף נקודות, מה אז?
איפה התחלתי לפסוח על שתי הסעיפים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304273
הבעייה איתך זה שכל פעם שאתה שואל שאלות אפשר לכתוב מאמר :-)

"האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות?"

נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות. למשל, נראה שחיצים מתעקשים לעוף כמו המודלים המתמטיים שנבנו עבורם, למרות פלפוליהם של כל מיני יוונים.

"(בפרט אחרי שברה בפטישו של גדל)"

זה אחד החלקים הכי מתסכלים עבורי בדיונים האלה. לא שבר, לא משבר, וקשר פעוט אם בכלל ליכולת של המתמטיקה לתאר את העולם. אני יכול לפרט, אם תרצה, אבל זה תהליך בעייתי: במקום להסביר מה משפט גדל אומר (שזה דבר די מעניין עבור חלק מהאנשים), צריך להסביר מה הוא לא אומר, ולמרבה הפלא זה יותר קשה - במיוחד אחרי שהוא כיכב, שלא בטובתו, באינספור ספרים, מאמרים ומסות שהקשר בינם לבינו הוא מטפורי במקרה הטוב ולא קיים במקרה הגרוע.

"האם בעצם לא יתכן ייצוג שכזה?"

לא יודע. למה לא?

"ואם כך איך זה יכול להיות ומה יש לפילוסופים להגיד על זה?"

מה זה "אם כך"? אם יש ייצוג, או אין ייצוג?

לגבי הרציפאי: במקום להסתכל על העולם, אפשר להסתכל ישר על המתמטיקה שלו - כבר בתוכה יש "פרדוקס": 1 זה יותר מ-‏0.7 וגם יותר מ-‏0.77 וגם יותר מ-‏0.777 וכו' וכו'. מסקנה - 1 זה אינסוף. לא? למה לא? איך זה שונה מהטיעון "החץ צריך להיות גם פה, וגם פה, וגם פה, מסקנה - החץ לא יגיע לעולם"? או מ"אכילס לא ישיג את הצב פה, וגם פה לא, וגם פה לא, מסקנה - אכילס לא ישיג את הצב לעולם"?

אם אתה דן במספרים הרציונליים, או הממשיים, אתה צריך להתרגל לרעיון של סדרות מתכנסות. זה מבלבל בהתחלה, זה קצת משונה, אבל זה לא נורא, וחשוב יותר - זה בלתי נמנע. אם אתה עכשיו גם משליך את הרציונליים על העולם - כלומר, אתה רציפאי - מה קורה שפתאום "התכנסות" מפסיקה למצוא חן בעיניך?

אתה כתבת: "אז סדרות אינסופיות *במתמטיקה* *מתכנסות*. מה לזה ו*לעולם האמיתי*"? אני לא יודע מה לזה ולעולם האמיתי, שהוא אולי דיסקרטי; אבל אם *אתה* אומר שהוא רציף, אז *אתה* מכניס סדרות אינסופיות מתכנסות לעולם. אני לא מבין את המשחק שבו מוכנים להכניס הביתה את החצי הקדמי של החתול אבל דוחים כלא-רלוונטי את החצי עם הזנב, ואח"כ עוד מתפלאים שהוא מת.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304344
הייתי מאד שמח אם הייתי נתקל במאמר על מה משפט גדל לא אומר. החתול שלי, אגב, מגלה יותר עניין במשפט האחרון שלך.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304348
''הייתי מאד שמח אם הייתי נתקל במאמר על מה משפט גדל לא אומר.''
קשה להאמין. אין מחשב בעולם שיכול להכיל את כל האינפורמציה הזאת.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304424
יש לי משהו כזה בראש, אבל כבר הבטחתי הבטחות בעבר ולא קיימתי. נראה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304426
אם החתול שלך לא לקה בקטטוניה אחרי תיאורו המפורט של הניסוי של שרדינגר, נראה שהוא בריא בנפשו במידה יוצאת דופן, והעניין שהוא מגלה בתיאור של אלון יכול להיות אקדמי בלבד.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 305578
: ) I'll take it as a compliment

"נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות."
הפיסיקה נסמכת על מודלים מתמטיים המבוססים כל פעם על אקסיומות שונות (גיאומטריות שונות למשל, אני לא יודע אם יש עוד דוגמאות כאלה).
יוצא מכך לפי הבנתי, שאין מתמטיקה אחת שהיא *הנכונה* , המייצגת של המציאות, אלא אוסף גדול (ואולי אינסופי?) של מתמטמיקות אלטרנטיביות אשר הפיסיקאים עושים שימוש תועלתני ופרטי בהן בלבד.
ואם כך, לא ניתן להסיק מנכונות של סט אקסיומות מסויים עבור פתרון בעיה פיסיקלית כלשהי, שיש בסט זה ערך אוניברסלי לכלל האתגרים בעולם הפיסי.

אני עם שכ"ג.
מאמר!
מאמר!
(או לפחות הסבר קטנטן)

"לא יודע. למה לא?"
חשבתי שזו הפרשנות למשפטי גדל.

"מה זה "אם כך"? אם יש ייצוג, או אין ייצוג?"
אם אין ייצוג.

"לגבי הרציפאי: במקום להסתכל על העולם, אפשר להסתכל ישר על המתמטיקה שלו"
קשה לי לדבר ברצינות על חיצים מבלי להסתכל על העולם.
מה זה בכלל חץ בלי קונטקסט פיסי?
ובקונטקסט פיסי זה, ממנו אני מתקשה להפרד (חרף כל הוראותיו של הבודהא, הקבלה ו-neo) לוקח זמן בכדי לעבור מנקודה לנקודה, אפילו אם זהו מרחק קטן ככול שנרצה.
אם יש אינסוף מעברים כאלו, הלא יש אינסוף זמנים כאלו.
מה עושים?
האם הסדרות המתכנסות הן שמלמדות אותנו שבניגוד לאינטואציה הרגילה, סכום זמנים זה אינו אינסופי כי אם סופי בהחלט?
האם סדרות מתכנסות מתייחסות בכלל להנחה (הפיסיקלית) שהזכרתי?

אני מרגיש שאתה מאד משתדל להסביר ואני אסיר תודה על כך.
אולי אני כופה עלייך הליכה סחור סחור סביב חור שחור שהוא בסופו של דבר מחסום אינטואציה,שפה והשכלה שלי.
אם כך הדבר, הרי שזה בודאי מתסכל למדי עבורך, ואני מוכן לחדול ולקבל את בורותי בהכנעה.

תנו לחיות לחיות!!
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 305738
בעצם, מה הבעיה? האם יש לך בעיה, אינטואיטיבית, להבין או לדמיין חלוקה של דקה ללא הגבלה - חלוקה לאינסוף חלקים? אם כן, אז הנה לך אינסוף פרקי זמן שמסתכמים לדקה אחת סופית. מה אני מחמיץ?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306051
כן.. אני חושב שאני מבין עכשו מה שאלון ואתה אומרים,
אם אני דיסקרטאי - אין פרדוקס כי ההנחה של נק' אמצע לכל מקטע אינה תקפה.
אם אני רצפאי - אין פרדוקס כי ביחד עם הרצף אני מתחייב לקבל גם את נכונות הכלי "סדרות מתכנסות" אשר מבטיח לי שגם סכום של אינסוף מספרים חיוביים יכול להיות מספר סופי, ולכן האבן לא תעצר אלא תנוע.

אמרתי נכון?

זה כמובן, בהסתמך על ההנחה (החתולית) שרצפים אינסופיים מחייבית טיפול של סדרות מתכנסות.
האמנם איך שלא הופכים בזה, זה הולך ביחד?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306102
לא, בתגובה לעיל אני רוצה להגיד משהו אחר. אתה לא חייב לדעת שום דבר על סדרות מתכנסות כדי להבין, בצורה אינטואיטיבית לחלוטין, שאינסוף דברים גדולים מאפס יכולים להסתכם למשהו סופי. הניסוח שלי היה, במודע, חסר שחר מבחינה מתמטית: המתמטיקאים הרי למדו להתרחק בגועל ממשפטים כמו "חלוקה של דקה ללא הגבלה - לאינסוף חלקים". עכשיו שאני חושב על זה, כנראה זנון לא היה קונה את זה כפתרון: יש לו הרי פרדוקס (חלוקת הקטע) שמזקק בדיוק את הרעיון הזה, וטוען שזה פרדוקס. אבל בעיני הזיקוק הזה יכול לעבוד בכיוון ההפוך: מכיוון שחלוקת קטע לאינסוף כל כך לא קשה לאינטואיציה, אפשר להשתמש בהבנה הזו כמנוף להשתחרר מהתפיסה לפיה אינסוף דברים חייבים להסתכם לאינסוף. אבל יכול להיות שלמדתי מספיק מתמטיקה כדי לקלקל את האינטואיציה שלי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306249
אתה משתמש פה בתפיסה ובהכרה כבסיס להוכחת קיום. אין בעיה עם זה. השאלה היא למה אתה קורא "תפיסה ברורה"? הלו אם אבקש ממך לדמיין נקודה, ויזואלית יצוץ בעיני דמיונך משהו בעל אורך ורוחב וצבע. מתמטית תגדיר נקודה כגוף חסר מימד. גוף לפי הבנתי הוא משהו נתפס. הנקודה שאתה תופס בדמיונך היא גוף ויש לה 3 מימדים ברורים. מאיפה באה ההגדרה המתמטית?

גם יום מתבסס על הכלים עליהם אתה מתבסס אבל קובע שמושגים אמיתיים (כאלה שיש להם זיקה לעולם כפי שהוא) הם מושגים ברורים הנובעים מרושם של תחושה או הרהור. לדעתו המושג של חלוקה אינסופית נובע דווקא מהקושי שלנו לתפוס את החלקיק הסופי בצורה מוגדלת, למרות שהגיוננו מצביע על קיומו. לדוגמא, נדמיין קיום של יצור הקטן פי 1000 מפשפש הגלוי לחושינו (אמבה ודאי תתאים). יום אומר שאנו מסוגלים להעלות לפנינו באופן ברור את חלקיו של יצור זה זעירים ככל שיהיו, המקבילה לפה, עין וכו. הקפיצה לחלוקה אינסופית נעשית משום שאנו חשים שהיות וקודם לא צפינו ביצור כזה (או בחלקי הפשפש), כלומר דמיוננו וחושינו כשלו בתפיסתו ומכך שיש חלקיקים זעירים אף ממה שאנו מסוגלים לדמיין. העובדה היא לפי יום שאנו מסוגלים לדמיין חלקיק מינימלי ובלתי ניתן לחלוקה, ואם היינו מתאמצים היינו מדמיינים תווים מינימליים של פה עיניים וכו'. (כנ"ל לגבי אטומים - ברוחך אתה רואה חלקיק זעיר עם גרעין מסביבו מסתובבים אלקטרונים, את הגרעין אתה מחלק לפרוטונים ונוירונים, אותם אתה מסוגל לחלק לתת חלקיקים אבל בכל מקרה יש סוף לחלוקה הזו בעיני רוחך, ומכאן שיש לה סוף במציאות).

איננו מסוגלים לתפוס חלוקה אינסופית. היות ומושגינו נשענים על בסיס הכרתנו מובן שאיננו תופסים חלוקה כזו. אני וגם אתה (קרוב לוודאי) מסוגלים לדמיין (דמיון פגום שכן אנחנו סופיים) פעולה אינסופית של חלוקה אבל לא את תוצריה שייצוגם בעינינו בהכרח סופי (הנקודה לעיל). מכאן שיש לנו כשל אינטואיציה ואיננו מסוגלים להפוך את הכיוון ולומר שהיות ואינטואיטיבית זה כל כך קל, משמע זה ייתכן ואף קיים.

טענה שאינה מתבססת ישירות על הכרה היא טענת היחידה. אם יחידה היא מושג אמיתי אז היא גוף סופי שניתן להכפיל אותו עד אינסוף ולקבל גוף אינסופי. אם היחידה היא מושג יחסי וכל נקודה מורכבת מאינסוף נקודות הרי שאין נקודה בודדת (אין יחידה אמיתית) ואי אפשר להרכיב שום גוף, סופי או אינסופי. בגרסה הזו נראה שהרצף לא באמת קיים יש סופיות ודיסקרטיזציה, וזנון צדק למרות שטיב הקשר בין מצב א' (אכילס מפגר אחרי הצב) למצב ב' (הצב מפגר אחרי אכילס) עדיין לא ברור.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310485
אהלן ירדן,
התגובה של האייל הבדוי (תגובה 306249) שיקפה את רחשי ליבי (חוץ מהפיסקה האחרונה שהיתה קשה מעט לעיכול..).
מה פתאום לחלק לאינסוף?!
מה אני כבר מכיר שאני *יודע* שמתחלק כך?
שאלתי את עצמי למה מתעקשת האינטואיציה שלי שסכומם של אינסוף מספרים חיוביים הוא אינסוף, והיא (אחרי התפתלויות לא מעט) ענתה לבסוף שזה מפני שהיא רגילה שכאשר מוסיפים משהו חיובי, אז הסכום גדל, ואם מוסיפים אינסוף פעמים, הסכום גדל באופן אינסופי.
ככה נראה מפנים (כנראה) הקורטקס של הלא-מתמטיקאי הממוצע.
דומני שאכן לימודי המתמתיקה שלך הרחיקו אותך מה-main streem האנושי : )
אגב, בדיוק אתמול ציין חבר באזניי כי נראה כי לעולם לא יוכל להפנים באמת חשיבה רקורסיבית (אשר בלא תנאי עצירה ראוי יכולה להיות אינסופית).

"אינטואיציה היא סכום כל הדעות הקדומות שלנו"
-היתה לי תחושה חזקה שאינטשיין אמר את המשפט הבא אבל לא מצאתי תימוכין ברשת
אז גם האינטואיציה אינסופית?... 310535
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306180
אני חושב שאתה עדיין קצת מבלבל את עצמך. אתה לא "מתחייב" לקבל "כלי"; אין פה איזה מנהל עבודה שמכריח אותך לעשות דברים. סדרות מתכנסות זה לא כלי, זו אבחנה: הבט על המספרים הרציונליים. רואה אותם? רואה שם בקצה את המספרים 0.9, 0.99, 0.999, ...? כמה כאלה יש? (אינסוף). כולם קטנים מאחד? (כן). כולם קטנים ממשהו יותר קטן מאחד? (לא). זהו, לזה קוראים סדרה מתכנסת - זה סתם שם, קיצור, במקום להגיד כל פעם מחדש את התכונות האלה.

אתה מדבר גם על סכומים, שזה משהו טיפה אחר: תסתכל על 0.9, 0.9+0.09, 0.9+0.09+0.009, ... זו אותה סדרה כמו קודם, רשומה כסכום שהולך וגדל. כמו קודם, הוא מתקרב והולך ל-‏1, ואנחנו אומרים בקיצור שהטור האינסופי מסתכם לאחד.

בסוף כתבת "ולכן האבן לא תעצר אלא תנוע". זו אולי הנקודה הבסיסית: הרי לאבן לא באמת אכפת מההגדרות שלנו, נכון? היא לא נעה או עוצרת בגלל ההגדרה של סדרה מתכנסת. היא פשוט נעה. לשמחתנו, המודל המתמטי של מספרים ממשיים (או רציונליים), כולל הקיצורים המקובלים ל"סדרה מתכנסת" ו"טור מתכנס", מתארים את התנועה שלה יופי. לעומת זאת, המודל המתמטי שאומר "יש מספרים רציונליים, אבל כל סכום אינסופי הוא אינסוף" הוא מודל לגיטימי, מאוד משעמם, ולחלוטין לא מתאים לתיאור חיצים ואבנים. אז מי צריך אותו?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306230
מי צריך אותו? כל מי שמתקשה לחשב אינטגרלים.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310489
אהלן אלון,
(רק עתה גיליתי שירדן ואתה טרחתם על תשובות עבורי, תודה)

"אין פה איזה מנהל עבודה שמכריח אותך לעשות דברים. סדרות מתכנסות זה לא כלי, זו אבחנה"
אהממ.. דימיתי אותך כמנהל העבודה שמכריח בעת שאמרת:
"אבל אם *אתה* אומר שהוא רציף, אז *אתה* מכניס סדרות אינסופיות מתכנסות לעולם" (תגובה 304273).

הסדרה 0.9+0.99+0.999 מתכנסת אף היא למספר סופי? נראה לי שלא. (אז למה היא נקראת מתכנסת בעצם?)
ואם לא, מדוע היא עונה לאינטואיציה (הכוזבת, אולי) שלי ואילו הסדרה 0.9+0.09+0.009 לא?
יתכן שכאשר אבין את ההבדל בינהן, אדע גם מדוע סכומם של אינסוף חצאים הינו השלם.

"לשמחתנו, המודל המתמטי של מספרים ממשיים (או רציונליים), כולל הקיצורים המקובלים ל"סדרה מתכנסת" ו"טור מתכנס", מתארים את התנועה שלה יופי..אז מי צריך אותו?"
הוא שאמרתי, אנחנו *צריכים* את המודל המתמטי הזה כדי לעשות סדר בעניינים.
היה לנו פרדוקס:
הדיסקרטאי פתר אותו בכך שפסל הנחה (=לא ניתן לחצות כל דבר לשניים).
הרציפאי פתר אתו בכך שהוסיף הנחה (=מודל סדרה מתכנסת/טור מתכנס).
לפחות עפ"י התער של אוקהם, ידו של הדיסקרטאי על העליונה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310532
1. מי קורא לסדרה 0.9+0.99+0.999 סדרה מתכנסת?
2. הדיסקרטאי שלך מראה איך הפרדוקס נעלם בעולם דיסקרטי (הוא מניח הנחה על העולם לפחות באותה מידה שהוא פוסל הנחה). הרציפאי מראה איך הפרדוקס נעלם *גם* בעולם רציף. אי לכך, הוא נותן תיאוריה רחבה יותר באותו מחיר. אני קונה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310817
חוץ מלהצטרף לשכ"ג, אני רק מוסיף שבכלל לא ברור שהתורה הרציפה מסובכת יותר מהדיסקרטית. במתמטיקה, הרבה דברים נהיים קלים הרבה יותר כשעובדים בממשיים במקום בשלמים.

חוץ מזה, היה נדמה לי (אולי בטעות) שאתה רואה בניסוי המחשבתי של זנון *הוכחה* שהעולם חייב להיות דיסקרטי. אם אתה מדבר על אוקהם, אני מתאר לעצמי שאתה מסכים ששתי האפשרויות קיימות...?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310854
עברתי על התכתובת מאזכור "המנושל" (ספר נהדר גם לדעתי) ואני מוצא משהו לא ברור בז'רגון הרציף. כמובן שאפשר לומר שנוח לראות את העולם כך או אחרת ולהשאיר את הפרדוקס בצד, אבל עדיין איני מבין איך אתם רואים אותו כמוכרע "רציפית".

אם ניקח את רצף התמונות של גדי, מה זה משנה שעל כל תמונה עוברים פעם אחת? יש אינסוף תמונות שמראות את האבן באינסוף מקומות ועלי לעבור על כל תמונה. אין שום סיבה שבמהלך חיים אינסופיים אני אצליח להגיע לתמונה שכתוב בה - האבן מצויה בנקודה 0.1. משום שגם בינה לנקודה 0 יש אינסוף תמונות. אם אני לא עובר על כל תמונה, אני מבצע הוקוס פוקוס או דיסקרטיזציה.

אם מדברים על האפסילון סביבה של האבן והקיר, נאמר שהאבן רצה מימין לשמאל, ונאמר שרואים את האבן והקיר באותו תצלום, אם יש אינסוף נקודות לעבור, האבן תמיד תהיה באפסילון סביבה ימנית של הקיר, ותמיד אוכל למצוא אפסילון קטן כרצוני, להגדיל את התמונה כך שתכיל רק את אפסילון סביבה זה, ולראות רק קיר בלי אבן.

נניח שצולם הרגע הרציף המיוחל בו הסיוט נגמר והאבן נגעה בקיר. האבן היא גוף שמורכב מאינסוף נקודות, האם קיימת נקודת קצה של האבן ונקודת קצה של הקיר שנוגעות זו בזו? למה אי אפשר לחלק אותן? הרי הכל רציף, גם המרחב וגם החומר שמצוי במרחב. איך שתי נקודות בעלות מימד אפס (לא משהו קטן כרצוננו, פשוט אפס) נוגעות זו בזו? אם הן יצליחו לעשות זאת, מה קורה להנחת צפיפות המספרים הרציונליים (כמדומני זה שמה)? יוצא שקיימות שתי נקודות שביניהן לא קיימת אף נקודה לא?

ובעניין ההתכנסות, מה מתכנס לאן? אם האבן עוברת אינסוף נקודות לאורך מרחב תנועתה, למה שהגבול יהיה בנקודת הקיר? למה לא ב-‏0.1, או בכל נקודה אחרת? יש שם אינסוף גבולות פוטנציאליים. זרקתי אבן וטענתי אותה באנרגיה. אם האנרגיה סופית, והאבן מצויה במצב אנרגטי שונה בכל נקודה ונקודה (אחרת יש לנו חוסר רציפות אנרגטי) וכן יש אינסוף נקודות, לא ייתכן כאן קוואנט של אנרגיה. ושוב אפשר לעשות אנלוגיה אנרגטית לטענת המרחק וכו'.

אם אנו רוצים לבחון מרחקים קטנים כרצוננו, הרי שבסוף אנו צריכים לבחון את המרחק שגודלו 0 (לא חייבים, אפשר להלביש את הפרדוקס על בחירת המרחקים ורצוננו נתקע גם הוא). למה את המרחק הזה מאשרים בנגיעת האבן בקיר, אבל מתעלמים ממנו במעבר בין נקודה לנקודה? כשאבן עוברת בין שתי "נקודות סמוכות שמימדן 0" (אין דבר כזה למיטב הבנתי, או שהן לא סמוכות או שמימדן סופי ואינו 0) איך בדיוק היא מבצעת את המעבר? היא נעה? לא נעה? מאבדת אנרגיה? קורה שם משהו בכלל? והרי הדרישה הזו קיימת לאורך כל הקטע, ולא רק בנגיעה בקיר.

אם מקבלים את הנחות הפרדוקס, או שאין ריבוי, או שהעולם הוא דיסקרטי ויש לנו בעיה במעבר בין חלקיקים סופיים של זמן ומקום. אם לא מקבלים את ההנחות, אז בסדר. בעייה בקשר הלוגי בין הטענות של זנון (בקבלת ההנחות) אני לא רואה, ולמיטב ידיעתי אף אחד לא הצביע על כזו.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310858
"עדיין איני מבין איך אתם רואים אותו כמוכרע "רציפית"."

מי זה "אתם"? אני, למשל, לא רואה את שאלת דיסקרטי/רציף כמוכרעת, ונדמה לי שגם ציינתי זאת בפירוש.

לגבי כל ההמשך - לפני שניגע בפרטים, אני מנסה להבין מה אתה רוצה להראות. על זה שחיצים עפים ואבנים פוגעות בקירות אנחנו מסכימים, נכון? עכשיו מה הטענה?

1. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים מכילה סתירות פנימיות.

2. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים אולי לא סותרת את עצמה, אבל היא סותרת את ההגיון הבריא.

3. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים אולי טובה כתרגיל מופשט, אבל לא ייתכן שיש קשר כלשהו בינה לבין חיצים ואבנים בעולם האמיתי.

4. משהו אחר?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310870
אתה צודק :)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310964
במה? (לא כל כך הבנתי את התשובה).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 311286
אתה צודק בזה שאמרת שהעניין בלתי מוכרע. לגבי הבעיות שהעלית כאופציונליות, יהיה מעניין לקרוא את הניתוח לגבי כל אחת (אבל אני מניח שעשית זאת).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 311390
1. התורה המתמטית של הממשיים (או הרציונליים) לא מכילה שום סתירה, ככל הידוע לנו, ומי שטוען שיש כזו יצטרך להסביר את עצמו מאוד מאוד במדוייק.

2. התורה הנ"ל מאוד הגיונית, ואם יש בה דברים הנראים לא אינטואיטיביים, אפשר בד"כ להתגבר עליהם די מהר. הרבה אנשים עשו זאת בהצלחה.

3. אם משתמשים במשוואה x=vt לתיאור תנועתו של כדור הנע בקו ישר (נניח), מתקבלת התאמה נהדרת בין המודל המתמטי למדידות האמפיריות. כנ"ל עבור חיצים, אבנים שפוגעות בקירות, וכו'.

התהיות שהעלית לגבי נקודות 0-ממדיות, חלוקת המרחב, תנועה מנקודה לנקודה וכו' - כולן נפתרות בקלות במודל המתמטי הדי-פשוט הזה. כאמור, ייתכן שבעצם הכל דיסקרטי; לא נורא. אבל אני לא רואה איך אחת מהשאלות שהעלית מחייבת אותנו לפסול את המודל הרציף (וכאמור, לא הצלחתי אפילו להבין אם זה מה שאתה טוען).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 311753
טוב, יש באמת צורך להבהרה של מה שאני טוען. איני טוען שזנון צדק. התורה של פרמנידס רחוקה מלהסביר את המציאות. פרמנידס טען לבסוף שהחושים מטעים והמחשבה מגיעה לאמת, לפיכך גרסת המחשבה היא העדיפה. עם זאת, המחשבה של פרמנידס מניבה קפאון טוטלי ושום דבר מעבר לזה. לו הייתה מביאה הסבר לתודעה, הייתה פותרת אותנו מהפרדוקסים ונותנת תשובה טוטלית. במקום הסבר היא רק מעלה שאלה. אפשר לדחות את השאלה בדחיית ההנחות. אפשר לקבל את ההנחות ונשארת בעיה. הבעיה הזו מובילה אותנו לספקנות.

קיימת התאמה נהדרת כמו שכתבת בין המודל המתמטי למדידות האמפיריות. עם זאת, ההתאמה לא מושלמת, יש בעיות ואין בטחון שמדובר רק בחוסר בפרטים המוכנסים למודל ולא בפגמים בסיסיים יותר כמו מודל לא שלם או שגוי בחלקו. מדובר במודל תיאורטי ולא בתיאור נאמן של המציאות.

כשקראתי את תגובתך האחרונה הבנתי מה בלבל אותי בפתיל הזה. מצד אחד אתה גורס (תגובה קודמת שלך) שהפרדוקס לא מוכרע, ואף כתבת זאת קודם. מצד שני יש תחושה של נחרצות לגבי נכונות התורה המתמטית של הממשיים, והסיוג ''ככל הידוע לנו'' נראה לי סתמי לעומת הטון הכללי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 311865
"ההתאמה לא מושלמת, יש בעיות" - במכניקה של תנועת גופים? אילו בעיות?

"תחושה של נחרצות לגבי נכונות התורה המתמטית של הממשיים" - הנחרצות מתייחסת לדברים שציינתי: הפרדוקסים-לכאורה אינם באמת פרדוקסים, ואינם מצביעים על כשל בתורה המתמטית או בהתאמתה למציאות.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306179
It was meant as such...

"הפיסיקה נסמכת על מודלים מתמטיים המבוססים כל פעם על אקסיומות שונות". זה לא ניסוח מדוייק; הפיסיקה לא "נסמכת" על מודלים מתמטיים, אלא פיסיקאים בוחרים (או ממציאים) מודל מתמטי המתאר היטב את העולם כפי שהם מבינים אותו. מודל כזה יכול להיות מוחלף, עקרונית, רק מסיבה אחת: תגליות אמפיריות הסותרות את המודל הקיים. זה קורה מדי פעם, אבל אני לא רואה סיבה להסיק מכך שיש אוסף "גדול" של מודלים אלטרנטיביים, רלוונטיים כולם - בטח שלא אוסף אינסופי. ברור שגם אם יום אחד יתגלה המודל המתמטי הגדול והמאוחד, הרבה פיסיקאים ימשיכו לעבוד עם מודלים אחרים משיקולי נוחות, כמו שכיום לא משתמשים בתורת היחסות במערכות לניווט מטוסים. זה לא סותר את ההנחה הסבירה שיש מציאות פיסיקלית אחת והיא ניתנת לתיאור ע"י מודל מתמטי יחיד - כנראה, מודל די מסובך.

אולי צריך להדגיש: גם אם הגאומטריה של היקום היא, נניח, היפרבולית, ופיסיקאים ממשיכים להשתמש בגיאומטריה אוקלידית כשהם מסתכלים על כדורי גולף, זה לא בגלל שאין מתמטיקה "נכונה". יש אחת כזו (ההיפרבולית) ויש אחרת (האוקלידית) המהווה קירוב טוב מספיק, והיא יותר נוחה.

"חשבתי שזו הפרשנות למשפטי גדל."

לא ממש. בכלל, פרשנויות למשפט גדל הן דבר מסוכן: אם אתה רואה אחת, כדאי לסגת אחורה בזהירות ולקרוא למישהו (נגיד, לי. אני אשמח לנסות להתיר את הסבך).

אני אנסה לנסח את ההתנגדות שלי לפרשנות הזו. אפשר לומר (בצורה פשטנית) שהפיסיקאים חולמים להגיע לרשימה ממצה של אבני-הבניין של היקום ותיאור מדוייק של ההתנהגות שלהם, עד שניתן יהיה "לנבא את העתיד" - לומר מה יהיה מצב העולם, או חלק שלו, בכל נקודה בזמן.

יש כמה מכשולים מאוד עקרוניים בדרך להגשמת החלום הזה - למשל, בעיית האינדוקציה (אנחנו צופים רק בחלק זערורי של העולם, וכל השאר זו אקסטרפולציה לא מבוססת), בעיית דיוק המדידה, הסיבוכיות העצומה של פתרון המשוואות המתארות אפילו מצבים פשוטים מאוד ו(כנראה) גם הקשיים שמערימה מכניקת הקוונטים. לאף אחד מאלה אין כל קשר למשפט גדל. אם אתה מוכן לקבל את הגשמת החלום בתור הכרה פיסיקלית מלאה של העולם - גישה סבירה, להערכתי - אז אין כל סתירה בין המשפט להכרה כזו.

אם מתעקשים, אפשר לדמיין מצב שבו כל הבעיות הקטנות הללו כבר נפתרו, ואנו מביטים במודל פורמלי ומדוייק של העולם. אפשר לתאר, במצב כזה, שתהיינה שאלות שאין לה תשובה מסיבות "גדליות" (יש כמה דוגמאות מתחת לתגובה 175910), אבל יש הרבה סייגים: ראשית, אין כל ערבות שאכן תהיה בעייה כזו שיש בה איזשהו עניין פיסיקלי קלוש, ושנית, מדובר רק על בעיות הכוללות באיזשהו אופן את מושג האינסוף, שהוא אולי בכלל לא רלוונטי. יש עוד, אבל נשאיר משהו לאחר-כך.

כדי לחדד את העניין, שאל את עצמך - מה קורה אם כל היקום היה רק מערכת פשוטה, דטרמיניסטית, נניח מכונת טורינג בינונית, או המשחק "לייף". נניח שה"פיסיקאים" בחנו ולמדו ופיענחו לחלוטין את כל ה"יקום" הזה. זה אומר שאין להם שום בעייה לחזות *בדיוק* מה יהיה מצב כל היקום עוד שנייה, מחר או בעוד שבעת-אלפים שנה ויומיים. האם הם זכו להכיר את עולמם? הייתי אומר שכן. אבל ייתכן שהם לא יוכלו לענות על שאלה כמו "האם היקום שלנו ימשיך להתפתח לנצח, או שמא הוא יקפא מתישהו". זה אפשרי, אבל - הסיכוי לזה כנראה קטנטן, ובעצם עד כמה זו בעייה עקרונית? שים לב שעל השאלה "האם היקום עדיין יתפתח בעוד מיליארד מיליארדי שנים" אין שום מניעה (גדלית) להשיב. חוץ מזה, אם היקום שלהם הוא, במקרה, לא אינסופי (למכונת הטורינג יש "רק" 10 בחזקת 1000 משבצות על הסרט), גם השאלה הזו נפתרת. וממילא אין לפיסיקאים, הצופים בסביבתם הקטנה, כל דרך לדעת אם הסרט באמת אינסופי, או סתם ענק.

לסיכום, יש לפיסיקה מספר אתגרים יסודיים הרבה יותר ממשפט גדל להתמודד איתם, ורק לשוליים הסהרוריים שלה יש (אולי) עניין מסויים בו (ליתר דיוק, בדודנים שלו).

על השאר (חיצים וזנון וכאלה) אני אענה, אם עוד יש צורך, בפתיל שהתחיל ירדן.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306060
>>"האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות?"

נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות.>>

אבל המציאות, דומני, מתקשה לתת יצוג הולם למתמטיקה. ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות. בהם מיני יצורים שכבר הוזכרו בדיון זה.
יוצא שהמתמטיקה מצליחה לייצג את המציאות תוך שימוש בכלים שאין להם אח ורע במציאות.
זה עובד. נכון. אבל אנחנו לא יודעים איך.
האם המתמטיקה היא המצאה אנושית ?
האם היא "קיימת" בכלל ?
היא קיימת בתודעתנו, אבל המתמטיקה עצמה, לרבות 2=1+1, לא נמצאת בעולם התופעות. היא רק החוקיות שאנחנו מגלים מאחורי התופעות.
איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות ?

אני מסכים עם הסיפא - המציאות היא רציפה או דיסקרטית.
אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא ?

מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן.
אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה. מאז היחסות הכללית הם שלובים זה בזה. לכן קל יותר להאמין שגם למרחב זמן יש קוואנטום מינימלי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306181
"ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות".

נכון, אבל... אז מה?

"זה עובד. נכון. אבל אנחנו לא יודעים איך".

אני לא בטוח שאני מבין את השאלה "איך זה עובד?", אז אני לא נורא מתפלא שאנחנו לא יודעים להשיב עליה.

"האם המתמטיקה היא המצאה אנושית?"

בוודאי.

"האם היא "קיימת" בכלל?"

כאן אין ברירה אלא להיאנח ולשאול, למה אתה מתכוון ב"קיימת". תפיסתי האישית היא שהמספרים הטבעיים (למשל) קיימים בהחלט, אבל אני מתנצל מראש ומזהיר ששאלות מסוג זה נראות לי עקרות.

"איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות?"

זה סוג של קיום שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות. מין קיום שכזה.

"אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא?"

גם דיסקרטית יכולה להיות אינסופית (מה הקשר?). מה זה "סופיות היקום מכל העברים"? איך (בשם שמיים) מתחייב ממשהו מסוג זה קיום "בורא עולם"?

"מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן."

אתה *בטוח* שאתה מתכוון למאמר על האפקט הפוטו-אלקטרי? למה נובע ממנו שהחומר, נניח, לא יכול להיות רציף?

"אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה."

למה?

"לכן קל יותר להאמין שגם למרחב זמן יש קוואנטום מינימלי."

זו אפשרות. אני לא בטוח שרוב הפיסיקאים יסכימו עם הניחוש הזה, אבל אולי.
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310490
האם לא הראה אינשטיין במאמרו על אפקט הפוטואלקטרי שאור מתנהג באופן חלקיקי, כלומר דיסקרטי?

"אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה"(תגובה 306060)
שאלה:
מה קיים מלבד חומר ואנרגיה (אשר חד הם אם להאמין לאינשטיין)?
אינפורמציה? תודעה? אלוהים?
מה עוד יכול מרחב לאכלס?
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310533
מאיפה באה הדרישה שמרחב יאכלס משהו?
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310581
''אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה''
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310583
אה, זה נשמט מעיני. תודה.
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310799
פרמנידס, שוב.
אה, וגם היחסות הכללית אומרת על זה משהו.
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310803
הוא הראה שאפשר להסביר התנהגות של תופעות מסויימות בעזרת ההנחה שאור מתנהג כחלקיק (בתופעות אחרות עדיף דווקא לחשוב על האור כגל). אין בעיני קשר ברור לשאלה אם המרחב רציף או דיסקרטי.

אני רק רוצה להזכיר שהמשפט ''למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה'' הוא לא שלי...

אני לא ממש יודע איך להשיב על השאלות האחרות.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315532
1.
- ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות".

- נכון, אבל... אז מה?

- אז השימוש בדברים שאינם קיימים במציאות הפיזיקלית (= מטאפיזיים) לתאר דברים פיזיקליים באופן שיוכל לנבא את התנהגותם בעתיד טוען לאיזה קשר או לפחות קורלציה ביניהם. טענה שאינה טריוויאלית כלל.

2.
- אני לא בטוח שאני מבין את השאלה "איך זה עובד?"

- העולם הפיזי מתנהג בצורה מסוימת. אנחנו בונים מודל מתמטי להתנהגות זו בתודעתנו. המודל מצליח לנבא את ההתנהגות העתידית בעולם הפיסי. הוא עושה זאת ע"י שהוא מגלה חוקיות מסוימת בהתנהגות העולם הפיסי. האם החוקיות הזו נמצאת באמת בעולם הפיסי או רק במודל ?
אם רק במודל, כיצד ממשיך העולם הפיסי לעקוב אחר הניבוי ?
אם החוקיות עצמה נמצאת בעולם התופעות, אז המתמטיקה נמצאת שם גם.

3.
- האם המתמטיקה היא המצאה אנושית?

- בוודאי.

- כלומר שאין לה דבר עם עולם התופעות ולכן סעיף 1. ו 2. לעיל.

4.

- איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות?

- זה סוג של קיום שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות. מין קיום שכזה.

- קיום מטאפיסי

5.
- אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא?

- גם דיסקרטית יכולה להיות אינסופית (מה הקשר?). מה זה "סופיות היקום מכל העברים"? איך (בשם שמיים) מתחייב ממשהו מסוג זה קיום "בורא עולם"?

- קח יקום עם מרחב זמן דיסקרטי והרץ קדימה מהמפץ הגדול עד היום. האם אין זו מטריצה סופית ? ואם מושג האינסוף אינו קיים במציאות הפיסיקלית עד כה כיצד יוכל להופיע ? ואם מושג האינסוף אינו קיים במציאות הפיסיקלית אך כן קיים במתמטיקה (המטאפיסית) אשר במערכת ההפעלה שלו אז ... (קפיצת הדרך מנטאלית לא מסודרת עדיין) יש אלוהים.

6.
- מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן."

- אתה *בטוח* שאתה מתכוון למאמר על האפקט הפוטו-אלקטרי? למה נובע ממנו שהחומר, נניח, לא יכול להיות רציף?

- מודה ועוזב. אבל ראה את הדיון מ תגובה 312698 והלאה, העוסק ברציפות התכונות הבסיסיות, ובסיומו תגובה 313054
"מה שנותן את ההרגשה שהמודל הנוכחי הוא חלקי בלבד (כמו הפיזיקה של ניוטון ביחס ליחסות) וקיים מודל סופי שיקוונטט את הגרביטציה ויסביר באופן טבעי את כל האיברים המאולצים."

7.
-אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה.

למה?

- תגובה 310533
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315533
אין לי יכולת להתייחס להכל; זה או מסובך לי מדי, או שאני לא מבין אותך. אציין רק ש"המתמטיקה" איננה אטום שאינו ניתן לחלוקה; יש בה כל מיני חלקים, חלקם דורשים את מושג האינסוף, חלקם לא. אם היקום דיסקרטי וסופי, מסתמא אין צורך במושג האינסוף המתמטי כדי לתאר אותו. לא צריך לרוץ לאלוהים.

באותו אופן, המתמטיקה היא המצאה אנושית, שחלקים ממנה נבעו מהרצון לתאר את עולם התופעות, וחלקים אחרים לא.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315618
"תפיסתי האישית היא שהמספרים הטבעיים (למשל) קיימים בהחלט,"
מדוע דווקא הטבעיים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315652
יש מושגים מתמטיים יותר ראשוניים ופחות מעורפלים מאחרים. אני אישית מאמין שלבעייה כמו "האם יש אינסוף twin primes" יש תשובה חד-משמעית; לבעייה כמו השערת-הרצף, אני פחות בטוח: היא נשענת (באחד הניסוחים) על המושג "קבוצה-שרירותית-של-מספרים-טבעיים", שהוא מושג פחות ברור מ"מספר טבעי".

בכל אופן, אני לא מתכוון לומר שהטבעיים "קיימים" במובן שניתן למצוא אותם זרוקים באיזה מחסן במעלה-החמישה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315661
שאלה לא הכי קשורה על משהו שמציק לי: יש שמועות מרושעות שהשערת גולדבך עלולה להתגלות בתור אחד מהדברים הללו שאי אפשר להוכיח או להפריך במערכת של ZFC. עכשיו, אני יכול לקבל את זה שייתכן שלא נוכל להוכיח שההשערה נכונה אף פעם, אבל לא ברור לי האם זה גורר שקיימת מערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה נכונה, ומערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה לא נכונה. אם תגיד לי שזה לא גורר את זה, אני אשתוק. אחרת, יש לי שאלת המשך.

לצורך ההקבלה - אם הבנתי נכון, יש מערכת שמכילה את ZFC (או אולי ZF? או פאנו? אני לא ממש יודע) שבה השערת הרצף נכונה, ואחת שמכילה את ZFC שבה היא לא נכונה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315666
לשמועות מרושעות אסור להאמין. הם עוד ישכנעו אותך להתנתק מ-ZFC או לנתק את C מ-ZF, ואז אנא אתה בא?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315670
דיברנו על זה פעם, חפש "גולדבך" בדיון על הטרחנים הכפייתיים. יש פה כמה דקויות שצריך להיזהר מהן.

השערת גולדבך GC היא פסוק מהצורה "לכל n מתקיים ש-...", כש-"..." היא נוסחה הניתנת לבדיקה פשוטה בזמן סופי לכל n נתון. לכן, אם GC אכן לא תלויה באיזושהי אקסיומטיזציה של המספרים הטבעיים כמו PA או ZFC, אז בפרט היא *נכונה* עבור המספרים הטבעיים הסטנדרטיים (כי אם לא, היתה דוגמה נגדית, ודוגמה כזו ניתנת להוכחה בכל מערכת סבירה כזו). מכאן שאם אפשר *להוכיח* ש-GC לא תלויה ב-PA, למשל, זו תהיה הוכחה (משונה קצת) לנכונותה של השערת גולדבך הטבעית. המצב הוא אחר לגמרי עבור טענות אחרות על הטבעיים, כמו twin primes.

שים לב גם שאם *מוכיחים* ש-GC לא תלויה במערכת X, זה גורר שהמערכת X היא עקבית, ולכן לא ניתן לבצע את ההוכחה ב-X עצמה. אפשר, למשל, להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-PA, אבל אי אפשר להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-ZFC - בשביל זה צריך מערכת אחרת שבה אפשר להוכיח את עקביות ZFC, ואין מי יודע מה מערכות כאלה שאנשים נוטים לקבלן כמובנות-מאליהן.

הניסוח שלך, "מערכת שמכילה את ZFC" אינו מדוייק. צריך לומר "מודל של ZFC שבו השערת הרצף נכונה, ומודל אחר שבו לא". וכן, זה אכן המצב.
הערונת 315770
לגבי הוכחות אי תלות ועקביות, אתה כמובן צודק, אבל הטיעון הנ"ל נכון לכל משפט שעליו אומרים "הוכחנו עקביות" או "הוכחנו אי תלות". בדרך כלל לא מתחילים ממערכת פורמלית חזקה יותר, אלא עובדים ב-ZFC ומוכיחים עקביות יחסית כלומר מוכיחים את המשפט הפורמלי:
Con(ZFC)->Con(ZFC+CH)

הערונת 315791
נכון, במיוחד ל-ZFC. נדמה לי שהוכחות אי-תלות ב-PA דווקא לעיתים נעשות פשוט ב-ZFC (או בחלק שלה), למשל משפט גודסטין הזכור לטוב.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315673
1. אני לא יודע מה רוצים מהשערת גולדבך. קצת קשה אז נשברים? אני לא רואה שום סיבה לחשוב שהמשפט הזה לא נובע (הוא או שלילתו, אבל רק האפשרות הראשונה סבירה) מ- ZFC.

2. השערת גולדבך אינה סימטרית. אם היא *לא נכונה*, אז אפשר להשתכנע בכך בזמן סופי (יש מספר זוגי N כך שלכל מספר ראשוני קטן יותר, N-p אינו ראשוני), ולכן זה נובע מ- ZFC. לעומת זאת אם היא כן נכונה אבל משום-מה לא יכיחה ב-ZFC, אפשר לצרף אותה (או טענה אחרת שההשערה נובעת ממנה) כאקסיומה נוספת.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315712
1. תאשים את הספר ההוא על "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", שהמרצה שלי ללוגיקה אהב לרדת עליו. תמים ככל שיהיה, שמעתי שמועות מרושעות על שני אנשים שעזבו את הפקולטה למתמטיקה אחרי שקראו אותו. כן, אני בטוח שהם היו עוזבים גם ככה. כן, אני לא צריך להקשיב לשמועות מרושעות.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315675
בקשר ל-‏1 של עוזי, כדאי גם להזכיר (שכחתי קודם) שהשערת גולדבך כבר "כמעט" הוכחה (ביותר ממובן אחד), והיא נראית בהישג-יד. לאור זאת היא באמת לא מועמדת מוצלחת מדי להשערה-אולי-לא-תלויה. מועמדות מוצלחות הרבה יותר הן P=NP או בעיית ה-‏3n+1, למשל.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315771
כמובן שהבחירה בגולדבך היא בגלל שקילקלו לנו את פרמה ואין שום קשר לסבירות של תלותיותה. אתה יכול לפרט (או ללנקק) בקשר לכמעט הוכחה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315781
מה זה "קלקלו לנו את פרמה"? בזה שהוכיחו אותו?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315807
אכן.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315790
2. תגובה 212764.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315668
טוב שהבהרת שזה לא במעלה החמשה. נדמה לי ששם מחזיקים רק את האלכסון של קנטור.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300530
תודה על הסבר הפרדוקס. את פרדוקס אכילס והצב, למשל, הבנתי מרגע שהיכרתי אותו, כנראה בזכות האופן שבו הוא הוסבר לי. פרדוקס החץ, במקומות אחרים, מוסבר משום מה באופן מאוד לא ברור. כאן, אני לא מבינה רק למה צריך היה להפוך את החץ לאבן.
מאידך גיסא, ההנחה שהמרחב בדיד בהחלט לא מתיישבת עם השכל הישר יותר משמתיישבת איתו ההנחה שהחץ נשאר ללא נוע. מה הרווחת מזה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300686
"ההנחה שהמרחב בדיד בהחלט לא מתיישבת עם השכל הישר יותר משמתיישבת איתו ההנחה שהחץ נשאר ללא נוע. מה הרווחת מזה?"
במה שונה הדבר מההנחה המקובלת על רובנו שלחומר יש אבני בניין סופיות?
דמוקריטוס טען שאם נמשיך ונחלק גוש חומר נגיע בסוף לנקודה בה לא נוכל לשוברה עוד מפני שהיא במצב אטומי (=בלתי ניתן לפירוק).
את אומרת שהנחה זו קשה כמו ההנחה שהאבן נעה ואני לא מבין למה.
מה לאינטואיציה שלי ולמקטעי מרחב זעירים? אולי הם באמת בדידים? (ואם כן אז הרווח שלי הוא לגלות זאת)
לעומת זאת, לאינטואיציה שלי יש הרבה מה להגיד על אבנים בגודל המוכר לנו, אשר נוע תנוע.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300780
מעניין. נראה שהאינטואיציות הבסיסיות ביותר שונות מאוד אצל אנשים שונים. עולם בדיד *ממש* לא ברור לי. מושג ההתכנסות, לעומת זאת, הגיוני בהחלט. (מעניין למה. דווקא לא שמו לי יותר מדי גבולות בילדותי הרחוקה, נדמה לי).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300713
דווקא התגובה של ארז ליבנה לתגובה שלי הייתה מאוד לעניין.

יש בעייה - בשביל לפתור את פרדוקס זנון, או אכילס והצב, יש צורך במושג התכנסות, והמושג אינסוף.
אלה מושגים מאוד מאוד מופשטים - אנחנו לא יכולים לתאר בדמיוננו את המושג אינסוף בשום אופן. אין שום דבר ממשי שאנחנו רואים, שומעים, או חושבים, שהוא אינסופי. חיבור אינסוף מספרים הוא לא אפשרי הלכה למעשה.
מה שכן אפשר זה להגדיר אותו מתימטית מאוד במדויק. ולנסח תורה קונסיסטנטית לחלוטין שמטפלת באינסופים.

לי אישית לקח בדיוק שלושה חודשים שלמים, יום אחרי יום. להבין את ההגדרה של הגבול. אני זוכר בדיוק את התאריך - 15.1.93. היה גשם נוראי. :)

ככה שהטענה שהטבע מחייב את מושג האינסוף, למרות שאנחנו לא יכולים לתפוס אותו, היא קפיצת מדרגה מאוד קשה.

אין דבר. מתרגלים.

בקשר לשחמט - אני לא מכיר את ההוכחה. תוכל לתמצת לי אותה? אבל אולי אתה צודק. חשבתי על זה - למשל יש את ההוכחה שהיקום סופי (או במרחב או בזמן) - בהנתן ששמי הלילה אפלים. (כלומר - לא מגיע אלינו אור כוכבים מכל מקום ברקיע). כמובן שההוכחה לא נותנת מספר לגודלו של היקום.

בעצם איך זה יכול להיות? זה עדיין נראה לי חשוד....
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300715
מניין לך שבכל היקום יש כוכבים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300725
אפשר לשאול שאלה חזקה פחות: מנין לך שצפיפות הכוכבים בכל היקום קבועה?

אה, הפרדוקס של אולברס, זכר לימים רחוקים.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300716
אני מסוגל לדמיין את מושג האינסוף בקלות. אני תמיד חושב על קטע שמציין את ציר המספרים בין 0 ל-‏1 וזוכר שבין כל שתי נקודות שנמצאות עליו יש עוד נקודה, וכך הלאה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300721
מעניין שלאינסוף הזה הגעתי בגיל מבוגר יחסית, בעוד שכבר בתור ילד די צעיר (קשה לי לשחזר, אבל כנראה בכתות הנמוכות של בית ספר יסודי, או אולי אפילו בגן) הכרתי את האינסוף כתשובה למהו הספר הגדול ביותר. מיליון‏1? אז כמה זה מיליון ועוד אחד?

___
1 לא שידעתי כמה זה מיליון, או אפילו אלף, אבל ידעתי שזה המון.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300883
גם אני חשבתי על אינסוף ככה בתיכון, והסתבכתי די קשה במפגש הראשון שלי עם עוצמות. הרי את התכונה הזו יש למספרים הרציונליים בדיוק כמו לאי רציונליים, אז למה האינסוף של האי רציונליים הוא "יותר גדול"?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300895
אני לוקח את הבעיות אחת-אחת. מספיק לי קודם כל לתפוש מה זה אינסוף, אחר כך לעשות סדר בין האינסופים.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300923
הבעיה היותר גדולה שלי הייתה, למה אינסוף הרציונלים אינו גדול יותר מזה של הטבעיים. השקילות הזאת אף פעם לא הסתדרה לי יותר מדי טוב. (כן, אני מכירה את הפונקצייה, אז מה?)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301001
לטעמי זה הרבה פחות לא-אינטואיטיבי, מהטעם הפשוט שאנחנו רגילים לחשוב על אינסוף "יחיד". אז אם יש "המון" מספרים טבעיים ויש "המון" מספרים רציונליים, כל עוד לא עשינו הבחנה בין סוגי אינסופים אי אפשר לצפות שיהיו "יותר" רציונליים מטבעיים. נכון, אמנם, שמרגע שמגלים שיש "יותר" אי רציונליים מרציונליים הפתח הזה נפתח.

דרך טובה לנסות ולהבין למה זה הגיוני שיש אותו מספר רציונליים כמו טבעיים היא לזכור מה זה בעצם רציונלי - כל מספר רציונלי ניתן להצגה בתור זוג של מספרים שלמים (ואני מניח שאת מסכימה שזה הגיוני שמספר השלמים הוא כמספר הטבעיים). זה אפילו פחות מזה - יש הרבה זוגות שמייצגים את אותו מספר רציונלי (1/2, 2/4, וכו') אבל מספיק להיות לארג'ים ולהניח שכל מספר רציונלי מיוצג על ידי זוג מספרים טבעיים. לכן השאלה הפשוטה היא: האם יש יותר זוגות מספרים שלמים מאשר מספרים שלמים?

אותי הנקודה הזו מאוד בלבלה בהתחלה, דווקא בהקשר של מספרים ממשיים ("האם בריבוע היחידה יותר מספרים מאשר בישר היחידה"?) ואני אתקשה לשכנע אותך לקבל את זה אינטואיטיבית - אבל לפחות יש לנו יתרון אחד והוא שהפסקנו לדבר על "טבעיים" ו"רציונליים", שביניהם יש ניגוד חריף שבגללו האינטואיציה שלנו מסרבת לקבל את שקילות הגודל שלהם: הטבעיים הם "בדידים" ואילו הרציונליים "צפופים", במובן זה שבין כל שני מספרים טבעיים סמוכים אין אף מספר טבעי, ואילו אצל הרציונליים לכל שני מספרים ניתן למצוא אחד ביניהם.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301009
כן, רק שהצפיפות של הרציונלים יוצרת בעיה דומה מהכיוון ההפוך - אינטואיטיבית, נדמה שהעצמה שלהם הרבה יותר קרובה לזו של הממשיים.
וכמובן, הבעיות החריפות יותר מתעוררות בקרדינלים הגבוהים...
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301019
אכן, כתבתי כאן קודם שלדעתי החלק הבאמת לא אינטואיטיבי הוא ההפרדה בין הרציונליים לממשיים (אני חושב שקנטור עצמו צוטט כאומר דברים בסגנון "ההוכחה הייתה נכונה, אבל לא יכלתי להאמין לה"). אבל אני לא בטוח שדווקא בקרדינלים גבוהים מתעוררות בעיות (איזה? כי הרי מרגע שעזבנו את הממשיים כבר הרבה פחות קל לדמיין את מה שהולך שם ולכן האינטואיציה לא שווה הרבה ממילא, ויש לנו את משפט קנטור על קבוצת החזקה שמבטיח לנו אינסוף קרדינלים שונים, ודווקא מוכיח את זה בצורה די אלגנטית ואינטואיטיבית.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301022
הבעיה בקרדינלים הגבוהים היא כבר לא בדיוק של אינטואיציה, אלא של כל מיני משפטים ש''מתקלקלים'' שם.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301023
איזה? זה מעניין, אני מכיר הפרדות חדות רק בין אלף אפס ועוצמת הרצף. כמובן, קרוב לודאי שזה בגלל שלא למדתי ברצינות שום דבר שמתעסק עם עוצמות גבוהות יותר...
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303091
אם מדברים על השוואת גדלים (של קבוצות, דה) ואינטואיציה, אני רוצה להזכיר כאן את תגובה 226962.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303092
תודה על התגובה. למען האמת לא חשבתי על "הכלה", למרות שהוא הרבה יותר אינטואיטיבי אפילו מרעיון ה"התאמה". הבעיה הבסיסית בגישה הזו היא, כמובן, שגם קבוצות סופיות (על מושג ה"כמות" אצל קבוצות סופיות אין ויכוח, נכון?) בעלות אותה כמות איברים יכולות שלא להיות מוכלות אחת בשנייה בכלל, כי אין בהן את אותו סוג איברים. לכן ההשוואה הופכת להיות לא-מוגדרת-היטב-כל-כך.

אין בעיה לפתור את זה, כמובן: פשוט נאמר "נעתיק כל איבר מאחת הקבוצות לאיבר בקבוצה האחרת, כך שניתן יהיה לדבר על יחסי הכלה וכו'." וכאן זה באמת משתגע כשעוברים לקבוצות אינסופיות, כי אפשר לתת העתקה אחת שבה יש הכלה הדדית, והעתקה נוספת שבה אין כזו. דוגמה קלאסית היא זו של המספרים הטבעיים: פעם אחת תעתיק אותם לעצמם, פעם אחרת לעצמם עם הזזה ב-‏1 (או הסרת 1948).

לכן הכלה, לדעתי, הוא גם כן מהמושגים שאומרים עליהם "הגיוני" בהתחלה אבל מהר מאוד משנים את זה ל"לא הגיוני". השוואת כמות באמצעות העתקות חח"ע ועל, למרות הפרדוקסליות שהיא לכאורה יוצרת, ממשיכה להיראות לי פחות "לא הגיונית" מאשר הגישה שאתה מציע.

אגב (סתם קוריוז), אחת מהתוצאות של התחושה שלנו שאפשר להגדיר הסתברות אחידה על הטבעיים למרות שאי אפשר היא "פרדוקס המעטפות":
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303106
מה הקשר בין פרדוקס המעטפות להסתברות אחידה על הטבעיים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303108
מתוך הערך: "הפרדוקס מנוסח תוך התעלמות מן התהליך המשמש להגרלת הסכום המקורי, X. בפועל, אין אפשרות "לבחור" סכום בלי שתהיה התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר. כעת, נקודת המפתח היא שלא קיימת התפלגות שבה הסיכוי להרוויח (לעבור מ- Y ל- 2Y) שווה לסיכוי להפסיד (לעבור מ- Y ל- Y/2). ביתר פירוט, כאשר הסכום Y במעטפה הראשונה ידוע, ההתפלגות א-פריורי של X קובעת את הסיכויים שהמעטפה השניה תכיל 2Y או Y/2, ובמעבר על כל האפשרויות, היתרון שברווח הגדול יותר מתאזן בכך ש'בדרך כלל' הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח. חשוב להעיר כאן שאילו היתה ההתפלגות של X אחידה על פני כל המספרים (כלומר, כל הערכים של X היו סבירים באותה מידה), היה הפרדוקס עומד בעינו. אלא שלא קיימת התפלגות אחידה על כל המספרים."

בעברית: מה שגורם לפרדוקס הוא ההנחה שהסיכוי להימצאות סכום כסף כלשהו במעטפות (וסכום כסף הוא מספר טבעי או לכל היותר רציונלי) יכול להיות אחיד. בפועל זה לא כך, ולכל פונקצית הסתברות שרק תבחר, תמיד יהיה סכום כלשהו (אם הולכים לסכומים גדולים מספיק) שהסיכוי שתקבל אותו או משהו גדול ממנו קטן מהסיכוי שתקבל משהו מהסכומים האחרים. לכן לא תמיד משתלם להחליף.

(אם לא הבנתי את הפרדוקס, אשמח לקבל הסברים ופרשנויות אחרות)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303127
עכשיו נזכרתי מה דיכא אותי תמיד בסטטיסטיקה: השעמום.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303166
הבנת את הפרדוקס, אבל try this: אני מטיל מטבע עד שיוצא עץ. נניח שהטלתי k פעמים, אז אני שם במעטפה אחת שלוש-בחזקת-k זוזים, ובמעטפה השנייה פי 3 מזה. אני נותן לך לבחור איזו מעטפה לפתוח, ומותר לך להחליף אחרי שהצצת בפנים. אתה לא יודע מהו k, אבל אתה יודע בדיוק איך בחרתי אותו.

* אתה רואה 3 זוז. מה אתה עושה?
* אתה רואה 9 זוז. מה אתה עושה?
* אתה רואה מה-שלא-יהיה. מה אתה עושה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303169
ניסיון: התוחלת של משתנה מיקרי גיאומטרי עם פרמטר 0.5 היא 2, כלומר אם במעטפה יש 3*9 זוזים, או יותר, אני לוקח אותה. אחרת את השניה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303171
אם במעטפה יש 27 זוזים, מה הסיכוי שבשנייה יש 9? 81? מה כדאי לעשות?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303187
אם יש בה 27 זוזים, ההטלה אשר הניבה עץ לראשונה היא השניה (בהסתברות א-פריורית של 0.25) או השלישית (בהסתברות א-פריורית של 0.0625). כלומר כדאי להשאר עם המעטפה שבידך.

לשם מה יש צורך בהסתברויות הפוסט-פריוריות?
(ניחוש: כי אם מחשבים אותן, מקבלים מסקנה שונה מזו שהצגתי לעיל).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303189
למה 0.0625?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303191
כי אני לא יודע להכפיל שני מספרים בלי לטעות שלוש פעמים. 0.125.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303192
ועכשיו למה "כלומר כדאי להשאר עם המעטפה שבידך"? מאיזה חישוב אתה מסיק זאת?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303206
התכוונתי לכתוב "לא חישוב, אלא היוריסטיקה" ולהסביר שעומדת בפני בחירה בין שתי אפשרויות (מתוך הרבה), כאשר האחת סבירה יותר מהאחרת, ושאומנם אין ממש דרך להסיק מכאן על ההסתברויות הפוסט-פריוריות, אך "נראה לי" שכאן המסקנה דווקא תופסת.

אבל אז נזכרתי שמדברים על הסתברות, וחישבתי.

ההסתברות המותנית שבאחת המעטפות יש 9-זוזים, בהינתן שבשניה יש 27 - היא ההסתברות שבאחת המעטפות יש 9-זוזים ובשניה יש 27-זוזים, חלקי ההסתברות שבאחת יש 27 זוזים - כלומר היא ההסתברות שיצא "עץ" בהטלה השניה, חלקי סכות ההסתברויות של המאורע "יצא עץ בהטלה השניה" ו-"יצא עץ בהטלה השלישית" - והיא שווה לשני-שלישים.

ההסתברות המותנית שבאחת המעטפות יש 81-זוזים, בהינתן שבשניה יש 27 - היא ההסתברות שבאחת המעטפות יש 81-זוזים ובשניה יש 27-זוזים, חלקי ההסתברות שבאחת יש 27 זוזים - כלומר היא ההסתברות שיצא "עץ" בהטלה השלישית, חלקי סכות ההסתברויות של המאורע "יצא עץ בהטלה השניה" והמאורע "יצא עץ בהטלה הרביעית" - והיא שווה ל...שני-שלישים.

כלומר לא משנה אם מחליפים או לא. באופן מאד לא מפתיע, זו גם התוצאה הכללית.

אני מוכרח לציין שהטיעון השגוי שהצגתי במקור (זה עם התוחלת) עדיין נשמע לי משכנע.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303210
רגע. שמעתי פעם משהו על כך שההסתברויות אמורות להסתכם ל-‏1. כמה מביך. לרוע המזל, אאלץ לחזור לשולחן השרטוטים רק מחר.

לילה טוב.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303586
נו, סתם עוד טעות חישוב, היה צריך להיות "3\1".

נראה שה-"בעיה" היא שתוחלת הרווח לכל מטעפה היא אינסופית ([sum[(3/2)^n אינו מתכנס), ולכן לאחר שפתחת את המעטפה שלך, וראית סכום סופי של כסף - כדאי לך להחליף (ואם לא פתחת - אז לא שווה, תוחלת הרווח בשתי המעטפות זהה - ואינסופית).

המשחק שעוזי הציג למטה מציג catch דומה: גם בו תוחלת הרווח אינסופית, אך ההסתברות להשיג אותה היא אפס (מזכיר קצת חשבון גבולות...). איך באמת כדאי לנהוג במקרה הזה? מתי כדאי לפרוש?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303591
איזו אינפורמציה נוספה לך כתוצאה מפתיחת המעטפה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303600
מה זאת אומרת, עכשיו הוא יודע מה יש במעטפה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303601
(במקרה ואתה לא צוחק, אנא הסבר).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303605
אולי נדבר קודם על הווריאנט של תגובה 303243. איזו אינפורמציה נוספת לך מפתיחת המעטפה הראשונה? התשובה היא שעכשיו יודעים מה יש במעטפה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303608
אבל כאן אומר עומר (או עומר אומר) שהוא מתכוון לפתוח את המעטפה ואז להחליף אותה בכל מקרה. מאחר וזה הולך לקרות לכל סכום שיתגלה שם, די קשה לי לראות איזו אינפורמציה נוספה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303610
נניח שהיו אלף מעטפות, זה משנה את השיקולים? אני מזכיר לך את השאלה עם ההרמון.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303612
אני חוזר: עומר הודיע שלאחר פתיחת המעטפה הוא מתכוון להחליף אותה, לא משנה מה הוא רואה שם. אולי אני לא מנסח טוב את השאלה: במקום "איזו אינפורמציה נוספה לך?" אני צריך לשאול "אם אתה יודע מראשמה אתה הולך לעשות בכל מקרה, איזה תועלת קיבלת מהאינפורמציה שנוספה לך?"
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303614
בחידה שלך על ההרמון, שרפת כשליש מהבחורות וזה לא שינה כמה הן יפות. למעשה, הודעת מראש שכך תעשה.

אני מסכים איתך ספציפית בשאלה הזאת, אבל רציתי להגיד שיש מקרים שגם אם אתה מכריז מראש שלא תיקח את המעטפה, עדיין תוכל ללמוד משהו מפתיחתה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303619
בסדר, אלא ששם גם הסברתי מה אני עושה עם האינפורמציה שנוספה לי: אני משתמש בה לחישוב הממוצע, והממוצע הזה *כן* ישנה את הבחירה שאני עומד לבחור. כאן ישנה הצהרה שהפירוש שלה בעיני הוא שהאינפורמציה הנוספת לא תשמש לכלום (אלא אם כן החמצתי משהו ועומר יסביר מהו).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303624
אתה צודק, האמירה שלי היתה נון-סקוויטר , פשוט תמיד שאני רואה בעיות כאלה אני אוהב לחשוב על הגבול התרמודינמי שלהם. ההשכלה שלי היא בעוכרי. אגב, עוד תובנה חצי קשורה של פיסיקאים: לא תמיד התוחלת היא האוביקט המעניין. לפעמים הטיפוסי הוא לא הממוצע.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303676
"עומר יסביר"? השיחה הזו מלחיצה יותר מראיון עבודה (מה עוד, שאני בברור לא מתאים לתפקיד). אני לא חושב שהחמצת משהו.

השאלה אם להחליף מעטפה לפני שהסתכלת בשלך, דומה לדילמה "משחקים את המשחק של אלון בשני חדרים שונים - באיזה חדר אתה מעדיף לשחק?". זו לא באמת דילמה, כי זה לא באמת משנה.

לעומת זאת לאחר שהסתכלת בשלך, היא קצת כמו השאלה "האם אתה רוצה לשחק שוב?" לאחר משחק אחד. עכשיו, בדיוק כמו במשחק של עוזי, נראה שהתשובה היא תמיד "כן", כי התוחלת של כל משחק היא אינסופית ויש לך סיבה טובה לקוות שבפעם הבאה תרוויח יותר (כמו בכל משחק שבו הרווחת פחות מהתוחלת, ואז שואלים אותך אם אתה מעוניין לשחק שוב).

ה-"בעיה" היא כמובן שהתוחלת גדולה יותר מכל הערכים של המאורעות במרחב המדגם, כלומר תמיד מרוויחים פחות מהתוחלת. התוחלת פשוט נכשלת בתפקידה כאומדן לרווח הצפוי.

איך בכל זאת להחליט האם משחק נתון היה "משתלם" או שכדאי לנסות אחד אחר? לא יודע. אולי במקרים כאלה אין ברירה אלא להתעלם מהערך של המשחק, לחשב את ההסתברות לרווח גדול יותר במשחק הבא, ולהחליט - רק על סמך ההסתברות הזו - אם זה סיכון משתלם. ואולי לא.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304100
איל לי אלא לחזור לשאלה הקודמת: אם אתה יודע להגיד שהתשובה לשאלת ההחלפה היא תמיד "כן", מה יצא לך מזה שהצצת במעטפה? ואם לא יצא לך כלום, בשביל מה לטרוח ולפתוח אותה בכלל?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303621
מהי השאלה עם ההרמון?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303625
שאלה שמזכירה קצת את דילמת הקרונית
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303626
את זה אני כבר יודעת. זאת בדיוק הדילמה שלי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303628
זה מתחיל בערך ב תגובה 276135
עניין אחר 303611
לא הצלחתי למצוא את הפתיל על המבנה המרחבי של חלבונים, ואני מקווה שיסולח לי שאני מדביק את הלינק הבא כאן. כדאי לצפות באנימציה הקצרה, יש בה משהו חושני נעים.

עניין אחר 303616
חמוד. פורנו לגיקים.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303179
אם אני רואה 3 זוז, אני מחליף מעטפה. k המינימלי הוא 1, אז במעטפה הפחות שווה יש לפחות 3 זוזים, מה שמבטיח שאם יש במעטפה 3 זוזים היא הפחות שווה.

אם אני רואה מטבע של 9 זוז אני מטיל מטבע עם שלושה צדדים ואם יוצא פלי אני מחליף. יש סיכוי של שליש בלבד שהוגרלו 9 זוזים (ואז במעטפה השנייה יש 27) ושני שליש שהוגרלו 3 זוזים (לפחות על פי החישוב שעשיתי).

באופן כללי אם אני רואה x זוזים אני בודק מה ההסתברות שהוגרלו x זוזים בהינתן שבמעטפה שלי יש x זוזים. אני משתמש בנוסחת בייס, כשההסתברות באופן כללי שיוגרלו x זוזים מתפלגת גיאומטרית. מהחישובים שלי אני מקבל שתמיד ההסתברות היא שליש (כש-x הוא לא 3), לכן תמיד אני עושה מה שעשיתי במקרה של 9.

פספסתי משהו? אני לא רואה כאן את הדמיון למקרה המעטפות, כי כאן אני ארצה "להתקדם" רק בכיוון אחד, והוא חסום מלמטה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303182
אה, נכון, תוחלת הרווח. פיכסה.

התוחלת יוצאת חיובית, לא? משהו כמו 2x/9? אז המסקנה המתבקשת היא באמת שכדאי להחליף תמיד במקרה הכללי. יש לזה פתרון? משהו ש(לא במפתיע) פספסתי?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303185
אתה לא רוצה לחשוב על זה לבד?
אתה אדם רשע :-) 303219
אתה אדם רשע :-) 303222
הטעות שלי היא בחישובים, או שאני מפספס כאן משהו עקרוני שמעיד על זה שאני לא מבין מתמטיקה בכלל והסתברות בפרט?
אתה אדם רשע :-) 303237
התשובה המתבקשת היא תגובה 303185, אבל אז יגידו לי עוד פעם שאני רשע, וזו טענה שאני לא מוכן לקבל. מצד שני, אני באמת חושב שזו בעייה שראוי לחשוב עליה. אז אני רק אסביר למה אני קצת מענה אותך (ואת עומר), ואם תתייאש אני אסביר איך אני רואה את הפתרון של ה"פרדוקס" הזה.

אתה התחלת מהבעייה הקלסית של המעטפות עם הסכום הכפול. הפתרון שלך לבעייה היה ציון העובדה שבשאלה חסר נתון (איך הוגרל הסכום במעטפה הקטנה), והאבחנה שההגרלה הזו אינה יכולה להיות אחידה. הפתרון הזה מופיע כמעט בכל מקום בו ראיתי דיון בשאלה הזו, אבל הוא מאוד לא שלם. הוא נכון במובן זה שהשאלה לא אומרת מהי ההתפלגות, ולכן הערכת התוחלות אינה נכונה; אבל הוא יוצר רושם שגוי לפיו, ברגע שנבחר התפלגות מסויימת מפורשת, הבעייה תיעלם. היא לא, כמו שהתרגיל שהצגתי מראה.

לכן, אין זה נכון גם לומר שבעיית המעטפות קשורה לאי-היכולת לבחור מספר טבעי בהתפלגות אחידה. אפשר להשאיר אותה בעינה עם התפלגות גיאומטרית.

אם זה מנחם אותך, אתה בחברה מכובדת למדי:

בשני המאמרים האלה יש משפטים לא זהירים מהסוג שתיארתי. המאמר של דב סאמט, בכל אופן, נחמד מאוד. התכתבתי גם איתו וגם עם דוולין בניסיון לברר את מקורה של הגרסה החריפה יותר שהבאתי, ללא הצלחה; דוולין לא הכיר אותה, ודב זוכר ששמע עליה באיזשהו כנס לפני כמה שנים. אני משוכנע ששמעתי עליה מאבא שלי, אבל הוא לא הצליח לזכור מאין הוא עצמו שמע עליה.

הדרך לחשוב על הבעייה הזו, לדעתי, היא לנסות ראשית לראות אם יש פה איזה פרדוקס מתמטי(!). אין, אבל יש אבחנה מעניינת שאולי שווה לזכור אותה.
אתה אדם רשע :-) 303243
אני הייתי מציע את התרגיל הבא בתור שאלה מנחה:
*
*
*
*
*
**************************
ספוילר ל"פתרון" הפרדוקס (לפי דעתי, אבל אולי אלון עוד יפתיע)
**************************
*
*
*
*
*
נניח שבשתי המעטפות היו שמים סכומי כסף מההתפלגות שאלון תאר _באופן בלתי תלוי_.
כלומר מגרילים פעמיים ושמים את הסכומים המתקבלים במעטפות.
נותנים לך אחת מהם, אתה פותח, מסתכל ואז מציעים להחליף. מה כדאי לעשות?
אתה אדם רשע :-) 303255
פרדוקס מתמטי לא ממש יכול להיות. אם היינו מגיעים לסתירה כלשהי מתוך האקסיומות של תורת ההסתברות, זה היה אומר שהאקסיומות של תורת ההסתברות לא ממש שוות הרבה - ובמקרה הזה (להבדיל מהפרדוקס הקלאסי), ההסתברות מוגדרת היטב. ה"אנומליה" היחידה שיש כאן, עד כמה שאני רואה, היא שהתוחלת של המשתנה המקרי של הסכום של המעטפה הפחות שווה היא אינסופית.

אז הבעיה צריכה להיות ב"פרשנות" שנותנים לתוצאות. המצב הוא שתמיד משתלם להחליף. את זה אני מוכן לקבל; זה לא נראה לי יותר אי סביר אינטואיטיבית מאשר פתרון הבעיה של מונטי הול. הבעיה האחרת היא בזה שאפשר לכאורה לצבור תוחלת עוד ועוד, על ידי סדרה של החלפות של המעטפה, כי תוחלת של "החלפה" היא חיובית. אני לא בטוח שזה אומר בדיוק את זה - צריך לבדוק מה התוחלת של שתי החלפות, ושלוש וכו', ויש לי הרגשה שהיא לא הולכת לגדול. לכן, למרות שאתה "מרוויח" מהחלפה, אחרי ההחלפה הראשונה אין ממש טעם להמשיך (ולכן, במובן מסויים, גם אין טעם להחליף מלכתחילה). אבל את זה אני צריך קודם כל לבדוק מתמטית, ולא ברור לי אם זה הכיוון הנכון בכלל (כמו ב"מדריך הטרמפיסט לגלקסיה", כשאני לא יודע מה השאלה, התוצאה היא...)
אתה אדם רשע :-) 303258
"המצב הוא שתמיד משתלם להחליף. את זה אני מוכן לקבל" - באמת? אם כך, משתלם לך להחליף את המעטפות גם בלי שבכלל פתחת את הראשונה, ואם זה לא פרדוקס בעיניך פנה לאופטומטריסט הקרוב.
אתה אדם רשע :-) 303259
אני בטוח שאתה לא רוצה שתמיד יאכילו אותך בכפית - ככה לא לומדים. "כשאני לא יודע מה השאלה" זה המצב הרגיל במחקר מתמטי, לעומת מבחן באינפי.

נניח שאנחנו הופכים את סיפור המעטפות למשחק: מה שיש במעטפה שבחרת לבסוף הולך אליך, והמעטפה השנייה חוזרת אלי. אנחנו משחקים שוב ושוב. האם יש לך יתרון במשחק הזה? מה תוכל לומר על המשתנה המקרי המתאר את הרווח שלך בסיבוב אחד של המשחק?
אתה אדם רשע :-) 303303
מכיוון שאתה ממילא הולך לכתוב מחדש את הערך על "פרדוקס המעטפות" בויקיפדיה, הנה עוד פרדוקס:

במשחק שלי קובעים פרס התחלתי בגובה שקל אחד.
אתה יכול לבחור בין שתי אפשרויות: לקבל את הפרס, או להטיל מטבע. אם הצלחת בהטלה, הפרס מוכפל פי 3 וחוזרים לשלב הבחירה (ואם לא, הפסדת).

ניתוח אסטרטגי: כאשר הפרס הוא X, אני יכול לקבל אותו ולצאת ברווח של X, או לחכות לשלב הבא - בסיכוי 1/2 אני מפסיד, ובסיכוי 1/2 אני יכול לבחור פרס של 3X. ברור שכדאי להמר, כי סיכויי הרווח וההפסד שווים, והרווח האפשרי עולה בהרבה על ההפסד.
אם כך - מתי תפרוש מהמשחק? וכמה תרוויח באסטרטגיה הזו?
אתה אדם רשע :-) 303304
לא קוראים לכל המשפחה הזאת בשם דילמת(או פרדוקס) המהמר?
סט. פטרסבורג 303321
סט. פטרסבורג 303356
גם. בעצם קוראים לזה "מפלת המהמר" (gamblers ruin).
סט. פטרסבורג 303917
לא. מפלת המהמר מתייחסת למצב טבעי הרבה יותר: אם כספך מבצע הילוך מקרי, לא משנה כמה עשיר אתה בהתחלה, בסוף תתרושש (בתנאי שאתה אף-פעם לא אומר "דייני").
סט. פטרסבורג 304114
ביררתי ואתה צודק (כמובן).
לנינגרד 303357
אתה אדם רשע :-) 303339
למה שאני אפרוש? (חוץ ממגבלות חיצוניות של זמן?)
אתה אדם רשע :-) 303344
האסטרטגיה שלך היא לא לפרוש לעולם?
כמה תרויח ככה?
אתה אדם רשע :-) 303350
תלוי כמה זה X

במידה וX זה סכום סביר (נניח, מעל ל5 שקלים) אז אני ארוויח המון.
פרדוקס היחפן 303354
1. בלי לפרוש מהמשחק אתה לא מקבל שום דבר.
2. בשום שלב לא כדאי לפרוש (= תמיד תוחלת הרווח גדולה יותר אם ממשיכים).
3. אם לא תפרוש, הסיכוי שתפסיד בסופו של דבר הוא 1.
4. לכן האסטרטגיה "בחר תמיד באפשרות המשתלמת ביותר" מביאה לתוצאה הגרועה ביותר!
אתה אדם רשע :-) 303531
הבה נחרוג מהתחום התיאורטי לתחום המעשי: כמה אתה מוכן לשלם תמורת השתתפות במשחק הזה?
אתה אדם רשע :-) 303587
אם X שווה ל10 או 20 שקלים, אני מוכן לשלם עשרות אלפי שקלים כדי להשתתף במשחק הזה (אולי אפילו 100,000-200,000)
אתה אדם רשע :-) 303596
לא לגמרי ברור לי מהו X אצלך. כשעוזי ניסח את ה"פרדוקס" (תגובה 303303), הוא ציין שהפרס ההתחלתי הוא בגובה שקל אחד; הוא דיבר על X רק בשביל לנתח מה אפשר/כדאי לעשות בשלב כללי כלשהו במשחק (ו- X שם הוא כמובן חזקה שלמה כלשהי של 3).

אז הרשה לי לחזור על שאלת שכ"ג, רק ביתר דיוק: כמה אתה מוכן לשלם תמורת השתתפות במשחק הזה (עם פרס התחלתי בגובה שקל אחד)?
אתה אדם רשע :-) 303597
כמה זמן לוקח סיבוב?
אתה אדם רשע :-) 303602
10 שניות.
אתה אדם רשע :-) 303620
לא הבנתי נניח ואני זוכה בהטלת מטבע ראשונה ב3 שקלים. האם הפרס על ההטלה הבאה הוא 9 ש"ח וכו..?
אתה אדם רשע :-) 303622
לא, אם זכית ב- 3 שקלים המשחק נגמר.
אתה אדם רשע :-) 303623
כבר בהתחלה אתה יכול לזכות בשקל אחד שלם. אם תרצה להמשיך במשחק, עליך לוותר עליו ולהטיל מטבע: זכית (נגיד "עץ"), המשחק נמשך כשאתה יכול לזכות בשלושה שקלים. הפסדת, המשחק נגמר.
כעת אתה יכול לזכות בשלושה שקלים, או להמר. אם תהמר ותפסיד, המשחק נגמר (ואתה לא מקבל כלום). אם תהמר ותזכה, הפרס גדל לתשעה שקלים, ואתה שוב יכול לבחור האם לקבל אותו או להמשיך להמר.
וכן הלאה.

בסופו של דבר אתה מקבל לכל היותר פרס אחד: ברגע שהחלטת להשתפן ולוותר על המשך המשחק ועל הסיכוי לפרסים הרבה יותר גדולים, תוכל ללכת הביתה עם ה-‏10460353203 שקלים העלובים שלך...
אתה אדם רשע :-) 303632
הבנתי.

בוא נראה, הטלה לוקחת 10 שניות, ויש 3600 שניות בשעה, בוא נאמר שמקדישים לנושא 10 שעות ביום- ז"א 36,000 שניות. למשך 3 שנים זה יוצא 36 מיליון שניות- משמע 3.6 מיליון הטלות.

בגלל שבמספר כ"כ גדול של הטלות אפשר לקבוע כמעט בדיוק מה יהיה הסיכוי שאני אזכה ב 30 או 40 פעמים רצוף . אני אוכל לקבוע מספר מסוים ( בשביל זה אני צריך מחשבון) וברגע שאני מגיע לאותו מספר אני אפסיק את המשחק.

אח"כ אני אחשב כמה זה 3בחזקת 30 או 40 .

אני מוכן לשלם 70-80 אחוזים מאותו מספר.
אתה אדם רשע :-) 303634
אתה לא יכול לשחק במשחק הזה כמה פעמים שתרצה. מוצע לך משחק אחד (לפי מה שהוסבר לך על "משחק"). כמה אתה משלם?

(חידה נספחת שכבר נפתרה כאן כמדומני: איך נוכל להטיל מטבע כשאתה ואני נמצאים משני עבריו של קו טלפון ולא סומכים איש על רעהו?)
אתה אדם רשע :-) 303643
מה שהתכוונתי בתגובה הקודמת זה לבצע משהו כמו הוראת קבע. אני אחלק את הסכום שעוזי חישב למספר הפעמים שאני אפסיד במשחק עד שאגיע למספר הנצחונות הרצוף המיוחל ואקח את כל הקופה.
אתה אדם רשע :-) 304083
אתה עושה לך חיים קלים.

אם יש לך קרן אינסופית כדי לכסות את ההפסדים עד אותה זכיה שתניח את דעתך, בשביל מה לך בכלל לבזבז את זמנך על משחקים מטופשים?

בוא נניח שמצבך הכלכלי הוא בערך כמו שלי: יש לך קצת כסף שאתה מוכן לסכן תמורת הימורים עם תוחלת לא-שלילית, אבל לא סכום אינסופי. אני מציע לך הזדמנות *אחת* לשחק נגדי בתנאים שהובהרו, ושואל אותך כמה תהיה מוכן לסכן. סמיילי הציע חצי שקל. אתה מוכן להעלות את הרף? עד איזה גובה?
הבהרה. 304094
אני הצעתי חצי שקל בתנאים שפורטו בתגובה 303630 ולא באלה שפורטו בתגובה 303629
הבהרה. 304098
תמורת האופציה לאסוף שקל לכיסך אתה מציע רק חצי שקל? אני בטוח שיזם זריז מחשבה יהיה מוכן לשלם לפחות 99 אג'. אני מחכה להתעות טובות יותר.
תמשיך לחכות 304099
בינתיים החצי שקל שלי הוא ההצעה הטובה ביותר שקיבלת (מה שגורם לי לשקול להוריד את ההצעה שלי ל25 אג').
תמשיך לחכות 304101
חכה, היזמים זריזי המחשבה עוד יתעשתו.
טוב, נו 304171
1 ש"ח (שוטף + 60)
תמשיך לחכות 304176
אני קונה במאה, ומוכר לך את הזכות להפסיק את המשחק לפני הסיבוב הראשון במאתיים חמשים...
תמשיך לחכות 304346
מאה ש"ח. אוקיי, סוף סוף מישהו לא מסתפק בשטיקים אלא נענה לאתגר. מאה ועשרה, מישהו?

(ההנהלה אינה מתחייבת לקבל את ההצעה הזולה ביותר או כל הצעה שהיא)
אתה אדם רשע :-) 303635
חשבונית על-סך 8510365821339850160.7 שקלים בדרך אליך.

אבל לא ברור לי למה תרצה לעצור בשלב ה-‏40 של המשחק. אמנם אם תהמר תפסיד בסיכוי של 0.5, אבל אם תנצח בהימור, *תשלש* את הרווח שלך. האסטרטגיה שהובילה אותך עד לשלב הארבעים ("בחר באפשרות שתוחלת הרווח ממנה גדולה יותר") אומרת להמשיך.
אתה אדם רשע :-) 303637
אל תשכח את המע''מ.
אתה אדם רשע :-) 303642
טוב, ההסבר שלך יהיה נכון לגבי כל מספר שאני אציע. לכן, אני אציב מספר שרירותי שיהיה גבוה מספיק כדי להצדיק את ההשקעה.

אני לא יודע מה איתך אבל מבחינתי אין הרבה הבדל בין 800 טריליארד שקלים ל2600 טריליארד שקלים לכן זה לא יהיה פספוס גדול מבחינתי.
ניסוח נגיש יותר 303629
בהתחלה מטילים מטבע, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת שקל יחיד, או להמשיך במשחק.
אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 3 שקל, או להמשיך במשחק.
אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 9 שקל, או להמשיך במשחק.
אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 27 שקל, או להמשיך במשחק.
אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 81 שקל, או להמשיך במשחק.
....
אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 3^n שקל, או להמשיך במשחק.
...
השאלה היא מתי לפרוש, לכאורה, כשאתה נמצא במצב לקחת 81 שקל או להמשיך, כדאי לך להמשיך, משום שהסיכוי להרויח 243 ש"ח הוא חצי, והסיכוי לא להרויח כלום הוא חצי, ככה שהתוכלת של להמשיך היא 121 ש"ח וחמישים אגורות, בעוד שהתוכלת של לצאת היא 81 ש"ח (שזה פחות). הבעיה היא שאותו חישוב מתקיים לכל סכום, לכן אף פעם לא כדאי לפרוש, אבל מצד שני, ודאי ברור לך שאם לא תפרוש מתישהו המטבע יפול על עץ, ואתה תפסיד את כל הרווח.
אתה אדם רשע :-) 303630
הנה המשחק:

על השולחן מונח שקל אחד. אתה יכול לאסוף אותו וללכת הביתה, או לבקש מעוזי שיטיל מטבע. אם בחרת באפשרות השנייה, עוזי מטיל את המטבע, ושניכם מסתכלים על התוצאה: אם יצא עץ, אתה הולך הביתה חסר כל, אבל אם יצא פלי, עוזי משלש את הסכום על השולחן, כך שכעת מונחים עליו שלושה שקלים. כעת אתה שוב יכול לאסוף את הכסף מהשולחן וללכת הביתה, או לבקש מעוזי להטיל מטבע נוספת. אם בחרת באפשרות השנייה ויצא עץ, אתה הולך הביתה מחוסר כל, ואחרת (יצא פלי) עוזי שוב משלש את הסכום על השולחן, כך שעכשיו מונחים עליו תשעה שקלים, וחוזר חלילה.

כמה אתה מוכן לשלם על מנת להשתתף במשחק?
אתה אדם רשע :-) 303636
אולי זה נושא למכירה פומבית. יהיה מעניין לשמוע הצעות מאיילים שונים.

(אני כמובן אארגן את המשחק תמורת קומיסיון צנוע)
חצי שקל פעם ראשונה 303638
אתה אדם רשע :-) 303981
זה שאתה שואל רק מוכיח שאתה גבר:
"הנשים שהשתתפו בניסוי הרוויחו בממוצע לא פחות מהגברים בכל אחת מהאפשרויות האלה. אך כשהועמדה
לפניהן בחירה בסיבוב הבא - השתתפות בתחרויות, או לחזור למה שעשו בתחילה ולקבל סכום נמוך בהרבה
על כל תשובה נכונה, רוב הנשים העדיפו לא להתחרות, גם לא אלו שהשיגו את התוצאות הטובות ביותר
בסיבובים הקודמים. רוב הגברים, לעומת זאת, בחרו באופציית התחרות, אפילו אלה שהישגיהם היו הגרועים
ביותר."

(מתוך http://www.haaretz.co.il/hasite/pages/ShArtPE.jhtml?...)
אתה אדם ספקולנט 303650
אני לא מבין מה פרדוקסלי פה.

כל מי שטיפה התעניין בשוק ההון מכיר את הטרייד-אוף בין תשואה לבין ביטחון. בכל השקעה קיים יסוד של אקראיות, ולכן אפשר לדבר על *תוחלת* התשואה שלה ועל *שונות* התשואה (יש כמובן דרכים אחרות, פרט לשונות, למדוד וריאביליות, אבל בואו נצטמצם לשונות).

אנשים מעדיפים תוחלת תשואה גבוהה, ושונות תשואה נמוכה ("שנאת סיכון"). דא עקא, תוחלת ושונות הולכות יד ביד: כשהאחת גבוהה, כך גם האחרת. משקיעים ספקולנטיים מעדיפים השקעות עם תוחלת תשואה ושונות תשואה גבוהות, ומשקיעים שמרניים יעדיפו אותן נמוכות. הבחירה היא עניין אישי/סובייקטיבי/פסיכולוגי, ולכל משקיע יש, או אמורות להיות, "עקומות אדישות" (נדמה לי שככה קוראים להן) שמבטאות את העדפותיו בנוגע לטרייד-אוף הנ"ל.

פואנטת ביניים: אף אחד לא מסתכל רק על תוחלת התשואה (אחרת כל חברות הביטוח, הטוטו ומפעל הפיס היו פושטים את הרגל); יש לקחת בחשבון תמיד גם את השונות.

"אסטרטגיה" במשחק של עוזי היא לפרוש לאחר n סיבובים ‏1, אם לא הפסדנו בהטלת המטבע קודם לכן, כמובן. אם בחרתי n כלשהו, אזי ניתן לחשב את תוחלת ה"פדיון" מהמשחק (ולא הרווח, משום שתכף אדבר על מחיר הכניסה), וכן את שונות הפדיון ‏2.

כל בחירה של n מתאימה לנקודה במישור התוחלת/שונות; בין כל הנקודות האלו, אני אבחר את זו שיושבת על עקומת האדישות ה"שווה" ביותר שלי (ייתכן שיש יותר מאחת, ואכן ביניהן אני אהיה אדיש). העקומה הזו חותכת את ציר ה"תוחלת" בנקודה כלשהי, וערך תוחלת זה הוא בדיוק הסכום המקסימלי שאסכים לשלם על מנת להכנס למשחק.

שתי הערות טכניות: (א) הנחתי שכל הטלות המטבע מתבצעות כהרף-עין, כך שאין פה אלמנט של זמן; (ב) האסטרטגיה של להמשיך לשחק לנצח מבטיחה תוחלת פדיון של אפס, ולכן היא לא מעניינת.

אז איפה הפרדוקס?
_____________
1 לפרוש עם השקל ההתחלתי משמעו לפרוש בסיבוב מספר 0
2 פה כתבתי קודם את הנוסחאות המדוייקות לשני הגדלים הנ"ל, אבל המוזילה שלי מציגה אותן בצורה מעוותת שלא הצלחתי לתקן. לא משנה - העקרון לא תלוי בנוסחאות
אתה אדם ספקולנט 303688
אניחושב שאתה מתחמק מהבעיה (לא ממש, רק לא מפרט עד הסוף), נסה לחשוב עליה מהצד השני. נגיד שאתה בעל קזינו שרוצה להכניס משחק חדש, ומעוניין לקבוע את המחיר שלו. לצורך ההנחה, נניח שאתה יודע שלא תהיה לך בעיית לקוחות.

אם המשחק הוא הטלת מטבע פשוטה, עץ לוקח 10 שקל, פלי לא לוקח כלום, אז התוכלת של המשחק היא 5 שקל, ולכן אם מספיק אנשים ישחקו, העלות של משחק (נתעלם לרגע מעבודה, פחת וכל זה) תשאף ל5 שקל. לכן, אם תקח 7 שקל, תרוויח *בממוצע* 2 שקל מכל משחק.

להבדיל, אם המשחק הוא אין סופי עם תוחלת אין סופית, כמו זה שעוזי תיאר למעלה, לא כדאי לך להכניס משחק כזה בשום מחיר, משום שבכל מחיר שתכניס, עבור מספר לקוחות גדול מספיק, בממוצע תפסיד כסף.
אתה אדם ספקולנט 303692
אז נניח שאתה טיפוס כזה שמוכן להימור בתוחלת X בתנאי שסטיית התקן אינה עולה על 10X.

במקרה כזה, זה לא עוזר שאתה מחליט מראש על אסטרטגיה: אם הגעת לשלב ה-n, אתה צריך להחליט האם לסכן את הפרס הנוכחי X (שהוא כמעט כל רכושך, אם n מספיק גדול), בהימור שמביא לרווח של X/2 בתוחלת, עם סטיית תקן 3X/2. כל הזמן אותו יחס. כל הזמן כדאי להמשיך להמר. עד שמפסידים הכל.
אתה אדם ספקולנט 303912
את תגובה 303650 כתבתי במטרה לענות על השאלה "כמה היית מוכן לשלם על מנת להשתתף במשחק?", וכנראה מיקמתי אותה לא טוב (אם כי אני עדיין עומד מאחורי מה שכתוב בה). אז בוא נשכח משיקולי שנאת סיכון.

כתבת: "הימור שמביא לרווח של X/2 בתוחלת"; אתה מניח אם כך, במובלע, שהמשחק *בוודאות יעצור* בשלב הבא, אבל מייד לאחר מכן מדבר על "להמשיך להמר". זה קצת בעייתי בעיני, ועשוי להיות שורש הקושי (אני עדיין חושב שצריך להחליט מראש על אסטרטגיה).

את השאלה הבסיסית שלך אני מבין בתור "כיצד צריך לפעול אדם שאכפת לו רק מתוחלת הזכייה?". אם נסכים ש"מרחב האסטרטגיות" הוא זה שהצעתי, אזי התשובה היא שזוהי בעיית אופטימיזצייה לא חסומה, ולכן פשוט אין דרך פעולה אופטימלית: לאסטרטגיה "פרוש בשלב n" יש ערך 3/2 בחזקת n, ולקבוצת הערכים הנ"ל אין מקסימום. לא צריך את כל המנגנון ההסתברותי כדי לייצר בעייה כזו - אני מציע לך כל סכום שתבחר; בכמה תבחר?
אתה אדם ספקולנט 304014
אחת מההנחות הקבועות בתורת המשחקים היא שאפשרות נוספת לא יכולה להזיק. אם בצעד הבא הפרס עומד על 3X (וזוכים בו בסיכוי חצי), אז תוחלת הרווח היא *לפחות* 3X/2; העובדה שאפשר להמשיך להמר אמורה להגדיל את הרווח ולא להקטין אותו.

גם הבעיה שאתה מציע מעניינת, אבל ההבדל הוא שבסיטואציה של המשחק יש רק שתי אפשרויות (בכל שלב, כמובן). זה הופך את העובדה שהרווח לא חסום ליותר מסובכת.

אם העסק לא מספיק מסובך, הנה בעיה חדשה. נניח שאנחנו מחליפים מעטפות. אני מטיל מטבע עד שנופל "עץ", ושם במעטפה 3-בחזקת-מספר-המטבעות. אתה עושה אותו דבר, עם 4-בחזקת (כל ההגרלות בפיקוח רואה חשבון). כעת מחליפים מעטפות, וכל אחד מקבל את הפרס שהשני הטמין במעטפה. האם אתה מעוניין לשחק? זה נשמע כמו רמאות, אבל אני יכול לשכנע אותך להסכים: אני אפתח את המעטפה שלי ראשון!

אם קיבלתי 4, המשחק משתלם לך. אם קיבלתי 16, המשחק משתלם לך. וכן הלאה: לא חשוב כמה אני מקבל, אתה תמיד מרוויח.
אתה אדם רשע :-) 303394
התוחלת של המשתנה המקרי של הרווח המוחלט שלי היא אינסוף. לעומת זאת, אם אני מסתכל על רווח "יחסי", כלומר הרווח שלי פחות הרווח שלך, אני מקבל משתנה מקרי סימטרי לגמרי סביב האפס, ולכן התוחלת, שלא במפתיע, היא אפס (הרי הסיכוי שלי לבחור במעטפה הנכונה, בלי קשר לכמות ההחלפות שלי, הוא בדיוק 50:50).

אני חושב שאני מתחיל לראות את הבעייתיות כאן. נניח שבמעטפה היה פשוט מושם סכום כסף קבוע (ובמעטפה השנייה היה מושם סכום גדול פי 3), בלי שיאמרו לי איך הוא נבחר. מן הסתם תוחלת הרווח היחסי שלי אם הייתי דבק במעטפה שלי הייתה כמו תוחלת הרווח היחסי אם הייתי מחליף מעטפה - אפס.

אני מתחיל לחשוב שהבעיה שלי היא בשלב שבו אני אומר "יש לי סיכוי של 50:50 שבמעטפה שלי יש את הסכום הקטן יותר, כלומר סיכוי של 50:50 שאם אני אחליף אני ארוויח 2x, ואחרת אפסיד 2x/3". אני מתקשה לנסח במילים מה בדיוק הבעיה לדעתי, אבל אני מרגיש שזה נובע מכך שבשלב שבו אני אומר את זה, הסכומים כבר הוגרלו ונמצאים במעטפות, ולכן אם אני אחליף אני יכול להשיג רק רווח בטוח או הפסד בטוח. מכיוון שהסכומים כבר הוגרלו, המצב שבו אני נמצא כשאני בא לבחור בין המעטפות זהה למצב שבו במעטפות הושם סכום כסף קבוע בלי הגרלה. לכן לא נכון לקחת את התוחלת על הרווחים מהבחירה הזו. למעשה, אני לא חושב שאני מסוגל לכתוב משתנה אקראי שממדל את ה"בחירה להחליף".

אבל די קשה לי להתנסח כאן, האמת.
אתה אדם רשע :-) 303916
"אם אני מסתכל על רווח "יחסי", כלומר הרווח שלי פחות הרווח שלך, אני מקבל משתנה מקרי סימטרי לגמרי סביב האפס, ולכן התוחלת, שלא במפתיע, היא אפס".

אתה בטוח?
אתה אדם רשע :-) 303926
כמובן שאני לא בטוח, אבל זה מה שנראה לי.

המשתנה המקרי של הרווח היחסי שלי הוא תמיד מה שאני הרווחתי פחות מה שאתה הרווחת. כלומר, הערך שלו תמיד יהיה שתיים כפול שלוש בחזקת k כלשהו. הוא מתקבל רק עבור המצב שבו אחרי ההחלפה יש לי מעטפה עם 3 בחזקת k+1, ולך יש 3 בחזקת k. ההסתברות לסיטואציה כזו היא קודם כל 1/2 בחזקת k (כדי שיוגרל 3 בחזקת k) ואחר כך כפל עוד 1/2 - ההסתברות שאני אתחיל עם המעטפה שמכילה את הסכום היותר קטן. אני כזכור תמיד מחליף.

עכשיו, זה נראה לי סימטרי לגמרי עם האפשרות שאני לא ארוויח אלא אפסיד: כאן שוב צריך להגריל 3 בחזקת k (בהסתברות 1/2 בחזקת k) אבל הפעם אני צריך להתחיל עם המעטפה עם הסכום הגבוה יותר, ולכן כופלים שוב ב-‏1/2.

האם אני מפספס כאן משהו ו"הפתרון" הוא "התוחלת (של הרווח המוחלט) אינסופית ולכן זה נראה מוזר"? זה פתרון שאני מתקשה לקבל.
אתה אדם רשע :-) 303930
אתה לא עובד מסודר. למדת הסתברות, או עוד לא? קודם כל ראה מהו מרחב המדגם, אח"כ בדוק מה ערכו של המשתנה המקרי בכל נקודה, רשום ביטוי לתוחלת שלו, ותראה מה יוצא. מה שלא יצא, זה לא יכול להיות "פתרון שאני מתקשה לקבל"; אנחנו בינתיים בשלב המתמטי. אחר-כך ננסה להבין מה זה אומר ולמה.

(אני לא מנסה להציק, רק להראות לך שיש ערך לעבודה מסודרת לפי ההגדרות. אתה כל הזמן רץ קדימה, מנחש את התשובה ותוהה אם אתה מפספס משהו, בפעם החמישית כבר כמדומני. אל תפספס, אז לא תצטרך לתהות. בכל זאת נראה שהכותרת הנגררת שהעניק לי אורי היא מוצדקת).
אתה אדם רשע :-) 303939
חשבתי שזה בדיוק מה שאני עושה, בכל הנוגע למשתנה המקרי של הרווח היחסי (כלומר, הרווח שלי פחות הרווח שלך). מכיוון שבכל חלוקה אפשרית של כסף במעטפות יש במעטפה אחת פי שלוש יותר מהשנייה, הערכים היחידים שיכול המשתנה המקרי הזה לקבל הם 2 כפול הסכום הנמוך יותר (אם אני לוקח את המעטפה עם הסכום הגבוה) או מינוס 2 כפול הסכום הנמוך יותר (אם אני לוקח את המעטפה עם הסכום הנמוך). עבור הערכים הללו, החישוב הוא מה שכתבתי בהודעה הקודמת.

פרט לאלה, אפשר גם להגדיר משתנה מקרי אחר, של הרווח המוחלט שלי, ויש לו בבירור תוחלת אינסופית. מבחינה מתמטית זה לא מפריע לי. מה שמפריע לי הוא טענה שבגלל שהתוחלת אינסופית, אז "משתלם" להחליף את המעטפות תמיד, טענה שנראית לי לא נכונה. אם מסתכלים על תוחלת הרווח המוחלט שלך אם אתה מחליף מעטפה, זה אינסוף, אבל ככה גם אם אתה לא מחליף מעטפה.
אתה אדם רשע :-) 303942
טוב, אני אכנע כי צריך ללכת לישון. החישוב שכתבת בהודעה הקודמת שגוי: אתה מסכם טור אינסופי וטוען שיוצא לך 0. אני מנחש שאם היית רושם הכל בדיוק (סיגמה כשאן הולך מאחד עד אינסוף של...) היית נזכר שטור כזה לא מסתכם לאפס רק כי אפשר לסדר את איבריו בזוגות המבטלים זה את זה. הטור הזה *לא מתכנס*. לא לאפס, לא לאינסוף, לא לשום דבר. למשתנה המקרי שלך *אין תוחלת*, וזה הלקח המתמטי הקטן שניסיתי לחלץ ממך. לא לכל משתנה מקרי יש תוחלת (וגם אם יש תוחלת, לא תמיד יש שונות, וכו').

על הפרשנות אני אכתוב בפעם אחרת. בינתיים רק אעיר שאת הפסקה השנייה שלך לא הבנתי; מישהו טען פה ש"בגלל שהתוחלת (של הרווח המוחלט) אינסופית, אז "משתלם" להחליף את המעטפות תמיד"? הטענה היא ששווה להחליף מעטפות כשאתה רואה 27 זוז. איזו תוחלת אינסופית יש פה?
אתה אדם רשע :-) 303946
צודק, פאשלה שלי. שכחתי שהחלק החיובי והחלק השלילי של הסכום לא יכולים שניהם להתכנס לאינסוף ולמינוס אינסוף (או ליתר דיוק, בחרתי להתעלם מזה מסיבה לא ברורה).

החלק השני אמר בערך ככה: אנחנו רואים שתמיד כדאי להחליף, בכל סיטואציה, וזה נראה לא סביר אינטואיטיבית, ולכן השאלה היא "מה גורם לזה". טיעון שלפיו זה קורה בגלל שהתוחלת של הרווח מהחלפה היא אינסופית לא נראה מספק במיוחד. (למען האמת, גם העובדה שלמשתנה המקרי של הרווח מהחלפה אין תוחלת לא ממש עוזרת לאינטואיציה שלי להבין את הפרדוקס).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303184
מה?

אתה רואה 9. במעטפה השנייה יש או 3 (סיכוי 2/3) או 27 (סיכוי 1/3). בתוחלת: 11. 11 זה יותר מ-‏9. למה שלא פשוט תחליף ותרוויח?

את השיטה שלך לא הסברת ברור. "אני מטיל מטבע עם שלושה צדדים ואם יוצא פלי אני מחליף". כדאי לציין כמה מתוך שלושת הצדדים הם פלי.

נניח שהתכוונת לומר שבסיכוי 2/3 אתה נשאר ובסיכוי 1/3 מחליף. התוחלת שלך: 2/3 כפול ה-‏9 שאתה רואה פלוס 1/3 כפול ה-‏11 שחישבנו קודם. זה יוצא קצת יותר מ-‏9 אבל פחות מ-‏11. אתה לא מעדיף 11?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303201
כן, לא התייחסתי כאן לתוחלת הרווח אלא חשבתי בינארית (רווח מוחלט מול הפסד מוחלט), זו בהחלט בעיה מעניינת...

במטבע בעל שלושה צדדים, כמו במטבע עם שני צדדים או n צדדים, יש בדיוק צד אחד שהוא פלי (שאר הצדדים הם עצי kd ממימדים 2 עד n).
עוד אחד 303655
עד שאלון יכתוב את פתרון בית-הספר ל"פרדוקס", הנה עוד אחד באותה הרוח:

כשיורד גשם, תפוחים עולים כפול מתפוזים; כשלא יורד גשם, תפוזים עולים כפול מתפוחים. ההסתברות לגשם מחר היא חצי, ולכן בממוצע, תפוח יעלה מחר פי (חצי כפול 2) + (חצי כפול חצי) = אחת ורבע יותר מתפוז. אממה? החישוב הסימטרי יראה שתפוז יעלה מחר בממוצע פי אחת ורבע יותר מתפוח.

מה קורה פה?
אתה משווה תפוחים לתפוזים‏1 303744
על מה אתה ממצע כאן? נראה לי שהשגיאה היא שאתה ממצע על מנות, אבל אלו מנות בין זוגות שונים של גדלים. קל להיווכח בחוסר התוחלת‏2 של ההשוואה אם מציבים כמה אפשרויות לדוגמה (גשם 10:20, לא-גשם 20:10; גשם 10:5, לא-גשם 10:20; גשם 1:2, לא-גשם 200:100).

1 נו, מה אני אעשה. אם אני לא הייתי כותב את זה, מישהו אחר היה כותב.
2טוב, את זה אני כבר לא יכול לתרץ, רק אני אשם.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304113
נתחיל מהחלק הקל (שמשום מה אף אחד לא התייחס אליו, עד כמה שראיתי) לפחות לגבי 3 כדאי להחליף, לא?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304124
ודאי. לכן אם מישהו היה אומר "אני פותח את המעטפה, אם יש שם 3 אני מחליף ואחרת <אלגוריתם כלשהו שאינו "החלף בוודאות">" היה הגיון בשגעון. לעומת זאת מי שאומר "אני פותח את המעטפה, אם יש שם 3 אני מחליף ואחרת אני גם-כן מחליף" וגם אומר "ברור שעד שפתחתי את המעטפה אין טעם להחליף" צריך עדין להסביר מה קורה כאן.

גם ברור לי למדי שהכנסת ה"תועלת" (לעומת התוחלת) עם התפוקה השולית הפוחתת, כמו שעשה תובל באחת מתגובותיו, עוזרת להיחלץ מהסבך, לפחות טנטטיבית. עדיין אני מחפש תשובה מניחה את הדעת בעולם בו התועלת ליניארית, וגם לקבל קצת מספרים אמיתיים על העולם שלנו.

כמה כסף אתה מוכן לשלם תמורת השתתפות במשחק? (ההצעה הטובה ביותר עד כה: 99 אג').

99 אג' פעם ראשונה...
99 אג' פעם שניה...
הג'נטלמן בשורה האחרונה - כמה אמרת?
אני רוצה להבין 304150
מי נתן לך הצעה טובה מ-‏50 אג'?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304160
אני נותן 4-5 שקלים.

אבל אם המשחק הוא חד פעמי ואין אפשרות להוראת קבע המשחק שלך מאוד מבאס (הסיכוי שלי להרוויח סכום שהוא יותר מעשרות שקלים הוא נמוך מאוד).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304349
זה באמת שמרני עד אימה.
חברת סט פטרסבורג בע''מ. 304291
מכיוון שאתה כבר שואל אותי- מישהו שהיה מציע לי משחק כזה, הייתי מתעלם ממנו כי ברור לי שאין לו משאבים לעמוד בהתחיבויותיו.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304190
כמובן. הטענה היא שגם ל-‏9 כדאי להחליף. מה דעתך?

אפשר אולי לערוך סיכום-ביניים של המצב. השאלה מציגה אתגר לאינטואיציה: לכאורה כדאי תמיד להחליף, ולכאורה אין שום טעם להחליף (יכולת מראש לחשוק במעטפה הדרומית, לפתוח את השנייה ולחזור בתרועה לזו שרצית).

כיוון אחד לחידוד הבעייה הוא מתמטי. האם ניתן לנסח את הסתירה הזו כשני חישובים שונים של אותו ערך המובילים לתוצאות שונות? ניסינו, למשל, לחשב את תוחלת הרווח, שהיא כאילו חיובית וכאילו אפס. הגענו למסקנה שאין כזו תוחלת. מתמטית, אפשר להירגע; אינטואיטיבית, לא נראה שהתקדמנו.

אפשר לפטור כלא מעניין את כל המצב הזה, פשוט כי הוא לא ייתכן: המוסד שמארגן את המשחק הזה זקוק לאינסוף משאבים כדי לעמוד בהבטחות שלו. זה נכון, ולכן אני לא בטוח שאפשר להסיק מסקנות מרחיקות לכת מהחידה; אם מדמיינים שמשהו בלתי-אפשרי קרה, אין מה להתפלא אם קורים עוד דברים מוזרים אחר-כך.

עם זאת, אפשר לנסות לחשוב מה בכל-זאת צריך לעשות אם עומדים במצב הזה. תשובה אפשרית אחת הוא שנימוק ההחלפה עומד בעינו: אחרי שראית מה יש במעטפה, אכן כדי להחליף. ומה, שואל שכ"ג, הרווחנו מכך שבכלל פתחנו אותה? דב סאמט (אותו הזכרתי קודם) כתב לי בהקשר הזה כך:

That is, it is possible that one wants to do something for ANY
information one gets, and yet one has no reason to do it
without having the information. Obviously this cannot
happen in a finite setup. So, here is yet another case where infinity is
counter intuitive.

אני חושב שעוזי אמר דבר דומה.
חררמפ 304292
אצתדק ואומר שכתבתי את התגובה שלי בלי לקרוא את זאת.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304393
אתה חי בשלום עם הטענה הזאת?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304408
אבל כתוב במפורש שאין עם זה שום בעיה, ועוד באנגלית.

אתך במאבקך הצודק,
(-)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304532
אני באמת סקרן - יש לך דרך ליישב את הבעיה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304553
הדרך הקלה: להגיד שאני לא רואה שום בעיה (למרות שזה לא ממש נכון).

במקום הבעיה של אלון, אני מעדיף לחשוב על הווריאנט של אורי, עם שתי מעטפות בלתי תלויות (שבכל אחת מחביאים 3-בחזקת-מספר-המטבעות-עד-עץ). כדי להגדיל את המוטיבציה לבחור במעטפה הראשונה, אני מציע *להכפיל* את הסכום במעטפה הזו.

מבחינה מתמטית, כפי שאלון ציין, למשתנה המקרי שמודד את הרווח במקרה של החלפה *אין תוחלת* (הטור לא מתכנס) - אבל זה נכון רק *לפני* שדגמנו את המעטפה הראשונה. אחרי הדגימה, יש למשתנה הזה תוחלת - והיא תמיד אינסופית. לכן כדאי לעבור מן המעטפה הראשונה לשניה - וההחלטה הזו לא תלויה בערך שמצאנו שם.

שרלוק הולמס אמר על מצבים כאלה שכאשר מסירים את הבלתי אפשרי, מה שנשאר - בלתי סביר ככל שיהיה - מוכרח להיות האמת. הוכחנו שאחרי שפותחים את המעטפה הראשונה, כדאי (מבחינת התוחלת) תמיד להחליף; אז ככה זה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304652
אם כך אתה חי בשלום עם ה"הסבר" של דב סאמט. אתה מכיר עוד דוגמאות בהן ניתן להוכיח מתמטית שמשתלם לעשות משהו חסר כל טעם?

למשל, אתה יכול לדמות מצב בו קטע הקידוד
If A then func()
else func()

עדיף על
func()

?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304656
(בלי שטויות כמו איזו תועלת שיכולה לנבוע מהעיכוב הקטן של ביצוע הקטע הראשון)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304692
הסיטואציה הבסיסית, שבה אתה מעניק לי מתנה בשווי אינסופי, כל-כך מופרכת, עד שזה לא מפתיע שהאינטואיציה שלנו לגבי קבלת החלטות מסתבכת.

מבחינת התוחלת אין שום הבדל בין מעטפה עם 3-בחזקת-X (כאשר X הוא מספר המטבעות עד העץ הראשון) לבין 1000-בחזקת-X.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304693
כמו שנהוג לומר כאן לאחרונה: אני צריך לישון על זה (למרות שאני מעדיף מזרן וכרית).

בניסוח עם המעטפות אני לא באמת מעניק לך מתנה בגודל אינסופי אלא בגודל סופי בהחלט (אותו 3-בחזקת-x, כשאת x קיבלתי אחרי מספר סופי של הטלות מטבע) אלא שהגודל הזה אינו ידוע לך. אתה יכול *לחשוד* בי שאם הוא יצא גדול מדי אני רימיתי, ואז עפ"י הסכום במעטפה אתה כבר יכול להחליט לא להחליף אותה אם הוא גדול ("שכ"ג בטח לא סיכן 3 מיליארד שקל בשביל הניסוי הטפשי הזה. אסתפק הפעם במיליארד") - אבל זה כבר סיפור אחר, וכאן באמת יש טעם לפתוח את המעטפה.
שאלה קצת דבילית 304698
אם נחזור רגע לסיפור עם המטבעות. גם אם מובטח לי שהטקטיקה שתבחר תהיה להמשיך עד שתפסיד את הכל, ז"א שאני לא אתן לך בסוף דבר בשום מקרה, גם אז אם אני אנסה לחשב את התוחלת אני אקבל שתוחלת ההפד שלי היא אין סופית (למרות שהרווח שלך הוא אפס). איפה פספסתי את התשובה?
שאלה קצת דבילית 304729
אני לא חושב שזה נכון (שתוחלת ההפסד שלך היא אינסופית). במקרה הזה תוחלת ההפסד שלך תלויה באסטרטגיה שלי (שיכולה להיות "עצור כשמציעים לך 3", "עצור כשמציעים לך 9", ... או "אל תעצור לעולם"), ולכל אסטרטגיה יש לי (ולך) תוחלת רווח אחרת. בסדרת האסרטגיות הזו, התוחלת שלך לא חסומה (כי אני עלול לחכות עד שיציעו לי 3-בחזקת-מאה, וזה יקרה בסיכוי חצי-בחזקת-מאה), אבל בכל מקרה אני לא חושב שאפשר לומר שהיא אינסופית.
שאלה קצת דבילית 304731
ואם האסטרטגיה של הבוחר היא "אל תעצור לעולם"?
שאלה קצת דבילית 304741
טענה יפה. הנה הלך המחשבה שלי בעניין ( אני מדבר על המשחק ללא המעטפות):

למעשה עלינו להחליט על איסטרטגיה שאומרת: אני משחק לכל היותר K פעמים. זה נותן תוחלת סופית. רק נותר לקבוע מהו K. נשים לב שבכל נקודה במשחק, המשחק הבא הוא למעשה אותו משחק בדיוק, רק עם סכום התחלתי חדש, מכאן שאם משיקולים כל שהם אנו מחליטים על איסטרטגיה של K צעדים, אותם שיקולים ימשיכו להיות נכונים בכל צעד במשחק, ומכאן שאי אפשר למצוא K סופי כזה.

בוא נקבל את ההנחה ש "אל תעצור עד שתפסיד" היא איסטרטגיה בלתי קבילה, ואז לכאורה אין לנו כלל איסטרטגיה "רציונלית".
*אבל* - מה שבעצם הראינו היא שאם קיימת איסטרטגיה שאומרת לנו מתי להפסיק, היא צריכה להיות "אינווריאנטית" לנקודת התחלת המשחק. לכן אני מציע איסטרטגיה בזאת:
לפני כל צעד, הטל מטבע עם הסתברויות p 1-p . אם מקבלים עץ- ממשיכים, אחרת מפסיקים. האיסטרטגיה הזאת מקיימת את הדרישה (שהמצאנו עכשיו) , שלא משנה באיזה שלב אתה במשחק, תמיד עושים אותו דבר. השאלה היחידה היא איזה ערך של p יש לבחור. ברור שכמה שהוא יותר קרוב ל1 כך התוחלת תגדל ולכן הפארדוקס הפסיכולוגי נותר כשהיה, אבל לפחות סילקנו את שאלת הפוקר היהודי ( בחרת K? שיחקת K ולא נכשלת? למה שלא תמשיך עוד K, הרי לפניך אותו מצב בדיוק).
שאלה קצת דבילית 304744
קל להיחלץ מהסבך עם איסטרטגיות מהסוג הזה. בשביל מה, אגב, אתה מטיל מטבע? למה לא איסטרטגיה "שחק X סיבובים"? אה, זה בעצם מה שעוזי אמר? חרמפפפ.

הבעיה היא לא למצוא איסטרטגיה, אלא ל*הצדיק* אותה (בהנחת תועלת לינארית בתוחלת, אחרת כל העסק קל מדי).
שאלה קצת דבילית 304747
כי כמו שאמרתי, הלוגיקה שהביא אותך לשחק X סיבובים היא שיקול נכון בכל שלב במשחק. אני מנסה לפרמל את השאלה כך שלא יתקלו‏1 כל פעם במכשול הזה. אני מסכים עם סמיילי שהשאלה דבילית. על תרמיות פונצי כבר דיברנו פעם? דיברנו תגובה 278934.

1 על מי אני עובד. כדי ש*אני* לא אתקל כל פעם. חשבתי שזה עשוי גם לעניין אחרים.
שאלה קצת דבילית 304748
הבנתי.

על שיטת פונצי (בנוסח טיפה שונה) דיברתי עם טובה עד לפני זמן מה.
שאלה קצת דבילית 304750
לא תמיד ברור איפה פונצי נגמר ו''כלכלה היא לא משחק סכום אפס'' מתחיל.
שאלה קצת דבילית 304769
זה רעיון יפה מאד - הוא מאפשר לממש את ה"הבטחה" לרווח אינסופי. נניח שהמשחק מתחיל בהצעה בגובה שקל אחד, ואתה צריך בכל שלב להחליט אם לממש את הפרס או להמר (ואז להפסיד לגמרי או לשלש את הפרס, בסיכויים שווים). באסטרטגיה ההסתברותית, אנחנו נותנים לקוביה להחליט בשבילנו: בסיכוי p מממשים, בסיכוי q=1-p מהמרים.
תוחלת הרווח בשיטה הזו היא (2p/(3p-1 אם p גדול מ-‏1/3, ואינסוף אחרת!
שאלה קצת דבילית 304770
שים אותי co-author , אשמח להקטין את הארדוש שלי:)
שאלה קצת דבילית 304948
אם תעדן את זה עוד קצת, כך שאתה משנה את p בהתאם לגובה הפרס בשעת ההטלה כדי להכניס למשחק שיקולי תועלת (להבדיל מתוחלת), זה יהיה בכלל יופי. לא?
שאלה קצת דבילית 305096
קצת מסובך לטפל ב"תועלת" (שקלול של תוחלת ושונות?), כי התוחלת אינסופית כל הזמן.
שאלה קצת דבילית 305615
ה"תועלת" שאני מדבר עליה מבטאת את הערך השולי הפוחת של הכסף. אני רוצה ש p יהיה כמעט 1 כשהסכומים קטנים, ויקטן עם עלייתם כך שכאשר יש לי כבר מליון שקל מובטחים אני אפרוש בשמחה ולא אסכן אותם בסיבוב נוסף.
שאלה קצת דבילית 305749
הבעיה היא שההחלטה על הסכום "מליון" בתור נקודת הcut off היא שרירותית. ברגע שעשית את זה, בעצם הכרזת שאתה לא מאמין למשחק הזה מעבר לסכום נתון.
שאלה קצת דבילית 305851
האמת היא שאחרי ששלחתי את התגובה ההיא חשבתי שאם כבר מכניסים את שיקולי התועלת אין צורך בהטלת הקוביה שכן הבעיה נפתרת מאליה במקום בו הרווח השולי של זכיה נוספת קטן מההפסד של הסכום שיש בידי באותו רגע. אם פונקציית התועלת אינה ידועה לי לגמרי (ברנולי חשב שהיא לוגריתמית, אבל אפילו אם הוא צדק היא בטח שונה לאנשים שונים) הקוביה יכולה להכניס קצת ''פאזינס'' לעסק.
שאלה קצת דבילית 305880
להגיד שהתועלת היא לוגריתמית זאת רמאות. אז תשנה את סכום הזכיה ל שלוש בחזקת שלוש בחזקת N. העניין הוא לא לטשטש את הגבול, אלא לאפשר תוחלת אין סופית מבלי להכנס לפרדוקס של עומר: אל תפסיק עד שתפסיד.
שאלה קצת דבילית 305975
אני לא מבין,

לכאורה למשחק תוחלת אינסופית אבל אם תשחק אותו אינסוף פעמים בטוח תפסיד.
לכאורה אי אפשר לייצר אסטרטגיה מתמטית למשחק.

מה הבעיה להשתמש באסטרטגיה כלכלית תוך שימוש בתועלת ?
הרי המטרה היא להרוויח, לא?
שאלה קצת דבילית 306016
אם אתה רוצה להגדיר פונקציית תועלת בהתאם לתנאי הבעיה זה לא קשה, אבל אם הפונקציה הזאת קשורה לענייני כלכלה באופן כללי - כלומר לשאלה מה ערכו של הדולר ה- 1,000,001 יחסית לדולר הראשון ולדולר ה 1,000,000,001 עבורך (בלי שום קשר למשחק ספציפי), הרי אפשר להמציא משחק בו היא תמשיך לגדול לעד באופן שלא יאפשר לך לפרוש ולגשת לקופה, אם אתה טיפוס רציונלי ועקבי. למשל, כמו שראובן הראה, אם פונקציית התועלת שלך לוגריתמית, מתי תפרוש ממשחק בו הרווח גדל יותר מהר מאקספוננט? כדי להיחלץ מזה צריך פונקציית תועלת חסומה מלמעלה, וזאת קצת בעיה (אם כי אולי לא בעיה עצומה) כשמסתכלים על כל מיני ביל גייטסים שממשיכים לצבור הון כמיטב יכולתם במקום לעשות משהו אחר עם הזמן שמוקצב להם בעולם הזה. פונקציית התועלת שלי, אני חושב, אכן מוגבלת מלמעלה בסביבות 50 מליון דולר.
שאלה קצת דבילית 306062
>> הרי אפשר להמציא משחק בו היא תמשיך לגדול לעד באופן שלא יאפשר לך לפרוש ולגשת לקופה

התועלת *תמיד* מוגבלת מלמעלה. אין ליצור אנוש תועלת אינסופית.

>>כשמסתכלים על כל מיני ביל גייטסים שממשיכים לצבור הון כמיטב יכולתם

אתה בוודאי מתכוון לסטיב באלמר ולא לגייטס, אשר חילק כבר בערך מחצית הונו הנוכחי לצדקה, והתחייב להוריש לכל יורשיו סכום "פעוט" של 10 או 100 מיליון דולר בלבד.
שאלה קצת דבילית 306229
נו, אנחנו מדברים פה על "אידאליזציות":
1) מדובר בשחקן רציונלי (קרי- יצור שמעוניין בהגדלת תוחלת התועלת שלו)
2) לתועלת הזאת אין גבול עליון
3) לבנק במשחק יש יכולת לספק כל תועלת שנרצה.

אולי תטען שהפרדוקס האמור מראה ששלושת ההנחות סותרות זו את זו, אבל אם תקרא בעיון את הפתיל, תמצא דרך אחת לפחות לזכות בתועלת אינסופית (בממוצע).
מצד שני, אם תטען שהפרדוקס הזה לא רלוונטי לחיי אנוש, אולי אתה צודק.
שאלה קצת דבילית 306237
אני לא בטוח בכלל שהתועלת תמיד חסומה למלמעלה. מיד אחרי שחישבתי את החמישים מליון ההם הבנתי שאני משקר. יש המון מטרות נעלות שהייתי בשמחה תורם להן כסף אם היה לי, החל מהקרן להצלת שבלול החוף הסיישלי ועד תשלומי פנסיה לכל אזרח ישראלי מעל גיל 22 (גם הקרן להגנת האייל היתה נהנית מכמה מליונים קטנים).

בקיצור, הרצון לאסוף כסף כדי לתרום אותו לא חוסם את פונקציית התועלת.
שאלה קצת דבילית 306099
נדבר שוב כשתגיע ל-‏35 מיליון.

האמת, לא נכון. רציתי לגבות את זה בטענת-השרוול שאנשים שאופק העושר שלהם מוגבל ב-‏50 מיליון הם לא הטיפוסים שיגיעו גם לחמישה מיליון. אבל נזכרתי במוסף ה"מרקר" מאחד החגים האחרונים, שהוקדש לעשירי הייטק שמקדישים עצמם ליוזמות למען הקהילה. כמעט כולם התעשרו מהנפקה מוצלחת בימי הבועה, וכמעט אצל כולם היה המוטו שכבר אין להם באמת מה לעשות למען עצמם עם הכסף. יכול להיות שטענת השרוול שלי לא מופרכת, אבל ברור לפחות שבועות הייטק יכולות לייצר יוצאים מן הכלל ברוכים.
שאלה קצת דבילית 306169
אם פונקצית התועלת שלך חסומה, הרי שהיא לא יכולה להיות אדטיבית בשום צורה ולפיכך ניתוח המשחק תלוי בכמה כסף יש לך כרגע ומה התחזית העתידית שלך. לא שזה לא הגיוני , אבל זה מסבך את הניתוח.
שאלה קצת דבילית 306260
למיטב הבנתי ברגע שמכניסים "תועלת" לא ליניארית ניתוח המשחק תלוי בכמה כסף יש לך כרגע, גם היא לא חסומה (אזהרה: אני לא מתמטיקאי כך שאם אני טועה אנא הסבר לי את זה במונחים שכל הדיוט יבין).
שאלה קצת דבילית 306294
מיטב הבנתך נכונה. בעצם רק ציינתי שחסומה גורר לא לינארית.
שאלה קצת דבילית 306307
או קבועה, כמובן, אלא שאז אין שום טעם למשחק שלנו ואפשר לעשות דברים טובים יותר עם הזמן.
שאלה קצת דבילית 306321
"ואפשר לעשות דברים טובים יותר עם הזמן."
מה למשל?
שאלה קצת דבילית 306324
לענות על שאלות טרחניות של אלמונים.
שאלה קצת דבילית 304733
אני מדבר על המקרה בו הטקטיקה (שיהיה אסטרטגיה) שלך נתונה מראש, והיא אם המטבע נופל על פלי תמשיך (בסכום מושלש) ואם על עץ, תפסיק (ולא תקבל כלום). אני חושב שהתוחלת עבור אסטרטגיה כזו היא אין סופית (כשלוקחים אותה כגבול של תמשיך עד שהמטבע נופל על עץ או עד שנגמרים N משחקים, כש-N שואף לאינסוף), למרות שהרווח שלך יהיה בכל מקרה אפס.
שאלה קצת דבילית 304734
וכבר אמרתי שהשאלה דבילית?
שאלה קצת דבילית 304736
הנה חישוב אלטרנטיבי לתוחלת: אם בהסתברות 1 הרווח הוא 0, התוחלת צריכה להיות 1*0=0.

איך מיישבים את הסתירה?
שאלה קצת דבילית 304739
(לשניכם)

אין כאן סתירה. אם האסטרטגיה ה-N אומרת לעצור ברגע שמציעים לך 3-בחזקת-N, אז התוחלת שלה היא (3/2)-בחזקת-N, ולכן סדרת התוחלות שואפת לאינסוף.
מאידך, אפשר להסכים שכאשר N שואף לאינסוף, סדרת ה*אסטרטגיות* "שואפת" לאסטרטגיה החמדנית שאומרת "אל תעצור לעולם". אבל באסטרטגיה הזו (בהסתברות 1) הרווח הוא 0, ולכן התוחלת שלה אפס.

אם כך, הוכחנו שהתוחלת אינה פונקציה רציפה של האסטרטגיה.
ובתרגום לשפת בני אדם 304745
(אתה יכול להסתפק במשפט הראשון והאחרון, את השאר אני מאמין שהבנתי)
שאלה קצת דבילית 304752
יפה, תודה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306182
אתה חושב שסתם ציטטתי את דוב סאמט במקום להגיד מה דעתי? אין לי ממש מושג. כזכור, תנאי-ההתחלה כאן הם אבסורדיים, ולכן העסק לא מדיר שינה מעיני; בפרט, לשאלתך על התוכנית - התשובה היא שמן הסתם אפשר לקצר כל if then כזה לפקודה האחת. מחשב הוא לא המקום לחפש בו תוחלות-רווח לא חסומות.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306258
המממ. אתה מנסה לרמוז שאנחנו לא מכונת טיורינג?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306503
שאני, מכונת טיורינג בלה שכמוני, ארמוז דבר כזה? אם לא הייתי מכונת טיורינג, הייתי נעלב :-)

אני חושב שאתה מבין למה התכוונתי. אם לא, שוּט.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306509
נו, כך נפלה לה עוד אשליה...
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424093
חיפשתי (ומצאתי) את הפתיל הזה בעקבות שיחה עם מישהו שטען את הטענה הבאה:
מישהו (שאינך יודע דבר על איתנותו הפיננסית) בחר באמצעות התפלגות כלשהי (שאינה ידועה לך) מספר X ושם בשתי קופסאות זהות (חיצונית) את הסכומים X ש"ח ו2X ש"ח. אתה רשאי לבחור קופסה אחת מבין השתים, לפתוח אותה ולהחליט, אחרי שבחנת את תוכנה, להחליף או להשאר עם הסכום שבקופסה המקורית.
קיימת אסטרטגיה המאפשרת לך לזכות בסכום הגבוה מבין השניים בהסתברות טובה מחצי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424102
אני מכיר את זה בוריאציה קצת יותר כללית: המישהו בוחר שני מספרים *כלשהם* באיזו צורה שהוא רק רוצה, ואתה בוחר לראות אחד מהם באקראי (בהסתברות 1/2). יש לך אסטרטגיה שמאפשרת לך לזכות במספר הגבוה יותר בהסתברות גדולה מחצי (ראית k? תבקש להחליף בהסתברות 1 חלקי k).

מצד שני, לא משנה איזו אסטרטגיה אתה בוחר, היריב שלך (בהנחה שהוא יודע את האסטרטגיה שלך) יכול לבחור את המספרים בצורה כזו שההסתברות שתבחר את הגדול יותר תהיה קרובה לחצי כרצונו (אבל עדיין גדולה ממש מחצי).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424103
כן, זה נכון. אם אינך מכיר את החידה ואתה רוצה לחשוב עליה קצת, קדימה. אם לא, אני יכול להסביר.

(הנוסח המוכר לי מאפשר לאותו מישהו להגריל שני מספרים (ממשיים), ועליך לקבוע אם המספר בו צפית הוא הגדול מבין השניים. הפתרון תקף גם למקרה הפרטי שציינת.)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424117
תגובה 303092
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424134
לא הבנתי (זה לא פרדוקס המעטפות).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424136
כן, האסימון נפל לי אחרי הסליחה. שליחה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424139
אני רואה שלא הגענו שם להסכמה בסוף. נו, מה התשובה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424142
תגובה 303185.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424151
בוודאי, אבל אני לא רוצה להשפיל את עצמי שוב בלשתף את כולם עם המחשבות שלי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424146
איפה לא הגענו להסכמה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424152
איפה כן?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424735
אני צריך קצת יותר פרטים כדי להבין איפה אתה חושב שחסר משהו. היתה חידת-מעטפות ראשונה, הסכמנו שפתרונה אינו שלם דרך חידת-המעטפות השנייה, ואת זו האחרונה פתרנו מבחינה מתמטית (מ"מ חסר תוחלת) ופטרנו כקוריוז מבחינת תורת-התועלת והאינטואיציה (מצב אבסורדי מוליך למסקנות אבסורדיות). לא?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424737
אם אתה אומר... כנראה שלא ממש הבנתי מה הלך בדיון ההוא.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424163
אני מכיר אותה. מה שאני לא בטוח, זה אם אפשר לבחור אסטרטגיה על פי הערך שנמצא בקופסה כך שההסתברות לקבל 2X (יש כאן אילוץ שההפרש בין שני המספרים הממשיים הוא לכל היותר הערך שנמצא בקופסה שנפתחה) היא גדולה ממש מחצי (כלומר קיים e>0 כך שלכל X שיבחר הסיכוי לקבל 2X הוא e+0.5).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424168
אם אני לא טועה, האסטרטגיה של "ראית k? תחליף בהסתברות אחד חלקי k" עובדת כאן ונותנת הסתברות שגדולה מחצי באחד חלקי 4k. תנסה את החישוב - אם הוא מה שאני חושב שהוא, זה בסך הכל משהו מאוד בסיסי בהסתברות.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424171
ההגרלה שבה אתה משתמש לא נותנת סיכוי גדול ממש מחצי. אני מציע דרך אחרת:
נניח שפתחת את הקופסה ויש בה Y ש"ח.
קח התפלגות שמקיימת:
לכל Pr(X<a)<Pr(X<b) 0<a<b ותעשה בה תיקון על פי Y (למשל, תקצוץ לה את הזנבות מתחת לY/2 ומעל 2Y ותנרמל).
חשב את (Pr(x<Y ותטיל מטבע שבהסתברות הזאת תגיד לך להחליף.
האם קיימת התפלגות שמאפשרת לקבל את 2Y בהסתברות גדולה ממש מחצי?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424173
למה לדעתך היא לא נותנת סיכוי גדול ממש מחצי? כלומר, מה החישוב שעשית?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424180
בגדול ממש מחצי הכוונה שקיים e>0 כך שלכל X שהצד השני יבחר הסיכוי לקבל 2X הוא לפחות 0.5+e. אצלך הסיכוי לכך שואף לחצי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424181
צודק, לא קראתי נכון את ההודעה שלך. מה שכן, עד כמה שאני רואה, לא קיים e כזה. אני לפחות הוכחתי את זה תחת ההנחה שהאסטרטגיה של הבוחר היא לבקש להחליף בהסתברות P, כש-P היא פונקציה של x בלבד (לא התעמקתי בה, אבל נראה לי שגם השיטה שלך פועלת כך).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424184
בשיטה שלך זה ברור. בהתפלגות כלשהי שממלאת אחר הכללים, אני לא בטוח ולא מסוגל להוכיח לכאן או לכאן.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424194
אני אנסה לשכנע אותך, אבל בשביל זה אני צריך לעבור למייל. אולי אלון ישלוף טיעון מחץ של שורה (לא מתמטית) אחת (ואולי אני טועה).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424237
אילו אסטרטגיות יש מלבד "להחליף בהסתברות התלויה במספר שראיתי"?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424238
לא יודע, יש כאלה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424246
אני הייתי מגדיר ככה אסטרטגיה. ליתר דיוק, במשחק הנ"ל אסטרטגיה טהורה היא פונקציה הקובעת לכל קלט שאקבל (המספר במעטפה שפתחתי) האם להחליף או לא. אסטרטגיה מעורבת היא עירוב (כלומר, התפלגות) של אסטרטגיות טהורות. זה שקול לפונקציה הקובעת לכל קלט באיזה סיכוי להחליף‏1. כעת, לא קשה לראות שאסטרטגיה כזו לא יכולה להבטיח סיכוי p שגדול ממש מחצי.

1 השקילות הזו נכונה לכל משחק עם perfect recall, כלומר שאינך שוכח את הקלט שראית.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424267
לרגע שכנעת אותי ואז עלה בי החשד ש''לא קשה לראות'' הוא במובן הפיזיקלי של הביטוי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424269
אפשר להוכיח את זה מתמטית (קיבלת את המייל שלי?)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424282
קיבלתי, עכשיו אני צריך להתקין קורא PS על המחשב בבית או להעתיק את הקובץ למחשב של העבודה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424284
PDF בסדר?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424291
PDF סבבה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424378
נראה לי שהסתבכת אם צריך pdf. בוא ונראה:
אם הסכומים במעטפות הם X ו-‏2X אז הסיכוי שתקבל את הגבוה הוא:
1/2 p(X) + 1/2 (1-p(2X))

כאשר p(X) הוא הסיכוי להחליף בהנתן שראיתי X.
איזי רוצה שזה יהיה גדול מ-‏1/2+a
אם נפשט את האי-שיויון נקבל:
p(X)-p(2X) > 2a
וזה צריך להיות נכון לכל X. קל לראות שאין פונקציה כזו שמקבלת ערכים בין 0 ל-‏1.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424382
אני השתכנעתי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424387
נשארה רק הערה לשונית: "גדול ממש מ-‏1/2" זה, פשוט, גדול מ-‏1/2. אם רוצים לבטא את "קיים e כך ש f(x)>1/2+e לכל x" אפשר לומר "חסום מ-‏1/2" (bounded away from 1/2).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 424398
ה-PDF הוא בשביל ה"קל לראות". לי זה ברור אינטואיטיבית, אבל ההוכחה לוקחת עוד טיפה מתמטיקה. אני מניח שלא פתרתי בדרך הכי פשוטה כי הלכתי על הדרך הראשונה שראיתי, ודי מצאה חן בעיני.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 743284
לאחרונה העליתי ליוטיוב סרטון שהכנתי על פרדוקס המעטפות בגירסה ה"חריפה" שלו (בעצם וריאציה קלה מאד שלה), שלמדתי עליה בדיוק כאן, מאלון עמית.

עבדתי על הסרטון הזה מאד בעצלתיים במשך כמה שנים, אבל את הדחיפה לסיים אותו קיבלתי אחרי ש-‏3Blue1Brown, אשף ההסברים המתמטיים ביוטיוב, הכריז על תחרות של אקספליינרים מתמטיים. אתמול, לצערי, נודע לי שאני לא בין חמשת הזוכים, אם כי יש סיכוי ל-honorable mention.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 743286
מעולה. יהיו עוד?

אם במקרה אתה מעוניין ב-(ניסיון) לביקורת בונה, אז אני חושב שהחולשה העיקרית שמצאתי בסרטון (מנקודת המבט היוטיובית) היא שקהל היעד הטבעי שלו הוא קבוצה לא מוגדרת היטב. אני מנחש(!) שמי שלא נתקל בעברו במשפט רימן, או לפחות התרגל כבר לא לפחד משני-שליש-לוג-‏2 שצצים בלי התראה, לא יהנה מההסבר (המצויין, לטעמי). ולעומת זאת, מי שהתכנסות בתנאי ונוסחת ההסתברות השלימה לא מחדשים לו הרבה, יעדיף אולי סרטון שמתקד בפרדוקס ונגזרותיו ומתעכב פחות על פרטים מתמטיים שכבר ידועים לו. חוצמזה (וזה אספקט בו כנראה יש לך יתרון תחרותי) אין מוזיקה ברקע :)

וברצינות: יהיו עוד, נכון?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 743306
תודה רבה, עומר, אני שמח שאהבת את הסרטון.

לשאלתך - כן, מתוכננים עוד סרטונים, ונשאר רק לקוות שאתברבר פחות עם ההכנה שלהם.

בטח שאני מעוניין בביקורת בונה. תודה על מה שכתבת, ואם יש לך עוד נקודות, שפוך (במייל או כאן).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 743287
הסרטון שלך מצויין לטעמי, אבל מבחינת האנימציה הוא די אלמנטרי, ואני נוטה לשער שזה קריטריון מאד חשוב בתחרות המדוברת.

בנוסף יש סיכוי גדול שמה שהפיל אותך אינו אלא חוסר מזל, כך שאל תיפול ברוחך. הבנתי שהשתתפו בתחרות כמה אלפי סרטונים, ולכן חמשת הראשונים הם בעיקר lucky bastards.

(גם הסרטון הזה כולו מומלץ למי שלא מכיר אותו, ובכלל הערוץ veritasium שווה עיון).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 743307
תודה גם לך. האנימציה היא אכן די אלמנטרית, משתי סיבות עיקריות: הנושא עצמו הוא לא ויזואלי (בשונה מכמעט כל הנושאים של 3b1b), ואין לי מושג באנימציה. להשוואה, הנה סרטון אחר, מרהיב עין, שהוגש לתחרות; פה הנושא הוא סופר ויזואלי, ומי שהכינה אותו היא אנימטורית מקצועית (אאל"ט).

תיקון קל - לתחרות הוגשו כ-‏1300 פרויקטים (לא כולם סרטונים, אגב), ולא "כמה אלפים". אל דאגה, לא נפלתי ברוחי.

ואני מצטרף להמלצה על הערוץ של veritasium. הכרתי את הסרטון הספציפי שקישרת אליו, יש מצב שאפילו בזכותך (הזכרת אותו כבר פעם באייל, לא?).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 744099
אתמול סוף סוף הוכרזו פומבית הזוכים בתחרות, בסרטון הזה של 3Blue1Brown. כאמור, הסרטון שלי הוא לא אחד מבין חמשת הזוכים, אבל לשמחתי הוא כן זכה להיות מוזכר לשבח, לצד כ-‏20 סרטונים נוספים.

הידעתם שאת התנועה הראשונה במילה envelope אפשר לבטא בשתי דרכים - ב"סגול" אבל גם ב"קמץ"? אני חטפתי התקף לב קטן כשגיליתי את אפשרות ה"קמץ", ועוד חשבתי שהיא האפשרות התקנית היחידה, זמן קצר אחרי שהעליתי את הסרטון שלי (זאת פדיחה רצינית לבטא באופן שגוי שוב ושוב, לאורך כל הסרטון, את מילת המפתח שלו). אבל כאמור, גם "סגול" הולך, אז נרגעתי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 744131
ידוע, מנפלאות השפה האנגלית.
הזדמנות לצפות מחדש בפרק האחרון של סוזן בסיינפלד..
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 744325
כל הכבוד, יובל!
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 744327
הי אלון! תודה רבה.

אם אתה כבר כאן, יש לי אולי תשובה לתהייה שהעלית בתגובה 303237, בעניין המקור של הפרדוקס בגירסה ה"חריפה" שלו. כתבת שם שאתה שמעת על הפרדוקס הנ"ל מאביך, אבל שהוא לא הצליח להיזכר מאין הוא עצמו שמע עליה. ובכן, האיזכור המוקדם ביותר של הפרדוקס ה"חריף" שאני מצאתי בספרות הוא במאמר Puzzles: The Other Person's Envelope is Always Greener, Barry Nalebuff, The Journal of Economic Perspectives , Winter, 1989, Vol. 3, No. 1, pp. 171-181

ראה גם The Two-Envelope Paradox, John Broome, Analysis , Jan., 1995, Vol. 55, No. 1 (Jan., 1995), pp. 6-11.

יש הבדלים בפרמטרים בין הגירסאות מהמאמרים הנ"ל, הגירסה שאתה סיפרת כאן, והגירסה מהסרטון שלי, אבל הרעיון הוא אותו רעיון.
אלוהי ציווני סט לעוללייך 303214
אבל אני לא אומר "קבוצה X גדולה מ-Y אם ורק אם X מכילה ממש את Y", אלא "אם X מכילה ממש את Y, אז X גדולה מ-Y". ואם לא? אז לא, בשביל המקרים האחרים תחפש הגדרה אחרת. ואז זה יוצא לגמרי אינטואיטיבי, גם לקבוצות סופיות. אני חושב שעניינים של מידה והסתברות אסימפטוטית לא מצליחים לתפוס את בעיות האינטואיציה הנאיבית: מבחינה האינטואיציה הנאיבית, נדמה לי, קבוצת הזוגיים גדולה ממש (גם אם במעט מאוד) מקבוצת הזוגיים ללא 2004.
אלוהי ציווני סט לעוללייך 303218
הכל טוב ויפה ואני מסכים עם ההגדרה שלך, אבל היא מתרסקת אחרי שהולכים צעד אחד מעבר לנאיביות הבסיסית, כי:

1) ההגדרה לא נותנת לנו להשוות המון קבוצות שונות.
2) ההגדרה מאפשרת מצבים תמוהים כמו זה: אם יש לנו את קבוצת כל הטבעיים בלי 1 ו-‏2, וקבוצת כל הטבעיים בלי 1, השנייה מכילה את הראשונה. עכשיו, אם ניקח את הקבוצה הראשונה וכל מה שנעשה הוא לשנות את השם של האיברים שבתוכה (להפחית 2 מה"שם" שלהם), פתאום הקבוצה הראשונה מכילה את השנייה. זה נראה עקום. למה ששינוי שם של איברים ישנה את הכמות שלהם?
אלוהי ציווני סט לעוללייך 303223
1. כבר אמרתי בתגובה המקורית שזו הגדרה לא פוריה.
2. יפה. על זה לא חשבתי.
אלוהי ציווני סט לעוללייך 303748
במחשבה שניה, אני (תוך המשך חבישת כובע הנאיבי) לא בטוח שאני קונה את מה שעשית ב-‏2. מצד אחד, אתה מספר לי שרק שינית את השם של אברי הקבוצה. מצד שני, אני רואה שבהשוואת הקבוצה לפני שינוי השם לקבוצה אחרי שינוי השם, מדובר על אותה קבוצה בתוספת שני אברים. כלומר, על פניו זו קבוצה שונה מהותית. לנוכח ה"פרדוקס", הנטייה הברורה שלי תהיה לפקפק ב"חוקיות" המהלך של שינוי השם, ואכן זה מהלך חשוד: אתה לא סתם משנה את ה*שם* (נניח את הסמלים שבהם כותבים את המספרים), אתה משנה את המספרים עצמם. ובהתחשב בכך שלמספרים המקוריים וגם לחדשים יש זיקה למספרים בקבוצה אליה אנו משווים, ובהתחשב בכך שבקבוצה אליה אנו משווים לא עשית טרנפורמציה כזו, נראה לי די ברור שרימית כאן...

(אבל יותר מכך אני חושב שאנחנו טוחנים מים עכורים. הדיון מעלינו עם המעטפות והמטבעות מעניין הרבה יותר. פי 3, בהסתברות חצי אם לא יותר; כדאי להחליף).
אלוהי ציווני סט לעוללייך 303752