תנו לגדול בשקט 2396
בשנת 1931 פרסם המתמטיקאי קורט גדל מאמר שהשפעתו, האמיתית או המדומה, חורגת הרחק מחוץ לעולם המתמטיקה. מה באמת יש במאמר ההוא, ואולי חשוב מכך – מה אין בו?
קורט גדל בצעירותו (מקור: ארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה, אוניברסיטת סנט אנדרוז)
בשנת 1948, כמה שנים אחרי שהיגר לארצות־הברית, הוזמן המתמטיקאי האוסטרי־הונגרי קורט גדל (Kurt Gödel) לראיון רשמי על־מנת לקבל אזרחות אמריקאית. בימים שלפני הראיון שקד גדל על לימוד החוקה האמריקאית לפרטיה, וערב הראיון בישר לידידו אוסקר מורגנשטרן, אחד מאבות תורת־המשחקים, שעלה בידו לאתר בה פירצה משפטית־לוגית: החוקה, כך גילה, מאפשרת לדיקטטור לתפוס את השלטון באמריקה! גדל התכוון לפרט את תגליתו בפני הקונסול, אך למזלו, שני ידידיו עמם נסע לפגישה – מורגנשטרן עצמו ואלברט איינשטיין – היו בקיאים בהלכות העולם יותר ממנו, והצליחו להניאו מלעשות כן ממש במהלך הראיון. גדל זכה באזרחות וחי באמריקה עד מותו ב-‏1978. אמריקה נשארה דמוקרטיה עד היום.

הסיפור מלמד מעט על אופיו של גדל, אבל כאן מעניין אותנו היבט אחר שלו: גדל התעניין במציאת דקויות לוגיות במקומות בלתי־צפויים. הפגם שגילה בחוקה האמריקאית הוא, ככל הנראה, אנקדוטלי ושולי; בהזדמנויות אחרות עלה בידו לגלות תגליות חשובות בהרבה. עם זאת, במאמר זה ננסה להבהיר שחלק מהפרשנויות הדרמטיות שניתנו לאורך השנים לאותן תגליות הן מבוססות אף פחות מהטענה שעל האמריקאים מרחף איום הנובע מהמבנה הלוגי של החוקה.

לפני שנתחיל, כדאי להדגיש נקודה חשובה. יש רק דרך אחת להבין בדיוק ולעומק מה אומרים המשפטים שהוכיח גדל, והיא ללמוד ברצינות את החומר הרלוונטי בלוגיקה מתמטית, את המשפטים עצמם ואת ההוכחות וההרחבות שלהם. מאמר זה אינו יכול לעשות זאת, ואף לא ינסה. ממש בימים אלו יוצא לאור ספר של טורקל פרנזן, מומחה לשיבושי־גדל, העושה את מה שמאמר זה מנסה לעשות, אך בצורה יסודית יותר; הספר מעניק את כל המידע הרלוונטי גם לחסרי רקע בנושא, ומומלץ למעוניינים להעמיק.

“This drifting of figures and geometric figuring, this irruption of dimensions and transcendental mathematics, leads us to the promised surrealist peaks of scientific theory, peaks that culminate in Gödel’s theorem: the existential proof, a method that mathematically proves the existence of an object without producing the object…” – Paul Virilio


השיטה האקסיומטית

איך אפשר להוכיח דבר־מה, לדעת בוודאות גמורה שמשהו נכון? ילדים מומחים בלנהל עם מבוגרים דיאלוגים מייאשים מהסוג הבא: "אם תעזוב את הבובה, היא תיפול למים." – "למה?" – "זה נקרא כוח המשיכה. דברים נופלים." – "למה?" – "המממ... כי לכדור הארץ יש מסה...?" – "למה?" – "כי ככה אמא אומרת! די!" לוגיקה היא דרך מסודרת להוכיח דבר מתוך דבר. כיוון שכך, צריך להתחיל ממשהו, ואותו משהו נקרא הנחות־יסוד, או אקסיומות. את אלה אין אנו מוכיחים; אנו מקבלים אותן כי הן נראות סבירות, או שימושיות למטרה מסויימת. אחרי שהחלטנו על האקסיומות עלינו להסכים גם על כללי־היסק לוגיים, ואז אפשר לגזור מסקנות בצורה פשוטה: כל מסקנה היא או בעצמה אקסיומה, או שהיא נובעת ישירות ממסקנות קודמות על־ידי אחד מכללי־ההיסק.

שיטת־החקירה הזו, "השיטה האקסיומטית", היא עתיקת־יומין. למרות שהיא לא מאפשרת לדעת דברים "בוודאות גמורה", היא לפחות מקלה עלינו לברר בדיוק על מה אנו מסתמכים כשאנו טוענים משהו – מהן האקסיומות העומדות בבסיס הטענה, ומהם כללי־ההיסק הלוגיים בהם השתמשנו כדי לעבור מטענה לטענה. השיחה בין הילד לאמו מדגימה שליותר מזה לא ניתן לצפות: תמיד אפשר לשאול עוד "למה?", וכך להטיל ספק במה שקיווינו שהוא מובן־מאליו. דיאלוג ידוע של לואיס קרול מדגים שגם המרכיב השני בשיטה, כללי־ההיסק, אינו חסין בפני הטלת ספק אין־סופית שכזו.

במתמטיקה, במיוחד, זכתה השיטה האקסיומטית להצלחה רבה, החל מפיתוח הגיאומטריה על־ידי אוקלידס לפני למעלה מאלפיים שנה. לשיטה האקסיומטית במתמטיקה יש כמה מאפיינים ייחודיים, וכדאי להזכיר שלושה מהם. ראשית, האקסיומות בתורות מתמטיות אינן אמפיריות; לעיתים הן הגדרות שרירותיות לגמרי ("חבורה היא קבוצה עם פעולה המקיימת..."), ולעיתים הן מבטאות אמיתות בסיסיות של ההכרה שלנו ("שני גדלים השווים לגודל שלישי, שווים ביניהם"). שנית, כללי הגזירה במתמטיקה מתבססים על לוגיקה בוליאנית פשוטה של "אמת" ו"שקר"; אין באמצע, בערך, אולי או לפעמים.

שלישית, התחום המתמטי העוסק בנושאים הללו משתמש במונחים המוכרים לנו משפת היום־יום – "שפה", "תורה", "הוכחה", "אמת" ו"עקביות". אבל, כדרכה של מתמטיקה, המשמעות של המונחים הללו היא כאן מדוייקת, פורמלית, וכתוצאה מכך שונה למדי ממשמעותם הרגילה. "תורה", למשל (המכונה לעתים גם "מערכת"), היא אוסף של אקסיומות וכללי־היסק; "הוכחה" בתורה היא סדרה של "נוסחאות", שכל אחת מהן היא שרשרת של סימנים ב"שפה", והנוסחה האחרונה בסדרה היא הטענה אותה רצינו להוכיח (והיא, אם כך, "יכיחה"). הכללים הקובעים האם הוכחה כזו היא תקפה הם לגמרי מכניים, או "תחביריים": הם מתייחסים אך ורק לשרשראות הסימנים, ולא למשמעויות השונות שאנחנו יכולים לייחס לסימנים הללו. מושג ה"אמת", לעומת זאת, הוא מושג סמנטי, וגם לו יש הגדרה פורמלית התלויה ב"מודל" של השפה.

בשל מחלוקות מתמטיות שונות (וכמה שגיאות) שהתגלעו בסוף המאה ה-‏19, התחזק הרצון להבהיר בדיוק אילו אקסיומות דרושות במתמטיקה, ובפרט, לברר האם אפשר להיפטר מכמה הנחות שנויות במחלוקת. נסיון מסוג זה הופיע בספרם המונומנטלי של ראסל ו־ווייטהד "פרינקיפיה מתמטיקה" (PM), ונמשך כתכנית מעט מעורפלת המכונה היום "תכנית הילברט". על רקע זה נולד משפט גדל.

"The notion of constructibility implied by the axiom of choice associated to what we have just set forth for poetic language, explains the impossibility of establishing a contradiction in the space of poetic language. This observation is close to Gödel's observation concerning the impossibility of proving the inconsistency [sic] of a system by means formalized within the system." – Julia Kristeva


מה גדל כן

כולנו מכירים מילדותנו את המספרים הטבעיים: אחת, שתיים, שלוש והבאים אחריהם. בבואנו לחקור את תכונותיהם המתמטיות, אנו מעוניינים – בהתאם לשיטה שהוצגה לעיל – לבחור מספר קטן של אקסיומות מהן נוכל לגזור משפטים וטענות על המספרים האלה, תוך שימוש בכללי־היסק פורמליים. כיצד נבחר את האקסיומות? מצד אחד, השאיפה היא לבחור מעט כאלה, כדי שיקל עלינו להבטיח שהן באמת טבעיות ונכונות, ואינן מובילות לסתירה. מצד שני, אם נבחר מעט מדי, ייתכן שהן לא תספקנה כדי להוכיח כל מה שנכון. התכונה הרצויה הראשונה של התורה נקראת "עקביות", והשניה "שלמות". שני אלה הם מושגים פורמליים, בעלי הגדרה חד־משמעית: עקביות פירושה שאין הוכחה של דבר וגם של היפוכו; שלמות פירושה שיש הוכחה של כל דבר או היפוכו.

אוסף האקסיומות של תורה לא חייב להיות סופי. מסיבות טכניות, אפילו תורות פשוטות יחסית עבור המספרים הטבעיים מחייבות מספר אקסיומות אין־סופי. לאור זאת, עלינו לדרוש שיהיה תהליך חד־משמעי המאפשר לקבוע האם נוסחה מסויימת היא אקסיומה; אחרת, כשנתבונן בהוכחה מוצעת, לא נוכל אפילו לברר האם השורה הראשונה שלה היא לגיטימית. במקביל, יש לדרוש משהו דומה מכללי־ההיסק: אם מראים לנו צעד בודד בהוכחה, צריכה להיות לנו דרך לקבוע האם הוא אכן יישום של אחד מכללי־ההיסק או לא. תורה העומדת בשתי דרישות אלה נקראת "אפקטיבית".

משפטי גדל אינם חלים רק על תורות אקסיומטיות של המספרים הטבעיים. אבל – וזו נקודה חשובה – כדי שמשפט גדל יחול על תורה, היא חייבת לכלול כמות מסויימת של אריתמטיקה – כלומר, דרוש שאפשר יהיה לנסח ולהוכיח בה מספר משפטים בסיסיים בתורת המספרים. אנו נכנה תורות כאלה "אריתמטיות", למרות שזהו אינו מונח מקובל במיוחד. כעת נוכל לנסח במידה סבירה של דיוק את המשפטים של גדל.

המשפט הראשון: אם T תורה אריתמטית, אפקטיבית ועקבית, אז יש נוסחה G כך ש-T אינה מוכיחה את G וגם אינה מוכיחה את שלילתה של G. מכאן ש-T איננה שלמה.

המשפט השני: אם T תורה אריתמטית ואפקטיבית, אז יש נוסחה C האומרת "T היא עקבית". אם, בנוסף, T עקבית, הנוסחה C אינה ניתנת להוכחה ב-T.

למען הדיוק, אלו אינם המשפטים שהוכיח גדל ב-‏1931. גדל לא התייחס במאמרו לתורות אריתמטיות כלליות, אלא לתורה ספציפית המכונה P הקרובה למערכת PM שהוזכרה לעיל, ורק ציין שההוכחה תעבוד באותו האופן גם בתורות דומות אחרות. הוא תכנן לפרסם מאמר־המשך בו יכליל את המשפטים, אך בסופו של דבר לא עשה זאת – בין היתר, כי אחרים עשו זאת במקומו. יתרה מזאת, בניסוח המשפט הראשון דרש גדל תכונה חזקה יותר מעקביות של T, ולכן הטענה שלו היתה חלשה יותר; המשפט שהצגנו הוא חיזוק למשפט של גדל, שהוכח על־ידי רוסר ב-‏1936. גם למשפט השני יש כיום חיזוקים שונים.

הטענה G המופיעה בניסוח המשפט הראשון מכונה לפעמים "נוסחת גדל עבור T", ולעיתים טועים וקוראים לה "משפט גדל". כדי למנוע אי־הבנות, נבחין בין משפט גדל (שהוא המשפט הראשון, או השני, בהתאם להקשר), לבין נוסחת גדל, שהיא הנוסחה G המופיעה במשפט הראשון.

“Ever since Gödel showed that there does not exist a proof of the consistency of Peano’s arithmetic that is formalizable within this theory (1931), political scientists had the means for understanding why it was necessary to mummify Lenin and display him to the “accidental” comrades in a mausoleum, at the Center of the National Community.” – Régis Debray


מה גדל לא

מאז פרסום המאמר של גדל, ובמיוחד לאחר פרסומם של ספרים פופולריים העוסקים בו, מופיעות פרשנויות שונות ומשונות למשפטים שלו בתחומים מגוונים להפתיע כגון פוליטיקה, אפיסטמולוגיה, אבולוציה וביקורת שירה. בחלק מהמקרים מדובר באסוציאציות חופשיות לגמרי – בין אם הפרשן מודה בכך ובין אם לאו – ואז אין הרבה מה לעשות: קוראים, צוחקים או בוכים, ועוברים הלאה. במקרים אחרים, מנסים הפרשנים לגזור מסקנות קונקרטיות מתוכן המשפטים או מהוכחתם. בחלק ניכר ממקרים אלה נופלות שגיאות ענייניות בהבנת הטענות המתמטיות או בשימוש בהן, וקצת מטעויות אלה אנסה להאיר כעת.

ניסוחים פופולריים שגויים של משפטי גדל הם "אף תורה מתמטית אינה שלמה" ו"אף תורה מתמטית לא מסוגלת להוכיח שהיא עקבית". לעיתים הניסוחים השגויים נובעים מרשלנות גרידא, אך לעיתים קרובות יותר, הם מעידים על חוסר־הבנה רציני של המשפטים, שעל יסודו נבנים מגדלים פורחים. מה, בדיוק, שגוי כאן? כמה דברים.

"אף תורה מתמטית" – טעות. משפטי גדל מציבים דרישות מסויימות מהתורות עליהן הם חלים. כשהדרישות אינן מתקיימות, המסקנות פשוט אינן נכונות. מאז ההוכחה המקורית של גדל הדרישות עודנו וחודדו, אבל לא נעלמו: הן נותרו קריטיות להוכחת המשפטים. יש תורות מתמטיות חשובות, מעניינות ומאוד לא־טריוויאליות שהן שלמות, ומשפט גדל לא חל עליהן; נזכיר כדוגמאות את הגיאומטריה האוקלידית, את התורה RCF (שדות סגורים־ממשית), ואפילו מספר תורות הדנות במספרים הטבעיים כגון PrA (אריתמטיקת פרסבורגר). כדאי לציין שבעולם המתמטי, הדרישות של משפט גדל נחשבות "חלשות" – כלומר, "רוב" התורות המעניינות כן תקיימנה אותן, ולכן תהיינה חשופות למשפט. אך יש לזכור שני דברים: אחד, "רוב" זה כאמור לא הכל; ושניים, כשמנסים להחיל את משפט גדל על תחום שאיננו מתמטי גרידא, הדרישות הללו הופכות קשות מאוד למילוי, ואין בדרך־כלל שום סיבה להניח שתורה בתחום אחר (נניח, כלכלה) תהיה פגיעה למסקנות של משפטי גדל.

"לא מסוגלת להוכיח" – כאן יש טעות יותר עדינה, אבל לא פחות חשובה. כאמור, "הוכחה" בלוגיקה מתמטית היא מושג פורמלי, הקשור, אך לא זהה, למושג "הוכחה" המוכר לנו משפת היום־יום. ביום־יום אנחנו מציינים בביטוי "הוכחה" דבר־מה המדגים מעל לכל ספק שטענה מסויימת היא נכונה. בלוגיקה, הוכחה היא סדרה של נוסחאות ותו־לא. לעתים יש קשר הדוק בין המושגים, אבל הם אינם זהים.

דוגמא פשוטה: תורה מתמטית מוכיחה פורמלית כל אקסיומה שלה, אך בשפת היום־יום לא היינו אומרים שמי שהניח שהירח עשוי צמר גם הוכיח שהירח עשוי צמר. לכן, הוכחה פורמלית לא בהכרח מהווה הוכחה־במובן־הרגיל של נכונות, ובאותו אופן, היעדר הוכחה פורמלית לא בהכרח מעיד על היעדר הוכחה־במובן־הרגיל. כל זה, יש להדגיש, היה גלוי וידוע עוד לפני גדל.

כדי להדגים את הקושי בצורה חריפה אף יותר, נשתמש בפעלול קטן. ניקח תורה מתמטית פשוטה עליה חל משפט גדל, למשל התורה המכונה PA (אריתמטיקת פֵּאָנוֹ), הבנויה מאקסיומות פשוטות וסבירות מאוד. עכשיו נבנה תורה מלאכותית Z שהאקסיומות שלה הן בדיוק אלו של PA, יחד עם אקסיומה אחת נוספת האומרת "PA איננה עקבית". הטענה הזו (כמו C המופיעה במשפט גדל) ניתנת לניסוח פורמלי בשפה של PA, ועל־כן אפשר להוסיף אותה כאקסיומה.

כעת נקבל כמסקנה מוזרה ממשפט גדל שאם PA עקבית (וזוהי הנחת עבודה סבירה), אז גם Z עקבית (הוכחה: תרגיל לקורא). עכשיו לפנינו תורה עקבית Z שבה ניתן להוכיח את הטענה השקרית "PA איננה עקבית"! אין פה אסון, אלא אבחנה פשוטה שתורה עקבית אינה בהכרח נאותה, כלומר אינה מוכיחה רק משפטים אמיתיים. הנקודה החשובה היא שאם יש לנו סיבה להטיל ספק בעקביות (או בנאותות) של תורה מסויימת, הוכחה של עקביות זו בתוך אותה תורה לא תועיל בכלום – ממילא אנו מטילים ספק בתורה, אז מדוע שנאמין לה כשהיא מוכיחה שהיא עקבית? מצד שני, אם יש לנו סיבות טובות להאמין שתורה היא כן עקבית, חסרונה של הוכחת־עקביות־פנימית כזו לא צריך להפריע לנו כלל.


קורט גדל עם אלברט אינשטיין (מקור: ארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה, אוניברסיטת סנט אנדרוז)



נעבור לטענה שגויה נוספת: "יש אמיתות שלוגיקה ומתמטיקה אינן מסוגלות להוכיח". נכון שבכל תורה העומדת בתנאים מסויימים יש משפטים נכונים שהיא לא מוכיחה; אך מכאן לא נובע שיש טענה נכונה שאיננה יכיחה באף תורה. מתמטיקאים קוראים לשגיאה זו "החלפת סדר הכמתים", והיא שגיאה גסה ונפוצה. מכך ש"לכל אדם, אפשר למצוא מכונית שלא הוא בנה" לא נובע ש"יש מכונית שאף אחד לא בנה אותה".

השגיאה הזו מופיעה, למשל (כנראה סתם מחוסר תשומת־לב), ברשימה שכתב שמעון שוקן, פרופסור למדעי־המחשב. במקרים אחרים, היא משמשת קרש־קפיצה לטענות מרחיקות־לכת על גבולות הרציונליזם ומותר האדם מן המכונה.

שתי שגיאות נפוצות נוספות הן הטענות "יש משפטים שבני־אדם רואים שהם אמיתיים, אבל תורות פורמליות לא יכולות להוכיח" ו"יש משפטים שבני־אדם רואים שהם אמיתיים, ומחשבים לא יוכלו לראות זאת לעולם". הצהרות מסוג זה נאמרו על־ידי הפילוסוף ג'ון סרל (Searle), הפיזיקאי רוג'ר פנרוז (Penrose) ואחרים. האם יש באמת משפטים שאנחנו רואים שהם אמיתיים, אבל אי־אפשר להוכיח אותם פורמלית? כותב שורות אלה, אישית, משוכנע שאין; בכל אופן, משפט גדל בהחלט לא מספק לנו כאלה, וכמוהו גם לא משפטים קרובים לו (כגון משפט טיורינג על בעיית העצירה).

אחד המועמדים הפופולריים למשפט כזה הוא נוסחת־גדל G הנזכרת במשפט הראשון. בהוכחתו המקורית בנה גדל את הנוסחה G כך שתהווה ניסוח פורמלי לטענה "G אינה יכיחה בתורה T". כיוון ש-G אכן מתגלה כלא־יכיחה, מסתבר שהיא נכונה, וש-T אינה יכולה להראות זאת – והרי לנו טענה שאנחנו, יצורים נבונים הקוראים את ההוכחה של גדל, רואים שהיא נכונה, ו-T אינה רואה זאת. האמנם מש"ל?

לא. הטעות היא שההוכחה לא מראה ש-G נכונה; היא רק מראה שאם T עקבית, אז G נכונה, ובדיוק את הרישא של המשפט הזה אנחנו לא יודעים (ו-T לא יכולה להוכיח). גדל היה מודע היטב לדקות הזו, והקדיש את סעיף 4 במאמרו המקורי לניתוח ההשלכות שלה. תוצאות הניתוח הן בדיוק המשפט השני שלו: את הטענה "אם T עקבית, אז G נכונה" בהחלט אפשר להוכיח ב-T, וקל להראות ש-G שקולה ב-T לנוסחת העקביות, אותה כינינו C.

אכן מבלבל, אבל זו עדיין לא סיבה לומר שגדל הוכיח שבני־אדם אינם מחשבים. נדגיש שוב את הנקודה העיקרית: את מה שאנחנו, בני־האדם, יכולים לראות, יכולה גם התורה הפורמלית (למשל, שאם T עקבית אז G אינה ניתנת להוכחה); את מה שהתורה הפורמלית לא יכולה להוכיח (את G עצמה), גם אנחנו לא יכולים. ככל הידוע למשפט גדל, בני־אדם אינם יודעים יותר מתורות פורמליות.

תפיסה שגויה אחרת בהקשר זה גורסת כי הוכחת משפט גדל כרוכה ב"קפיצה מחוץ למערכת", או שהיא מעין מטא־הוכחה הדורשת הסתכלות "מבחוץ". האמת היא הפוכה לחלוטין: משפט גדל הוא נכון בדיוק משום שאת השקילות "G נכונה אם ורק אם G איננה יכיחה ב-T" כן אפשר להוכיח בתוך T עצמה, בלי כל הסתכלות מבחוץ. זהו לב־לבו של ההישג של גדל: הוא הראה שתורות אריתמטיות פשוטות מסוגלות להביע פורמלית משפטים "על עצמן". תורות של המספרים הטבעיים אינן מוגבלות רק למשפטים אריתמטיים כגון "יש אין־סוף מספרים ראשוניים", אלא הן מסוגלות לנסח ולהוכיח משפטים מסוג "תורה זו לא מוכיחה ש...".

מה גדל בכלל לא

יש עוד שלל דוגמאות לטיעונים מופרכים הנשענים על אי־הבנה של משפט גדל, ולא נוכל למנות אפילו את רובם. כשבוחנים טיעונים מסוג זה, כדאי לשמור על פרופורציה, ולזכור את ההקשר: משפט גדל הוא משפט מתמטי הדן, בסופו־של־דבר, במניפולציות פורמליות של סימנים על נייר. כדי להקיש ממנו על היבט כלשהו של ההווייה האנושית, ולא סתם כמטפורה, דרושה קפיצה, שבמקרים רבים מאוד אינה זוכה לכל הצדקה.

טורקל פרנזן מצא את משפט גדל בקבוצת דיון על מוסיקת היפ־הופ. עד כמה קשה למצוא פרשני־גדל בפורומים אינטרנטיים ישראליים פופולריים? חיפוש בן פחות מעשר שניות בגוגל העלה מסמך, מינואר 2005, הכולל מספר לא מבוטל של היגדים מופרכים מהסוג שהזכרנו. החל מ"אדם לעולם לא יבין את עצמו", דרך "משפט זה, יותר מכל דבר אחר בעולם המדעי, ממחיש את הפער בין 'אני' ו'אחר' ", ועד למשפט הסיום התמוה "מה הדבר אומר על מתמטיקאים, אם לקח להם כל כך הרבה זמן להגיע לאותה מסקנה שכל איש רוח יודע, שאין אמת אחת? ולראיה, עדיין לא לגמרי יודעים איך להתמודד עם תובנה זו..."

צילו של קורט גדל עדיין מרחף על הארץ, מעורפל ומטושטש. די, הניחו לו.



רוב תודות לאורי גוראל־גורביץ' ולאילן עמית על עזרתם בחיבור מאמר זה.
קישורים
קורט גדל
ספר של טורקל פרנזן - מתוך אתר אמזון
דיאלוג ידוע של לואיס קרול
פרינקיפיה מתמטיקה - מאמר
תכנית הילברט - מאמר
רשימה שכתב שמעון שוקן
בעיית העצירה
מסמך - מתוך פורום "תפוז"
המאמר המקורי של גדל
פרסום תגובה למאמר

פרסומים אחרונים במדור "מדע"


הצג את כל התגובות | הסתר את כל התגובות

מעניין ומחכים 316722
שאלה היסטורית קטנה: קיבלתי מאיפה שהוא את הרושם שטיורינג הוכיח הכללה כלשהי של משפט גדל. האם זה נכון, ומה ההכללה?

(אגב, מה הרעיון בשם המאמר? משחק מילים קלוקל על "גדל"?)
מעניין ומחכים 316728
זה לא מדוייק; אפשר לראות במשפט טיורינג על בעיית העצירה ואריאציה קרובה על משפט גדל, והוא אכן יותר כללי כי הוא אינו קשור למערכת אקסיומטית מסויימת. אחת הסיבות שגדל דיבר על מערכת ספציפית במאמרו ולא על מערכות פורמליות באופן כללי היא שטיורינג עוד לא הספיק להגדיר את המושג "אפקטיביות". ב-‏1963 טרח גדל לפרסם הערה למאמרו המקורי מ-‏1931, ובה הוא אומר בערך כך: "בעקבות העובדה שעבודתו של א. טיורינג מאפשרת להגדיר במדוייק ובאופן כללי את המושג 'מערכת פורמלית', אפשר כעת לתת גרסה כללית לחלוטין של משפט VI ומשפט XI" (אלו הם המשפט הראשון והמשפט השני שלו, בהתאמה).

(כן).
בקשה 316734
אפשר לקבל הסבר בעברית פשוטה לאיזה מערכות משפט גדל מתייחס ולאיזה לא (מה זה מערכת אריתמטית, מה זה מערכת אפקטיבית)?
חידוד 316740
פספסת את ההגדרות במאמר, או שהן לא מספיק בעברית פשוטה, או לא מספיק מדוייקות? (ברצינות אני שואל, לא בלעג חלילה).
חידוד 316744
לא מספיק מפורטות.
חידוד 316761
או-קיי.

דרישת האפקטיביות היא פשוטה: מחשב יכול לבחון הוכחה-פורמלית ולהכריע (בלי לטעות) אם היא תקינה או לא. על השאלה "מה זה מחשב" עונים "מכונת-טיורינג", או פשוט: יש תהליך מכני לגמרי, מוגדר היטב וסופי שמקבל רצף של אותיות ואומר "כן, זו אקסיומה" או "לא, זו איננה אקסיומה"; כמו כן, יש תהליך כזה שמקבל סדרה של רצפים כאלה ועונה כן/לא על השאלה "האם הנוסחה האחרונה בסדרה מתקבלת מקודמותיה דרך הפעלה של אחד מכללי ההיקש המותרים".

השורה התחתונה של דרישת האפקטיביות היא: אפשר לכתוב תכנית מחשב שתייצר אחד אחד את כל המשפטים שהתורה מוכיחה-פורמלית, ורק אותם. לא משנה כמה זמן זה יקח, ולא משנה אם חלק מהמשפטים יופיעו שוב ושוב בפלט. חשוב שכל משפט ייוצר מתישהוא.

דרישת האריתמטיות היא כזו: המערכת הפורמלית צריכה להיות מסוגלת לייצג מספרים טבעיים, ולהוכיח עליהם כמה עובדות בסיסיות. "לייצג מספרים טבעיים" אומר שה*שפה* של המערכת הפורמלית, כלומר הסימנים המותרים בה בשימוש, צריכה להכיל את 0, +, *, > ו-' שזה הסימון ל"עוקב", *או* שהיא תכיל סימנים אחרים המייצגים את הללו באופן אפקטיבי. ב"עוקב" הכוונה "זה שגדול יותר באחד": 0 זה אפס, '0 זה אחת, "0 זה שתיים, וכו'.

"להוכיח עליהם כמה עובדות בסיסיות": כאן זה כבר תלוי אם אתה מדבר על המשפט הראשון או השני; השני דורש בהחלט יותר, כלומר יש מערכות שהמשפט הראשון חל עליהן והשני לא. אני לא יודע כמה אתה רוצה להתעמק בדרישות-הממש-מינימליות; לשני המשפטים מספיקות לגמרי האקסיומות של Peano, הנותנות את החוקים הבסיסיים של חיבור וכפל (כמו "X כפול העוקב של Y שווה ל-X כפול Y ועוד X") ואת כלל האינדוקציה (שהוא, למעשה, אינסוף אקסיומות).

שוב, אני לא יודע אם חשוב לך שנדבר על המערכות החלשות יותר לגביהן המשפט תקף. מתמטיקאים שאינם לוגיקאים מתייחסים לאקסיומות פאנו ממש כתחתית החבית; הרבה הוכחות מתמטיות דורשות הרבה יותר, ואף אחד באוכלוסיה הזו לא מתאמץ להשתמש בפחות. אם מישהו רוצה לשסות את גדל באיזה תחום לא מתמטי, נניח סוציולוגיה, הוא עשוי לסבור שאת אקסיומות פאנו אולי אין לו אבל משהו חלש יותר כן. במצב כזה הייתי מציג עוד כמה שאלות מקדימות לפני שמבררים אם סוציולוגיה כוללת יותר או פחות מ-Robinson Arithmetic, אבל אם זו הנטייה שלך אני יכול לפרט יותר.

אם זה לא הכיוון שרצית לחדד, שאל שוב.
תודה 316763
חידוד 316841
נדמה לי שההגדרה שלך לאפקטיביות (השורה התחתונה) חלשה מדי; אפקטיביות דורשת כריעות(R), והדרישה שלך היא ל RE. תוכנית המחשב האמורה, תצטרך לדעת לייצר את כל המשפטים בסדר לקסיקוגרפי על מנת לקבל כריעות.
חידוד 316890
הכריעות היא עבור האקסיומות וכללי ההיסק כלומר הבעיות "האם X אקסיומה" "האם X הוא היסק חוקי" צריכות להיות כריעות (ומכאן נובע גם ש"האם X הוכחה" היא כריעה). אם יש להו את זה אנו מקבלים בקלות שהשפה של כל המשפטים היכיחים בתורה היא RE. משפט גדל אומר שהיא לא R.
חידוד 318032
אבל למה אתה צריך שלושה שמות? גוראל הוא עברות עתידי לגורביץ' שאתה מריץ בנתיים כפיילוט פה?
חידוד 318165
גוראל הוא עברות עברי של גורביץ'.
חידוד 316900
מה שאורי אמר: זו בדיוק הנקודה. הדרישה היא שאוסף המשפטים היכיחים יהיה RE, אחרת המערכת די ממש לא שווה שום דבר. בשביל זה דרוש שנקודת המוצא וכללי המעבר יהיו R. כל הקטע במשפטים של צ'רץ', טיורינג', טרסקי וגדל הוא שה-RE הזה הוא באמת לא R.
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 317352
האם יש מערכות שלא מכילות את המספרים הטבעיים, ועדיין אפשר לומר עליהן שהן אריתמטיות (אך ורק במובן שהן עונות למשפטי גדל כמו שתוארו למעלה)?

אם כן, מהן? מה המכנה המשותף (אם יש כזה) שהופך אותן לכאלה? יש לך דוגמא למערכת כזו?

אם לא, יש משפט כזה?

(אם השאלה שלי טפשית מכדי להתיחס, אתה יכול להתעלם, אם תשובה תסבך אותך או אותי יותר מידי, אני אוכל להסתפק בהפניה)
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 317403
לשאלה הראשונה: לא במובן שאני יכול לחשוב עליו. כאמור, מערכת שעליה משפטי-גדל תקפים צריכה "להכיל" את הטבעיים במובן שתיארתי (לייצג את המספרים, ולהוכיח עליהם כמה עובדות פשוטות). ברור שהיא יכולה לייצג אותם באיזה אופן שונה מהרגיל אבל איזומורפי (סליחה על הביטוי).

(למשל מערכת שמדברת על מחרוזות של האותיות ע' ו-פ' כמו עעפעפפעפעפעעפפע, ויש בה פעולות # ו-$ שהן, בעצם, חיבור וכפל בינאריים).

אני לא יודע אם יש (או ייתכן) "משפט" כזה; כל מה שיש הוא משפט גדל, והתנאים שהוא דורש, שזה חלק מהם. משפטים שוללניים מטיפוס אחר (כמו אי-הכריעות של בעיית העצירה) אינם דורשים את התנאי הזה, וגם מסקנותיהם אחרות, למרות שהם דומים ברוחם ויש קשרים לוגיים בינם לבין משפטי גדל עצמם.

דרך-אגב, השימוש בביטוי "מכילה את הטבעיים" הוא בעייתי קצת. התורה של שדות-סגורים-ממשית מדברת על המספרים הממשיים (ומבנים דומים להם), כולל הפעולות הרגילות של חיבור וכפל. המערכת מאפשרת להוכיח טענות לא טריוויאליות כמו קיום פתרונות לכל מיני סוגים של משוואות פולינומיאליות. המספרים הממשיים כוללים את הטבעיים, אבל משפט גדל לא תקף כאן, כי לא ניתן לבודד את הטבעיים מתוך הממשיים בשפה של התורה הזו.
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 317409
מה שאתה אומר זה שמשפט גדל קיים רק במערכות שמכילות את הטבעיים, או שמשפט גדל מוכר רק במערכות שמכילות את הטבעיים?
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 317413
אני לא בטוח איך לפרש את השאלה: משפט גדל הוא משפט גדל, באיזה מובן הוא יכול להיות קיים במערכת שהוא לא מוכר בה? אתה שואל האם ייתכן שיש משפטים אחרים האומרים גם על מערכות מסוגים אחרים לגמרי שהן לא שלמות? צריך להיזהר פה; המושגים של "שלמות", "עקביות" וכו' מניחים ממילא משהו על המערכות בהן הם דנים (למשל שיש דבר כזה "שלילה" של פסוק). אם מחפשים משפט כללי על מערכות גנריות המייצרות אובייקטים באופן מכני (כמו שמערכת אקסיומטית אפקטיבית מייצרת הוכחות), אני סבור שהדבר הקרוב ביותר היא משפט טיורינג על בעיית העצירה.

זה מספיק קרוב בעיניך? אתה חושב על איזשהו סוג ספציפי של מערכות?
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 317417
אני לא זוכר את משפט טיורינג. ואין לי אף מערכת ספציפית בראש. אני רק חושב שזה מעניין (אם זה נכון) שיש תורות שיודעים אליהם שאינן שלמות, ויש תורות שיודעים אליהם שהן שלמות. אבל כל התורות מהסוג הראשון איזומורפיות‏1 המספרים השלמים. אני הייתי מצפה שיקרה אחד מהדברים הבאים:
1. איזה מתמטיקאי ימצא תורה שאיננה שלמה, ואיננה איזומורפית‏1 בשום צורה שהיא למספרים השלמים.
2. איזה מתמטיקאי יוכיח שלא קיימת תורה שאיננה שלמה, מלבד המספרים השלמים (והתורות האיזומורפיות‏1 לה).
3. איזה מתמטיקאי יוכיח שמשפט 2 בלתי ניתן להוכחה ולהפרכה.
4. איזה מתמטיקאי ימצא (או, אפילו יוכיח) כלל שאומר איזה תורות שלמות ואיזה לא.

1 בכל מקום בו כתוב "איזומורפי" יש להחליף ב"דומה בצורה כלשהי שאני לא יודע איך לקרוא לה מכיוון שמשפט גדל גדול עלי בכמה מידות", על כל ההטיות המתאימות.
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 317547
יש המון תורות שאינן שלמות ואינן איזומורפיות או מכילות (או מה-שלא-יהיה) לטבעיים. למשל התורה הריקה, אין בה אקסיומות בכלל (חוץ מהאקסיומות הלוגיות הרגילות). האם קיים משהו כלשהו? התורה לא מכריעה.
רוצה קצת יותר? התורה שאומרת שקיים אובייקט אחד לפחות. האם יש שניים? התורה לא מכריעה.
לדוגמאות פחות ביזאריות/טריויאליות ראה תגובה 317393
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 317661
לא הבנתי את שלושת הדוגמאות שלך. התורה לא אמורה להכריע בקשר לדברים שאינם מוגדרים בתורה, לא?
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 317873
קרא את תגובה 317614 וחזור אלי אם עדיין לא מובן.
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 318043
קראתי. (האמת, מלבד הסמנטיקה, זה לא חידש לי כלום. דווקא תגובה 318023 הצליחה להסביר את זה בצורה פשוטה מספיק בשביל שאבין).
חשבתי על זה עוד קצת, ועדיין חסר לי משהו 318023
התורה לא אמורה להכריע לגבי דברים שאי אפשר לנסח ב*שפה*. למשל, את המשפט "לכל X יש Y כך ש-(f(X,Y" אפשר לנסח בכל שפה שיש בה "לכל", "יש", משתנים X ו-Y, ויחס דו-מקומי כלשהו f. זה כשלעצמו לא אומר כלום על האקסיומות של התורה; יכולות להיות לה מעט, הרבה, פשוטות, מסובכות, לא חשוב.

אתה יכול לבנות תורה פשוטה המפרמלת תכונות של תגובות באייל: כל תגובה היא תגובה למאמר או תגובה לתגובה אחרת; לכל תגובה יש תגובה-אם יחידה (או מאמר-אב יחיד); תגובת-האם של תגובה שונה מהתגובה עצמה, ונגיד שעצרת כאן. אפשר לנסח עכשיו את המשפט "יש תגובה א' שהיא תגובה לתגובה ב' שהיא תגובה לתגובה א"'. זה לא קורה באייל, אבל האקסיומות שהצגנו לא מספיקות כדי להוכיח זאת (וכמובן שאינן מוכיחות גם שזה *כן* קורה), והרי לך עוד תורה לא-שלמה ולא-אריתמטית.

"אי-שלמות" היא תכונה נגטיבית, ויש אותה להמון תורות; משפט גדל מפתיע בכך שהוא אומר שיש אותה ל*כל* תורה אריתמטית+עוד תכונות. לא נראה לי שיש דרך סבירה "לאפיין" תורות לא-שלמות (חוץ מאשר לומר עליהן שהן לא שלמות).
שוב, תודה. 318045
אני חושב שהבנתי, עכשיו מה שאני לא מבין זה למה עשו מהמשפט הזה כזה סיפור.
שוב, תודה. 318083
בדוגמה שהבאתי של מבנה התגובות באייל, ברור שסתם לא שמתי מספיק אקסיומות; אילו התאמצתי יותר, הייתי יכול להגיע למצב של שלמות: כל טענה נכונה על מבנה עץ-התגובות אפשר היה להוכיח.

לפני גדל, היתה תקווה - לא בלתי-סבירה - שאפשר יהיה לעשות זאת גם לדבר שנראה כה פשוט: המספרים הטבעיים. כשגדל הראה שזה בלתי-אפשרי, היתה התרגשות מוצדקת - זו אכן התפתחות דרמטית ביסודות המתמטיקה. עם זאת, אתה יכול לתאר לעצמך שאני לא בדיוק מתווכח עם התיזה ש"עשו ממנו כזה סיפור" *מחוץ* למתמטיקה.
שוב, תודה. 318257
ועוד שתי שאלות (מצטער, אני יודע שאלה שאלות טפשיות, שבטח גם ענית להם קודם).

א. איפשהו (תגובה 317163, הי, הנה משהו כן נקלט) כתבת הגיאומטריה היא מערכת שלמה. איך הוכיחו את זה? אך בכלל מוכיחים דבר כזה על תורות לא טריויאליות?

ב. אם יש לי תורה לא שלמה (נגיד, המספרים השלמים), ז"א יש לה משפט שאי אפשר להוכיח אותו או להפריך אותו אז האם אפשר לבנות תורה חדשה שהמשפט הזה הוא אקסיומה (שלילית או חיובית)? האם אפשר להפוך בדרך כזו את המספרים השלמים לתורה שלמה (גם אם בעזרת הוספת אין סוף אקסיומות)?
שוב, תודה. 318260
א. על השאלה האחרונה יותר קל לי לענות. כדי להוכיח שלמות של תורה, צריך לטפל באיזשהו אופן בכל הנוסחאות בשפה שלה ולהוכיח שהן כריעות. דרך נוחה, יחסית, לעשות זאת היא לפתח תהליך של "פישוט" נוסחאות כאלה: מראים שכל נוסחה שקולה לאחת אחרת בעלת מבנה פשוט יותר, וזאת תוך שימוש באקסיומות של התורה.

נדמה לי שהמכשיר החשוב ביותר מסוג זה נקרא "חילוץ כמתים". באופן לא מפתיע, עיקר הקושי בתורות מסדר ראשון נעוץ בכמתים "יש" ו"לכל"; כשיש הרבה מזל, אפשר להראות איך לקחת נוסחה ולהתחיל להעיף ממנה כמתים, וכשיש המון מזל, אפשר להראות שאפשר להישאר בלי כמתים בכלל. המונח הטכני הוא "חילוץ כמתים" (quantifier elimination), ולמרות שלמדתי על זה קצת פעם אין לי די ידע כדי להסביר את זה כאן באופן סביר (אני מהמר שאורי יכול, למרות קיטוריו) - בכל אופן, יש על זה לא מעט מידע ברשת.

ספציפית לגבי גיאומטריה, אני לא חושב שאי-פעם ראיתי את ההוכחה, אך אני יכול לנחש כמה דרכים לעשות זאת - אם לא יענו לך אחרים אנסה את כוחי.

ב. לשאלה הראשונה: בוודאי, למה לא? אין תורות שאסור לבנות; מקסימום תצא תורה לא מעניינת באיזשהו אופן. אכן, בכל פעם שמתגלה משפט לא כריע אפשר "לפצל" את התורה הפורמלית ולבנות שתי תורות מתחרות: אחת שבה הוא נכון ואחת שלא. חשוב לזכור שלתורות האלה אין בהכרח מעמד שווה; ברוב המצבים, אחת מהן היא "סבירה" והשנייה "משונה".

לשאלה השנייה: לא אם אתה מתעקש להישאר עם תורה עקבית ואפקטיבית. אם מוותרים על עקביות, זה קל: מוסיפים אקסיומה הסותרת אקסיומה קיימת, ומקבלים מערכת לא-עקבית (אבל שלמה!). גם אם מנסים להשאיר עקביות תוך ויתור על אפקטיביות, אפשר לבנות תורות שלמות לשלמים - הזכרנו אחת כבר, "True Arithmetic", שפשוט יש בה את כל המשפטים הנכונים בתור אקסיומות. זו לא תורה מעניינת מההיבט המעשי כי אין אלגוריתם שיוכל להגיד לך אם משהו הוא אקסיומה. אם אכן שומרים על עקביות ואפקטיביות, ברור שמשפט גדל יחול גם על המערכת המורחבת (בהנחה שהוא חל על המקורית), ולא הרווחנו כלום בהיבט הזה. למשפט גדל לא משנה אם יש מספר סופי או אינסופי של אקסיומות.

אני אחכה בסבלנות שתגשים את הבטחתך לשאול שאלות טפשיות.
שוב, תודה. 318485
כאן המקום להעיר שלכל תורה אפקטיבית ושלמה (בפרט לא אריתמטית) יש אלגוריתם שמכריע עבור כל משפט האם הוא נכון או לא. לפעמים האלגוריתם הזה הוא "חיסול כמתים" (למה חילוץ? למה להיות חיובי?). אם יהיה ביקוש, אני ארחיב.
שוב, תודה. 318489
רגע - זה ברור, לא? אם תורה היא אפקטיבית, אפשר לייצר אחד-אחד את המשפטים שלה, ואם היא שלמה, כל משפט (או שלילתו) יצוץ מתישהו. לזה אתה מתכוון?

כמובן ש"חילוץ כמתים" (כזה אני) היא שיטה קצת יותר יעילה לעשות זאת.
שוב, תודה. 318498
ברור, ברור. רק ניסיתי להגיד שתורה (אפקטיבית) לא יכולה להיות שלמה באיזה אופן לא קונסטרוקטיבי.
זה באמת עובד ? 318512
כמדומני נרמז באחת מהתגובות שגאומטריה היא תורה שלמה (במידה ואני טועה אנא בחר תורה כרצונך, עדיף אחת שאני מכיר, והדגם עליה), איזה אלגוריתם יכול להוכיח/להפריך כל טענה שלי בתחום ?
נדמה היה לי במהלך לימודי (נאלצתי לקחת קורס אחת בתאוריה מתמטית, לא היה כל כך נורא) שחלק גדול מהתאוריה היא בלה-בלה ומבוססת על תפיסה של אנשים את הנושא ‏1, מה שמסביר איך כל השנים עקרון כגון השלישי הנמנע נמנע מלהתגלות, או איך הפרופסור שלי הוכיח משהו שהסתמך על אקסיאומת הבחירה מבלי להזכיר אותה (אחרי שהוא ראה שאף אחד לא שם לב, והיו שם חברה די מבריקים, הוא הסביר את הנושא).
כמו כן, אמנם יתכן שיש פה שימוש בתאוריות לא שלמות, אבל משפטים שהוכחו כגון פרמה, הועמדו לביקורת ע"י עשרות מומחים כשכל אחד מקבל חלק קטן לבדוק. במידה והיה אלגוריתם לבדיקה האם הדבר לא היה טכני ומידי ? או שבתאוריות לא שלמות אי אפשר לאמת את המשפטים ע"י אלגוריתם ?

1 - חלילה אין לראות בכך זילזול במתמטיקה ומתמטיקאים, פשוט כמו שאמר אותו בפרופסור בתשובה לשאלה האם פיזיקאים שואלים אותו שאלות : "לא, וגם אם הם היו שואלים הם לא היו מאמינים לתשובה".
זה באמת עובד ? 318513
"איזה אלגוריתם" - ברוב המקרים, אין אלגוריתם *פרקטי* לאימות/הפרכה, אם כי בתורות פשוטות מאוד אין קושי למצוא כזה. נדמה לי שבגיאומטריה של המישור זה אכן נעשה:

(נסה להתעלם מההומור הגיקי לגבי ספר מהעתיד; שים לב לסעיף Theorems שבו יש הוכחות ממוחשבות למשפטים ידועים בגיאומטריה).

"במידה והיה אלגוריתם לבדיקה האם הדבר לא היה טכני ומידי" - כן, *אם* היה כזה, ו*אם* הוא היא רץ בזמן סביר, ו*אם* אנדרו ויילס היה מתאמץ לכתוב את ההוכחה שלו בשפה פורמלית. מתמטיקאים כמעט אף-פעם לא עושים זאת; המטרה שלהם היא לשכנע את עמיתיהם שההוכחה תקפה.

עם זאת, התחום של הוכחות ממוחשבות (ובדיקה ממוחשבת של הוכחות) הולך ומתפתח. למשל:

ועוד. אם זה מעניין אותך, חפש proof checking בגוגל. יהיה מעניין לראות אם בעוד 50 שנה יתחולל איזה שינוי מהותי בדרך בה מתמטיקאים מוודאים את התגליות שלהם, ומשוחחים עליהן (אני לא בטוח שזה יקרה כל כך מהר, ולא בטוח שזה צריך לקרות).

"או שבתאוריות לא שלמות אי אפשר לאמת את המשפטים ע"י אלגוריתם" - בתאוריות לא שלמות אי-אפשר *להוכיח* את *כל* המשפטים ע"י אלגוריתם, אבל ודאי שאפשר *לאמת* הוכחה מוצעת.
תודה 318563
שכחתי לרגע שקיים הבדל בין ''קיים'' לבין ''אני יכול לרשום אותו על פיסת נייר סופית''.
אלגוריתם סופי? 318818
אלגוריתם סופי? 318836
כן, אבל לא כזה שבהכרח תדע מראש כמה זמן יקח לו. האלגוריתם הכללי הוא פשוט לעבור על כל ההוכחות האפשריות אחת אחת ולחפש הוכחה למשפט שלך או לשלילתו. מאחר והתורה שלמה, יש הוכחה כזו ולכן האלגוריתם ימצא אותה ויעצור.
אבל, אם מספר האקסיומות לא סופי? 318860
אבל, אם מספר האקסיומות לא סופי? 318869
זה לא מפריע לאלגוריתם הכללי, בתנאי שניתן לסדר את האקסיומות בזו אחר זו. גם במקרה זה אפשר לבנות בזה אחר זה את המשפטים היכיחים. כמובן שלא נסיים לעולם את עבודת הבנייה הזו, אבל בהינתן משפט יכיח, נגיע אליו בסופו של דבר.
אבל, אם מספר האקסיומות לא סופי? 319136
אני חייב להודות שכנראה שוב לא הבנתי. מצפה להמשך של תגובה 318842
יש ביקוש! 318832
(ומה זה בכלל "אלגוריתם שמכריע תקפות"?
יש ביקוש! 318842
א. ראה תגובתי לסמיילי.
ב. לגבי חיסול כמתים:
ננסה לתת דוגמא פשוטה. השפה שלנו תכלול יחס אחד "≤" ואת יחס השיוויון, שבד"כ מתיחסים אליו כחלק מהלוגיקה.
התורה שלנו תכלול את האקסיומות שאומרות ש"≤" הוא יחס סדר מלא, שהן

לכל a,b,c מתקיים:

if a ≤ b and b ≤ a then a = b (antisymmetry)
if a ≤ b and b ≤ c then a ≤ c (transitivity)
a ≤ b or b ≤ a (totalness)

בנוסף ניקח את האקסיומה שהסדר הנ"ל "צפוף":
לכל a,b קיים c כך ש:

if a≤b and not a=b then a≤c and not a=c and c≤b and not b=c

כלומר בין כל שתי נקודות יש נקודה.

בנוסף ניקח את האקסיומה שאומרת שאין נקודות קצה:
לכל a יש b,c כך ש:

b≤a and not b=a and a≤c and not a=c

כלומר לכל נקודה יש גדולה ממנה וקטנה ממנה.

התורה הנ"ל נקראת תורה של סדר מלא צפוף ללא מקודות קצה.

טענה: כל משפט בשפה שקול (תחת התורה הנ"ל) למשפט ללא כמתים.
הוכחה, מסקנות ודוגמאות אחרות אח"כ (צריך לצבור כח).
יש ביקוש! 318846
תודה. אני מצפה להמשך.
רק שתי שאלות: מדוע ההסתרבלות עם קטן/שווה במקרים שאתה מדבר על קטן ממש? אתה נמנע בכוונה מהיחס "קטן ממש"?
והאם צפיפות איננה תמיד צפיפות "בתוך" משהו?
יש ביקוש! 318963
1) אפשר להגדיר את הכל עם "קטן ממש" במקום "קטן-שוה". אני לא חושב שזה יצא קצר או פשוט או מובן יותר.

2) בגלל זה כתבתי "צפוף" במרכאות כפולות. פשוט נוהגים לכנות את התכונה הזו כך.
יש ביקוש! 318964
תודה.:)
אני באמת מצפה להמשך, אבל רק אם תהיה לך סבלנות.
יש ביקוש! 318853
את השויון אתה יכול להגדיר ע"י הפסוק הראשון שלך "(if a ≤ b and b ≤ a then a = b)" ברוח מה שהזכרתי כאן לא מזמן, כך שאינך זקוק לו כחלק מהשפה מלכתחילה. לא?
יש ביקוש! 318930
לא. היית יכול לצרף לשפה יחס, ולסמן אותו בסימן "=", ולציין ש"(if a ≤ b and b ≤ a then a = b)", אבל זה לא היה אומר ששני אובייקטים שיש ביניהם היחס = חייבים להיות באמת שווים במודל המתואר ע"י האקסיומות.

"מודל" (כמו שהסברתי באיזה מקום) מאפשר לך לקחת כל סימן-יחס ולהתאים לו יחס כלשהו בין איברי הקבוצה המהווה את המודל. אין כל הגבלה על מה היחס הזה יכול להיות, בתנאי שהוא מקיים את כל האקסיומות בתורה שלך. כלומר, אם נניח שהמודל שלך הוא הנקודות במישור, הסימן "=" יכול היה לציין את היחס "שתי נקודות הן = אםם הן נמצאות באותו גובה", או אפילו "כל שתי נקודות הן = זו לזו". זה לא מה שרצית שהיחס = יציין.

עכשיו, יכולת לנסות ולהוסיף אקסיומות לגבי = שהיו "מכריחות" אותו להיות מה שאתה כן רוצה: שני אובייקטים במודל הם שווים רק אם הם אותו אובייקט. למרבה הצער, בשפה מסדר ראשון לא ניתן לעשות זאת. לכן, כפי שאורי הזכיר, מתייחסים לסימן = כאל חלק מהלוגיקה: הוא לא אחד הסימנים שיש לך זכות להתאים להם איזה יחס שאתה רוצה, אלא אחד הסימנים (כמו הסימן "וגם" או "לכל") שהמשמעות שלהם קבועה; בכל מודל של התורה, "=" תמיד מציין שוויון בין איברי המודל.
יש ביקוש! 318943
אני חושב שהבנתי, תודה. עכשיו אני צריך לחשוב למה זה לא מפריע במקומות אחרים.
יש ביקוש! 318961
רק רציתי להוסיף ששום דבר משמעותי לא היה משתנה אם היינו עובדים עם = בתור יחס רגיל שמקיים את כל האקסיומות הנכונות - שהוא יחס שקילות ושאם a=b אז אפשר להחליף a ב-b בכל מקום שרוצים. היינו נאלצים לשנות קצת את ההגדרות של איזומורפיזם של מודלים אבל לא יותר מזה.
316749
ממש עצוב, השאלה בסוף ה"מאמר" שמצאת בפורום בתפוז. במיוחד לאור העובדה שהמאמר של גדל נכתב הרבה לפני ש"אנשי רוח" התחילו לחשוב במושגים של ריבוי אמיתות. התנשאות פאתטית שמבוססת על בורות היא דבר מדכא.

אבל זה לא מה שרציתי לשאול. רציתי לשאול, אם אפשר, מה הסוד מאחורי הציטוט של רג'י דבריי - למה, באמת, היה זה הכרחי לחנוט את לנין ולהציג אותו לכל עובר אורח מזדמן במוזוליאום, ואיך, לטענת דבריי, הדבר נעשה ברור למדעני מדינה בעקבות משפט גדל?
316755
אני הבנתי שאלון נתן את זה כדוגמא למסקנות מופרכות. גם הציטוט על השפה הפואטית היא דוגמה כזאת.
316772
זה ברור לי. אני תהיתי לגבי ההסבר שנתן אותו דבריי לדבריו.
316770
אני מודה שלא התעמקתי בכתביו של דבריי, ואת הציטוט לקחתי מ-Fashionable Nonsense שאתה טענת פעם שלקחת אותו מהספריה :-)

יש לי כמה דברים לומר על הציטוט הזה. אני לא יודע מה בדיוק עבר לדבריי בראש כשהוא כתב אותו ב-‏1980, אבל ב-‏1996 הוא כבר קצת חזר בו והסביר ש"גדליטיס היא מחלה נפוצה" וש"אקסטרפולציות מתורות מדעיות יכולות להוביל למשגים רציניים" ושהשימוש שלו בגדל היה "מטפורי או איזומורפי" (כל הציטוטים מ-FN). זה לא מאוד משנה, שכן אחרים כמו Michel Serres כבר התלבשו על ההצלחה המסחררת וממשיכים להתפעם: "בכך שיישם את משפט גדל... לסוציולוגיה, רז'י דבריי בהינף אחד מסכם את ההיסטוריה והעבודה של 200 שנים". מרשים מאוד.

זו בכלל תופעה חוזרת אצל הפוסטמודרניסטים: לפעמים ההוגה המקורי מסביר שהוא בכלל לא התכוון, וזה לא ככה, ודבריו הוצאו מהקשרם; או שהוא סתם משנה כיוון ומפסיק לנתח את אמנות-הצילום בעזרת יחסות כללית - אבל מוקיריו וממשיכי-דרכו לא נותנים לו להתחמק ככה בקלות.

אם אתה מוטרד שמא תצטרך ללמוד את משפט גדל לבחינה באיזה תואר-מתקדם (במדעי-המדינה), אני יכול במידה רבה של ביטחון וסמכותיות לומר לך שאתה יכול להפסיק לחשוש. אפשר להאשים אותי שלא קראתי את כל כתבי דבריי וזו חוצפה להאשימו בקשקשנות; אני מאמין בכנות שיש לי סיבות מצויינות לא לטרוח.

בפרט, אין לי מושג למה היה זה הכרחי לחנוט את לנין.
316774
לקחתי וקראתי, אבל הזכרון לא משהו, ואני משתדל לזכור את הרעיונות הכלליים. ציטוטים ספצפיים ברור לי שיעלמו בתהומות הנשיה.
316783
גם זו אמת.:)
316790
?
316792
אם גדל ''הוכיח'' שיש ריבוי אמתות, אז ייתכן שגם דבריי והאחרים אמרו אמת, וגם אתה.
אם הוא לא הוכיח זאת, אז אתה אמרת אמת.
316902
רק להבהרה - אין פה ''אם''. גדל לא הוכיח שום דבר כזה.
316907
כתבתי, ''הוכיח''.
316951
נכון, אבל הוא גם לא ''הוכיח''. צר לי...
316966
כשכותבים משהו (שאיננו ציטוט) במרכאות, הכוונה היא שהוא כנראה איננו נכון.
דברים שאמרתי אמש לא אומר עוד היום 317133
השימוש שלו ב"איזומורפי", הוא מטאפורי או איזומורפי?
Glory 317137
אני פוחד לומר, כי מי יודע, אולי יש בשיח הפוסטמודרני איזו משמעות למילה ''איזומורפי'' שאינה מוכרת לי. אם אני צריך לנחש, עם זאת, הייתי אומר שהשימוש שלו במילה הוא לא זה ולא זה, אלא סתם... לא יודע אם אפילו שרלטני. פשוט סתם.
Glory 317139
דווקא אפשר לנחש מה המשמעות של "איזומורפי" כאן. כמו שבמטאפורה אנחנו משתמשים במשהו מתחום A כדי לתאר משהו מתחום B אבל לרוב הדמיון הוא חלקי, כנראה ש"איזומורפי" פירושו להשתמש במשהו מתחום A לתאר משהו מתחום B, כשיש דמיון של 1:1 בפרטים הרלוונטיים.

למשל, כשיש לך עסק עם מישהו שרצח את אביו ושכב עם אמו מבלי שידע שאלו הם הוריו, תוכל להגיד שזה איזומורפי לסיפור אדיפוס.

(טוב, ניסיתי).
Glory 317152
גם לדעתי זו אמורה להיות המשמעות של "איזומורפי". אבל אם באמת משפט גדל היה איזומורפי לסוצילוגיה, אז הטיעון הישן שלו היה יכול להיות נכון, ולא היה לו ממה לחזור בו. נראה שלא מדובר באמת על איזומורפיה, אלא על משהו חלש יותר (מטאפורה?). השימוש ב"איזומורפיה", אם כן, נראה כמו התפארות במושג מתמטי מדויק כדי לציין משהו שהוא בכלל לא זה. כלומר, הוא מכה על חטא - ובאותו משפט ממש חוזר על החטא!
Glory 317250
(טובל ושרץ בידו)
316874
אני לא בטוחה בעניין הכרונולוגי. אמנם, על ריבוי אמתות במובן הפוסט מודרני התחילו לדבר *קצת* יותר מאוחר ממשפט גדל, אבל מאז ניטשה וה"אין אמת" שלו - הרעיון הזה היה קיים בהחלט בעולם הרוח.
316906
...והרעיון של אקסיומת-המקבילים היכולה להיות אמיתית או שקרית, תלוי בהקשר, היה קיים במתמטיקה עוד הרבה קודם. ניטשה נולד 40 שנה אחרי בוליאי, וכמה אלפי שנים אחרי אוקלידס שדאג כבר להפריד בין "אמת" למתמטיקה. "עדיין לא יודעים איך להתמודד עם תובנה זו" זו אמירה שפשוט אין לה כל אחיזה במציאות.
316916
אלון נערי, אך זה עתה הבנתי, סוף סוף, מדוע אתה נוקט שימוש רב כל כך בשם השם כמעט בכל פתיליך הנוגעים למתמטיקה: אתה פשוט רואה בה דת. הירגע. אני מסכימה שמתמטיקה היא עיסוק רוחני, והמדע המענג ביותר המוכר לי, וסביר שאסכים איתך על עוד תארים נשגבים אחרים שתיתן לה אולי. אבל דת היא לא. ואפילו לו הייתי מנסה לכפור בה בבורותי היתרה - אני מבטיחה שהיא לא תיעלב. בוודאות.
אז זהו. לא אמרתי כלום בשאלה מי גילה מה קודם, המתמטיקאים או אנשי הרוח. אמרתי רק שאנשי הרוח "גילו" את ריבוי האמתות לפני היות משפט גדל. כיוון שלמיטב הבנתי - ולדעתך התקיפה - משפט גדל כלל אינו אומר זאת, היה צריך להיות ברור שהערתי הערה כרונולוגית תמימה וחסרת השלכות. רילקס.
כותרת כדי לצאת ידי חובה 316919
ואני דווקא התרשמתי שאלון תקף את הציטוט שהוא הביא במאמר (מתוך ''תפוז''). הציטוט הזה אכן היה עלבון לעוסקים במתמטיקה באשר הם. אלון פשוט טען שכותב הדברים טעה.
כותרת כדי לצאת ידי חובה 316934
התייחסתי לתגובה 316906
כותרת כדי לצאת ידי חובה 316936
ואלון הגיב גם לך, וגם למסמך הזה:
הוא אפילו ציטט ממנו באותה תגובה!
כותרת כדי לצאת ידי חובה 316940
''לי'' הוא לא הגיב. רק למסמך ההוא.
316922
אני רואה במתמטיקה *דת*?
המתמטיקה כדת 316925
השאלה המעניינת היא זאת: אם המתמטיקה היא דת, מה עיקריה?

הרי אנחנו צריכים משהו להאמין בו. דת שמקבלת כל מערכת קונסיסטנטית של עקרונות היא דת מאוד מוזרה!
316932
אמרתי את זה בחצי-בדיחה, אבל רק חצי. משום מה יש לי תחושה שכשהדברים מגיעים למתמטיקה, כל דבר שנראה לך שגוי, או אפילו רק עלול להביא למחשבה שגויה, מעורר בך זעם חסר פרופורציה. זה מאוד לא מובן לי. זה מתקשר לי לעובדה התמוהה שכמעט בכל תגובה שלך לד.ק., וכמעט בכל תגובה של על דבריי בדיונים הנוגעים למתמטיקה, אתה חוזר שוב ושוב על מלים כמו "בשם אלוהים" וכדו'. ואני יודעת (לפחות נראה לי) שאתה חילוני. זה פשוט מוזר...
ובעיקר, חוש ההומור שלך נעלםפ מיד כשמדובר במתמטיקה. איך זה?
בשם אלוהים 316937
נראה ש''בשם אלוהים'' הוא התחליף האינטרנטי של מריטת השער בייאוש. כאשר אתה עומד מול מישהו שגם לא מבין מה שאמרת, גם מעוות את דבריך שוב ושוב, וגם בטוח שהוא צודק תמיד, אני בהחלט יכול להבין את התגובה.
בשם אלוהים 317075
אם זה היה ככה אז כל אחד מאיתנו היה צריך להגיד "בשם אלוהים" לפחות פעמיים בתגובה. :)
316947
אני מתנצל לגבי חוש ההומור, נראה מה אפשר לעשות. הוא נוטה לברוח דווקא כשקוראים לי ''נערי''... לא ספרתי כמה פעמים השתמשתי בביטוי הנ''ל, אבל אני מסכים עם המגיב מעלי - זו מקבילה וירטואלית של מריטת שערות, ולא הייתי נחפז להסיק ממנו על מערכת האמונות שלי. נדמה לי שניהלתי דיונים ארוכים על מתמטיקה באייל בלי טיפת זעם, אבל נכון (וגם ציינתי זאת כמה פעמים) שמשהו בדיון ביני לד.ק. מתסכל אותי. אני, שוב, מתנצל.
316954
עבורך, כל מריטת שערות היא וירטואלית‏1.

1 No offence meant, מבט חטוף באבי יבהיר כי זהו גם העתיד המצפה לי.
316956
אם בצד של אמא שלך אין קרחים אז אולי יש עוד תקווה
316959
בצד של אמא שלי כולם שעירים, אבל רציתי לנחם את אלון (ולמתן את זעמו :-).
316960
תודה :-) (על כל התגובות האחרונות, ואל חשש, none taken).
316964
אין צורך להתנצל.:)
אבל די קשה לי להתמודד עם תגובות שאינן מתייחסות כלל לדבריי, משום שהמגיב נתפס לפרץ זעם לפני שניסה להבין באמת מה אמרתי - או לחילופין, שיער מראש שאינני ראויה לניסיון כזה.
אלמוני vs. אלון 316967
נראה לי שלא אלון חוטא בתגובות שאינן מתייחסות לדברי קודמיו, או בפרצי זעם.
אלמוני vs. אלון 316978
כלומר?
316973
אני מוכרח להודות שאני פחות ופחות מבין על מה את מדברת. אם זה עוזר, בכל אופן, אני מצדי מוכן להניח לנושא לגמרי.
316977
התכוונתי, למשל, ל תגובה 316906 - שבה הגבת כאילו אמרתי משהו ה"פוגע"(?) במתמטיקאים, שלכאורה לא "גילו" את ריבוי האמתות לפני אנשי הרוח. ודאי שלא אמרתי שום דבר כזה (אינני יודעת אם הוא נכון או לא, אבל לא התעסקתי בנושא בכלל).
בתגובה אחרת ייחסת לדבריי מיני טענות של לוקס ופנרוז, שאינני מכירה כלל.
נדמה לי שאתה בכל זאת ממהר לשחרר נצרה לפעמים, וחבל.
(אבל בכל זאת אתה על הכיפאק, אז אנא אל תכעס):). סגרנו?
316981
באמת שלא ייחסתי, ולא נפגעתי. סגרנו.
316948
עבורי כקורא, ואני מניח שגם עבור אלון ככותב, הדיון עם ד.ק. היה מתסכל ביותר. ''בשם אלוהים'' זו רק קריאה ואין לה קשר מיוחד לאלוהים או לאמונותיו של אדם.
לחוש הומור יש נטיה להיעלם כאשר מגיעים לעניינים הקרובים ללבך.
316961
אני מסכימה שהדיונים עם ד.ק., בחלקם הגדול, מייאשים. מבחינתי כקוראת, הדיון בין ד.ק. לבינו היה מייאש ביותר - משני הצדדים. עקרונית, לא הייתי מניחה שהקריאה לעזרת הבורא מעידה על מעידה אמונית כלשהי. הזכרתי אותה רק כדי להוסיף נופך משועשע-משהו ליחס הקצת רציני מדי, לטעמי, של אלון כלפי המתמטיקה.
317007
לי נראה שאת פשוט קצת מקנאה במישהו שיש לו בסיס ידע מוצק שעליו הוא יכול להישען ללא מורא, להבדיל ממדעי הרוח שנשענים על רוח. יכול להיות שמהקנאה הזאת באה התגובה הקנטרנית שלך.
אלון עונה בצורה עניינית ומיקצועית לעילא ולעילא כמו שכותב של מאמר שעוסק במתמטיקה ראוי וצריך לענות.
אלון, ישר כוח!
317037
קשה להחליט אם אתה יצירתי במיוחד או משליכן במיוחד.
דת? 317044
אם הבנתי נכון את הנכתב, הרי שאחת המטרות שלך היתה דוקא לטעון שמתמטיקה אינה דת ואפילו לא תחליף דת. כמו כן היא גם אינה פילוסופיה וגם לא כלי שימושי בויכוחי "מי ברא את העולם?". היא פשוט מתמטיקה.
עזרה בשעורי בית 316764
מה התשובה על התרגיל לקורא?
עזרה בשעורי בית 316777
אם יש לך כמה אקסיומות (נניח PA) שלא מוכיחות משהו (נניח C, שהיא הטענה "PA עקבית"), זה בדיוק אומר שהן לא מסוגלות לסתור את שלילתו של אותו משהו (שאחרת, היו מוכיחות אותו...), שזה בדיוק אומר שלא ניתן להגיע ל"...סתירה. מש"ל!" אם מתחילים מהן וממנו, שזה בדיוק אומר שצירוף שלילתו אליהן לא מוביל לסתירה, שזה בדיוק אומר שצירוף שלילתו (C~) אליהן (ל-PA) יוצר מערכת שלא-מוכיחה-סתירה, כלומר מערכת עקבית (Z).
עזרה בשעורי בית 316778
(''אם מתחילים מהן ומשלילתו'', צ''ל. מבלבל העסק הזה).
עזרה בשעורי בית 316789
ד'רבה.
אולי אפשר לתת כתוספת 316793
את "ההוכחה" לכך שדיקטטור עלול להשתלט על אמריקה מתוקף החוקה שלה?
אולי אפשר לתת כתוספת 316796
העובדה ששום דיקטטור טרם השתלט על אמריקה, איננה אומרת שאין בחוקה פרצה שמאפשרת את זה. ייתכן שאיש פשוט לא ניצל אותה עד היום.
אולי אפשר לתת כתוספת 316909
צר לי, מעולם לא ראיתי אותה. הסיפור על גדל, מורגנשטרן, איינשטיין והמבחן באזרחות הוא אמין למדי, אבל אף פעם לא ראיתי פירוט של מה בדיוק גדל מצא (או חשב שהוא מצא) בחוקה האמריקאית. לדעתי זה לא פורסם מעולם.
316795
"האם יש באמת משפטים שאנחנו רואים שהם אמיתיים, אבל אי־אפשר להוכיח אותם פורמלית? כותב שורות אלה, אישית, משוכנע שאין;" בלי קשר למשפט גדל, לא ברור לי מה אתה מנסה לומר בזה. האם אתה מתכוון למשפטים מתמטיים בלבד? (כי אם לא, זה יהיה מוזר מאוד). ואם כן, האם ברור לך שכל משפט שאנחנו *רואים* שהוא אמתי, הוא אמתי? או יכיח? או מה?
316912
מה שאני "מנסה לומר בזה" הוא שהחיפוש אחר הוכחה מהסוג של לוקאס ופנרוז הוא עקר. וודאי שמדובר על הוכחות מתמטיות - זה מה ש*הם* מדברים עליו. אם זה לא הנושא, בכלל אין מקום לגייס את גדל.

את החלק השני לא הבנתי. מה שבני-אדם "רואים" (במתמטיקה) הוא תערובת של ניסיון, הגדרות פורמליות, הוכחות מילוליות, אינטואיציה ועוד. אצל לוקאס ופנרוז יש ניסיון חוזר ונשנה לומר שיש משהו שבני-אדם "רואים" במובן של ידיעה מוצדקת, שמכונות לעולם לא ישיגו. לי ברור שאין דבר כזה. ודאי שאדם מסויים יכול לאחוז, מסיבותיו הפרטיות, בדעה ש-PA עקבית, או בדעה ש-ZFC איננה עקבית - זה לא אומר הרבה לא על מה שיכיח ולא על מה שנכון.
316930
לצערי, אינני מכירה לא את לוקאס ולא את פנרוז. וכפי שאמרתי, דבריי לא התייחסו למשפט גדל כלל ועיקר.
ולא לגמרי ברור לי למה הכוונה ב"...יש משהו שבני-אדם "רואים" במובן של ידיעה מוצדקת, שמכונות לעולם לא ישיגו. לי ברור שאין דבר כזה." האם אתה מתכוון לדברים כמו השערת הרצף, למשל? האם לא ייתכן שמשהו ש"רואים" לא יהיה יכיח - משום שאיננו נכון? ואם *כל* מה ש"רואים" נכון, על מה אתה מתבסס בטענה שלא ייתכן שהוא איננו יכיח?
316980
לא הבנתי את הדוגמה של השערת הרצף. מישהו "רואה" משהו לגביה?

בעצם, גם את השאלות האחרות לא הבנתי. את רוצה להציג עמדה מסויימת לגבי הפער בין ידיעה אנושית לידיעה בידי מכונות, או שאת רק מנסה להבין את עמדתי?

עמדתי היא פשוטה: אין כל פער. כל סוגי הידיעה, וכל רמות הביטחון, שיש לבני-אדם בקשר לטענות מתמטיות ואחרות, ניתנים להשגה באותה רמה של הצלחה ע"י מכונות מספיק משוכללות.
317051
"*שתי* שגיאות נפוצות נוספות הן הטענות "יש משפטים שבני־אדם *רואים שהם אמיתיים*, אבל תורות פורמליות לא יכולות להוכיח" ו"יש משפטים שבני־אדם רואים שהם אמיתיים, ומחשבים לא יוכלו לראות זאת לעולם"... האם יש באמת משפטים שאנחנו רואים שהם אמיתיים, אבל *אי־אפשר להוכיח אותם פורמלית*? כותב שורות אלה, אישית, משוכנע שאין;"
מלכתחילה שאלתי על הטענה האחרונה שלך, שלמיטב הבנתי התייחסה ל"שגיאה" הראשונה שאתה מזכיר כאן, ואיננה מתייחסת למכונות כלל. האם לא די לי בלוקאס ובפנרוז, שעליי לסבול גם מכונות לא רצויות? או שכוונתך במשפט האחרון בציטוט היא ש"להוכיח פורמלית" פירושו "להוכיח בעזרת מכונות"? לא ברור העניין הזה.
317100
מה שאפשר להוכיח פורמלית, אפשר להוכיח ע"י מכונה, כן. איזה עניין לא ברור? (לא להתרגז, אני שואל בכנות, לא בכעס).
317113
(האלמונית מורטת כעת את שערה שלה בייאוש).
האייל האלמוני (יום שישי, 15/07/2005 שעה 14:05)
במאמרך מופיעה בפסקה הבאה:
"שתי* שגיאות נפוצות נוספות הן הטענות "יש משפטים שבני־אדם *רואים שהם אמיתיים, אבל תורות פורמליות לא יכולות להוכיח" ו"יש משפטים שבני־אדם רואים שהם אמיתיים, ומחשבים לא יוכלו לראות זאת לעולם"... האם יש באמת משפטים שאנחנו רואים שהם אמיתיים, אבל אי־אפשר להוכיח אותם פורמלית? כותב שורות אלה, אישית, משוכנע שאין;".
למיטב הבנתי, פירושה של הפסקה הוא:
יש (בין היתר) *שתי* טענות שגויות ביחס למשפט גדל:
1. "יש משפטים שבני־אדם *רואים שהם אמיתיים, אבל תורות פורמליות לא יכולות להוכיח".
2. "יש משפטים שבני־אדם רואים שהם אמיתיים, ומחשבים לא יוכלו לראות זאת לעולם".
אם הבנתי נכון, מדובר בשתי טענות *שונות*. אני מתייחסת לטענה מס' 1.
כעת, בהמשך אתה אומר (טענה 3, לא שגויה כנראה): "האם יש באמת משפטים שאנחנו רואים שהם אמיתיים, אבל אי־אפשר להוכיח אותם פורמלית? כותב שורות אלה, אישית, משוכנע שאין;".
כיוון שבטענה מס' 1 ובטענה מס' 3 אין מלה המרמזת על מכונות, למיטב הבנתי לא מדובר בהן על מכונות (האם אני טועה?). ומאותה סיבה, נדמה היה לי שטענה מס' 3 באה להפריך את טענה מס' 1. דהיינו (טענה שתכונה להלן טענה 4): "כל משפט שאנשים רואים שהוא אמיתי, ניתן להוכחה בתורות פורמליות."
אם עד כאן טעיתי, אנא האר את עיניי. אם לא - אני מנסה להבין את טענה מס' 4, ושואלת:
האם ברור לך שכל משפט שאנשים רואים שהוא אמתי הוא אכן אמתי?
האם כל משפט אמתי יכיח בתורות פורמליות?
טענות 317114
אם ניתן להוכיח טענה פורמלית, אז גם מכונה יכולה להוכיח אותה, ולהפך. טענות 1,2,4 שקולות (וטענה 3, כמובן, הפוכה להן).
טענות 317115
לא התייחסתי כלל לטענה 2.
וטענה 4 הפוכה מטענה 1.
317119
לי לא ברור שכל משפט שאנשים רואים שהוא אמיתי הוא אכן אמיתי. אפשר להיכנס כאן לדיון על מה זה "רואים" ומה זה "אמיתי", אבל הטענה המקורית שלי היא הרבה יותר פשוטה: אחרים - לוקאס, סרל, לא אני - טוענים שיש משפט פורמלי בתורת המספרים שאנו רואים שהוא נכון ומערכות פורמליות לא יכולות להוכיח. אילו היה זה נכון, זה היה טיעון מסקרן לגבי שאלת המוח האנושי, אבל זה לא.

כל משפט אמיתי יכיח בתורה פורמלית, למשל בתורה שמניחה אותו כאקסיומה. השאלה האמיתית היא אם על משפט אמיתי יכיח בתורה שיש לנו סיבות טובות לקבל את הנחותיה כנכונות. זו בעייה פתוחה, וכנראה תישאר כזו כי "סיבות טובות לקבל" הוא מושג מאוד נזיל.
317124
סוף סוף הבנתי. תודה.:)
כן, אבל... 316818
המאמר יפה ומעניין, אבל.

מי שמקבל את האמור בו כפשוטו עלולה שלא להבין למה משפטי גדל חשובים בכלל. האם שמענו על המשפטים הללו רק בגלל שהם היוו ומהווים קולר נוח לתלות בו ספקולציות מטפיזיות ואקזיסטנציאליות? במילים אחרות, אתה מניח כמובן מאליו ש"משפט גדל הוא משפט מתמטי הדן, בסופו-של-דבר, במניפולציות פורמליות של סימנים על נייר"; כלומר, ברור לך שכמשפט מתימטי אין בו שום עניין מעבר לעניין שהמתימטיקאים מגלים, משום מה, בכל מיני פורמליזמים שהם נהנים להתעסק איתם.
אבל זו לא כל האמת על משפטי גדל. לא סתם מלמדים את המשפטים הללו בקורסים של לוגיקה לתלמידי פילוסופיה. הרי משפטי גדל נוסחו והוכחו מתוך מגמה לתרום לויכוח *הפילוסופי* על יסודות המתימטיקה, ואם אני זוכר נכון, ההוכחה שלהם היתה מכת המוות לפרוגרמה (המטא-מתימטית!) של הילברט.
ככה שיש איזו היתממות, כך נראה לי, לא מכוונת מן הסתם, בהתכחשות להשלכות החוץ-מתימטיות של משפטי גדל. ההנחה שלך כאילו המתימטיקה היא בסך הכל "מניפולציות פורמליות של סימנים על נייר" היא אולי מובנת מאליה היום, אבל היא תוצאה של ויתור עצום, של "כישלון" (במרכאות) צורב מאוד של הפילוסופיה של המתימטיקה. איזה מתימטיקאי היה מקבל אותה לפני 300 שנה? גדל הוכיח את המשפטים שלו כספיח לויכוח גדול שהתנהל על ההנחה הזו בדיוק.
אז אני כמובן יכול להסכים שאין למשפטי גדל השלכות *מתימטיות* מחוץ למתימטיקה, אבל זה די טריוויאלי. אבל חבל שישתמע מהמאמר כאילו לא יכולות להיות להם השלכות פילוסופיות.
כן, אבל... 316920
אם מדובר על החשיבות של משפטי גדל, ראוי להפריד בין כמה תחומי-ידע.

1. לוגיקה מתמטית ויסודות המתמטיקה.

2. פילוסופיה של המתמטיקה, הפולשת (אולי, קצת, בזהירות) למספר קטן של תחומים אחרים בפילוסופיה.

3. מתמטיקה (כל מה שאיננו ב-‏1).

4. שאר תחומי הידע.

משפט גדל הוא בעל חשיבות עצומה ב-‏1 וב-‏2, אין על זה כל ויכוח, ובאמת שלא ניסיתי לומר אחרת. החשיבות שלו ל-‏3 נמוכה מאוד, וזאת בניגוד לעוד טענה פופולרית שגויה שלא נכנסתי אליה ("משפט גדל חולל מהפכה מוחלטת במתמטיקה"). החשיבות שלו ב-‏4 היא אפסית, וזה היה נושאו העיקרי של המאמר.

עשית טעות מסויימת שדי מפריעה לי: ייחסת לי את הטענה לפיה מתמטיקה היא רק מניפולציות של סימנים על נייר. לא אמרתי זאת, ואיני סבור כך (ממש לא). משפט גדל, לעומת זאת, הוא בהחלט משפט על לא פחות ולא יותר מהשיטה הפורמלית להוכחת טענות פורמליות - והוא, על-כן, בהחלט כן משפט הדן במניפולציות של סימנים על נייר. הסיבה שיש לו השלכות על יסודות המתמטיקה היא בדיוק שהתחום הזה דן (בין היתר) בקשר בין מניפולציות כאלה להיבטים אחרים של המתמטיקה.

אני לא סבור שבאמת נעשה פה איזה ויתור עצום. איזה ויתור?
כן, אבל... 316955
עכשיו אני רואה שקראתי לא נכון את המשפט שלך על ה"מניפולציות של סימנים על נייר", וסליחה. ייחסתי לך, אולי בטעות, את הנטייה לשמור על הטוהר הריגורוזי של המתימטיקה במחיר התכנסות של המתימטיקה בתוך עצמה והימנעות מ"שליחת ידיים" אל ה"מציאות", נטייה שניבטת מהתבטאויות בסגנון "אנחנו רק מתעסקים במניפולציות פורמליות". באנטי-יומרנות הזו (יש לה מקבילה גם אצל פיזיקאים: "זמן הוא הדבר אשר נמדד באמצעות שעון", אמר פיינמן) יש, לדעתי, אלמנט של התכחשות עצמית, והיא תוצאה של ויתור עצום על התקוות שנתלו בעבר במתימטיקה. אבל אולי ייחסתי לך רק בטעות עמדה כזו.

מעניין אותי לבחון משהו, ואני מקווה שאני לא מעיר כאן שדים מסוכנים מדי מרבצם. אני אשמח לשמוע את דעתך על הטענה הבאה:
משפטי גדל מדגימים (שלא לומר מוכיחים) בתחום המתימטי את הטענה הלאקאניאנית - "אין מטא-שפה"; ואם כך במתימטיקה, התחום שביקש יותר מכל להיות מעין מטא-שפה, ושבניקיון שלו היה אמור יותר מכל לאפשר בתוכו מטא-שפה - קל וחומר שהטענה של לאקאן נכונה לכל תחום אנושי.
על טענות כגון זו נכתב המאמר? או שזאתי עוברת איכשהו?
כן, אבל... 316965
אם רק תואיל להסביר מה בדיוק אומרת הטענה הלאקאניאנית אולי נוכל לדון בכך. אני אישית מהמר על ''כן'' ו''לא'' בהתאמה.
כן, אבל... 316971
(איינשטיין אמר את זה). אני לא יודע אילו תקוות נתלו במתמטיקה, ומי תלה, אבל אני חושב שיש די מעט מתמטיקאים פעילים המאמינים ברצינות ש*אין* *שום* *קשר* בין העשייה המתמטית ל"מציאות", מה שלא תהיה זו.

אני לא מכיר את הטענה הלאקאניאנית (הזאת), אבל אני לא ממש מסכים.

1. "אין מטא-שפה" - מה זה מטא-שפה? אם זו שפה שבה מדברים על השפה, אז נכון, לרוב עושים גם זאת באותה השפה (מדברים על דקדוק אנגלי באנגלית, ועל פילוסופיה-של-השפה בשפת בני-אדם כלשהי). לא צריך את גדל בשביל זה.

אם הטענה היא "לא ניתן להפריד באופן חד-משמעי בין היגדים על אובייקטים להיגדים-על-היגדים-על-אובייקטים", אז אני מוכן להסכים שאפשר לנסח משהו כזה שיהיה נכון ללוגיקה מתמטית, אבל אני לא רואה איך אפשר להשליך מכך על "כל תחום אנושי" - ממש לא. בשפה המדוברת, ממילא אי אפשר להבחין בחדות כמעט בין שום-דבר לשום-דבר, ושוב - אין שום צורך בגדל.

כל זה לא אומר שאין - גם במתמטיקה, וגם בצרפתית - מצבים בהם אנו בעליל מדברים סתם על מספרים, או על מכוניות, ומצבים בהם אנו בעליל מדברים על הוכחות מתמטיות, או על צרפתית. האם זה סותר, או לא סותר, את הטענה של לאקאן?

2. "התחום שביקש יותר מכל להיות מעין מטא-שפה"? מתמטיקה? מה פירוש "התחום ביקש" - העוסקים בו ביקשו? מי?
כן, אבל... 317226
בעצם, לאקאן הוא עץ קצת גבוה מדי בשבילי. אני אנסה עם דוגמא אחרת. מה דעתך על הטיעון הבא:
א) משפטי גדל מוכיחים שלא ניתן להגשים את הפרוגרמה של הילברט.
ב) בכך, גדל הוכיח את אי האפשרות לבנות את המתימטיקה באופן סיסטמטי על גבי יסודות בטוחים.
ג) מקל וחומר, גדל הנחית מכה אנושה על התקוות לבנות תחום כלשהו של ידע באופן סיסטמטי על יסודות בטוחים.

האם שלב ג' חורג מהגדר של מה שאתה מוכן לקבל כהשפעה לגיטימית של משפטי גדל על התחומים בפילוסופיה שמשיקים לפילוסופיה של המתימטיקה? או שאולי הטיעון נפסל עבורך עוד לפני השלב הזה?

הפרט החשוב מבחינתי בטיעון הוא השימוש ב"קל וחומר". כלומר, הדבר החשוב שלדעתי התעלמת ממנו במאמר הוא שאנלוגיה מהסוג של "אם במתימטיקה לא נוכל להשיג X, קל וחומר שלא נוכל להשיג זאת ב..." יכולה להקנות לגדל רלוונטיות לתחומים (לכאורה) רחוקים מאוד. האם גם השימוש ב"קל וחומר" נובע, לדעתך, מאי הבנה של ההשלכות האמיתיות של המשפטים?
כן, אבל... 317234
אינני יודעת מה דעתו של אלון בנושא, וממילע אני חולקת עליו בשאלת טווח השימוש האםשרי בגדל - אבל נקודה ב' נראית לי קצת מעופפת, ונקודה ג' - מאוד לא מבוססת. מדוע "קל וחומר"?
כן, אבל... 317235
א) בשביל לקבל את זה, צריך להסכים מה היא בדיוק הפרוגרמה של הילברט, אבל אני מוכן להניח לרגע שזה נכון.

ב) עם זה כבר מאוד קשה להסכים. מה זה "יסודות בטוחים"? התחושה הרווחת בקרב רבים כיום, בוודאי אצלי, היא שיסודות המתמטיקה הם בטוחים באופן הכי ברור שאפשר לקוות לו.

אם נניח לרגע שמשפט-גדל שגוי ו-PA *כן* מוכיחה את עקביותה-שלה, זה נותן לה יסוד בטוח? ודאי שלא. אם היא שגויה, אז גם זה שהיא מוכיחה שהיא עקבית שגוי. ייתכן אפילו שהיא לא עקבית ולמרות זאת מוכיחה שהיא עקבית (מה זה ייתכן, אם היא לא עקבית *בטוח* שהיא מוכיחה שהיא לא עקבית).

אפשר להקשות ולומר, ברור שזה לא מעניין ש-T מוכיחה ש-T עקבית, מה שרוצים לעשות זה להוכיח ש-T עקבית במערכת חלשה P, כש-T היא תורה מספיק מורכבת כדי לעשות בה את כל המתמטיקה (נניח ZFC), ו-P היא מערכת סופר-טריוויאלית ש"ברור" שהיא נכונה. זו, בערך, היתה התכנית של הילברט; הוא רצה ש-P תכלול רק "שיקולים פיניטיסטיים", למרות שלא לגמרי ברור מה בדיוק נחשב לשיקול פיניטיסטי.

את זה, באמת, לא ניתן לעשות (בגלל גדל). אבל, גם אילו ניתן היה לעשות זאת, זה לא היה נותן יסוד "בטוח" - גם על שיקולים פיניטיסטיים אפשר, אם רוצים, להתווכח. נכון שזה היה יותר קל לעיכול מאשר להניח מערכות מורכבות יותר, אבל אני לא לגמרי בטוח שזה כזה הבדל גדול.

ג) זה כבר לגמרי לא ברור. חלק ניכר מתחומי-הידע האחרים - פיזיקה, ביולוגיה, פסיכולוגיה, היסטוריה, סוציולוגיה, חקר ספרות - הם אמפיריים, ונתונים לערעור מסיבות הרבה יותר פשוטות מגדל. בעיית האינדוקציה, למשל: מי אמר שחוקי הפיזיקה נכונים מחר או במקום אחר?

גם אם מישהו יצליח לנסח את חוקי הפיזיקה כמערכת פורמלית, לא נוכל להיות "בטוחים" בהם. נוסף על כך, כל מה שגדל יגיד לנו (אם אכן המשפט יהיה תקף, וסביר שכן) הוא שהתורה הפיזיקלית הזו לא יכולה להכריע כל שאלה *אריתמטית*. זה לא כזה עניין גדול: ייתכן שהתורה תספיק לגמרי כדי להכריע חד-משמעית בכל שאלה פיזיקלית.

בסוציולוגיה וכו', עצם הניסיון לבנות מערכות פורמליות כבר נראה מוזר, אבל גם אם נניח שמישהו בונה תורת-מוסר פורמלית, אותה הביקורת תקפה: אז אפשר יהיה לומר לו, ראה, תורתך אינה שלמה, היא לא מכריעה כל טענה אריתמטית. נו, ומה בכך? היא עדיין יכולה להורות לבני-אדם כיצד להתנהג בכל דילמה מוסרית.
כן, אבל... 317238
הבאתי כבר את הקישור הזה בעבר. אם אני מבין נכון, יש ביניכם מחלוקת קשה. מה דעתך על דבריה?

למשל,

"Platonism ... claims that mathematics is descriptive of abstract entities, of numbers and sets, that exist separately from our attempt to understand them through our mathematical systems.

Platonism has always had a great appeal for mathematicians, because it grounds their sense that they're discovering rather than inventing truths. When Gödel fell in love with Platonism, it became, I think, the core of his life. He happened to have been married, but the real love of his life was Platonism, and he fell in love, like so many of us, when he was an undergraduate.

Platonism was an unpopular position in his day. Most mathematicians, such as David Hilbert, the towering figure of the previous generation of mathematicians, and still alive when Gödel was a young man, were formalists. To say that something is mathematically true is to say that it's provable in a formal system. Hilbert's Program was to formalize all branches of mathematics. Hilbert himself had already formalized geometry, contingent on arithmetic's being formalized. And what Gödel's famous proof shows is that arithmetic can't be formalized. Any formal system of arithmetic is either going to be inconsistent or incomplete.

Gödel had intended to show that our knowledge of mathematics exceeds our formal proofs. He hadn't meant to subvert the notion that we have objective mathematical knowledge or claim that there is no mathematical proof—quite the contrary. He believed that we do have access to an independent mathematical reality. Our formal systems are incomplete because there's more to mathematical reality than can be contained in any of our formal systems".

http://www.edge.org/3rd_culture/goldstein05/goldstei...
כן, אבל... 317241
זה נושא מורכב. דעתי האישית היא שמבנה יסודי כמו המספרים הטבעיים הוא אכן מוגדר-היטב במובן שטענות מסדר ראשון לגביו הן או נכונות או לא נכונות - אני לא יודע אם זה מזכה את המספרים הטבעיים בתואר "קיימים". לעומת זאת, לגבי מבנים מורכבים יותר כמו המספרים הממשיים, קבוצות שרירותיות של טבעיים, או קבוצות באופן כללי, אני פחות בטוח.

בכל אופן, די ברור לי שלא ניתן להכריע מתמטית בשאלות הללו; הן פילוסופיות, ותישארנה כאלה. זה לא מצמצם מחשיבותן או מרמת העניין בהן, אבל יש לדעת שיש להן השפעה מועטה על העשייה המתמטית עצמה.

איזו נקודה מעניינת אותך במיוחד בציטוט? אני סבור שכיום, פורמליזם נוקשה הוא עמדה די לא מקובלת, וכמוה גם פלטוניזם נוקשה. קשה לי לומר אם התיאור ההיסטורי של עמדתו של גדל היא מדוייקת, על אף שודאי שהוא היה פלטוניסט במידה רבה. אני חושב שגם עמדתו של הילברט היתה יותר מורכבת מסתם פורמליזם.
כן, אבל... 317247
הנקודה שמעניינת אותי היא זאת: (כמו שעומר כתב) אתה כותב במאמר "משפט גדל הוא משפט מתמטי הדן, בסופו־של־דבר, במניפולציות פורמליות של סימנים על נייר. כדי להקיש ממנו על היבט כלשהו של ההווייה האנושית, ולא סתם כמטפורה, דרושה קפיצה, שבמקרים רבים מאוד אינה זוכה לכל הצדקה".
גולדשטיין, לעומת זאת, רואה במשפט גדל טיעון לטובת ריאליזם מתמטי. ז"א, ההשלכות שלו הן לא סתם על ההוויה האנושית, אלא על האונטולוגיה. האם לדעתך ה"קפיצה" הזאת סבירה, או שהיא "טרחנות כפייתית"?
כן, אבל... 317270
אלון כתב בתגובה 316920 שלמשפט גדל יש "חשיבות עצומה" עבור ה"פילוסופיה של המתמטיקה, הפולשת (אולי, קצת, בזהירות) למספר קטן של תחומים אחרים בפילוסופיה". נדמה לי שגם לדעתו זה מכסה את מה שגולדשטיין טוענת.
כן, אבל... 317303
כן, אבל אני שואל מה דעתו על מה שגולדשטיין טוענת.
כן, אבל... 317298
משפט גדל הוא משפט על תכונה מסויימת של פורמליזם מתמטי. אם רוצים להשליך ממנו, למשל על האונטולוגיה, צריך להסביר מה הקשר בין פורמליזם מתמטי לאונטולוגיה. אולי זה אפשרי, אבל דבר אחד בטוח: את *זה* משפט גדל עצמו לא עושה בשבילך.

האם, אכן, יש קשר בין השיטה האקסיומטית הפורמלית לאונטולוגיה? אני לא לגמרי בטוח. כפי שציינתי פעם, השיטה האקסיומטית היא מכשיר מצויין ל*צמצום* האמירות שלנו על העולם; כשעובדים בה, יותר קשה לטעון טענה שתתגלה כשגויה, לפחות מפני שאנחנו יודעים בדיוק על אילו הנחות כל טענה נשענת.

עכשיו, השיטה הזו היא (במתמטיקה!) כל כך מוצלחת, עד שמפתה מאוד לקבל את הרושם שגם ההיפך נכון: *רק* מה שאפשר להוכיח פורמלית הוא נכון "אונטולוגית". אבל זה טיעון מסוכן: רק מה שאפשר להוכיח פורמלית *ממה*? מאילו אקסיומות? אם יש חופש מוחלט לבחור אותן, זו אמירה ריקה מתוכן; אם אין חופש, השאלה האונטולוגית זזה לשאלה של בחירת האקסיומות.
כן, אבל... 317302
ברור לי שמשפט גדל לא מסביר את הקשר בין פורמליזם מתמטי ואונטולוגיה. משפט גדל הוא מתמטיקה ואונטולוגיה כתחום אינה שייכת למתמטיקה. אבל לא בזה עסק הדיון. השאלה היא האם אפשר לחשוב על השלכות חוץ-מתמטיות של המשפט.
נדמה לי שהטיעון שמציגה גולדשטיין אינו שרק מה שניתן להוכיח פורמלית הוא נכון אונטולוגית, אלא בדיוק ההיפך:

"Gödel made it harder not to be a Platonist. He proved that there are true but unprovable propositions of arithmetic. That sounds at least close to Platonism. That sounds close to the claim that arithmetical truths are independent of any human activity".

האם זה נשמע לך הגיוני, או האם הפסקה האחרונה בתגובתך מתייחסת גם לזה?
כן, אבל... 317306
>Gödel made it harder not to be a Platonist. He proved that there are true but unprovable propositions of arithmetic.

לדעתי יש פגם רציני במשפט הזה. הוא נכון רק אם אתה פלטוניסט מלכתחילה. באופן פורמלי משפט גדל רק אומר שהתורה שלך לא שלמה. אם אתה פלטוניסט (מאמין, כמו אלון שיש אמת אי שם בחוץ) זה אומר שחלק מהאמת הזו אי אפשר להוכיח.
כן, אבל... 317313
אם אני מבין נכון (וזה בכלל לא בטוח), היא מציבה דילמה. המשפטים של המתמטיקה הם אמיתות הכרחיות וא-פריוריות. או שנטען שהם מייצגים אמיתות ''על משהו'' (פלטוניזם), או שנטען שהם לא מייצגים אמת ''על משהו'', אלא שהאמיתות שלהם נוצרת ממשחק לפי הכללים של מערכת פורמלית שיצרנו.
אבל אם יש משפטים נכונים במסגרת המערכת שאי אפשר להוכיח אותם במסגרת הכללים, הקרן השנייה של הדילמה נופלת, ונשארנו עם האפשרות שהאמיתות של המשפטים אינה נגזרת מפורמליסטיקה, אלא מהלימות בינם לבין משהו חיצוני למערכת. במילים אחרות, אם יש מושג של ''אמת מתמטית'', היא חייבת להוביל לפלטוניזם.
כן, אבל... 317319
יש דרך שלישית!
אפשר להאמין בריבוי אונטולוגיות: יש הרבה עולמות מתמטיים אפשריים והפורמליסטיקה מאפשרת לנו לומר משהו עליהם אבל לא להכריע איזה מבם הוא הנכון, פשוט בגלל שאין נכון.
כן, אבל... 317339
הדרכים השלישיות האלו הורסות כל דילמה טובה. נורא.
כן, אבל... 317326
אני מסכים גם עם האפשרות שהעלה אורי, אבל אני לא מבין מדוע התיאור שלך מפיל את הפורמליזם. "אם יש משפטים נכונים במסגרת המערכת...", כמו שאורי ואני ניסינו להסביר, הוא פשוט לא משפט נכון אם אתה פורמליסט. משפט גדל בפירוש לא מראה שיש כאלה: הוא רק מראה שיש משפטים שאי-אפשר להוכיח פורמלית לא אותם ולא את היפוכם. הטענה שאחד מהשניים הוא "נכון" היא על אחריות הטוען; פורמליסטים לא מניחים שום דבר כזה.
כן, אבל... 317340
טוב, נסתתמו טענותיי. אם גולדשטיין רוצה להגן על הטיעון, שתבוא לכאן ותעשה זאת בעצמה.
כן, אבל... 317342
יהיה כיף לשוחח עם מי שאומר משפטים כאלה (ציטוט מאותו דף שהפנית אליו):

Mathematicians and physicists are just as guided by principles of elegance and beauty as novelists and musicians are.

אבל אני מניח שהסיכוי שהיא תופיע כאן הוא קטן :-) בכל אופן, אני שמח שהעלית את הנושא, אלו נקודות מעניינות.
כן, אבל... 317307
זה לא נשמע לי מאוד הגיוני. כדי לדבר על "true propositions of arithmetic", צריך ממילא להיות לפחות קצת פלטוניסט; אחרת, מה זה אומר? אז נכון שפלטוניסט-לעניין-תורת-המספרים יקרא את משפט גדל כאומר "יש נכון שאינו יכיח", אבל זה רק כי הוא היה פלטוניסט מראש. פורמליסט לא יסכים בכלל עם הפרשנות הזו.

נניח שההיפך היה קורה, ומשפט גדל לא היה נכון, ואקרמן היה באמת מוכיח ש-PA או איזו מערכת קרובה לה היא עקבית ושלמה עבור הטבעיים: כל מה שנכון, יכיח. האם *זה* היה הופך את הפלטוניזם ל*פחות* סביר? מדוע?

בתורת הקבוצות, יש טענות (המפורסמת בהן היא השערת הרצף) עבורן ידוע שהן אינן נובעות ואינן נסתרות ע"י האקסיומות המקובלות. זו, כמובן, דוגמה קונקרטית למה שמשפט גדל מבטיח שיקרה; וזה, כמובן, גורם להרבה אנשים (כמוני) להיות *פחות* פלטוניסטים בקשר לתורת הקבוצות; אם, אכן, יש עולם מוגדר היטב שהוא "עולם כל הקבוצות", ובו השערת הרצף היא אכן נכונה (או אכן לא נכונה, לא חשוב), נראה שיש לנו קושי רציני מאוד בלחשוף את העובדה הזו, וזה הופך דווקא את עמדתו של הלא-פלטוניסט לפשוטה הרבה יותר.
כן, אבל... 317314
ראה תגובתי לאורי (הוא ענה לפניך, וחוץ מזה תגובות שיש בהן PA מרתיעות אותי).
כן, אבל... 317317
ואם יורשה לי להוסיף: "נה נה נה נה נה נה"
כן, אבל... 317338
תגיד, אתה חושב שאתה במחלקה למתמטיקה? זה אתר רציני כאן.
כן, אבל... 317267
"התחושה הרווחת בקרב רבים כיום, בוודאי אצלי, היא שיסודות המתמטיקה הם בטוחים באופן הכי ברור שאפשר לקוות לו"
אני לא יודע מהו בדיוק "האופן הכי ברור שאפשר לקוות לו", אבל יש לי חשד שהתקווה האפשרית שאתה מדבר עליה כאן כבר מניחה מראש את הכישלון של הילברט (וגם את הכשלונות של פרגה ושל קנטור, אם אנחנו רוצים להרחיב את השדה). כך ש[אם ההשפעה של גדל על הציפיות שלנו כבר מובלעת מראש בתוך הנחות היסוד שלנו] לגדל באמת אין השלכות חשובות במיוחד. אולי צריך לבדוק למה ניתן היה לקוות לפני גדל, לנסות לראות את מה שהוא חולל דרך עיניים בנות הזמן שלו.

אבל בעצם אני מניח כאן דברים לא נכונים עליך. כי גם אתה מסכים שהיו לגדל השלכות עצומות על הפילוסופיה של המתימטיקה. רק שאתה היית מנסח אותן אחרת ממה שאני מבין אותן. אז אני אשמח אם תנסח אותן (את העיקר שלהן) במשפט-וחצי כדי שיהיה לנו על מה לדבר.

אבל העיקר הוא עניין ה"קל וחומר", שנראה לי שאותו לא הבנת. אני *לא* טוען: "אם אין אריתמטיקה שלמה, קל וחומר שאין תורת ספרות שלמה". זה טריויאלי, כמו שאתה אומר. אני אומר משהו אחר: "בואו נראה מה המתימטיקה כבר לא יכולה להיות אחרי גדל (נניח - "בנויה על יסודות בטוחים", אלא אם יש לך הצעה אחרת); קל וחומר שגם תורת הספרות לא יכולה להיות כזו". גדל מוכיח שתורת הספרות לא יכולה להיות בנויה על יסודות בטוחים, אבל לא כהוכחה מתימטית אלא כהוכחה פילוסופית. מה רע בהוכחה כזו?
עוד זווית 317294
אני רוצה גם להגיב, ולהגיד משהו בכיוון של עומר (צמצום שמובא במאמר), אבל אחר. אני מקווה שהשפה לא קשה מדי. בס"ה הכול ברוח טובה, ואני שמח על המאמר. אם כי:

יש לי בעיה ארוכת שנים עם מתמטיקאים: אני לא מבין מה הם אומרים.:)
למדתי קצת על משפט גדל. אני לא מומחה גדול. אבל יש חשיבות למשפט הזה במובן הבא (ואלון – תקן אותי אם אני טועה)
משפט גדל מראה שיש מערכות אקסיומטיות, שהם לא שלמות: קיימים בהם פסוקים שהם אמת על פי האקסיומות, אבל לא ניתן להוכיח אותם.

כנראה (גדל לא הוכיח זאת, ואינני יודע עם הוכיחו) שיש המון כאלה. המון תורות, עם המון פסוקי אמת, שאי אפשר להוכיח.

כל מדעי הטבע, פחות או יותר, בנויים כמערכות אקסיומטיות. בוודאי שכל המתמטיקה. ייתכן שיש דברים נכונים מאוד ורלוונטים מאוד, שלעולם לא יהיה ניתן להוכיח. כי אין להם בכלל הוכחה, למרות שהם נכונים. לפני גדל לא ידעו שדבר כזה בכלל ייתכן.

אני חושב שההתמקדות במערכת סמלים, או לא מערכת סמלים, בשם מפוצץ כזה או אחר, פחות מעניינת. זה ה"צמצום" שאני מדבר אליו, והוא לא במקום.

זה קורה לי כל הזמן, במאמרים של מתימטיקאים, זה גורם בעיקר לקושי בהבנת הרלוונטיות של הדברים.
אתם מציגים את ההנחות, ואח"כ את המשפט בשפה מאוד מסובכת. וזהו. זה מספיק לכם.
אל תשאירו אותנו באוויר. על מה לעזאזל אתם מדברים? למה דברים קשורים? למה זה רלוונטי? תנו דוגמא קלה , מודל פשוט, דוגמא נגדית, משהו.
עוד זווית 317305
ראשית, הרשה לי לתקן אותך: משפט גדל לא אומר את מה שאתה אמרת. קיוויתי שאת מה שהוא כן אומר הבהרתי במאמר; אם אתה לא רואה את ההבדל בין מה שיש במאמר לבין הניסוח שלך, שאל. שים לב, למשל, שהמשפט לא אומר "יש מערכות כך ש..." אלא "כל מערכת המקיימת... מקיימת גם...". זה הבדל גדול. שנית, אין מושג כזה "אמת על פי האקסיומות". מה שנובע מאקסיומות הוא מה שניתן להוכיח מהן.

"כל מדעי הטבע, פחות או יותר, בנויים כמערכות אקסיומטיות". אני לא מסכים - מהן האקסיומות של הביולוגיה המולקולרית? המושג לא ממש מתאים כאן. "ייתכן שיש דברים נכונים מאוד ורלוונטים מאוד, שלעולם לא יהיה ניתן להוכיח" - בוודאי. לעולם לא נוכל, למשל, להוכיח שמהירות האור אינה משתנה מאוד לאט, או שתורת היחסות משתנה מהותית בחלקים אחרים של היקום. זה פער חשוב מאוד בין מתמטיקה לפיזיקה: גם אם מקנים לתצפית אמפירית כלשהי מעמד של "אקסיומה", זה לא הופך אותה למוכחת; מחר נוכל לבצע תצפית שתערער עליה. זה נכון כמובן גם במתמטיקה, אלא ששם אפשר להסתפק באקסיומות שהן "סתם" סבירות, לא כאלה המבוססות על אמפיריקה. גם עליהן אפשר לערער, אלא שיש לנו סיבות אחרות לגמרי לעשות זאת.

את כל זה ידעו הפיזיקאים גם לפני גדל.

לאילו "שמות מפוצצים" אתה מתייחס?

למה *מה* רלוונטי? מטרת המאמר הזה היתה להראות שתוצאה מסויימת במתמטיקה היא *פחות* רלוונטית ממה שמקובל לחשוב; אני מתקשה להדגים עבורך למה היא *כן* רלוונטית, בדיוק כי היא רלוונטית למערכות פורמליות במתמטיקה - אם זה "באוויר", אין לי יכולת לשנות זאת בעבורך.
עוד זווית 317369
ראשית כשאמרתי: "כל מדעי הטבע בנויים כמערכת אקסיומטיות" לא התכוונתי כלל לכך שהוכחות אמפיריות דינם כהוכחות מתימטיות. לכן מה ניתן, או מה לא ניתן, להוכיח אמפירית, בכלל לא קשור לדיון כאן. ואני בטוח שאתה מסכים איתי.

כן התכוונתי שכל מדעי הטבע, פחות או יותר, בנויים כמערכת אקסומטית. בטח תורת היחסות. בטח תורת הקוונטים. בטח ביולוגיה מולקולרית.

כל זה ויכוח פחות מעניין, כי שנינו פה אומרים את אותו הדבר.

אבל לא הבנתי כלל את המשפט שכתבת:
"אין מושג כזה "אמת על פי האקסיומות". מה שנובע מאקסיומות הוא מה שניתן להוכיח מהן."

אז כנראה שלא הבנתי בכלל את המאמר, או את משפט גדל.

אני חשבתי שמשפט גדל אומר שיש פסוקי אמת שאין להם הוכחה.
או בצורה שקולה - שיש פסוקים שאין הוכחה לא להם ולא לשלילתם.

או יותר ספציפית: שאת המשפט "PA עקבית" אפשר לנסח בPA, ואי אפשר להוכיח לא אותו ולא את שלילתו.
לא?
עוד זווית 317378
"כל מדעי הטבע, פחות או יותר, בנויים כמערכת אקסומטית" - למה אתה מתכוון כשאתה אומר "מערכת אקסיומטית"? כן, יש טענות מסוימות שהמדעים האלה רואים כאמיתיות, אבל "אקסיומות" זו לא המילה המתאימה לתאר אותם. "אקסיומות" הן הנחות יסוד שלא זקוקות להוכחה, והכרחיות לצורך הוכחת טענות אחרות. הטענות שעליהן אתה מדבר אינן עונות על אף אחת מהדרישות. אלה פשוט "חוקים".

יתרה מזאת, נניח שקיימת טענה פיזיקלית שלא ניתן להוכיח אותה מתוך חוקי היסוד, אבל כן ניתן להוכיח אותה באמצעות תצפית. אז מה? איזו השפעה יש למשפטי גדל על הפיזיקה?

לא ניתן לומר ש-"ZFC עקבית אבל לא ניתן להוכיח את זה" ‏1, כי אנחנו לא יודעים ש-ZFC עקבית. הטענה הנכונה היא "אם ZFC עקבית, אנחנו לא יכולים להוכיח את זה". וכן, אין מושג כזה "אמת על פי האקסיומות". מה שנובע מאקסיומות הוא מה שניתן להוכיח מהן.

"אני חשבתי שמשפט גדל אומר שיש פסוקי אמת שאין להם הוכחה. או בצורה שקולה - שיש פסוקים שאין הוכחה לא להם ולא לשלילתם." - שים לב לסתירה הפנימית בטענה ששני הניסוחים שקולים: הניסוח השני יוצר _סימטריה מוחלטת_ בין הטענה לבין שלילתה, ואתה טוען שהוא שקול לניסוח הראשון, על-פיו הטענה נכונה, ושלילתה לא!

1 השתמשתי ב-ZFC כי אאל"ט (ויש סיכוי טוב שאני טועה) ניתן להוכיח את עקביות PA ב-ZFC, כך שהעקביות של PA "אמיתית" אם ZFC עקבית. כשמשתמשים ב-ZFC הטיעון הרבה יותר ברור, אבל ההבדל, למעשה, סמנטי בלבד.
עוד זווית 317384
בקשר לתיאוריות פיזיקליות: קשה לי להבין את מה שכתבת, ומה הבעיה (לדעתך) בכך שתיאוריות פיזיקליות מנוסחות ע"י אקסיומות.
אז פשוט אתן דוגמא:

יחסות פרטית: שתי אקסיומות.

1) כל מדידה, בכל מערכות הייחוס הנעות אחת יחסית לשנייה במהירות קבועה, ימדדו את אותם חוקי טבע.
2) אקסיומה (1) חלה לגבי משוואות מקסוול בכך שמהירות האור שווה בכל מערכות הייחוס.

עכשיו, אפשר להתווכח האם התורה הזאת נכונה אמפירית או שאולי היא לא נכונה בכלל, או האם ישנם מקומות ביקומנו הקטן ומוקף האוייבים (רמז: ועוד איך ישנם!) שהאקסיומות לא נכונות, או לא רלוונטיות לגביהם.
כל זה פיזיקה, והיא נורא חשובה, אבל על זה אנחנו לא מדברים בכלל.

לגבי האופי המתימטי של התיאוריה, זה לא משנה כלום. כי
מה שאי אפשר (לדעתי) להתווכח, היא שתורת היחסות הפרטית יוצאת משתי אקסיומות, ומהם היא מוכיחה את מה שהיא מוכיחה.

תסלחו לי, אבל הוויכוח הזה הוא עקר. אני מציע שנתמקד בויכוח השני:

"יש פסוקי אמת שאין להם הוכחה."
"יש פסוקים שאין הוכחה לא להם ולא לשלילתם."

שני הטיעונים שקולים לחלוטין, אם אתה מקבל את הנחת היסוד, שבהנתן הנחות יסוד מסויימות, כל פסוק הוא או פסוק אמת או פסוק שקר (ואז שלילתו הוא פסוק אמת).

נשארת שאלה עקרונית והיא נורא חשובה:
האם משפט גדל אומר שקיימות תורות עקביות, ובהן פסוקי אמת שאין להם הוכחה.
עוד זווית 317387
מבחינת האינטואיציוניסטים, למשל, הטיעונים אינם שקולים: הם אינם מקבלים הוכחות על דרך השלילה.
עוד זווית 317393
"כל פסוק הוא או פסוק אמת או פסוק שקר" - נכון, אבל לא נכון ‏1. אמנם, בכל מופע של האקסיומות, כל פסוק או נכון או לא נכון, אבל יש פסוקים שנכונותם לא שקולה עבור כל המופעים. לדוגמה, ע"פ האקסיומות של תורת החבורות, חבורה A (תחת כפל) מקיימת את החוקים הבאים:

(0) סגירות
(1) אסוציאטיביות
(2) קיום יחידה
(3) קיום הופכי לכל איבר

האם A קומוטטיבית או לא? כמובן, שעבור כל חבורה A, הטענה הזאת היא נכונה או שאינה נכונה, אבל הנכונות שלה לא שקולה לכל המופעים. הטענה הזאת בלתי תלויה באקסיומות.

בהנתן *רק* האקסיומות הכלליות של התורה, שאלת הקומוטטיביות אינה כריעה.

בתורת המספרים, למשל, אנחנו מתעניינים למעשה במופע מסוים של אקסיומות פאנו, כי אנחנו מכירים את המספרים הטבעיים מהמציאות ויודעים (או לפחות חשים) שהם קיימים. לכן, כל טענה אריתמטית היא נכונה או לא, גם אם אינה כריעה. במובן הזה, אי הכריעות של "השערת גולדבך האקסיומטית" גוררת את נכונות "השערת גולדבך הטבעית".

בתורת הקבוצות, לעומת זאת, אנחנו לא עוסקים במופע ספציפי. לכן אלון מצא לנכון להפריד את שתי התורות בתגובה 317241 מבחינת ה"קיום" של האוביקטים שבהם התורות עוסקות. האם אתה יכול לומר שהשערת הרצף או שלילתה "אמיתית"?

1 אתה מוכרח להודות שזה ניסוח נחמד.
עוד זווית 317411
אבל אנחנו לא מדברים על זה, נכון?
אנחנו מדברים על פסוקים שיש נכונות או להם או לשלילתם.
האם לפסוקים כאלו יכול להיות שאין הוכחה?
עוד זווית 317414
"במובן הזה, אי הכריעות של "השערת גולדבך האקסיומטית" גוררת את נכונות "השערת גולדבך הטבעית"." - נכון, אבל זהירות: לא כל פסוק אריתמטי הוא מהסוג הזה. אי-הכריעות של Twin Primes לא תגיד לך איזו משתי האפשרויות היא הנכונה.
עוד זווית 317433
כמובן שאין לי מושג מה הולך כאן. כמה שאלות הבהרה:
נניח שיש טענה (אוקי, פסוק) שהראו עליה שהיא לא כריעה. נניח שהפסוק הוא מהטיפוס " לא קיים טבעי כך ש בלה בלה". אם הפסוק היה שקר, אז על יד חיפוש מספיק ארוך הייתי יכול למצוא את הדוגמא הנגדית, מה שסותר את זה שהפסוק לא כריע, ולכן נובע שהפסוק הוא אמיתי. נכון? לא נכון?
מצד שני, אם הפסוק הוא מהטיפוס " קיימים אין סוף טבעיים כך ש בלה בלה", אי אפשר להסיק (בשיטה הזאת) מהאי כריעות כלום. זה מה שהתכוונת להגיד?
עוד זווית 317437
כמעט נכון. השאלה היא מה זה "בלה בלה". למשל, את Twin Primes אפשר לנסח כך: לא קיים טבעי כך שאין זוגות-ראשוניים בהפרש 2 מעליו. הנקודה היא שאם אני טוען שיש טבעי כזה, ואפילו מרחיק-לכת ונותן לך אותו (הנה, קח: 100^10^10), אין לך דרך סופית לבדוק אם הוא אכן מקיים את הדרישה. תוכל לחפש ראשוניים כאלה מעליו, אבל כל עוד לא תמצא, לא תדע אם להמשיך או להתייאש.

בגולדבך זה לא כך: אם אני נותן לך מספר, אתה בקלות מוודא שהוא זוגי, ובקלות (כלומר, בתהליך חד-משמעי שיכול לקחת מיליארד שנים) בודק שהוא אכן לא סכום שני ראשוניים - מספיק להביט על הראשוניים הקטנים ממנו, ומספרם של אלה סופי.
עוד זווית 317450
אני מאוד אוהבת את ה"קלות" הזאת. וכי מהן מיליארד שנים ביני ובינך?
רדיו בלה בלה 317645
תודה.
התלבטתי ביני לבין עצמי האם להוסיף משפט שאומר ש''בלה בלה'' פירושו משהו שאפשר לוודא במספר סופי של צעדים, אבל ויתרתי מתוך עצלות.

אגב, אני לא יודע אם אמרו לך, אבל אחלה מאמר.
רדיו בלה בלה 317875
תודה (גם לאלמונית).
עוד זווית 317705
מרוב עניין, שכחתי גם אני לומר לך כמה המאמר מרתק. עכשיו שראובן הזכיר זאת, אני אומרת - ומודה לך.:)
עוד זווית 317489
ובהכללה: טענה שאם גרסתה ה"טבעית" אינה נכונה, ניתן להוכיח זאת מתוך המערכת האקסיומטית.
אלא לא אקסיאומות כלל 317439
אקסיאומה היא דבר שאתה מקבל כנכון ללא הוכחה, ובלא שניתן יהיה להוכיח או לשלול אותו.
מהירות האור קבועה לכל צופה (לפחות עד כמה שהצלחנו למדוד), זו לא אקסיאומה, זו השערה שאומתה באינספור ניסויים, במידה וימצא מקום בו היא לא תקפה (בבטן של לוויתן שנופל לתוך חור שחור המתאחד עם חור לבן) אז פשוט נאלץ לכתוב השערות חדשות שיכללו את היחסות הפרטית כמקרה פרטי.
גם 1) אינה אקסיאומה, אלא מסקנה על סמך הנסיון של מיכלסון ומורלי למדוד את מהירות כדור הארץ ביחס לאתר.
עוד זווית 317517
בזמנו היה כאן פתיל עם דוגמא קונקרטית לטענה שהיא "טענת גדל", ולא ניתן להוכיח אותה במסגרת המערכת בה נוסחה, אבל ניתן להוכיח אותה במערכת אחרת (באמצעות שימוש באורדינלים).
האם גם במקרה כזה יש סימטריה בין הטענה לבין שלילתה?
עוד זווית 317526
האם התכוונת ל-Goodstein's theorem
?

עוד זווית 317533
אכן.
עוד זווית 317542
כן, גם פה יש סימטריה (אחרת היה אפשר לתת דוגמא נגדית גם ב-PA, ואי-אפשר).
עוד זווית 317543
מבחינה פורמלית יש סימטריה בין הטענה ושלילתה. ההבדל נעוץ בכך שאנו מקבלים את האקסיומות של מערכת חזקה יותר (ZFC) כנכונות. מ-ZFC נובע ‏1 שהסדרות המוגדרות שם מתכנסות לאפס.

1 למעשה, ממערכות חלשות בהרבה.
עוד זווית 317410
"אני חשבתי שמשפט גדל אומר שיש פסוקי אמת שאין להם הוכחה" - בהחלט. איפה יש כאן הביטוי "אמת על פי האקסיומות"? האמת לא תלויה באקסיומות, זו כל הנקודה. כאן, אגב, אני יוצא מנקודת-הנחה (שאני מניח שהיא סבירה בעיניך) שיש למספרים הטבעיים תכונות חד-משמעיות; אפשר להיות פורמליסט ולא להניח זאת, ואז "יש פסוקים שאין הוכחה לא להם ולא לשלילתם" זה *לא* שקול ל"יש פסוקי אמת שאין להם הוכחה".

נחזור לניסוח המקורי שלך את משפטי גדל:

"משפט גדל מראה שיש מערכות אקסיומטיות, שהם לא שלמות: קיימים בהם פסוקים שהם אמת על פי האקסיומות, אבל לא ניתן להוכיח אותם"

כדאי להחליף זאת ב

"משפט גדל מראה שלכל מערכת אקסיומטית (אפקטיבית ועקבית) הדנה במספרים הטבעיים, יש פסוקים שהם נכונים (במספרים הטבעיים) שהמערכת אינה מוכיחה".

ההבדל ברור?
עוד זווית 317415
ההבדל לא ברור לי עד הסוף.
אולי אני אנסה ללכת איתך ולהיות מתימטקאי:

כשאתה אומר "מספרים טבעיים" אתה מתכוון ליצורים שמוגדרים על פי האקסיומות הללו?

כי אם כן, אז מה ההבדל בין הניסוחים?
"יש פסוקים שהם נכונים (במספרים הטבעיים) שהמערכת אינה מוכיחה"
"קיימים בהם פסוקי אמת על פי האקסיומות, אבל לא ניתן להוכיח אותה"

ואם לא, אז מה הם "מספרים טבעיים"?

אם תוכל לנסות להסביר לי עוד פעם אחת, אודה.
עוד זווית 317420
כש*אתה* אומר "מספרים טבעיים", אתה מתכוון ליצורים שמוגדרים עפ"י אקסיומות כלשהן? אילו אקסיומות?

אני חושב שאחד הנזקים שמשפטי-גדל יצרו הוא שהם גרמו לאנשים לחשוב שהם כבר לא יודעים מה זה המספרים הטבעיים, או שאין בדיוק דבר כזה בכלל. כשלעצמם, משפטי-גדל אינם מחייבים דבר כזה. למעשה, בלי שמניחים מראש את קיומם של הטבעיים, קשה אפילו *להגדיר* מה זה מערכת פורמלית, מה זו הוכחה פורמלית, וכו'. למשל, "הוכחה" היא שרשרת סופית של טענות (כך שכל אחת נגזרת מקודמותיה); מדוע זהו מושג פרימיטיבי יותר, או מובן יותר, או חד-משמעי יותר, מ"מספר" שהוא שרשרת סופית של הסימן |? ("שבע", למשל, זה |||||||).

המספרים הטבעיים הם, פשוט, המספרים הטבעיים: 1, 2, 3, וכו'. אם ה"וכו"' הזה נראה לך מפוקפק - בסדר, אבל כאמור אתה צריך אז לשאול את עצמך, למה בכלל אתה מקבל את המושגים של מערכות אקסיומטיות, ולמה בכלל אתה מסכים שמשפט גדל *נכון*.

--

בכל אופן, גם אם אני הייתי דווקא מנסה ללכת איתך ולומר שהטבעיים מוגדרים עפ"י איזושהי מערכת אקסיומטית, איזו משמעות היתה למונח "פסוקי אמת על פי האקסיומות" אם לא "מה שנובע לוגית מהאקסיומות"? אתה מנסה להציג מצב שאינו מובן לי, שבו יש מערכת אקסיומטית המגדירה את הטבעיים, ויש משפטים שהיא לא יכולה להוכיח, אבל משפטים אלה הם "אמת על פי האקסיומות". אם אי-אפשר להוכיח אותם, באיזה מובן הם "אמת על פי האקסיומות"? תוכל להסביר?
עוד זווית 317426
כן:
נניח שהטבעיים מוגדרים עפ"י איזושהי מערכת אקסיומטית.
נניח שיש פסוק: "לא קיים מספר N המקיים את התכונות: A,B,C"
(איזושהם תכונות)
עקרונית, יכול להיות מצב שהפסוק הזה נכון. כלומר, שעל פי האקסיומות, באמת אין כזה מספר - לא תוכל פיזית לתת לי שום N שמקיים את התכונות האלו.
אבל גם יכול להיות שלפסוק הזה אין הוכחה - אין שום טקסט סופי שמביא לוגית מהאקסיומות אל הפסוק. הפסוק פשוט נכון. בלי הוכחה.
זה מה שטיורינג הביא. פסוק בדיוק כזה:
"לא קיים מספר N המקיים את התכונות: A,B,C"
"קיים מספר N המקיים את התכונות: A,B,C"
והוא הראה שאם לאחד מהם יש הוכחה, אזי ניתן להכריע את בעיית העצירה.
ככה אני למדתי את זה.

דרך אגב - כשלמדתי את זה (פרופ טרסי) נעשתה הבחנה בין "פסוק" שיכול לקבל ערך אמת או שקר, לבין "משפט" שהוא "פסוק אמת שיש לו הוכחה".
ואז משפט גדל אמר: ישנם פסוקי אמת שהם אינם משפטים.

אני טועה במשהו?
עוד זווית 317434
לא, רק אולי לא מדייק. מה פירוש "לא תוכל פיזית לתת לי שום N שמקיים את התכונות האלו"? *פיזית*? אתה מדבר על פסוקים מטיפוס מסויים האומרים "כל N מקיים X" כש-X היא תכונה הניתנת לבדיקה סופית. הנקודה היא שהסוג הזה של "בדיקה סופית" -מה שקראת לו "לתת פיזית" - הוא גרעין המשותף לכל המערכות האקסיומטיות המדברות על הטבעיים; אם אין להן את הגרעין הזה, לא נגיד עליהן שהן מדברות על הטבעיים.

במובן זה, ההכפפה של "לתת פיזית" ל"על פי האקסיומות" היא מטעה. לבדיקה הפיזית הזו יש משמעות אבסולוטית. למשל, השערת גולדבך (שהיא גם פסוק מהסוג שתיארת) אומרת: לכל מספר זוגי, יש שני ראשוניים שהוא סכומם. ההשערה הזו אינה נכונה בדיוק כאשר יש מספר זוגי שאיננו סכום של שני ראשוניים; אין כאן שום "על-פי האקסיומות".

בכל אופן, "ישנם פסוקי אמת שהם אינם משפטים" זו בדיוק הסיפא של הניסוח *שלי* את משפט גדל, בתגובה 317410. יש עדיין ויכוח על משהו?
עוד זווית 317441
הויכוח רק מתחדד יותר ויותר, לדעתי.
אלך עם הדוגמא שלך:
נניח שמישהו ימצא הוכחה לשלילה של השערת גולדבך.
מה זה "הוכחה לשלילה של השערת גולדבך"?

זה טקסט, שתחילתו באקסיומות (כלשהם) שמדברות על הטבעיים. המשכו בהגדרה "מספר ראשוני" ו - "מספר זוגי".
המשכו בנתינת המספר הראשוני- P.
והמשכו (למשל) בפלט של תוכנית מחשב שבודקת כל זוג שני מספרים זוגיים הקטנים מP, ומראה שאף סכום של אחד מהזוגות אינו P.

הדוגמא שנתת, ונתתי, לעיל, היא ללא ספק דוגמא למשהו שהוא אמת על פי האקסיומות.

אני לא מבין איך אתה יכול להגיד שההוכחה היא "לא על פי האקסיומות"? איזה הוכחה בעולם כולו היא "לא על פי האקסיומות"?

אני לא מבין איך אתה יכול להגיד "פסוק הוא אמת אבסולוטי" בלי קשר לאקסיומות כלשהן?

אולי יש לך דוגמא למשהו שהוא אמת, בלי שום קשר לאקסיומות כל שהן?
עוד זווית 317457
למה צריך בראשית הטקסט שלך "אקסיומות שמדברות על הטבעיים"? איזו רמה של ודאות אבסולוטית היית מוצא אם במקום להתחיל מ-"6=1+5, ו-‏1 ו-‏5 אינם ראשוניים" היינו מתחילים עם אקסיומות פאנו? הרי בשביל לנסח בכלל את אקסיומות פאנו, צריך (בשביל אקסיומת האינדוקציה) את המושג של "פסוק כלשהו P מסדר ראשון בשפה". אתה סבור שהמושג הזה הוא יותר ברור-אבסולוטית מהמושג "מספר טבעי"? ברצינות? למה?

אני לא יודע אם יש "אמת אבסולוטית", אבל מה שאני יודע הוא שהמושג "המספרים הטבעיים" הוא ראשוני וחד-משמעי יותר מהמושג "מערכת אקסיומות" ו"הוכחה פורמלית".

דוגמה למשהו שהוא אמת: אפס איננו העוקב של אף מספר טבעי. בהרבה מערכות אקסיומטיות של הטבעיים אנחנו בוחרים לציין את זה בתור אקסיומה; אתה חושב שזה הופך את זה ליותר אמיתי?

איך "אמת אבסולוטית" יכולה להיות בכלל קשורה לאקסיומות כלשהן? ואם הייתי מניח (אקסיומטית) ששש שווה לשבע, ומוכיח לך (פורמלית) שעשרים-ושבע שווה לשלושים, זה היה הופך את זה ל"אמת אבסולוטית"? המושג שלנו של "אמת" *קודם* למערכות פורמליות, לא נגזר מהן.

זו עמדה עקבית לגמרי לומר "אני לא מאמין לכלום, אין אמת, רק טענות מסוג אקסיומות-->מסקנות פורמליות". בסדר, זו גישה פורמליסטית, ואין לי שום דבר נגדה. אבל לא ברור לי איך גם נוקטים בגישה הזו וגם מדברים על "אמת".
עוד זווית 317472
סליחה שאני עונה לך פעמיים, אבל חשבתי על עוד דרך להדגים את הבעייתיות בגישה שלך.

במקום גולדבך, חשוב על השערת ה-Twin Primes: יש אינסוף זוגות ראשוניים שההפרש ביניהם 2. נניח שאתה עובד במערכת אקסיומות כלשהי, ומוכיחים לך ש-TP אינה כריעה מהאקסיומות.

אתה מבקש לנסח זאת באופן הבא: "יש משפט אמיתי שהוא לא יכיח", כש"אמיתי" זה "אמיתי על-פי האקסיומות". בגולדבך, יכולת לעשות זאת: יכולת לטעון שאם גולדבך *לא* נכונה, אז יש לעובדה הזו הוכחה מהאקסיומות - מספר ספציפי שאפשר להוכיח לגביו שהוא סותר את גולדבך.

זה נכון, אבל פה עם TP אתה לא יכול לעשות זאת. איזה משני המשפטים הוא אמיתי על-פי האקסיומות? TP או לא-TP? באף אחד משני המקרים אין "דוגמה נגדית" שאתה יכול לוודא את אמיתותה בעזרת האקסיומות שלך.

לכן, יש לך שתי ברירות. או להישאר אגנוסטי, לומר ש-TP אינה נכונה ואינה לא-נכונה, כי אי-אפשר להכריע פורמלית. זו עמדה לגיטימית, אבל הניסוח שלה בתור "יש משפט אמיתי שהוא לא יכיח" הוא עכשיו לא נכון: מיהו המשפט האמיתי, ולמה הוא אמיתי "על פי האקסיומות"?

ברירה אחרת היא להחזיק בדעה (שאני מחזיק בה) ש-TP היא באמת נכונה או באמת לא נכונה במספרים הטבעיים; זה שמערכת אקסיומות מסויימת לא מסוגלת להראות זאת זו חולשה של האקסיומות ותו לא. זה יהיה מטריד מאוד אם לא נוכל למצוא אקסיומה נוספת, סבירה, שתכריע בשאלה הזו, אבל אפילו זו לא סיבה חד-משמעית לקבוע שאין ל-TP ערך-אמת.

גדל, אגב, החזיק בדעה כזו אפילו לגבי תורת-הקבוצות: אם השערת-הרצף אינה כריעה, אז חסרה אקסיומה. במקרה הזה זו טענה הרבה יותר חזקה ו"מסוכנת", ואני בכלל לא בטוח שאני מסכים איתה (וכך גם הרבה מתמטיקאים ולוגיקאים). המספרים הטבעיים עצמם, מסדר ראשון, זה (לתחושתי) עולם אחר - אבל ברור לי שאין משפט מתמטי, גדל או אחר, המראה זאת.
עוד זווית 317487
זה כבר חידוש גדול (אולי תחליף לעניבה אפורה). אם המספרים הטבעיים הם "יצורים טבעיים" ואינם תלויים (באמת) במערכת אקסיומטית, אז לכל משפט (מסדר ראשון) עליהם יש ערך אמת "טבעי"? זה נראה לי מרחיק לכת. למה שהטיעון הזה לא יחול על משפטים מסדר שני?
(הטענה "לכל משפט מסדר ראשון יש ערך אמת" בפני עצמה "חזקה" יותר מכל משפט מסדר שני, גם אם אולי לא באופן פורמלי: היא מדברת על משפטים מסדר ראשון ולא על קבוצות).
עוד זווית 317509
מה זה "משפט מסדר שני"? משפט על משפטים?
עוד זווית 317564
משפט על קבוצות שאותן אפשר להגדיר בעזרת משפטים מסדר ראשון.
עוד זווית 317573
סליחה על הטרחנות, אבל אפשר דוגמא?
עוד זווית 317598
"לכל קבוצה A של מספרים, אם לכל x ו- y ב- A מתקיים ש- x-y שייך ל- A וגם לכל x ב- A ולכל z מתקיים ש- x*z שייך ל- A, אז קיים d השייך ל- A, כך שלכל מספר x, מתקיים ש- x שייך ל- A אם ורק אם קיים מספר c כך ש- x=c*d".
(זה הנוסח הארוך ל"חוג המספרים הוא תחום ראשי").

את רוב הטענות המעניינות במתמטיקה אי-אפשר לנסח בשפה מסדר ראשון, כי היא מאפשרת לדבר רק על האובייקטים עצמם ולא על קבוצות שלהם. ובלי קבוצות אין פונקציות, אין יחסים, והעולם בכלל אפור ומשעמם.
עוד זווית 317600
>את רוב הטענות המעניינות במתמטיקה אי-אפשר לנסח בשפה מסדר ראשון, כי היא מאפשרת לדבר רק על האובייקטים עצמם ולא על קבוצות שלהם. ובלי קבוצות אין פונקציות, אין יחסים, והעולם בכלל אפור ומשעמם.

טוב, זה כבר תלוי בצורה שבה אתה בשמתמש בלוגיקה פורמלית. את כל‏1 הטענות במתמטיקה אפשר לנסח בשפה של תורת הקבוצות (שהיא מסדר ראשון). אתרוב הטענות המענינות על אוביקטים ‏2 אי אפשר לנסח בשפה מסדר ראשון שמתארת את אותם אובייקטים.

1 כמעט.
2 שהם לא קבוצות.
עוד זווית 317604
מרוב קיצור נוצר קצר. התכוונתי להגיד: "את רוב הטענות המעניינות במתמטיקה (של תורת המספרים) אי-אפשר לנסח בשפה מסדר ראשון של תורת המספרים" - אם מותר להגיד רק "לכל מספר" ו"קיים מספר" ואסור "לכל קבוצה של מספרים" ו"קיימת קבוצה של מספרים" ו"קיימת קבוצה של קבוצות של מספרים", אז העולם אפור וגו'.
עוד זווית 317602
תודה.:)
נשמע משכנע. גם החיים משעממים ואפורים בלי קבוצות, פונקציות ויחסים. תמיד אמרתי.
עוד זווית 317549
בוודאי, ולכן זו לא טענה שכדאי לנסות להוכיח; זו סתם דיעה. למה שהטיעון לא יחול על משפטים מסדר שני? כי המושג "קבוצה שרירותית של טבעיים" הוא מעורפל, מסיבות ידועות. למה זה טיעון כזה מרחיק לכת? אתה באמת מניח באופן אינטואיטיבי שטענות כמו TP יכולות להיות תלויות במערכת-האקסיומות שנבחר לעבוד איתה?

שוב, אין לי דרך להגן על התיזה הזו, וגם לא רצון רב - זו סתם תחושתי. אין לה השפעה כלשהי על נכונות או אי-נכונות של טענות אריתמטיות. היא גורמת לי להניח ש-PA, וכן החלק האריתמטי של ZFC, הן נאותות; בכך אני לא חושב שאני יוצא-דופן במיוחד, וברור לי (כמו לכולם) שלא ניתן להוכיח את העובדות הללו במערכות המתאימות.
עוד זווית 317568
(פילוסופית,) אין לי ספק בנאותות של PA (ואפילו ZF). אבל קודם טענת משהו אחר: שכל פסוק מסדר ראשון באקסיומות פאנו הוא או נכון או שאינו נכון - בלי תלות באקסיומות. מצד שני, אנחנו יודעים שיש פסוקים ש(בהנחת העקביות) אי-אפשר להוכיח ב- PA. כלומר שבעיניך המודל הוא "האמת", ומערכת פאנו היא רק מערכת אקסיומות חלקית לאמת. לזה התכוונת?
עוד זווית 317583
רק לוודא שאנחנו מדברים על אותו דבר: לא לגמרי ברור לי מה זה "פסוק מסדר ראשון באקסיומות פאנו". פסוק מסדר ראשון יש בשפה; השפה של האריתמטיקה בנוייה מהסימנים המוכרים, ואקסיומות פאנו הן מערכת אחת מבין הרבה מערכות אחרות הרשומות בשפה הזו.

כן, אני סבור שפסוק מסדר ראשון בשפה של האריתמטיקה הוא נכון-או-לא, ומה אפשר-או-אי-אפשר להראות ב-PA נראה לי כמו עניין צדדי. למשל, (Con(PA הוא פסוק אריתמטי כזה, ואני בטוח שהוא נכון - מה דעתך? אתה סבור שאולי לא?
עוד זווית 317601
כן, התכוונתי ל"פסוק מסדר ראשון בשפה של האריתמטיקה". אני מסכים שהשאלה מה אפשר להראות ב- PA לא מעניינת. ZF היא המערכת הנכונה, ואני מוכן לעבור ל- ZFC בלי למצמץ. אבל יש משפטים אריתמטיים שלא ניתן להכריע ב- ZFC, ובדרך כלל אני לא רואה שום סיבה לצרף אותם (או את שלילתם) למערכת האקסיומות. העקביות של PA היא דוגמא די סינגולרית - בזה אני מאמין מספיק כדי לצרף אותה כאקסיומה... (מט באלף-אפס מסעים?)
עוד זווית 317618
1. יש לך דוגמה למשפט אריתמטי כזה, שאתה אגנוסטי לגביו?

2. (להקדים תרופה) לגבי דידי, המשמעות של משפטים כאלה היא לא שהם גם לא נכונים וגם לא לא-נכונים, אלא שהם אחד מהשניים, ואנו חסרים את הכלים לבדוק.

3. איך אתה מפרש את הטענה "ZF היא המערכת הנכונה"? מדוע, ומה פירוש "נכונה"? ומה מניע אותך לקבל גם את C? לי נראה שיש פה תהליך קבלת-החלטות שההטלה שלו על N מהווה (גם היא) קריטריון לקבלה/דחייה, ע"י שכל תולדה של ההטלה הזו מעומתת עם מה שאנו קוראים לו "האמת לגבי הטבעיים". אם אין אמת כזו, איך מתחילים?
עוד זווית 317627
1. אין לי דוגמאות, אבל א) אני יודע שיש כאלה, ב) זכור לי במעורפל משהו על גירסה של משפט רמזי (צבעוני?) שהיא בלתי כריעה ב- ZFC.

2. אני מוכן להסתכן בתעוקה קלה בחזה של האלמוני, ולהגיד שדעתי די הפוכה. מבחינתי משפטים שאי-אפשר להוכיח או להפריך ב- ZFC הם כנראה חסרי תוכן-אמת, ואני מוכן לשקול אותם על בסיס פרטני. למשל, את העקביות של PA אני מקבל כאקסיומה. משפטים פחות מעניינים - אולי אני בכלל לא רוצה להחליט לגביהם.

3. מה הולך לאיבוד אם יש משפטים (מוזרים מאד, יש להודות) באריתמטיקה שאין להם תוכן אמת? עדיין אפשר "להטיל" משפטים ל- N, ולדאוג שלא נקבל תוצאות שקר. ב- C אני מאמין כי אם יש צדק בעולם, אז מכפלה קרטזית אינסופית צריכה ללכת ולגדול, ולא להעלם פתאום. (אבל בקשר לסעיף 2 - אין מספיק צדק בעולם בשביל להכריע בכל הטענות האריתמטיות).
עוד זווית 317628
1. ודאי שיש כאלה; משפט גדל מבטיח לך זאת. מה שמעניין אותי היא השאלה הבאה: אם תשתכנע, או שיוכיחו, ש- Twin Primes היא לא כריעה ב-ZFC, האם זו תהיה סיבה מספיק טובה עבורך לזנוח את האמונה שהסדרה

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, ...

היא או סופית או אינסופית? "אם יש צדק בעולם", הייתי אומר, היא או זה או זה.

2. אין (לי) (כמובן) כל בעייה עם זה. אבל דווקא העמדה הזו, נראה לי שיותר קשה להגן עליה: ההכרעה הפרטנית נולדת משיקולים שהם, כנראה, קצת מעורפלים.

3. שום דבר לא הולך לאיבוד. טעמי האישי הוא שחד-משמעיות משפטים מסדר ראשון על N היא עובדה מוצדקת אף יותר מאקסיומת הבחירה. מכפלות קרטזיות שלא נעלמות נותנות לי שני תפוזים לבנות מהם שמש, זה צדק זה? מצד שני, כאמור, סדרות פשוטות שלא יודעות להחליט אם הן סופיות או לא, זה כבר נראה לי ממש נבזי.
עוד זווית 317642
נדמה לי שהגישה הזו נוגדת את משפט גדל עצמו. אם יש מספרים טבעיים 'אמיתיים', אז אפשר להתייעץ איתם בכל פסוק אריתמטי. אפשר לערוך רשימה של כל המשפטים הנכונים (מסודרים לפי אורך), ולצרף את כולם לאקסיומות פאנו. המערכת הזו חזקה מספיק (כוללת את אקסיומות פאנו), עקבית (כי היא מדברת על ''העולם האמיתי''), ושלמה (כי אספנו את כל המשפטים). זה משאיר רק את סדק האפקטיביות.
עוד זווית 317850
נכון מאוד. קוראים לזה True Arithmetic, וכפי שציינת זה לא נוגד את משפט גדל - סדק זה סדק. בגרסה הראשונה של המאמר אפילו הזכרתי את התורה הזו כדוגמה לתורה לא אפקטיבית, אבל נבונים ממני יעצו לי ש-Here be dragons.

עוד שאלה פילוסופית: למה היכולת שלנו להכריע בשאלה מסויימת מכתיבה את דעתנו על קיום תשובה חד-משמעית לשאלה? אני אגנוב דוגמה מדיוויד גייל: "לקליאופטרה היה סוג דם A" הוא משפט שלא נוכל לדעת לעולם אם הוא אמת או שקר (אלא אם תתחולל איזו סנסציה), אבל לא נראה שזה משנה את דעתנו שאו שהיה לה סוג דם A, או שלא. היחס שלי למשפטים שאינם כריעים ב-ZFC הוא דומה.
עבור תעבור בו מרכבת זהב 317935
אם כך, למשפט גדל יש מסקנה פילוסופית: אם מניחים שקיים מודל "טבעי" למספרים הטבעיים (וכך לכל פסוק מסדר ראשון בשפה האריתמטית יש ערך אמת טבעי - והוא או אמת או שקר), אז לפי המשפט אין דרך אפקטיבית לגלות את ערך האמת הזה.
זה לא מבטל את ההבדל בין העמדה הזו לבין האלטרנטיבה (יש משפטים בלי ערך אמת), אבל בעיני זה הופך אותו להרבה יותר קטן.

מלבד זה, האם לדעתך יש ערך אמת טבעי לכל פסוק שאפשר לנסח בשפה של תורת הקבוצות, כאשר הוא מתייחס למספרים (וקבוצות של מספרים, וקבוצות של קבוצות של מספרים, ואתה רואה לאן אני חותר)?
עבור תעבור בו מרכבת זהב 317944
"אין דרך אפקטיבית לגלות את ערך האמת הזה": וודאי - זה לרוב מכונה בשם "משפט טרסקי". זו לא (רק) מסקנה פילוסופית, אלא משפט מתמטי מדוייק, בתנאי שאתה מסכים שיש דרך לנסח אותו בכלל - זה, אם אני לא מחמיץ משהו, מחייב אותך להסכים שיש דבר כזה "אמת". ניסוחים מסוג זה הם מקובלים למדי, עד כמה שראיתי; אפשר למצוא כאלה בספרים שהזכרתי (Boolos, Jeffreys, Burgess או Franzen, למשל).

אני לא בטוח שהבנתי את השאלה בסוף - אילו פסוקים בשפה של תורת הקבוצות מתייחסים למספרים? אני מניח שיש ערך אמת טבעי לכל פסוק שיש בו +, *, >, =, 0, ', A ו-E ותו-לא, אם כי אני בוודאי מקבל *הוכחות* המבוססות על אקסיומות מתוחכמות יותר מ-PA. כפי שאמרתי (וזו בוודאי לא המצאה מקורית שלי), המושג "קבוצה שרירותית של מספרים" הוא בפירוש יותר מעורפל.
עוד זווית 317977
נשמע שאתה בהחלט מצדד בגודסטיין, לא?
עוד זווית 317983
אני לא בטוח שהבנתי. השאלה היא האם אני מאמין שסדרות-גודסטין תמיד שואפות ל-‏0? בוודאי. אי-אפשר להראות זאת ב-PA, אבל נראה שיש הסכמה כללית ש*זה* לא אומר הרבה על "האמת".
עוד זווית 317985
התבלבלתי, כמובן. אני מתכוונת לגולדשטיין.:)
עוד זווית 317987
אה. אז שוב לא הבנתי - באיזו אמירה שלה אני מצדד? אם הכוונה לקטע בו הסבירה שמשפט גדל מחזק את הגישה הפלטוניסטית, אז דווקא לא (את הגישה הפלטוניסטית לאריתמטיקה מסדר ראשון אני מקבל, אבל לא *בגלל* גדל).
עוד זווית 317989
חשבתי שזה כן מתקשר לטענתך שמשפט גדל מוכיח שיש משפטים שנכונותם/מופרכותם אינן נובעות מהאקסיומות, לא?
עוד זווית 317991
אבל משפט גדל לא מוכיח את זה, אלא למי שמסכים מראש שיש דבר כזה "נכונותם/מופרכותם".

משפט גדל אומר ש(עבור כל מערכת אקסיומות המקיימת... )יש משפטים אריתמטיים שאי-אפשר להוכיח ואי-אפשר להפריך במערכת.

פרשנות א': יש משפטים שאין להם בכלל ערך-אמת; הם לא נכונים ולא לא-נכונים.

פרשנות ב': כל משפט הוא נכון או לא-נכון, אלא שכל מערכת אקסיומות היא חלשה מכדי להוכיח את כל הנכונים ולהפריך את כל הלא-נכונים.

הויכוח בין שתי הפרשנויות נותר בעינו (כמובן) גם אחרי גדל, ולכן לא ברור לי הטיעון שגדל מקנה משקל יתר לפרשנות ב' (פלטוניזם אריתמטי).

בכל אופן, אם השאלה היא האם אני פלטוניסט-אריתמטי - התשובה היא "כן" (לפחות עד שאורי או עוזי ישכנעו אותי אחרת. אני לא נעול על הגישה הזו).
עוד זווית 317997
בתגובתך ליזהר אתמול אמרת, "האמת לא תלויה באקסיומות, זו כל הנקודה."
ואני התייחסתי לתפיסה *שלך* את משפט גדל.
בכל אופן, כמו שאמרת (כאן ובדיון אחר, דומתני) - אתה "עדייו" פלטוניסט, לפחות בנוגע לטבעיים. כעת, הרגעת אותי בטענה שאלה לא מאכלסים עד התפוצצות איזה מחסן במעלה החמשה, אבל לא אמרת כלל באיזה מובן הם קיימים בעינייך. אתה יכול להגדיר את זה?
עוד זווית 317998
אני חושב שכבר הגדרתי, אבל שוב: אני סבור שכל טענה מסדר ראשון על הטבעיים היא נכונה, או שהיא לא נכונה. זה הכל. האם בעקבות זאת יש לומר שהטבעיים "קיימים"? לא יודע.
עוד זווית 317886
אם אתה אדם ולא מכונת טורינג, סדק האפקטיביות לא צריך להטריד אותך.
עוד זווית 317890
האם אתה יכול להציג בפני קבוצת אקסיומות ו/או כללי היקש, כך שאני אוכל להכריע לגבי כל טענה חשודה האם היא אקסיומה או כלל היקש, והיא אינה ניתנת לחישוב ‏1?

1 כלומר, שפה ב-R.
עוד זווית 317894
כדאי שתשאל אדם, ולא אותנו, מכונות הטורינג.
עוד זווית 317708
"מכפלות קרטזיות שלא נעלמות נותנות לי שני תפוזים לבנות מהם שמש,"
את השירה הזאת אי אפשר להפסיק... מה ההמשך?
עוד זווית 317710
עוד 2-3 אקסיומות ונתחיל לבנות את מכונת הטיורינג המתאימה.
עוד זווית 317712
והפיוט, מה יהיה עליו?
עוד זווית 317823
אלון מתיחס לפרדוקס בנך-טרסקי:
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317828
בכלל לא קישרתי את "מכפלה קרטזית אינסופית נותנת קבוצה לא-ריקה" עם אקסיומת הבחירה.

אבל למה שמש? מכפלה קרטזית שלא נעלמת נותנת שני תפוזים לבנות מהם תפוז.

וכן, זה ניסוח מאוד פיוטי.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317928
"למה שמש?" - לא יודע אם אתה שואל ברצינות, אבל כן: משפט ב"ט מאפשר לחלק תפוז (או שניים) למספר סופי של חלקים, לסובב ולהזיז, ולבנות שמש.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317940
בגרסה שאני מכיר, המשמעות היא שניתן לחלק כדור למספר סופי של חלקים, לסובב ולהזיז, וליצור שני כדורים זהים לו. זו גם הטענה שמופיעה בויקיפדיה (בקישור לעיל).
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317945
ובאינדוקציה...
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317947
השמש היא אוסף סופי של תפוזים?
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317949
לא, אבל אפשר לבנות אותה מהם ע"י פירוק לחלקים, סיבובים והזזות; כיוון שיש לה אותו נפח כמו למספיק תפוזים, זה דווקא החלק הפחות מפתיע בסיפור.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317952
אחח, אם רק האלכימאים היו יודעים את זה...
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317948
זה נשמע הגיוני, אבל לא הייתי בטוח, כי זה לא ממש ברור לי שאת הכדורים ניתן לחבר לכדור גדול פי 2. אבל אם אתה אומר שזה אפשרי, אני מקבל את זה כאקסיומה ‏1.

1 אם את *כל* מה שאתה אומר אני מקבל כאקסיומה, ואתה אכן מכונת טיורינג, מתקבלת מכך תורה אפקטיבית. נשמע נחמד :).
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317954
אל תקבל שום דבר כאקסיומה, בטח לא ממני... ההוכחה של משפט ב"ט היא ממש לא קשה, ולא דורשת שום דבר מעבר לקצת השכלה מתמטית שנראה לי שיש לך. החלק הכי קשה הוא ההוכחה שחבורת הסיבובים במרחב מכילה חבורה חפשית, וזה דווקא החלק שהכי קל לקבל אינטואיטיבית. יש ספר מאוד נחמד של Stan Wagon על המשפט הזה.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317972
מה זה "חבורה חופשית"?
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317974
(הערך בויקי העברית מזעזע, לתשומת לב אלו שמבינים משהו).
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317979
תודה.:)
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317982
אני אנסה להציל את כבודי האבוד כמרצה-ברוחו שאוהב לתת תשובות עם תוכן.

"חבורה" - אוסף של דברים (לא חשוב מה; לרוב נקראים "איברים") שאפשר לכפול אותם ("כפל" זו מכונה שלוקחת שני איברים ומחזירה איבר); אחד האיברים מתנהג כמו "1" (כלומר, כשכופלים בו X כלשהו, יוצא X); ולכל אחד מהאיברים יש הופכי (כלומר לכל X יש איזשהו Y כך ש-XY הוא ה-"1" הזה).

חבורה חופשית היא חבורה שבנויה באופן הבא (בהגבלה קלה של הכלליות): לוקחים כמה אותיות, נניח שתיים (A ו-B); מוסיפים שתי אותיות שתהווינה הופכיות לשתי אלה (נניח a ו-b); ומגדירים חבורה שהאיברים שלה הן "מילים" באותיות האלה, כשאסור לאות להופיע ליד ההופכית שלה. ABabAA זה בסדר, BaA זה לא. הכפל מוגדר ע"י זה שרושמים את שתי המילים בזו אחר זו, ואז מצמצמים אם אפשר לצמצם: בכל פעם שרואים Aa או aA או Bb או bB, מעיפים את צמד האותיות הללו והמילה מתקצרת. למשל:

ABa * AbA = ABaAbA = ABbA = AA

(שתי המילים באמצע החישוב הזה הן רק תוצאות ביניים; הן לא מקיימות את האיסור על הופכיות צמודות כי עוד לא גמרנו לצמצם). אפשר לראות שמתקבלת חבורה: "1" זו המילה הריקה שאין בה בכלל אותיות, וההופכית של מילה מתקבלת ע"י זה שהופכים את סדר האותיות ומחליפים כל אות בהופכית שלה.

החבורה הזו נקראת "חופשית" כי האיברים שלה לא מקיימים שום "יחס" חוץ ממה שמתחייב מחוקי החבורה. 0=2+3-2-3, למשל, זה יחס לא טריוויאלי בחבורה של המספרים השלמים עם חיבור.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317988
תודה. הבנתי כבר את הרוב מהוויקיפדיה, רק לא מדוע החבורה נקראת ''חופשית''.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318021
היא חופשית מיחסים. בחבורות שאינן חופשיות יש יחסים שאומרים משהו על היוצרים של החבורה (למשל, ש- ababab=1).
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318039
כן, תודה. התכוונתי שזה החלק שאלון השלים לי אחרי הוויקיפדיה...
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317993
אולי כדאי לציין שה''מכונה'' הזאת אינה בהכרח מכונת טיורינג.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317995
חשבתי (באיחור) ש''מכונה'' היא אכן ביטוי לא מוצלח כאן.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317980
מרצה שלי (אי שם בשנות השמונים) סיפר פעם שבתואר ראשון הוא חזר הביתה וניסה להסביר לאמו את עניין התפוזים והשמש. אמא שלו אמרה רק: אם אלו השטויות שמלמדים אתכם באוניברסיטה, אולי עדיף שתמצא עבודה.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317986
נחמד :-) יש כמה דברים כאלה, שאפשר לספר לאמא ולקבל המלצה על שינוי כיוון.

הגדרה: "עקום" במרחב הוא תמונה רציפה של הקטע [0,1] (כשמסבירים את זה לאמא, עושים כזו מין תנועה באוויר עם האצבע - מתחילים *פה*, עושים ווש-ווש-ווש, ומסיימים *פה*)

משפט: קובייה היא עקום (וגם כדור, צלחת, אקליפטוס ומסננת).

שם למשפט (אורי, זה בשבילך): Hahn-Mazurkiewicz.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317994
"Hahn-Mazurkiewicz" נשמע בערך כמו "מחול החרבות".
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318022
זה לא עקום פאנו? (בלי שום קשר לאקסיומות פאנו פרט לאב הרוחני, עקום פאנו הוא מסילה רציפה שמכסה את ריבוע היחידה).
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318026
כן, חוץ מזה שכאן הוא מכסה קוביה. משפט ה"מ הוא הכללה של הבנייה הקונקרטית של פאנו, והוא נותן את התנאי המדוייק ב-R^n לקבוצה להיות עקום (משהו כמו קומפקטית וקשירה מסילתית, לא זוכר בדיוק; הקטע הוא שכל קבוצה העונה על שתיים-שלוש תכונות פשוטות שברור שיש לעקומים היא אכן עקום, ו"מימד" הוא לא אחת מהתכונות הללו).
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318041
"עקום" הוא *כל* תמונה רציפה של הקטע [0,1]?
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318057
כן (למה השאלה?)
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318059
פשוט לא הבנתי. וזה גם לא הוגן. חלק מהתמונות הן בטח ישרות להפליא...
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318070
הגדרות מתמטיות הן נורא לא הוגנות. ''עקום'' יכול להיות ישר, ''ישר'' יכול להיות עגול, ''עיגול'' יכול להיות כדור ו''כדור'' יכול להיות פירמידה. ''קבוצה פתוחה'' יכולה להיות גם ''קבוצה סגורה'', ''קומפקטי'' יכול להיות בגודל של גלקסיה, ''טור'' כותבים בשורה ול''גבעול'' אין אף-פעם שיבולת, גם כשהוא ב''אלומה''.

כאמור, עדיף לחפש מקצוע אמיתי.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318074
אתם ממש לא רציניים.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318088
גבעולים ואלומות? מאיפה זה?
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318091
גאומטריה דיפרנציאלית אאל''ט.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318092
"Sheaf" and "Stalk" (scheme theory, algebraic geometry, some algebraic topology.)
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318095
ומה זה fiber bundle? אגד סיבים?
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318106
כן.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318108
אם כך bundle bundle זה אגד חבילות?
:-) 318110
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318107
מה זה, "והיה הישר לעקום"? לא הגזמתם? אנשים נורמליים משתמשים לפעמים במכבסת מלים. אבל אתם הולכים על לכלוך? תתביישו!
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317992
למעשה המשפט היה ידוע לפני כמה אלפי שנים, ואף נמצאו לו שימושים מעשיים:

"אמר להם ישוע: אין הם צריכים ללכת, תנו להם אתם לאכול.
השיבו לו: אין לנו פה אלא חמש כיכרות לחם ושני דגים.
אמר: הביאו אותם אלי הנה.
הוא ציוה את בעם לשבת על הדשא, לקח את חמש ככרות הלחם ואת שני הדגים, נשא עיניו השמימה וברך. לאחר מכן בצע את הלחם ונתן לתלמידים והתלמידים נתנו לעם. הכל אכלו ושבעו, וממה שנותר אספו שנים עשר סלים מלאים. מספר האוכלים היה כחמשת אלפים איש מלבד הנשים והטף"

(הברית החדשה, מתיוס י"ד 13-21)

מסקנה: מזל שלא היו להם גם שני תפוזים. כך נמנע אסון גדול.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317996
צב"ר.

יש, אגב, אנשים הסבורים שכל האמיתות המתמטיות מצויות בכתבי-הקודש - היהודים, הנוצריים, המוסלמיים או (תמיד זה *או*) ההינדיים. לעומתם יש כאלה הסבורים שמשפט-גדל מוכיח שהם טועים.
עוד זווית 317840
עכשיו כבר לא ברור מה יותר מקסים, הפיוט או הפרדוקס. תודה.
עוד זווית 318176
תגובה 164394 ומדובר על אי תלות ב-PA בלבד.
מצד שני ברור שניתן לבנות פסוק גדל כך שכל הכמתים כבולים לאומגה (מהצורה קיים x ששייך לאומגה כך ש-...)
עוד זווית 318183
אתה מכיר טענות אריתמטיות שאינן כריעות ב- ZFC, פרט לעקביות של PA?
עוד זווית 318184
מה גורם לך לחשוב שעקביות PA אינה יכיחה ב-ZFC?
עוד זווית 318221
נניח שמלמלתי משהו על חמש ורבע וכו'. לכם המתמטיקאים יש הרגל מעצבן להצביע על פגם אחד בתגובה ולהסתפק בזה, במקום לדבר בפסקאות שלמות. (במקרה הזה: העקביות של PA יכיחה ב- ZFC, מכיוון שיש לה מודל, שבו 0 הוא הקבוצה הריקה והמספר n הוא הקבוצה המכילה את (הקבוצות של) המספרים מאפס עד n-1. זה אומר ש*אם ZFC עקבית*, אז PA גם עקבית).

אנא כתוב פסקה שלמה על טענות אריתמטיות לא כריעות.
עוד זווית 318222
מה עניין "חמש ורבע"?
עוד זווית 318227
(תגובה 318164).
עוד זווית 318280
אני נדהמת כל פעם מחדש מהמהירות שבה נוצרים קיצורי רך כאלה באייל. מרשים ביותר.
עוד זווית 318224
אני חושב שאלוף העולם בימינו בייצור טענות אריתמטיות שאינן כריעות ב-ZFC הוא הארווי פרידמן. אני אנסה לדוג מאמרים שלו (או עליו) שקראתי פעם, ומכילים תוצאות מסוג זה. לא מזמן קראתי (וגם את זה אנסה לדוג) שהוא, אישית, דווקא מצדד בעמדתי - הטענות הללו הן נכונות-או-לא, ורק האקסיומות האומללות שלנו אינן מספיקות כדי להראות זאת. אם אני זוכר טוב, הדוגמאות שלו הופכות ליכיחות אם מוסיפים איזה קרדינל גדול יחסית צנוע, והוא משתמש בזה כדי לגבש דעה לגבי הנכונות של הטענה "באמת".

עוד דבר שנדמה לי שקראתי פעם הוא שפרידמן הוא גם (או רק?) פרופסור למוזיקה.
עוד זווית 318276
רבע לחמש ולא חמש ורבע.
עוד זווית 318277
טוב, התגובה הקודמת נועדה לאושש את טענתך. יותר ברצינות, לכבוד הוא לי להיקרא מתמטיקאי ע''י בכיר המתמטיקאים באתר (נדמה לי, מי יודע מי באמת מסתתר מאחורי השכ''ג). עוד יותר ברצינות, היום בערב.
עוד זווית 318482
אוקי,
העקביות של PA יכיחה ב-ZFC (בלי להניח עקביות ZFC) משום שניתן (בהנחת ZFC) לבנות מודל ל-PA (דהיינו N או אומגה עם הפעולות הרגילות). בנוסף, מאחר שתחת ZFC אנו מוכיחים את כל שאר המתמטיקה, פחות או יותר, הרי ש-ZFC גם מוכיחה את משפט ה*שלמות* של גדל, כלומר קיום מודל מוכיח עקביות התורה. בדיוק כמו שלא צריך להניח עקביות ZFC כדאי להוכיח עקביות של תורת החבורות, כך גם עבור עקביות PA.

לגבי טענות אריתמטיות אי כריעות ב-ZFC: אני לא מכיר טענה "טבעית" כזו‏1 אבל אם מסתכל על הוכחת משפט גדל נראה שאת כל הקידוד שהוא עושה, אפשר לבצע בתוך אומגה. הוא מקודד סמלים ע"י טבעיים ולאחר מכן גם פסוקים והוכחות. הנוסחה שאומרת "יש ל-X הוכחה" היא בעצם פסוק אריתמטיולבסוף גם פסוק גדל המתקבל הוא כזה.
זו היתה פסקה שלמה על טענות אריתמטיות לא כריעות. זו גם הסיבה שאני לא פלטוניסט-אריתמטי.

1 למרות שבטח יש.
עוד זווית 318486
אתה לא מאמין שלנוסחה (Con(ZFC יש ערך-אמת? (אני יודע שאי-אפשר להוכיח אותה ב-ZFC, אבל...)
בעד הפלטוניזם 319534
החלטתי להציק עוד קצת לך (ולעוזי). נתחיל ממשפטים-דמויי-גולדבאך, כאלה שאומרים "כל מספר טבעי מקיים תכונה מסויימת (שאפשר לבדוק בזמן סופי)". אם משפט כזה הוא לא נכון, אז יש לו דוגמה נגדית קונקרטית, ולכן אם הוא לא כריע במערכת כלשהי T, אז הוא נכון במספרים הטבעיים (ה"רגילים"). את זה גם אתה וגם עוזי מקבלים‏1 - כלומר אתם לא רואים באי-כריעות הזו עדות לאיזו בעייה אונטולוגית, אלא סתם לחולשה של המערכת T: מה לעשות, היא לא מספיקה כדי להוכיח את המשפט, למרות שהוא *באמת* נכון.

אם כך, גם אתה מסכים שאי-כריעות של משפטים *מסוג זה* איננה סיבה מספקת להיות לא פלטוניסט-אריתמטי, ועל רקע זה ההצהרה האחרונה שלך מוזרה בעיני: הלא משפט גדל מייצר אי-כריעות מסוג כזה בדיוק ("כל מספר טבעי איננו (מספר גדל של) הוכחה ב-T לכך ש-T עקבית", למשל).

מובן שייתכנו גם משפטים לא-כריעים שאינם כאלה (כמו TP), ואז באמת לא ברור איזו משתי האפשרויות היא נכונה במספרים הטבעיים. משונה בעיני שאתם מקבלים בקלות את ההנחה שאי-כריעות במקרה הראשון רק חושפת חולשה של מערכות פורמליות, ואילו במקרה השני אצים להניח שיש ריבוי עולמות אונטולוגיים. אם כבר למדנו (מהמקרה הראשון) שכל מערכת פורמלית קצרה ידה מלהוכיח כל משפט אמיתי, מדוע פתאום עכשיו (במקרה השני) המוגבלות הזו מתורגמת לאי-בהירות אמיתית לגבי ערך-האמת של טענות אריתמטיות?

1 ולעדות: תגובה 164381, תגובה 165943.
בעד הפלטוניזם 319748
למה להגביל למספרים הטבעיים? אפשר לחזק את הטענה עוד יותר: נקבע תורה אריתמטית אפקטיבית T (למשל: ZFC). בהנתן משפט מהצורה "לכל x (טענה שאפשר לבדוק - לשני הכיוונים - בזמן סופי)", אם הוא אינו כריע, אז הוא מוכרח להיות אמיתי בכל מודל בן-מניה של T.

(אחרת היתה דוגמא נגדית, ולזה יש הוכחה סופית. זו הגרסה הלוגית של "אם יש ספק אין ספק").

רק כדי ליישר קו: פסוק גדל של התורה T הוא מהצורה שהזכרתי, מכיוון שכל מספר המועמד להיות מספר גדל של הוכחה, אפשר לבדוק בזמן סופי. הפסוק אומר "אין ב- T הוכחה לעקביות של T". מה הנימוק הקודם אומר על ערך האמת שלו?
בעד הפלטוניזם 319824
לא כל כך הבנתי את הפסקה הראשונה, אבל אם הבנתי אותה, אז נראה שאני מסכים. ברור לי שה"נימוק" לא אומר שום דבר על יכיחות בתורה, הוא רק מאפשר להבחין (עבור טענות דמויות-גולדבאך, מה שמכנים פאי-‏1-0) בין האפשרות הסטנדרטית לאפשרות הלא-סטנדרטית לפרש את הטענה.

לא הבאתי את זה כמין סופר-נימוק מדוע אפשר מטא-לראות ש-ZFC עקבית. ניסיתי לומר, או לשאול: מדוע אתם מצמדים את המושג "אמת" ליכיחות ונמנעים מלומר שיש אחת כזו אבסולוטית, כאשר אנו רואים במקרים הקלים שיכיחות ב-ZFC איננה לוכדת את האמת?

דיברנו קודם על טענות אריתמטיות שאינן יכיחות ב-ZFC. אני לא בטוח שציינתי את זה אבל מטייסביץ' (מטיישביץ'? מה שאורי קורא גזונדהייט) נותן לנו אחת פשוטה: יש משוואה דיופנטית שאי-אפשר להוכיח ב-ZFC שאין לה פתרון. ברור שבאמת אין לה פתרון, כאן אין כל ויכוח. במקרה הזה, אם כך, אנו לא מפסיקים להאמין בחד-משמעיותם של הטבעיים, אלא מסיקים בצער ש-ZFC פגומה. מדוע אם כן יש להרחיק לכת ולומר שבמקרים אחרים (לא דמויי-גולדבאך), אם ZFC קצרה ידה אז זה אומר משהו מוזר על חד-משמעיות של טענות? לי נראה יותר טבעי להמשיך את אותו הקו: יש טענות אריתמטיות נכונות, יש לא נכונות, ו-ZFC (כמו כל תורה אפקטיבית אחרת) לא תמיד מאפשרת לנו לזהות מיהי מה. עצוב, אבל אז מה? מי תקע לידינו של-ZFC כל האמת?
בעד הפלטוניזם 320008
מה הקשר בין המשוואות האלו של מטיישביץ' לבין הפתרון שלו לבעיה העשירית של הילברט? (יש הבדל בין "אין אלגוריתם שמכריע האם למשוואה יש פתרון", לבין "משוואה שאי-אפשר להוכיח ב- ZFC שאין לה פתרון").

נראה איפה אנחנו עומדים. יש טענות 'אריתמטיות' שאפשר לנסח ב- ZFC, והן בלתי כריעות שם. דוגמא: העקביות של ZFC. למרות אי-הכריעות, אנחנו מאמינים שהטענות האלה נכונות (באיזה מובן בדיוק, אגב?)

אתה מציע שלכל טענה מסדר ראשון על מספרים - יש ערך אמת "אמיתי"; אם ZFC מצליחה להוכיח או לסתור את הטענה, היא נותנת את הערך הנכון. אבל גם אם לא, זה פשוט מראה על חולשה של ZFC. דוגמא: "ZFC עקבית" היא נוסחא שיש לה ערך אמת (במובן האמוני), ו- ZFC חלשה מכדי להכריע לגביה.

אני מסכים ש*יש* טענות לא כריעות עם ערך אמת; אבל למה להסיק מזה ש*לכל* הטענות מטיפוס מסויים מוכרח להיות ערך אמת? חוץ מזה, על איזה טיפוס בדיוק אנחנו מדברים? כל טענה על מספרים? האם אתה מוכן לקבל שיש טענות (מסדר ראשון - כמובן, אבל האבחנה הזו חסרת משמעות) ללא ערך אמת?
אם יש מודל 'טבעי', מה מפריע לו לכסות גם טענות על קבוצות של מספרים וקבוצות של קבוצות ופונקציות מקבוצות של קבוצות לקבוצות של קבוצות? מה ערך האמת של השערת הרצף?
בעד הפלטוניזם 320028
על אלה טענות אתה מסכים ש*יש* להן ערך אמת?
ואם ללכת לקבוצות של מספרים וכיו"ב - מדוע לא ללכת למספרים שלמים/רציונליים/ממשיים והלאה?
בעד הפלטוניזם 320042
אפשר לסווג את הטענות לארבעה סוגים.
א. אלו שאפשר להוכיח או להפריך במסגרת המערכת האקסיומטית שבחרנו (סטיקר: "אני בוחר ב- ZFC! מאה אלף מתמטיקאים לא טועים")
ב. אלו שמבחינה פורמלית הן בלתי כריעות (שזה בדיוק אומר שהן לא שייכות לסוג הראשון), אבל מסיבה פסיכולוגית כלשהי אנחנו מעדיפים להמציא להן ערך אמת, ואולי אפילו להוסיף אותן למערכת האקסיומות.
ג. בסוג השלישי אפשר לאסוף טענות לא כריעות שאנחנו לא מדביקים להן ערך אמת, והן נשארות בלתי כריעות גם במערכת האקסיומטית (זה עניין פורמלי), וגם 'מבחינה אונטולוגית' (שזה פסיכולוגיה, כאמור; לא באמת חשוב).
ד. הסוג האחרון - "טענות" שאי אפשר בכלל לנסח בשפה של ZFC ("חצילים הם לא טעימים"), ועבורן אין משמעות למושג 'ערך אמת'.

אגב, התגלית המרשימה של גדל (שאולי הלכה לאיבוד בסבך הדיון) היא שטענות כמו "ZFC היא מערכת אקסיומות עקבית" שייכות לאחד משלושת הסוגים הראשונים, ולא לסוג הרביעי. *אפשר* לנסח את ה"מטא-טענה" על עקביות של מערכת 'אריתמטית' (אפקטיבית) בתוך המערכת. המשפט השני של גדל מספר לנו ש(אם המערכת עקבית), אז הטענה הזו אינה שייכת לסוג הראשון - היא לא כריעה בתוך המערכת.

מבחינתי יש ערך אמת לטענות משני הסוגים הראשונים. זו התחמקות, כי הסוג השני לא מוגדר (לא פרשתי בפניכם את הפסיכולוגיה הפרטית שלי). בכל אופן אני מעדיף גישה אגנוסטית בעניין הזה: טענה שרוצה ערך אמת צריכה להתאמץ לשכנע שהיא באמת זקוקה לו.

הדוגמא היחידה שעולה בדעתי לטענות מהסוג השני: העקביות של ZFC. אני מאמין ש- ZFC מערכת עקבית, למרות שכאמור זו טענה ("על מספרים טבעיים") שאינה כריעה במערכת. למרבה התסכול, זה לא יעזור לזרוק לתוך המערכת את האקסיומה שאומרת "ZFC כריעה", ולקרוא לה ZFC+, בגלל שאז משפט גדל יאמר שהטענה "ZFC+ כריעה" אינה כריעה במסגרת ZFC+, ונצטרך לזרוק פנימה עוד ועוד אקסיומות.

אין בעצם הבדל בין מספרים שלמים או רציונליים לבין מספרים טבעיים. על מספרים ממשיים אפשר לחשוב כאילו הם קבוצות (מאד מיוחדות) של מספרים רציונליים. אפשר להפנות לאלון את השאלה הזו - האם הגישה הפלטונית מחייבת ערך אמת מוגדר היטב גם לטענות על מספרים ממשיים? אם לא, מה בתהליך הבניה שלהם הוא לא 'פלטוני'?

----

(שאלה טכנית ללוגיקאים: אפשר להגדיר ברקורסיה את המערכת {ZFC+^{n+1 בתור ZFC+^n יחד עם האקסיומה "ZFC+^n כריעה", כאשר ZFC+^0=ZFC. נסמן ב- ZFC* את איחוד המערכות הקודמות. האם היא עדיין אפקטיבית?)
בעד הפלטוניזם 320046
לשאלה אלי: אני מסיר מעצמי אחריות לגישה הפלטונית באופן כללי... אין לי מושג. הגישה הפרטית שלי מניחה ערך-אמת לטענות מסדר ראשון על ממשיים (מה שאומר שאני מייחס ערך-אמת גם לטענות על קבוצות של טבעיים), אבל לא לטענות על קבוצות של ממשיים (כמו גם על קבוצות של קבוצות של טבעיים). לא חשבתי על זה הרבה, אבל כך נראה לי. אגב, "תהליך הבנייה" של ממשיים הוא ודאי לא 'פלטוני' במובן הבסיסי: הוא מחייב שימוש במושג הלא-קונסטרוקטיבי "סדרה אינסופית שרירותית", או "חתך-דדקינד שרירותי".

__

אני לא לוגיקאי, אבל אני חושב שאני יכול לענות: כן, ודאי. אתה עדיין יכול לזהות אקסיומה, וכללי ההיסק שלך לא השתנו. למעשה, אפשר להמשיך את הבנייה שלך באינדוקציה טרנספיניטית הלאה (באופן ברור), ויש תוצאות על מה קורה שם. יש לי ספר אחר של טורקל פרנזן, "Inexhaustability", שמדבר בדיוק על הנושא הזה בפרקים האחרונים שלו - שטרם יצא לי להתעמק בהם. מומלץ, בכל אופן, עם אזהרה: הוא פלטוניסט בערך כמוני.
בעד הפלטוניזם 320054
לאור ההערה שלך על ההבדל בין "תת-קבוצות מסויימות" ל"תת-קבוצות שאפשר לבנות", אני ממליץ לך לבחור את התשובה הבאה: אתה מאמין בקיום מודל לממשיים שאפשר לבנות (למשל בהצגה העשרונית) אבל לא בהכרח בקיום מודל שמכיל את כל הממשיים.

____

(בעניין ZFC*: בהתחלה היה נדמה לי שפסוק גדל של ZFC* מיוחד במשהו, אבל עד שהגעתי לסוף כתיבת השאלה הבנתי את הבניה הטרנספיניטית. הבעיה היא שזה כל-כך מייגע להכריח את הסימנים המתמטיים להשאר במקום בזמן שממשיכים לכתוב, עד שהיה לי חבל למחוק את השאלה רק בגלל הסיבה הפרוזאית שאני יודע את התשובה).
בעד הפלטוניזם 320060
לא, דווקא אני נוטה להאמין בקלות ב"כל הממשיים". אלה הקונסטרוקטיביליים נראים לי משעממים מדי. לא ציינתי את ההערה על ההבדל בין קבוצות שאפשר לבנות לשאינן-כאלה כדי לומר שאני מאמין רק בראשונות, אלא רק כדי לענות על שאלתך: איך זה שיש מודל "טבעי" לטבעיים שאינו מכריע בשאלות מסדר שני, כמו השערת הרצף. טעמי האישי הוא שהרבה יותר נוח, סביר ומעניין לדבר על מספרים ממשיים שרירותיים וקבוצות שרירותיות של טבעיים - אלא שאז גם אני נאלץ (כנראה) לוותר על האוטופיה הפלטוניסטית שלי; חבל, אבל לא סוף העולם.
בעד הפלטוניזם 320048
1. איפה אתה מלמד, איזה קורסים, והאם אפשר לשמוע אותך כשומעת חופשית?
2. האם "מערכת כריעה" היא "מערכת עקבית"?
3. אני שמחה לשמוע שאתה מבדיל באופן ברור בין הרציונלים לאי-רציונלים.
4. מה מסמן ^ ואיפה הוא מופיע על לוח המקשים? (כאן העתקתי אותו מתגובתך).
בעד הפלטוניזם 320055
1. תודה (?). אני מלמד בבר-אילן, והתשובה לשאלה "אילו קורסים" היא - לשמחתי - שזה תלוי באיזו שנה. בשנה הבאה, למשל, אני מלמד קורס בתורת החוגים וקורס בתורת המספרים. לאוניברסיטה יש כללים בעניין שמיעה חופשית. השאר - ב email.

2. אין כזה דבר, "מערכת כריעה", אבל המושגים די קשורים.
"מערכת עקבית" היא מערכת שלא ניתן להוכיח בה בו זמנית משפט ושלילתו. הגדרות שקולות: מערכת שלא ניתן להוכיח בה משפט מהצורה "f וגם לא f"; וגם: מערכת שיש משפטים שלא ניתן להוכיח בה.
כשקובעים את המערכת, אפשר לדון בכריעות של *טענה* (מהסוג של "קיים מספר ראשוני גדול מ- 7"). אם אפשר להוכיח במסגרת המערכת (=לתת הוכחה פורמלית) את הטענה או את שלילתה, אז היא כריעה. אם אי אפשר לעשות את שני הדברים, אז הטענה לא כריעה.
העובדה שבמערכת T קיימת הוכחה לטענה f, שקולה לכך שהמערכת הופכת להיות לא עקבית אם זורקים פנימה את הטענה "לא f". מכאן שאם הטענה f אינה כריעה, אז אפשר לזרוק אותה למערכת ולקבל מערכת עקבית, ואפשר לזרוק את השלילה שלה פנימה וגם אז מתקבלת מערכת עקבית.

3. מבדיל זה לא אותו דבר כמו מעדיף.

4. את הסימן ^ תוכלי למצוא בדרך-כלל מעל לספרה 6 (בדיוק כמו ש- ! נמצא מעל לספרה 1). במעבד התמלילים LaTeX ("החטא ועונשו הוא סיפור על מישהו שרצח והתחרט"), הסימן ^ משמש להעלאת טקסט לשכבה העליונה של השורה; למשל x^2 אמור להראות כמו x בריבוע.
בעד הפלטוניזם 320094
1. חן חן. אשקול את תורת החוגים.
2. נו, אין זה חדש שהחוכמה איננה מסימניי.
3. אני מבדילה בין המושגים.:)
4. החטא ועונשו בהחלט הסביר את העניין.:)
בעד הפלטוניזם 320170
מה הקטע עם "החטא ועונשו" היה אמור להביע?
בעד הפלטוניזם 320174
לקרוא ל-LaTeX "מעבד תמלילים" זה בערך כמו לקרוא לחטא ועונשו "סיפור על מישהו שרצח והתחרט".
תשובה טכנית 320053
נראה שכן, אבל אז השאלה המענינת היא למה המערכת הזו לא מוכיחה את עקביותה (בסתירה למשפט גדל).המממ...במופלא ממך אל תחקור. סתם, אני צריך לחשוב על זה.
תשובה טכנית 320056
(הפסוק "ZFC* עקבית" שונה מכל פסוקי העקביות הקודמים. אם אתה מאמין שהמערכת החדשה עקבית, אתה מוזמן לזרוק גם אותו פנימה ולהגדיר את ZFC אומגה-ועוד-אחד. אפשר להמשיך).
תשובה טכנית 320059
כן. מה שהתכוונתי הוא שהמערכת ZFC* מוכיחה את עקביות כל תת קבוצה סופית של אקסיומות שלה ולפיכך גם את עקביותה. כנראה שזה מראה על הבדל מענין בין הפסוק הפורמלי con(T) לבין באמת העובדה ש-T עקבית או זה מראה על הבדל (טריויאלי) בין מה שנכון למה שאני אומר.
תשובה טכנית 320062
שאלה: האם ZFC לא מוכיחה אף-היא את העקביות של כל תת-קבוצה סופית של אקסיומות שלה?
תשובה טכנית 320204
לא חושב. למה שזה יהיה כך?
תשובה טכנית 320214
כי זכרתי שראיתי את זה באיזה מקום... ועכשיו בעזרת דוד גוגל גם מצאתי איפה - אצל טורקל פרנזן החביב:

עכשיו צריך לחשוב, כמובן, למה הוא אומר זאת, והאם הוא צודק. התחושה שלי היא שהאקסיומות ה"קשות" ב-ZFC הן כולן סכמות, ואם מצטמצמים רק לאוסף סופי שלהן, נשארים עם משהו שדי קל לבנות לו מודל - צריך לדאוג רק למספר סופי של תנאים. בקישור הנ"ל פרנזן גם מסביר יפה מדוע אין סתירה בין העובדה הזו לכך ש-ZFC לא מוכיחה את (Con(ZFC.
תשובה טכנית 320231
בעצם, הייתי צריך לדעת את זה כי שיקולים דומים מופיעים כשמתעסקים עם כפיות.
אני חושב שזו גם דוגמא לכך שיש ''מחוץ למודל'' בניגוד למה שעלול להשתמע מדבריך לפעמים, כאילו להסתכל מבחוץ זה שטויות.
תשובה טכנית 320241
אתה צריך לנקד מילה כמו "כְּפִיות", אחרת אפשר לחשוב שאתה מדבר על אוכל או אביזרי-לבוש המקובלים בתרבויות מסויימות.

לגבי "להשתמע" - חלילה וחס, להסתכל מבחוץ זה מאוד יפה. הדבר שאני משתומם עליו הוא שהיה צריך את גדל כדי להשתכנע לעשות זאת, נגיד, בפסיכולוגיה.
עוכר שמחות שכמותך 320253
לא יכולת לחכות עד שמישהו יקפוץ עם:
"מה אתה מבלבולים פו אם כפיות מה כפיות אך זה קשור???!?"
עוכר שמחות שכמותך 320254
אבל בזכות זה גיליתי שיש הבדל בחומרת האזהרה בין שני סימני קריאה/שאלה רצופים לשלושה.
רד לעשרים בכל זאת.
עוכר שמחות שכמותך 320255
יש הבדל????

ואללה, נכון.
עוכר שמחות שכמותך 320257
אפילו את ההגינות לכתוב "ואללה, נכון." בתגובה נפרדת, כמו שאני עשיתי לא היה לך.
תגיד את האמת כתבת "ואללה, נכון." לפני שבדקת או אחרי?
עוכר שמחות שכמותך 320261
לפני, כמובן. לא בסדר?

ניסיון ההתחמקות הפתטי הזה שלך מההבטחות חסרות-השחר של "מחר", "מחרתיים" וכו' הוא שקוף ועלוב עד מאוד, מר מינדרבינדר. כשאגיע לארץ אצוד אותך, ואתה תהיה חייב לי מקופלת. והסבר.
עוכר שמחות שכמותך 320258
הרשה לי להתעלם מקשיחותו של אלון, ולשאול:
"מה אתה מבלבולים פו אם כפיות מה כפיות אך זה קשור???!?"
עוכר שמחות שכמותך 320263
השאלה היתה רצינית? אם כן אשמח להוסיף אותה לרשימת המחר/מחרתיים.
עוכר שמחות שכמותך 320271
רצינית בהחלט, חרף ניסוחה המגומגם משהו. הכפיות, כולל אלו עם ה-כ' השוואית, אינן מוכרות לי כמושג מתמטי.
עוכר שמחות שכמותך 320278
אני רוצה שאורי יתרכז בשאלות הקודמות, אז אני אתנדב: כְּפִיה (forcing) היא שיטה בלוגיקה מתמטית שפותחה, למיטב ידיעתי, בידי פול כהן בשנות הששים, ומאפשר לבנות מודלים עבור טענות מסויימות. השם "כפיה" מתייחס לכך שהשימוש בשיטה מאפשר "לכפות" על המודל לקיים תכונות רצויות מסויימות.

כהן פיתח את השיטה, והשתמש בה, כדי להוכיח שהשערת-הרצף אינה תלויה ב-ZFC. גדל עשה חצי מהעבודה הרבה קודם - הוא הראה שהשערת הרצף אינה *סותרת* את ZFC - וכהן הראה את ההיפך: גם שלילתה של השערת הרצף אינה סותרת את ZFC, ומכאן שהאקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות אינן מסוגלות לקבוע אם יש או אין קבוצה של ממשיים שאינה בת-מנייה ואינה בת עצמת הרצף.
עוכר שמחות שכמותך 320326
הם הוכיחו את כל מה שאמרת בהנחה ש-ZFC עקבית, כמובן.
נודניק :-) 320378
עוכר שמחות שכמותך 320366
תודה.
בעד הפלטוניזם 320040
1. נניח שלכל משוואה דיופנטית, היה אפשר למצוא הוכחה ב-ZFC לאי-פתירותה (אם היא לא פתירה) או לפתירותה (אם היא כן). אם כך, הרי לנו אלגוריתם לבעייה העשירית: נייצר, במקביל, הוכחות ב-ZFC ו-m-יות של מספרים; נבדוק אם ההוכחה היא (במקרה) הוכחה לאי-פתירות המשוואה, ואם המספרים מהווים פתרון; אם לא, נמשיך. תחת ההנחה ממנה התחלנו, זהו אלגוריתם תקין. כיוון שאין כזה, ההנחה שגויה: ישנן משוואות ספציפיות שאי-פתירותן אינה משפט של ZFC.

2. "באיזה מובן בדיוק, אגב?" - אני חושב שזו שאלה אליך יותר מאשר אלי. אצלי יש מובן אחד לנכונות: משפט הוא נכון אם מה שהוא אומר אכן מתקיים בטבעיים. אם הוא אומר שאין מספר-גדל של הוכחה ב-ZFC ש-‏0 שווה ל-‏1, אז באמת אין מספר כזה.

3. לא "במובן האמוני": יש לה ערך-אמת ממש, והוא "נכון". מדוע זה דורש יותר אמונה מעצם ההנחה שהאקסיומות של ZFC נכונות?

4. "למה להסיק מזה ש*לכל* הטענות מטיפוס מסויים מוכרח להיות ערך אמת?" - ודאי שאני לא מסיק זאת מזה שיש טענות כאלה. אני הולך בכיוון ההפוך: אני סבור שההנחה הטבעית (סליחה) יותר היא זו שלכל טענה כזו יש ערך-אמת, ומי שחושב אחרת, צריך לנמק. הטיעון "יש משפטים ש-ZFC לא מכריעה" נשמע לי חלש, מפני שהדגמנו שזה קורה גם במצבים בהם *ברור* שלמשפט יש בכל זאת ערך אמת.

"אם יש מודל 'טבעי', מה מפריע לו לכסות גם טענות על קבוצות של מספרים וקבוצות של קבוצות..." - אני חושב שזו טעות של האינטואיציה, הנובעת מנסיוננו עם קבוצות סופיות, להניח שכשיש קבוצה, אז מקבלים במתנה גם את "כל" הקבוצות החלקיות שלה. למשל, את כל הטבעיים אפשר בקלות לייצר אחד אחרי השני ב-PA או ב-ZFC, אבל אי-אפשר בשום אופן לייצר את כל הקבוצות החלקיות שלהם. כל ניסיון אקסיומטי "לכסות" את כולן, למשל במובן של לייצר אותן רקורסיבית, נדון (כמובן) לכשלון.

זה מה שמפריע למודל הטבעי לכסות גם טענות מורכבות: הוא לא כולל באמתחתו את האובייקטים עליהם אתה מדבר. אתה יכול לדבר על "המספרים הטבעיים, וכל הקבוצות ה-r.e. שלהם"; אתה יכול לדבר על "המספרים הטבעיים, וכל הקבוצות השרירותיות שלהם"; בשני המקרים אלו אותם מספרים טבעיים בדיוק, רק עם אוסף אחר של קבוצות חלקיות.

אם כך, להשערת הרצף אין בהכרח ערך-אמת - תלוי במושג שלך של "קבוצה של טבעיים".
בעד הפלטוניזם 320050
1. תהי f משוואה שהפתירות שלה לא כריעה ב- ZFC. לו היה לה פתרון, היה אפשר לתת הוכחה ב-ZFC לכך שיש לה פתרון. אבל אין הוכחת-ZFC כזו, ולכן אין לה פתרון.
זוהי הוכחה שאין ל- f פתרון. באיזו שפה ההוכחה הזו?
בעד הפלטוניזם 320052
בשפה הפסיכולוגית שדיברת עליה קודם. אם הוכחה שהפתירות שלה לא כריעה זה אומר שיש מודל ל-ZFC בו יש מספר טבעי (בהכרח לא "סטנדרטי") שמהוה פתרון. מצד שני, יש מודל אחר בו אין פתרון.

פסיכולוגית, אני (אתה.אנחנו) לא אוהבים טבעיים לא סטנדרטים ומעדיפים להניח שאין כאלה.
בעד הפלטוניזם 320057
זו דוגמא שצריכה להיות מוכרת יותר. חשבתי שכל ההוכחות המתמטיות מתנסחות ב- ZFC בהנתן מספיק סבלנות.
בעד הפלטוניזם 320061
רגע אחד. "תהי f משוואה שהפתירות שלה לא כריעה ב- ZFC" זו הנחה הגוררת גם ש-ZFC עקבית, והייתי צריך להדגיש זאת קודם. כלומר, אם אתה רוצה לראות בהוכחה שלך הוכחה פורמלית באיזושהי מערכת (עם איזושהי שפה), אתה צריך להניח שאותה מערכת מוכיחה גם את עקביות ZFC. זה לא שונה בהרבה מההוכחה של השערת גולדבך מתוך ההוכחה שההשערה אינה תלויה ב-PA.

את הטיעון שלך אפשר, לדעתי, בהחלט *לנסח* בשפה של ZFC; כדי שהוא יהיה באמת הוכחה (כלומר, נובע מהאקסיומות של איזושהי מערכת), צריך להסכים על המערכת, ולשים לב שהיא גם מוכיחה מהצד את עקביות ZFC.
בעד הפלטוניזם 320106
אז ההוכחה שלי היא *כן* הוכחה פורמלית ב- ZFC לטענה "אם ZFC עקבית וגם הפתירות של f לא כריעה אז אין ל- f פתרון". בדיוק כמו שהמשפט של מטיישביץ', בהקשר הזה, אומר "אם ZFC עקבית אז יש משוואות לא כריעות".
הרבה יותר טוב.
בעד הפלטוניזם 320120
אני קצת מבולבל. הרבה יותר טוב ממה...? את הטענה "אם ZFC עקבית וגם הפתירות של f לא כריעה אז אין ל- f פתרון" אפשר לפשט למקרה הפרטי "אם ZFC לא מוכיחה של-f יש פתרון, אז ל-f אין פתרון". לא צריך את עקביות ZFC, אלא רק את העובדה שאם למשוואה דיופנטית יש פתרון אז ZFC מוכיחה זאת; זה נכון גם ל-PA, ובאותה מידה אפשר להוכיח ב-PA "אם PA לא מוכיחה ש-f פתירה, אז f אינה פתירה". (סייג כללי: אאל"ט).

אולי נחזור אחורה: התחלנו מהאבחנה שיש טענות אריתמטיות חוץ מעקביות ZFC שהן לא כריעות ב-ZFC; יש אפילו משוואות דיופנטיות כאלה - וקיומן הוא, נדמה לי, יותר מעניין מהוכחה מסוג זה למשוואה ספציפית. בעקבות זאת אני ניסיתי לטעון שהזיהוי של "יכיח-ב-ZFC" עם "נכון" הוא ממילא לא סביר, והוא נשאר לא סביר גם כשנזכרים שיש גם טענות יותר מורכבות (לא פאי-‏1-0) שאינן יכיחות. לגבי אלה, גם אני מודה שאנחנו נשארים די תקועים לגבי בירור המצב לאשורו; אבל אני בכל-זאת סבור שיש כזה מצב לאשורו, ואני מנסה להבין מדוע אתה סבור(?) שאין כזה.
בעד הפלטוניזם 320127
"אם ZFC עקבית וגם הפתירות של f לא כריעה אז אין ל- f פתרון".
זו לא סתירה?
בעד הפלטוניזם 320132
למה סתירה?
(עקבית = המערכת לא מוכיחה ששה דברים בלתי אפשריים לפני ארוחת הבוקר. שלמה = המערכת מצליחה להחליט לגבי כל טענה. אנחנו מאמינים ש- ZFC עקבית, ויודעים שהיא לא שלמה).
בעד הפלטוניזם 320138
זה מזכיר את הדיאלוג המעצבן שהיה לי עם אלון לפני כמה ימים: אם הגעת למסקנה שאין ל- f פתרון, איך אתה יכול להגיד באותה נשימה שהפתירות של f אינה כריעה? הרי הכרעת.
בעד הפלטוניזם 320141
הבעיה נפתרת אם מדברים במשפטים שלמים. אם מניחים ש- ZFC עקבית, אז הפתירות של f אינה כריעה במסגרת ZFC (כלומר, אין הוכחה ב- ZFC לפתירות של f וגם לא לאי-הפתירות). מכאן אני מסיק ש*אם מניחים ש- ZFC עקבית*, אז f אינה פתירה. לטענה *הזו*, יש הוכחה במסגרת ZFC (אלון מציע ניסוח אחר, אבל הם שקולים). לטענה "f אינה פתירה" אין הוכחה ב- ZFC (כמו שאין הוכחה לכך ש- ZFC עקבית).
בעד הפלטוניזם 320145
כן, [אני חושב ש]את זה הבנתי אחרי מאמציו הבלתי נלאים של אלון, רק הסברתי את שאלתה של האלמונית לגבי הסתירה כביכול.
בעד הפלטוניזם 320146
הבנתי.:)
בעד הפלטוניזם 320142
ראה תגובה 320138
בעד הפלטוניזם 637539
זו הוכחה ב-ZFC, אבל חסרה כאן רישא: "אם ZFC היא אומגה-קונסיסטנטית, אז...".
אומגה-קונסיסטנטיות פירושה: לא מתקיים מצב שבו המערכת מוכיחה משפט מהסוג "קיים מספר טבעי n כך שמתקיים P(n)", אבל גם לכל מספר טבעי n היא מוכיחה "לא P(n)".
כמובן אי אפשר להוכיח ב-ZFC ש-ZFC היא אומגה-קונסיסטנטית.
בעד הפלטוניזם 436354
אני מגיב דווקא להודעה הזו באופן חצי-שרירותי‏1, ונראה שקצת מאוחר מידי. אבל לא נורא, ממילא יש לי פחד קהל.

בכל הדיון שלכם למעלה (וככל שהרחקתי לראות, גם למטה), נראה שאתם מתייחסים רק לדרך אחת בה אפשר לתת ערכים סמנטיים לשפה‏2: באמצעות אקסיומות. אבל יש דרך טבעית יותר לעשות זאת: באמצעות מבנה‏3.

"מבנה", עד כמה שהוא מושג מתמטי-פורמלי, הוא למיטב הבנתי גם מושג *שקודם* למתמטיקה וללוגיקה. למשל, מן הסתם יש לכולנו מושג מאד ברור לגבי "מהם המספרים הטבעיים", והמושג המנטלי הזה הוא בדיוק *מבנה*, שעליו אפשר לדבר, בין השאר, בשפת תה"י מסדר ראשון.

זה, יחד עם העובדה שכל תורה עקבית היא שלמה אם ורק אם יש לה מודל (=מבנה בו היא אמיתית), נראה (לי) כמו הצדקה לא רעה בכלל לגישה הפלוטנסטית הרכה שאתה מציג כאן, לפיה תורת המספרים היא שלמה. זו כמעט‏4 הוכחה.

בכלל, נראה לי שבד"כ הרעיון של הגישה האקסיומטית, הוא לנסות להוכיח משפטים לא טריוויאלים על מבנים שבאופן עקרוני נתונים אפריורית. הגישה הזו, אם מצטמצמים לסדר ראשון‏5, מבטיחה שהתורה אינה קטגורית ואינה אקסיומטית, כלומר יש לה אינסוף מודלים (חוץ מהמודל שאיתו התחלנו) שאינם איזומורפיים (אבל הם כולם שקולים אלמנטרית), והמשפטים בתורה אינם ניתנים למנייה רקורסיבית.

אבל למי זה מפריע? כל עוד יש גישה בלתי אמצעית למבנה (המנטלי, שהוא המושא לחקירה מלכתחילה) אפשר לבחור קבוצה שונה של אקסיומות (מתוך המשפטים אותם בקלות מזהים כנכונים במבנה), ולבדוק מה אפשר להסיק מהם‏6. אולי יהיו הרבה משפטים שלא נדע אם הם נכונים או לא, אבל כך או כך, The truth is out there.

(בעצם לא בדיוק. כשאינטואציוניסט מתווכח עם... אהם... אנשים שפויים, הוויכוח עקר לפי התפיסה הזו, כי למעשה שניהם מדברים על עולמות אחרים, שקיימים (ממש) במידה שווה. האם יש הבדל בין לומר את זה, לבין לומר "שאין משמעות לשאלה הקיום שלהם במידה שווה"? לי נראה שכן, אבל אם תאמר אחרת - לא אתווכח - זה וויכוח עקר :)).

1 גם "חצי" כאן הוא חצי-שרירותי, ויכול היה להיות, נאמר, אחת-חלקי-פאי-שרירותי.

2 שהיא תה"י, וכאן, בד"כ, מסדר ראשון.

3 מן הסתם אתה יודע, אבל למען השלמות: מבנה הוא קבוצה עליה מדברים המכונה "עולם", עם יחסים עליה, ופונקציה המתאימה לכל קבוע בשפה, ערך בעולם, לכל יחס בשפה, יחס בעולם וכו'.

4 הדבר הטוב הבא, אחרי הוכחה....

5 ואם לא, "אוכלים אותה" מכיוונים אחרים.

6 בזכות משפט-השלמות אפשר באמת לומר "להסיק" בהקשר הזה...
בעד הפלטוניזם 436374
>בכל הדיון שלכם למעלה (וככל שהרחקתי לראות, גם למטה), נראה שאתם מתייחסים רק לדרך אחת בה אפשר לתת ערכים סמנטיים לשפה‏2: באמצעות אקסיומות. אבל יש דרך טבעית יותר לעשות זאת: באמצעות מבנה‏3.

מתוך תגובתו של אלון: "אצלי יש מובן אחד לנכונות: משפט הוא נכון אם מה שהוא אומר אכן מתקיים בטבעיים." מה זה אם לא נכונות במבנה?

>"מבנה", עד כמה שהוא מושג מתמטי-פורמלי, הוא למיטב הבנתי גם מושג *שקודם* למתמטיקה וללוגיקה.

במובן הלא פורמלי, אתה צודק. במובן הפורמלי תורת המודלים פותחה בד בבד עם הלוגיקה.

> למשל, מן הסתם יש לכולנו מושג מאד ברור לגבי "מהם המספרים הטבעיים", והמושג המנטלי הזה הוא בדיוק *מבנה*, שעליו אפשר לדבר, בין השאר, בשפת תה"י מסדר ראשון.

על זה כל הדיון. אלון חושב שהמושג שלנו של מספרים טבעיים כל כך חזק עד שכל התכונות מסדר ראשון נקבעות. אני (וגם עוזי, כמדומני) לא מסכימים.

>בכלל, נראה לי שבד"כ הרעיון של הגישה האקסיומטית, הוא לנסות להוכיח משפטים לא טריוויאלים על מבנים שבאופן עקרוני נתונים אפריורית.

גם זה לא נראה לי נכון. הרבה פעמים מנסחים בעזרת אקסיומות את התכונות הרלוונטיות של איזשהו מבנה ואח"כ מסתכלים על איזה מבנים אחרים יש המקיימים את האקסיומות.

>אבל למי זה מפריע? כל עוד יש גישה בלתי אמצעית למבנה (המנטלי, שהוא המושא לחקירה מלכתחילה) אפשר לבחור קבוצה שונה של אקסיומות (מתוך המשפטים אותם בקלות מזהים כנכונים במבנה), ולבדוק מה אפשר להסיק מהם‏6. אולי יהיו הרבה משפטים שלא נדע אם הם נכונים או לא, אבל כך או כך, The truth is out there.

שוב, על זה כל הדיון. אם נרחיב קצת את התחום מהמספרים הטבעיים לתורת הקבוצות, נניח: האם The truth is out there גם לגבי השערת הרצף?
בעד הפלטוניזם 436392
טוב, לא באמת חשבתי שאני מחדש משהו משמעותי, בסה"כ ניסיתי להציג זווית קצת אחרת להנמקת הגישה עליה אלון הגן. בניגוד לאופן בו אתה רואה את הדברים, אני לא משוכנע שהוא בעצמו היה מסכים איתי (אחרת הוא לא היה כותב "אני לא חושב על הטבעיים כמודל של כלום, אלא כמשהו שקודם למושגים "מודל" ו"הוכחה"')

אתה אומר שמושג שלנו למספרים הטבעיים לא חזק מספיק. למה אתה חושב כך? כדי שהמבנה יהיה מספיק, עליו בסה"כ לפרש את הקבועים אישים ואת היחסים עליהם. לפחות לגבי חיבור וכפל אני די משוכנע שהמושג שלנו מספיק טוב, וכך גם לגבי יחסים אחרים (שאפשר להגדירם באמצעות הקודמים, ואפשר שלא) כמו חילוק, חזקה, שקילות-מודולו או היחס המודלי "להיות ראשוני". בסופו של דבר, הדרישות שמעמידים על המבנה מאד צנועות. הניסיון לנסח עבורו מערכת אקסיומות (מסדר ראשון) הוא זה שמעט יומרני, אם כבר.

מה שכתבת על הגישה האקסיומטית מאד נכון, אבל אני חושב שהוא קשור יותר לפרקטיקה המתמטית מאשר לעקרונות הלוגיים. אבל לפני זה, כדי שתוכל לדבר על "מבנים אחרים שמקיימים את האקסיומות" מערכת האקסיומות לא יכולה להית קטגורית, וזה כבר מספיק כדי להבדיל בין "המבנה המנטלי" שהנחה את מנסח האקסיומות בניסוחן לבין התורה שהוא יצר (כלומר מראש "הם לא אותו הדבר", וקיום המבנה המנטלי הזה הופך את התורה לשלמה, ובכך יש "סוג של" הצדקה לפלוטוניזם).

באשר להשערת הרצף - אני כבר הרבה פחות משוכנע* שאני יכול להציע אלטרנטיבה לגישת ה-"ריבוי האונטולוגי". זה אולי קצת כמו מוסר: כל אחד יכול להכריע אם זה נכון או לא, אבל אין שום דרך, מלבד השפעה "רגשית", לשכנע בנכונות ההכרעה הזו אנשים אחרים.

* ומראש בכלל לא הייתי.
בעד הפלטוניזם 637541
ובכן, יש רק מודל יחיד לאקסיומות פיאנו המנוסחות בשפה של לוגיקה מסדר שני (או משהו כזה), ונראה לי שזה המודל של הטבעיים שכולנו חושבים עליו.
הבא בתור הוא סוס 436948
4 הדבר השני-הכי-טוב (ואני מקווה שיש דרך עוד יותר רהוטה לומר זאת בעברית)
הבא בתור הוא סוס 436962
הדבר השני בטיבו?
הבא בתור הוא סוס 436993
ברוך השב
הבא בתור הוא סוס 436963
או ''הדבר השני הטוב ביותר'', או ''האפשרות השנייה בדרגה''.
הבא בתור הוא סוס 436972
''בינונית שבעידית'' (טוב כשיש בדיוק תשע אפשרויות).
בעד הפלטוניזם 437394
''כל תורה עקבית היא שלמה אם ורק אם יש לה מודל''

נדמה לי שהמשפט הזה מוטעה. לכל תורה עקבית (המנוסחת באמצעות תחשיב היחסים) יש מודל, בלי קשר לשלמותה. למשל, למערכת אקסיומות פיאנו יש מודל (המספרים הטבעיים) על אף שאיננה שלמה.
בעד הפלטוניזם 437402
מנבכי זכרוני הרעוע עולה טענה בסגנון "אם יש לתורה שני מודלים לא איזומורפיים היא לא שלמה". אני מניח שהיא שגויה אבל הרעיון הבסיסי הוא שאי-שלמות של תורה לא צריכה להתבטא בכך שאין לה מודל, אלא בכך שיכולים להיות לה כמה מודלים שונים מהותית - כשהשוני בא לידי ביטוי, למשל, באותם משפטים שאינם כריעים: במודל אחד הם יהיו נכונים ובמודל השני שקריים.
בעד הפלטוניזם 437403
הטענה ''אם יש לתורה שני מודלים לא איזומורפיים היא לא שלמה'' היא לא נכונה, כמובן. המונח שאתה מחפש הוא ''שקולים אלמנטרית'' שפשוט אומר שהמודלים מקיימים את אותן טענות מסדר ראשון. הטענה ''יש לתורה שני מודלים לא שקולים אלמנטרית אם ורק אם היא לא שלמה'' היא טאוטולוגיה קלה במיוחד, בהנתן משפט השלמות.
בעד הפלטוניזם 437405
המממ, אני הייתי בטוח שהיה איזשהו מושג יותר טריוויאלי מ''שקולים אלמנטרית'' שגורר את זה, אבל כאמור היינו ילדים וזה היה מזמן.
בעד הפלטוניזם 437408
"היינו ילדים וזה היה מזמן" מתייחס לירושלמים בלבד!
בעד הפלטוניזם 437446
אני לא בטוח שהבנתי את ההקשר של התגובה הזאת. היא מופנית אלי או אל עומר (תגובה 436354)?
בעד הפלטוניזם 437472
לשניכם, לא?
בעד הפלטוניזם 437455
כן, ברור שהמשפט שציטטת אינו מדוייק. ראשית, מכיוון שצריך להוסיף הסתייגות לגבי כך שמדובר בתורות מסדר ראשון (וכל תורה שכוללת את אקסיומות פיאנו אינה כזו), ושנית, מכיוון ש-''יש לה מודל'' צריך היה להיות ''יש מבנה שהיא התורה שלו'' (שזה דומה, אבל לא אותו הדבר).
בעד הפלטוניזם 437468
ניתן לראות את אקסיומות פיאנו כתורה מסדר ראשון (כאשר "אקסיומת האינדוקציה" היא סכמת אקסיומות). ועדיין, המספרים הטבעיים הם מבנה שמקיים את התורה, אך היא איננה שלמה.

חוץ מזה, מה שגדי אמר (תגובה 437402).

בנוגע להערה השנייה, אני לא יודע מה ההבדל בין "יש לה מודל" ובין "יש מבנה שהיא התורה שלו". תוכל להסביר?
בעד הפלטוניזם 437473
כאשר מדברים על אריתמטיקת פיאנו אז כמו שכתבת, מדברים על תורה מסדר ראשון. כאשר מדברים על אקסיומות פיאנו מן הסתם מדברים על תורה מסדר שני, שהיא דווקא כן שלמה (אבל אין לה מערכת היסק שלמה).

ההסבר לכך שלאריתמטיקת פיאנו יש מודל, אך היא איננה שלמה, היא בדיוק בניואנס שבמשפט האחרון שלך: ב-"יש מבנה שהיא התורה שלו" הכוונה היא לכך שיש מבנה, שהתורה שלו (כלומר כל המשפטים מסדר ראשון שנכונים בו), היא התורה שעל הפרק (למשל: תורת המספרים).

משפט אי-השלמות אומר שהתורה מסדר ראשון של כל מבנה "שמכיל" בתוכו את המספרים הטבעיים עם חיבור וכפל (תורה כזו, על סמך מה שנאמר קודם, היא בהכרח שלמה), אינה אקסיומטית. לכן התורה של אקסיומות פיאנו (שהיא מן הסתם אקסיומטית) אינה שלמה.

אני לא יודע מה הקשר למה שגדי אמר.
בעד הפלטוניזם 637547
אבל המשפטים הם הפוכים: משפט השלמות של גדל (המקשר בין מודל לתורה) הוא על תורות מסדר ראשון, ומשפט אי השלמות הוא על תורות בכלל, לאו דווקא מסדר ראשון.
בעד הפלטוניזם 319833
שכחתי להשיב על השאלה האחרונה: הוא אומר של-(Con(T יש ערך אמת, ושאם T היא סיגמא-נאותה (כלומר לא מוכיחה בטעות שטענה-דמוית-גולדבאך היא שקרית, כשהיא לא), אז שערך האמת הוא "נכון". מובן שבמקרה זה זו טענה מאוד לא מעניינת: מספיק ש-T תהיה עקבית כדי שהפסוק יהיה נכון.
בעד הפלטוניזם 319764
"כל מספר טבעי איננו (מספר גדל של) הוכחה ב-T לכך ש-T עקבית", למשל".
האם אני מבינה נכון הפעם, שאין למצוא ב-T הוכחה לעקביותה?
בעד הפלטוניזם 319767
בדיוק. "המשפט השני: אם T תורה אריתמטית ואפקטיבית, אז יש נוסחה C האומרת "T היא עקבית". אם, בנוסף, T עקבית, הנוסחה C אינה ניתנת להוכחה ב-T." (מן המאמר)
בעד הפלטוניזם 319770
תודה.:)
נודניק :-) 319810
מחר.
נודניק :-) 320044
מחרתיים.
נודניק :-) 320047
על-פי מבקרי-תרבות מסויימים, הוכחת עכשיו באינדוקציה שלעולם לא תענה לי.
נודניק :-) 321339
אם עד סוף השבוע אין איזה נימוק חדש-אמיץ ממך או מעוזי, אני מכריז חד-צדדית על ניצחון טכני לפלטוניזם אריתמטי.
נודניק :-) 321390
לפני שאתה מכריז הכרזות, הייתי רוצה לדעת מהו בדיוק (בדיוק) הפלטוניזם האריתמטי שאתה מדבר עליו. לאילו טענות יש ערך אמת 'טבעי' - באיזו שפה הן צריכות להיות מנוסחות, מה אתה מניח על המבנה הטכני שלהן, ועל מה הן צריכות לחול.
נודניק :-) 321408
בשלב זה, אני מסתפק בטענה שכל טענה מסדר ראשון בשפה של האריתמטיקה‏1 היא בעלת ערך-אמת. אין כל הנחה על המבנה הטכני. את השאלה האחרונה אני לא בטוח שאני מבין - אני מפרש את הטענות (באופן ברור) כטענות על המספרים הטבעיים. פסוק מהסוג "קיים x כך ש-P" הוא נכון אםם יש מספר טבעי כך ש-P; שאר המרכיבים של פסוקים מסדר ראשון הם אפילו עוד יותר טריוויאליים.

1 עם סימן =, ועם אוסף לא מוגבל של סימני פרדיקטים ופונקציות מכל arity.
נודניק :-) 321417
מה זה "בשפה של האריתמטיקה"? דווקא מערכת עם קבוע ופונקצית עוקב כמו ב- PA? מותר חיבור וכפל (גם כמו ב-PA, בערך)? האם אתה מרשה להשתמש בשפה של ZFC? למה לא?
נודניק :-) 321422
סברתי, אולי בטעות, ש"השפה של האריתמטיקה" היא מונח מקובל. בכל אופן, כן, הכוונה לשפה שמכילה את הקבוע 0, את סימן העוקב, ואת הסימנים +, * ו-> (למה "בערך"?). הניסוח "כמו ב-PA" מפריע לי; PA היא מערכת של אקסיומות בשפה הזו, אבל לשפה עצמה אין שום קשר למערכת אקסיומטית מסויימת.

למה אני צריך את השפה של ZFC? אני רוצה לדבר על מספרים טבעיים, לא על קבוצות עם יחס שייכות. אין איזה משפט אריתמטי שאפשר *לנסח* בשפה של ZFC ולא בשפה שציינתי, אלא אם אני מחמיץ משהו.
נודניק :-) 321435
(לגבי הטרמינולוגיה: PA היא שפה עם מערכת אקסיומות; באחת הדרכים לנסח את המערכת, השפה לא כוללת + ו- *, אבל ממילא יש מספיק אקסיומות האינדוקציה כדי שאפשר יהיה להגדיר אותן. לכן "בערך").

לאן אני חותר? אני יודע שיש משפחה גדולה של טענות שאפשר לנסח ב- PA, ועבורן אין צורך ב- ZFC. אני מנסה להבין איך אתה, בתור מי שמאמין בקיומו של מודל "אמיתי" למספרים הטבעיים, מבדיל בין טענות ZFC שיש להן פירוש טבעי (בשני המובנים), ולכן גם ערך אמת מסויים, לבין טענות ZFC שהן מדי מורכבות (?) שלא חלות על המודל הזה. בסופו של דבר אני מניח שאפשר לנסח גם את אקסיומת הבחירה כך שתחול על המודל היחיד שקיים באמת, ואז הייתי שמח לשמוע מה ערך האמת האמיתי שלה...
נודניק :-) 321440
לא לגמרי הבנתי.

אני לא יודע אם ואיך אפשר לנסח את אקסיומת הבחירה בשפה שתיארתי, וגם אם כן, ברי שזו תהיה גרסה חלשה שלה (בת-מנייה). אני אנסה להתעקש עוד פעם אחת להשאיר את השפה המורכבת של קבוצות מחוץ לתמונה, ולהסכים (או לא להסכים) על קיום ערך-אמת לפסוקים בשפה שתיארתי.

(המונח "מודל אמיתי למספרים הטבעיים" בעייתי בעיני, כי ל"מודל" יש פירוש פורמלי כמודל של מערכת אקסיומטית מסויימת. אני לא חושב על הטבעיים כמודל של כלום, אלא כמשהו שקודם למושגים "מודל" ו"הוכחה").

("המודל היחיד שקיים באמת" זה לא ביטוי שלי... הסברתי כבר שאני עובד בשמחה עם הממשיים, עם עולם הקבוצות של ZFC, עם קטגוריות, וכו'. לענייננו כרגע אני מבקש להתרכז במושג פשוט: המספרים הטבעיים).
נודניק :-) 432290
תגובה 432288 (וגם התגובה שמעלי, אם רוצים להמשיך את השיחה המסויימת הזו).
נודניק :-) 321415
לפני שאענה, האם הנימוק שלך בעד הפלטוניזם האריתמטי הוא רק מה שמופיע בתגובה 319534?
נודניק :-) 321423
לא בדיוק. הנימוק שלי בעד הפלטוניזם הוא שזהו מצב הרבה יותר סביר מהאלטרנטיבה. הנימוק היחיד שאני רואה *נגד* הפלטוניזם (האריתמטי) הוא זה שאומר שיש משפטים שאינם יכיחים ב-PA, או ZFC, או מה שלא יהיה. בתגובה שהזכרת אני רק מנסה לשכנע שזה נימוק חלש: בהרבה מצבים, אי-יכיחות כזו רק גורמת לנו להסיק שהאקסיומות חלשות מדי, לא שאין לפסוק ערך אמת. אני לא רואה מדוע לא להחיל את אותו שיקול גם על מצבים שאינם דמויי-גולדבאך.

השאלה אם נוכל או לא נוכל לדעת נראית לי משנית; ממתי מה שאנחנו יודעים על האמת, או חושבים שאנו יודעים, משפיע עליה? הבאתי כבר את הדוגמה של סוג הדם של קליאופטרה. לעולם לא נדע מהו, אבל זו לא סיבה בעיני להניח שלא היה לה כזה.
נודניק :-) 432288
לרגל היעלמותי הקרבה ובאה, הייתי שמח לנסות ולסגור את הפתיל הזה שנותר, מבחינתי, תלוי ותלוש. "מחר" ו"מחרתיים" חלפו שניהם... מה המהלך הבא שלך?

תזכורת: אני מנסה להפיל עליך (ועל עוזי) את חובת ההוכחה שישנם משפטים ללא ערך אמת או שיש ריבוי אונטולוגי, בהקשר הפשוט יחסית של טענות מסדר ראשון על הטבעיים (כלומר, כאלה שאפשר לנסחן עם "קיים", "לכל", סימני חיבור וכפל, קבועים מספריים והסימנים הלוגיים הרגילים). הטענה שלי היא שיותר סביר להניח שלכל פסוק כזה יש ערך-אמת מאשר להניח את ההיפך, ולכן אם טוענים את ההיפך, יש לנמק.

הנימוק "הנה מערכת אקסיומות מאוד חזקה, והיא לא מסוגלת להכריע כל פסוק כזה" הוא, לעניות דעתי, לא משכנע. חולשותיהן של מערכות אקסיומטיות אינן ממין העניין; איש לא הבטיח לנו שכל מה שנכון נוכל להוכיח. יתרה מזו, דנו בדוגמאות בהן *ברור* שחוסר היכולת לספק הוכחה פורמלית במערכת מסויימת איננו מעיד על טשטוש של ערך האמת: כל הפסוקים מטיפוס "קיים X כך ש-(משהו ניתן לחישוב)". אין לנו ספק שאם מערכת אקסיומטית סבירה לא מסוגלת להוכיח משהו כזה, זה רק מעיד על חולשתה, ובאמת אין מספר X כזה (כי אם היה, היינו יכולים להציגו, ולהוכיח שהוא כזה באותה מערכת). אם כך הוא בפסוקים מסוג זה, אני לא מצליח להבין מדוע מפרשים אחרת בפסוקים מסוג אחר.

נימוק אחר שאפשר להעלות (והעליתם) הוא כזה: אם אני כל כך נאיבי שאני מייחס ערך אמת לכל פסוק כנ"ל, למה אני עוצר כאן ולא ממשיך אל השערת הרצף וכו'? בשלב זה, התשובה שלי היא שאני באמת לא בטוח שאני חייב לעצור, אבל אם אני רוצה לעצור, אני יכול להצדיק זאת כך: כמתים המתייחסים לקבוצות שרירותיות של טבעיים הם מיד חשודים יותר מכמתים המתייחסים למספרים עצמם. המושג "קבוצה שרירותית" הוא באופן איכותי יותר בעייתי מהמושג "מספר טבעי שרירותי", מסיבות שאני חושב שכולנו מסכימים עליהן (ואם לא, אפשר לדון גם בזה).
נודניק :-) 432292
"היעלמותי הקרבה ובאה"?
נודניק :-) 432295
הוא יוצא לחפש את הסנרק. איפה מחפשים? בגוגל, כמובן.
נודניק :-) 432667
מחר.
נודניק :-) 432669
שכחת להוסיף ''כה''ב'' בכותרת.

מחר כבר יהיה לי קשה להגיב, אז אשמח אם תכתוב משהו אבל יכול להיות שתצטרך קצת לחכות עד שאענה.
נודניק :-) 432670
לאן ומדוע אתה נעלם? האם זו חטיפה ידועה מראש?
432671
432673
תודה על הפירוט.
432680
כמעט אפשר לחשוב שנעלבת.
432682
למה כמעט?
432684
באמת נעלבת? אפשר לשאול למה?
432686
לשאול פולנייה ''למה נעלבת'' פירושו להוסיף חטא על פשע. אני אמשיך לשבת לבד בחושך.
432689
אולי יעזור אם אפנה אותך לפתיל בערך החל מתגובה 383437. שימי לב במיוחד לידיד מתגובה 431142.
באשר עבדנו אבדנו 433069
טוב, נתחיל בתגובה 318029. אני הייתי מתאר את ההיררכיה האונטולוגית קצת אחרת.

0. המספרים הסופיים‏1, זאת אומרת, הטבעיים אבל בלי התיחסות לקבוצות אינסופיות בכלל. בלי "כל הטבעיים" או "כל הזוגיים".

המספרים הסופיים האלה, הם אלה שעמם יש לנו ניסיון יומיומי ישיר ועשיר ולגביהם אני מוכן לקבל את הקביעה "קיים ערך אמת מוחלט"‏2. הלוגיקה ונגזרותיה נכנסת בו זמנית יחד עם המספרים הסופיים, אלא שהיא חלשה בהתאם: הכמתים מוגבלים לקבוצות סופיות מוגדרות (כל המספרים עד 5). גם תורת הקבוצות הסופיות-תורשתית‏3 נמצאת כבר כאן. כל אלה נראים לי שקולים מבחינה אונטולוגית.

אחרי זה באים (1.) המספרים הטבעיים הרגילים, כמקשה אחת, עם הקבוצות הלא שרירותיות (אתה הבדלת בין "קבוצה שרירותית" ל- "מספר טבעי שרירותי", אבל נכון יותר לדעתי להבדיל בין קבוצות שרירותיות למפורשות). יחד אתם אני מקבל יותר לוגיקה ואת כל הקבוצות הסופיות תורשתית יחד (תורת הקבוצות בלי אקסיומת האינסוף).

אחרי זה מגיעות (2.) הקבוצות השרירותיות של טבעיים והקבוצות האינסופיות בתורת הקבוצות וגם הכח המלא של הלוגיקה המוכרת.

כשמסתכלים על זה כך, כבר המבנים ששייכים ל-‏1 אינם מתוארים באופן מלא ע"י הניסיון. אני לא אומר שאין הבדל בין 1 ל-‏2 (למשל ביחס לפסוקים דמויי-גולדבאך), אבל אני לא חושב שהאובייקטים ב-‏1 הם מוחלטים.

לקח לי הרבה זמן (גם נטו) לכתוב את התגובה הזו ואני לא ממש מרוצה. כדאי שתשאל שאלות כדי שאבין מה רציתי לאמר.

1 סתם שם.
2 לצורך הדיון הזה.
3 אלו שמורכבות רק ממספר סופי של קבוצות סופיות-תורשתית.
חידה: 433169
"סוד הקבוצות השרירותיות
של מספרים טבעיים" הוא
המשכן של תיאוריות "מדעיות"
שאותי כלל וכלל לא הרשימו.
_______________
רמז:

אם תאמרו "די, ספחת,
יצאת מכל החורים",
אז אשיב: "קפוצי תחת
ימותו בסוף מטחורים!"
נו? 458926
משהו עם מונאדי?
נו? 459002
נו? 459008
בלעכס, את זה היינו אמורים לפתור?
נו? 459045
אצלי האסוציאציה היתה מיידית, אבל כנראה הפופולריות של שיטת פאולה כבר לא מה שהיתה פעם.
באשר אבדנו עבדנו‏1 458902
"אני לא חושב שהאובייקטים ב-‏1 הם מוחלטים." - זה כל מה שאני מנסה להבין: מנין הספקנות הזו? נדמה לי שאתה אומר שיש אפילו משפטים דמויי-גולדבך שאין להם ערך-אמת, וודאי שאתה אומר שיש משפטים דמויי-twin-primes שאין להם ערך אמת. לגבי המקרה הראשון, זה נשמע לי ממש מוזר, אבל לא אכנס לסיבות לפני שאוודא שאתה באמת מתכוון לכך.

לגבי המקרה השני - מדוע אתה סבור כך? התיזה שלי היא שחולשתן של מערכות אקסיומטיות היא נימוק מאוד לא משכנע. האם זה הנימוק, או שיש אחד אחר?

1 ליתר דיוק: לא אבדנו, פשוט עבדנו.
באשר עבדנו אבדנו‏1 458925
לענות לך עכשיו או לחכות 8 חודשים?

בקצרה: כמו שאני רואה זאת, רק לגבי הדברים ב-‏0 יש לנו ניסיון "ישיר" (כמו האבחנה ש-‏2+2=4). לגבי דברים ב-‏1 ההבנה שלנו נובעת מאנאלוגיות ותובנות שנובעות מהמקרה הסופי. זה כולל גם היסקים לוגיים וגם את ההנחה שלכל משפט דמוי-גולדבך יש ערך אמת (על זה אולי אפשר להתווכח, אבל זה לא נראה קריטי לדיון). ההנחה הזו נראית לי די ייחודית למשפטים דמויי-גולדבך, קשה לי לראות סיבה להניח משהו דומה לכל משפט מסדר ראשון.
אני מניח שאפשר לכנות את גישתי "פיניטיסטית-אפיסטמולוגית". פיניטיסטיים בדרך כלל מאמינים שהדברים היחידים שקיימים באמת הם סופיים ואולי מן הראוי לכנות זאת "פיניטסטי-אונטולוגי". לשיטתי, מבנים אינסופיים קיימים, אבל אין דרכי חקירה אינסופיות.
כיון שכך, שום אובייקט אינסופי "סביר" אינו מוחלט כי ישנן תכונות שלו שאינן נקבעות ע"י שיטות החקירה שלנו. בפרט המספרים הטבעיים (מרמה 1 ומעלה) אינם מוחלטים.

עוד יותר בקצרה: הנימוק שלי הוא חולשתן של שיטות החקירה שלנו, כולל מערכות אקסיומטיות.

1ולפיכך אבדנו.
באשר עבדנו אבדנו‏1 458970
אולי אני מתפרץ לדלת פתוחה, אבל הנה שני הביט שלי:
משפט פיתגורס מוכח באופן כללי לכל זוג שלמים a ו-b המשמשים כניצבים במשולש ישר זווית. אם מתעקשים להיות אמפיריציסטיים, ניתן לנסח את ההוכחה כתוכנית מגירה שתופעל מחדש עבור כל משולש שמדען יתקל בו. כלומר, לכל הפחות ניתן להסכים (אני מקווה) שהמשפט נכון עבור משולשים שניתקל בהם. כך שבמידת הצורך, יתאפשר לבצע סיקול ממוקד במרכז היתר.
אם כמה עשרות אלפי תצפיות מספיקות כדי להניח ש*כל* שני גופים מושכים זה את זה בפרופורציה הפוכה למרחקם בריבוע, וזה נחשב חלק משיטות החקירה שלנו - אני חושב שיהיה זה אך הוגן להכליל את הוכחת משפט פיתגורס כחלק משיטות החקירה שלנו.
באשר עבדנו אבדנו‏1 459001
איפה כתבתי שהוכחת משפט פיתגורס אינה חלק משיטות החקירה שלנו?
ההוכחה היא סופית, לא?
באשר עבדנו אבדנו 461553
לא הצלחתי להמתין בסבלנות עד תום תקופת הצינון בין תגובות בדיוננו. סליחה, אם כך, על שאני מתפרץ לדבריך.

ראה, ברור שאיני יכול "לסתור" את הגישה שאתה מציג. את מה ששיטות החקירה שלנו יכולות לברר, שנינו מסכימים שהוא מוחלט (במידה ידועה). מה שלא מאפשר בירור כזה הוא, בהגדרה, בלתי-נודע, והויכוח אם הוא "מוחלט, אך לא ניתן לידיעה" או "לא מוחלט" הוא ויכוח תיאורטי או פשוט חסר-שחר.

בכל זאת אקשה. כמו שכבר הזכרנו, ישנם דברים ששיטות החקירה שלנו אינן קובעות ובכל זאת (נדמה לי) שאין ויכוח שיש להם ערך-אמת: "לקליאופטרה היה סוג דם A", "לשייח ספיר יש תודעה" וכו'.

אם אתה מסכים לזאת, אזי ישנם דברים שהם מוחלטים למרות שתכונותיהם אינן נקבעות ע"י שיטות החקירה שלנו, ומכאן שההיקש "אינו מוחלט *כי* ישנן תכונות שלו שאינן נקבעות..." אינו תקף. דרוש דבר-מה נוסף - מהו? מה הופך את הטענה "בפיתוח העשרוני של פאי יש רק מספר סופי של 7-ים" ליותר לא-מוחלטת מהשאלה על קליאופטרה?

ועדיין לא הצלחתי להבין אם אתה מסכים שלכל פסוק דמוי-גולדבך (פאי-‏0-1?) יש ערך אמת, או שגם זה לא.
באשר עבדנו אבדנו 478404
עדיין לא הגיע תורי להגיב, כמדומני, ואכן לא אגיב, רק אקשר ל:
עוד זווית 317552
הנה ההזדמנות שלך לשטוח בפנינו את משנתך הפילומתמטית. אני את שלי כבר שטחתי בתגובה 317319, אם כי יתכן שיהונתן חשב שהתבדחתי.
עוד זווית 318029
גם אני בטח כבר עשיתי זאת עד-זרא, אבל הנה סיכום קצר:

1. בראשית היו המספרים הטבעיים.

2. אח"כ באו לוגיקה, תורת המודלים, תורות פורמליות כמו PA ו-ZFC וחברותיהן.

3. אח"כ באו קבוצות שרירותיות, שאינן עולם "אבסולוטי" (במובן שכל דבר לגביהן הוא או נכון או לא נכון), אלא (כמו שאמרת) שיש הרבה עולמות אפשריים. אני מוכן להמר שלא נוכל למצוא לעולם סיבה ממש-ממש-טובה לקבל את קיומו של קרדינל מדיד, או לדחות את השערת הרצף, או אפילו להסכים אם V=L או לא.

אני חושב שזה די דומה לשלך, חוץ מזה שאני מעניק למספרים הטבעיים (בניסוחים מסדר ראשון) מעמד ראשוני; פשוט, קצת קשה לי לראות איך מתחילים את התהליך הזה אחרת (דיברנו על זה פעם. צריך להגדיר "שפה", "הוכחה", וכו'... בלי טבעיים? ואיך מתחילים את תורת-המודלים, בפרט מודלים של ZF, אם אין לפחות קבוצה אינסופית אחת out there?)
עוד זווית 318124
תגיד, כל קבוצה שמקיימת את PA אפשר לקרוא לה "מספרים טבעיים"?
אז אולי אפשר לשים את 2 לפני 1?
עוד זווית 318126
חס ושלום! יש ל-PA מודלים "לא סטנדרטיים", שבהם יש מספרים "אינסופיים", כלומר מספרים הגדולים מכל מספר טבעי.

(הוכחה זריזה: דמיין שאתה מוסיף ל-PA את אינסוף האקסיומות "יש x הגדול מ-‏0", "יש x הגדול מ-‏1", "יש x הגדול מ-‏2" וכו'. אי-אפשר להוכיח סתירה מאוסף סופי של האקסיומות הללו, כי תמיד יש באמת x כזה; לכן אי-אפשר להוכיח סתירה מכל האוסף האינסופי הזה, כי כל הוכחה כזו היא (בהגדרה) סופית ולכן משתמשת רק בחלק סופי של האקסיומות. מכאן שלאוסף החדש של אקסיומות יש מודל, והמודל הזה הוא כמובן גם מודל של PA, ובמודל הזה יש x הגדול מכל מספר טבעי).
עוד זווית 318142
למה במודל החדש יש x הגדול מכל מספר טבעי? האקסיומות שלך אומרות שלכל n יש x גדול ממנו, לא שיש x שגדול בבת אחת מכל ה-n-ים.
עוד זווית 318164
אוף, אני צריך להפסיק לשלוח תגובות ברבע לחמש לפנות בוקר. סליחה.

עושים זאת כך (נראה לי, אני עדיין די עייף מהלילה הזה): מוסיפים לשפה עוד קבוע, נקרא לו "ת" (בדומה לקבוע "0" שכבר יש בה), ונוסיף אקסיומות "0<ת", "1<ת", "2<ת" (ליתר דיוק ""0<ת") וכו'. ההמשך כמקודם.
עוד זווית 318181
אבל אם הוספת קבועים חדשים, זו כבר לא אותה שפה. למה אתה ממשיך לקרוא ליצור החדש PA?
עוד זווית 318187
הרעיון הוא שיש מודל לתורה החדשה (עם הקבוע הנוסף) ובפרט שהו מודל גם לתורה הישנה (PA) עם תכונה נוספת ו-"לא טבעית": יש מספר שגדול מ-‏0,1,2, וכו'. כמובן שאת התכונה הזו לא ניתן להביע באמצעות פסוק בשפה.
עוד זווית 318214
(אם התשובה של אורי לא ברורה) אני לא קורא ליצור החדש PA. ה*מודל* של המערכת החדשה הוא קבוצה המכילה את 0, 1, 2, ... וגם את החדש הזה "ת" (ועוד הרבה מספרים אחרים, מסיבות שאני יכול להסביר), והמודל הזה הוא *גם* מודל של PA. זה מה שרצינו להוכיח: יש ל-PA מודלים לא סטנדרטיים.
עוד זווית 318216
ובמודל הסטנדרטי של PA אין אינסוף?
עוד זווית 318223
במודל הסטנדרטי של PA יש אינסוף מספרים, אבל אין מספר "אינסוף" - יש רק המספרים המוכרים: 0, 1, 2, 3, 4, וכו'.
עוד זווית 317522
אם אני מבין נכון, משפט גדל אומר משהו על חולשתו של התהליך הזה שנקרא "הוכחה פורמלית". וככל שיש יותר משפטים "חשובים" שהם משפטי גדל, מתערער הביסוס של התהליך הזה כמקדם את המתמטיקה. איך זה כמסקנה?
עוד זווית 317561
ככל שיש משפטים "חשובים" שהם לא כריעים, עדיף לומר. אז ככה:

1. הביסוס של התהליך הזה כ"מקדם את המתמטיקה" הוא מוצק, ולא ידוע לי שמישהו מחפש לו תחליף.

2. טרם נתגלתה טענה מתמטית שיש בה עניין טבעי שהיא לא כריעה במערכת "אמיתית" כמו ZFC. זה ש-PA חלשה לא מפתיע אף-אחד. ברור שאין דרך לפסול את האפשרות שזה יקרה; אני אצטט את טורקל פרנזן: הגילוי ש-Twin Primes היא לא כריעה ב-ZFC שקול כסנסציה לגילוי ציווילזציה מתקדמת מתחת לפני-האדמה במאדים. אי-אפשר להוכיח שזה לא ייתכן, אבל יש גם דברים אחרים לדאוג להם.

3. כדי שמשהו כמו 2 ממש יוכח (ולא סתם יהיה נכון בלי שנדע זאת), צריך שהמוכיח ישכנע אותנו בנכונותן של עוד אקסיומות מחוץ ל-ZFC. זה לא שאין כאלה, אבל זה מערים עוד מכשול רציני בדרך - מכשול שהוא במובן מסויים "תרבותי", לא מתמטי. אני לא לגמרי אתפלא אם יש טענות אריתמטיות מעניינות שאינן כריעות ב-ZFC, אבל אני מאוד אתפלא אם מישהו יצליח להוכיח דבר שכזה באופן שיהיה מקובל על כלל המתמטיקאים.
עוד זווית 317570
2. השערת הרצף? מן הסתם התכוונת ל"טענה אריתמטית".
עוד זווית 317578
נכון.
עוד זווית 317580
אפשר לנשום שוב.
אי הסכמה בין המתמטיקאים האמיתיים בדיון גרמה לי לחצים לא בריאים בחזה.
עוד זווית 317662
עקבתי אחרי הדיון בעיון רב. המון זמן לא קראתי משהו כלכך מעניין במתימטיקה. קראתי גם את ההגדרות של עוזי למטה (שמישהו שמבין במחשבים ייתן להם קישור פה!) שמאוד עזרו לי להבין את הדיון הזה. תודה.

לעיניינינו:
אלון - הדוגמה שנתת לי לפני שנים (אתמול) על הTwin-Pairs היא לא כלכך רלוונטית לויכוח - כי מה שהראת זה שיש פסוק שנורא קשה להוכיח אותו, וגם את שלילתו. זה נכון גם אם הוא *אמת על פי האקסיומות* וגם עם הוא *אמת אבסולוטית שנובע מהטבעיים*.
(לנו מספיק שהיית מניח שהשערת גולדבך נכונה. היה מספיק קשה להוכיח את זה). זה לא מכריע בין השניים.

אני רוצה לסכם איך אני מבין את הויכוח, כדי להיות ברור:

אני טוען שגדל הראה שקיימות מערכות אקסיומות, ופסוקים שהם אמת על פי האקסיומות הללו, שאין להם הוכחה. נכון, גדל הראה זאת על מערכת ספציפית מאוד (PA). אבל עדיין - המשמעות של המשפט היא חשובה מעבר למערכת הזאת. כי עכשיו אפשר לחשוד בכל מערכת אקסיומות, שאולי פסוקים נכונים לגביה, שאין להם הוכחה. ומכיוון שכל מדעי הטבע בנויים כמערכת אקסיומות, הדבר רלוונטי מאוד.

אתה דוחה בשעט נפש את המילים "פסוק שנכון על פי האקסיומות, שאין לו הוכחה". לטענתך, אין דבר כזה. פסוק הוא "נכון על פי האקסיומות" אך ורק עם יש לו הוכחה סופית.

לטענתך, המושג "נכון" במשפט גדל מתייחס למספרים הטבעיים עצמם, כמושגים פרימטיבים כפי שאנחנו מכירים אותם. המושג "נכון" או "לא נכון" (לפחות כאשר מדברים על הטבעיים) הוא בסיסי יותר, אינו קשור כלל למערכת אקסיומות PA או אחרת.
בכך הופך משפט גדל למשפט מאוד ספציפי - שלא רלוונטי לשום דבר חוץ מהמערכת PA

עוזי מאמין שZFC היא למשל מערכת אקסיומות שנקייה מדברים כאלו. כל פסוק בZFC כנראה שניתן להוכיח או אותו או את שלילתו. מZFC אפשר להגדיר (גם) את המספרים הטבעיים. ולכן - משהו.

דברים שאני עדיין לא מבין:

קשה לי להבין מה זה "נכון אבסולוטית" במתימטיקה. אם תהיה מערכת אקסיומות עקבית שבה 2=34, אז 2=34 יהיה נכון, במערכת האקסיומות הזו. מה הבעייה בזה?

אני לא מבין איך דברים הם נכונים לגבי הטבעיים, רק בגלל שהם טבעיים (למשל - בלי אקסיומת האינדוקציה - איך אפשר להוכיח דברים באינדוקציה?)

עוד: אפילו לשיטתך, נראה לי שאפשר להגדיר "נכון על פי האקסיומות, בלי הוכחה":
נניח שיש אובייקטים (קבוצה A) המקיימים את אקסיומות פאנו. סביר להניח שאז יש פונקציה הפיכה מA אל הטבעיים (לא הוכחתי. זה נכון?). מכאן יוצא שכל קבוצת אברים המקיימים את PA מקיימים את כל התכונות של המספרים הטבעיים.
זה מספיק בשבילי - מכאן אפשר לשכוח את הטבעיים, ולייחס כל פסוק שהוא נכון על הטבעיים לנכונות אקסיומות פאנו. כל הפסוק הופך להיות "נכון על פי האקסיומות"

זהו. ארוך אבל מייגע :)
עוד זווית 318283
(כדי להבטיח שתגובה כזו תגיע אלי, ונראה שהיא היתה מופנית אלי, הכי טוב לשלוח אותה כתשובה לתגובה שלי).

"מה שהראת זה שיש פסוק שנורא קשה להוכיח אותו, וגם את שלילתו." מה פתאום "נורא קשה"? אני לא יודע איך להראות דבר כזה. אתה הבאת כדוגמה (הגיונית) את גולדבאך, וציינת (בצדק) שאם השערת גולדבך אינה נכונה אז יש לכך הוכחה בכל מערכת אקסיומות מינימלית הדנה בטבעיים. הבאתי את TP כדוגמה (אחת מני רבות) להשערה שבה אין זה כך.

"אני טוען שגדל הראה שקיימות מערכות אקסיומות, ופסוקים שהם אמת על פי האקסיומות הללו, שאין להם הוכחה."

יזהר, מה שגדל הראה זה משהו מאוד ברור ומדוייק; אין כך כל מקום לומר "אני טוען שגדל הראה". אני לא דוחה "בשאט-נפש" כלום; הביטוי "אמת על-פי האקסיומות" איננו מקובל, ואם אתה רוצה להשתמש בו, אנא הסבר: למה כוונתך? מהו "פסוק שהוא אמת על-פי האקסיומות"?

"גדל הראה זאת על מערכת ספציפית מאוד (PA). אבל עדיין... אפשר לחשוד בכל מערכת אקסיומות, שאולי פסוקים נכונים לגביה, שאין להם הוכחה".

אני חייב לשאול: קראת את המאמר שלי? הסברתי מפורשות שמשפט גדל תקף לא רק ל-PA אלא למחלקה שלמה של תורות, ויש ניסוח מדוייק של התכונות הנדרשות מתורה כדי שמשפט גדל יהיה תקף לגביה. לא צריך "לחשוד בכל מערכת אקסיומות", ושוב יש לשאול: מה זה "פסוקים נכונים לגביה"?

"עוזי מאמין שZFC היא למשל מערכת אקסיומות שנקייה מדברים כאלו. כל פסוק בZFC כנראה שניתן להוכיח או אותו או את שלילתו"

אני לא עוזי, אבל אני מבטיח לך שהוא לא מאמין בשום דבר כזה: יש הרבה פסוקים ב-ZFC שאי-אפשר להוכיח לא אותם ולא את שלילתם. זאת יודעים בעזרת.... משפט גדל! יש פסוק ב-ZFC האומר "ZFC היא עקבית", ואת הפסוק הזה אי-אפשר להוכיח ב-ZFC (אם היא עקבית). אני חושש שטרם הבנת מה אומרים משפטי גדל, ואני מרגיש מאוד אשם בעניין הזה.

"קשה לי להבין מה זה "נכון אבסולוטית" במתימטיקה"

אתה מאמין, למשל, ש*אם* מניחים את אקסיומות פאנו, *אז* יוצא ש-‏2+3=5? זה נכון אבסולוטית, או שגם בשביל זה צריך עוד אקסיומות?

"מכאן יוצא שכל קבוצת אברים המקיימים את PA מקיימים את כל התכונות של המספרים הטבעיים."

לא, כפי שהסברתי. אף מספר טבעי איננו גדול מאינסוף מספרים טבעיים, אבל יש הרבה "קבוצות איברים המקיימים את PA" (= מודל של PA) שבהם יש מספרים כאלה.

אפילו הפורמליסטים הכי קשוחים לא טוענים שהמספרים הטבעיים = מה שמקיים את PA. PA היא מערכת מאוד, מאוד חלשה בהקשר הזה.
עוד זווית 318355
אני יודע (ולא רק מאמין) ש- ZFC (מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, בתוספת אקסיומת הבחירה) אינה שלמה.

הדוגמא הידועה ביותר היא השערת הרצף, וזו הזדמנות נאה להסביר איך יתכן שהשערה כל-כך פשוטה תהיה לא כריעה, בתורה חזקה כמו ZFC.

ראשית, מה זו ZFC. התחושה האינטואטיבית אומרת שקבוצה היא פשוט "קבוצה של דברים", ושאם אוספים כמה דברים יחד תמיד אפשר להתייחס לאוסף הזה כאל קבוצה. הפרדוקס של ראסל הראה שזו גישה מאד לא מוצלחת, מכיוון שהיא מביאה לסתירות מיידיות.

במקום זה, צרמלו ופרנקל, בעקבות קנטור וחצי מהפילוסופים של ראשית המאה העשרים, פיתחו גישה אלטרנטיבית, הרבה יותר קונסטרוקטיבית. הם ניסחו מערכת של אקסיומות שהתוכן של כולן הוא, בקירוב, שבתנאים מסויימים קיימת קבוצה בעלת תכונות מסויימות. למשל, האקסיומה הראשונה קובעת שקיימת קבוצה שאין בה איברים בכלל ("הקבוצה הריקה").
לכל שתי קבוצות יש קבוצה שהיא האיחוד שלהן; לכל קבוצה קיימת "קבוצת החזקה", שכוללת בדיוק את כל תת-הקבוצות של הקבוצה המקורית, וכן הלאה. יש אקסיומה מיוחדת שאומרת שבהנתן קבוצה וכלל שבוחר איברים שלה, קיימת קבוצה שכוללת בדיוק את האיברים האלה. האקסיומות האלה מאפשרות לבנות גם קבוצות מסוג מיוחד שנקראות 'פונקציות'. פונקציה מקבוצה A לקבוצה B היא בסך-הכל *קבוצה* של זוגות סדורים (a,b) שבה לכל איבר a של A מתאים איבר יחיד של B. במערכת הזו (ולכן בכל המתמטיקה), כל דבר הוא קבוצה.

רגע של מחשבה על האקסיומות שמניתי עד כאן יגלה שאין שום דרך לבנות קבוצה שאינה סופית; אז מוסיפים למערכת גם אקסיומה על קיום קבוצת המספרים הטבעיים.

בסופו של דבר הוסיפו גם את 'אקסיומת הבחירה': בהנתן קבוצה I ופונקציה F מ- I לקבוצה כלשהי, קיימת פונקציה אחרת f מאותה קבוצה I, כך שהאיבר (f(i שייך לקבוצה (F(i. בניסוח קל יותר אומרים ש"בהנתן אוסף של קבוצות, אפשר לבחור איבר אחד מכל קבוצה" - המשמעות המדויקת של "אפשר" היא שקיימת *קבוצה* (פונקציה, במקרה הזה) שמממשת את ה"אפשרות" הזו.
זו אקסיומה פחות אינטואיבית (בין השאר אפשר להוכיח ממנה את פרדוקס בנך-טרסקי על התפוזים והשמש), אבל בכל זאת היא די מקובלת. למערכת הכוללת את אקסיומת הבחירה קוראים ZFC, ולזו שבלעדיה - ZF (על-שם צרמלו ופרנקל).

כעת, עוצמות (בגירסה למתחילים; אין צורך ביותר מזה). אם יש פונקציה מקבוצה A שמכסה את כל האיברים של B, אז ברור שמספר האיברים של A לא יכול להיות קטן יותר, ואומרים ש"עוצמת A גדולה לפחות כמו עוצמת B". אם העוצמה של A גדולה לפחות כמו של B וגם להיפך, אז הן בעלות אותה עוצמה (למתקדמים: זו לא ההגדרה המקובלת!).

בהמשך, נסמן ב- N את קבוצת המספרים הטבעיים, וב- PN את הקבוצה שכוללת את כל ה*קבוצות* של מספרים טבעיים (גם סופיות וגם אינסופיות).
קנטור, שיסד את תורת הקבוצות, הראה די בקלות ש- N היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר; במלים אחרות מ*כל* קבוצה שאינה סופית יש פונקציה המכסה את כל N (זה כמו לבחור בקבוצה איבר ראשון, איבר שני, וכן הלאה, באופן שכולם שונים זה מזה). תוך שהוא ממציא את "שיטת האלכסון" ומקדים את ראסל, קנטור הוכיח שהעוצמה של PN גדולה ממש מזו של N; כלומר, אי אפשר לסדר את האיברים של PN בסדרה (ראשון, שני, שלישי, ...) בלי להשמיט איברים.

קנטור לא הצליח לבנות קבוצה אינסופית שעוצמתה תהיה מצד אחד גדולה משל N, ומצד שני קטנה משל PN. "השערת הרצף" שלו אומרת שאין כזו קבוצה. כלומר: כל קבוצה שלא ניתן לסדר, היא בהכרח גדולה מספיק כדי שאפשר יהיה לכסות באמצעותה את PN.
בניסוח מדוקדק יותר: אם A היא קבוצה כזו, שלא קיימת פונקציה מ- N המכסה את A, אז *בהכרח* קיימת פונקציה מ- A המכסה את PN.

*זו טענה על קיום של פונקציות*, כלומר על קיום של קבוצות.

מסתבר (משפטים של גדל, 1938, ופול כהן, 1963) שההשערה הזו אינה סותרת את שאר האקסיומות של תורת הקבוצות, אבל גם אינה נובעת מהן. פירושו של המשפט השני הוא שבארגז הכלים הנקרא אקסיומות ZFC, אין מספיק כלים כדי לבנות את הפונקציה מ- A על PN. לכן השערת הרצף אינה כריעה.
עוד זווית 318362
אני לא מתקדם, אבל מה ההגדרה המקובלת? קיום התאמה חח"ע ועל (ואז מה שאתה מתאר נובע ממשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין שהוא לא מיידי, הרי קנטור לא הצליח להוכיח אותו), או משהו מתוחכם יותר?
עוד זווית 318387
כן, התאמה חח"ע ועל. כפי שציינת, השקילות בין שתי ההגדרות אינה טריוויאלית.

(למתעניינים: החידה הלא-פשוטה היא להראות שאם יש פונקציה מ-A ל-B המכסה את כל איברי B, ופונקציה אחרת מ-B ל-A המכסה את כל איברי A, אז יש עוד פונקציה (אולי) אחרת מ-A ל-B המכסה את איברי B ומתאימה לאיברים שונים מ-A איברים שונים ב-B).
תהא העוצמה איתך 318369
זאת הפעם השניה בעת האחרונה שאני נתקל בתופעה שיחס השויון מוגדר כתוצאה מהפעלת היחס "גדול שווה" בשני בכיוונים (הפעם הראשונה היתה באותו ספר של קונווי‏1), כלומר היחס היסודי יותר הוא "גדול שווה". זה עניין מקובל במתמטיקה?
__________
1- לא הבנתי הרבה, אבל את זה דוקא כן. גם את ההוכחה של המשפט האחרון בספר הצלחתי להבין.
תהא העוצמה איתך 318394
ביסודות המתמטיקה זו גישה די שכיחה (בעוצמות, במספרים-משחקים של Conway, אפילו בשוויון בין קבוצות שמוגדר לפי הכלה בשני הכיוונים). גם אחר-כך זה קורה לא מעט (כי בדרך כלל התכונה של 'להיות גדול לפחות כמו' היא יותר פשוטה מאשר 'להיות גדול בדיוק כמו'), אבל מצד שני 'איזומורפיזם' הוא מושג מאד שכיח (שפירושו שמדובר בשתי מערכות שוות), ולא נראה לי שיש העדפה פילוסופית לאחד הצדדים.

(זוהי השורה האחרונה בהודעה הזו).
תהא העוצמה איתך 318395
לתוהים: המשפט האחרון בספר של קונווי הוא:

"Theorem 100. This is the last theorem in this book.

(The proof is obvious)"
תהא העוצמה איתך 318456
הקטנתי את החלון, ולא הצלחתי להבין את המשפט האחרון שלך.
(סתם.)
תהא העוצמה איתך 318397
זה די מקובל, פשוט כי "שוויון" (או סוגים אחרים של שקילות) מבטא איזושהי תכונה סימטרית בין A ל-B, המתקיימת כאשר משהו קורה בין B ל-A וגם בין A ל-B. למשל, בתורה שעוזי דיבר עליה (ZFC), קבוצות הן שוות בדיוק כאשר יש להן אותם איברים (זו אחת האקסיומות); לכן, כשרוצים להוכיח זהות בין שתי קבוצות בהינתן מידע על האיברים שלהן, מראים שכל איבר של A הוא גם איבר של B, ואז שכל איבר של B הוא גם איבר של A - במילים אחרות, ש-A מוכלת ב-B וגם ש-B מוכלת ב-A.
עוד זווית 318375
"כל קבוצה שלא ניתן לסדר" - אתה מתכוון, כל קבוצה שלא ניתן לסדר בלי אקסיומת הבחירה, לא?
עוד זווית 318388
לא. הוא מתכוון "כל קבוצה שלא ניתן למנות", כלומר לכסות אותה ע"י פונקציה מהטבעיים N; אין הכוונה ל"לסדר סדר טוב" (שאת זה, עם אקסיומת הבחירה, אפשר תמיד לעשות, ואני מניח שמכאן השאלה).
עוד זווית 318405
אכן, תודה.
עוד זווית 318379
''הפרדוקס של ראסל הראה שזו גישה מאד לא מוצלחת'' זה ניסוח קצת גס, הרי העובדה שהשתמשו בגישה הזו כל כך הרבה שמן מראה שזאת דווקא גישה מוצלחת למדי, אולי לא מושלמת, אבל בכל זאת מוצלחת.
עוד זווית 318391
אבל לא השתמשו בגישה הזו כל כך הרבה זמן. מתמטיקאים התחילו להתייחס ברצינות למושג הכללי "קבוצה" רק ממש באותה תקופה; לפני כן דיברו רק על "מספרים" (ממשיים, מרוכבים, טבעיים) ועל קבוצות של מספרים, וכאן הבעייה אינה נוצרת כלל וכלל: יש אבחנה ברורה בין עצמים לקבוצות-של-עצמים, ובפרט אין דבר כזה בכלל שקבוצה תהווה את אחד מהעצמים שלה.
What rests on what 317301
יסודות המתמטיקה: לא, אני לא מדבר על משהו שמניח את גדל. גם אם התקווה הפורמליסטית היתה מתגשמת במלואה, זה לא היה נותן "יסוד איתן" יותר מכל דבר אחר שאנחנו בטוחים בו: להטיל ספק זה קל. למה שמודוס פוננס יהיה נכון? מי אמר שאקסיומת האינדוקציה נכונה? התכנית של הילברט שאפה לרדת לדברים כה פשוטים שהם מאוד מאוד סבירים, אבל שום דבר איננו ברור עד שלא ניתן לערער עליו.

השלכות על הפילוסופיה: ברור שאלמלא גדל, יכולנו להמשיך ולהניח בתמימותנו ש-PA, או ZFC, או איזושהי מערכת אקסיומטית אפקטיבית אחרת, באמת מספרת "את כל הסיפור" על הטבעיים, או על עולם הקבוצות, או על משהו אחר: מה שנכון הוא מה שאפשר להוכיח, מה שאפשר להוכיח - נכון. זה היה נוח מאוד (אם כי, כאמור, גם זה לא היה "מוכיח" משהו לגבי יסודות המתמטיקה). כיוון שאין זה כך, נוצר כר נרחב לפעילות פילוסופית: את מה כן כדאי להניח? את מה לא? איך מפרשים תוצאה כמו אי-תלות השערת הרצף? במובן מסויים, ההשפעה העצומה של משפט גדל על הפילוסופיה של המתמטיקה היא שהוא מאפשר לחלקים גדולים ממנה להתקיים.

קל וחומר: הבנתי היטב, אבל כמו שאמרתי, זה לא שלפני גדל המתמטיקה כן היתה יכולה להיות בנויה על יסודות בטוחים, ואחריו לא. היא היתה רק יכולה להיות בנויה קצת אחרת, אולי יותר פשוט. כאמור, על 99.9% מהעשייה המתמטית, כל הפלפולים הללו לא משפיעים.

נוסף על כך, השימוש ב"קל וחומר" כאן אינו נהיר לי. אם א' מסובך, קל וחומר ש-ב' מסובך? מדוע, כי ב' בבירור יותר מסובך מ-א'? מדוע שתורת הספרות תהיה יותר מסובכת, או בעייתית, או לא-משנה-מה, מאריתמטיקה? ברור לגמרי שהיא בד"כ פחות חד-משמעית; אבל סביר גם, למשל, שאין לה כל צורך במושג האינסוף. אז מה אומר הקל-וחומר?
What rests on what 317312
אני מסיק מדבריך (ואני מקווה שאני לא טועה הפעם) שתוכל להסכים להיגד הבא: בעקבות משפטי גדל הוכח שאין מערכת אקסיומטית אפקטיבית ש"מספרת את כל הסיפור" על המספרים הטבעיים (אפילו שבלעדי המשפטים הללו לא היה מוכח ההפך). אז מה הפגם בצעד הבא: "אם כך במתימטיקה, קל וחומר שכך גם בתחומים שמטבעם הם הרבה פחות "נקיים", מוגדרים-היטב, בהירים, בנויים-אקסיומטית, כמו השפה הטבעית, למשל"? זה עשוי להישמע לך טריוויאלי ("בשביל זה לא צריך את גדל") אבל תיזכר למשל בדיון 1539 מדוסקסות שם בעיות לא רחוקות.

מעבר לזה, הנייטרליזציה שאתה עושה להשלכות הפילוסופיות-של-המתימטיקה של משפטי-גדל לא יכולה שלא להישמע קצת מיתממת: "נוצר כר נרחב לפעילות פילוסופית... ההשפעה העצומה של משפט גדל על הפילוסופיה של המתמטיקה היא שהוא מאפשר לחלקים גדולים ממנה להתקיים". אז מה, בסך הכל מדובר בכמה פילוסופים מובטלים שמצאו תעסוקה? הרי ברור שזה לא כך. חסר לי קצת זעזוע, קצת דרמה, קצת ציפיות שנכזבו, משהו... זה לא סביר בעיני להציג את תולדות-פילוסופיית-המתימטיקה כלא יותר מאשר אוסף של טענות והשערות, שחלקן לפתע מקבלות חיזוק מסויים, חלקן נאלצות להתבטל, אחרות מופיעות במקומן וכו'. (פה אני מרחיב את הטיעון שלי, אבל) פילוסופים הם בני אדם, ולאירועים פילוסופיים (הוכחת משפטי גדל, למשל) יש השלכות פילוסופיות שכמעט תמיד חורגות מגרירה לוגית גרידא.
What rests on what 317325
זה לא שזה נשמע לי טריוויאלי, אני פשוט (בכנות, באמת ובתמים) לא מבין מה גדל תורם לדיון על תחומים כאלה.

המשפט של גדל מבוסס על "פרדוקסים" הקיימים בשפה הטבעית באופן הרבה יותר פשוט. אתה רוצה לומר שאין דרך חד-משמעית להגדיר "אמת" בשפה טבעית? קח את "משפט זה הוא שקר". אתה רוצה לומר שגם אם מנסים להצטמצם למשפטים בשפה הטבעית המתארים משהו ברור כמו מספרים, מגלים שלא ניתן לעשות זאת? קח את "המספר הקטן ביותר שלא ניתן לתאר בפחות ממאה מילים". או נסה לחלק את שמות-התואר ל-self-referntial וכאלה שהם לא.

כל הדברים הללו הם אכן "גדליים" ברוחם, אבל הרבה יותר *קל* לראותם ולהבין אותם בהקשר הטבעי שלהם - שפה טבעית. מה שגדל השיג הוא הכיוון ההפוך: תרגום מפתיע שלהם ללוגיקה פורמלית. למה, אם רוצים לשוב ולדון בשפה טבעית, צריך לחרוק שיניים ולסחוב את גדל בחזרה למקומות האלה? מה זה נותן? הפרדוקסים האלה, של השפה, נראים לרבים אזוטריים - אבל זה בדיוק אותה אזוטריקה שגדל הציב בלוגיקה פורמלית. הם בדיוק האנלוגיה הנכונה למשפטי גדל, והרבה יותר סביר לדון בהם מאשר במשפטיו.

אני אמרתי שמדובר ב"כמה פילוסופים מובטלים שמצאו תעסוקה"? זו דרך קצת דמגוגית, נדמה לי, לנסח את מה שאמרתי. שאלת איך הייתי מנסח את ההשפעה שלו על פילוסופיה של המתמטיקה, עניתי. אתה רוצה לדבר על הדרמה האנושית? בבקשה, היא מעניינת; סיפורי חייהם של פוסט, טיורינג, גדל, פרגה, קנטור ואחרים הם מרתקים, ואכן מלאי דרמה (בהחלט גם בשאיפותיהם הפילוסופיות או המתמטיות). לא הבנתי שזה הנושא.
What rests on what 317394
נראה לי שאתה צודק. אני לא בטוח שיש הצדקה להפרדה בין ההשפעות-בפועל של גדל על האופנים שבהם הפילוסופים תופסים את העולם, לבין ההשלכות הפילוסופיות-במובן-החמור שלו; אבל שכנעת אותי שאם מתמקדים בהשלכות הפילוסופיות ה"נאותות" שלו, לא אמורה להיות לגדל השפעה משמעותית מחוץ למתימטיקה. אז יש לי שאלה אחרת, ברוח סקרנית יותר: האם אתה חושב שגם מבחינה היסטורית-בפועל לא היתה לגדל השפעה משמעותית על, נניח, מדע הפסיכולוגיה?
What rests on what 317416
זה יהיה מאוד יומרני מצדי להשיב על השאלה הזו. כמשפט מתמטי הוא בלי ספק זכה לפרסום עצום, ואני גם נוטה להסכים שהוא יצר איזשהו "צייטגייסט" של טענות מגבילות מהסוג של "לא ניתן לעשות X". הוא בוודאי לא התוצאה המתמטית הראשונה מהסוג הזה (אפשר לחשוב גם על אי-הפתירות של משוואות פולינומיאליות ממעלה גבוהה), אבל כנראה שזו התוצאה הראשונה מסוגה ששבתה - מסיבות טובות, או לא - את דמיונם של רבים.

האם פסיכולוגים הגיעו לתובנות נכונות, מעניינות או חשובות בהשראת משפט גדל? אין לי מושג. המאמר נכתב על רקע העובדה שחלק ניכר מהדוגמאות בהן מתייחסים *מפורשות* למשפט גדל כדי "להראות" משהו הן שגויות באופן יסודי, אבל אין לי יכולת לקבוע אם הפרסום שהמשפט זכה לו "הזיז" משהו בראש של הרבה אנשים שלא ניסו לגזור ממנו משהו ישירות אלא סתם שינו את הגישה הכללית שלהם לחיים.

כאמור, אני חושב שגם אם זה קרה, זה היה יכול ו"צריך" לקרות גם אם אותם אנשים היו מתעמקים בפרדוקסים-לכאורה של השפה, למשל. מה שגדל נתן להם הוא תרגום של זה למתמטיקה, אבל מדוע דווקא התוצאה המתמטית הרטיטה את ליבם, כשהמקבילות שלה בשפה הטבעית הן נגישות יותר? תשובה יומרנית אפשרית היא שאנשים מייחסים חשיבות רבה (ומוגזמת) לתוצאות מתמטיות, חשיבות רבה יותר ככל שהם מבינים אותן פחות. זו כשלעצמה תופעה מעניינת (אם היא נכונה).
What rests on what 317424
"אבל מדוע דווקא התוצאה המתמטית הרטיטה את ליבם, כשהמקבילות שלה בשפה הטבעית הן נגישות יותר?"
אתה יכול לתת דוגמא למקבילה כזאת (פרדוקס-לכאורה בשפה הטבעית, שגדל תרגם *אותו* למתמטיקה?
What rests on what 317429
פרדוקס השקרן:

What rests on what 317431
הזכרתי שלושה כאלה בתגובה 317325.
What rests on what 317462
יפה. חשבתי שאולי לכאלה הכוונה, אבל לא הייתי בטוחה. אם כך, שני דברים:

1. קשה מאוד לקרוא למשפט גדל "תרגום" של פרדוקסים כאלה. למעשה, זה אפילו לא תרגום במובן שאתה תתרגם את הפרדוקס של ראסל לפרדוקס הספר. כי גדל הרי מרחיב מאוד את ההסתכלות הטבועה בפרדוקס השקרן, ובאופן לא טריוויאלי: קל מאוד לבוא "אחריו", ולומר - "פרדוקס השקרן כבר אומר את זה". אבל זה ממש לא מדויק: פרדוקס השקרן מדבר על עניין "נקודתי" לכאורה, ואילו משפט גדל מדבר על מערכות.

2. ודאי זכור לך שהתקיים כאן לא מזמן דיון על ההתפתחויות הרלוונטיות שחלו במהלך חמשים השנה שקדמו למשפט גדל ואפשרו אותו. אם אינני טועה, כל - או לפחות רוב מוחץ - מההתפתחויות שהזכרת, לא היו "מתמטיות" טהורות, אלא יותר מכיוון הפילוסופיה של המתמטיקה (כמו "הפרינקיפיה", למשל). כעת לדעתי, אותן התפתחויות התרחשו על רקע פורה של התפתחויות בחשיבה הכללית (אותו צייט-גייסט שהזכרת), בעיקר בכיוון של דגש על self-refference בתחומים תרבותיים שונים. במובן הזה, נראה לי סביר ולגיטימי "לרפד" את התרבות במשמעויות שונות המהדהדות ממשפט גדל - גם אם במסגרת מתמטית טהורה אין הוא מוכיח אותן כלל.

(דיסכליימר: מכאן אין להסיק שאני מסכימה עם טענה כלשהי מבין אלה שציטטת כשגויות).
What rests on what 317625
1. "מערכות" (פורמליות, אפקטיביות, אריתמטיות, עקביות) זה עניין אפילו-פחות-מנקודתי עבור העוסקים בפסיכולוגיה, למשל. כאמור, אני לא יודע אם בכלל אפשר לעשות משהו בפסיכולוגיה בעזרת התובנה הגדלית, אבל גם אם כן, עדיין נראה לי יותר סביר להשתמש בדמויי-גדל בשפה הטבעית (יותר סביר בדיעבד. עכשיו מאוחר מדי...)

2. ה"ריפוד" הזה הוא בסדר אם הוא נעשה בצורה מפוכחת; יותר מדי פעמים, הוא לא. אין לי שום דבר נגד אנלוגיות והשראה.
What rests on what 317677
האמת, הייתי חושבת הרבה יותר על פילוסופיה וספרות מאשר על פסיכולוגיה, מאידך גיסא, כיוון שממילא אין כאן תהליך של "הוכחה", העובדה שגדל דיבר על מערכות אפקטיביות, עקביות וכיו"ב - איננה רלוונטית כלל ועיקר: אני מניחה שה"גזירה" ממנו מתייחסת בעיקר להסתכלות "מתוך" מערכת מסוימת או "מחוץ" לה - וזה מספיק כרעיון טוב להרבה דברים, שאינו נגזר אוטומטית מפרדוקס השקרן, למשל.
What rests on what 317538
>כאמור, אני חושב שגם אם זה קרה, זה היה יכול ו"צריך" לקרות גם אם אותם אנשים היו מתעמקים בפרדוקסים-לכאורה של השפה, למשל. מה שגדל נתן להם הוא תרגום של זה למתמטיקה, אבל מדוע דווקא התוצאה המתמטית הרטיטה את ליבם, כשהמקבילות שלה בשפה הטבעית הן נגישות יותר? תשובה יומרנית אפשרית היא שאנשים מייחסים חשיבות רבה (ומוגזמת) לתוצאות מתמטיות, חשיבות רבה יותר ככל שהם מבינים אותן פחות. זו כשלעצמה תופעה מעניינת (אם היא
נכונה).

זה דווקא נראה לי ברור. כשמסתכלים על פרדוקסים ובעיות בשפה טבעית מהר מאוד מגיעים למסקנה שרובן ככולן נובעות מניסוח בעייתי או עמימות. מה שמשפט גדל מראה הוא שאחרי שמקלפים את העמימויות, נשארים עם טיעון מדויק וחזק שמסוגל להוכיח משהו. במילים אחרות, יש משהו אמיתי מתחת לבלגן של השפה הטבעית.
What rests on what 317990
דווקא התוצאות-דמויות-גדל בשפה הטבעית לא נובעות מעמימות; נהפוך הוא, הן *מראות* שיש עמימות בלתי-נמנעת בשפה - וזו, נדמה לי, ההשראה שהרבה אנשים מנסים לשאוב ממשפט גדל. אבל אני מסכים גם עם זווית הראייה שלך :-)
What rests on what 319225
ולאו דווקא בפילוסופיה המתימטית שלהם - לדוגמה, דעותיו האנטישמיות של פרגה. האחרים ברשימתך אינם, כמדומני, מעניינים פחות בתלאותיהם/מאווייהם/דעותיהם.
What rests on what 319719
הי, נחמד לשמוע ממך שוב.

(לא ידעתי על דעותיו האנטישמיות של פרגה. מעניין).
What rests on what 319904
הי.

במצב זמני והאנרגיה הפסיכופיזית הנוכחיים שלי כנראה היתה צריכה להיות כתבה מעניינת מאוד על-מנת לעורר אותי מההייברנציה.

לגבי פרגה, נדמה לי שבאחד מספריו של הפילוסוף מייקל דאמט (cf. http://www.iep.utm.edu/d/dummett.htm) כנראה ב- "Frege: Philosophy of Language", הוא מיצר בהקדמה על-כך שהוא בדיוק גילה שאחד מגדולי הפילוסופים של כל הזמנים היה אנטישמי*. הוא כמובן מתייחס שם לפרגה. יש להבין כי דאמט הקדיש חלקים גדולים ביותר מהגותו הפילוסופית לחקר כתבי פרגה, והגותו שלו (של דאמט) היא סינתזה מוזרה בין פרגה וויטגנשטיין.

ד"א, אני ממליץ לך לקרוא את/לעיין ב ספר אחר של דאמט בשם "Truth and other enigmas", שאחד המאמרים שם נקרא:
"The Philosophical Significance of Godel's Theorem".
מאמרים נוספים שם שעשויים לעניין אותך לדעתי הם:
"Platonism"
"The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic"
"Wang's Paradox"
"Is Logic Empirical"
"The Justification of Deduction"

יש סיכוי מצויין שתבין אותם טוב ממני...

* הוא בטח אומר משהו קצת אחר, אבל אין ברשותי הספר.
What rests on what 319909
תודה שהזכרת לי מי כתב את "Truth and other enigmas": אני נזכרת מדי פעם בספר הזה ובשמו המקסים, ומשום מה שוכחת שזה דאמט.
No worries 319913
What rests on what 320063
תודה. את המאמר

"The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic"

יש לי (מופיע בקובץ החצי-מעניין-חצי-מתסכל של בנסראף ופטנם), ואני חושש שלא הגעתי רחוק בקריאתו; נתת לי מוטיבציה לנסות שוב. אם אצליח, אולי אנסה גם את ספרו.
כן, אבל... 317327
"אני *לא* טוען: "אם אין אריתמטיקה שלמה, קל וחומר שאין תורת ספרות שלמה". זה טריויאלי, כמו שאתה אומר."
מה טריוויאלי בזה? מה הקשר בין אריתמטיקה שלמה לתורת ספרות שלמה?
כן, אבל... 317390
לא בהכרח יש קשר. זה שאין תורת ספרות שלמה (במובן הלוגי-מתימטי) זה טריוויאלי בפני עצמו, בלי קשר לגדל, כמו שאלון אמר.
בספרים, בשירים, במפות הכוכבים 317636
אני חושב שהבעיה היא לא שתורת ספרות לא תהיה שלמה, אלא שלא ברור בכלל איך יכולה להיראות תורת ספרות פורמלית.
כן, אבל... 317502
רציתי להעיר משהו לגבי האמפיריות של הפיזיקה. לדעתי המרחק בין הפיזיקה לפחות בתחום של חזון התאוריה הסופית (GUT) לבין המערכות הפורמליות שתארת הוא קטן ממה שאתה חושב.
האפשרות להכריע בין תורות איחוד קונסיסטנטיות היא בעיקרו של דבר בתחום האנרגיות הגבוהות (מכאן השם פיזיקה של אנרגיות גבוהות). המדובר כאן בתחום אנרגיות שהוא מחוץ להישג ידנו בכל טווח זמן נראה לעין (ואפילו אם הפיזיקאים יצליחו לבלבל את מוחם של נבחרי הציבור ולהשיג מהם את מיליארדי הדולרים הדרושים לבניית העל-מאיצים SSC). עובדה זו הופכת את התאוריה הפיזיקלית הזאת להרבה פחות אמפירית ממה שאתה משער. במקרה הטוב מדובר בתאוריות שניתן לבדוק את התנהגויות הקצה שלהן. המטרות של הפיזיקאים הללו הן די דומות למה שהגדרת כמציאת מערכת עקיבה ושלמה עם מספר מינימלי של אקסיומות (במקרה הפיזיקלי מדובר הן בהנחות יסוד, כמו ההנחות של היחסות והן בקבועים מספריים שרירותיים הנכנסים לתאוריה).
בין השיקולים בבחירת התאוריות הללו תמצא שיקולים שיראו לך מתמטיים לעילא ולעילא כמו סימטריה ו"קומפקטיות" (במובן של מציאת המספר המינימלי ההכרחי של אינטראקציות בין שדות).
שישו ושמחו בשמחת תורה 317637
נכון שהרבה תורות פיזיקליות, ואולי כולן (לפחות בפוטנציה) מנוסחות כאקסיומות. אבל זה עוד לא עושה מהן מערכות פורמליות! האם הן מנוסחות בשפה באמת פורמלית? איך מנסחים בשפה הפורמלית את מצב הניסוי (אם זה באמת מה שרוצים לעשות)? מהם כללי הגזירה? מהי הוכחה, ומהו משפט? ואם (כפי שנראה לי) זה מהלך לא טריוויאלי, מהי בעצם המטרה שלו?
שישו ושמחו בשמחת תורה 317652
אני חושב שאיני מסכים איתך. מפאת קוצר הזמן אסתפק כרגע בראשי פרקים.
א. אני ממליץ (גם לעצמי) לקרוא את ספרו הפופולרי של סטיבן ויינברג/חזון התאוריה הסופית העוסק בדיוק בעניין זה.
ב. כאשר אתה מזכיר מערכות פורמליות אתה מתכוונן (tuned) לדוגמאות היותר פשוטות שמציג או רומז אליהן אלון, המנוסחות לצורך בהירות הדברים וחדות ההצגה. מדעי הטבע אם בכלל דומים יותר למערכת ה-PM המורכבת יותר.
ג. בניגוד למתמטיקה הדורשת מנגנון הקשים חד משמעי ובלתי ניתן לערעור, מדעי הטבע מדברים על מנגנון היקשים הרבה יותר אמורפי, לא עקבי ולא שלם. וינברג מדבר על שרשרות הסברים ומערכות חיצים המוליכות אל העקרונות הבסיסיים יותר ומציין את הקשיים הרבים שיש ברדוקציוניזם הפיזיקלי.
ד. אחד הדברים שאני נוטה להסיק ממאמרו של אלון (שוב בהיקש שבודאי אינו "מתמטי" ובלתי ניתן לערעור) שאי אפשר להגיד שמשפטי גדל אומרים שלא תיתכן תאוריה סופית של מדעי הטבע.
ה. פילוסופית המצב רע יותר: ויטגנשטיין: "ביסודה של כל ראיית העולם המודרנית עומדת האשליה כי 'חוקי הטבע', כלשוננו, הם המסבירים את תופעות הטבע". על כך עונה ויינברג: "אזהרות כאלה משאירות אותי אדיש. לומר לפיסיקאי כי חוקי הטבע אינם מסבירים את תופעות הטבע, הרי זה כמו לומר לנמר שוחר טרף שכל בשר אינו אלא עשב."
ו. לומר שתאוריות פיזיקליות אינן עונות על הדרישות המוגדרות היטב של מערכת פורמלית מתמטית כזו או אחרת, אינו שקול לאמירה שתאוריה פיזיקלית איננה מערכת אקסיומטית משום סוג שהוא. המכניקה הניוטונית היא דוגמה לאחת כזאת הבנוייה על האקסיומות של 3 חוקי התנועה של ניוטון ושיטת ההקשים שלה בנוייה על החשבון הדיפרנציאלי.
שישו ושמחו בשמחת תורה 317938
אני דווקא כן מסכים עם כל מה שכתבת. אם "מערכת אקסיומטית" זו פשוט מערכת שמבוססת על אקסיומות, ואין שום דבר חוץ מזה שמקרב אותה להיות מערכת פורמלית, אז אני קונה.

מצד שני...
עכשיו אני נזכר שדווקא קראתי בזמנו מאמר מ- 1948 שהוא אבן יסוד בפילוסופיה של המדע, של המפל ואופנהיים (למגגלים: Hempel-Oppenheim), שמנסה לפרמל את תהליך ההסבר המדעי: הוא מראה באופן סכמטי איך לבנות שפה פורמלית עבור תיאוריה פיזיקלית ומערך ניסוי, ומעליה אקסיומות וחוקי גזירה. (עכשיו אני עובר לניחוש מושכל של מה הוא הציע) המערכת הפורמלית היא לוגיקה מסדר ראשון, שמוסיפים לה כאקסיומות את האקסיומות של התיאוריה הפיזיקלית, ואת מצב הניסוי ההתחלתי. אמ"ם התיאוריה חוזה נכון את תוצאת הניסוי, אז המצב הסופי שלו יתקבל כמשפט במערכת הפורמלית. מכאן קל להמשיך לצעד הבא: איך קבוצת ניסויים מאוששת או מפריכה (פורמלית!) את התיאוריה.

כאמור, לא טריוויאלי; אני לא בטוח מה היתה המטרה שלו במהלך הזה (במאמר זה לא הובהר). נדמה לי גם שבערך כל תולדות הפילוסופיה של המדע מאז הן ביקורות על המאמר הזה, שגם אם הבנתי אותן אני לא זוכר.
יופי 316831
מאמר מעניין ובהיר, כצפוי. הוא מרגיש לי כמעין סיכום לשיחתנו בדיון על אלוהים והקוביות. אני חושב, גם כן כצפוי, שאתה מפספס משהו מאוד חשוב.

להרבה אנשים, כשהם לומדים או שומעים על משפט גדל, יש ההרגשה שהוא מצביע על איזושהי אמת עמוקה ורלוונטית יותר מאשר לתחום המתימטיקה. האנשים האלה עשויים להיות חוקרי ביקורת הספרות, מאזיני היפ-הופ צעירים וגם פילוסופים מעמיקי-חשוב.
משפט גדל הוא משפט בלוגיקה פורמאלית. בגלל שההשלכות שלו חורגות, לדעת רבים, מתחומה המצומצם של המתימטיקה, נוטים אנשים לנסח את מסקנותיהם ממנו בשפה לא פורמאלית, או בטיעונים שאינם ריגורוזים מספיק. ניסוחים אלה גוררים זלזול וביטול מקרב אנשים שפורמאליות חשובה בעיניהם, והם מתייחסים למסקנות כאל נפנופי ידיים אסוציאטיביים ולא טורחים להתייחס לגוף הטענה. וזה חבל.
אין ספק שבדיון פילוסופי יש חשיבות רבה לניסוח בהיר ופורמאלי של טיעון. אבל העדרו של ניסוח כזה אינו מהווה הוכחה להיות הטיעון שגוי. בנושא כמו משפט גדל, שמדבר על המוגבלות של מערכות פורמאליות (לא כולן, אולי), אין פלא שקשה לנסח את ההשלכות בצורה פורמאלית.

*******

אני חושב ששנה הבאה תהיה שנת המאה להולדתו של גדל ושמעתי שלפחות באוניברסיטה העברית יהיו כל מיני דברים לכבוד זה. אז נראה לי שאפשר להכריז בזאת על פתיחת עונת גדל באייל?
יופי 316835
אם אותם פילוסופים עמוקי חשוב או מאזיני היפ הופ צעירים רוצים לומר משהו - מצוין. הם מוזמנים לומר. לשם מה הם צריכים להיתלות באילנות לא רלוונטיים לשם כך? אם יש חכמה בדבריהם היא תישמע גם מבלי לתלות את הדברים בגדל.
הפורמליות של משפט גדל היא לא בשוליים. היא המהות.

ומשהו אחר:
בדומה ל abuse שעושים למשפט גדל, נראה שתורת היחסות ("הכל יחסי") ועיקרון אי הוודאות, זוכים ללא פחות התעללות. וגם כאן, מותר לדבר על יחסיות בפילוסופיה כמו גם על אי וודאות, אבל אין צורך להגיד ש"הכל יחסי כי איינשטיין אמר".
יופי 316914
איזו התעללות עובר עקרון אי הודאות?
יופי 316918
מהסוג של ''אין אמת מוחלטת... אין מציאות אחת... המציאות אינה מוחלטת...'' ושאר שיחים פוסט מודרניים.
יופי 316921
או למשל ''אפילו גדולי המדענים טוענים שהמדע לא יכול לגלות הכל''.
יופי 316923
שלא לדבר על ''הצופה משפיע על תוצאות הניסוי, ולכן אין אפשרות לדבר על אמת אובייקטיבית''.
יופי 316929
זה עוד כלום. מה עם "המתודולוגיה המדעית נכשלה, והותירה פער שרק הסתכלות של האדם פנימה יכולה למלא. רק דרך ההכרה ניתן להכיר את היקום."?
יופי 317006
ומה תגידו על "אפקט הפרפר"...?
(או על הבחור שניסה לא מזמן להרשים בנוכחותי את ידידותיו בגילוי: "אתן יודעות שהסרט מבוסס על תאוריה של פרויד"...? תגידו לי, איך הייתי אמורה *להתחיל* להסביר למה אני מתגלגלת על הרצפה מצחוק?...)
יופי 317456
אשמח אם תצליחי להסביר *לי* למה את התגלגלת מצחוק. ואם אפשר - להימנע מלגחך גם עליי.

לדעתי בסרט בולטת מאוד הגישה הפרוידיאנית, שנגזר על אדם לשחזר את שגיאותיו (ואת שגיאות הוריו) במהלך חייו. ואם נוסיף לכך את התקווה שמודעות לשורש הבעייה אי־שם בילדות מאפשרת להשתחרר ממנה, לא נותר ספק שהתסריט מכיל התייחסות מודעת לפסיכואנליזה.
בלבלות 317494
כנראה שלא הבהרתי את עצמי. הבן אדם חשב שהתורה ממנה נגזר הרעיון עצמו של *אפקט הפרפר* היא של פרויד. מכאן ההתגלגלות. חשבתי שכוונתי מובנת, שהרי לא דיברנו על הסרט הזה אלא על התופעה- שבגלל שהכל, כולל מדע, שייך כבר ל"תרבות הפופ" (מגמה חיובית באופן כללי, לדעתי), כל טמבל ששמע על איזו תורה מסרט ויודע איזה שם חשוב, מחבר ביניהם אוטומטית ע"מ שישמשו את המטרה שלו (למרות שבמקרה הזה לא מדובר באיזה אג'נדה מורכבת, אלא רק בלהרשים כמה בנות). בסופו של דבר, לבחור בדוגמה הנ"ל אין בעצם מושג מי הגה את הרעיון של אפקט הפרפר ומה בעצם הוא אומר במקור, וכנראה שגם לא מתמצא במיוחד במפעלו של פרויד.
על אי-הבהירות אני מתנצלת.
כהערת שוליים- גם אז לא צחקתי על הבחור ההוא- הצחיק אותי המצב; ובהחלט גם עלייך אינני מגחכת.
בלבלות 317511
אולי הוא חשב ש''אפקט הפרפר'' פירושו ''האפקט שיש ל''פרפר'' על הבחורות בסביבתו''...
בלבלות 317647
אם את כל כך חכמה- מי (בלי גוגל) באמת הגה את "אפקט הפרפר"?
בלבלות 317818
אדווארד לורנץ. לא כל-כך חכמה, יותר סקרנית. עם זיכרון טוב. ומדען בתור אבא. (חכמה היה אומר שאני גם מבינה את תורת הכאוס יותר מבצורה בסיסית ביותר- מה שלא נכון).
1:0 לטובתך 317821
1:0 לטובתך 317834
אני משתדלת... :)
1:0 לטובתך 317838
עכשיו שהנושא הוסדר, שאלה אחרת- נניח שאותו בחור היה אומר שהסרט מבוסס על תורתו של *לורנץ*, לא היית גם פורצת בציחקוקים?
1:0 לטובתך 317848
זה כבר תלוי בשאלה אם היא מ''ט או לא.
1:0 לטובתך 317859
תראה... כן, אבל לאו דווקא בגלל הסרט עצמו. הוא לא ניסה להגיד שהסרט מבוסס על זה, הוא רק חזר על משהו שהוא שמע (או אולי יותר מדבר אחד שהוא שמע וערבב בראש), בצורה ריקה לחלוטין... אני בזמנו עוד לא ראיתי את הסרט ואני חושבת שגם הוא לא, לפי המשך השיחה שהייתה.
מאז ניסיתי לראות את הסרט פעמיים, והוא הצליח לשעמם אותי כל-כך שאין לי מושג מה קורה בו בסופו של דבר. אבל מהמעט שראיתי, בתור "השאלה ספרותית" של הרעיון *הפואטי* באפקט הפרפר (ובהחלט יש משהו יפה ברעיון הזה), אני מבינה למה השתמשו בזה, וזה אפילו לא מצחיק אותי, זה בעיקר חבל לי- לדעתי זה יכל לשמש כותרת לסרט טוב בהרבה (עם רעיון דומה אולי, וביצוע אחר לחלוטין).
1:0 לטובתך 317865
למעשה, הסרט די נוגד את העקרון שבשמו הוא נקרא. הרעיון הוא ששינויים קטנים בתנאי ההתחלה יגרמו לשינויים גדולים בתוצאות. בסרט מודגם בעיקר איך שינויים *עצומים* בתנאי ההתחלה גורמים לשינויים גדולים בתוצאות.
1:0 לטובתך 317887
כשאני חושבת על זה, אתה צודק.
הסרט עצבן אותי כנראה ברמות כל-כך בסיסיות שלא חשבתי בכלל על הקשר בינו לבין התופעה על שמה הוא קרוי‏1. כמו שאמרתי, אפילו לא הצלחתי לסיים אותו, ובאמת שננתי לו צ'אנס- פעמיים.
אם הבנתי מאחרים, הסרט סותר את העקרון בכלל- הגישה בו היא שמה שלא משתנה, הגורל שלהם הוא לסבול כל עוד הם ביחד (זה נכון? ככה הבנתי מאחרים שראו). אם זה באמת כך, אין שום קשר בין הסרט הזה, בו אפילו השינויים הגדולים לא מזיזים כלום (מבחינת גורל, במקרה הזה), לבין "אפקט הפרפר", על-פיו כל דבר קטן יכול לשנות הכל...
אבל שוב, אני אפילו לא בטוחה שאני צודקת בהקשר הזה. באמת באמת שזה פשוט סרט משעמם, חטא שבסרט הוא אחד הגדולים, לדעתי, המאפיל על כל השאר.

____________

1 קרוי זו מילה נכון? ככה כותבים אותה? (פתאום נראתה לי מוזרה)
1:0 לטובתך 317903
אני דווקא מאוד נהניתי מהסרט, אולי זה עניין של טעם.

(ספוילרים ל"אפקט הפרפר" החל מעכשיו)
להגיד "הגורל שלהם הוא לסבול כל עוד הם ביחד" נשמע לי כמו פרשנות עקומה מאוד, למרות שבפועל הסרט מסתיים כאשר הגיבור מבין שהדרך הטובה ביותר למנוע את כל הצרות היא למנוע את הידידות שלהם כבר מגיל צעיר.

אז למה האמירה לא נכונה? ראשית כי רוב הזמן הם בכלל לא בייחד. רק בפעם אחת (שבה בגלל הסבל של מישהו אחר גם הם סובלים בסופו של דבר). בשאר הפעמים אחד משניהם סובל (או מת), אבל הם לא בייחד ממילא.

שנית, כי אני נוטה לפרש את המסר של הסרט ככזה שיוצא נגד מושג ה"גורל", אבל לא הולך לחלוטין לכיוון השני. הוא מראה שהגיבור מסוגל לשלוט על הגורל שלו עד רמה מסויימת, אבל שלנסיונות השליטה הללו יש מחיר, והוא אף פעם לא ישלוט בהם עד הסוף. נכון, יש אספקט של דטרמיניזם, אבל באותה מידה אפשר לומר שהגורל שלי קבע שאני אף פעם לא אחטיף בוקס לנפוליאון.

למרבה הצער, אני חושב שהבמאי לא הסכים איתי בקשר ל"גורל" לפי מה שהבנתי שקורה בגרסת הבמאי. (ממה שהבנתי, הגיבור מגיע למסקנה שה"גורל" שלו היה לא להיוולד כלל, ולכן הוא חוזר ללידה שלו והורג את עצמו. נשמע איום ונורא).
1:0 לטובתך 317909
כמו שאפשר היה לנחש, אני דווקא אהבתי את הסרט מאוד. לטעמי הוא העביר בהצלחה גישה מקובלת בפסיכולוגיה על שחזור של יחסים חולניים, מאב לבן ובמשך החיים.

גם שמו של הסרט מוצלח למדי; בחירה קטנה ויומיומית של ילד כמו לישון אצל חברים מובילה לסיפור חיים שונה; עם זאת, ה"גורל" הבסיסי נותר ללא שינוי - עד לסוף הסרט. זה מזכיר מעט את "מושך לורנץ", בו שינוי קל בתנאי ההתחלה מוביל למסלול חדש לחלוטין - תוך שמירת צורת ה־8 האופיינית. מעבר לכך, מופיע דימוי צורני יפה של הפרפר אל המוח ואל כתמי רורשך.

חוץ מזה, איך זה שאשטון קוצ'ר לכשעצמו אינו מקור לעניין בסרט??

ולשאלתך: בעברית המקראית שמוּר הוא מה ששומרים. קרוּא הוא מה שקוראים לו. בעברית המשנאית האל"ף האילמת נוטה להיעלם ומגיעה הצורה היותר מקובלת קרוּי. דוגמה נוספת: מילוי של פחזנית ומילואים בעזה.
1:0 לטובתך 317911
לא מסכים (ספוילרים ל"אפקט הפרפר").

הבחירה של הילד היא לא "לישון אצל חברים". הבחירה היא לבוא לבקר אצלם. התוצאה של החוויה הפדופילית שהגיבור עובר לא ניכרת בו במיוחד (הוא לא ממש זוכר אותה), ועיקר ההשפעה היא אצל הבן והבת של הפדופיל, שברור שההתעללות שלו בהם היא רציפה ולא מאורע בודד. החשיבות של אותו ביקור של הגיבור אצלם היא שבחזרות שלו לאותה סצינה הוא מסוגל לשנות את המשך התגלגלות העניינים. בפעם הראשונה הוא מפחיד את האבא (לא מאורע קטן ויומיומי אלא משהו שהוא היה צריך מוח של אדם בוגר כדי לבצע) וגורם לכך שהוא יחוס על הילדה ויתעלל בילד עוד יותר. בפעם השנייה הוא מפוצץ את הילדה (מאורע יומיומי?).

כלומר, מה שגורם לשינויים ומוביל לסיפור החיים השונה הוא דווקא שינוי חריף מאוד, לא משהו יומיומי.

אגב, מהו "הגורל הבסיסי", לדעתך?
1:0 לטובתך 317920
אני חושש שאתה זוכר את הסרט טוב ממני (אם כי לפחות ההחלטה האחרונה בסרט היא מאוד יומיומית), וניסחת את הדמיון והשוני בין קווי העלילה החלופיים היטב בתגובה 317903. אני זוכר שמשותפת להם תחושה של החמצה, ניכור, וחוסר שליטה - זאת לעומת ההליכה המחויכת הבוטחת והשלמה עם עצמה, שבסצנה המסיימת.
1:0 לטובתך 317923
הגורל הבסיסי הוא, כמובן, ''אינסטיקט בסיסי''.
למדתי משהו- אז עכשיו 1:0 לטובתי 317962
תודה רבה על העברית :)
בעניין הסרט, אין מה לעשות, יש פה עניין של טעם- ואותי אישית קוטצ'ר לא הרשים במיוחד (לא שיש לי טענות גדולות מדי כלפיו, בסך הכל עשה את עבודתו)- אבל אני יכולה להבין למה אנשים אהבו את הסרט.
לגבי השימוש בפרפר בתור דימוי- כבר הסכמתי שהוא יפה ואף פואטי, עם או בלי הקשר מדעי. :)
יופי 318286
"את יודעת שהסרט מבוסס על תאוריה של לפלאס ?"

יופי 316942
אפשר הסבר לבורים לגבי למה זה לא נכון? לי היה נדמה שלהגיע למסקנות כאלה כתוצאה מניסוי שני הסדקים זה לא כזה מופרך
יופי 316945
שלא לדבר על החתול של שרדינגר.
יופי 317050
הפרשנות הפיזיקלית לניסוי 2 הסדקים אומרת שאי אפשר ל"דעת" דרך איזה סדק חולף הפוטון אלא באמצעות תפיסתו באחד מהם. אם לנסות לדייק, צריך להגיד שלכלל הלוגי האינטואיטיבי שלנו האומר שהפוטון בהכרח חלף דרך סדק זה או משנהו אין חלות בתחום הפיזיקה. אם רוצים לקבל תוצאות "אמת" צריך דוקא להניח שהחלקיק עבר דרך שניהם. אם תשימי גלאים בשני הסדקים, והפוטון ילכד באחד מהם, אז ורק אז, תקבלי "אמת" פיזיקלית משמעותית האומרת היכן נלכד הפוטון. (כדאי מאוד לקרוא את סדרת המאמרים המצויינים של ירדן דיון 1177 כדי לקבל הבנה אמיתית שלהניסוי הנ"ל).
לפנייך מערכת הפועלת באופן זהה למעשה לפורמליזם המתמטי שהציג אלון ומגדירה בצורה ברורה מאוד מהי "אמת" פיזיקלית מדידה, מה אינו אמת כזאת ומה בלתי ניתן להכרעה במסגרת האקסיומות והפורמליזם של המתודה.
במדעי החברה המצב שונה. שם באמת קשה בד"כ לזהות ולבודד אמיתות אובייקטיביות מוחלטות.
לכן לומר שמן המדעים המתמטיים אפשר להוכיח שאין אמת מוחלטת והכל סובייקטיבי הוא מופרך. (אחרי הכל, אחד מהעקרונות הבסיסיים של המדע אומר שלא משנה מי ולמה מציב את הגלאי בסדק. התוצאות חיבות להיות זהות(=הדירות).
יופי 317064
"הפורמליות של משפט גדל היא לא בשוליים. היא המהות."
משפט גדל אומר משהו (זה ניתן לוויכוח) *על* הפורמליות. הוא מדבר על המוגבלות של הבעה פורמלית. כך שהפורמליות שלו היא אמנם מהותית במובן מסויים, אבל האי-פורמליות או חוץ-פורמליות של השלכותיו, גם הן מהותיות.
יופי 316870
לי נדמה שעיקר הקצף יוצא לא על אנשים שמנסחים את טענותיהם בשפה לא פורמלית, אלא על אנשים שמייחסים למשפט גדל משמעות שלא קיימת בו בכלל. זו גישה שניתן לראות לעתים בדיונים - אנשים שמתבססים על כך ש"הוכיחו" משהו, במתמטיקה או בפיזיקה, ולכן הוא נכון ואפשר להשתמש בו כדי להצדיק אלף ואחד דברים - אבל הם לא משתמשים במה שהוכיחו, אלא במין גרסה פופולרית לציבור הרחב שלו, שמה שהיא אומרת לא קשור בכלום לדבר המקורי. נראה לי שזה בדיוק מה שאלון דיבר עליו כאן.

אגב, דוגמה לטיעון לא ברור (לדעתי, אולי אני טועה) הוא "בנושא כמו משפט גדל, שמדבר על המוגבלות של מערכות פורמאליות (לא כולן, אולי), אין פלא שקשה לנסח את ההשלכות בצורה פורמאלית". לא ברור לי למה בגלל שמדברים על משפט גדל אין פלא שקשה לנסח את ההשלכות בצורה פורמלית (האם זה קשה? אני לא חושב שזה קשה יותר מאשר קשה לנסח "השלכות" באופן כללי בצורה פורמלית).
יופי 317063
"דוגמה לטיעון לא ברור הוא "בנושא כמו משפט גדל, שמדבר על המוגבלות של מערכות פורמאליות (לא כולן, אולי), אין פלא שקשה לנסח את ההשלכות בצורה פורמאלית""

הציטוט הנ"ל מתגובה קודמת שלי אינו מהווה טיעון. הוא בעיקר מביע את התסכול מהמונופוליזציה שעושים מתימטיקאים למשפט גדל, מונופוליזציה שמרוקנת אותו מתוכנו המטא-מתימטי.

____

משפט גדל עוסק, בין השאר, בהבחנה בין מה שניתן לחישוב לבין מה שלא ניתן לחישוב. בין מה שמוגדר היטב (עד כדי פורמאלית) ומה שנובע לוגית ממה שמוגדר היטב, לבין מה שלא עונה על הקריטריונים האלה.
גם הפילוסופיה הלא-פורמאלית היא מדע נוקשה יחסית. אתה לא יכול להגיד סתם כל דבר, אלא אתה צריך להראות איך מה שאתה אומר נובע לוגית מההנחות שלך, שהן צריכות להיות מוגדרות היטב. הלוגיקה הפורמאלית היא לקיחה לקיצוניות של הנוקשות הזאת בפילוסופיה.
פילוסופים כמו לייבניץ חשבו שבשלב מסויים נוכל לפרמל את כל הפילוסופיה ואז ידיעת האמת תהיה תהליך מכאני לחלוטין. כיום, בפילוסופיה האנליטית האנגלו-סכסית ניתן לראות את ההדים של החשיבה הזאת. הרעיון שמשפט גדל אומר משהו רלוונטי לסוג כזה של פילוסופיה הוא לא בשמיים.

זה נראה לי קצת פזיז לחשוד בפילוסופים כמו סרל ופנרוז (ולוקאס ואחרים) המסיקים ממשפט גדל כל מיני אמיתות רחבות יותר לגבי החישוביות של היקום ושל ההוויה האנושית, שלא הבינו את משפט גדל. ייתכן שבטיעוניהם יש פגם, אבל זה נכון בערך עבור כל פילוסוף בהיסטוריה. לבקר אותם זה נכון וזה חיובי, זה חלק מהתהליך הפילוסופי. לבטל אותם זה טיפשי.
דוגמא מצוינת ! 317086
(למה שאלון ניסה להדגים במאמר).
יופי 317090
לןקאס, סרל ופנרוז עשו שימוש מסוג אחר במשפט גדל. הטיעון שלהם (בהפשטה גסה) הוא: גדל הוכיח שמערכת פורמלית (=מחשב) היא מוגבלת, מסקנה: המוח אינו מערכת פורמלית. (תוצאת משנה: בינה-מלאכותית אמיתית אינה אפשרית).

זוהי שטות, כמובן, משום שאף אחד עוד לא הוכיח שהמוח האנושי אינו מוגבל באופן בו מוגבלות מערכות פורמליות.
יופי 317254
ההפשטה שלך היא גסה מדי. לא קראתי את הטיעונים של סרל ופנרוז, אבל הטיעון של לוקאס הוא אחר. הוא לא אומר שהמוח אינו מערכת פורמאלית רק מפני שמערכות פורמאליות הן מוגבלות. הוא אומר שהמוח אינו מערכת פורמאלית מפני שכשאדם מכיר מערכת פורמאלית, הוא מיד ידע לראות כנכון ("להוכיח") משפט שהמערכת הפורמאלית לא תדע להוכיח. הפגם העיקרי בטיעון הזה הוא שאנחנו לא יודעים שהמערכת הפורמאלית שהיא אדם היא עקבית, ואז אין שום משפט שהאדם יודע כנכון והמערכת הפורמאלית לא.
פרט חשוב שכדאי להזכיר: מטיעונו של לוקאס לא נובע ישירות שהאדם אינו מ"ט מבחינה אונטולוגית, אלא שאם הוא מ"ט, לא ניתן לדעת את התכנות שלה. מ"ט שלא ניתן לדעת את התכנות שלה אינה ממש מ"ט, ולכן האדם אינו מ"ט.

***

אני הייתי נזהר מלכנות "שטות" טיעונים שלא ירדת לסוף עומקם.
יופי 317097
תן לי רק להעיר שהמשפט "המונופוליזציה שעושים מתימטיקאים למשפט גדל, מונופוליזציה שמרוקנת אותו מתוכנו המטא-מתימטי" הוא ממש ממש תמוה בעיני. ראשית אתה מניח שיש לו תוכן מטא-מתמטי (הנחה שדורשת הצדקה מאוד רצינית), ואח"כ אתה נעלב שהמתמטיקאים לוקחים לך אותה בכוח? *מונופוליזציה*? נו, באמת. תעשה איתו מה שאתה רוצה.
יופי 317135
"לבקר אותם זה נכון וזה חיובי, זה חלק מהתהליך הפילוסופי. לבטל אותם זה טיפשי."

מי זה "הם"? את סרל, פנרוז ולוקאס אכן אין טעם "לבטל" - הם בלי ספק אנשים חכמים יותר מרובנו. לא ראיתי שמישהו מציע לבטל אותם. אבל אם אתה מתכוון לטיעונים שלהם, אני בדעה שאם הוברר שבטיעון כלשהו יש פגם מהותי, צריך גם צריך "לבטל" אותו. מה זה אומר בדיוק? לזנוח אותו. להתקדם הלאה. זו לא תלונה עליך דווקא: אחד הדברים שעושים לי אולקוס בצורה שבה מלמדים פילוסופיה הוא הקנוניזציה: טיעון שבזמנו היכה גלים, גם אם הופרך מהר, הופך לקנון, וקורסים אחרי קורסים מתעמקים בו, ואת ההפרכה מזכירים (אם בכלל) רק בהערה - בעוד שלדעתי זה צריך להיות הפוך. דוגמה בולטת: המאמר Two dogmas of empiricism של קוואיין, כנראה המאמר המצוטט והמוערך ביותר בפילוסופיה האנגלוסקסית של המאה העשרים. נכון שהוא ניפץ קונספציה ושינה את פני הפילוסופיה - אבל זה בזכות המסקנה הכללית בסופו, ולא בזכות הטיעון הספציפי שמפורט בו. הטיעון הזה די בבירור לא נכון (וכמה שנים אחר כך הראו זאת באופן משכנע, ובסוף גם קוואיין הכיר בכך)‏1. אז למה שנתונים על שנתונים של סטודנטים משקיעים קורסים שלמים בניתוח מדוקדק של המאמר? לא עדיף לקפוץ ישר למסקנה היותר כללית שלו, שכן שרדה את הביקורת?

יש טיעונים בהיסטוריה של הפילוסופיה שהופרכו מהר, אבל הם מאוד יפים; אותם אני בהחלט רואה טעם ללמוד, פשוט בשביל הכיף, לצד ההפרכה שלהם. אחד הוא ההצעה של רייל לביהביוריזם לוגי; אחר הוא (והנה אני חוזר לנושא המאמר והפתיל) הטיעון של לוקאס. אבל לא צריך לייחס להם יותר חשיבות מלהוכחה מתמטית שהתבררה כשגויה.

1 במקרה הזה המצב יותר גרוע: לדעתי (צריך לומר שזו דעה לא מקובלת במיוחד) המאמר גם לא כתוב טוב כל כך, וחלק מהחולשות בטיעון שבו די קופצות לעין.
יופי 317146
האם אתה יכול להפנות אותי לאותם מאמרים שמראים בבירור שהטיעון של קוויין איננו נכון?
יופי 317153
Grice & Strawson: In Defence of a Dogma הוא תשובה ישירה.
"The Analytic and the Synthetic" של פאטנם מאזכר את המאמר של גרייס וסטרוסון, אבל מקדם את הדיון הכללי הרבה שלבים. יש לו אולי עוד עבודות בעניין זה - אני במקרה מכיר את זו.
יופי 317156
תודה. אחפש.
יופי 317255
הפילוסופיה רצופה טיעונים וביקורות וביקורות-נגד משחר היווצרותה. לימוד פילוסופיה אינו לימוד מסקנות סופיות מפני שמסקנות סופיות אין. גם אם מצאת פגם בטיעון של פנרוז, ייתכן שיבוא מישהו אחר ויראה שהפגם הזה הוא שולי ושעיקר דבריו עומדים. בסופו של דבר קשה מאוד להכריע "נכונות" בפילוסופיה, ואנשים בדרך כלל נוקטים בעמדה מסוימת מתוך איזושהי נטייה אישית שלהם, גם אם הם טוענים בתוקף שזו האמת האובייקטיבית.

אני לא יודע באיזו מידה התעמקו הכותבים הנסערים כאן בטיעונים הנידונים, אבל גם אם התעמקו בהם הרבה (אני בטוח שאלון התעמק בהם) עדיין ייתכן שהם פשוט לא הבינו אותם לעומקם. וייתכן גם שהטיעונים האלה פגומים ולא עקיבים, אבל הקשר שהם רואים בין משפט גדל לבין מסקנתם הסופית הוא אמיתי.
מה שאני מנסה להגיד, זה שעד שלא הוכחת ש*אין* קשר, ועד שלא הוכחת שהאדם *הוא* מכונת טיורינג, אתה עושה עוול לעצמך בהכריזך שההיפך הוא שטות.
יופי 317263
א) באיזה כלים אתה רוצה להוכיח שאין קשר כזה?
ב) באיזה כלים אתה רוצה להוכיח שהאדם הוא מכונת טיורינג?
ג) אם האדם הוא מכונת טיורינג צריך להיות לו זיכרון אינסופי. כנראה שהאדם *חלש* יותר ממכונת טיורינג. לתשומת לבך.
יופי 317266
לא הבנתי.
יופי 317276
באיזה מובן אתה מצפה שתוכח הטענה, לפיה האדם הוא מכונת טיורינג? אמפירית? מתמטית? תיאולוגית? אולי אתה דורש לראות את האלגוריתם על פיו פועל האדם?

אני סתם שואל מתוך עניין.
יופי 317280
אין לי הרבה ציפיות בנידון. אני, אישית, מרגיש שלא ייתכן שהאדם הוא מכונת טיורינג מסיבות שמפורטות בתגובות מרובות לאורך דיון זה ואחרים. אנשים אחרים כאן מרגישים ההיפך. אף אחד לא הוכיח שהאדם הוא מ''ט, וגם לא שייתכן שהוא מ''ט. מאידך גיסא, ההוכחות שלא ייתכן שהאדם הוא מ''ט גם הן לא משכנעות במיוחד בינתיים. כך שהשאלה הזאת נותרת פתוחה ולכולנו יש ההזדמנות המלבבת להתחבט בה בצוותא.
יופי 317282
(וגם ההזדמנות המלבבת להתווכח על קוצו של יוד:)
למה אתה מתכוון שאתה אומר, שאף אחד לא הוכיח שייתכן שהאדם הוא מ"ט? כל דבר הוא בחזקת אפשרי כל עוד לא הוכח אחרת.
יופי 317288
המממ...לא בדיוק.
כרגע ההבדל בין אדם לבין מחשב הוא כ''ך גדול (ומהותי, בעיניי) שהמחשבה שהאדם הוא בעצם מחשב מורכב מאוד שקולה למחשבה שאבטיח הוא בעצם פסנתר ישן מאוד. במקרה השני אני חושב שמוסכם על כולנו שחובת ההוכחה חלה על מי שטוען שזה ייתכן. במקרה הראשון יש מחלוקת.
כך שאפילו ש''כל דבר הוא בחזקת אפשרי כל עוד לא הוכח אחרת'' זה משפט יפה מאוד ולעתים קרובות נכון, בפועל הוא לא עובד עבור כל מקרה.
יופי 317289
אולי כדאי להפריד בין המכשיר המוזר שדרכו אנחנו מתקשרים, לבין מ"ט. זאת מאחר שיש לנו הרבה דעות קדומות על המחשב, והרבה מושגים שאנו מקשרים עם מחשב ואין לה ממש קשר למכונת טיורינג. אתה רואה הבדל בין האדם למחשב כי אתה משווה "יכולות" של שני האובייקטים: זיכרון, עיבוד תמלילים, תקשורת, חישוב, יצירתיות, תנועה, רגש וכו'. למ"ט אין "יכולות" באותו מובן. מ"ט פשוט מחשבת פונקציות.
משמעות הטענה "האדם חזק יותר ממ"ט" ‏1 היא שיש פונקציה שמ"ט לא יכולה לחשב, ואדם כן. אין לי סיבה להניח את הטענה הזאת, באותה מידה שאני מניח שפסנתר אינו אבטיח ‏2.

1 גם הטענה שהאדם הוא *ממש* מכונת טיורינג לא סבירה, כי למכונת טיורינג יש זיכרון אינסופי. כנראה שהאדם, כמו המחשב, חלש יותר ממכונת טיורינג.
2 אם כי יש שאלה אחת מטרידה: האם כל ה"קלט" שהאדם מקבל, לרבות משתנים פיזיולוגיים אקראיים בתוך המוח שלנו, וכל ה"פלט" שהאדם מוציא, ניתנים לתיאור כמשתנים בדידים?
יופי 317290
הטענה אינה שהאדם חזק יותר ממ''ט, רק שהם שונים מהותית. אולי יש גם מובן אחד של ''חזק'' שלפיו האדם חזק ממ''ט, אבל אני לא יודע להגדיר את המובן הזה, ולכן אסתפק בטענה החלשה יותר.

''משמעות הטענה ''האדם חזק יותר ממ''ט'' היא שיש פונקציה שמ''ט לא יכולה לחשב, ואדם כן.''
זה לא בדיוק נכון. האדם בד''ך לא עסוק בלחשב פונקציות. אם אתה עושה רדוקציה של התנהגות האדם לכדי פונקציות, ייתכן שכבר אז איבדת משהו.
יופי 317343
"אולי יש גם מובן אחד של "חזק" שלפיו האדם חזק ממ"ט, אבל אני לא יודע להגדיר את המובן הזה, ולכן אסתפק בטענה החלשה יותר".
ו-"שונים מהותית" אתה יודע להגדיר? לאדם יש אוזניים, למ"ט לא. לאדם אין בתוכו סרט באורך אינסופי, למ"ט יש. למ"ט אין משפחה, לאדם כן. האם הדברים האלה נקראים "שונים מהותית"?

האייל הצעיר נתן את ההגדרה היחידה של שוני שלדעתי יש לה משמעות. קיימות בעיות‏1 שהאדם יכול לפתור ומ"ט לא, או להיפך. אם אין לך הגדרה חילופית למה זה "שונה מהותית", איך אתה מצפה להחליט אם האדם "שונה מהותית" או לא ממ"ט?
______
1 האייל הצעיר קרא לזה "חישוב פונקציות" , אבל חשוב להבין שהכוונה היא במובן הרבה יותר רחב מ-f(x)=x+5. פונקציה היא גם דבר שלוקח את המצב הנפשי של האדם, המצב המשפחתי שלו, הקלט החושי שלו וכדומה ומחזיר תווים של סימפוניה מוזיקלית.
יופי 317354
ניסוח מצוין למה שרציתי להגיד.

נ.ב.
אני חייב להפסיק לראות את העולם כאוסף של אוביקטים, פונקציות, קבוצות וכו'.
יופי 317356
יש כל מיני דרכים להוכיח שהם שונים מהותית מבלי להגדיר מה זה. הדרך של לוקאס‏1 (וכנראה של פנרוז גם כן) היא להראות ששום מ"ט אפשרית אינה זהה לאדם. אולי כולן ביחד יכולות לחשב את כל הפונקציות שיכול האדם לחשב, אבל שום מ"ט ספציפית לא יכולה לעשות זאת. יש הרבה פונקציות שמ"ט יכולה לחשב ושלאדם יהיה קשה, ולכן אני לא מתעקש על "חזק".

"פונקציה" ו"מ"ט" הם מושגים מתימטיים. ה"אדם" אינו מושג מתימטי. לכן על אלה שטוענים שהאדם הוא מ"ט מוטלת חובת ההוכחה שניתן בכלל לעשות רדוקציה משכנעת של האדם למתימטיקה. מודלים סטטיסטיים בסוציולוגיה וכלכלה מנסים לעשות את זה, לעתים בהצלחה מרובה, אבל אף מודל לא יכול לצפות את התנהגותו של אדם יחיד.
_______

1 שיהיה ברור, אני לא טוען שהטיעון של לוקאס הוא נכון וזהו. אלון מצא בו פרכה לא רעה בדיון הקודם שלנו. אבל זה שהטיעון שלו לא מושלם לא מצדיק את הגישה הכללית (שרווחת כאן באייל) לטיעונים אנטי-רציונאליסטיים, בין השאר כאלה שמנסים לעשות שימוש חוץ-מתימטי למשפט גדל.
יופי 317363
אנחנו מתחברים כאן בעצם לדיון בתגובה 317330, אבל אני חייב לשאול את אותה שאלה שנשאלה שם, בשפה שלי:

יש בעולם הרבה מאוד אנשים. האנשים שונים אחד מהשני בתכונות שלהם. יש דברים שאני יכול לחשב ואתה לא, ויש דברים שאתה יכול לחשב ואני לא‏1

לעומת זאת אין בעולם הרבה מכונות טיורינג שונות. למעשה, אין אפילו מכונת טיורינג אחת‏2. מכונת טיורינג היא לא יותר מהגדרה מתמטית, והשאלה האם "פונקציה" מסוימת ניתנת לחישוב ע"י מכונת טיורינג היא שאלה מתמטית.
לכן לא ברור לי מה זה אומר "כל מכונות הטיורינג ביחד"? אם נכתוב את ההגדרה מלא פעמים על מלא דפי נייר זה לא יגביר את כוח החישוב של המודל...
____
1שוב, לחשב לא רק במובן של אינטגרלים כפולים, אלא גם לחבר סימפוניות.
2 בגלל המגבלה השולית של סרט באורך אינסופי.
יופי 317365
לא כל כך הבנתי.

השאלה אינה אם האדם הוא סרט, כמה מצבים וראש קורא, אלא האם הוא ניתן לביטוי באמצעות מערכת פורמאלית או מ''ט (שזה שקול). אני חושב שיותר קל (לי לפחות) לדון במערכות פורמאליות, והן שקולות למ''ט בכל מקרה. מערכת פורמאלית מורכבת מסט (ניתן לחישוב) אפקטיבי של אקסיומות וכללי היסק, כפי שאלון הסביר בצורה בהירה בדיון הזה. הפלט של מערכת כזאת הוא המשפטים של המערכת. הטענה של לוקאס אינה שיש משפט שבן אדם יכול להוכיח ואף מערכת לא יכולה, אלא שעבור כל מערכת נתונה יש משפט שהאדם יודע להוכיח והמערכת לא.
יופי 317028
"להרבה אנשים... יש ההרגשה שהוא מצביע על איזושהי אמת עמוקה ורלוונטית יותר מאשר לתחום המתימטיקה."

ודאי, ואני לא חושב שפספסתי את זה (אחרת לא הייתי כותב את המאמר). הבעייה היא שלהרבה אנשים יש כל מיני תחושות, לפעמים נכונות, לפעמים שגויות. במקרה הזה, חלק ניכר מהתחושות הללו מבוסס על אי-הבנה של המשפט, או על שימוש שגוי במסקנותיו. מי שרוצה לדבוק בהרגשתו זו גם לאחר שהבין בדיוק את תוכן המשפטים ומגבלותיהם - שיבושם לו. כשמישהו כזה מביא טיעון כלשהו המסתמך על משפט גדל, הטיעון יכול וצריך לעמוד לביקורת, ובשביל זה המציאו אנשים כמו טורקל פרנזן ו(בקנה מידה קטן יותר)אני.

לגבי זלזול וחוסר התייחסות - אני באמת מקווה שאתה לא רומז אלי. אם נדמה לך שהפגנתי זלזול בדיון הארוך בינינו, ושלא התייחסתי לגופם של טיעוניך, אני מקווה שלא תראה אותי אף-פעם *באמת* מזלזל במישהו, כי אז תחשוב שאני רוצחו-נפש. הרושם שלי הוא שבהרבה תגובות התייחסתי ספציפית ועניינית לשגיאות שלך, ובהרבה מקרים דווקא ההתייחסויות שלי לא זכו למענה. YMMV.

"העדרו של ניסוח כזה אינו מהווה הוכחה להיות הטיעון שגוי". ודאי שלא. אני מסוגל לעמוד גם בטיעונים פילוסופיים לא פורמליים, ואתה מוזמן לנסות אותי. יש בעייה פצפונת בנושא הזה כשעוסקים במשפטי-גדל: הם מוגבלים, מטבע ברייתם, למערכות פורמליות לגמרי, ואפילו בתוך מערכות פורמליות, למערכות מסויימות עם תכונות מסויימות. אם רוצים לשאוב מהם השראה, ולטעון משהו אחר על העולם - כה לחי. אם רוצים לומר "ממשפט גדל אנו רואים ש..." או "האם גדל לא הוכיח שאדם איננו מחשב?" או משהו כזה, הטוענים צריכים להבין שהם חשופים לביקורת עניינית למדי.

דוגמה למצב כזה יש בתגובה 316781: טיעון, טיעון, טיעון, מסקנה: לא ניתן לתת תיאור שלם של העולם. אני הגבתי ברוגז (לא מוצדק, ואני מצר על כך) עקב העובדה שהמשגים שם נדונו לעייפה עוד קודם; אם תסתכל בתגובתי, יש שם (מבעד לכעס) גם התייחסות עניינית לחולשה האינהרנטית בטיעונים כאלה. אם אתה רוצה לשוב ולדון בהם כאן, בבקשה - רק בקשה אחת: נסה להבהיר מתי אתה משתמש במשפט גדל כמטפורה, ומתי אתה משתמש במשפט גדל.
יופי 317070
מה זה YMMV?
לגבי הדיון הקודם שלנו, אין לי תלונות. נהניתי מאוד ולמדתי הרבה ואני מקווה להמשיך לעשות זאת גם כאן. בכל זאת הייתי רוצה לחלוק איתך את ההרגשה שנוצרה בי שאתה מחפש לפעמים בקטנות במקום לנסות בעצמך להבין למה בן שיחך מתכוון. אם הייתי כותב מאמר על זה, תאמין לי שהייתי טורח הרבה יותר לחסנו מפני ביקורת, אבל בדיון חופשי יש מקום מסויים לרישול.

*_*_*

לגופו של עניין:
השימוש שאני מנסה לעשות במשפט גדל אינו מטאפורי, אך גם אינו פורמאלי לחלוטין, כפי שציינתי לפני שנות דור (האם השלישי נמנע?). הטיעון הוא כדלקמן (אעריך את זה אם תעזור להגיע לניסוח אופטימלי שלו ורק אז תבטל אותו. הביקורת שלך תהיה חזקה בהרבה ככה):

א. נניח שהעולם הוא מכונת טיורינג.
ב. מ"ט, לפי הגדרה, מורכבת מקלט בינארי וממספר סופי של מצבים. בהתאם למצב שבו היא נמצאת ולקלט שאותו היא בוחנת, היא עושה משהו (משנה את הפלט ו\או מחליפה מצב).
ג. היא פועלת באופן דטרמיניסטי. מקלט מסויים במצב מסויים יש תמיד פעולה אחת.
ד. תיאור כזה של מ"ט שקול למערכת פורמאלית עקבית. נכונים בה משפטים כגון "אם הקלט הוא A והמצב הוא a, אז המכונה תעשה B" וכד'. חשוב לציין שלא מדובר במערכת הפורמאלית שמקבילה למכונה עצמה אלא לתיאור שלה.
ה. מכונת טיורינג שהיא העולם מכילה בתוכה גם את האריתמטיקה.
ו. תיאור של מ"ט כזאת אינו יכול להיות שלם.
ז. לא ניתן לתאר את העולם כמ"ט.

עכשיו אלון, הטיעון הזה לא בשל. יש בו נקודות חולשה. אם תוכל להצביע עליהן, אני אנסח אותן מחדש בצורה שתתגבר על החולשה. זה אינו אותו הטיעון כמו זה של לוקאס והמשגים בו (ויש) לא נדונו עדיין. לדעתי הם לא קריטיים.
יופי 317089
1. אם אתה מנסה להחליף את המערכת-שמקבילה-למכונה במערכת-שמתארת-את-המכונה, כל חולשה שתגלה במערכת תהיה חולשה בתיאור המכונה. אבל מ"ט הן (כפי שציינת) אובייקטים מכניים קלים מאוד לתיאור. באיזה מובן תיאור כזה יכול להיות לא שלם? אתה יודע לומר בדיוק מה היא תעשה בכל עת.

2. תוכל להסביר את ה'?

3. תוכל להסביר איך הסקת את ו'? הלא אתה מדבר עכשיו על התיאור של המכונה, לא על המערכת המקבילה למכונה.

אני לא מבין (באמת) מה בדיוק אתה חושב שהרווחת מההחלפה של המערכת בזו המתארת את המכונה.

לדעתי המשגים פה מאוד קריטיים. במקום להגיב על הנקודות לעיל, אתה מוזמן לחשוב על השאלה הבאה. דמיין עולם אחר, לא זה שלנו, שהוא *באמת* מכני. כולו עשוי רובוטים, מחשבים משוכללים ומכונות. נניח שהמכונות באותו עולם ניסחו לעצמן את האקסיומות של PA ו-ZFC, והן מוכיחות בחדווה משפטים מתמטיים במערכות אלה. איך קרה הפלא הזה? זה לא כל כך קשה, לאקסיומות האלה יש תיאור אפקטיבי קצרצר, ומצדי המכונות סתם עלו במקרה על השעשוע המכני הזה, "גזור את המשפט", והן משחקות בו.

אם אתה לא מאמין שעולם כזה קיים, אני אתכנת כזה בעבורך על המחשב שלי. אם תטען שבעצם המעשה הזה הזרקתי את אנושיותי לתוך העולם, אני אעשה את זה אחרת: אכתוב תכנית-מחשב שכותבת את כל תכניות-המחשב האפשריות עד גודל מגה-בייט, ומריצה עותק של כל אחת מהן לנצח. רובן לא תעשינה כלום, אבל חלק מהן תעשינה בדיוק את מה שתיארתי. די דומה למה שקורה ביקום.

האם העולם ה*זה* לא ניתן לתיאור כמ"ט? (ודאי שהוא כן).

אם הנימוק שאתה מנסה להעלות, מה שלא יהיה, אינו תקף לגבי העולם הדמיוני הזה, אבל הוא כן תקף לעולמנו, איזה נתון לגבי עולמנו אתה מביא בחשבון שאינו קיים בעולם הדמיוני? לוקאס ניסה לומר שהאלמנט הזה הוא שבני-אדם יודעים ש-G נכון, ואף מכונה לא. זה, כפי שראינו, פשוט לא נכון. מה המועמד שלך לנתון כזה? האם אתה מסכים שבלי נתון כזה, כל טיעון נדון לכשלון, שכן הוא יהיה לכאורה תקף גם בעולם הדמיוני?

האתגר עבורך הוא לעשות עם הטיעון הזה את מה שהצעת לי לעשות עם הטיעונים שלך: לחשוב עליו.
יופי 317103
אני לא יודע לענות על שאלותיך במונחיהן. אנסח מחדש את הטיעון:

א. בוא נניח שיש לך תיאור של מ"ט שהיא העולם. תקרא לזה מודל פיזיקלי של העולם שבו יש חוקים פיזיקליים שהם כללי היסק והיערכות החלקיקים הראשונית שהיא האקסיומות. זוהי מערכת פורמאלית אפקטיבית ועקבית לכל דבר.

ב. עכשיו בוא נניח שהאדם הוא יצור מכאני, שניתן לתיאור גם הוא ע"י מ"ט שכזו. אני מניח שהמכונה-אדם תהיה חלקית למכונה-יקום. ואם זה נכון אז גם היא צריכה להיות עקבית. (האם מערכת לא-עקבית יכולה להיות מוכלת במערכת עקבית?). בכל מקרה, מודל פיזיקלי של משהו צריך להיות עקבי, נכון?

ג. מערכות שחשופות למשפט גדל כמו PA הן תוצר מחשבתו של האדם, או לפחות מוכלות ע"י מחשבתו של האדם. כלומר, הן חלקיות למערכת שמתארת את האדם כמ"ט. המ"ט שהיא האדם מסוגלת ליצור אותן. אם הן חשופות למשפט גדל (ולכן בלתי-שלמות), אזי גם המערכת שמתארת את האדם וגם זו שמתארת את היקום הן כאלה.

____

מה שהרווחתי בהחלפה של המערכת שמקבילה למ"ט בזו שמתארת את המ"ט הוא העקביות. מערכת שמתארת את המ"ט חייבת להיות עקבית, כי מתוך מערך נתונים וסט מצבים יכולה לנבוע רק פעולה אחת.

לא לגמרי הבנתי מה הדוגמה שלך עם תוכנות המחשב אמורה להראות. איך ניתן להסיק מהן על העולם, מבלי להניח את המבוקש? להזכירך, הטענה אינה שלא קיימים מבני נתונים, אלא שעולמנו שלנו לא ניתן לתיאור ע"י מבנה נתונים.
יופי 317120
____

לא נעים לי לומר, אבל יש לי תחושה חזקה שלא התאמצת במיוחד להבין את הטיעון שלי. הנחת המבוקש? זו היתה הנחת המבוקש אילו הייתי מבקש ממך לדמיין שהעולם הוא מ"ט, ואז טוען שהעולם הוא מ"ט. זה לא מה שעשיתי.

אתה טוען שהאדם/העולם הוא לא מ"ט. ישנם דברים שהם כן מ"ט, נכון? אם כך, באיזו תכונה של האדם/עולם אתה משתמש כדי להראות שהם אינם כאלה? התכונה היחידה שהזכרת עד כה היא "מכילים את האריתמטיקה". אולי אני לא מבין אותך, אבל תכנת-מחשב היודעת להוכיח משפטים בתורת-המספרים גם היא "מכילה את האריתמטיקה"; הלא זה בדיוק מה שבני-אדם עושים בהקשר הזה. אבל תכנת-מחשב כזו כן ניתנת לתיאור כמ"ט, לא? אז מה העניין?
יופי 317256
הדיון התפצל לשניים. הטיעון שלי ותגובותיך, והטיעון שלך ותגובותיי. משום מה לא הגבת לטיעון שלי בתגובתך האחרונה.

___

אני לא יודע כמה התאמצתי, אבל בהחלט יש נקודה שפיספסתי. אמרת שיש מ"ט שיכולה להוכיח משפטים בתורת המספרים? את כל המשפטים? כלומר היא מכילה מערכת פורמאלית של האריתמטיקה שהיא שלמה? מוזר, לא?
יופי 317310
לא "משום מה", אלא בכוונה. אני רוצה שנתמקד, והפעם בא לי שדווקא נתעקש לבחון את הטיעונים שלי.

_____

אני אמרתי "את כל המשפטים"? לא, סתם משפטים. כמו שהאדם לא יכול להוכיח את כל המשפטים. אני אומר: מחשב יכול לעשות אריתמטיקה, והוא מתואר (היטב) כמ"ט. אתה אומר שאדם אינו מתואר כמ"ט. כלומר, אתה מניח שאדם שונה ממחשב. איך אתה מצדיק את ההנחה הזו? איזו אבחנה לגבי האדם מהווה את נקודת המוצא שלך?

אתה מסכים ש*איזושהי* אבחנה כזו נחוצה? "האדם" אינו מושג פורמלי; הוא משהו שאנחנו מכירים אמפירית. כדי להוכיח עליו משהו, צריך להתחיל מאיזושהי תכונה שאנחנו בטוחים שיש לו (כמו "האדם יכול לראות שנוסחת גדל G עבור ZFC היא נכונה"), ואז אפשר להראות שבכך הוא שונה מכל מחשב. כל עוד אין בידינו תכונה כזו, ממה נתחיל?

אז יש לך תכונה כזו? מהי?
יופי 317320
אוקיי, נתמקד בטיעונים שלך, אבל אני מקווה שלא נשכח את הטיעון שלי, כי אני אשמח לשמוע את הביקורת שלך עליו.

___

ההבדל בין אדם לבין מכונה הוא דק. זו בעיה להצביע על תכונה שיש לו, כי כל תכונה שאגדיר, ניתן יהיה להגדיר אותה במונחים של מכונה. האדם שונה ממכונה במקום שהוא דק מכדי הגדרה.
אני אדגים. ניקח את האלכסון של קנטור. האלכסון מוכיח שישנם אינסוף (גדול מא-‏0) מספרים לא מוכרים לנו. הוא עושה זאת ע"י הצבה של כל המספרים מול כל השמות האפשריים (מייצגים את ההכרה שלנו) ומראה שבהכרח קיים מספר שלא נמצא בסידור הזה. את המספר הזה אתה יכול עכשיו להוסיף לקבוצה של המספרים המוכרים, אבל המצב לא משתנה. אתה יכול לעשות את זה עבור כל מספר ממשי שתמצא, והמצב עדיין לא ישתנה.
באותה צורה בענייננו. כל תכונה של האדם שנגדיר תיכנס לרשימת היכולות של המחשב. רשימה זו עשויה להיות אינסופית (בת-מנייה), אבל תמיד יישאר אינסוף (לא בר-מנייה) של תכונות שלא הגדרנו.

(זה אינו מהווה הוכחה, רק מסביר למה ההוכחה לא נדרשת לתכונה מסויימת של האדם)
יופי 317324
______

מה פתאום כל תכונה שתגדיר, ניתן יהיה להגדיר אותה במונחים של מכונה? הנה, עד לפני כמה ימים היתה לך תכונה נפלאה כזו: האדם יודע ש-G נכונה, המכונה לא. כל מה שאני מנסה להראות לך הוא שאם תמשיך להתאמץ את מה שאתה כל הזמן מתאמץ להראות, והוא ש*משפט גדל* אומר משהו על ההבדל הדק הזה, תמשיך להיתקל באותו קיר עד שלא תסביר לי, או לעצמך, מהי אותה יכולת מופלאה של האדם שאין למכונה.

איך ההסבר עם האלכסון מסביר למה ההוכחה לא נדרשת לתכונה מסויימת של האדם? הוא רק מסביר (דרך משל) למה יהיה קשה לנסח כזו. נו, איזו מין סיבה זו לומר שתכונה כזו אינה נדרשת? כי קשה לתת אותה? כל עוד לא תביא אחת כזו, תוכל להמשיך בכיף להניח או להאמין שהאדם אינו ניתן לתיאור כמ"ט, ואני אמשיך להאמין שכן, וכך זה יישאר.
יופי 317357
ההסבר עם האלכסון מראה שאני לא נדרש לשום תכונה מוגדרת מראש. כל מ"ט מסויימת שתביא לי, אני אמצא את הדבר שהאדם יכול לעשות והיא לא. כמו שהוכחת האלכסון נשענת על הסידור הנוכחי של השמות מול הממשיים, אבל היא תעבוד עם כל סידור שהוא.

זה כמו שתבוא לקנטור ותגיד לו: "אתה אומר שיש מספרים שלא ניתן לבטא? תראה לי אחד." וכשהוא לא יצליח, תגיד לו: "ההוכחה שלך לא תקפה".
יופי 317405
אם תוכיח לי שלכל מ"ט מסויימת שאני אביא לך, אתה תמצא את הדבר שאדם יכול לעשות והיא לא, התקדמנו הרבה. אתה יכול? איך? אני לא דורש שהתכונה תהיה "מוגדרת מראש"; מצדי שתהיה לך הוכחה כללית הבוחנת את תכונותיה של כל מ"ט נתונה ומראה שהיא לא יכולה לעשות משהו (התלוי במ"ט הספציפית) שאתה ואני כן.

שוב: מתישהו תצטרך להכניס פה יכולות אנושיות שאתה בטוח לגביהן. על מה אתה חושב בהקשר הזה? מדי פעם הזכרת שהמוח האנושי "מכיל" את האריתמטיקה. הוא לא, לא במובן יותר חזק מזה של מכונה להוכחת משפטים אריתמטיים.
יופי 317452
אני לא יודע למה אתה חוזר לנקודה הזאת בדיון למרות שכבר עברנו אותה. את הטיעון של לוקאס מראש הצגתי בהסתייגות, וקיבלתי, פחות או יותר, את הדחייה שלך אותו. והצגתי טיעון אחר, חזק יותר לדעתי, שאליו עדיין לא התייחסת.
____

"אכתוב תכנית-מחשב שכותבת את כל תכניות-המחשב האפשריות עד גודל מגה-בייט, ומריצה עותק של כל אחת מהן לנצח. רובן לא תעשינה כלום, אבל חלק מהן תעשינה בדיוק את מה שתיארתי. די דומה למה שקורה ביקום.
האם העולם ה*זה* לא ניתן לתיאור כמ"ט? (ודאי שהוא כן)."

אתה בטוח שכל העולמות המכאניסטיים (עד לגודל של מגה-בייט) כלולים בפלט של תכנית המחשב שכתבת? אתה בטוח שלעולם שלנו סיבוכיות סופית?
יופי 317461
התגובה הזו שלך מתייחסת באיזשהו אופן לתגובה שלי, או שהיא סתם פה? אנא קרא שוב את תגובה 317405. איזה טיעון של לוקאס?

ננסה עוד פעם, אני מקווה בפעם האחרונה. אתה מאמין שאנשים אינם ניתנים לתיאור כמ"ט. יופי. אתה מחפש לכך איזושהי הוכחה. אם אתה רוצה, בסדר. עד אתה ניסית לבסס את הוכחותיך על משפט גדל. ההוכחות שלך *כולן*, עפ"י הגדרה, בנויות כך:

1. משפט גדל מראה לנו שלמערכות פורמליות או מ"ט יש תכונה A.

2. לבני-אדם אין את תכונה A.

3. לכן, בני-אדם אינם מערכות פורמליות.

ניסית ש-A תהיה "לא יודעת להוכיח את G", או "מתוארות ע"י מערכות לא שלמות", או "לא מכילות את האריתמטיקה", בווריאציות שונות. לפעמים שגית בטענה שגדל מראה את זה, לפעמים לא. לא חשוב. הנקודה שאני מנסה לעמת אותך איתה היא שכל טיעוניך בשלב 2 מבוססים על תחושות, תקוות או הנחות שאין להן תימוכין יותר מוצקים מעצם ה*הנחה* שאנשים אינם מ"ט. אתה רוצה להניח זאת? סחתיין. אבל אתה מנסה *להוכיח* זאת. בשביל זה עליך *להוכיח* משהו מסוג 2. מהו הדבר הזה? באיזה מובן אתה חושב שאתה יכול להוכיח אותו? אמפירית? אינטואיטיבית? מתוך אמונה?
יופי 317476
אני לא משתמש בסתמי פה. התגובה הזאת התייחסה ישירות לפתיל הנוכחי, שהתפצל לטיעון שלי ולטיעון שלך, ואת הטיעון שלי נראה לי שלא קראת לעומק במיוחד. אני אחזור עליו

א. אתה טוען שהאדם הוא מכונת טיורינג. כדי לתאר איך דבר כזה עובד אתה צריך להגיד לי מה המכונה עושה בכל מצב (אלא אם כן אתה מתכוון למ"ט לא דטרמיניסטית, אבל לא נראה לי שאתה מתכוון לזה).
ב. התיאור הזה שלך את מכונת הטיורינג מהווה מערכת פורמאלית. היא מהווה מערכת פורמאלית עקבית, מפני שמאותו מצב עניינים יש רק תוצאה אפשרית אחת.
ג. אם היא מהווה מערכת פורמאלית עקבית, אז או שהיא לא שלמה, או שהיא פחות חזקה מ-PA, או שהיא לא נאותה.
ד. מאחר והיא מתארת אדם, לא ייתכן שהיא פחות חזקה מ-PA. מכאן שהיא לא שלמה.
ה. לא מדובר במערכת מסויימת. כל מערכת פורמאלית שתנסה לתאר את מכונת הטיורינג שהיא אדם תהיה לא שלמה. לא ניתן לתאר מ"ט-אדם בצורה פורמאלית.

____

אין לי כוונה שהדיון הזה יהפוך אגרסיבי. באמת, אם לא הייתי חושב שיש משהו במה שאני אומר לא הייתי מתעקש. אם הדיון באמת יהפוך לאגרסיבי, גם אז אפסיק להתעקש. אין לי שום אינטרס להוכיח את זה, מספיק לי שאני מאמין בזה. העניין שלי בדיון הוא בלמידה שלי ממנו, ולמדתי ממנו הרבה.
אבל הטיעון שהצגתי לך הרגע, ואותו כבר הצגתי פעמיים, הוא לא אותו טיעון כמו הטיעון שאתה אומר שאני חוזר עליו שוב ושוב. הבנתי את הביקורת שלך על הטיעון הקודם ואני מציב טיעון חדש, אחר מהראשון. אין כאן הבדל בין אדם לבין מ"ט, יש כאן משהו אחר. תעשה לי טובה, אם לא בא לך להתייחס אליו, פשוט תגיד ונפרוש. אין טעם שתשים בפי טיעונים אחרים ואז תבטל אותם כלאחר יד.
יופי 317484
"אין כאן הבדל בין אדם לבין מ"ט"? אתה לא שם לב ששלב ד' בנימוק החדש שלך הוא בדיוק מהטיפוס 2 שהזכרתי? זה המקום בו נכנס המושג "אדם" לנימוק שלך, והוא כולל היגד בלתי0-מוצדק. למה מערכת המתארת אדם לא יכולה להיות פחות "חזקה" מ-PA?
יופי 317486
אולי אני לא מבין למה אתה מתכוון בייצוג של האדם כמ"ט. אם האדם יכול לדעת את PA, ללמוד אותה בקורס לוגיקה או להמציא אותה, אז אני לא רואה איך רדוקציה של אותו אדם לכדי מ"ט תהיה שלמה אם היא לא מכילה בתוכה את PA, אם לא ניתן לבטא כל משפט ב-PA במ"ט הזאת.
יופי 317565
"לבטא כל משפט"? איזו בעייה יש לבטא כל משפט של PA במ"ט? אולי אתה לא ממש מסביר למה אתה מתכוון בייצוג. אני למדתי את PA, כן; ואת מה שאני יכול לעשות עם PA, יכולה גם תכנית מחשב שיקח לי חצי-יום לכתוב.

בפעם השלישית: מה יש לאדם שאין ל-PA? אתה מבין, או לא מבין, ש"לדעת את PA" או "ללמוד אותה בקורס בלוגיקה" או "להמציא אותה" זה לא מספיק?
יופי 317569
מה עם היכולת להוכיח בעזרת ZFC את משפט גודסטיין? (סתם שליפה, אל תירה בי)
יופי 317575
שלח את המ"ט לקורס המתקדם (זה שבו לומדים את ZFC); היא תוכיח לך בחדווה גם את גודסטין. אתה רוצה שהיא *תמציא* את ZFC? תן לה קצת לשחק, וגם זה יקרה (למה לא?)