טרחנים כפייתיים במתמטיקה 1571
על האנשים המשוכנעים ביכולתם לרבע את העיגול, ומה ניתן ללמוד מטעויותיהם על המושגים ''הגדרה'' ו''הוכחה'' במתמטיקה.

לפני שנים אירח צבי ינאי את המתמטיקאי אילן עמית בתכנית "שיחה בשניים". בין השאר הזכיר עמית את שלוש הבעיות הקלסיות בגיאומטריה – ריבוע העיגול, הכפלת הקובייה וחלוקת זווית לשלוש – וציין שכיום אנו יודעים שכל השלוש אינן ניתנות לפתרון באמצעות סרגל ומחוגה. ימים אחדים לאחר מכן קיבל ד"ר עמית (שהוא אבי) מכתב מנומס לביתו. הכותב נהנה מאוד לצפות בתכנית, אך רצה להעלות תיקון קטן – את העיגול, הסביר, אפשר גם אפשר לרבע באמצעות סרגל ומחוגה, ובהמשך אף תיאר איך יש לעשות זאת.

מסתבר שכל מתמטיקאי מקצועי מכיר את התופעה התרבותית המשונה הזאת: טרחנים כפייתיים, תרגום גמלוני לביטוי cranks, ובפרט mathematical cranks. אלו אנשים ממגוון רחב של תרבויות ומקצועות, גברים כמעט ללא יוצא מן הכלל, השרויים בשכנוע עמוק שביכולתם לעשות דבר־מה שהוכח כבלתי־אפשרי (כמו למצוא נוסחה למשוואות ממעלה חמישית), או שבידיהם פתרון קצרצר לבעיה קשה ביותר (כמו משפט ארבעת הצבעים), או שהם זיהו טעות יסודית שכולנו, שוטים שכמונו, הרשינו למורינו לבלבלנו באמצעותה (למשל, ש- 0.9999 =1). לעיתים קרובות הם חשים שתגליתם המרעישה יש בה כדי לחולל מהפכה מוחלטת בחשיבה המדעית, ממכניקת הקוונטים ועד לסוציולוגיה. ומובן שנלווית גם תיאוריית הקשר: הממסד המדעי מתנכר להם מסיבות מסתוריות, ומונע מהם את ההכרה והיוקרה שהם זכאים לה.

במאמר זה נספר מעט על הטרחנים עצמם, וקצת על הבעיות שמושכות כמגנט כה רבים מהם. נתרכז במתמטיקה, למרות שיש טרחנים לרוב גם בפיסיקה, אך ככל הידוע לי לא בשום תחום אחר. למידע נוסף בנושא כדאי לעיין בכמה מהקישורים הנלווים.

הגדרות והנחות־יסוד במתמטיקה

השיטה המתמטית נשענת במידה רבה על הגדרת מושגים והנחות, והסקת מסקנות לוגיות מהם. אחת העובדות שאנשים רבים מחמיצים היא שהמתמטיקאים נוטלים לעצמם את החופש להגדיר ולהניח כרצונם, כאשר המבחנים היחידים הם עקביות (ההנחות לא מובילות לסתירה) ואסתטיות: התורה הנובעת מההנחות היא יפה, מעניינת, לא טריוויאלית ולעיתים אף שימושית. אין, בעצם, משמעות (או חשיבות) לשאלה האם זו "האמת". האם מינוס כפול מינוס זה "באמת" פלוס? האם 0.99999... שווה באמת ל-‏1? האם יש באמת מספר כזה, i, שהוא השורש הריבועי של מינוס אחת? ומדוע המתמטיקאים כל־כך בטוחים ששתיים ועוד שתיים הם ארבע?

המתמטיקאים, באמת, אינם יודעים. לעיתים קרובות מצטטים את ברטרנד ראסל: "מתמטיקה היא התחום בו לעולם איננו יודעים על מה אנחנו מדברים, ואם דברינו הם אמת". התשובה הנכונה לשאלות הללו היא שיש מערכת מסודרת של הנחות והגדרות שבמסגרתן נובעות הטענות המדוברות (גם כללי ההיסק המותרים הם חלק מהגדרת המערכת). אם זה מעניין, אפשר גם להסתכל על מערכות אחרות שבהן "האמת" היא אחרת. יש מצבים בהם שתיים ועוד שתיים הם אחת, יש מישורים בהם יש אינסוף מקבילים לישר נתון העוברים דרך אותה נקודה, ויש תחום מרתק בתורת המספרים שבו המשוואה המשונה

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... = –1

היא נכונה לחלוטין. חשוב לומר שיש אסכולות שונות בפילוסופיה של המתמטיקה, בעלות נקודות מבט שונות על הקשר בין הפורמליזם המתמטי למציאות. זהו נושא מעניין לדיון נפרד, אך עמוק יותר מהנושאים שמענייננו כאן.

רוב האנשים, כאמור, לא מודעים למצב העניינים הזה, ואם כן, זה לא נשמע להם חשוב. ההבדל בינם לבין הטרחן הכפייתי הוא, כמו בבדיחה על הנוירוטי והפסיכוטי, שאת הטרחן זה מרגיז. הוא בטוח שפשוט לא ייתכן שיש טורים אינסופיים מתכנסים, או ש-‏1 איננו מספר ראשוני, או שיש חצוצרה עם נפח סופי ושטח פנים אינסופי, והוא מוכן להילחם על כך בחירוף־נפש. כמובן שוויכוח כזה הוא עקר בדיוק כמו הוויכוח האם לרגלי בשחמט מותר להכות "אגב הילוכו", אבל צא והסבר זאת לטרחן. כאן נתקלים באחת התכונות המשותפות לכל הטרחנים הכפייתיים: אין, לא היה ולא יהיה שום סיכוי להוכיח להם שהם טועים. רבים ניסו, וככל הידוע עד היום איש לא הצליח.

דוגמה אקראית לטרחן מהטיפוס ההגדרתי אפשר למצוא באתר "zerobyzero". כאן נטען שאפס מחולק באפס הוא פשוט אפס (ולא, כפי שטוענים המתמטיקאים, ביטוי לא מוגדר), ויש הרבה מהמוטיבים הנפוצים: כמות מרשימה של מלל, הערצה עצמית והתנשאות (“Don't worry about it. You will get it. It takes time to sink in.”), ומסקנות מרחיקות־לכת להפליא (תוכן העניינים נחתם ב"חיים" ואח"כ "מוות").

אחד הטרחנים הקבועים בקבוצת הדיון sci.math, שעוד נשוב אליה, הוא רוס פינלייסון. בכתיבתו הוא מדגים תכונות אחרות של טרחנים: אי־בהירות כמעט מוחלטת, ובישול מרק ממספר מושגים שהוא ליקט במעורפל לאורך השנים. ברור, עם זאת, שהוא שייך לזן ההגדרתי: אילו ניתן היה ללמד אותו מהם באמת מספרים שלמים, רציונליים, ממשיים ונורמליים, סביר להניח שהאובססיה שלו היתה נמוגה.

יש כמות מבהילה של אנשים שאינם מוכנים בשום אופן לקבל ש- 0.99999... זה בדיוק, אבל בדיוק, אחד, על־פי ההגדרה של פיתוח עשרוני. קל למצוא רבים כאלה ע"י חיפוש אחר “0.999” ב-sci.math. האם הטרחנים הם יצורים נדירים משולי החברה, או שבכל אדם חבוי גרעין הטרחן?

הוכחות אי־היתכנות

כמה מההישגים היפים ביותר של המתמטיקה הם הוכחות לכך שדברים מסויימים הם בלתי־אפשריים. מי שלמד את הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית לא יתפלא לדעת שיש נוסחאות (מפחידות בהרבה) לפתרון משוואות ממעלה שלישית ורביעית. אולם עבור משוואות מהמעלה החמישית, לא קיימת נוסחה מהסוג הזה. זוהי כמובן טענה מסוג שונה לחלוטין. איך אפשר להוכיח שאין נוסחה? איך אפשר להוכיח שאי־אפשר לרבע את העיגול? לא נוכל לדון בשאלות אלו כאן, אך ננסה להסביר לפחות את מהות הטענות.

חשוב לתאר בדיוק את הבעיה. אפשר לפתור משוואות ממעלה חמישית ע"י קירובים נומריים, או באמצעות פונקציות אליפטיות, או ע"י הגדרה של "אולטרה־שורשים", אולם אי־אפשר לפותרן ע"י נוסחה המכילה את ארבע פעולות החשבון ופעולות שורש, בדומה לנוסחה למשוואה ריבועית. יתרה מזו, לא רק שאין נוסחה כללית לפתרון, יש אפילו משוואות ספציפיות עם מקדמים שלמים שאת פתרונותיהן לא ניתן לרשום כביטויים הבנויים ממספרים שלמים, פעולות החשבון ושורשים. עובדות אלה הוכחו בראשית המאה ה-‏19 ע"י נילס־הנריק אבל, פאולו רופיני ולבסוף אווריסט גלואה, והתורה שפותחה כדי להראות זאת היא אחת מהפנינים היפות של מה שהיום כבר נקרא מתמטיקה בסיסית.

באופן דומה, גם משפטי אי־ההיתכנות של השאלות היווניות הקלסיות תלויות בהגדרה מדוייקת של מה מותר ומה אסור. היוונים החשיבו כבנייה גיאומטרית רק פעולות הנעזרות בסרגל (לא מסומן) ומחוגה. יש שלל מכשירים הנדסיים המאפשרים לעשות הרבה יותר, אבל לא זו השאלה. באופן מהותי, אותה תורה מתמטית שהזכרנו הדנה בפתרון משוואות משמשת גם כאן לברר בדיוק את גבולות ההיתכנות: נסו ככל שתרצו, לא תצליחו לבנות מצולע משוכלל בן שבע צלעות עם סרגל ומחוגה. מצולע עם שבע־עשרה צלעות, לעומת זאת, אפשר. טענות אלו היו ידועות לגאוס הצעיר, וריבוע העיגול התרסק סופית כאשר לינדמן הוכיח ב-‏1882 ש-π (פאי) איננו מספר אלגברי.

אין צורך לציין שטענות מסוג "אי אפשר ל..." הן כסדין עז־צבע מתנפנף לעיני הטרחן. הממסד המתמטי טוען שאי אפשר לחלק זווית לשלוש? הבה נעמידו במקומו. עוד במאה ה-‏19 פרסם דה־מורגן ספרים הסוקרים שלל טרחנים שהכפילו, שילשו וריבעו, ומאז נוספו עוד מאות או אלפים. הבעיות הקלסיות זכו לפרסום רב, ומן הסתם מדמים הטרחנים בנפשם הררי תהילה (וכסף) המצפים לפותר. בעניין כסף, מעניין לציין מוטיב נוסף בנוהגם של טרחנים רבים: הם מפרסמים סקירות קצרות של עבודתם, ללא פרטים כלשהם אבל עם שפע סימני קריאה ואותיות גדולות, המזמינים כל דכפין לשלוח סכום כסף ולקבל את העבודה במלואה.

כדי לגוון, נביט בתוצאת אי־אפשרות אחרת, קצת פחות מוכרת: אין אפשרות למנות את המספרים הממשיים, כלומר להתאים לכל מספר ממשי מספר טבעי ייחודי (לממשיים שונים יש להתאים טבעיים שונים. המספרים הטבעיים הם 1,2,3,... והממשיים הם אלה בעלי פיתוח עשרוני, כמו 3.1415926...). במילים אחרות, יש יותר מספרים ממשיים ממספרים טבעיים. אם זה נראה ברור, כדאי לנסות לראות למה כן אפשר להתאים מספר טבעי לכל מספר רציונלי (שבר) באופן כזה.

הטענה שהממשיים אינם בני־מנייה הוכחה לראשונה ע"י קנטור ב-‏1874. ההוכחה (לא המקורית, אבל המפורסמת יותר) ידועה בשם "תהליך האלכסון של קנטור" והיא קצרה, פשוטה ויפה מאוד. כנראה שמסיבות אלו בדיוק היא הייתה ועודנה מטרה לחיציהם של טרחנים רבים. פתילים של אלפי הודעות ב-sci.math נכרכו סביב אותו אלכסון פשוט ומאמריו של מרק אדקינס, אחד העקשנים, הם דוגמה טובה. דיון מרתק בטרחני־קנטור ובטיעוניהם פורסם על־ידי וילפריד הודג'ס ב-"ידיעון של לוגיקה סימבולית" ב-‏1998. הודג'ס שפט וערך מאמרים בלוגיקה כעשרים שנה, ובאורח בלתי נמנע נתקל בלא מעט טרחנים אלכסוניים. מעניין שהודג'ס מציין כי על אף שחלק מהטרחנים בבירור יצאו מדעתם ("at sea" הוא הביטוי בו הוא משתמש), רבים מהם הם אנשים סבירים בכל מובן אחר.

הוכחות, בעיות פתוחות ובעיות פתוחות־לשעבר

הסוג הקשה ביותר, ובכמה מובנים המעניין ביותר, של טרחנות מתמטית הוא זה שבו הטרחן מוצא פתרון (תמיד פשוט) לבעיה מתמטית פתוחה, או כזו שהיתה פתוחה שנים רבות ונחשבת קשה. מרבית הבעיות הפתוחות המפורסמות הן מהסוג של "הוכח ש...", ולכן נדון ביחד בבעיות הוכחה ובעיות פתוחות. יש מספר גורמים לקושי במצבים אלה. ראשית, לא תמיד קל להצביע על הטעות בהוכחה שגויה של טענה נכונה. שנית, אין משמעות אמיתית לאמירה "זו טענה קשה": אפשר להוכיח שלא ניתן לרבע את העיגול, אבל אי אפשר להוכיח (בכלים שבידינו כיום) שמשפט פרמה, למשל, הוא קשה.

כלומר, כשטרחן טוען שבידו מנייה של הממשיים, אנו יודעים מיד שטעות בידו, אך כשהוא טוען שבידיו הוכחה של שני עמודים למשפט ארבעת־הצבעים, מי יודע? אולי באמת יש הוכחה כזו? אין טיעון "חיצוני" שמראה מיד שטענתו שגויה. יש לצלול פנימה להוכחה ולחפש בה פגם, וזה עשוי להיות לא קל: בהרבה מקרים הטיעונים מעורפלים מדי, ולעיתים (נדירות) יש בהם מתמטיקה אמיתית ונדרש מאמץ כדי לקעקע אותם.

אחת התכונות המושכות ביותר של המתמטיקה היא קיומן של בעיות קלות מאוד לניסוח אך קשות מאוד לפתרון. בעיות מסוג זה הן משפט ארבעת הצבעים (כל מפה מדינית מישורית אפשר לצבוע בארבעה צבעים כך שמדינות גובלות תקבלנה צבעים שונים) והשערת גולדבך (כל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים). אין ספור טרחנים עסקו בבעיות אלה, אך ללא ספק הדוגמה המפורסמת ביותר היא "המשפט האחרון של פרמה": אין שני מספרים טבעיים שסכום קוביותיהם (החזקה השלישית שלהם) הוא קוביה, וכנ"ל לחזקות רביעיות, חמישיות וכו'. כידוע, פרמה טען שיש בידו הוכחה יפה לטענה זו, אך לא פרסם אותה, והדבר הקנה להשערה הילה רומנטית נדירה. שום טענה מתמטית לא משכה מספר עצום של טרחנים כמו משפט פרמה, ודומה שהזרם לא פסק גם לאחר שאנדרו ויילס פרסם הוכחה של המשפט ב-‏1995, לאחר שנים של עבודה מאומצת. הטרחנים רק שינו זוית: כעת הם מחפשים הוכחה פשוטה וקצרה. ההוכחה של ויילס היא קשה ביותר, ומעטים המתמטיקאים המסוגלים להבינה. עובדה זו, והפרסום שויילס זכה לו, דומה שרק הוסיפה שמן למדורת הטרחנים.

משפט פרמה הוא גדול המגנטים לטרחנים, וג'יימס ס. האריס הוא גדול הטרחנים שנפלו ברשתו. ג'יימס הופיע בזירה בסביבות 1995, קצת לאחר ההוכחה של ויילס, ובידיו הוכחה אלמנטרית בת שני עמודים למשפט המפורסם. מאז חלפו כשמונה שנים, וג'יימס הוא עדיין המשתתף הפעיל ביותר ב-sci.math: לעיתים הוא פותח מעל עשרה פתילים שונים ביום. קבוצה קטנה ועקשנית של מתמטיקאים וסקרנים מתאמצת לאלפו בינה, ופעם־פעמיים בשנה הם אף מצליחים – ג'יימס שולח הודעות מדוכאות בהן הוא מודה שטעה, רק כדי לשוב כעבור יומיים לטיעוניו הישנים: הקהילה המתמטית מורכבת משוטים קטנים ורשעים, בקרוב יכירו בגדולת תגליותיו המהפכניות, וכו'. אין כל ערך למתמטיקה שלו, אך מבחינה פסיכולוגית הוא מופת של עיוורון עיקש.

אחד הגורמים המתסכלים במקרה של ג'יימס וטרחנים אחרים הוא שלל העדויות ההיסטוריות של מדענים מקצועיים וחובבים שהשיגו הישגים שהקדימו את זמנם ולא זכו להכרה בחייהם (גלואה, שהוזכר לעיל, הוא דוגמה מצויינת מהעולם המתמטי). הטרחנים נהנים לנופף בדוגמאות אלה, וקשה לטעון טיעונים נגדיים: כל מחאה נתקלת בחיוך סלחני, משמע רק הוכחת כמה עמוק אתה תקוע בדעותיך הקדומות, ממש כמו בני דורו של גלואה. וכאן מתעוררת שאלה אמיתית: איך באמת אפשר לדעת, ממש לדעת, שהטרחן אכן שוגה, ואיננו גאון נסתר שייגאל בעוד חמישים שנה? האם לא ייתכן שחובב חסר ידע מתמטי יגלה הוכחה להשערת גולדבך?

מן הדין הוא שלפחות במתמטיקה יהיה זה פשוט להכריע אם טקסט נתון הוא בעל ערך. הוכחה מתמטית היא סדרה של טיעונים לוגיים, וצריך להיות אפשרי לוודא בצורה מכנית אם הוכחה מוצעת למשפט מתמטי היא נכונה. הנקודה המעניינת היא שזה נכון רק להלכה. אין אפשרות מעשית לפרט את כל הצעדים הלוגיים אפילו בהוכחות מתמטיות פשוטות מאוד. מתמטיקה היא שפה עילית הנמצאת מספר רב של רמות מעל הסימנים הלוגיים היסודיים, ובשפה זו מתמטיקאים משכנעים אלה את אלה בנכונות טיעוניהם. זוהי שפה בהחלט פחות רב־משמעית מהלשון המדוברת, אך היא גם איננה מכנית לגמרי. כדי שמשפט מתמטי יתקבל כנכון, מומחים קוראים אותו ומחווים דעה, ועם הזמן האמון בהוכחה גובר. גם ההוכחה המקורית של ויילס עברה תהליך שיפוט כזה ונתגלתה בה טעות רצינית שתוקנה רק כעבור שנתיים.

יתרה מזו, בעשורים האחרונים הופיעו מספר הוכחות שמתחו, או פרצו, את גבולות מושג ההוכחה. ההוכחה המקורית מ-‏1977 של משפט ארבעת הצבעים עשתה שימוש נרחב במחשב, ולמרות סדרה של פישוטים היא קשה לווידוא גם היום, ויש מתמטיקאים המתקשים לקבל הוכחות תלויות־מחשב. משפט המיון של החבורות הפשוטות הוכח בעבודה משולבת של מאות מתמטיקאים המשתרעת על־פני אלפי מאמרים, ויש עדיין המפקפקים בשלמותה (למרות זאת מופיעים מאמרים רבים המסתמכים על משפט המיון כדי להוכיח משפטים חדשים).

לפני זמן לא רב מצא המתמטיקאי היילס (Hales) הוכחה להשערת קפלר. יוהנס קפלר שיער שהדרך היעילה ביותר לארוז תפוזים בחלל נתון היא כמו בדוכן בשוק – במבנה דמוי סריג. ההשערה נותרה פתוחה מאות שנים וכעת היילס סבור שעלה בידו להוכיחה. ההוכחה ששלח לפרסום היא כה סבוכה ועמוסה בפרטים עד שראש צוות השיפוט של המאמר, מתמטיקאי ידוע בשם פייש־טות (Fejes-Toth), נאלץ ליצור תקדים היסטורי: הוא הודיע שהוא נכנע, ואין ביכולתו להכריע אם ההוכחה נכונה אם לאו. עד עכשיו לא ברור מה יעלה בגורל ההוכחה.

מתי, אם כן, אנו יודעים שמשפט הוכח באופן סופי? ואם זה כה קשה ותלוי הקשרים תרבותיים, איך נוכל לדעת שהוכחות הטרחנים אינן נכונות? למרבה המזל קל בהרבה לפסול הוכחה שגויה מלוודא הוכחה נכונה, ובמיוחד נכון הדבר להוכחות הטרחניות שהן כמעט תמיד שטותיות לחלוטין. אולם אין ספק שהדיון בהוכחות הוא דיון לשוני, אנושי, ולא רק מתמטי, וכך מובטח לטרחנים הכפייתיים עתיד מזהיר של דיונים מעגליים סביב הוכחותיהם המופלאות למשפטים הקשים של המתמטיקה.
קישורים
Mathematical Cranks - ספרו המרתק של אנדרווד דדלי
crank.net - אתר המכיל דוגמאות רבות לתופעה
zerobyzero - כמה זה אפס חלקי אפס?
קבוצת הדיון sci.math מהווה אבן שואבת לטרחנים
רוס פינלייסון - מאמר לדוגמא ב- sci.math
דה־מורגן - Budget of Paradoxes
מרק אדקינס בטוח שקנטור טעה
דיון מרתק בטרחני־קנטור ובטיעוניהם מאת וילפריד הודג'ס
ג'יימס ס. האריס
הוכחה להשערת גולדבך (שגויה, כמובן)
פרסום תגובה למאמר

פרסומים אחרונים במדור "מדע"


הצג את כל התגובות | הסתר את כל התגובות

163808
ישנה אפילו דמות ספרותית של טרחן כזה. בספר הילדים "השד מכתה ז"' מנסה האב את כוחו בפתרון משפט פרמה. רק בסוף הספר הוא מתפכח.
אז מה זה לרבע עיגול? ומה זה להכפיל קוביה? אנא הצג את הבעיה, אולי אצליח לפתור...
בשמחה אציג, אך אנא... 163815
...אל תנסה/י לפתור. לרבע עיגול פירושו לבנות באמצעות סרגל ומחוגה ריבוע, השווה בשטחו לשטח מעגל נתון. כדי להכפיל את נפח הקוביה יש להתחיל מקטע נתון (המייצג את אורך המקצוע של הקוביה) ולבנות באמצעות סרגל ומחוגה קטע באורך כזה שהקוביה המתאימה לו תהייה בעלת נפח כפול.

זה נכון שיש טרחנים בדיוניים: "הדוד פטרוס והשערת גולדבך" של אפוסטולוס דוקסיאדיס הוא דוגמה נחמדה, ואני זוכר גם סרט קצר ומוזר בשם "פאי" על גאון משונה המסוגל למצוא מסרים ועתידות בספרות של הקבוע פאי, הלא הוא היחס בין היקף מעגל לקוטרו. יש באמת מחלקה של טרחנים נומרולוגיים הבטוחים שעולם ומלואו מקופל בספרות של פאי, בממדי הפירמידות במצרים, וכמובן הוריאציה המנצחת מהשנים האחרונות - המדלגים בתורה...
מכיר גולדבך 163817
התעוררתי פעם באמצע הלילה וחשבתי שהוכחתי את השערת גולדבאך.
ואז התעוררתי שוב.

מכל הבעיות הפתוחות זו נראית הכי מרגיזה. היא פשוטה להחריד. מסוג הדברים שהיית שואל את אלוהים בכניסה לגן עדן.
מכיר גולדבך 163819
ומה אם גם אלוהים לא יודע? האם ייתכן שאת השערת גולדבך *אי אפשר* להוכיח במסגרת האקסיומות הרגילות של תורת המספרים? ומה זה אומר עליה?

רק עדכון: הסיני צ'ן ג'ינג-רון שיפר ב-‏1973 תוצאות של קודמיו והוכיח שכל מספר זוגי הוא סכום של ראשוני ועוד מספר שהוא ראשוני או מכפלה של שני ראשוניים.
מכיר גולדבך 163823
עוזי כבר סיפר לנו: תגובה 149312
אכן. סליחה. 163830
אכן. סליחה. 163835
לא התכוונתי לשום דבר שבגללו צריך להתנצל, חשבתי שאולי תמצא עניין בפתיל שהתפתח שם.
אכן. סליחה. 163836
אז שווה לראות את המשך הפתיל שהתפתח: תגובה 149399 איפה עוזי?
בארץ. 164022
(מבצע חיבור הדירה לרשת עדיין בעיצומו).
בארץ. 164025
ברוכים השבים!!!
מכיר גולדבך 164324
מהם האקסיומות של תורת המספרים?
מכיר גולדבך 164351
אקסיומות פאנו (Peano) מקובלות למדי, ובהחלט מספיקות כדי לנסח את השערת גולדבך. האקסיומות, בשפה לא-פורמלית, הן בערך כדלהלן (המושגים היסודיים כאן הם "מספר" ו-"עוקב"):

1. אפס הוא מספר
2. לכל מספר יש עוקב, שהוא גם מספר
3. אפס איננו עוקב של שום מספר
4. שני מספרים שעוקביהם שווים, שווים בעצמם
5. אם S קבוצה של מספרים המכילה את 0 וכן מכילה את העוקב של כל מספר שנמצא בה, אז S מכילה את כל המספרים.

בפרשנות הטבעית של אקסיומות אלו המושג "מספר" הוא כמובן מה שאנחנו קוראים "מספר טבעי (כולל אפס)", וה-"עוקב" של מספר הוא המספר ועוד אחד. אקסיומה 5 היא כמובן אינדוקציה.

לא מאוד קשה להגדיר על-סמך אקסיומות אלה סוגים אחרים של מספרים (שליליים, רציונליים) וכן פעולות חשבון כמו חיבור וכפל. חיפוש "אקסיומות פאנו" בגוגל יניב עוד הרבה מידע.

האפשרות שהשערת גולדבך איננה יכיחה במסגרת אקסיומות אלה בהחלט קיימת, ויש כבר טענות אחרות שידוע שהן במצב המוזר הזה.
רק 2 שקל, כל משפט גולדבך! 164381
כדאי לציין כי לו יתברר מחר שהשערת גולדבך אינה תלויה באקסיומות פאנו (כלומר לא ניתן להוכיחה או להפריכה) הרי שמיד היינו מקבלים ''הוכחה'' שההשערה נכונה. זאת מכיון שאין לה דוגמא נגדית במודל הסטנדרטי של המספרים הטבעיים ולכן ברור שנרצה לאמץ אותה כאקסיומה נוספת.
מבלבל, אבל נכון.

יתר על כן, משהו דומה כבר קרה עם משפט ידוע הרבה פחות בתורת רמזי. אם יהיה ביקוש אכתוב על כך.
כתוב, יש ביקוש 164382
קיים ביקוש -> קיים היצע 164394
בוא ונראה, משפט רמזי אומר כי לכל n,k קיים m כך שלכל צביעה ב-k צבעים של קשתות הגרף המלא על m קודקודים (K_m), יש תת-קבוצה של הקודקודים בגודל n לפחות כך שכל הקשתות ביניהם צבועות באותו הצבע.

עכשיו בוא נניח שכשאנחנו מסתכלים על K_m הקודקודים ממוספרים מ-‏1 עד m. נקרא לתת-קבוצה של הקודקודים מהוללת אם גודל הקבוצה גדול ממספרו של הקטן בקודקודיה. משפט פריס-הרינגטון (Paris-Harrington) אומר כי לכל n,k קיים m כך שלכל צביעה ב-k צבעים של קשתות הגרף המלא (והממוספר) על m קודקודים (K_m), יש תת-קבוצה מהוללה של הקודקודים בגודל n לפחות כך שכל הקשתות ביניהם צבועות באותו הצבע.

המשפט הזה הוא נכון (אולי אתן תמצית ההוכחה אח"כ) אבל אינו יכיח מאקסיומות פאנו, כי הוא גורר את עקביותן.
אופס 164396
משפט פריס-הרינגטון אינו, כמובן, המשפט דלעיל, אלא הוא
אומר שהכללת משפט רמזי הנ''ל נכונה אבל לא יכיחה מאקסיומות פאנו.
כתוב, יש ביקוש 164438
חשבתי לכתוב באריכות על הסיפור המופלא והלא-ייאמן של סדרות-גודסטין, אך החלטתי שאלף יהיה לי קשה לרשום בצורה קריאה את ההגדרה בטקסט-אדיטור הזה, ובית שהכל מוסבר כל-כך יפה בלינק למטה, אז למה להתאמץ?

טיזר: גודסטין מגדיר פעולת "בעיטה" על מספרים טבעיים שלכאורה מגדילה אותם בצורה שקשה לתאר. אח"כ הוא מוכיח שאם מתחילים ממספר נתון, בועטים בו, מורידים 1, בועטים שוב, מורידים 1, וכן הלאה, תמיד מגיעים בסוף ל-‏0. אחרי שרואים את ההגדרה של בעיטה, פשוט אי אפשר להאמין לזה.

ואז מגיע שוק מספר שתיים: לא רק שזה המצב, אלא שזה לא יכיח באקסיומות פאנו. מדובר בעובדה (לכאורה) פשוטה להחריד, אך מסתבר שצריך אורדינלים קצת יותר גדולים מאומגה בשביל להוכיח אותה.

הנה הלינק, ואפילו שזו מין מצגת, אפשר בקלות לעקוב ולהבין. ולא צריך להכיר אורדינלים. באמת כיף:

Goodstein 164561
הבנתי הכל, עד שקף 12 באמצע: למה הוא אומר שזו
סידרה סופית של סודרים?
Goodstein 164590
כל סדרה יורדת של סודרים היא סופית! (אחרת, התבונן בסודר הקטן ביותר שממנו מתחילה סדרה יורדת אינסופית; מן הסודר השני בסדרה יכולה להתחיל רק סדרה סופית).
Goodstein 164591
אני לא הבנתי משהו אחר: בשקף http://www2.maths.bris.ac.uk/~maadb/research/seminar... , בו הוא מציג את האקסיומות, למה צריך את אקסיומה 5 (הכפל באפס)? הרי מאקסיומה 3 אני מכפיל את שני האגפים באיקס (מותר לי, מאקסיומה 6), מצמצם משניהם איקס בריבוע, ומקבל את 5. או שאסור לי לצמצם? מה אני מפספס? (את שאר הטיעונים שלו, אבל לא חשוב כרגע).
Goodstein 164593
איך 6 מאפשרת להכפיל ב-x את אגפי 3?
Goodstein 164598
אני חושב שאתה צודק, ולא טוענים שאוסף האקסיומות הזה הוא מינימלי. כדי לעשות את מה שאתה מציע צריך ראשית להוכיח כמה דברים באינדוקציה (למשל את חוק הפילוג, ואת היכולת לצמצם, כלומר שמ-A+C = B+C אפשר להסיק ש-A=B). אם אני לא מחמיץ משהו, אפשר לעשות את זה, אבל זה לא משנה במיוחד.

אילו משאר הטיעונים שם אתה מפספס?
Goodstein 164659
לא הבנתי. אתה לא טוען פה טיעון מעגלי?
אתה אומר לי:
1. נניח בשלילה שיש סדרת סודרים יורדת אינסופית.
2. אם מסתכלים על הסידרה מאיברה השני מקבלים סידרת סודרים יורדת.
3. הסדרה ב-‏2 חייבת להיות סופית.

על סמך מה אתה אומר את 3?
Goodstein 164662
הסדרה (החל מן האיבר השני) חייבת להיות סופית, מכיוון שהאיבר הראשון שלה קטן מכדי להתחיל סדרה אינסופית (כך הרי בחרנו את האיבר הראשון בסדרה שלנו - זהו הסודר *הקטן ביותר* שיכול לפתוח סדרה יורדת אינסופית; האיבר השני בסדרה קטן ממנו, ולכן אינו יכול לפתוח סדרה כזו).
Goodstein 164724
ומה אם כל הסודרים בסדרה מייצגים קבוצות אינסופיות?

אה - כיוון שכל קבוצת סודרים סדורה היטב, יש איבר קטן ביתר איפה שהוא בסדרה, והאיבר שמופיע אחריו בסדרה חייב לייצג קבוצה סופית.

תודה.
Goodstein 164864
למעשה, אתה מציע הוכחה קצרה יותר: בכל קבוצת סודרים יש איבר מינימלי, ולכן היא אינה יכולה להיות סדרה יורדת (הנקודה היא לא שהסודר "הבא" מייצג קבוצה סופית (אז מה?) אלא שלא יכול להיות סודר אחרי הקטן ביותר).
Goodstein 164913
למה קבוצה אינסופית של סודרים בעלת איבר מינימלי איננה יכולה להוות סדרה יורדת? במידה ויש כזו סידרה ללא איבר מינימלי, תמיד אפשר להוסיף לה איבר ולהגדירו קטן מכולם.
Goodstein 164918
כלומר, ברור לי שאין סדרה אינסופית יורדת, אבל דווקא ההוכחה שנתת היא הנכונה. אי אפשר לפסול את היותה של קבוצה בת-מניה של סודרים סדרה יורדת רק משום שיש לה איבר מינימלי (W+1 זו סדרה אינסופית עולה עם איבר מקסימלי, ועם סדר טוב "הפוך" היינו מקבלים אותו דבר רק עם מינימלי.)
Goodstein 164927
ההוכחה של יוני בסדר גמור. נזכיר שאנחנו רוצים להוכיח שאין סדרה אינסופית יורדת של סודרים (וכאן הסדר כבר מוגדר - אי אפשר להפוך אותו סתם כך; ממילא הסדר ההפוך אינו סדר טוב - כי יש קבוצות של סודרים בלי איבר מקסימלי).

הוכחה: לסדרה אינסופית יורדת אין מינימום (שהרי אחרי כל איבר בא איבר קטן ממנו), מש"ל.
(כלומר - ההנחה שקיימת סדרה אינסופית יורדת, סותרת את העובדה הידועה שלכל קבוצה של סודרים יש איבר מינימלי).
Goodstein 164934
אני גם לא מבין את ההוכחה הקצרצרונת. איך מ-"סדרה אינסופית יורדת" אתה מסיק "אחרי כל איבר בא איבר קטן ממנו"?

אין ספק שסדרת סודרים לא יכולה להיראות כמו

1 > 1/2 > 1/3 > 1/4 > ... > 0

אך אני לא רואה איך הנימוק החדש מראה זאת (לעומת הנימוק המקורי, שכן הראה).
Goodstein 164967
כי הסדרה *יורדת*?

(ההוכחה קצרה, אבל אולי צריך לנסח באריכות את הטענה. על הסודרים מוגדר סדר טוב; הטענה היא שכל סדרה יורדת של סודרים, כלומר
a_1 > a_2 > a_3 > ... > a_n > ...
מוכרחה להסתיים.)
Goodstein 165017
כשהיה ההוגה שלי בשנה א' באוניברסיטה ולמד במסגרת קורס בפיזיקה קלאסית את חוק יד ימין, המרצה הסביר שמעכשיו, בגלל שהחליט ללמוד פיזיקה, הוא יצטרך לשחק הרבה עם הידיים.

מספר שעות מאוחר יותר, בחוג התעמלות קרקע בריאותית מעורב ניגשה אליו סטודנטית מצודדת ופתחה בשיחה קולחת ומרתקת בנושא במבחר חוגי הספורט הפתוחים בפני סטודנטים במינים שונים. כשבמהלך השיחה הזכיר ההוגה כדרך אגב שהוא לומד פיזיקה מדעי המחשב (בתקוה שהיא תתרשם מכך, דבר ידוע הוא שסטודנטיות מתות על גברים עם נטיה מדעית ונגיעה בתחום המחשבים) היא מיהרה לסיים את השיחה בשל פגישה עם החבר המתאגרף שלה.

רק אז הבין הוגי את המשמעות האמיתית של אותה אמירה שהוזכרה בתחילת התגובה.

למה אני מספר לכם את זה?
כי מאז שהלכתי לעולמי מתקשה הוגי בדיכוי הצד האינפנטילי של אישיותו. והצד הזה דורש ממנו להתייחס לאיברים המסודרים לפי גדלם והסדרות היורדות החוזרים ומופיעים בדיון זה. ההקשר של ביטויים המוצאים מהקשרם וגורמים לסטודנטים אינפנטיליים לצחקק במבוכה ניראה לי מתאים.

עם המערכת סליחה. קחו את רשותי להסיר תגובה זו עם הופעתה (כיוון שהזכרתי הסרת תגובה הפתיל הלא מתאים, אף סיפקתי לכם את התירוץ המושלם לעשות זאת).
Goodstein 165040
אוי ווי. היה מאוחר, הייתי עייף, אכלו לי שתו לי. אני (וכנראה גם אלון) בלבלתי בין "קבוצה אינסופית" אשר בהחלט יכולה להיות סדורה ליניארית ובעלת איבר מינימלי, לבין סדרה אינסופית (אלון: בסדרה אינסופית לאיבר 0 חייב להיות אינדקס.) יורדת, כך שאכן זו הוכחה לגיטימית למהדרין.

רק נותר לקוות שגיטיק לא קורא את האייל.
Goodstein 165180
מה אני אגיד... אני פשוט טמבל. אני יכול להיכנס להסבר ארוך על מה היה לי בראש, אך בוודאי עדיף שפשוט אצטנף בפינה.
Goodstein - המלה האחרונה 165620
חבר'ס מה קרה לכם עם הסדרות היורדות של סודרים.
הנה הוכחה מדוייקת שאין כאלו אינסופיות יורדות:

קחו את הסודר הראשון בסדרה. אז כל השאר מהווים תת-קבוצה שלו (כי קטן בסודרים פירושו שייך, וסודרים הם טרנזיטיביים ביחס לשייכות). וכיון שסודר *בהגדרה* הוא קבוצה סדורה היטב ע"י קטן (כלומר שייכות), יש בקבוצה הנתונה, ולכן בסדרה כולה, איבר קטן ביותר.

למי שיש חורים בהשכלה (כמוני) מומלץ לקרוא את "החלום של קנטור" מהאתר של בועז מבר-אילן ( http://www.cs.biu.ac.il/~tsaban ).

אגב סדירות היטב שקולה להנחה שאין סדרה אינסופית יורדת אם מניחים את אקסיומת הבחירה (או גירסה מוחלשת שלה שמאפשרת בדיוק לבנות את הסידרה האינסופית היורדת, שנקראת "בחירה מותנית").

שמע מינה.
Goodstein - "המלה האחרונה" 165800
לא ברור לי עד כמה היו נחוצים הכותרת והפתיחה השחצניים שבחרת. במעלה הפתיל ניתנו שתי הוכחות מצויינות לטענה (שרשרת יורדת של סודרים חייבת להסתיים), וההוכחה שלך (השלישית) אינה נבדלת מהן במיוחד בפשטות או הדיוק שלה.
Goodstein - "המלה האחרונה" 211269
למרות שתגובתי באה באיחור רב של כמה חודשים...נראה לי שניתן להוכיח בפשטות יחסית את התכנסותן של סדרות גודסייו בקבוצת הטבעיים N.... כי פעולת החיסור של 1 כל הזמן "מכרסמת בספרת האחדות שעליה לא חלה ה"בעיטה" כלפי מעלה...ואז כשנגמרת ספרת האחדות ... החיסור של 1 פועל על החזקה הבאה ומין הסתם מוריד את החזקה הזאת ב 1...ולכן באינדוקציה פשוטה בתוך הטבעיים אפשר להראות שכל הסדרות אכן מתכנסות ל 0. אינני אומר שההוכחה שהבאת חסרת ערך חלילא מאחר והיא מדברת על התכנסות גם בסודרים שאינם סופיים...ובכל זאת את התדהמה אפשר להסביר באמצעים הרבה יותר טריביאליים
Goodstein - "המלה האחרונה" 211320
ההוכחה שהבאת איננה מוצלחת, חוששני. ראשית היא לא ברורה (מה זה "פועל על החזקה הבאה", מה זה "מוריד את החזקה הזאת ב 1", ומהי האינדוקציה הפשוטה?). כמו כן, כל העוקץ כאן הוא ש*הוכיחו* שלא ניתן להוכיח שהסדרות מתכנסות לאפס באינדוקציה פשוטה על הטבעיים, כלומר במסגרת אקסיומות פאנו. ההוכחה עם הסודרים לא מובאת כדי להראות משהו יותר חזק, היא מובאת על-מנת להוכיח את המשפט על הטבעיים עצמם - הסודרים ממש נחוצים בשביל זה.

לכן את התדהמה לא ניתן להסביר באמצעים כל-כך טריוויאליים.
Goodstein - "המלה האחרונה" 211359
אתה צודק! אני רק התרשמתי אינטואיטיבית שזו הסיבה להתכנסות הסדרות...ייתכן מאד שלא ניתן להשתמש באינדוקציה פשוטה...תוך כדי לקיחת הסיכון המחושב שאצטרף לקבוצת הטרחנים.. :-) .אנסה לנסח את טענתי באופן יותר מסודר....מה שהבאתי איננו הוכחה בשום אופן...רק כיוון כללי להוכחה וגם זה בספק...אשר לשאלתך....בייצוג של בסיס b למספר n ... בקצה הימני מופיע הגורם שאני קורא לו ספרת האחדות...בהנחה שהייצוג מסודר כשהחזקה הגבוהה ביותר של b היא הגורם השמאלי ביותר ... אז מייד משמאל לספרת האחדות נמצאית "החזקה הבאה" או ספרת "העשרות" אם ספרת העשרות איננה 0 במקרה....אז נכון שכל איטרציה מגדילה את המספרים בחזקות לגדלים מדהימים...אבל היא לא פועלת בכלל על ספרת האחדות...וכך ספרת האחדות נשחקת ל 0 ואז החיסור של אחד גורע מספרת "העשרות" ושוב נשארת לנו ספרת אחדות גדולה מאד...אבל גם היא תישחק בעוד מספר סופי של צעדים...וכו' וכו'...ובסופו של דבר הכירסום הזה מסתבר יותר חזק מהבעיטה המרשימה...
אם תנסה את הסדרה עבור nים קטנים תראה בדיוק למה אני מתכוון. בדרך כלל כאשר הרציונאל ברור לנו לחלוטין כמו במקרה הזה...הדרך להוכחה באמצעים פשוטים היא קרובה...זה לא המקרה של גולדבאך או אפילו של פרמה שהן בעיות שבהם האינטואיציה שלנו לא מבינה למה זה ככה...כאן זה נשמע לי הגיוני מאד.
''מסתבר'' 211371
כשהייתי בודק תרגילים, הייתי מקיף את המלה הזו בעיגול וכותב (באדום) שזה בדיוק מה שהיה צריך להוכיח.
''מסתבר'' 211381
אני צריך לזכור את זה.

(דובי, שכנראה יהיה מתרגל בשנה הבאה, ואתמול בדק עבודה (במסגרת ''בדיקת עמיתים'' באחד הקורסים) והזדעזע עד עמקי נשמתו השטחית)
עוד עצה למתרגלים: 211384
וכשאני הייתי מתורגל, הקיף לי מתרגל את הביטוי "ומכאן קל להראות" והוסיף "אז תראה!".
עוד עצה למתרגלים: 211386
וכשאני כתבתי על משהו ''ברור ש-'', הקיף לי המתרגל את המילים, ולידם כתב דוגמא נגדית.

רק כדי לתקן את רושם ה-''המתרגלים פלצים'' שעלול להתקבל מכל הדוגמאות האלה. הכל מוצדק.
הדבר שהכי משעשע אותי בבדיקת הוכחות: 214378
התלמיד כותב את הנתון, כותב אותו שוב תוך שינוי מינורי, מוסיף "ומכאן נובע ש.." ומסיים במה שהיה צריך להוכיח.
בדרך כלל יבואו אחרי טקסט כזה:
א. הסבר מילולי ומבובלבל למה זה נכון
ב. ציטוט כמה משפטים לא-רלוונטיים מהספר
ג. דוגמא שמראה שהטענה נכונה עבור n=3
ד. כל השלושה.
''מסתבר'' 211434
נו, ספר, אתה הרי רוצה לספר. ממה הזדעזעת?
''מסתבר'' 215921
עזוב, לא נכנס לזה.

(דובי, שכבר לא זוכר)
''מסתבר'' 215932
בעסה איתך.
''מסתבר'' 211423
טוב הנה משהו שעושה עוד צעד לכיוון של הוכחה פורמלית וסדורה...

נניח שסדרת גודסטיין מתכנסת ל 0 לכל מספר טבעי הקטן או שווה ל n ונתבונן במקרה ה n+1 ...וזאת לאחר שהראנו כי סדרת גודסטיין של n=2 ו של n=3 ולמהדרין גם n=4 אכן מתכנסת ל 0. (אינדוקציה פשוטה)

האיבר הראשון של סדרת גודסטיין של n+1 הוא הייצוג של n+1 בבסיס 2 האיבר השני הוא מספר בבסיס 3 שבו החלפנו כל מופע של 2 ב 3 וכך האלה והלאה. לצורך הפשטות והבהירות...נסדר את כל הייצוגים כך שהחזקה הגדולה ביותר של הבסיס התורן נמצאית בצד שמאל, ואחריה כל החזקות בסדר יורד עד שבצד הימני ביותר נמצאית חזקת 0 של הבסיס הלא היא ספרת האחדות. אני אכנה ברשותכם את האיבר שמייד משמאל לספרת האחדות בשם "ספרת העשרות".

אינני מניח שאיבר הראשון חייב להיות הייצוג של n+1 בבסיס 2 דווקא...ייתכן שהתחלנו בבסיס שרירותי b כלשהו....בכל אופן בייצוג זה, ספרת האחדות היא מספר טבעי וסופי בהחלט, ומאחר ובכל צעד של בעיטה לגבהים מסחררים, הבעיטה איננה פועלת על ספרת האחדות, הרי שבהחסירנו אחד ממנה, ברור שלאחר מספר סופי! של צעדים תתאפס ספרת האחדות...ואז יהיה עלינו להחסיר אחד ממה שכניניתי ספרת העשרות. נסמן כאן את מספר הצעדים שביצענו עד כה ב k .

בהגיענו לשלב מכריע זה נצטרך להזכר במה שלמדנו בכיתה ב' לגבי חיסור...אם נניח כי בשלב זה יש בידנו מספר המיוצג בבסיס שנסמן אותו b' הרי שספרת העשרות שלנו היא איבר שנראה כך: ספרה בבסיס b' שנסמן אותה C (המקדם) מוכפלת בחזקה של b' נסמן את החזקה הזאת ב j. כלומר האיבר שלנו נראה כך: C כפול b' בחזקת j וכמו שלימדה אותה המורה שרה ביסודי....עלינו לחסר 1 מ C ועכשיו להוסיף "תשיעיות" לכל החזקות שמ j-1 ועד חזקת 0 מין הסתם במילה "תשיעיה" אני בעצם מתכוון לספרה הגדולה ביותר בבסיס b' הלא היא b'-1

אם כן בשלב הזה אני יכול בעצם לחלק את המספר שלי לשני חלקים....השמאלי שהוא כל החזקות הגדולות מ j כולל חזקת j והימני שהוא כל האיברים שהם מקדמים עם חזקות של b' עד החזקה j-1.

שני החלקים האלה בייצוג הגודסטייני שלהם ניתנים לרגרסיה של K צעדים....כאשר כל מופע של b' אני אחליף במופע של הבסיס הראשון בסדרת גודסטיין .... ולקבל מהם ייצוג בבסיס b של מספרים הקטנים בעליל מ n+1 .... כלומר החל מנקודה זו ואילך סידרת גודסטיין של n+1 בחלקה הימני זהה לסדרת גודסטיין של מספר קטן מ n+1 ובחלקה השמאלי גם כן זהה לסדרת גודסטיין של מספר אחר אבל שגם הוא קטן מ n+1...ולגבי שני אלה יש לנו את הנחת האינדוקציה שהם מתכנסים ל אפס.....וסכום שתי סדרות המתכנסות לאפס יוצא די קרוב לאפס לא ?
''מסתבר'' 211433
בהנחה לא לגמרי מבוססת שהבנתי את כל היתר, למה שהחלק השמאלי יהיה קטן מ-n+1? בזמן שאתה מחכה שספרת האחדות תדעך, החלק השמאלי גדל מאוד.

גם את החלוקה לחלק ימני ושמאלי לא לגמרי הבנתי. האם היא נקבעת במספר הראשון, או משתנה כל הזמן? (הרי ספרות חדשות נוצרות בכל פעם שיש "underflow" בחיסור, כלומר כשנוספים 9-ים).
''מסתבר'' 211443
אני עוצר כבר ב underflow הראשון שקורה אחרי k צעדים...ואני אומר שכל החלק השמאלי שעדיין לא "נפגע" מהכרסום הוא ניתן לרגרסיה אחורה של k צעדים פשוט נחליף כל מופע של b' במופע של b...ואז הוא זהה לחלק השמאלי של הייצוג בבסיס b שהוא הבסיס הראשון שלנו....מאחר ויש לי רק חלק מהאיברים שהיו לי כשייצגתי את n+1 בבסיס b אזי אני מתבונן בייצוג לפי בסיס b של מספר הקטן בהכרח מ n+1
ועליו חלה הנחת האינדוקציה
''מסתבר'' 211445
נניח, כמו שאמרת, שכבר הוכחנו שסדרות גודסטין המתחילות ב-‏2, 3 ו-‏4 מתכנסות ל-‏0. הבה ננסה להפעיל את ההוכחה שלך על הסדרה שמתחילה ב-‏5. האיבר הראשון הוא

base 2: 5 = 2^2 + 1

באיבר השני ספרת היחידות נעלמת:

base 3: 3^3 (= 27)

ועכשיו מתרחש ה-underflow:

base 4: 3*4^3 + 3*4^2 + 3*4 + 3 (= 255)

איפה ואיך אתה מנסה להיעזר בהנחת האינדוקציה? איזה מספר אתה "מסיג לאחור" וטוען שעבורו כבר הוכחת? שים לב ש-‏3^3 *איננו* חלק מסדרת גודסטין של 4, אז אינני רואה איך תוכל לטעון שאתה כבר יודע לגביו משהו. נכון שאם אתה מחליף בו כל 3 חזרה ל-‏2 אתה מקבל 4, אבל... אז מה? איך אתה מסיק (בהנחה שאתה יודע שהסדרה ל-‏4 מתכנסת) שהסדרה ל-‏27 מתכנסת?

אם אתה מסתכל *אחרי* ה-underflow, כלומר על המספר האחרון, החלק השמאלי שלו גדול מ-‏4 גם אם אתה מחזיר בו את הבסיס מ-‏4 ל-‏2.
''מסתבר'' 211464
אתה צודק את החלק הימני של הביטוי אין לי למה להשוות...

המקרה שבו מתחילים בבסיס 2 הוא קצת מצחיק...כי בבסיס 2 ספרת האחדות היא מאופסת או שהיא 1 ... ואז ה underflow הראשון מתרחש בצעד הראשון או בצעד השני...וגם במקרה ש n=5 לא נשאר שום "חלק שמאלי" כי החזקה הגבוהה ביותר מתכרסמת ואין על מה להפעיל את הרגרסיה...במקרה של n=5 נשאר רק חלק ימני...והוא הרבה יותר מסובך כי אין למה להשוות אותו....למרות שאינטואיטיבית הוא החלק היותר קטן ...

מאחר ואינני טרחן כפייתי ולפחות אני משתדל שלא להיות...אפנה אליך רק כשתהייה לי הוכחה סדורה כהלכה...אלא אם כן תאמר לי שבוודאות חבל על הזמן שלי ... ואין שום סיכוי לזה...חשבתי אולי לנסות להוכיח זאת על ידי בניית סדרות גודסטיין "מעוכבות" שבהן אנחנו מתחילים לחסר אחד רק החל מהצעד ה b ... כדי שתהיה זהות גבוהה יותר בין האברים...בכל אופן תודה על הבקורת עד עכשיו.
''מסתבר'' 211466
אחת הדרכים המוצלחות ללמוד משהו לעומק היא לנסות להתמודד עם דברים שנראים לך אחרת ממה שמספרים. אני אומר לך בוודאות שאין הוכחה פשוטה (כלומר, במספרים הטבעיים ללא סודרים, עם או בלי אינדוקציה) לטענה שאנו דנים בה, אך ייתכן מאוד שתצליח להבין את התנהגות סדרות גודסטין טוב יותר אם תנסה לבנות את ההוכחה שאתה מדבר עליה ולנסות להבין בדיוק איפה היא נופלת.

רק שים לב שהמקרה בו מתחילים בבסיס 2, מצחיק או לא, הוא בדיוק המקרה בו מדובר, ע"פ ההגדרה של סדרות גודסטין. כמו כן, אינני בטוח שתוכל להרוויח משהו מהסדרות ה"מעוכבות" שהזכרת - אולי תוכיח משהו לגביהן, אך אלו אינן הסדרות שגודסטין הגדיר. בהצלחה, ותרגיש חופשי להמשיך לשאול.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 263734
אני אמנם מגיב על משהו פרה-היסטורי, אבל הדיון מרתק אותי ואני לא מבין משהו מאוד מאוד חשוב בשקפים: הטענה הייתה(בשקף 16 אם אני לא טועה) שמשפט גודסטין הוא "פסוק גדל", במובן שהוא פסוק לא יכיח מאקסיומות PA, אבל בניגוד לפסוק העמום שגדל מוכיח את קיומו (אך לא מבהיר מהו), זהו פסוק מעניין ונהיר על תורת המספרים. אם אכן זה כך, זהו צעד משמעותי בהכנסת הלוגיקה למרכז הדיון המתמטי, שכן עד כה כולם חשבו שהדיונים האלה הם דיונים גבוהים במטהמתמטיקה (או בפילוסופיה של המתמטיקה) שלא מענינים את חיי היומיום המתמטיים.
עד כאן, ציונות. וכעת למה שלא הבנתי: מאיפה הוא הסיק (טענה ראשונה בשקף 16) שנכונות משפט גוסטין שקולה לכך שניתן לבצע אינדוקציה טרנספיניטית עד אומגה אפס במסגרת PA? האם מהעובדה שאפשר להוכיח את משפט גודסטין באמצעות סודרים גבוהים מPA, נובעת הטענה שלא ניתן להוכיח זאת מבלי להשתמש בסודרים גבוהים כל כך?
אולי אלי צודק בעקרון (לא בפיתוח ההוכחה) ואכן ניתן להוכיח את משפט גודסטין באמצעים פשוטים תחת ההנחות של PA?

אנא, אם יש משהו שמבהיר את המסקנה הזאת - שסתם ככה כתובה בשקף ללא הסבר - אז מאוד אשמח לקבל את ההבהרה הזאת. כמו שאמרתי למעלה, לדעתי זוהי התקדמות בהבנת משמעות המשבר של משפטי גדל ושילובו בתוכניות מתמטיות רחבות היקף.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 263759
גיגול קצר מצא את התוצאה הבאה:

לא קראתי, ואני לא בטוח שאני כבר מסוגל לקרוא, אבל תן לזה בדיקה.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 263946
כמה הערות: ראשית, הפסוק המופיע במשפט גדל איננו "עמום", אלא מפורש לגמרי. למעשה זה לא פסוק אחד, אלא מתכון לרקיחת פסוק מתאים בכל מערכת פורמלית חזקה מספיק. אתה צודק בהחלט שהפסוק של גודסטין הוא הרבה יותר קונקרטי, רק שים לב שהוא מתאים ל-PA בלבד.

PA היא מערכת חלשה למדי. בעיקר מסיבה זו, אני לא בטוח שאני מסכים לטענה שמשפט גודסטין משנה משהו מהותי בנקודת המגע שבין לוגיקה למתמטיקה "יומיומית". טענה "טבעית" בתורת המספרים שהיא בלתי-תלויה ב-ZFC היתה, אולי, מחוללת מהומה רבה יותר. אנשי תורת המספרים אינם נוטים להגביל עצמם ל-PA, ואני חושב שרק מיעוטם מתעניין באמת בשאלה האם משפטים מסויימים יכיחים ב-PA או לא. ככל הידוע לי, אפילו שיטות בסיסיות כמו contour integrals אינן ניתנות לניסוח ב-PA, ולאף אחד זה לא מפריע. אם אתה מתעניין, יש ספר של Stephen Simpson הדן בגבולות היכולת של מערכות פורמליות שונות.

לשאלתך: הטענה שאינדוקציה עד אומגה אפס *הכרחית* כדי להוכיח את משפט גודסטין אכן איננה מוכחת בשקפים. זה משפט מסובך יותר, שאפשר ללמוד עליו (למשל) בקישור שנתן גדי. אבל - זה משפט, לא ניחוש שמסתמך רק על העובדה שאפשר להוכיח את הטענה *עם* שימוש בסודרים (ברור שזה לא נימוק). על כן, אלי מחפש דבר שאינו בנמצא. אין הוכחה למשפט גודסטין ב-PA, ואותו דבר נכון גם ל"משחק ההידרה" הנדון באותם שקפים.

הערה אחרונה: שים לב ש*יש* טענה "על מספרים טבעיים" שאינה תלויה ב-PA ואף לא ב-ZFC ואף לא במערכות חזקות עוד יותר (אקסיומות "קרדינלים גדולים" לסוגיהן). זו, כמובן, השערת הרצף. כיוון שהיא אינה עוסקת ישירות במספרים הטבעיים, אלא בתת-קבוצות של הטבעיים (למעשה, במשפחות של תתי-קבוצות כאלה), גם היא אינה מדירה שינה מעיניהם של "מתמטיקאים יומיומיים".

למידע נוסף, אתה מוזמן בשמחה לכתוב לי.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 263962
תודה על התגובות. בעיני, הנקודות האלה הן מהותיות, אולי לא למתמטיקאיים "יומיומיים" (המושג הזה עוד יהפוך למטבע לשון...), אלא יותר לפילוסופים של המתמטיקה.

קצת על הרקע שלי - אני בוגר תואר ראשון במתמטיקה ופילוסופיה ב"עברית" והתמקדתי בשנתי האחרונה בפילוסופיה של הלשון, של הלוגיקה ושל המתמטיקה מחד, וביסודות המתמטיקה מאידך. למדתי קורסים בפילוסופיה של המתמטיקה, במשמעות הפילוסופית של משפטי גדל, בתורת החישוביות (אצל פרופ' שלח) ובמשמעות הפילוסופית של החישוביות, בתורת הקבוצות האקסיומטית (אצל פרופ' מגידור, שם גם הוכחנו באופן פורמלי את משפט גודסטין בעזרת סודרים גבוהים עד אומגה אפס). כך שהנושאים האלה לא זרים לי, ואף מרתקים אותי.
כשלמדתי על תוכנית הילברט ו"מפלתה" אחרי משפטי גדל, וכשעשיתי על התוכנית סמינריון קצרצר, לא יכולתי להמנע מהמחשבה שהתוכנית היומרנית שמוצגת, יכולה בקלות להפוך לתוכנית עבודה בגבולות המחשבה האנושית. היו פילוסופים שניסו "להציל" את תוכנית הילברט על ידי בניית מערכת אקסיומות קונסטרוקטיבית שנבנית על סמך הקודמות בשיטת בניית פסוק גדל. הצרה שהמערכות שלהם חייבות להיות אינסופיות. לעומת זאת, מערכות כאלה הן בנות מנייה, או לכל היותר עד אומגה אפס.
היה פילוסוף נוסף (לא זוכר את שמו; פרופ' מרק שטיינר סיפר לי עליו בקורס על משפטי גדל), שטען שהפסוקים הלשוניים שהאנושות מסוגלת לייצר היא מסיבוכיות של אומגה אפס. זהו סודר שמייצג את הקינון עד לאינסוף של פסוק בתוך פסוק בשפה האנושית. זה מעיד גם על רמת המורכבות והסיבוכיות של המחשבה האנושית בכלל וגם על כך שזה יותר טבעי לנו לחשוב באופן מקוון מאשר באופן ליניארי. בסך הכל אנו מנסחים את מחשבתנו עם פסוקי "ש..." שמקוננים בתוך פסוקים עיקריים. במילים אחרות שפת היומיום שלנו דומה לשפת מחשב מאוכוונת אובייקטים, שבה מדברים בפסוק הראשי על אובייקטים, שכל אחד מהם מפנה למחשבה יותר עמוקה ומורכבת ומקוננת.

אני חושב שיש משהו מאוד מדוייק בהשלכת סודר אומגה אפס על מבנה השפה (והמחשבה?...) האנושית. מסקנה זאת חוזקה אצלי גם מתוך קריאה של הפילוסופיה של נועם חומסקי. הוא מנסה לנתח את מבנה השפה המקונן ומגיע למסקנה שיש לנו ידע שפה מולד (באופן פשטני "כי זה מבנה מסובך לאין ערוך ממבנה ליניארי, ואין סיכוי שנלמד להשתמש במבנה כזה באופן כל כך טבעי"). אני הסקתי מכך שמבנה המחשבה שלנו הוא אובייקטאלי, וזה דווקא יותר טבעי לנו ללמוד שפה שהיא מקוננת ולא ליניארית (החזרתי לחומסקי את חובת ההוכחה לגבי הידע המולד).

הקיצר, אני לא טוען שחקירת לוגיקה פורמלית תביא אותנו לכתיבת המערכת הפורמלית האולטימטיבית שבעזרתה ניתן יהיה לייצג את כל הפסוקים האפשריים או להבין את כלל המחשבה האנושית. לא נוכל לסיים את תפקידינו במתמטיקה על ידי ניסוח מערכת אקסיומות מסויימת. נדמה לי שטרסקי (בעקבות גדל) ניסח את הטענה שלא ניתן בשפה פורמלית "לדבר" על ערך האמת של פסוקים בשפה זו, אלא ניתן לעשות זאת רק בשפה מסדר גבוה יותר.

אבל אני אומר שני דברים:
א. ניתן להבין יותר טוב את מהות המחשבה האנושית והמחשבה המתמטית על ידי חקירה של הנושאים הללו. זה מקביל בעיני למה שעשה טיורינג כשיצר את מדעי המחשב. הוא בעצם חקר באופן מדוקדק ופשטני איך אדם עושה חישוב מתמטי על הנייר (נייר משבצות) ווהעמיד את כל הפעולות על מספר סופי של פעולות פשוטות של כתיבה, מחיקה ומעבר משבצת. וזה כל הסוד של מדעי המחשב - החיקוי של הפעולה האנושית הפשוטה של החישוב.
ב. במובן המתמטי ה"יומיומי" החקירה הזאת תוביל אותנו לדרכים ל"ייצור" של מערכות אקסיומטיות גבוהות ומורכבות שבעזרתן ניתן יהיה להגיע לתוצאות מתמטיות חשובות. הרי מה שעושים במתמטיקה ברמות הגבוהות הוא למצוא מהן האקסיומות הדרושות להוכחת משפטים "מענינים" במתמטיקה ושאותן נוכל לקבל להיכל הכבוד של האקסיומות המתמטיות. דוגמא טובה לכך הן אקסיומות החבורות של גלואה שאיפשרו לו לקבל תוצאות במשוואות פשוטות (הוא לא ממש ניסח את האקסיומות, אבל חקר את התנאים ההכרחיים לצורך ההרחבות של השדות).
כתבתי בזמנו באחד מהדיונים כאן על הצעה שלי לשיטה ל"הוכחת" השערת גולדבך (אם היא נכונה). השיטה היא לנסות למצוא באיזה מערכת אקסיומות היא יכיחה ומאיזו היא בלתי תלויה. אם נצליח להוכיח למשל שהיא בלתי תלויה במערכת מצומצת הכלולה בתוך PA (אך לא מכילה אותה), אזי נצליח אולי להבין איך כן ניתן להוכיחה בתוך PA. ואותו דבר גם אם היא לא יכיחה בתוך PA - אז אולי נוכל למצוא את האקסיומה שתאפשר לנו להוכיחה במערכת שמכילה את PA.
(אגב, מישהו בתגובה הציע שנוסיף אותה כאקסיומה, ואני התנגדתי, שכן אין להשערת גולדבך את התכונות שנרצה לייחס לאקסיומה. זהו פסוק שאינו מספיק טריויאלי).
בכל אופן, שיטה כזאת היא בפירוש רלוונטית למתמטיקאיים יומיומיים, דווקא מתוך חקירה של מערכות פורמליות.
הערות 263989
1) יש פער גדול בין האקסיומות של תורת החבורות לאלו של תורת הקבוצות. בראשונה יש תורה שאומרת שאם יש לנו עצמים בעלי תכונות אלו ואחרות אזי הם מקיימים משפטים מסוימים. בשניה יש לנו תורה שבאה לשמש בסיס פורמלי לכל המתמטיקה ה"יומיומית" כולה, והאקסיומות בה טוענות לנכונות באיזשהו מובן אבסולוטי.

2) יכול להיות שהתכוונת לתגובה 164381. במקרה זה, ודאי שנרצה לאמץ את השערת גולדבך כאקסיומה, אם פשוטה היא ואם סבוכה.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264025
לא הבנתי שום דבר ממה שאמרת, אז אני מרשה לעצמי לנדנד בצורה לא מבוקרת. כתבת:
"[....]טען שהפסוקים הלשוניים שהאנושות מסוגלת לייצר היא מסיבוכיות של אומגה אפס."

ואני קצת מתפלא: האם יש פסוק לשוני שאינו מורכב מאותיות? האם יש לנו בעיה למנות את כל הספרים האפשריים בעלי ...1,2,3, אותיות? הייתכן שסיבוכיות של פסוק הוא יותר ממספר האותיות שבו?
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264218
תגובה יפה, אם כי איני בטוח שאני מסכים, או מבין את כולה.
אגב, במשפט "יותר טבעי לנו לחשוב באופן מקוון" האם התכוונת לnested (מקונן)?
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 263985
רק הערה קטנה: PA אולי מערכת חלשה למדי, אבל עד כמדומני שעד 1977 (פאריס-הארינגטון) לא ידעו שהיא יותר חלשה מZFC.

וניטפוק: אפסילון אפס ולא אומגה אפס.

ותהיה: יומיומיות היא שבח או עלבון למתמטיקאי?
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264027
שבח למתמטיקאי יום יומי, וגנאי למתמטיקאי שאינו יום יומי.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264164
ובקצרה (משהו שיתאים לתלמידי שנה שניה), מה זה אפסילון/אומגה אפס?
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264951
תגובות:
אורי (תגובה ראשונה שלך):
1. אני לא רואה הבדל בין אקסיומות של תורת הקבוצות לבין אקסיומות של תורת החבורות. גם בתורת הקבוצות מניחים את קיומם של עצמים - שנקרא להם קבוצות - ומנסחים חוקים ותכונות של העצמים - אלה הן האקסיומות של הקבוצות - ועל פי חוקים אלה מנסים להוכיח קיום תופעות בקבוצות - משפטים מתמטיים. ההבדל הוא במוטיבציה בלבד ולא בשיטות החקירה המתמטית. בתורת הקבוצות אנו מנסים "להציל את התופעות" המתמטיות ולבססן על חוקים לוגיים שאנו יכולים לחיות איתם, ואילו בתורת החבורות אנו מנסים להגיע לתוצאות חדשות באמצעות אקסיומות יעילות יותר. אם כי גם מוטיבציות אלו השתנו עם הזמן וגם בתורת הקבוצות מנסים כיום להגיע לתוצאות חדשות (ומשפט גודסטין הוא דוגמא טובה לכך).
דרך אגב, הפילוסופיה של גדל עצמו הייתה שכל (בדגש ובבולד) המתמטיקה עוסקת בעצמים קיימים ובמשפטים נכונים אבסולוטית. הוא היה האפלטוניסט בהא הידיעה של המתמטיקה המודרנית. כך שאני לא בטוח בכך שרק תורת הקבוצות מתיימרת לתאר אמת אבסולוטית. לדעתי זה עניין של אופנה: בתקופת ניוטון ולייבניץ, יצרו את האינפיניטסימל בכדי לתאר את המציאות האבסולוטית של תנועה, ויירשטראס עיגן את זה בתורה מסודרת בכדי שלא תהיינה סתירות (כדי להצדיק את התופעות ולהביא לבסיס איתן של המתמטיקה). אחריו דדקינד ייצר את החתכים שלו כדי לייצר בסיס איתן למספרים הממשיים; אחר כך פיאנו יצר את האקסיומות שלו כדי לייצר בסיס איתן למספרים הטבעיים; קנטור יצר את התורה שלו כדי לאפשר לדבר על אינסופים, פרגה הלך עם זה רחוק מידי, ואילו ראסל וויטהד ניסו לעגן זאת בתיאוריה יומרנית בכדי לברוח מהסתירות של פרגה. בסוף הגיעו צרמלו, פרנקל ושות' בכדי לעדגן את תורת קנטור באקסיומות מסודרות יותר. מה מתוך זה הוא יסודות מתמטיקה ומה נחשב כמתמטיקה יומיומית? עוד חמישים שנה ינסחו תיאוריה הרבה יותר יסודית וחזקה שתהפוך להיות יסודות המתמטיקה ומתיימרת לעסוק אמת האבסולוטית ואילו ZFC תיחשב כעוסקת בעצמים מסוימים שניתן שיהיו גם אחרת.
2. אני חולק עליך. מבחינה מתמטית ניתן למצוא פסוקים רבים שאינם תלויים במערכת האקסיומות של PA, אך לא את כולם נרצה לקבל כאקסיומות. הם פשוט לא אינטואיטיביים מספיק. אנו רוצים לקבל כאקסיומה פסוק שאותו לא נצטרך להצדיק - פסוק שנראה כאילו הוא תופס את מהות העצם אותו אנו חוקרים ושעליו יש לנו "מודל טבעי" או יכולת להצביע עליו (מספר בPA או קבוצה בZFC). משפט שמכיל יותר מזה נרצה להחליף במשפט שקול לו (או במערכת משפטים שקולים) שהם כן נראים ומרגישים כמו אקסיומות.
אין מה לעשות - במתמטיקה נכנסים שיקולים שהם לא רק מתמטיים או לוגיים.

ראובן:
כמובן שפסוק הינו סופי ולכן הסיבוכיות שלו היא סופית. הטענה היא שניתן "ליצוק" את כל הפסוקים האפשריים שהאנושות יכולה ליצור בתוך מבנה סיבוכיות של סודר אפסילון אפס, כלומר יש פוטנציאל קינון אינסופי בפסוקים האנושיים. אדב, תקרא קצת משפטים מתורגמים מגרמנית ותבין על רמת הקינון שאני מדבר - או לא תבין כלום (הייתי מציע להתחיל ב"ביקורת התבונה הטהורה" של קאנט)

אפופידס:
התכוונתי למקונן, ונדמה לי שכך גם כתבתי... אולי פיספסתי במקום אחד.

אורי2:
א. אכן אפסילון אפס ולא אומגה. טעות שלי...
ב. יומיומית זה לא עלבון ולא שבח (אפשר לראות זאת כשבח, אך בודאי שאין הכוונה לעלבון). הכוונה הייתה פשוט להבדיל את המתמטיקאים העוסקים במתמטיקה לעומת אלה שעוסקים ביסודות המתימטיקה, בלוגיקה ובתורת הקבוצות (ואולי גם יחד עם העוסקים בפילוסופיה של המתמטיקה ושל הלוגיקה). אתה בעצמך הבדלת לעיל בין תורת החבורות לתורת הקבוצות.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264952
ולסיום להיום:
אני חושב שיש מעמד מיוחד לPA על ZFC. אקסיומות PA מנסות לתאר את התכונות של המספרים הטבעיים, ואילו ZFC עוסקת בעצמים הרבה יותר כלליים ומופשטים. מי אמר שיש קבוצות אינסופיות? די בטוח שיש מספרים סופיים, אך קבוצת כל המספרים הסופיים? תצביעו לי עליה בבקשה.
אני יודע שאני נשמע כמו אינטואיציוניסט, ואין לי ממש בעיה עם זה. אבל אין הכוונה שלי לתת נאום בעד האינטואיציוניזם, אלא להמחיש את ההבדל במעמד שבין אובייקטים מתמטיים מוצקים כמו המספרים הטבעיים, יחד עם המודל הטבעי שלהם, לעומת אובייקטים מתמטים מופשטים כמו סודרים אינסופיים וכדומה. אפילו מספרים ממשיים הם לא ממש טבעיים לנו (כפל לשון) ואנו נזקקים למודל של קו ישר גיאומטרי ולמילוי החורים בו כדי לתפוס על מה מדובר.
המשפט המפורסם: "אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל השאר הם מעשה ידי האדם" מדבר אלי מאוד. אני חושב שמספרים טבעיים שונים מכל עצם מתמטי אחר בכך שכל מודל מתמטי חילופי לו הוא חילופי לטבעיים ובמעמד אחר ממנו. לעומת זאת, קבוצות אינסופיות שמקיימות או לו מקיימות את השערת הרצף - האם באמת אנו יכולים להעדיף אינטואיטיבית מודל זה או אחר? יש כמובן שיקולים של יעילות ויופי מתמטי וכדומה, אבל אני לא חושב שיש ממש העדפה בסיסית של מודלים המרחיבים את המספרים הטבעיים.
מסיבות אלה, אני מעדיף להרחיב את אקסיומות פיאנו כדי לתפוס עוד ועוד תכונות של הטבסעיים, מאשר להרחיב את ZFC או אפילו מאשר להוכיח תכונות בZFC שלא ניתנות להוכחה ב PA.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264963
אבל PA ו- ZFC לא מתחרות בכלל על אותה גומחה אקולוגית.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 265136
לגבי המשפט האחרון שלך: מבחינה פילוסופית נטו, למה הוכחות ב ZFC (ללא הרחבות חזקות יותר) "נחשבות" פחות? הרי כמעט כל המתמטיקה המודרנית תלויה בהן, לא? בפרט דברים מאוד "פיזיקליים" ואינטואיטיביים כמו חלקים גדולים מהאנליזה והגאומטריה. אנחנו משתמשים באקסיומות הללו בשביל כל הדברים החשובים, ודי "סומכים" עליהן. למה לא לסמוך עליהן גם בקשר לטבעיים (בהתעלם משיקולי אלגנטיות)?
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 265227
גם לעוזי וגם לגיל:
אני כתבתי על העדפתי האישית "לפרמל" את המודל הטבעי של הטבעיים באופן שמרני ששומר על רוח PA, ולא מפליג למחוזות האינסופים הגדולים והמטורפים של ZFC.
הסיבה שכתבתי זאת היא כי היו תגובות שאי תלות של פסוקים בPA זה לא חוכמה ואילו אי תלות ב ZFC זה כבר דברים מענינים יותר.

בתכל'ס - הוכחות בתוך ZFC מאוד נחשבות בעיני וגם נותנות מהוות כלים כדי להרחיב באופן שמרני את PA. במילים אחרות, ZFC (או אולי מערכת חלשה יותר כמו ZF)היא מסגרת למתמטיקה ולחוקי כתיבת הוכחות (במקביל לכך שפרינקיפיה מתמטיקה ותחשיב הפרדיקטים מסדרים גבוהים מהווים מסגרת לדיון מתמטי). חקירה של ZFC היא חיונית כדי לדעת את גבולות החקירה המתמטית של המספרים הטבעיים (כמו גם תחומים אחרים).
אך אני רואה כמטרה עליונה למצוא את ההרחבות ה"צנועות" של PA (או למצוא מערכת אקסיומות צנועה אחרת של הטבעיים) כדי להוסיף ידע על פסוקים במספרים הטבעיים. לדוגמה: ייתכן שגולדבך הוא כזה שלא ניתן היום להוכיח מPA וכן ניתן להוכיח בZFC (זה משהו שניתן להוכיח בZFC). במקרה כזה הייתי רוצה למצוא מערכת הרבה יותר חלשה מZFC שבה ניתן יהיה להוכיח את גולדבך.
אני אומר כל זאת לא מתוך זלזול או הבעת ספק בZFC ובתורת הקבוצות האקסיומטית. להיפך, מתוך העמדה שלי שזו מסגרת לגיטימית להוכחת תלות ואי-תלות במערכות חלשות יותר, אני מנסה למצוא את ההרחבות המתאימות. זוהי לגעתי המשמעות האמיתית של "תוכנית הילברט" לאחר ההתפכחות שהביאו עלינו משפטי גדל.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 265248
מה דעתך על ZF (בלי C)? גם היא גדולה ומטורפת? למה?
(ואתה לא טרחן כפייתי) 211467
תצטרך להתאמץ הרבה יותר כדי להתקבל למועדון.
שאלה, 234025
מצטער על שאני מעלה באוב פתילים ישנים.

אני מוכרח לציין שהעובדה שזה לא יכיח ב- PA היא אחד הדברים לראש קשה מאד לקלוט ולהאמין בהם.

שאלה שאולי תשובה אליה תחזיר לי את האמון באינטואיציה המתמטית שלי (אני כנראה צפוי להתאכזב).

איך אני מגדיר "בעיטה" בשפה של אקסיומות פיאנו ?
למה? 234088
מה כל כך מיוחד ב-PA שכל המתמטיקה צריכה לנבוע ממנה?
PA זו בסה"כ אסופת הדברים הפשוטים שנראים נכונים שאפשר להגיד על המספרים הטבעיים.
לא יכיח ב-ZFC, לעומת זאת, זה כבר משהו אחר...
שאלה, 234210
אתה ממש רוצה שנרשום את פעולת ה"בעיטה" כנוסחה ב-PA? זה נראה לי תענוג מצומצם מאוד, אבל אפשר לנסות. עם זאת, איני רואה איך נוסחה כזו יכולה לעזור לאינטואיציה שלך. אולי אתה שואל *האם* ניתן לעשות זאת? האם נדמה לך שלא?
כתוב, יש ביקוש 164672
זה באמת מפתיע מאוד.
שאלה:
אם ה"בעיטה" לא היתה מוגדרת רקורסיווית, כלומר, היינו מחליפים מ k ל k+1 רק את הבסיסים שלמטה (ולא בתוך החזקות), או אפילו היינו עושים דבר יותר פשוט, ורק מחליפים מ k ל k+1 בחזקה הגדולה ביותר -
כלומר אם
n=k^x+y
כאשר y<k^x ,
אז
Bk(n) = (k+1)^x+y

האם אז עדיין הסדרה מתכנסת לאפס? האם יותר קל במקרה הזה להוכיח זאת?
כתוב, יש ביקוש 164709
לדעתי התשובות הן "כן" ו-"כן", לפחות בהגדרה הפשוטה יותר שלך. יש לפחות שתי דרכים לפרש אותה: נניח ש-k=3 ואנחנו ב-‏3^3, נבעטנו ל-‏3^4 וחיסור 1 מביא ל...מה? 47 + 2^4 או 15 + 2^4*3? האפשרות השנייה דומה יותר לפיתוח לפי בסיס (החזקה הגבוהה בלבד), אך האפשרות הראשונה מתאימה לנוסחאות שהצגת. בשתי האפשרויות לא קשה לראות שמגיעים ל-‏0.

אני מוכן להמר שוריאציות פשוטות כאלה על הנושא יובילו או למקרים בהם הטענה לא נכונה, או למקרים בהם היא נכונה וקלה. היופי בהגדרה של גודסטין הוא שזה שואף ל-‏0 אבל ממש, ממש, ממש בקושי...
כתוב, יש ביקוש 167814
אני מאוד מתפעל ממאפיין "גרפולוגי" חביב בכתב ידו של כותב המצגת: אם מילה מכילה את האות i, תופיע כנדרש נקודה מעל המילה; אבל הנקודה אצלו מופיעה מעל מקום אקראי כלשהו בין ה-i לבין סוף המילה. דוגמה נאה: המילה given בשקף 3.

(תשובה: 'מה אתה רוצה, יש מיפוי חח"ע בין הכתיב הזה לבין הכתיב המקובל, עם הנקודה מעל ה-i.')
לא מדויק 167818
במילה "positive" בשקף השני, הנקודה של ה-i הראשון מופיעה מעל ה-s. אז יכול להיות שצריך להיות סייג למיפוי החח"ע.
כתוב, יש ביקוש 167826
חד עין! משעשע מאוד. מה זה אומר? איפה המומחה לגרפולוגיה? יובל, יובל!
כתוב, יש ביקוש 167841
אה, זה מקרה פשוט. ההזחה של נקודת ה- i ימינה (בז'רגון המקצועי: אילפרוניפיקציה מזרחית) מגלה לנו כי הכותב הוא אדם אנליטי, חריף, ובעל יכולת הפשטה. טוב יעשה אם יפנה את מרצו למחקר מתמטי.
כתוב, יש ביקוש 167861
טוב תעשה אם תפנה מרצך למחקר גרפולוגי.
כתוב, יש ביקוש 167896
יובל כבר עשה זאת, בעקיפין, במאמרו "גרפולוגיה: מדע או אחיזת עיניים?": דיון 1421
כתוב, יש ביקוש 167899
וזו, כמובן, הסיבה שפניתי אליו מלכתחילה תגובה 167826 :-)
וואלה :) 167900
יש לינק חלופי או הסבר פשוט? 585625
הלינק שבור, הלכתי לויקיפדיה האנגלית והבנתי את ההגדרות ואת קצב הגידול הענקי, נתקעתי כשהם התחילו בהוכחה מחוץ לPA עם אורדינלים במקום להראות לי למה זה לא יכיח או פריך(?) בPA.
יש לינק חלופי או הסבר פשוט? 585765
נתקעת כי ההסבר לא היה ברור או כי חיפשת את ההוכחה שזה לא כריע ב-PA? ההוכחה עם האורדינלים היא לא קשה ואפשר לעבור עליה כאן. ההוכחה שזה לא כריע ב-PA היא לא קלה בכלל ואני לא מתפלא שאין אותה בויקיפדיה.
שאלה מטא-מתמטית 164402
למה שדווקא השערת גולדבך תהיה בלתי-תלויה באקסיומות הסטנדרטיות? זה נראה לי לגמרי לא סביר.
ואם כן, למה ("ברור") שנרצה לצרף אותה כאקסיומה?
שאלה מטא-מתמטית 164426
דומני שאורי לא הניח שסביר שדווקא השערת גולדבך תהיה לא תלויה. בעיני היא לא מועמדת מוצלחת במיוחד, אבל זה עדיין ייתכן.

ובאשר לצירופה כאקסיומה - אני חושב שהכוונה היתה שאם השערת גולדבך אכן מוכחת באורח-פלא כלא-תלויה, בפרט לא ניתן להצביע על דוגמה נגדית כלשהי, ולכן יותר "טבעי" להניח שהיא נכונה. אם, למשל, השערת הראשוניים התאומים מוכחת כלא-תלויה, המצב הוא ממש אחר: לא הטענה ולא שלילתה ניתנות לסתירה ע"י דוגמה, ולכן אין מועמד טבעי להיבחר כאקסיומה.
שאלה מטא-מתמטית 164473
אני חושב שהבנתי אותך. מבחינת המודל הטבעי - זה יהיה נכון, כיוון שאם יש דוגמא נגדית להשערת גולדבך במודל הטבעי, אז היא תהיה בכל מודל, ולכן שלילתה יכיחה מאקסיומות פיאנו. נכון?
שאלה מטא-מתמטית 164495
אני חייתי תחת האשליה הנבאיבית על פיה טענה כללית היא נכונה אם ורק אם היא מתקיימת עבור כל מקרה פרטי.

איך השערת גולבך יכולה להיות לא תלויה?

היכן הטעות בטענות להלן:
* אם אפשר למצוא דוגמא נגדית - היא אינה נכונה.
* אם אפשר להוכיח שלא קיימת דוגמא נגדית - היא נכונה.
* אם לא ניתן להוכיח שלא קיימת דוגמא נגדית - לא ניתן להוכיח שהיא בלתי תלויה (כי אם היא בלתי תלויה, לא קיימת דוגמא נגדית).

?
שאלה מטא-מתמטית 164538
אם מוכיחים שלא ניתן להפריך את השערת גולדבך במסגרת אקסיומות פאנו, אז בפרט לא ניתן להצביע על מספר שאינו סכום של שני ראשוניים. אם כך, ההשערה נכונה.

(לכן השערת גולדבך אינה יכולה להיות בלתי תלויה באקסיומות פאנו).
שאלה מטא-מתמטית 164541
כנראה שלא ירדתי לסוף דעתך.
אם לא ניתן להצביע על מספר כזה, אז הוא לא קיים (כי לכל מספר טבעי ניתן להגיע, ולו ע''י מעבר סדרתי על כל הטבעיים עד אליו).
שאלה מטא-מתמטית 164542
withdrawn
שאלה מטא-מתמטית 164595
נדמה לי שאני לא מסכים לטענה בסוגריים. האם לא ייתכן מצב שבו לא ניתן לגזור מ-PA את GC וגם לא את GC~? למה? מנין ל-PA הכוח הזה?

קח את המשוואה הדיופנטית של מאטייסביץ'. קיום פתרון למשוואה זו הוא לא כריע, ולכן בפרט אין לה פתרון (באותו מובן שאין לגולדבך דוגמה נגדית), כי אילו היה לה, היה קל לוודא אותו. למרות זאת, אין הוכחה שאין פתרון כזה. לפי הנימוק שלך, משוואה כזו לא תיתכן.
הערה מטא-מטא-מתמטית 164621
איזה יופי, גם מתמטיקאים לא-טרחנים לא תמיד ומיד מסכימים זה עם טענותיו של זה :-)
הערה מטא-מטא-מתמטית 164631
כן, אבל כשזה קורה הם לפחות מודים (אחד מהם, לפחות, וזה לא עוזי) שהם מדברים על דברים שהם לא מבינים בהם. חוץ מזה, חכה, גג שבוע ואנחנו נסכים.
הערה מטא-מטא-מתמטית 164633
כן, התכוונתי להגיד שאני בטוח שתגיעו להסכמה ואני מתכוון לחכות בסבלנות.
שאלה מטא-מתמטית 165943
כנראה שחוסר ההסכמה נובע מאי-בהירות בטענה המקורית.

כשמדברים על השערת גולדבך, זו יכולה להיות ההשערה ה"מתמטית", הסטנדרטית (שעוסקת רק במערכת הטבעיים המוכרת), או ההשערה ה"לוגית", זו שאומרת אותו הדבר, אבל מנוסחת כטענה מסדר ראשון על מערכת פאנו שבו היא מופיעה (אפשר להגדיר "כפל", "ראשוני" ו"ניתן לכתיבה כסכום שני ראשוניים" בשפה מסדר ראשון מעל מערכת פאנו).
ההשערה הלוגית היא רחבה יותר, משום שבמערכת פאנו לא סטנדרטית היא מתייחסת גם לאברים ה"לא טבעיים". ההבדל המהותי הוא, כמובן, שבהשערה המתמטית כל דוגמא נגדית אפשר לבדוק בזמן סופי (אלא ש"אפשר לבדוק בזמן סופי" נמצא מחוץ למסגרת האקסיומות מסדר ראשון).

אי-בהירות נוספת: אי-תלות "סתם", שבה ההשערה הנוספת נראית כאילו היא בלתי תלויה במערכת האקסיומות, לעומת אי-תלות "מוכחת" שבה, באמצעים שמחוץ-למערכת *מוכיחים* את אי-התלות (כמעט תמיד - על-ידי בניית מודל).

כעת אנסה לנסח ולהוכיח את הטענה שלי מחדש. לא יתכן ש*נוכיח* (מחוץ למסגרת מערכת פאנו) שהשערת גולדבך (המתמטית!) אינה תלויה במערכת פאנו - או אפילו שעקבי להניח את השלילה שלה, משום שאז לא תתכן דוגמא נגדית "סופית" (ממערכת פאנו הסטנדרטית), ובכך הוכחנו את ההשערה כמשפט.

אני מודה שזו טענה קצת מוזרה, כי בדרך כלל כשמדובר על אי-תלות, צריך להיות ניסוח של ההשערה בכלים של אותה מערכת (פאנו, במקרה שלנו), ואני לא טוען שום דבר על השערת גולדבך ה"לוגית", המנוסחת בשפה מסדר ראשון.
בנוסף, הנימוק שלי עובד רק כשיש *הוכחה* לאי-התלות. אין לי שום דבר נגד מי ש*מאמין* באי-התלות, כל עוד הוא לא מתיימר לספק הוכחות (ובכך אני מתחיל לגלוש אל מחוץ לשטח השיפוט שלי).
שאלה מטא-מתמטית 166063
1. אני לא מבין איך יכול להיות מודל של פאנו שבו ההשערה "הלוגית" לא נכונה, אבל אין לשלילתה הוכחה סופית.
(הרי את הדוגמה הנגדית אפשר להרכיב ע"י סדרה סופית של פעולות successor מאפס).

2. אני מתאר לעצמי שבעיקרון, אפשר להוכיח את אי התלות גם בלי לספק מודל (למשל, אני חושב שמשפט גדל הוא כזה). האם הטיעון שלך תופס למקרה כזה?
שאלה מטא-מתמטית 166104
1. אשמח אם תרחיב (המושג "ניתן להגיע אחרי סדרה סופית" אינו מסדר ראשון).

2. הטיעון שלי אינו דורש מודל, אלא הוכחה (מתמטית).
שאלה מטא-מתמטית 166167
1. א. אני לא לחלוטין מבין במה שאני מדבר כאן.
ב. לא טענתי שהמושג "ניתן להגיע אחרי סדרה סופית" הוא מסדר ראשון.
התהייה שלי הייתה איך ייתכן שיש מודל שבו ההשערה לא נכונה, אבל שאין לעובדה זו הוכחה. זאת מאחר ונראה שאם ההשערה לא נכונה, אז יש לה דוגמא נגדית, ואם יש לה דוגמא נגדית, אז הדוגמה הזו בעצם מהווה הוכחה בתוך אקסיומות פאנו.

2. האם לא ייתכן ש:
א. השערת גולדבך נכונה.
ב. לעובדה הזו אין הוכחה בפאנו.
שאלה מטא-מתמטית 166760
1. אני לא בקיא במודלים לא סטנדרטיים למערכות פאנו, ולכן צמצמתי את הטענה ל"השערת גולדבך המתמטית". יתכן שאת הדוגמא הנגדית (שאולי קיימת במערכת פאנו לא סטנדרטית) אי-אפשר לבדוק, שהרי במערכת לא סטנדרטית לא כל מספר הוא סופי (דהיינו, שרשרת סופית של פעולות עוקב על האיבר הראשון).

2. כנראה שזה המצב. אקסיומות פאנו הן חלשות מכדי שאפשר יהיה להוכיח בהן משהו מעין השערת גולדבך.
שאלה מטא-מתמטית 166774
1. אני גם לא בקי אבל חשבתי שבכל מודל למערכת פאנו לא ייתכן מספר שלא ניתן להגיע אליו בשרשרת סופית של פעולות עוקב.

(זאת מאחר שאם נגדיר את הקבוצה S כמכילה את 0 + כל המספרים שאפשר להגיע אליהם במספר סופי של פעולות עוקב מ0, אז לפי אקסיומת האינדוקציה* S יכיל את כל המספרים).

* אקסיומה מס' 5 ב:
שאלה מטא-מתמטית 166803
הוא אשר אמרתי: "אפשר להגיע במספר סופי של פעולות עוקב מ- 0" זה לא משפט בשפה מסדר ראשון, ולכן אקסיומת האינדוקציה לא חלה עליו.

(וכל מערכות פאנו מסדר שני איזומורפיות זו לזו).
שאלה מטא-מתמטית 166804
לא, זה בדיוק לא המצב. האקסיומה שציטטת היא מסדר שני, ובהקשר זה באמת אין מודלים לא-סטנדרטיים והבעייה נמוגה. בסדר ראשון, אי-אפשר לנסח את הטענה שלך ב-‏1.
תודה 166806
(גם לעוזי)
שאלה מטא-מתמטית 166095
או, אז אם כך באמת אין לנו ויכוח, ותודה על ההבהרה.

התיאור שלך גם מצדיק, לדעתי, את מה שאורי אמר בהתחלה על הוספת גולדבך כאקסיומה: אם מוכיחים את אי-תלות גולדבך הלוגית, זה אומר שהגירסה המתמטית נכונה (מה שאורי קרא "אין דוגמה נגדית במספרים רגילים"), ולכן סביר שנניח אותה כאקסיומה בנוסף לפאנו.

מיץ, ראית? פחות משבוע!! :-)
ספרות 166106
אוקי, ועכשיו הגיע הזמן למידע נוסף:
האם אתם מכירים ספרים או מאמרים טובים ללימוד-עצמי (אפילו לא מעמיק במיוחד) בנושאים שהוזכרו כאן (תורת המודלים, חשבון מונים, כריעות וכיוצא באלה), אם אפשר שיתאימו לבעלי קצת ידע מתמטי?
ספרות 166199
אני לא ממש מכיר ספציפית ספרים בלוגיקה, אני מוכרח להודות, אבל נראה לי ש-"A Mathematical Introduction to Logic" של Enderton מכסה לא רע את הנושאים שעלו כאן. אם אתה מעוניין בדיון ארוך, משעשע ולא מעמיק, תמיד יש את GEB של Hofstadter שכבר הוזכר כמה פעמים בתגובות. ברשת, יש לפחות ספר אחד שנראה יסודי (די מעמיק ומדוייק):

הזכרת גם "חשבון מונים", שזה נושא אחר קצת, ונדון בספרים לרוב עם הכותרת "תורת הקבוצות". יש ספר חמוד של Kamke, ואני חייב להזכיר גם את On Numbers and Games המופלא של Conway, שהוא מאוד לא אורתודוקסי אבל בעצם... מי צריך חשבון מונים אחר? אם תהית פעם כמה זה באמת אפסילון (כלומר, אחד חלקי אומגה), זה הספר בשבילך.
תודה. 166413
שאלה מטא-מתמטית 164640
זו בדיוק הייתה כוונתי, אלא שאני חושש שאתה טועה במסקנתך, כלומר, פורמלית יתכן שהשערת גולדבך בלתי תלויה באקסיומות פאנו. במקרה זה, ניתן לבנות מודל עם דוגמא נגדית, אלא שהדוגמא הנגדית הנ''ל לא תוכל להיות במספרים ''רגילים'', אלו המשמשים אתנו לספור.
מכיוון שאלו בדיוק המספרים שאותם אנו מנסים למדל ע''י אקסיומות פאנו, טבעי שנרצה להוסיף את השערת גולדבך לאקסיומות.
שאלה מטא-מתמטית 164643
ואם האפשרות השלישית נכונה? האם זה אומר שהיא *לא* בלתי-תלויה? שימ/י לב, כתבת "לא ניתן להוכיח שהיא בלתי-תלויה". אכן, נראה לי שאי-אפשר ב-PA להוכיח שגולדבך בלתי-תלויה. זה לא אומר שאי-אפשר להוכיח אי-תלות זו במערכת רחבה יותר, וזה בוודאי לא אומר שאפשר ב-PA להוכיח את GC או את שלילתה.

הדבר היחיד שעולה מהטיעונים הללו הוא שאת GC אפשר להפריך ב-PA אם היא לא נכונה. זה לא אומר שאפשר להוכיח אותה ב-PA אם היא כן נכונה. ואם זה המצב, אז אין יותר סתירות ב-(PA פלוס GC~) מאשר ב-PA לבדה.
שאלה מטא-מתמטית 165357
לגבי השערת גולדבך וכריעותה, נא קיראו בספר הנפלא ''הדוד פטרוס והשערת גולדבך'' (לא עברתי על שאר הדיון -- כנראה אני מתפרץ בדלת פתוחה).

בכל אופן, בתוך תורת הקבוצות -- כל תורת המספרים יכיחה. נראה לי שהשערת גולדבך אינה יוצאת מכלל זה (אגב, כנראה שהיא לא נכונה, אם נסמוך על האינטואיצה הפלאית של רמנוג'ן).
שאלה מטא-מתמטית 165363
לא ממש נכון. אולי התכוונת להגיד שניתן להוכיח עקביות תורת המספרים מתורת הקבוצות. מכיון שתורת המספרים ''מורכבת'' מספיק, ניתן לקודד כל השערה של תורת הקבוצות בתור משפט בתורת המספרים שבפרט יהיה בלתי יכיח ובלתי פריך גם בהנתן האקסיומות של תורת הקבוצות.
מטא-מטא-מתמטיקה 165616
אורי, אתה זה שטועה (אם אני לא טועה).
נא ברר טענותיך מול מומחים ללוגיקה מתמטית.
כל טענה בתורת המספרים היא כריעה באריתמטיקה מסדר שני (יש מודל יחיד לאקסיומות פאנו מסדר שני!).
השאלה האם השערת גולדבך כריעה גם באקסיומות פאנו מסדר ראשון צריכה לעניין פילוסופים ולוגיקאים, לא מתמטיקאים.

שוב לקרוא את הספר שהמלצתי לך, לכל הפחות.

ד"ר טי, חולם על פרופסורה.
מטא-מטא-מתמטיקה 165649
אורי, לדעתי, לא טען כלום לגבי אריתמטיקה מסדר שני, ולכן לא ברור לי איך נימוקיך מראים שהוא טועה.

אין לנו ויכוח שאריתמטיקה מסדר שני היא קטגורית. השאלה היא, עד כמה זה חשוב, או מועיל, ולפי טענתך שאריתמטיקה מסדר ראשון לא צריכה לעניין מתמטיקאים, כאן יש לנו ויכוח גדול. מדוע, לדעתך, לא עוברים כולם לסדר שני וחסל? האם אנדרו ויילס, אילו שמע ב-‏1998 ש-FLT לא תלוי ב-PA, לא היה משנה במקצת את תכניותיו? ואם יוכח שגולדבך, או twin primes, או 3x+1, במצב זה, זה לא ישפיע אפילו בטיפ-טיפה על מתמטיקאים העובדים על השערות אלה? באיזה מודל ובאילו שיטות אתה חושב שאנשי תורת-המספרים עובדים?
מטא-מטא-מתמטיקה 165780
אלון אחי, אנדרו ויילס לא עובד באריתמטיקה מסדר ראשון. הוא עובד במתמטיקה, כלומר (בלי שהוא יודע) הוא עובד בתורת הקבוצות, שמכילה את כל מה שאפשר להוכיח באריתמטיקה מסדר שני.

אי כריעות משפט פריס-הרינגטון לא מנעה מהם להוכיח אותו!

ובכן, הפילוסופיה מעניינת מאד אבל אין לה קשר למתמטיקה האמיתית (כמו שאתה רואה, אני לא לוגיקאי...)
מטא-מטא-מתמטיקה 165801
"בלי שהוא יודע"? אולי תנסה להגיב לעניין, בלי לפזר רמזים שחצניים לכל עבר?
מטא-מטא-מתמטיקה 165810
ד"ר טי (אנחנו אחים?): בניגוד אליך, אני מוכן להמר שויילס ומתמטיקאים אחרים יודעים בדיוק איפה הם עובדים.

משפט פריס-הרינגטון איננו לא-כריע. משפט פריס-הרינגטון אומר שטענה מסויימת בתורת-רמזי היא לא כריעה, ואת *זה* הם הוכיחו.

כיוון שאתה יודע מהי "מתמטיקה אמיתית" (אני לא), אשאל: האם במתמטיקה אמיתית, "אמת" ו-"יכיחות סינטקטית" מתלכדים? האם יש משמעות לאי-השלמות של לוגיקה מסדר שני, לעומת לוגיקה מסדר ראשון? האם במתמטיקה אמיתית יש טיעונים שאין דרך שיטתית לבדוק את עקביותם?

כמוך, אני גם לא לוגיקאי. חשבתי עד היום שאני עובד במתמטיקה, וראיתי בתוצאות אי-השלמות השונות טענות רלוונטיות עד מאוד. איפה טעיתי?
מטא-מטא-מתמטיקה 166620
אלון אחי, אענה לך ראשון ראשון ואחרון אחרון.

ויילס עובד בתורת הקבוצות, ושם תורת המספרים כריעה. זה מה שחשוב (את שאר מה שכתבתי אפשר לשלוח למיחזור נייר [אלקטרוני?]).

הטענה הלא כריעה בתורת רמזי היא טענה מתמטית *נכונה*, שאפשר להוכיח בכלים מתמטיים רגילים (אך לא מסדר ראשון).

כמובן שגם במתמטיקה האמיתית יש טענות לא יכיחות, למשל: השערת הרצף (אגב, השערה אבסורדית בעליל למי שמכיר קצת את התחום בצורתו המודרנית).

איפה טעית? תוצאות אי השלמות *בתורת המספרים* אינם רלוונטיות. אבל כמובן שהשערת הרצף ואחרות כן רלוונטיות, כי שם למתמטיקה כולה (תורת הקבוצות) אין מה להגיד (להכריע?).

בכל אופן, אחים נשארים אחים.
מטא-מטא-מתמטיקה 166640
ענית ראשון ראשון ואחרון אחרון, אבל פספסת כמה דברים באמצע. אני בטוח שאתה מכיר את משפט אי-השלמות ללוגיקה מסדר שני. גם לו אין חשיבות בעיניך? כבר שאלתי: למה אתה חושב שכל-כך הרבה אנשים טורחים על לוגיקה מסדר ראשון, אם "כלים מתמטיים רגילים" הם חזקים יותר?

"תוצאות אי-השלמות בתורת המספרים אינן רלוונטיות". גם הבעייה העשירית של הילברט?
מטא-מטא-מתמטיקה 168088
פרט, בבקשה (גילית את בורותי, אח יקר).

B.Sc. T

מטא-מטא-מתמטיקה 168091
לפרט... משפט אי-השלמות? הבעייה העשירית של הילברט?
מטא-מטא-מתמטיקה 168094
שניהם. אם אפשר.
מטא-מטא-מתמטיקה 166809
רק כמה הבהרות, לך ולמי שעוד עוקב. אנו לא רואים עין בעין בכמה מישורים, וכדאי להפריד ביניהם כדי לשפר את הסיכויים לדיון פורה.

1. המישור המטא-מתמטי: כאן דנים בשאלה האנושית, איזה סוג של הוכחות מתמטיקאים מחפשים. על זה אפשר להתווכח הרבה כי אין פה תשובות מוחלטות, ומתמטיקאים שונים מייחסים מן הסתם דרגות שונות של חשיבות לסוג הלוגיקה ומערכת האקסיומות שהם עובדים בה (וראה עוד למטה).

2. המישור המתמטי: כאן אנחנו מסכימים כמעט על הכל, ואולי אף על הכל ממש אם אני מפרש לקולא חלק מהטענות שהבאת. עדיין לא לגמרי ברור לי אם אתה מודע לאפשרות המתמטית ש-GC תהיה בלתי-תלויה אפילו ב-ZFC, למשל. במקרה זה טיעון האין-דוגמה-נגדית יראה ש-GC נכונה *אם* ל-ZFC יש מודל, כלומר ש-ZFC עקבית, וזו, לפי משפט אי-השלמות, עובדה שלא ניתן להוכיח ב-ZFC. במישור המטא-מתמטי, אני גם טוען שמצב עניינים (מוזר) זה יותיר הרבה אנשים עם תחושת אי-נוחות, למרות שטבעי ביותר כמובן להאמין ש-ZFC עקבית ו-GC נכונה. במלים אחרות, כשאנשי תורת-המספרים מחפשים הוכחה ל-GC, הם לא מתכוונים ל*זה*, ובמובן הזה אני לא מקבל את הטענה שכולם עובדים בתורת הקבוצות.

3. המישור של תרבות הדיון: אחרים כבר ציינו זאת, אז לא אכנס לזה שוב.
מטא-מטא-מתמטיקה 168089
אחי, אם ל זה.אף.צה. אין מודל אז למה לנו חיים? כל המתמטיקה מבוססת על זה, ולדעתי מניחה בעקיפין קיום מודל.

ואם אין לה מודל, אז יש לי הוכחה מתמטית קצרה מאד להשערת פרמה וגם להשערת גולדבך.

תלמיד תיכון T.
מטא-מטא-מתמטיקה 168092
כלומר, GC כן יכולה או לא יכולה להיות בלתי-תלויה ב-ZFC?
מטא-מטא-מתמטיקה 168097
נראה לי שהיא צריכה להיות משפט של זה.אף.צה, אבל מה שהזכרת על אי כריעות משוואות דיאופנטיות פגע בבטחוני המופרז ממילא. האם יש משוואות שלא ניתן להוכיח שיש להן פיתרון? מה עוד תוכל לומר על זאת?
מטא-מטא-מתמטיקה 168100
1. אני לא סבור שהפתרון השלילי לבעייה ה-‏10 רלוונטי לשאלות אי-תלות ב-ZFC; הזכרתי זאת רק כדוגמה לתוצאה שהיא בעיני מתמטיקה "אמיתית" ובעיניך, כך נדמה לי, לא. קישור לדוגמא:

2. לא הבנתי את כוונתך ב-"צריכה להיות". *כדאי* שהיא תהיה, *סביר* שהיא, או *לא יכול להיות אחרת*?
מטא-מטא-מתמטיקה 168152
חשבתי ש GC (או שלילתה) חייבת לנבוע מז.פ.צ'. בגלל שהיא מרחיבה את האריתמטיקה מסדר שני. (אולי יש לי טעות במשהו עדין? איני לוגיקאי.)

בכל אופן זה לא נראה לי חשוב: מה שחשוב זה האם ZFC יחד עם הנחת עקביותה (זו אקסיומה נוספת, שכל המתמטיקאים מניחים במובלע כדי שיהיה טעם לתוצאות שלהם) מכריעה את GC.
נראה לי שצריך להיות כך אך יכול להיות שאני טועה.

צ'או ברודר
מטא-מטא-מתמטיקה 168188
ה-C ב-ZFC הוא לא עבור "כהן"? אם כן, הרי שבעברית יש לומר צפ"ך או צפ"כ.
מטא-מטא-מתמטיקה 168192
לא, זה עבור Cesàro.
ה-Z הוא עבור Zermelo.

אי לכך, ובהתאם לזאת, הדוקטור צודק.
מטא-מטא-מתמטיקה 168197
ZF הם צרמלו ופרנקל. ZFC היא מערכת האקסיומות של צרמלו ופרנקל, בתוספת אקסיומת הבחירה (Axiom of Choice).
אפשר להרחיב בבקשה 166853
למה השערת הרצף נחשבת כאבסורדית בעליל?
מחוזות האבסורד 166859
לפי השערת הרצף, העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים, 2 בחזקת א_0, שווה ל- א_1. אנשי תורת הקבוצות גילו שהתאוריה נעשית עשירה ומעניינת יותר אם מניחים דווקא שהיא שווה ל- א_2, אבל אני לא משוכנע שזה מצדיק את המונח "אבסורדית".
אולי ד"ר טי יכול להסביר את עצמו טוב יותר.
מחוזות האבסורד 166969
עכשיו ממש בלבלת אותי. מה אכפת להם אם זה א_2 או עוצמה אחרת גבוהה יותר?
מחוזות האבסורד 167069
מה זה א_1, א_2? השערת הרצף מתייחסת לרציפות של הקרדינלים, לא?
מחוזות האבסורד 167071
א_1 הוא עוצמת הממשיים. השערת הרצף היא שזאת גם העוצמה של 2 בחזקת א_0
מחוזות האבסורד 167077
להיפך - עוצמת הרצף היא 2 ב-א_0, וההשערה היא שעוצמה זו שווה ל-א_1.
מחוזות האבסורד 167089
כפי שלמדנו בשעור הקודם (תגובה 164724), לכל קבוצה (לא ריקה) של סודרים יש מינימום.
לסודר הראשון שעוצמתו גדולה מ- א_0 יש עוצמה, שקוראים לה א_1. עוצמתו של הסודר הראשון שעוצמתו גדולה מ- א_1, היא א_2; וכן הלאה.
"עוצמת הרצף" היא 2-בחזקת-א_0 (כי יש התאמה לא רעה בין מספרים ממשיים לבין סדרות אינסופיות של אפסים ואחדים).

השערת הרצף קבעה שעוצמה זו שווה ל- א_1, או, בניסוח אחר, שכל תת-קבוצה של הממשיים שאינה בת מניה, שקולה (מבחינת העוצמה שלה) לכל הממשיים.
מחוזות האבסורד 167119
לא הקשבתי בשיעור הקודם... קיום מינימום מבטיח שכל קבוצת סודרים היא בת מניה (או סופית) - מגניב. עכשיו רק צריך להבין מה זה סודר.

אז בעצם השערת הרצף היא "השערת א=א1". תודה.
מחוזות האבסורד 167121
חלילה - לא כל קבוצת סודרים היא בת מניה (למשל, הזכר באותו סודר שעוצמתו גדולה מ- א_0; קבוצת הסודרים הקטנה ממנו אינה בת-מניה לפי ההגדרה).

סודר הוא קבוצה של סודרים, ואידך זיל גמור.
תיקון 167211
סודר הוא קבוצה טרנזיטיבית‏1 של סודרים.

1 לגבי יחס ההכלה: עם כל איבר (שהוא במקרה קבוצה), היא מכילה את כל האיברים שלו.
תיקון 167214
למען האמת הודעתך הקודמת קצת בילבלה אותי אז הלכתי לרפרף במצגת שקישרת אליה במעלה הדיון. הוא מגדיר שם את הסודרים בצורה שהיא בעיני מפוקפקת למדי (שזה בסדר עבור סמינר אבל בכל זאת). בפעם ראשונה הסודרים מוגדרים על ידי פעולות העוקב והגבול - הגדרה בעייתית מכיוון שלא ברור בדיוק מה ההגדרה של "גבול" בהקשר הזה וקשה לדבר על תוצר של פעולה שאינה מוגדרת היטב. בפעם השניה הוא למעשה נותן מודל להגדרת העוקב באמצעות בניה של הסודרים כקבוצות סגורות טרנזיטיבית כפי שתיקנת. גם כאן הגדרת הגבול נשארת עמומה (אם כי ברורה למדי אינטואיטיבית). עוד פעולה שלא אהבתי היא פעולת ה"כמו-מניה" שהוא מבצע על קבוצות סודרים. כפי שכתבת, לא כל קבוצת סודרים היא בהכרח ברת מניה אך הוא משתמש בתהליך בעל אופי של מניה על מנת "לעבור על כולם" אף כי ברור שלא מדובר בתהליך סופי. התהליך הזה הוא אבן בנין מרכזית בכל הטיעון שנבנה לאחר מכן והופך את כולו ללא ברור בעיני. בכל אופן, לענייננו, מי אמר שיש סודר שאינו בר מניה? למעשה (אני משתדל לא להיות פסקני מדי מכיוון שמן הסתם אני מחמיץ משהו) הבנייה הסדרתית של הסודרים מרמזת שכל קבוצת סודרים (שים לב שלא אמרתי "קבוצת הסודרים" כדי להמנע מהכלה עצמית) היא בת מניה.

עכשיו תסביר לי (בבקשה) איפה אני טועה לגמרי.
סודרים 167236
קל לראות שקיימות *קבוצות* שאינן בנות מניה‏1. כדי לדעת שיש *סודר* כזה, צריך להוכיח שאפשר לבנות סדר טוב‏2 על הקבוצות האלה, וזוהי למעשה גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה‏3.

מכיוון שאקסיומת הבחירה אינה נובעת משאר האקסיומות של תורת הקבוצות, נדמה לי שאפשר לחיות בשלום עם האפשרות שכל הסודרים‏4 הם בני מניה.

1 (קבוצת החזקה של הטבעיים, למשל)
2 סדר טוב הוא סדר שעבורו לכל תת-קבוצה לא ריקה יש מינימום.
3 אקסיומת הבחירה שקולה ל"כל קבוצה אפשר לסדר בסדר-טוב".
4 כתבת "כל קבוצת סודרים"; אבל ממילא איחוד של סודרים הוא סודר.
סודרים 167241
למה סדר טוב גורר סודר? נראה לי שזה עובד רק אם אתה מגדיר סודר בתור כל קבוצה סגורה טרנזיטיבית, במצגת ההגדרה היתה באמצעות פעולות עוקב וגבול. בהצגה כזו, נראה כאילו כל הזמן יש לך איחוד בן מניה של קבוצות בנות מניה.

לגבי אקסיומת הבחירה, היא מתחילה להשמע לי פחות ופחות מתאימה למודלים אינטואיטיבים. סדר טוב על הממשיים נשמע "לא טבעי".
סודרים 167246
אולי זו סטיה של האינטואציה שלי, אבל כל דבר שקשור ל"אינסופים" גדולים יותר מאלף-אפס נשמע לי "לא טבעי".

מעניין גם, אותי לפחות, לדעת למה אני מתכוון כשאני אומר "לא טבעי". למה אתה מתכוון?
מונים 167249
המספרים הטבעיים, מן הסתם, טבעיים בעיניך. קבוצות של מספרים טבעיים - גם (יש להניח).
אלא מה, אי-אפשר למנות את כל הקבוצות של מספרים טבעיים (כלומר, למספר אותן, 1,2,3,..., בלי לפספס אפילו אחת). מכאן שהגודל של קבוצת הקבוצות של מספרים טבעיים הוא "יותר מאלף-אפס". מה לא טבעי כאן?
סודרים 167252
ראשית, "סודר" מוגדר כקבוצה טרנזיטיבית שהיא גם סדורה-היטב (לגבי יחס השייכות). מסתבר שכל סודר שייך לאחד משני סוגים: עוקב ("גדול באחד" מן הסודר שקדם לו, כמו כל המספרים הטבעיים), או גבול (איחוד כל הסודרים שקטנים ממנו, כמו למשל omega).

כמובן שהסודר הראשון שאינו בן מניה, לא יכול להיות עוקב, ולכן הוא גבולי. אם כך, הוא מהווה איחוד (שאינו בן מניה!) של קבוצות בנות מניה. לא בעיה.

לא אנסה לשכנע אותך באינטואיטיביות של אקסיומת הבחירה (מה לסאוונות אפריקאיות ולאקסיומות של תורת הקבוצות?). הסדר הרגיל על הממשיים, כמובן, אינו סדר טוב - ואולי בגלל זה נראה לך מוזר ש*קיים* סדר טוב.
סודרים 167417
הכל ברור מלבד ה"מסתבר" בראשית המשפט השני בתגובתך, הרי זו בדיוק שאלתי.

לגבי סדר טוב על הממשיים, לא "טענתי" שהוא לא אינטואיטיבי אלא "סיפרתי" שהוא לא כזה בעיני. הסדר הרגיל הוא לא סדר טוב גם על הרציונליים ובכל זאת מאוד משכנע (ונכון) שיש עליהם סדר טוב.

אגב, האם מספיק להניח את אקסיומת הבחירה על קבוצות בעוצמה כלשהי או שיש צורך להניח אותה על כל הקבוצות? האם קונסיסטנטי להניח, למשל, שאקסיומת הבחירה מתקיימת לעוצמת הרצף אבל לא לעוצמות גבוהות יותר?
סודרים: עוקבים וגבולות 168296
הטענה היא שכל סודר‏1 הוא עוקב‏3 או גבולי‏4.
"Take the following rule on faith":
כל שני סודרים אפשר להשוות (אם הם שונים, אחד מהם קטן מהשני).
כעת, יהי a סודר, ו- b האיחוד של כל האיברים של a (שכמובן גם הוא סודר). אם a=b, סיימנו. אם b>a אז a הוא איבר של b, ולכן איבר של אחת הקבוצות המשתתפות באיחוד של b, שהן איברי a. זה בלתי אפשרי (כי השייכות היא יחס א-סימטרי). נשאר המקרה b<a. אלא שאז, ניקח b'=b+1 (כפי שהוגדר ב‏3). אם b'>a אז a שייך ל- b+1, ואז a=b או a<b (וזה בלתי אפשרי). אם b'=a, סיימנו. נשאר המקרה b'<a; אז b (המוגדר כאיחוד אברי a) מכיל את b', ובפרט {b} הוא איבר של b - שוב סתירה לא-סימטריות.

1 אולי הגיע הזמן לתת הגדרה מסודרת: סודר הוא קבוצה שיחס השייכות עליה הוא טרנזיטיבי (כלומר, לכל איבר של הקבוצה, כל האיברים שלו הם איברים שלה‏2) ו*טוב* (לכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר מינימלי).

2 זו תורת-הקבוצות פמיניסטית.

3 דהיינו, מהצורה b+1 כאשר b הוא סודר. הסודר החדש b+1 מוגדר כאיחוד הקבוצה b עם הקבוצה {b} (שיש לה איבר אחד). מבחינת הסדר, זה כמו להדביק נקודה חדשה בראש הסודר הקודם.

4 שווה לאיחוד כל הסודרים הקטנים ממנו (= שייכים לו).
סודרים 167334
את קיום W (אומגה, יעני) מניחים ב"אקסיומת האינסוף". מכאן אפשר להגיע לסודרים מעוצמות גבוהות יותר ע"י אקסיומה נוספת ומספר עובדות בסיסיות:

ראשית, איחוד של קבוצת סודרים היא בברור סודר. מכאן נגיע למסקנה ש"אוסף כל הסודרים" או כל אוסף של סודרים אשר -איננו חסום-, לא יכול להיות קבוצה. כעת נניח בשלילה שכל סודר K מעל W הוא מעוצמה א0. אם כך, קיימת פונקציה חח"ע f:K ----> W, ופונקציה זו מגדירה על W סדר טוב מה"טיפוס סדר" של K. אולם אם כך, נוכל כעת להגדיר פונקציה שתחומה (P(WxW (קבוצת החזקה של WxW), כך שתמונתו של איבר היא אפס אם איננו סדר טוב, והסודר המתאים a באם הוא סדר טוב מטיפוס a. בכך יצרנו פונקציה שתחומה הוא קבוצה (לפי אקסיומת החזקה), והטווח שלה הוא מחלקת כל הסודרים פחות W, אשר איננה קבוצה. זה בלתי אפשרי לפי "אקסיומת ההחלפה".

עד כמה שאני מבין עוזי מדייק - הרבה מאוד מודלים שמוכיחים טענות אי-תלות בתורת הקבוצות הם בני-מניה לחלוטין. זה נוח מאוד מכיוון שבדר"כ מנסים "להרחיב" מודל בן-מניה כך שיכלול מה שקרוי "קבוצה גנרית", ובכך "לכפות" על ההרחבה הגנרית לקיים תכונות מסוימות. במודל בן-מניה מובטח לנו שקיימת קבוצה גנרית לכל אוסף תנאים מתיישבים, גם מבלי להשתמש בכלים כגון אקסיומת מרטין (אשר מבטיחה לנו קיום קבוצה גנרית לעוצמות גדולות יותר מ א0). במודל בן-מניה, בפרט כל הסודרים והמונים הם בני מניה.
סודרים 168086
עוזי אחי (מה לעשות יש לי משפחה גדולה), מה לכהן בבית הקברות: תן לקברן לדבר.

משפט (בלי אקסיומת הבחירה, חברים! ובלונים מחלקים רק אחרי ההוכחה): לכל סודר קיים סודר שעוצמתו גדולה יותר.

הוכחה: לוקחים את קבוצת כל הסודרים שאיזומורפיים לאיזשהו סדר טוב על הסודר הנתון (לאו דוקא הסדר המקורי שלו). איחוד של קבוצת סודרים הוא סודר. קל לראות שהסודר המתקבל מהאיחוד של הקבוצה הנתונה – עוצמתו גדולה יותר מעוצמת הסודר המקורי.

אז חברה, שלא תעיזו לומר שאפשר להניח שכל הסודרים בני מניה, אפילו אם אין חופש בחירה.

אגב, הויכוח על קבלת אקסיומת הבחירה למתמטיקה נקבר כבר מזמן. רובם ככולם קיבלו אותה.
סודרים 168263
מה זה איזומורפיזם בין סודר לסדר טוב? נגיד ש"הסודר הנתון" הוא אומגה. מהי קבוצת כל הסודרים שאיזומורפיים לסדר המקורי שלו (לדוגמא)? למה איחוד של קבוצת סודרים הוא סודר? למה הסודר המתקבל מהאיחוד של הקבוצה שתיארת הוא מעוצמה גבוהה מהסודר המקורי?
סודרים 168279
"איזומורפיזם" כאן הוא התאמה חח"ע ועל בין הקבוצות, ששומרת על יחס הסדר. סודרים ש"איזומורפיים לאיזשהו סדר טוב על הסודר הנתון" - ניסוח מוארך ל"איזומורפיים *כקבוצות* לסודר הנתון" (בלי לדרוש שום דבר על הסדר).
במלים אחרות, מדובר על קבוצת כל הסודרים מן ה*עוצמה* של הסודר שלנו - ומכיוון שזו קבוצה לא חסומה‏1, האיחוד שלה גדול מכל אחד מאבריה.

(במקרה של אומגה, לוקחים איחוד של כל הסודרים שהם בני מניה; למשל: omega^omega).

איחוד של סודרים הוא סודר - לפי ההגדרה (זו קבוצה טרנזיטיבית של סודרים). העוצמה חייבת להיות גבוהה מן העוצמה המקורית, משום שבחרנו לשתף באיחוד את כל הסודרים מן העוצמה המקורית; אילו האיחוד היה כזה, הוא היה משתתף באיחוד ולכן קטן מעצמו.

סיכום: בניגוד להצעתי בתגובה 167089, ד"ר טי מציין שאין צורך להניח את הקיום של אותם סודרים מראש - האיחוד של כל הסודרים מעוצמה א_0 הוא בעל עוצמה א_1, וכו'.

1 מדובר על עוצמה לא סופית, ויחד עם כל סודר a נמצא שם גם a+1.
סודרים 168356
טריוויאלי. אבל ברור (או שלא?) שבניה כזו לא יכולה לספק סודר בכל עוצמה שהיא מכיוון שסודר מגדיר סדר טוב ואם קיים סדר טוב על קבוצה בכל עוצמה אז אקסיומת הבחירה מתקיימת.
סודרים 168475
הבניה הזו מייצרת סודרים מכל העוצמות; (למעשה "עוצמה" היא מקרה פרטי של סודרים). לו היית יודע שכל קבוצה שקולה לאחד המונים, זה היה מוכיח את אקסיומת הבחירה. אלא שזה בכלל לא ברור - הטענה "אם A ו- B קבוצות, אז הן שקולות, או שאחת מהן שקולה לתת-קבוצה של השניה" שקולה בעצמה לאקסיומת הבחירה.
סודרים 168481
מאיפה הגיעו הנה מונים פתאום?

אתה אומר שלא לכל קבוצה יש עוצמה? עד כמה שאני מבין, עוצמה היא למעשה סוג של סדר המוגדר על ידי פונקציות על (נניח). כלומר אם יש פונקציה מ- A על B, נאמר שעוצמת A גדולה שווה לעוצמת B. לא ככה? למה צריך מונים עבור ההגדרה הזו?

אתה רוצה לומר שהטענה "קיימת פונקציה מ- A על B או שקיימת פונקציה מ- B על A" שקולה לאקסיומת הבחירה?
סודרים 168516
אתה למעשה כותב בדיוק על הבעיה. לכאורה, ההגדרה של "עוצמה" של קבוצה כפי שלומדים אותה בקורס מבוא של מתמטיקה בדידה נראית משונה מאוד. אתה יכול לנסות להשוות בין עוצמות, אבל אתה לא ממש יכול להגדיר מה זו ה"עוצמה" הזו שאתה משווה כל הזמן. המונה א0 (או אומגה) הוא -הקבוצה- בהא הידיעה לה אנו קוראים "העוצמה" א0. כנ"ל לגבי הסודר (והמונה) המכונה א1.

ואכן, ללא אקסיומת הבחירה אי אפשר להראות שיש פונקציה מ A על B או להפך. ההוכחה משתמשת בלמה של צורן.
סודרים 169383
חברים, רק הראיתי שלכל עוצמה יש עוצמה גדולה ממנה (בלי להניח את אקסיומת הבחירה). אבל זה *לא* אומר שבדרך הזאת אפשר לקבל את כל המונים/עוצמות!!!

זהירות, אחיי.
כמו מניה 167343
בהנחה שמדובר על אינדוקציה טרנס-פיניטית, זה לא בדיוק מניה. אם תכונה עוברת לסודר עוקב ולגבול של סודרים, אז קל לראות שהיא נכונה לכל הסודרים - פשוט מחפשים את הראשון בו היא נכשלת.
עוד א0 יא בן מניה! 167346
לא, אין לי משהו קונסטרוקטיבי לתרום, רק שתגובתך הזכירה לי נשכחות-
פעם, בעודי באוניברסיטה, הגיע אלי נפעם ידידי מ.א. משעור בתורת הקבוצות ( אאלט) והצהיר " מי שלא למד אינדוקציה טרנס פיניטית הוא לא בן תרבות!".
אני מנצל את ההזדמנות לשאול כאן האם מישהו יוכל לסכם בקצרה ובמינוחים יחסית פשוטים מה זה אינדוקציה טרנס פיניטית?
עוד א0 יא בן מניה! 167348
אם לא היו שינויים דרסטיים בתורת הקבוצות בזמן האחרון, אז זה בדיוק מה שהזכרתי למעלה - סתם הרחבה של עיקרון האינדוקציה הרגיל. אם לתכונה כלשהיא P ידוע שאם היא נכונה לכל איבריו של סודר K היא נכונה גם ל K עצמו, אז תכונה P נכונה לכל הסודרים.
כמעט נכון 167351
חסר רק משהו קטן
עוד א0 יא בן מניה! 167367
אפשר <לקבל> דוגמה פשוטה?
עוד א0 יא בן מניה! 167386
למשל אפשר להראות באינדוקציה טרנס פיניטית שלכל מונה K מתקיים האי-שוויון אK <= K :

1. לגבי א0 או א1 זה ברור.

2. נניח שזה נכון ל אK, אז ברור שעוצמת K ו K+1 זהה, אולם זו של א(K+1) היא גדולה יותר משל אK, וממילא משל K+1.

3. נניח B סודר גבולי, ובשלילה אB קטן ממש מ B, ולכן מהווה איבר ב B. ניקח אחד מעליו ב B, למשל סודר A. כעת לפי הנחת אינדוקציה אA <= A ובפרט אA > אB , אולם זה לא ייתכן משום ש B > A (בעיקרון יש להראות גם נכונות עובדה זו).
עוד א0 יא בן מניה! 167395
טוב, למרות שרפרפתי על הדיון הקודם לא ממש הבנתי.
נדמה לי ש1 ו2 זה מספיק, לא?

זכור- אני לא "בן תרבות".
עוד א0 יא בן מניה! 167402
לא בדיוק, משום שלסודר כלשהוא לא בהכרח יש אחד "לפניו", ולכן אינדוקציה רגילה לא "תגיע" אל הסודר הזה (שנקרא גבולי. אחרת, אפשר למשל להוכיח שכל הסודרים הם מעוצמה סופית: 1 מעוצמה סופית, ואם K מעוצמה סופית בוודאי ש K+1 הוא מעוצמה סופית.
עוד א0 יא בן מניה! 167403
אבל במשפט דיברת על מונים ולא על סודרים?
עוד א0 יא בן מניה! 167406
גם וגם. לכל סודר K יש גם מונה אK (ולהפך, אבל זה לא משנה כאן).
עוד א0 יא בן מניה! 167409
יותר טוב. אני מתחיל להבין, תודה על המאמץ.
אפשר להרחיב בבקשה 168087
כי זה כמעט כמו להגיד ש 2 בחזקת n הוא המספר הראשון שגדול מ n (כלומר n+1).

יש גם צדדים לטעון ההיפך, אבל בכל אופן השערת הרצף היא שרירותית לגמרי. אין שום עדות רצינית לטובתה.

לי בכלל נראה שהרצף יותר גדול מ"אלף n" לכל n טבעי, אבל אני משוחד מהערצתי לכהן (פול, לא זה מבית הקברות) שטען זאת.

לגבי תרבות הדיון שלי – אתם צודקים היא באמת לא בסדר, אבל זה בגלל ה nick (ד"ר טי זו אבולוציה של מר טי זכור לטוב מצוות לעניין, טיפוס בריון כלפי חוץ אבל טוב לב בפנים).

ד"ר טי, בקרוב פרופסור.
אפשר להרחיב בבקשה 168090
זה הנימוק? כמה מאכזב...
אפשר להרחיב בבקשה 168095
כן, מאכזב אחי. יש עוד נימוקים, אגב. למשל,
השערת הרצף זה כמו להגיד שכל החבורות הן אבליות. זה נוח, פשוט ואלגנטי. אבל מוריד הרבה (את רוב?) היופי של תורת החבורות מהפרק. הטענה "x+y=y+x" אינה יכיחה בתורת החבורות בדיוק כמו שהשערת הרצף אינה בתורת הקבוצות.

פחות מאכזב, או שאני מפוטר? (זה בסדר, אני אסבול בשקט, לא נורא שאח מעליב את אחיו ובשרו :)
אפשר להרחיב בבקשה 168099
לא פחות מאכזב, אך נראה לי (*אנחה*) שעייפתי. ניפרד כידידים? אחים? איך שתרצה.
רק 2 שקל, כל משפט גולדבך! 164410
למה זאת תהיה הוכחה של המשפט? זה רק אומר שקיים מודל שבו המשפט נכון, ומודל בו המשפט לא נכון. איך אתה יודע שהמודל הסטנדרטי הוא דווקא מודל שבו לא קיימת דוגמא נגדית? הרי בטוח שיש מודל בו יש דוגמא נגדית (אם היא אכן אינה יכיחה). גם המשפט שאתה מזכיר בתורת רמזי מוכח כנכון במודל הסטנדרטי, אבל ברור שיש מודלים של פיאנו שבו הוא אינו נכון.
שאלת תם 166065
בעזרת איזה אקסיומות מגדירים את המספרים הממשיים?
שאלת תם 166107
את הממשיים אפשר *לבנות* מתוך המספרים הטבעיים (בונים את המספרים הרציונליים, וממשיכים בעזרת "חתכי דדקינד" או סדרות קושי).
לאחר שבונים אותם, אפשר להוכיח שאוסף הממשיים מהווה שדה סדור שלם ארכימדי יחיד. אם-כך, אפשר לקחת את התכונות האלה כהגדרה אקסיומטית, וזה בדיוק מה שעושים בקורסים בחשבון אינפיניטיסימלי שבהם אין זמן לפיתוח מסודר של כל המערכת.

(יתכן שאי-אילו מלים בתגובה זו דורשות הסבר נוסף; לא לפחד להצביע).
שאלת תם 166110
הייתי רק מזכיר גם את התורה של שדות סגורים-ממשית (Real Closed Fields), שלמטרות מסויימות היא נוחה יותר. זו לא הגדרה אקסיומטית של הממשיים, אבל זו תורה סימפטית גם מההיבט האלגברי וגם מההיבט הלוגי.
שאלת תם 166112
אז למה שלא תזכיר? נשמע מעניין.
שאלת תם 166129
טוב, ברמת ה-"להזכיר" הזכרתי... אבל הנה עוד פרטים. ההקשר ממנו צמחה התורה הוא הבעייה ה-‏17 של הילברט, שנפתרה יחסית מהר ע"י ארטין ושרייר.

את האקסיומות של שדה אני מניח שמכירים. שדה נקרא "ממשי" אם 1- איננו סכום ריבועים בשדה, ו-"סגור ממשית" אם הוא ממשי אבל כל הרחבה אלגברית שלו איננה כזו. אני מדגיש שוב שהתכונה "סגור ממשית" איננה כמובן ייחודית לשדה המספרים הממשיים, ולכן לא מדובר כאן על מערכת אקסיומות לשדה זה ספציפית. מצד שני, כרגיל במתמטיקה, מאוד מועיל לראות כמה מידע אפשר לחלץ מתכונה מסויימת של אובייקט מתמטי כאשר "מפשיטים" אותה, וכאן זה עובד מצויין.

בקיצור, אפשר לראות שעל שדה סגור ממשית אפשר להגדיר סדר (a גדול מ-b אם a-b הוא ריבוע), ואח"כ להוכיח כל מיני תכונות נחמדות (המוכרות מהממשיים) כמו שלכל פולינום ממעלה אי-זוגית יש שורש (היופי הוא שכאן עושים את זה "בלי אינפי").

מההיבט הלוגי, כפי שציינתי, התורה היא סימפטית כי היא כריעה ושלמה. אפשר למצוא עוד פרטים בהרבה ספרים על אלגברה וגם ברשת - למשל:

תודה 166194
האמת, רציתי להצביע, אבל מצאתי את מה שחיפשתי ב http://students.bath.ac.uk/ma2mo/project_real/main.h...
מכיר גולדבך 248398
האפשרות שהשערת גולדבך לא יכיחה קוסמת לי מאוד. בעצם האתגר להוכיח שהשערת גולדבך בלתי תלויה באקסיומות פיאנו הוא שונה לגמרי מאתגר ההוכחה שלה.
ממש מדגדג לי לנסות לבנות מודל שבו פיאנו מתקיים וגולדבך לא. (אני לא מתימר להצליח כמובן... אין הרבה כמו גדל).

אגב, מאוד אהבתי את הדוד פטרוס, רק מצאתי שם טעות בסיסית בהבנת משפטי אי-השלמות של גדל שהספר די מושתת עליה (ספוילר מגיע!!): הדוד מתחרפן מהאפשרות שלא ניתן להוכיח את ההשערה. אבל אין דבר כזה "לא ניתן להוכיח" באופן אבסולוטי. יש דבר כזה רק במסגרת של מערכת אקסיומאטית כלשהיא. הספר לוקה בכשל היפוך הכמתים: "בכל מערכת אקסיומות יש פסוק לא יכיח" <> "יש פסוק לא יכיח לכל מערכות האקסיומות".
הקיצר, אם יתברר שההשערה לא יכיחה במערכת המוכרת (פיאנו למשל), אזי האתגר האמיתי (כפי שאני רואה את זה) הוא לנסח מערכת אסטטית, יעילה וכזאת שגוררת את פיאנו שבמסגרתה אכן ניתן יהיה להוכיח את ההשערה.
מכיר גולדבך 248431
לא מאד מאתגר:
1.2.3.4.5 - פיאנו.
6. גודלבך.

מ.ש.ל.
מכיר גולדבך 248571
כפי שציינתי ב תגובה 164381 , אם תראה שהשערת גולדבך בלתי תלויה (למעשה מספיק להראות שהיא עיקבית), הרי שנתת סיבה טובה מאד לאמץ אותה כאקסיומה. מבחינה מטה-מתמטית, אפשר להגיד שנכונות ההשערה שקולה לעקביותה.
מכיר גולדבך 248627
אפשר כמובן להוסיף הרבה טענות שמתגלות כלא תלויות כחלק ממערכת האקסיומות, אבל:
א. לא כל משפט בלתי תלוי יתרום אם נוסיפו כאקסיומה. לעיתים נבנה מערכות אקסיומות צרות ולא מענינות שלא יביאו לכלום.
ב. ההשערה אינה נראית ברורה ומיידית ולא מועמדת "טבעית" להיות אקסיומה. מכיון שמתמטיקאים מחפשים גם אסתטיקה ויעילות, אזי יש לחפש טענה אחרת הגוררת את השערת גולדסבך, שהיא מועמדת יותר טבעית להיות אקסיומה.

שתי הנקודות נותנות כיוונים שונים לגמרי לחקור את הנושא:

הנקודה הראשונה היא אתגר למצוא את כל ההשלכות שיהיו אם יתברר שהשערת גולדסבך עקבית/מוכחת. עשו את זה בעבר עם השערת פרמה לפני שהיא הוכחה, ולמעשה הוכיחו משפט "על תנאי". לא הייתה למשפט משמעות עד שויילס הגיע, אבל ההישג והחשיבות של המשפט שנגזר מפרמה נתן מוטיבציה לא רעה בכלל לעבוד על פרמה.

הנקודה השנייה היא אתגר לנסח טענה שכן מועמדת להיות אקסיומה ועומדת בשני תנאים:
1. גוררת/שקולה להשערת גולדבך.
2. בלתי תלויה באקסיומות פיאנו.
זהו האתגר של הקמת כל מערכת אקסיומטית קומפקטית יעילה ואסתטית, ולדעתי זהו האתגר הגדול מכולם: פיתוח של תחום חדש במתמטיקה העוזר לפתור בעיות ידועות. זה קרה עם גלואה והמשוואות הדיאופנטיות ממעלה חמישית ומעלה, וזה יכול לקרות שוב, ובגדול.
מכיר גולדבך 248632
לא הבהרתי את עצמי. אם יתגלה שהשערת גולדבך עקבית, הרי שינבע מכך שאין דוגמא נגדית במספרים הטבעיים ה''אמיתיים''. מכיון שמטרת אקסיומות פיאנו היא למדל אותם, הרי שעלינו לאמץ את השערת גולדבך.
מכיר גולדבך 248635
לא הבנתי למה אתה קורה המספרים הטבעיים ה"אמיתיים". האם אנחנו לא כל הזמן מנסים להבין מהם? האם לא זה בדיוק מה שאנחנו עושים כשאנחנו מחפשים אקסיומות שינסחו באופן פורמלי איזשהו תחום?
מכיר גולדבך 248636
בוא ניתן דוגמא. נניח שאני מוכיח לך את עקביותה של GC.
עכשיו אשאל אותך האם 45722151 הוא דוגמא נגדית ל-GC?
טענתי היא שתוכל לענות "לא" מבלי להביט בכלל במספר שנתתי.
ואם תקבל זאת, הרי שקיבלת את נכונות GC במספרים הטבעיים.
מכיר גולדבך 248637
המספרים הטבעיים האמיתיים הם הם אלו שאותם מנסים למדל. אנו מסתכלים עליהם ומשתכנעים שהם חילופיים ולכן אנו מוסיפים אקסיומת חילופיות לתורה, וכו'. מתקבלת איזושהי תורה ולמודלים שלה אנו קוראים מספרים טבעיים‏1.

1 בהקשר הזה.
מכיר גולדבך 248633
ועוד שכחתי:
אקסיומת הבחירה של פרנקל בתורת הקבוצות האקסיומטית עומדת עד היום בבחינה של מתמטיקאים רבים האם "נכון" לצרף אותה למערכת האקסיומות של צרמלו.
השיקולים הם שונים ומשונים, מ"יפה" ו"קומפקטי" ועד "האקסיומה לא נכונה". (ממש כך).

במסדרונות גבעת רם הסתובבה שמועה אפילו שסהרון שלח מתנגד להוספתה של האקסיומה למערכת (אפילו שהוא משחק איתה ובודק מה נגרר ממנה).

כך שיש תוקף "לבחון" אקסיומות גם אם הן בלתי תלויות/עקביות.

בדיוק ראיתי פתיל למטה שמתעסק בנושא הזה של "נכונות" אקסיומות, אסל מאוחר ואני לא אקרא את זה עכשיו. בהזדמנות...
מכיר גולדבך 248638
1. אתה מכיר משפטים שנובעים מהשערת פרמה, או מהשערת גולדבך? (נראה לי שאתה מחליף אותם בהשערת רימן, שם יש הרבה מאד דוגמאות).
2. משוואות דיאופנטיות ממעלה חמישית?
מכיר גולדבך 248646
(בנוסף להערות של אורי) צריך קצת להיזהר פה. "בלתי-תלוי באקסיומות פאנו" זו טענה חלשה למדי, כי יש מערכות חזקות הרבה יותר שהן מאוד מקובלות, כמו ZFC. הדוגמה של משפט גודסטין שנדונה כאן היא כזו (לא יכיחה ב-PA, כן יכיחה ב-ZFC).

(כדאי גם לזכור שכדי להוכיח משהו כמו "גולדבך אינו תלוי בפאנו", חייבים ממילא לעבוד במערכת אקסיומות רחבה יותר, כמו נניח ZFC. אינך יכול להוכיח תוך שימוש ב-PA בלבד ש-PA לא גוררת את GC, שכן אז הראית בפרט ש-PA עקבית.)
תגובה למכיר גולדבך 212747
איפה ניתן למצוא את ההוכחה של צ'ן ג'ינג-רון?
תגובה למכיר גולדבך 212764
יש שלל סימוכין כאן:

אני חושב שהייתי מתחיל מזה:

Ross, P. M. "On Chen's Theorem that Each Large Even Number has the Form or ." J. London Math. Soc. 10, 500-506, 1975
רגע אחד... 624161
יכול להיות שסיני נוסף בשם Yitang Zhang הוכיח את השערת התאומים הראשוניים, ואף אחד לא צייץ על זה מילה באייל מרוב עיסוק בשאלת מספר המלאכים שיכולים לרקוד על ראש סיכה לצליליו של אישקשתא אחד? לא, לא יכול להיות, בטח פספסתי משהו.
רגע אחד... 624162
אה, אני רואה שהוא הוכיח משהו קצת פחות מרעיש אבל מעניין בכל זאת.
רגע אחד... 624180
בהחלט התקדמות מרעישה. כבר יש פרוייקט polymath שמטרתו לשפר את הקבועים וכבר הוכיחו תוצאות טובות יותר כמותית מזו המקורית של Zhang, וגם יש סדרת פוסטים אצל טרי טאו הסוקרת את ההוכחה. נראה לי שיש הסכמה כללית שההוכחה נכונה.

(בקיצור: עוד לא הוכיחו שיש אינסוף ראשוניים הנבדלים ב-‏2, אבל כן הוכיחו שיש אינסוף ראשוניים הנבדלים בלכל-היותר כמה מאות אלפים).
רגע אחד... 624968
ועכשיו מספר פיטר וויט שהפער המכסימלי בין שני ראשונים עומד על 600, לא כמה מאות אלפים.
רגע אחד... 624199
האם אתה טוען שיש טרחנים גם בתחומים אחרים שאינם מתימטיקה, תיאולוגיה ופוליטיקה למשל?
רגע אחד... 624214
אני מניח שמה שאצלי נתפס כטרחנות מהווה עבור אחרים דיון מעניין. בעקבות התובנה הזאת אני מצליח לשבת בשקט בדרך כלל ולא לתת במה למטר החרפות והגידופים שמתרוצץ אצלי בראש למקרא אותם פתילים‏1, אבל פה ושם נפלט לי.
_____________
1- אולי הגיע זמן לשנות את הלוגו של האייל ל"דיונים עם פתיל ארוך מדי".
רגע אחד... 624218
________________
1 אם הדיון בו מופיעה תגובתך הנוכחית לא הביא לשינוי הזה, הפתילונים האחרונים שכאזובי-הקיר הינם ביחס אליו לא אמורים להטריד את מנוחת הלוגו הנ"ל.
רגע אחד... 624219
עיקר הדיון הזה קדם ליצירתו של המוטו החדש.

מעניין אם יש כאן מי שמתגעגעים ללוגו הישן.
רגע אחד... 624228
מתגעגעים יותר לתוכן שהיה מתחת ללוגו הישן.
רגע אחד... 624224
זכויות בעלי חיים, תזונה (טבעונות, צמחונות...).
מכיר גולדבך 646940
למה אי אפשר להוכיח את ההשערה הזו, בעצם כל מספר אחרי 2 מורכב מחיבור של 2 ו- או- 1. ו2 ו1 הם מספריים ראשוניים.
מכיר גולדבך 646947
ההשערה מדברת על חיבור של זוג מספרים בלבד (לדוגמה: 7 = 2+2+3 לא לגיטימי, 7 = 5+2 לגיטימי).
אגב, 1 איננו ראשוני.
מכיר גולדבך 646948
כלומר, אם רק 7 היה זוגי.
האם ניתן 196313
בכלל לחלק זווית לחלקים שווים שאינם חזקה של שתיים?
האם ניתן לחלק אותה ל - 5 חלקים שווים, למשל?
שאלה זו נובעת מן העובדה שחלוקתו המסורתית של מעגל היא ל - 360 חלקים שווים.

שאלה נוספת לגבי הכפלת קוביה:
כפי שהבנתי לא ניתן להכפיל נפח של קוביה נתונה, כיוון שאורך המקצוע של הקוביה המוגדלת יהיה פי "שורש שלישי של שתיים" ממקצוע הקוביה הקטנה.
האם הקושי נובע רק מהיותו של "שורש שלישי של שתיים" מספר בלתי רציונלי? הרי ניתן לעשות לו קירוב.
האם קושי דומה אינו קיים בהכפלת ריבוע בשתיים? כאן יש להכפיל את צלע הריבוע בשורש ריבועי של שתיים?
האם ניתן 196318
משולש יש"ז שאורך ניצביו 1 נותן לך שורש ריבועי של שתיים בלי להתאמץ מאמץ יתר.
האם ניתן 196319
רגע רגע. סדר בבקשה.

חלוקתו המסורתית של מעגל ל-‏360 מעלות, אין לה דבר עם בנייה גיאומטרית. אין קשר בין היחידה בה בוחרים למדוד גודל של זווית, עם השאלה מה ניתן לבצע בפועל עם סרגל ומחוגה. כדי להצליח לחלק זווית לאיזשהו מספר של חלקים *עם סרגל ומחוגה*, שזו השאלה הקלסית, עליך:

1. להתחיל מזווית כלשהי הנתונה על הדף.
2. לבצע סדרת בניות עם סרגל ומחוגה (להעביר ישרים, מעגלים, למצוא נקודות חיתוך וכו'), ובסוף לבנות ישר המחלק את הזווית המקורית *בדיוק* למספר החלקים הרצוי.

לקרב אפשר כל דבר, זו לא חכמה וזו לא השאלה. זה נכון גם להכפלת הקובייה. אבל, כפי שהבחנת, אין זה מספיק לשים לב ששורש שלישי של שתיים הוא אי-רציונלי: שורש שתיים הוא גם אי-רציונלי, ויש לו בנייה פשוטה מאוד - בהינתן קטע באורך 1, בונים ריבוע ומקצים את האלכסון שלו - ארכו כמובן שורש שתיים. אלא מאי, שאת שורש *שלישי* של שתיים אי אפשר לבנות כך, לא משנה כמה תתחכם עם הסרגל והמחוגה שלך.

לב העניין הוא שבניות בסרגל ומחוגה מסוגלות רק לבנות אורכים המקיימים משוואה ריבועית באורכים שכבר בנית, כלומר (למשל) את שורש חמש, את שורש של (שורש חמש ועוד שלוש), וכו'. שורש שלישי של שתיים לא נמצא בקצה של שום שרשרת שורשים (ריבועיים) כזו, וזאת מוכיחים עם קצת אלגברה לינארית וטיפה תורת השדות כפי שעוזי עשה כאן במקום אחר.
''עשה כאן במקום אחר'' 196322
מין ביטוי קטן גדול שכזה.
''עשה כאן במקום אחר'' 196323
מוחי זחל בחפזוני.
מוחי זחל בחפזוני 196426
תודה על ההסבר

האם אני נחפזת, או שנכון יהיה לומר ש*כל* הכפלה של נפח קוביה נתונה במספר שאיננו חזקה שלישית של מספר רציונלי איננה אפשרית?

ולגבי המעלות:
חלוקתו בת אלפי השנים של המעגל ל-‏360 חלקים שווים תמוהה בעיני לנוכח הסירבול (ניסוי וטעיה?) שבחלוקה מעין זו. ואני חוזרת לשאלתי הראשונה - האם ניתן בעזרת סרגל ומחוגה לחלק זווית למספר (שאינו חזקה של שתיים...) חלקים שווים?
מוחי זחל בחפזוני 196428
אל"ב ‏1 אבל נדמה לי שהפיקסציה של הבבלים עם כפולות של 60 נבעה בין היתר מזה שיש קצת יותר מ360 יום בשנה, ופחות או יותר 12 חודשי ירח בשנה.

1 לא בבלי ולא חנה.
מוחי זחל בחפזוני 196433
יופי, תעשה ממני צחוק, למה לא...
מוחי זחל בחפזוני 196430
החלוקה הזו נובעת מהפטיש היווני (רומאי?) למספר 6. לכן גם 24 שעות ביממה (המתחלקות לפעמיים 12), 60 דקות בשעה, ו-‏60 שניות בדקה.
וזה גם בתגובה למה שאמר מישהו בדיון אחר (אני חושב) על ההתעלמות מנפלאות המספר שש בתרבות האנושית לדורותיה.
מוחי זחל בחפזוני 196443
אם את מתכוונת לשאול אם ניתן לחלק *כל* זוית, התשובה שלילית. כפי שהוזכר כאן לא פעם, אי אפשר לחלק זוית כלשהיא לשלושה חלקים שוים. היתן לעשות זאת לזויות מסוימות, למשל לא קשה לחלק 360 מעלות לשלוש זויות של 120 מעלות כ"א, וכדומה.
היתן = ניתן 196445
שיר המעלות 196538
את נחפזת. כיוון שהסכמנו ששורש שתיים הוא כן בר-בנייה, אפשר לכפול נפח של כל קוביה ב-(שורש שתיים) בשלישית, מספר שהוא לא חזקה שלישית של רציונלי.

החלוקה ל-‏360 חלקים דווקא לא מאוד תמוהה בעיני, זה מספר עם מלאן מחלקים ולכן הרבה חלוקות של המעגל נותנות מספר שלם של מעלות. הזכירו כבר את השורשים ההיסטוריים של הבחירה הזו. כמובן, יש להדגיש, מדובר רק בנוחות - אין לזה כל משמעות גיאומטרית של ממש, זה כמו לבחור אם לחלק את היום ל-‏24 שעות או ל-‏1000 ביטים.

(מבחינה מתמטית, החלוקה הטבעית ביותר היא דווקא לרדיאנים - יש שני פאי רדיאנים ב-‏360 מעלות, וכך יוצא שבגזרה בת רדיאן אחד, אורך הקשת שווה לרדיוס).

בעזרת סרגל ומחוגה אפשר לבנות (כפי שציין השוטה) מספר זוויות ספציפיות כמו 360/7 מעלות, אבל בנייה המחלקת זווית שרירותית ל-k חלקים יש, אני חושב, רק ל-k שהוא חזקת שתיים - ניחשת נכון.
הבחירה ההיסטורית 196624
יש יחידת זוית בשם גרדיאן (אאז"ן) שמחלקת את המעגל ל 400 חתיכות. נדמה לי שזה נוצר במהפכה הצרפתית כאשר הצרפתים היו בתזזית של "רציונליות", והמציאו גם את המטר ( שמחלק את הקף כדור הארץ לכ 40 מליון חלקים) את הגרם (סנטימטר מעוקב של מים) ואולי גם את מטבע ה"סנטים". בזוית ישרה יש 100 גרדיאנים.
הבחירה ההיסטורית 196627
נכון, וחוץ מזה שזה מופיע עד היום (או עד לפני עשר שנים) כיחידה אפשרית‏1 בכל המחשבונים של Casio, לא נראה לי שהיה לזה איזה אימפקט היסטורי.

1 Deg - Rad - Grad
הבחירה ההיסטורית 196631
שמעתי על רס"ר בצבא שדרש שהבזנ"ט יעמוד ישר! מאה מעלות!
בהזדמנות אחרת הוא ביקש מעגל גדול 360 מעלות ומעגל קטן 180. (אבל זה כבר לא קשור)
:-) 196632
שלא לדבר על מפעילי עגורנים שהופכים גבולות אינטגרציה.
:-) 196636
?
:-) 196646
מתעצל לספר, וגם אני מפחד להרוס. אולי גיק אחר יכול?
אולי בכל זאת? 196666
הבחירה ההיסטורית 196640
מישהו סיפר לי על ויכוח שהיה לו עם רס"ר המטבח באיזו טמפרטורה רותחים המים. אותו מישהו טען שב100 מעלות והרס"ר התעקש שהוא בטוח שב90 מעלות. מאחר ושני הצדדים לא התפשרו הרס"ר הבטיח שיבדוק את הסוגיה עוד הערב. למחרת הוא הודה בטעות: "90 מעלות זה זווית ישרה".
הבחירה ההיסטורית 196638
יש גם יחידה שנקראת אלפית. משמשת בצבא (ארטילריה, שיריון). מתמטית מדובר באלפית הרדיאן, כלומר צריכים להיות 2000 פאי כאלה במעגל.
בפועל, במעגל רוסי יש 6000 כאלה, ובמעגל מערבי 6400 (או להיפך).
יופי של מאמר! 163814
(יש לי פתק מההנהלה שמותר, ואפילו רצוי, לכתוב תגובות כאלה)
יופי של מאמר! 163863
מצטרף למיץ - מאמר מקורי ומעניין. צחקתי בקול רם למקרא כמה מגיבובי המילים בלינקים המצורפים.
יופי של מאמר! 163931
מצטרף. נהנתי גם מהסגנון הרהוט הקריא והמעורר עניין.
ובאופן נדיר אין לי גם מה להוסיף או להעיר . . .
תודה! 163866
(גם אני צריך פתק?)
תודה! 163897
לא, אבל אתה צריך לענות על שאלת פולו-אפ. גם אני העברתי איזה שבוע ב-lurking ב-sci.math לפני שנתיים, ונוכחתי שאת מחצית רוחב-הפס תופס מר האריס, ואת רוב מה שנותר תופסים אנשים המנסים להעמידו על טעויותיו. ניכר שהם לא הגיעו לשם אתמול (למעשה, אחד מהם הציג אתר שמוקדש להאריס), ובכל זאת הם המשיכו ללא לאות לענות לטרחן. אני מבין את הדחף להגיב כשמישהו אומר שטויות. יש בזה מידה של הגיון. אבל כשמדובר בטרחן כפייתי, וכשברור לך שמדובר בכזה, מה הטעם? האם ההשתתפות בדיאלוג פעיל וחסר-תוחלת עם טרחן כפייתי אינה התנהגות כפייתית כשלעצמה? (בתשובה, נא לא להביא כדוגמאות דיונים באייל הקורא :-).
תודה! 163900
For cranks to triumph, it is enough that good Mathematicians do nothing?
תודה! 163902
אז זהו, שלא. אילו היה מדובר במכחישי-שואה או בעיתונאים שכותבים ששחרור אסירים הוא חלק ממפת-הדרכים, אז הייתי מקבל טיעון כזה. אבל במקרה של טרחנים כפייתיים, אני לא רואה את הבעיה בלעזוב אותם לנפשם. בנסיבות אחרות אני חושב שקוראים לזה ''לא להאכיל את הטרולים''.
תודה! 163906
שאלה טובה, ואין לי תשובה, רק קצת השערות. כפי שתוכל לנחש, בדיוק השאלה הזו נשלחת מדי פעם לדיון שם, ותשובה מספקת לא ניתנת - זה קרה שוב רק השבוע.

ראשית, כמו רוב הטרחנים, האריס הוא מרגיז, ויש אנשים שמגיבים פבלובית. מובן שזה משחק לידיו. שנית, המקרה של האריס הוא קצת יוצא דופן במובן זה שאפשר להתווכח איתו במישור המתמטי (בניגוד לטרחנים ההזויים לחלוטין, כדוגמת דורון שדמי שאני מזכיר בתגובה לעצמי, למטה), מה שיוצר תחושה (מוטעית לדעתי) של התקדמות. אצל חלק מהמגיבים הקבועים אתה מזהה שחיקה איטית: בהתחלה הם סבורים שרק צריך להסביר לו משהו על פריקות של מספרים אלגבריים והוא יבין, ולאט לאט הם מבינים שזה חסר סיכוי ומתחילים לשלוח תגובות נרגזות, ובסוף מפסיקים - אך בינתיים מגיעים אבירים צעירים שלא ידעו את הג'יימס ומתחילים שוב.

אבל זה לא תשובה לשאלה שלך, שכן אנשים עונים בלהט גם לקוקואים גמורים כמו ארכימדס פלוטוניום האלמותי שהוזכר ב-תגובה 163844. האם הם כפייתיים בעצמם? בהחלט ייתכן. מתמטיקאים רבים נכנסים לדילמה כאשר הם נתקלים אישית בטרחן. האם לענות? זה מן הסתם יוביל לדיון אינסופי וחסר-תועלת. האם להתעלם? זה יצדיק את טענותיו. אנשים בוחרים לפתור את הדילמה בדרכים שונות, ובמרחבי הרשת תמיד יימצאו מי שבוחרים לענות, גם אחרי חליפת תגובות באורך מדהים.

למתמטיקאי איאן סטיוארט היה פרסום "Mathematical Cranks" רווח והצלה: מאז הוא שולח את כל טרחניו למחבר.
163822
אוי אלוהים, ZBZ מצוין, פשוט גדול:
"אתה מתחיל עם כלום, זהו האפס, ואז אתה מתבקש לעשות שום דבר. אז אתה לא תחבר, לא תחסר, לא תכפיל, ובטח ובטח לא תחלק, אז אתה לא עושה כלום - שום פעולה. האם אתה טועה? היכן הטעות? מה עשית לא בסדר? אני לא רואה שום טעות. פשוט עשית מה שנתבקשת. אתה שואל אותי מה קיבלת? אני אומר שקיבלת אפס. לא עשית כלום. 0=0/0 - אתה לא חילקת. 0=0*0 אתה לא הכפלת. 0=0+0 אתה לא חיברת. 0=0-0 אתה לא חיסרת. אפס = כלום"
נהדר לגמרי.

או עוד מתוך קראנק דוט נט, בודהה הפרקטלי:
המשוואה של סט מנדלברוט, z = z^2 + c (זן שווה זן בריבוע ועוד קארמה) היא אחת מהפשוטות ביותר שיכולת לדמיין. אך עדיין, אינסוף זמן לא יספיק כדי לראות את כולה"...

ההההה...

ובונוס מיוחד, עם תמונה של בחורה - "שקרי המתמטיקה": http://geocities.com/levelwater/mathlies02.html
''שקרי המתמטיקה'' 163831
מי זאת? היא מוכרת לי...
איפה הבחורה 163901
לא רואה את התמונה. צריך לעשות משהו כדי להגיע אליה או שהיא באה לבד? ללחוץ על משהו?
יש. מצאתי 163904
בשם הטרחנים 163824
נדמה לי שמה שחסר במאמר הוא העובדה שאין שום תחום מתחומי החיים שבו הטרחנים מזיקים פחות ומועילים יותר מאשר במתמטיקה.
ה"אסון" של טרחני המתמטיקה הוא שאין שום דבר המחייב אחרים להתיחס לטענותיהם מלבד חובת הנימוס ובכך נזקם מוגבל מראש.
המתמטיקה יותר מכל תחום מדעי אחר עשויה להראות למשקיף מבחוץ כעיסוק של טרחנים המחפשים את הניסוח החד כיהלום ובלתי ניתן לסתירה של עובדות שהן לפעמים די סבירות מראש. ברצוני להזכיר לך את התדהמה של תלמידי שנה ראשונה הנתקלים בהוכחות האפסילון בחשבון האינפיניטיסימלי. לרובם זו הפעם הראשונה והאחרונה בה יתקלו באיפסילון ולדעתי רובם נשארים עם חוסר ההבנה מדוע צריך הוכחות טרחניות כל כך לדברים הנראים די מובנים מאליהם.
טענה שניה נגד "מכסחי הטרחנים" היא מה שציינת בעצמך: קיימת הוכחה שלמשוואות מהמעלה החמישית אין תמיד שורשים קומפלקסיים (מה בעצם הניסוח המדוייק של הטענה?) אבל קשה לי להאמין שיש הוכחה שלא קיימת הוכחה פשוטה יותר לבעיית פרמה מאשר הוכחת ויילס. (כנ"ל בעיית 4 הצבעים).
ועכשיו לנקודות הזכות של הטרחנות:
א) כמעט כל ההוכחות שאנו לומדים כיום אינן ההוכחות המקוריות. כלומר חלק מהמתמטיקה הוא מציאת הוכחות פשוטות יותר או בעלות insight עדיף של המשפטים.
ב) הניחוש שלי הוא כי הגאומטריות הלא-אויקלידיות הופיעו כתוצאה של נסיונות לנסח גאומטריות של פני כדור, אבל ללא ההתענינות הקצת טרחנית וכנראה ברובה חוץ מתמטית במבנה הלוגי של הגאומטריה האויקלידית (הגדרות, אקסיומות ומשפטים וכיוב') ספק אם היו מגיעים לכל העושר של הגאומטריות האפשריות וההרחבה לתחום של האלגברה ויסודות המתמטיקה.
ג) אני מניח שמתמטקאים שהיו גם טובים וגם טרחנים לפחות במקצת הביאו להגדרות מדויקות ומלאות יותר שסייעו אח"כ במציאת הוכחות יפות יותר למשפטים מוכחים והוכחות חדשות למשפטים לא מוכחים.
הסעיף האחרון מביא אותי לטענה שאולי החלוקה אינה למתמטיקאים רציניים ("צדיקים") וטרחנים ("רשעים") אלא למתמטיקאים טובים ומתמטיקאים גרועים (חלוקה כזו מאפשרת גם הרבה מצבי ביניים). בחלוקה כזו אין המתמטיקה שונה מתחומי מדע אחרים.
לטעמי, המעצבנים הגדולים באזורי המתמטיקה הם המטא-מתמטיקאים המשתמשים בקושי שתארת להבין באופן מדוייק ובהיר רבות מהטענות המתמטיות, כדי לטעון שיש במתמטיקה הוכחות למיני טענות מטאפיזיות שיש להם (יש/אין אלוהים, אבולוציה ובריאה).
המקור העשיר ביותר לטענות כאלו הוא כיום טענת גדל. למיטב הבנתי (הבלתי מספקת) הטענה עוסקת בקיום טענות בלתי ניתנות להוכחה או סתירה בתוך מערכות מתמטיות אפשריות. מכאן מסיקים המטא-מתמטיקאים מסקנות על מגבלות המוח האנושי והכרח של קיום תבונה על אנושית וכיוצא באלו. האם תוכל לנסח בצורה מדוייקת את טענת גדל והאם לדעתך אני צודק בניחוש שלי שהמדובר בטענה טכנית ביסודה הנוגעת ליסודות המתמטיקה וההשלכות שלה לתחומים שמעבר או מעל למתמטיקה הן לכל הפחות מפוקפקות?
בשם הטרחנים 163846
אנסה להתייחס לכל הנקודות שהעלית, וראשית שאלה: כשאתה עונה "בשם הטרחנים", אתה רואה את עצמך ככזה? מדוע? נראה לי (ויש פירוט בהמשך) שהחמצת את משמעות המונח "טרחן" במאמר. אני מדבר על משהו מאוד ספציפי, crankhood, ולא על דקדקנות באופן כללי.

כפי שציינתי, אינני מכיל טרחנים כפייתיים בתחומי חיים אחרים ולכן קשה לי להשוות נזקים של אלה ושל אלה.

"חובת הנימוס" - כשמישהו שולח מאמר לפרסום בעיתון מתמטי, חובתם של העורכים להתייחס אליו, ולא מתוך נימוס. אני לא טוען שזה נזק נוראי.

המתמטיקאים מודעים לצורך בהוכחות מדוייקות לאור נסיון העבר. ה-"טרחנות" המתחייבת איננה מטרה, אלא אמצעי, ויש פספוס גדול בהצגת המתמטיקה כעיסוק של טרחנים המחפשים אחר ההוכחה המדוקדקת - המתמטיקאים תרים בראש ובראשונה אחר תגליות ותוצאות.

אכן ציינתי שאין הוכחה שמשפט פרמה הוא קשה, לכן אתה לא צריך להתקשות להאמין שיש כזו. אבל בדיוק מסיבה זו אף "מכסח טרחנים" שאיננו שוטה לא יפסול הוכחה קצרה המוצעת למשפט פרמה *רק* ע"י הטיעון שהמשפט הוא קשה.

המשפט על משוואות ממעלה גבוהה איננו אומר חלילה שאין שורשים קומפלקסיים, אלא את מה שתיארתי במאמר: יש משוואות ממעלה חמישית ששורשיהן לא ניתנים לביטוי ע"י רדיקלים. לכל משוואה ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים (לא בהכרח שונים).

ולנקודות הזכות:

א) נכון, ומציאת הוכחות קצרות ובהירות גם למשפטים שהוכחו כבר הוא מטרה מתמטית נעלה המעסיקה רבים. זה לא מה שהופך אדם לטרחן. טרחן הוא מי שמשוכנע שיש לו הוכחה כזו למרות שאין לו, והוסבר לו מדוע טיעוניו (או גיבוביו) אינם הוכחה.

ב) ההתעניינות במבנה הלוגי של יסודות הגיאומטריה איננה ולא היתה מעולם טרחנית. שוב, נראה לי שלא הבנת למה כוונתי בביטוי טרחן (Crank). הניחוש שלך, אגב, די שגוי.

ג) כנ"ל. חידוד הגדרה ופישוט הוכחה *איננה* טרחנות במובן שלי.

יש בוודאי מתמטיקאים טובים ובינוניים, אבל איש לא טוען שמתמטיקאי המתעניין יותר בחידוד היסודות (או פישוט הוכחות) הוא כזה או כזה. האם עיינת, נניח, באתר zerobyzero? האם אתה רואה את ההבדל בין זה לבין מתמטיקאי גרוע?

ולבסוף - אני מסכים לחלוטין שיש משהו מרגיז מאוד בנסיונות לפרש את משפט גדל (אותו תיארת לא רע) מעל למידותיו. תופעה זו, יש לומר, חרגה הרבה מעבר לגבולות עולם הטרחנים, ופגעה ברבים וטובים. רבות נכתב על כך, למשל ב-GEB של הופשטטר.
אינני מכיל (שורה 3) 163848
אינני *מכיר*. לא מכיל, מכיר. מגיה לי.
בשמי אני 163888
רק התכונתי להגיד כמה מילים בזכותם של הטרחנים, מבלי להצטרף לשורותיהם בעצמי.
אני מוצא שאפילו לטרחנים בהגדרה המאוד ספציפית שלך יש תפקיד בעולמנו. קיומם הוא אזהרה נגד יהירות ובטחון עצמי מופרז. אני בטוח שהסיוט של עורכי כתבי העת המתמטיים הוא ליפול קורבן לטרחן כזה, וזה כבר כשלעצמו חיובי (היה לא מזמן מקרה משעשע שכותבים הצליחו להכניס לכתב עת העוסק בפוסט-מודרניזם מאמר שכולו איגיון כתוב בטרמינולוגיה המקובלת בפוסט מודרניזם).
בקריאה שניה מצאתי את הקטע הרלאבנטי למשואות ממעלה חמישית ומעלה. במונח שורשים אני מניח שאתה מתכוון לשורשים מחזקה כלשהי. מהם אם כן "אולטרה שורשים"?
גאומטריות לא אאוקלידיות - הסתכלתי וראיתי שהגאומטריה של לובצ'בסקי היא דוקא על אוכף ולא כדור. יש לך מושג מדוע זה כל כך עניין אותו? אולי יש כאן הדגמה של "טרחנות" (לא ע"פ הגדרתך) של עיסוק במשהו שולי שאח"כ התברר שהוא חשוב?
אני חושב שהמגוון האנושי של מתמטיקאים הוא יותר רציף ממה שאתה מנסה לתאר. יש בודאי אוילים גמורים ויש "טרחנים" שיש משהו בדבריהם ויש כאלו שאולי יש יותר משהו ויש מתמטיקאים רציניים שמוזרותם עולה על זו של השוטים הגמורים. למשל כשקראתי את הביוגרפיה של ארדש, התקשיתי לגבש דעה האם מדובר במתמטיקאי דגול או ב"תזה" העיתונאית המקובלת לפיה כל גאון הוא תמהוני ולהיפך. אפשר לקבל את עדותם של חבריו המתמטיקאים המקצועיים, אבל נותרתי עם הרושם החמוץ שהמעט שהבנתי בעצמי ממפעלותיו היו דברי הבל (מספרי ארדש וחידודי לשון ילדותיים).
מהו ה-GEB של הופשטטר?
בשמי אני 163894
בנוגע ל- GEB: טל כהן מיודענו כתב ביקורת על הספר ב- http://www.forum2.org/tal/books/geb.html .
בשמי אני 163989
יש לציין כי בעקבות ביקורת זו, אחת לכמה חודשים אני מקבל דואל שמוכיח לי באותות ובמופתים כי משפט גדל שגוי. במרבית המקרים, הכותבים לא מבינים את המשפט כלל.

לאחר שכמה פעמים נכוותי ברותחין (תגובות של קללות ונאצות) כשניסיתי לענות, הגישה שלי כיום היא התעלמות מוחלטת.
בשמי אני 163995
קח את ההכי טוב, ושלח לי (אם שמרת). אני אוסף כאלה'ים.
הגנה קצרה על ארדש 163920
הספר "האיש שאהב רק מספרים" (בהנחה שאליו אתה מכוון) שייך לז'אנר תמוה למדי של תת-מדע-פופולרי. כלומר, מטרתו אינה ללמד, אף לא באופן שיטחי תחום מדעי, אלא לרתק את הקורא לסיפור _על_ העולם המדעי. שונה מסדרות בית-חולים או עורכי דין רק בכך שמדובר במציאות ולא בבדיון מציאותי.

על כל פנים, אל לך לצפות ללמוד משהו על עבודתם המדעית של ארדש או פיינמן מהספרים על אודותיהם.
בשמי אני 163926
שוב, אעשה מאמץ להתייחס להכל.

"קיומם הוא אזהרה" - לא ממש, בעיני. לא חסרים קוראי-תיגר רציניים במתמטיקה, והטרחנים לא ממש עוזרים בעניין זה. אין ערך לקריאת-תיגר ריקה מתוכן. המאמר המהתל של אלן סוקל שאתה מזכיר רק מדגים את ההבדל בין מדעים מדוייקים לשאינם כאלה: קורה גם במתמטיקה ששגיאה מתפרסמת, אבל קשקוש מכוון כמו של סוקל לא היה עובר בחיים שום עיתון מתמטי.

בעניין לובצ'בסקי - הייתי ממליץ לך לקרוא ספר טוב על גיאומטריה. לובצ'בסקי ובוליאי (וכנראה גם גאוס) לא ניסו לטרחן על דברים שוליים, ואוכפים ממש לא עניינו אותם. זה לא שלובצ'בסקי אמר: "מעניין איך נראית גיאומטריה על אוכף?". בתור המלצה קונקרטית חפש ספרים של John Stillwell. הם לא מקצועיים מדי, אך גם בהחלט לא "פופולריים".

מוזרות של מתמטיקאים, אין לה דבר עם טרחנות כפייתית, ואם הביוגרפיה של ארדש השאירה אותך תוהה לגבי גדולתו כמתמטיקאי אז היא גרמה נזק גדול מכפי שהייתי מדמיין שהיא מסוגלת לו. האיש היה יוצא-דופן, כן, וזה מן הסתם אחד הדברים שזיכו אותו בביוגרפיה "פופולרית", אבל הוא היה מתמטיקאי מבריק, מדוייק, פורץ-דרך וחד-אבחנה מאין כמוהו. "מספרי ארדש" הם בוודאי לא המצאה *שלו*.

על GEB כבר כתבו לך, אז נותרו אולטרה-רדיקלים אותם השארתי לסוף. השורש החמישי של מספר a הוא אותו x ממשי כך ש-(x בחזקת חמש) הוא a. האולטרה-רדיקל החמישי של a הוא אותו מספר ממשי x כך ש-(x בחזקת חמש) *ועוד x* הוא a. יש תמיד אחד כזה בדיוק, ואם מרשים לשים בנוסחה גם "אולטרה רדיקל חמישי" אז *כן* אפשר לפתור משוואות ממעלה חמישית.
קטנוניות של שחרית 163951
בביוגרפיה שהזכרתם נאמר שאת שמו ההונגרי Erdös יש להגות ארדיש, ולא ארדש. בכל אופן זהו ספר מעניין מאד, לדעתי אף יותר מכמה מספרי השיחות עם פיינמן לפני מותו.

הספד קצר ומעניין לארדיש ניתן לקרוא כאן:
כפיצוי על הקטנוניות, הנה איור קטן הממחיש את ההוכחה של קלי שציטטת בהמשך הדיון:
קטנוניות-נגד 163975
ארדש, לא ארדיש. כלומר, יש שם כזה משהו בין ''אה'' ל-''או'',אבל בטח לא ''אי''. אני ממש ממש בטוח.
קטנוניות-נגד 163985
האם מדובר בהגיה הדומה לאומלאט "oe?"

כמו בגדל?
קטנוניות-נגד 163993
בדיוק. יש שתי נקודות קטנות מעל ה-o, ואפשר לתעתק את זה גם Erdoes אם מוכרחים.
קטנוניות-נגד 164005
אתה בטוח? לפי עניות דעתי (לפחות לפי ה-TeXBook), מדובר בשני גרשים ולא בשתי נקודות מעל ה-o. הונגרי, ולא גרמני, בכל זאת.
קטנוניות-נגד 164010
אתה צודק.
קטנוניות-נגד 164011
כיצד זה משפיע על ההגיה?
קטנוניות-נגד 164015
נכון - טעות שלי. אני לא חושב שזה משפיע באופן מדיד על ההגיה, אבל גם כאן ייתכן שמביני-דבר יתקנו אותי.
אולי? 167720
לא יודע באיזו שפה שמו של גדל נכתב, אבל בשבדית לפחות שתי נקודות (כמו צירה) וגרשיים מעל ה O הם אותו הסימן רק שהאחרון קצת יותר בולט לעין.
יכול מאוד להיות שמדובר באותו הדבר.
קטנוניות-נגד 164024
למעשה, ארדש היה הונגרי, ועל ה-o בשם שלו יש שני קווים הנראים כך: // (למי שמצליח לראות, Erdős). התנועה ő היא כמו התנועה ö רק יותר ארוכה. התנועה האחרונה נהגית כמו בגרמנית.
מדפיסים עצלנים לא מוצאים על המקלדת ő, אז הם כותבים ö במקום (ואם הם אמריקאים אז o). למקרה שתהיתם.
קטנוניות-נגד 164028
לכותבים בטכ, ניתן לקבל את האות הזו על ידי:
\H o
בכל הפונטים הסטנדרטיים חוץ מ-teletype, שם הפתרון קצת סבוך יותר:

{\bf\H{\tt o}}
קטנוניות-נגד 164048
או, זה ממש נפלא.

נסיון:
\\
כולי תקווה שמופיע בשורה הקודמת קו-נטוי הפוך:

\\H o

{\\bf\\H{\\tt o}}
טוב: 164050
לכל המעוניינים: אם אתם מעוניינים לכתוב קו נטוי רגיל, עליכם להשתמש במקש q במצב עברי. אם אתם מעוניינים בהפוך, עליכם להשתמש בזוג הסימנים: \\\\. זה הכל.
ורק להזכיר 178347
ש-s בהונגרית נהגית כ-sh באנגלית, אלא אם מופיעה אחריה z.
ולכן, השם מבוטא "ארדוש".
קטנוניות של שחרית 163990
ואם כבר מדברים על ארדש – מספר הארדש שלי הוא 4. אין לי שום ספק שלמתמטיקאים שבקהל יש מספרים נמוכים יותר. אלון?
2 163994
אינסוף. 164006
איך מגדירים מספר ארדש שוב?
אינסוף. 164017
מתוך הדף של עוזי וישנה, ארדוס 4 (כמה מאכזב):

"מספר ארדוס של אדם מוגדר 1 ועוד מינימום מספר ארדוס של אנשים איתם כתב מאמרים. לפול ארדוס מספר ארדוס 0".

לעוזי ארדוס 4, מכיוון שכתב מאמר עם בועז צבאן שמספרו 3.
אם לאלון ארדוס 2, פירושו של דבר שכתב מאמר עם שותף של ארדוס.
אינסוף. 164019
טוב, אז הערכתי נכונה. מכיוון שלא כתבתי מאמר עם אף אחד, ובפרט לא עם מישהו עם מספר ארדש כלשהו, ואני גם לא מר ארדש בעצמו, הרי שמספר ארדש שלי הוא אינסוף.
אינסוף. 164225
רגע, אם לא כתבתי מאמר עם איש מעולם, זה לא אומר שיש לי מספר ארדוס 1?
אינסוף. 164238
או בעצם, מספר ארדוס שלי הוא בח"מ?
ארדש! 164248
אבקש להבהיר שהטעות המביכה ''ארדוס'' היא טעות תעתיק שלי. אצל מר ו הקטע היה באנגלית.
אינסוף. 168093
מספרו של בועז (המורה הכי טוב שהיה לי חוץ ממספר סופי של מורים אחרים) הוא 2, כמדומני, כי יום אחד הוא התרברב בפניי (או שלא בפניי) שיש לו מאמר עם שהרון שלח (הבן של יונתן רטוש הוא אוריאל שלח, אבל נראה לי שכאן הבן עולה על האב בגאונותו).

גן.
אינסוף. 168096
תגובה 165675. בועז זה לא אתה?
אינסוף. 168098
זה בלתי כריע. תלוי בהנחות שלך, אחי.
3 164056
לא זכרתי שיש לך 2, אלון.
זה משמח מאד כי זה נותן לי 3.
נתי ליניאל? 164057
זה מספר 1 היחיד שאני מכיר.
נתי ליניאל? 164061
כן, אבל בלי ספק אתה מכיר עוד מספרי 1 - שהרן שלח ונוגה אלון, למשל.

הבהרה קטנה: לא כדאי לייחס למספר ארדש שלי משמעות רבה מדי. רוב בעלי מספר 2, 3 וכו' גדולים עלי בכמה וכמה מספרים, אם אתה מבין את כוונתי (שלא לדבר על מספרי 1).
אני חייב לשאול 164064
מה בא קודם, דירוג ארדש או דירוג קווין בייקון?
נתי ליניאל? 164123
אני לא מכיר אותם. אצל נתי למדתי.
נתי ליניאל? 164206
נראה לי שבארץ מסתובבים מאות (אם לא יותר) בעלי מספר נגה אלון 3 ומטה (ולכן 4 ומטה אצל ארדוש), זה לא כל כך נדיר.
נתי ליניאל? 164213
אמת. גם מספר ארדש שלי הגיע דרך אלון. האיש פרסם *כל-כך* הרבה מאמרים שזה פשוט מפחיד. בשלב מסויים הוא כנראה החליט שעדיף perish על publish, ומספרים שפרסם מאמרים תחת שמות בני משפחתו, ואף על שם הכלב.
אני 3 ארדש 164242
מהמאמר הראשון שאני חתום עליו!
ה-‏3 שלי הוא דרך אלון איתי, שהוא בתורו 2 ארדש דרך נגה אלון, שמואל זקס, שלמה מורן, ועוד.
שאלה מעניינת היא 165573
מציאת אנשים עם מספרי ארדש גדולים ואף גדולים מאוד. למשל, אנשים שאינם מתמטיקאים, או שאינם מדענים כלל, אך פרסמו מאמרים מקצועיים (נניח במדעי החברה). יכול להיות מחקר מעניין לבדוק את מידת החיבוריות של רשת המתמטיקאים לרשתות אחרות.
שאלה מעניינת היא 165677
זה קצת כמו המחקר המשעשע שעושים במחלקה לסוציולוגיה באונ' קולומביה: הם מנסים לבדוק את ההנחה שכל שני אנשים בעולם מכירים, לכל היותר, דרך ששה אנשים. יצא לי כמה פעמים לקבל אימיילים מסוציולוגים אחרים שמבקשים שאקשר אותם עם חבר'ה בישראל כדי לבחון את זה. למשל, אם מנסים לקשר בין מישהו בארה"ב למישהו ברוסיה, מנסים דרכי כי "בישראל יש הרבה אנשים שהגיעו במקום מרוסיה" ואולי מישהו מכיר מישהו.
שאלה מעניינת היא 165714
אני שמעתי את זה בקשר לישראלים בניסוח הבא: "אם שני ישראלים נפגשים ותוך 15 דקות לא נמצא מכר אחד משותף - אחד מהם מרגל"
שאלה מעניינת היא 165984
אבל פעם שמעתי אמירה, שמכל שני ישראלים אחד הוא מהשב''כ.
שאלה מעניינת היא 165704
מתוך: http://www.oakland.edu/~grossman/trivia.html :

The person with the largest finite Erdös number is R. G. Kamalov [E.N.=15], and one shortest path goes like this: Erdös to NOGA ALON (1985-1997) to Vitali D. Milman (1983-1987) to A. D. Myskis (1960-1964) to A. Ja. Hohrjakov (1958) to V. M. Zubov (1968-1971) to G. A. Shinkarenko (1987-1993) to Ya. G. Savula (1977) to Ya. M. Grigorenko (1985) to V. I. Gulyaev (1991) to A. M. Aleksandrov (1972) to Boris Aleksandrovich Kats (1973) to M. Kh. Brenerman (1985) to A. R. Kessel (1994) to G. O. Berim (1980-1984) to Kamalov (1984).

(נדמה לי שב- Person כאן הכוונה היא למתמטיקאי...)
חשדתי כך. 166377
האם נובע מכך שללמתמטיקאים יש נטיה להכליל רק מתמטיקאים כבני אדם?
די ברור לי שתחום המתמטיקה אינו סגור ל"פעולת-ארדש" הזו של כתיבת מאמר משותף. ודאי שיש מי שכתבו מאמר אם מתמטיקאי אך הם, למשל, פיזיקאים, ומכאן אפשר להמשיך. (למשל, אפשר לתהות האם נוגה, שכתבה (למיטב ידיעתי) מאמרים בסוציולוגיה, היא בעלת מספר ארדש סופי) סתם תהיה. עזבו.
חשדתי כך. 461720
נוגה זה ''הוא''
אני רואה לנוגה‏1 461829
1 כתב (כמעט פעמיים!) מאיר אריאל
אני רואה לנוגה‏1 462117
אנחנו מדברים על נוגה אלון, לא נוגה אדמון
אני רואה לנוגה 462190
מי זה "אנחנו"? אתה לא היית כאן אז (אל תיעלב, זה טבעי אצל חד-פעמיים); עוזי אמנם הזכיר את נגה אלון, אבל רודי דיבר לדעתי
על נוגה אדמון, אחרת התגובה שלו לחלוטין לא ברורה.
נתי ליניאל? 164244
"פרסם מאמרים תחת שמות..." - הנה לינק משעשע:

אם לשלח ארדש 1 165675
אז לבועז צבאן ארדש 2
ולגיסו מר ו. ארדש 3
אם לשלח ארדש 1 171343
(Read this message only after Yom Kipur)

Uzi V. is my brother, according to some earlier paper published in HaAyal.

Do I get Erdos Number out of that?

You confused me 171379
From information gathered from Haayal and from the internet, I thought you are Boaz Tsaban, being married to his sister Lea.

I thought you are Boaz Tsaban after one post of yours had his email address

Lea's homepage says she's "married to Boaz"

Tali vishne's homepage says she and Lea are sisters in law.

Did I get it wrong?

You confused me 171405
למה שמשפחת וישנה לא תפרסם פעם את העץ המשפחתי ויבוא לציון גואל?
You confused me 171410
מה, יש גם ציון וישנה?!
You confused me 171450
לא.
זוהי קריאה לגואל וישנה לחזור לארץ מנדודיו הפוסט-דוקטורטיים בחו''ל.
והיה טרם יקראו 171557
מי שיעשה מאמץ קטן יוכל למצוא את העץ (נא לא לצרף קישורים כאן, מחוסר עניין לציבור). בועז צבאן נשוי לאחותי.
חוסר עניין? 171567
דבר בשם עצמך :-)
You confused me 171625
בכלל הגיע הזמן שיהיה אתר מפואר עבור המשפחה המלכותית
מספר ארדוש 5, פעם ראשונה 213772
מוכרים כזה ב- ebay.

הי, חבר! רוצה לקנות שמונה? ששששש! 213784
מופלא ביותר. אנשים ממש מגישים הצעות, כרגע המחיר עומד על $80 בערך. איך מצאת את הפלא הזה?
הי, חבר! רוצה לקנות שמונה? ששששש! 213810
אם משלמים $80 בשביל 5, תאר לך כמה ישלמו תמורת 3!
(העברתי את השאלה למי שסיפר לי על המכירה).
מספר ארדוש 5, פעם ראשונה 214155
המחיר עומד כעת על $354. בפרפראזה על אלון, "מופרע ביותר".

היות שמכירות ב-ebay נעלמות זמן קצר לאחר סיום המכירה, להלן הפרטים החשובים:

DECREASE YOUR ERDÖS NUMBER TO 5! Scientific researcher for hire.

What you're bidding on
You are bidding on a chance to connect yourself to the largest and most-studied social network of scientific and mathematical technical writers. Or to lower your score, if you are already in it. Or, perhaps, to lower mine – depends on your current score, doesn't it?

The seller's coauthorship route from Paul Erdös is as follows:

Paul Erdös (0)
Mark Kac (1)
Robert M. Ziff (2)
Mark E. Newman (3)

The seller is one co-author of a 1997 paper in Physics Letters A [Volume 228, Issue 3, Pages 202-204 (7 April 1997)] with Dr. Newman – and thereby has an Erdös number of 4.

The seller will make his time available to the winner – after payment is received – on a part-time basis not to exceed 40 total hours doled out at a rate of no more than 10 hours per week, distributed to their mutual convenience over the period beginning May 1 2004 and ending on July 31 2004.

During that period, the seller will provide expert technical advice on research projects in the fields of evolutionary algorithms, machine learning, agent-based modeling of complex biological and social systems, complex systems research in general, social network theory (including business and marketing applications), engineering design automation using machine learning algorithms, artificial life, and any of a number of other specialties (a more comprehensive list available on request; a complete curriculum vitae will be provided to the winner).

If you are uncertain about the feasibility or reasonableness of a particular research collaboration, contact the seller before bidding.

Such advice as can be provided within the time-frame is 100% guaranteed to exceed a level of quality which would warrant acknowledgement as "valuable discussion and advice" in a manuscript, but will also not exceed the point at which the winner(s) themselves would only warrant acknowledgement. That is, we will (if at all possible) be coauthors of a manuscript to be submitted for publication.

Unless mutually agreed after the end of the sale, collaboration will occur via email, telephone conversation (within the US), online collaboration, postal mail and other indirect modes of communication. The scope and division of writing, computer programming (if any) and research responsibilities will also be determined by mutual agreement after the sale. The project may be one the winner has already begun (or even completed), has planned but never had time for, or it can be discussed and planned after the sale is complete. Note that it will likely end up being a small project and paper (though 40 hours is a lot, it includes writing).

Needless to say, research projects in domains significantly outside the seller's field of expertise are at serious risk of failure, though the promised effort level will be provided in earnest, regardless of this risk. However, the seller is very flexible, something of an intellectual magpie and jack-of-all-trades, and learns quickly. Thus, it is feasible that any domain of science or engineering – and even the social sciences, in a pinch, insofar as complex systems research methods may be successfully applied there – are potential targets. However, the seller retains the right to refuse (and publicly ridicule) proposals for research in non-scientific fields, such as "Intelligent Design". Such kooks need not apply.

In addition it should be pointed out that the winner's new Erdös number of 5 can only be rightfully claimed upon acceptance and publication of the manuscript resulting from the collaboration! Until that time, the winner may consider discussing their Erdös number in public, insofar as it comes up in the course of conversation, as 0+5i.

But wait – there's more! Over the six-month period after the sale, the winner will also be included (at his or her discretion) as coauthor of a narrative account (including a comprehensive technical background and overview) of this auction and its results. This additional manuscript will be submitted to a journal (which may be a peer-reviewed technical journal, or a popular news-stand magazine) for publication, and will be published concurrently online in a number of venues including the seller's blog, and the winner's (if available). The effort contribution of the winning bidder in this case is expected to be at least 4 hours, distributed as convenient over the period mentioned above.

(בהמשך ישנן כמה פסקאות בהן מבהיר הכותב כי הוא רציני לחלוטין).
מספר ארדוש 5, פעם ראשונה 214159
זה כבר מתחיל להיות ממש מפתה... אבל אם אני רוצה למכור מספר-ארדש 3, יש לי תחרות קשה מצידו של פרד גלווין, איש תורת-הגרפים ידוע למדי שמציע (בבדיחות, בבדיחות, אבל זה באמת אפשרי) מספר ארדש *1* אם מישהו מעוניין. יש איזה משהו שהוא עבד עליו עם פול ארדש עצמו לפני הרבה שנים, וארדש תמיד הציק לו לפרסם את זה ולא יצא לו. אם מישהו מוכן לנער את האבק וללטש את זה, אפשר לזכות במאמר משותף עם האגדה עצמה:

ויש שם פתיל קצר סביב הסיפור הזה. נגע לליבי וידויו של וויין בראון, אחד הקבועים ב-sci.math, שכתב בתגובה לגלווין:

If only I had the capability to do so... My dream is to have, someday,
an Erdos number less than infinity. But I'm nowhere near good enough
in math yet to be able to write a publishable paper. My contributions
to a co-authored paper, alas, would be limited to typing and formatting
and other such mundane chores; hardly worthy of any Erdos number, much
less number 1.

מספר ארדוש 5, פעם ראשונה 215925
והתוצאה הסופית - הזוכה הוא madd_greg, שהציע 1031 דולרים.

עוד פרטים על כל העסק אפשר למצוא בבלוג של וויליאם טוזיאר, המוכר: http://williamtozier.com/slurry/comment/social/erdos...
מספר ארדוש 5, פעם ראשונה 215928
מסתבר שגרג המשוגע הוא, לטענתו, בעל מספר ארדוש 3, והציע כמה שהציע כמחאה על הקרקס של ד"ר טוזיאר: http://williamtozier.com/slurry/comment/social/erdos...

אגב, הלינק הנכון לבלוג של טוזיאר או, כמובן, זה:
מספר ארדוש 5, פעם ראשונה 215934
באחת הכתבות שקראתי על העסק המשונה הזה (ב-San Jose Mercury News, נדמה לי) נאמר שמה שמעניין פה הוא הכמות הלא-מבוטלת של אנשים שבאמת שמחו (כך נראה) לרכוש זמן-ייעוץ של מישהו שיודע מתמטיקה. אינני יודע אם זה באמת כך, אבל אם כן זה מוזר; צריך ללכת עד eBay בשביל להשיג עזרה? אולי התעריף בסה"כ יוצא זול יחסית.

נו, טוב. אם פעם אהיה מובטל אקבל את עצתו של עוזי ואנסה למכור את עצמי עם המספר 2 שלי.
מספר ארדוש 5, פעם ראשונה 215946
אם תבחן את הלינק הראשון בתגובה הקודמת שלי, תראה שאותו גרג הציע כמה רעיונות לסיבות מדוע אנשים יהיו מוכנים לשלם על זה - משהו שקשור לצורך בקבלת קביעות. לא ממש הבנתי כי מעולם לא התעניינתי יותר מדי בדרישות מאקדמאים בשלב שאחרי הדוקטורט, ובטח שלא בתחומים המתמטיים. אני מניח שבעוד כמה שנים זה יעניין אותי יותר.
מספר ארדוש 5, פעם ראשונה 216007
נדמה לי שמי שצריך עזרה בכתיבת מאמר אחד, מוטב לו שיחסוך את הכסף (משום שזה לא יספיק) ויחפש עבודה אמיתית.
מספר ארדוש 5, פעם ראשונה 216014
מה שעוזי אמר. הדרישות לקבלת קביעות אכן כוללות פרסום מאמרים בעלי ערך "חשיבות" מצטבר גבוה, אבל קשה לי להאמין שמישהו יגיע למצב שבו מאמר קנוי במשותף עם איזה יועץ בעל חוש-הומור יוצא-דופן יעשה את ההבדל.

ה"חשיבות", אגב, נמדדת עפ"י יוקרתם של כתבי-העת שפרסמו את המאמר, אבל גם לפי מדדים סובייקטיוויים של הועדה ויועצים חיצוניים. אני מכיר סיפור נחמד על מתמטיקאי לא בכיר במיוחד שעלה לוועדת קביעות, ובדיוק באותו זמן מאמר די קטן שפרסם צוטט ע"י כמה גדולי-עולם שנזקקו למה שהוכיח במאמר בתור לֶמה בדרך למשהו גדול מאוד. אפשר לנחש שאלמלא פרסם את מאמרו היו אותם ענקים מוכיחים את הדרוש ללא קושי, אבל אין זה משנה - העניין הפתאומי סייע לו לקבל קביעות.
קטנוניות של שחרית 657835
סרטון נחמד עם כמה אנקדוטות שלא הכרתי על מספר ארדש: https://www.youtube.com/watch?v=izdZPx89ph4
בשמי אני 164210
תודה. רק בדבר אחד אני לא בטוח שאני מסכים אתך וזה בקשר לאפשרות של ''החדרת'' מאמר דמה לעיתון מתמטי. מבחינה עקרונית אין למתמטיקה יתרון מהותי בנושא זה. המאמר של סוקל הוכיח שעורכי העיתון לא ממש טורחים לבדוק ברצינות את מה שהם מפרסמים ונגד דבר כזה גם למתמטיקה אין ביטוח.
ה''טרחנות'' (במובן של קפדנות ודייקנות) האופיינית למתמטיקאים, היא כנראה שעושה את ההבדל. והיא כנראה הסיבה לכך שהסיכוי שמשהו יתפרסם בעיתון מתמטי מכובד מבלי שלפחות בודק או שניים יבינו אותו הוא קטן.
בשמי אני 164245
יש יתרון מהותי ועוד איך. במדעים הניסויים, העורכים מוכרחים לגלות מידה מסויימת של אמון - הם הרי לא יכולים לחזור על כל ניסוי. לכל היותר ישלחו מישהו להציץ במתרחש במקום (ה-NIH עושה את זה לפעמים במחקרים שהוא מממן, מין בדיקה מדגמית כזו).

עורכי העתונים הטובים בפירוש טורחים לבדוק ברצינות, רק שלפעמים זה קשה מסיבות כמו זו שהזכרתי. ובמדעי החברה זה אף הרבה יותר "רך": סוקל פרסם את מאמרו בעיתון "Social Text".

אז זו לא שאלה של קפדנות ודייקנות, אלא שאלה של מה אפשרי ומה לא. במתמטיקה יש לבדוק שהטענות נכונות, והשאלה העדינה היחידה יכולה להיות קשורה ל-"חשיבות" - האם המאמר מספיק חשוב כדי להתפרסם בעיתון מוביל. לא שאין לפעמים טעויות במאמרים מתמטיים שחומקות מעיני השופטים, אבל ברוב המקרים (הנדירים ממילא) זה לא משהו מהותי. ולגיבוב סתמי כמו המאמר של סוקל פשוט אין שום סיכוי.
בשמי אני 164254
מצד שני, במדעי החברה אנשים לא מפרסמים בכמויות שמפרסמים במדעים מדוייקים. בין היתר כי העבודה היא לא ב"מעבדות", אלא יושב לו אדם ועושה פרוייקט לגמרי לבד ומפרסם. כיוון שהכמות יותר קטנה, קוראים בזהירות רבה כל מאמר, במיוחד בכתבי העת הטובים (מנסיון!). ייתכן שלכן גם לא שמעתי מעולם על מספרי ארדש.
בשמי אני 164258
אפשר לבדוק אמפירית אם פורסמו אי פעם מאמרים הזויים ו/או מזוייפים בג'ורנלים מכובדים. האם יש מקבילה מתמטית ל"אדם פילטדאון"?
למיטב ידיעתי... 164271
...זה לא קרה.
בשמי אני 164270
אני לא בטוח... רוב המתמטיקאים (בייחוד בתחומים מסויימים) מפרסמים פחות, דומני, מעמיתיהם בפיסיקה או ביולוגיה (לא יודע לגבי מדעי החברה). גם במתמטיקה יש רבים העובדים לבד ומפרסמים מאמר משמעותי פעם ב-. ארדש, כאמור, היה מאוד יוצא דופן. ובוודאי שכל מאמר נקרא בזהירות רבה (גם מנסיון... ומשני צידי המתרס).
בשמי אני 164257
יש סיפור ידוע על גילוי קרני N ע"י פיזיקאי צרפתי בשם בלונלוט. חזרה על הניסויים אישרה את קיומם ורק עורך סקפטי של Nature גילה שאין דבר כזה וכל הפיזיקאים ש"אישרו" את התגלית, ראו בעצם מה שהם רצו לראות.
בשמי אני 164263
סיפור נחמד, שלא הכרתי. הנה לינק:

מדגים יפה את ההבדל: איך דבר דומה היה נראה במתמטיקה? "המתמטיקאי ברונטפיו גילה סוג חדש ומסעיר של חוגים קומוטטיביים. רבים בדקו את הגדרותיו והסתדר להם, ורק עורך סקפטי של Inventiones גילה שאין דבר כזה"? די לא סביר. ככה זה כשלא עושים ניסויים.
בשמי אני 164295
לא הובנתי כהלכה.
א) מה שרציתי להגיד זה שאם לא בודקים מאמרים אז לא מגלים hoaxes. וכנגד זה אין לאף אחד פתרון.
ב) יש להניח שמידת הרצינות והמכובדות של עיתון נקבעת לפי רצינות הבדיקה.
ג) אני מניח שבדיקה אפילו לא מעמיקה במיוחד, היתה חושפת גם את סוקל.
בשמי אני 164306
זהו, שלא. לא מדובר בפונקציה של בדיקה, שכן המגזין דוגל באידאולוגיה שיוצאת כנגד עצם מושג הבדיקה.
גם ברמת המדע, אירות פסאודו-מדעיות שלו הן לא גרועות יותר מאמירות פסאודו-מדעיות שנכנו לקאנון של הפוסטמודרניזם.
בשמי אני 164275
הסיפור עם סוקל הוא לא ממש עניין של העדר השגחה, או של חוסר דיוק, אלא של עיוורון דוגמטי בלתי נתפס בשנים האחרונות בענפים מסוימים של מדעי הרוח.
זה לא שבודקי המאמר לא השגיחו כראוי האם הוא בעל משמעות, אלא שכלל לא דורשים, כיום, שהוא יהיה בעל משמעות. המאמר של סוקל, מעיון בו, כלל אינו ירוד באיכותו מכמה מאמרים בעלי השפעה עצומה בבראנג'ה שאליה כיוון- קרא למשל את המאמר הפמניסיטי החשוב
The laughter of medusa, של הלן סיקסו.
לא רק שהמאמר של סוקל נראה לי כטוב ממנו כמאמר רציני, אלא שרבים מהמאמרים שמייצר מחולל הפוסט-מודרניזם טובים ממנו.

כלומר, המצב דומה לכזה שבו מגזין מתמטייחליט לפרסם הוכחות כי הן יפות ומהפכניות גם אם אינן נכונות, ויצהיר שעניין הבדיקה רק פוגע בעושר האסתטי של המתמטיקה וכובל אותה לאידאולוגיה לוגוצנטרית וחוץ מזה, סימן החיסור הו ביוטי לפאלוס ולפיכך יש לבטלו.

המצב באגפים מסוימים של מדפי הרוח הוא אכן כזה בדיוק- ביטול מושגי הבחינה וה"נכונות" לא מתרחש יותר במסגרת ה"ספק הסביר" התמידי במדעי הרוח והחברה הלא מדויקים, אלא בשלילה מוחלטת של כל מושגי הבחינה , הנוכנות וההיגיון בהם, שלילה דראסטית כמעט ולא פחות מאשר לו הייתה מבוצעת במתמטיקה.
בשמי אני 164358
אני לא מתמצא כלל בכתיבה המדעית במדעי-הרוח והחברה, אבל אם המצב הוא כפי שאתה מתאר (באותם אגפים מסויימים), זה די עגום.

מישהו מוכן להיעלב מספיק כדי להגן על כבוד מדעים אלה?
בקשר לבעית הבדיקה ספציפית 164379
מעב לכל מה שמישהו עשוי לחשוב על פוסט-מודרניזם ראדיקאלי במדעי הרוח והחברה (לעבר מפוסט מודרניזם מתון יחסית כמו פוקו סעיד למשל, שהוא חשוב ואף מוצלח לרגעים),ורמתו האינטלקטואלית, אחת הבעיות המטרידות יותר היא שמאז שהפוסטמודרניזם קיבל את הקונספט ש''לוגוצנטריות'' (דבקות בעקרונות הלוגיקה) היא מאפין מעוות של התרבות המערבית, הם עוד לא הסכימו לספר לאף אחד מה הדרך החדשה לקבוע האם שווה לפרסם מישהו, או לצטט מישהו, או להלל מישהו- זה סוד שמור, כניראה.
Logocentrism 164400
"לוגוצנטריות" הוא מושג מורכב מאוד, ופירושו אינו סתם כך "דבקות בעקרונות הלוגיקה" כפי שהניח פלאי גרייצר (במין ניחוש מלומד, או ליתר דיוק בניחוש לא מלומד).

המונח הזה, מבית מדרשו של אבי הדקונסטרוקציה ז'אק דרידה, עולה בשיח הפוסטמודרני, בין השאר, כשמבקרים מתייחסים לרעיון שלמילים יש משמעות ספציפית ומוגדרת, שאינה משתנה (וכמו כן, למסקנה, שלפיכך גם לטקסט חייבת להיות משמעות אחת בלבד). כחלק מהביקורת, טוענים שלמילים יש משמעויות מתחלפות שתלויות בקורא יותר מאשר ברצונותיו של המחבר (אם יש כאלו).

אחת ההגדרות המנוסחות היטב של המונח "לוגוצנטריות" שאני מכיר (אם כי גם היא רחוקה מלמצות את הנושא עד תום) היא ההגדרה הבאה:
"the illusion that the meaning of the word has its origin in the structure of reality itself and hence makes the truth about that structure seem directly present in the mind" (Ellis, 1989, qtd in Bunker, 1997).

התיאוריה של דרידה סבוכה ביותר, איני מתיימר לשלוט בכל רזיה ואין בדעתי לפתח כאן את הנושא (אגב, דיון במונח הזה מתאים לדעתי הרבה יותר למאמרו של בואוסמה שהביא רב"י
בדיון 1539). התייחסתי למונח לוגוצנטריות רק כדי שקביעתו של גרייצר לא תטעה קוראים שאינם מכירים את המושג.

אני אישית איני מכיר הוגים פוסטמודרניים ששוללים את עקרונות הלוגיקה מיסודם (רק לשם דוגמה: עקרונות ההיסק הלוגיים כפי שניסח אותם אריסטו). עם זאת, ברור שלא קראתי את כל כתבי ההוגים הפוסטמודרניים, ומי יודע, אפשר שיש כאלה. (אולי פלאי גרייצר יצליח לספק לנו מראה מקום או ציטטה מפורשת מדבריו של הוגה פוסטמודרני בעל שם, ששולל את עקרונות הלוגיקה).
Logocentrism 164417
אני חושש שאני לא מכיר הגות פוסטמודרניסטית. אבל בקריאה ראשונה, הפרשנות שלך לא מאפשרת להניח את חוק הזהות, ומכאן לא את שאר חוקי הלוגיקה.
Logocentrism 164421
אין כאן שום פרשנות מצידי אלא תיאור (חלקי) של המושג לוגוצנטריזם. אני איני רואה כאן כל התנגשות עם חוק הזהות, אם אתה רואה התנגשות כזו הסבר והבהר.
Logocentrism 164423
בנוגע לפרשנות – אתה צודק. זאת הפרשנות (אולי הלקויה) שלי לדבריך.

בנוגע לחוק הזהות, כדי לאפשר עבודה בהתאם לחוקי הלוגיקה אנחנו צריכים להניח שפרשנות המציאות היא קבועה. שמסמן תואם למסומן, ודבר תואם את הגדרתו. אם המשמעות של המסמן תלויה בקורא, המסמן לא מסמן את אותו הדבר לאנשים שונים (או לאותו אדם בתנאים שונים). ולכן, שימוש בשפה לא יאפשר לנו ליצור היסקים תקפים על העולם.
ואם הטענה יותר קיצונית משימוש במילים, וטוענת שאין "מאורעות" או "עצמים" אלא תפיסה שלנו אותם – בודאי שלא נוכל לדבר על זהות דברים לעצמם, גם בלי שזה יהיה תלוי בשפה.
Logocentrism 164439
יהונתן,

את הבעייה של אי היציבות של המשמעות של השפה הכירו מזמן, עוד הרבה לפני שהיו פוסטמודרניסטים. בקצרה, החשדנות כלפי השפה הטבעית היא עתיקת יומין, אפילו היוונים הכירו בבעייתיות שלה. הבעיה של "המסמן לא מסמן את אותו הדבר לאנשים שונים" עומדת גם במרכז הדיון במאמרו של בואוסמה דיון 1539, ולמיטב זכרוני, לא הועלתה שם עד כה הסברה שעובדה זו מערערת את חוק הזהות.

דרידה הוא מסובך, וכפי שציינתי בתגובתי הראשונה איני שולט בכל נבכי תורתו. מה שאני כן יודע הוא שהוא טוען כי פילוסופים אינם יכולים לחרוג "מעבר" לשפה כדי להגיע לסוג כלשהו של "אמת" אובייקטיבית, המצוייה מעבר להיסטוריה ולתרבות המיידית והמקומית שלהם (הם אסירים לא-מודעים של מערכות הסימנים עליהם מסתמכות מחשבותיהם). השפה לעולם אינה יכולה, לפי דרידה, ללכוד את המהויות של מושגים כמו "אמת" או "ידע". במילים אחרות, הוא אנטי-אסנציאליסט.

דרידה אכן טוען שהשפה אינה מסוגלת למנוע שינוי ולקבע רעיונות. האם המסקנה הנובעת מכך היא שהדבר מוביל לערעור על חוק הזהות? כשאני מהרהר בכך עכשיו עולה בדעתי שיכול להיות שאתה צודק, וזו המסקנה המתבקשת.

אני אצטרך לקרוא עוד מכתביו של דרידה (זה עונש רציני ביותר) ועליו, כדי שאוכל לגבש את דעתי בנקודה זו. אשמח מאוד אם יש בין קוראי האייל מישהו שבקי ממני בעניין ויוכל להבהיר את הדברים לאשורם ולעומקם (ניק דה גריק? דוד פלד?).

מכל מקום, יונתן, במוקדם או במאוחר אברר זאת, ואודיע לך בדואל ברגע שאפרסם תגובה בנושא.

נ.ב.

היות שהפתיל בנושא הזה יכול עוד להתארך אני מציע להעביר את הדיון בשאלות שהועלו בו לדיון 1539, כלומר, לכתוב את התגובה הרלוונטית שם, ולציין שהיא המשך הדיון כאן (עם הפנייה לתגובה של גרייצר שפתחה את נושא הלוגוצנטריזם).
אגב - 164441
אפשר לדבוק ב"פלאי"?
שום סיבה עקרונית, וטוב ומנומס לדבוק בשם משפחה כברירת מחדל, אבל זה סתם מצלצל קצת מצחיק באוזני כל פעם.
רק להדגיש נקודה אחת לפני שממשיכים. 164442
כי נדמה ליש היא לא עברה היטב מספיק - ההבדל החשוב בין הדקוסנטרקוציה לאסכולות אחרות שמפקפקות בשפה, הוא שאצל הדקונסטרוקציה במוצהר *לא מדובר* בשאלה של משמעויות שונות לאנשים שונים, אלא באף-משמעות-וכל-המשמעויות לכולם.

אני לא מצפה לתגובה רגע, ואכן נמשיך בזמן ובמקום, פשוט רציתי להבהיר את זה פעם נוספת, שכן הדבר עקרוני מאוד לכל מה שאמרתי בנושא.
Logocentrism 164433
ובכן, באשר לוגוצנטריות- קודם כל באמת טעיתי, מכיוון שהמילה עצמה אינה מתייחסת ל"לוגיקה" במובנה המודרני גם לא ברמה הלשונית אלא ל"לוגוס" במובן תבנית ,למיטב זכרוני, אבל אני חלש בזה .
לעומת זאת, אכן נעשה שימוש רב במושג זה כדי לתקוף דרישה לשימוש בלוגיקה תקינה. כדאי להעיף מבט למשל בהוגים שעושים את ההצמדה לוגו-צנטרי, פאלו-צנטר,יורו-צנטרי, כדי להבין את מימדי התופעה.
השימוש "לוגוצנטרי" משמש גם באופן מוחלט מחוץ לכל הקשר לשוני, כדי להתייחס לראיות שאונסות את העולם לחוקי הלוגיקה, והמונח משמש כמעין "אות קין" כללי אשר מצמידים לכל כתיבה המצייתת לחוקים ההומניסטיים-מערביים הישנים, ובראשם הדרישה ללוגיות.

כאמור, טעיתי, אך אני עומד על כך שבאם בדיון עם דוגל בדקונסטרוקציה אצביע על כשל לוגי אצל אסוכלת יל, למשל, אואשם ב"לוגוצנטריות". זו המילה ששמשה בתגובה לביקורת באמצעות לוגיקה שנתקלתי בה אצל מרצים, מתרגלים, סטודנטים וחובבים כאחד.

יתרה מכך, הוגים פוסטמודרניסטיים מהסוג שמשתמשים במילה לוגוצנטרי כלל אינם עוסקים לרוב בכך שהמשמעות של מילה תלויה במחבר אלא בקורא - היליס מילר, למשל, הצהיר על כך מפורשות - אלא בכך שלמילה יש מהות פנימית שהיא אנטי לוגית ואינסופית. השפה על פי היליס מילר, למשל, היא בלתי ניתנת לקיבוע באופן אינהרנטי, אונתולוגי כמעט, ולא בגלל שהשפה היא בעיני הקורא.

ולסיום, הציטוט שהבאת למעשה ראדיקאלי הרבה יותר משהוא נשמע- הוא אינו אומר דבר בקשר למשמעות קבועה או נזילה, אלא רק שזו "האמונה שמשמעויות של מילים משקפות את המציאות", למעשה, האמונה שאנחנו יכולים לומר משהו נכון על משהו. אנחנו אפילו לא מדברים כאן על הרעיון הויגטגיינשטני של הכשל באמונה הסטרוקטורה של השפה אומרת משהו סודי וחשוב , אלא שיש מילה שמעלה תמונת מציאות ממשית. זה מעבר לשאלות של נזילות, זאת שאלה היצוג הבסיסית, קרע עמוק הרבה יותר.

אין כל דמיון בין ההגדרה שהבאת מן המילון להסבר שהקדמת, ואולי יש בכך ללמד על נזילות המושג.
כך או כך, המושג הפך שם נרדף לכלל המסורת המערבית שאליה הפוסט-סטרוקטרליזם הראדיקאלי מנגד את עצמו, בהקשר רחב הרבה יותר מזה שתיארת בהסבר המקדים את ההגדרה שציטטת.

על דרידה, אגב, אין לי תלונות מלבד העובדה שאיני נוטה להסכים עם הטענות שלו שקראתי או קראתי אודותיהם, הוא חושב הגון ובעל מידות.

דוגמאות רבות לשלילה של עקרונות הלוגיקה תוכל למצוא בהגות הפמינימסטית הפוסט סטרקטורליסטית, ונדמה לי שכמה ציטוטים ישירים תוכל להפיק מThe laughter of medusa.

גם הדקונסטרוקציה הדרידאית עצמה מתנגדת תאורטית לעקרונות הלוגיקה, שכן היא טוענת שאין מערכות שאינן מפרקות את עצמן, ואינה מאמינה כי הדבר תקף רק ברמה תאורטית-מטא-פיזית כמו שמתייחסים לפרדוקסים ובעיות בלוגיקה במסורת ההומאניסטית, אלא כחלק מן העולם ממש.
נוסף לכך, אני שמעתי בקורס באונ' כי דרידה מצהיר שאינו דוגל בלוגיקה אלא בכתיבה רטורית, אך אני מעדיף שלא להסתמך על ציטוטים ממקור שני.
Logocentrism 164440
פלאי,

ראה תגובתי לעיל תגובה 164439. וכאמור, המשך יבוא (מתישהו).
בשמי אני 164482
ההתרשמות הלא ממש מלומדת שלי היא שתחום ההיסטוריה חמק מהוירוס הזה, כמו גם חלק גדול ממדעי החברה (פרט אולי לסוציולוגיה-אנטרופולוגיה, בחלקה). עיקר הבעיה היא בפילוסופיה, בספרות ובאמנות.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164563
קשה קצת למדוד את מדעי החברה בכלים של מדעי הטבע. אי אפשר לצפות לרצפים לוגיים ולניסויים נקיים ממשתנים ומבעיות כשבחברה האנושית עסקינן. אז ההשוואה לא ממש במקום. לגבי מדעי הרוח, ברור שהאיכות של המאמר לא צריכה להיבחן בכלים של לוגיקה: האם מאמר שמנתח סיפור, או מספר על מהפכה, צריך להיבחן ע"ס עמידתו במבחני קוהרנטיות של לוגיקה מתימטית? לא ולא.

יש לי חבר טוב שאומר שסטטיסטיקה היא התירוץ של מדעי החברה להיקרא "מדע", אבל במתודולוגיות המסורתיות יותר, יש הקפדה רבה על שיטת המחקר, במובן הסטטיסטי של המילה. בהקשר זה, דווקא טועה מי שכתב למטה משהו בשבח הכלים השיטתיים לכאורה של היסטוריה - רק בשנים האחרונות מוצאים היסטוריונים שמשתמשים בכלים סטטיסטיים של בדיקת השערות.

אשר לזרמים החדשים יותר במדעי החברה - זרמים של דקונסטרוקציה ופוסט-מודרניות - כיוון שהזרמים האלה קוראים תגר על מבני הידע האובייקטיביים לכאורה של הדיסציפלינות המיושנות יותר (ובכלל זה מה שאנחנו מכנים "מדעים מדוייקים"), הם לא מחפשים לעמוד בקריטריונים האלה. מאמר פוסטמודרני נבחן לפרסום על סמך איכותו, אבל לא לפי קריטריונים של המתודולוגיות השמרניות יותר. כאן כמובן עולה השאלה, אם אתם קונים את זה. מהיכרותי הלא ארוכה במיוחד עם האייל, לא נראה לי שיהיו כאן הרבה קליינטים לפוסט-מודרניזם, כך שהדיון די מיותר. אם אתם לא קונים את זה, תתנחמו בכך שהזרמים היותר שמרניים מקפידים מאוד על מתודולוגיה, כשהיא ממין העניין.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164565
איך מודדים את קריטריון ה"איכות", שהוזכר בדיון כבר מספר פעמים?
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164568
קשה, קשה. וודאי וודאי שלא דרך כללי לוגיקה מתימטית, כשזה לא מתאים. כמה הצעות פוזיטיביות (וזו לא רשימה סגורה):

האם התיזה במאמר מעניינת? האם היא מקורית? האם המאמר עוזר להבין את הבעיה? האם ההסבר לתופעה באמת טוב? האם התימוכין האמפיריים (במידה שיש כאלה) מועילים ולעניין?

אבל האמת היא, שאחרי שקראתי את Lila של פירסיג, אני הרבה פחות נוטה לחפש קריטריונים אחידים ל"מהי איכות". איכשהו, כמו פורנוגרפיה, I know it when I see it. איכות היא כשקוראים מאמר וחושבים: "כן! ואללה! היא עלתה על משהו!" או "איך יכול להיות שאף אחד לא חשב על זה קודם?".
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164578
העניין הוא שמכיוון שביטלו אאת כל הקריטריונים, הקריטריון היחיד שנותר הוא לגרום לאנשים להסכים איתך.
כלומר, אם פעם אפשר לטעון שהאקדמיה היית מצעד פופולריות על פי המידה שבה חשובים שמישהו מתאים לקריטריונים מסוימים, היום האקדמיה היא מצעד פופולריות על פי מצעד הפופולריות של מישהו.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164607
איך אפשר לדעת אם המאמר עוזר להבין את הבעיה, אם לא ניתן לבחון אותה בכלים אמפיריים? איך אפשר לדעת אם ההסבר הוא טוב (באמת או לא) אם אי אפשר לנסח את התיאוריה לסך מבחן אמפירי כלשהו?

מרצה שלי אמר פעם שאין לו שום דבר נגד מחקרים איכותניים, אבל הוא בשום פנים לא מצליח להבין למה לעזאזל צריך קורס ללימוד שיטות מחקר איכותניות, כשכל הקטע הוא שאין שיטה, אלא רק "התבוננות".
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164617
כמו שכתב הגדול מכולם על "מחקרים" מסוג זה:
"While I'm still confused and uncertain, it's on a much higher plane, d'you see, and at least I know I'm bewildered about the really fundamental and important facts of the universe." Treatle nodded. "I hadn't looked at it like that," he said, "But you're absolutely right. He's really pushed back the boundaries of ignorance."

-- Discworld scientists at work (Terry Pratchett, Equal Rites)

אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165667
דובי, נכון שמתודולוגיה איכותנית היא אולי "רכה" יותר ממתודולוגיה כמותית. אבל יש הרבה דרכים להתבונן במתרחש בעולם, יש הרבה דרכים לתעד את המתרחש בעולם, ויש הרבה דרכים להיות מודע ל-biases אפשריים בהתבוננות הזו. זו טעות להניח שמתודולוגיה איכותנית היא משהו שלא דורש מתודה, העמקה, חשיבה ותכנון. מהנסיון שלי בשני סוגי המחקר, מתודולוגיה איכותנית דורשת הרבה יותר הקפדה, זהירות ועבודה מאומצת בניתוח הנתונים, מאשר משחק בנתונים כמותיים בתוכנת SPSS. מקווה שבתור איש מדע המדינה אתה מבין על מה אני מדברת (ואם לא, חבל).

Paging Ayelet Boazson! Paging Ayelet Boazson! אני בטוחה שאיילת יכולה להסביר טוב ממני את ערכה של מתודולוגיה איכותנית שיטתית. איילת, אייך?

ואגב, אם יורשה לי, אני לא מופתעת שמדובר במרצה גבר ולא במרצה אשה.
it's Boasson 165750
הנה אני כאן (כמעט בשכנות אליך), וראשית התנצלות לכל מי ששולח לי אימיילים, שרת ההודעות היוצאות שלי עדיין לא מסודר.

נקודה מעניינת במחקרים איכותניים היא שרוב החוקרים הן נשים והגברים הספורים שהכרתי שעסקו במחקר איכותני היו אנשי חינוך. makes you wonder...

אנשי מדעי החברה ומדע המדינה בפרט לא מתעניינים במחקרים איכותניים בעיקר משום שההסקה שלהם היא דדוקטיבית - כלומר מהמקרה הכללי למקרה הפרטני. ע"י הסקה כמותית, הם משליכים על המקרה הנחקר המסוים. שום case study לא יהיה יעיל במצב הזה. לצערי, הסיטואציה הזו שבה הם מזלזלים בשיטות המחקר האיכותניות היא שכיחה למדי, כנראה משום תחושת חוסר האונים שלהם נוכח נתונים מסוימים שאינם יכולים לחקור כמותית ולפיכך מעדיפים להתעלם מהם.

ובנוגע להערה האחרונה שלך על מרצים לעומת מרצות, כל שיש לי להוסיף הוא שיש דברים שהם לעולם לא יבינו (ובקצב הזה נכרוז גם לנגה להגיע).
גברים, נשים וטף 165867
אני לא יודע לגבי מדעי המדינה בפרט, אבל להגיד שאנשי מדעי החברה לא מתעניינים במחקרים איכותניים? נו, באמת. כמה מאמרים כמותניים ראית ב"תיאוריה וביקורת"?

לגבי הקשר בין מגדר והעדפות מתודולוגיות, לא נראה לי שיש רגליים לטענה שלך. מהתרשמות כללית ביותר (לפחות בחוג לסוציולוגיה בתל אביב) - המצב לא ממש דומה לתיאור שלך.

מקרב המרצים, יש גברים איכותנים לא מועטים כלל (גם אם יש מעט מאוד כמותניות). מקרב המאסטרנטים והדוקטורנטים, רוב הכמותנים הן נשים, והשיעור אפילו גבוה יותר בקרב הרציניים יותר (כלומר, עוזרי מחקר ומתרגלים). נראה לי שרוב המאסטרנטים והדוקטורנטים הגברים (המעטים שיש, זאת אומרת) הם איכותנים.

וכדי להוסיף עוד קצת שמן על המדורה, כמה מהכמותניות הצעירות (נשמע טוב, אולי אפשר לפתוח סדרת ספרים - הראשון ביניהם יקרא "הריצי רגרסיה לוגיסטית, עידית, הריצי רגרסיה לוגיסטית!") הבולטות בחוג מתרכזות במחקרים בתחום החינוך. גם פרופ' חנה איילון, מהחוקרים הכמותניים החשובים בחוג, עובדת גם בחוג לחינוך. does *that* make you wonder?

ודבר אחרון. "הסיטואציה הזו שבה הם מזלזלים בשיטות המחקר האיכותניות היא שכיחה למדי, כנראה משום תחושת חוסר האונים שלהם נוכח נתונים מסוימים שאינם יכולים לחקור כמותית ולפיכך מעדיפים להתעלם מהם" - לא יפה. באמת. וגם די מיותר. אמנם אנחנו באייל, אבל לא לכל הכמותנים יש קרניים. כמה מהם הם אפילו די אינטיליגנטים ונחמדים (אבל אל תגידו שאמרתי).
גברים, נשים וטף 165880
אנשי מדעי החברה מתעניינים במחקרים איכותניים בצורה פחותה בהרבה מאשר במחקרים כמותיים (ויעידו על כך האיילים בפקולטאות למדעי החברה השונות). למעשה, החוגים היחידים במדה''ח בירושלים שמלמדים שיטות מחקר איכותניות מתוך מגמה להשתמש בשיטות אלה מאוחר יותר הם החוג לסוציולוגיה ואנתרופולוגיה והחוג לפסיכולוגיה. במדע המדינה למשל, ניתן הקורס, אך כמו שדובי כבר ציין ההתייחסות אליו היא רצינית פחות.

בנוגע למגדר, אשמח אם תגדיר כמה זה ''לא מועטים כלל'' וכן מה היחס בין מרצים למרצות בחוג. העובדה שישנן נשים רבות שפונות למחקר כמותי, כלל לא שוללת את הטענה שישנן גם חוקרות איכותניות. בנוסף, שים לב לעובדה שהחוג לחינוך אינו נכלל באוניברסיטה העברית בפקולטה למדעי החברה. כמובן שכתבתי את המשפט בציניות מה, אבל אם אתה כבר נטפל אליו אשמח אם תשים לב לדברי ולא תעוות אותם. בחוג לחינוך משתמשים הרבה מאוד הן במחקר כמותי והן במחקר איכותני (על מנת לבחון שאלונים סוציומטריים למשל).

ודבר אחרון, בזמנך הפנוי, אתה מוזמן לבדוק מאחור ולספר לי לכמה מהכמותניים יש גם זנב ולא רק קרניים.
מצטער, בתור איכותני יש לי פתור מספירות 165887
מה שכן, אני יכול לראיין כמותני או שניים ולברר האם הם תופסים את עצמם כבעלי זנב. (-;
גברים, נשים וטף 166006
דווקא במדע המדינה מתרכזים במחקרים כמותניים ומזלזלים באיכותניים? אני ממש לא מבין - חשבתי שההיפך. לי נדמה שמדע המדינה מטבעו, ההכלללות שהוא עושה הן על קבוצות מאוד קטנות של מקרים, קטנות מדי לצורך סטטיסטיקה. האם ניתן לעשות סטטיסטיקה סבירה על מדגם של מדינות דמוקרטיות (או אפילו על כולן)? על מפלגות בישראל?
גברים, נשים וטף 166053
לא, אבל על מצביעים אפשר לעשות מדגמים. בכלל, רוב הנתונים שאפשר לחקור במדע המדינה הם מספריים (אחוזים, מדדים שונים של הצבעה) בין כה וכה. מי שעושה מחקרים איכותניים בפוליטיקה נקרא הסטוריון...

(סתם, לא נכון. דווקא בהוג'י יש הרבה מדעני מדינה איכותניים, בניגוד למה שאומרת איילת. אגב, המרצה שציטטתי הוא בכלל מאונ' חיפה)
גברים, נשים וטף 166068
איכותניים או הסטוריים? (איילת, מתקטננת דווקא ותיכף תשאל את המומחית).
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165770
לא רק שיש שיטה, גם ההתבוננות היא לא פשוטה כמו שאתה מתאר.

הרעיון הכללי של מחקר איכותני הוא לבחון תופעה מסוימת בהתאם למיקומה הכללי. לא תמיד ניתן לבדוק את הדברים כמותית ואמפירית מכמה סיבות: אין מספיק נתונים להסקה אמפירית מהימנה, הנתונים שונים זה מזה באופן שלא ניתן להתעלם ממנו או שפשוט אין אפשרות לכמת אותם, כגון סיפורי חיים, תצפיות וראיונות.

הזלזול במחקר האיכותני הוא טעות משום שבלעדיו לא ניתן לבצע כל הסקה פולקלוריסטית או אנתרופולוגית. שיטות המחקר הן רבות ומגוונות ונעות החל מסוגי תצפית שונים - לא משתתפת, משתתפת למחצה ומעורבת, דרך ראיונות בנויים מראש וכלה בראיונות פתוחים. אירועים שונים וחומרים שונים ניתן לחקור בשיטת ה CASE STUDY וכך להדגיש את חשיבותם במקרה הספציפי, בעוד שבמחקר כמותי מתחלקים כל הנתונים לקטגוריות ומאבדים כל ייחוד, במידה והיה להם כזה.
נשאלת השאלה 165849
מה שוות המסקנות באותו ''מחקר איכותני'', אם הדרך היחידה להגיע אליהן היא רק ע''י אנקדוטות, וכל ניסיון ליישם אותן על מקרים אחרים (כאלה שנראים במבט ראשון כמו אותן אנקדוטות) בעייתית מאוד, מאחר והמשתנים השונים באנקדוטה לא נבדקו באופן מדעי קונבנציונלי.
נשאלת השאלה 165850
אני מניח שכלום.
אבל הם בהחלט יכולים להביא ל-insights ולהעלאת השערות חדשות, שיבדקו אח"כ במתולוגיות אמינות.

אם לקשר את העניין לנושא המאמר - אפשר להשוותם לבחינת סדרה של מיקרים פרטיים במתמטיקה, המובילה לניסוח השערה כללית (שאח"כ יש להוכיחה).
נשאלת השאלה 165853
לא זה התהליך שאיילת תיארה. היא דיברה על סיוע במקרים ספציפיים, ולא כעבודת איסוף למחקר ''קונבנציונלי'', העוזרת בניסוח שאלת המחקר והגדת המשתנים השונים.
נשאלת השאלה 165862
או. זו בדיוק הביקורת של הכמותניים על האיכותניים. התשובה היא פשוטה. ישנם הרבה מאוד מקרים בהם כימות והסקה סטטיסטית נותנת אמנם תמונת מצב אך לא מביאה לידי מסקנות שיהיו טובות לדרכי פעולה עתידיות. למשל - ניתוח כמותי של מקרי תקיפה של נשים תתן לנו פרספקטיבה על היקף התופעה, הגורמים לה וכיו''ב אך ניתוח איכותני, הכולל למשל ראיונות עם התוקפים או הקורבנות, תיתן לנו צורת התייחסות ואופציות לטיפול בבעיה.
השימוש במילה ''אנקדוטות'' בהקשר זה הוא מוטעה משום שגם ראיונות, גם תצפיות וגם שאלונים (ואפילו ניתוח טקסטים) מבוססים על מקרים ספציפיים שמעידים על תופעה חברתית כלשהי. האיכותניים, בדיוק כמו הכמותניים לא ממציאים את שאלת המחקר שלהם יש מאין אלא מתוך ראייה מחקרית חברתית, הכלים הם שונים והמסקנות מגיעות מנקודת מבט שונה.
כך, במקרים רבים משלימים שני סוגי המחקר זה את זה ולא מנוגדים זה לזה.
נשאלת השאלה 165895
זאת ועוד. אחת הסוציולוגיות הבולטות בברקלי, קריסטין לוקר, מחלקת את סוגי המחקר למה שהיא קוראת "אפיסטמולוגיה של גילוי" ו"אפיסטמולוגיה של הסבר". לשיטתה, בעוד שמחקר כמותי מתוכנן נכון יכול לגלות את מצב הדברים בעולם הקיים, קשרים בין משתנים וכיו"ב, אפשר לתת הסבר מבוסס-אמפירית לקשר הזה רק דרך מחקר איכותני. אני מאמינה גדולה בטריאנגולציה של שיטות מחקר ובשילוב של מחקר כמותי ואיכותני.

אסור לשכוח, שיש מחקר איכותני *טוב* ו*רע*: כשמחקר איכותני הוא לא יותר מאנקדוטות, כמובן שהוא לא שווה כלום. הגם שאין דרישה סטטיסטית למספר נחקרים מסויים, מדגם צריך להיערך בצורה מסודרת ומוקפדת. ראיונות צריכים להיות מאורגנים ומתוכננים בהתאם למטרת המחקר. ושיטת הקטלוג שלהם אחר כך גם היא דורשת מחשבה.
נשאלת השאלה 165915
אבל מה המבחן ל*נכונות*? שזה נשמע הגיוני? שזה קוהרנטי? שנשמע כאילו יש בזה משהו? שזה מעניין? שזה מתקבל בחום בקרב כמה פרופסורים?

אם מדובר בעוד כלי מתודולוגי שעוזר לדלות מידע, אז בסדר, נשמע כמו כלי לגיטימי למדי (אבל אליה וקוץ בה - כך לעולם המחקר האיכותני נשאר ככלי או כשלב לפני בואו של המדע האמיתי, שיכול לתת גם תוקף לדברים).

ברגע שחלק מן המחקר האיכותני הוא טענות אמפיריות, יש לבדוק את נכונות הטענות, אחרת מהו ערך האמת של הטענות?

ברגע שהטענות הן לא אמפיריות, לא מדובר במדע (גם אם זה יכול להיות עיסוק אינטלקטואלי פורה ומעניין).
נשאלת השאלה 165921
אביב, אני לא בטוחה ששנינו מדברים על אותו דבר. אני מדברת על מחקר ועל ידע, ואתה מדבר על מדע (מילה שאני לא הזכרתי). אני חושבת (תקן אותי אם אני טועה) שכשאתה אומר "מדע" אתה מתכוון למדעי הטבע ולמדעים מדוייקים.

זאת ועוד: כנראה שאנחנו גם לא מדברים על אותו דבר כשאנחנו אומרים "מחקר איכותני". משתמע מדבריך שמה שאתה מכנה "מחקר איכותני" הוא איזשהו סוג של חשיבה לא אמפירית - משהו דומה למה שעושים חוקרים בפילוסופיה ובמשפטים, למשל. כשאני אומרת "מחקר איכותני" אני מתכוונת למחקר אמפירי. מה יכול להיות יותר אמפירי מלראיין אנשים? מלעשות תצפיות? ודאי שזה אמפיריציזם. מחקר אמפירי יכול להיות כמותי או איכותני. יש דברים שטוב יותר לבדוק בכלים מסויימים, ויש דברים שטוב יותר לבדוק בכלים אחרים, והרבה פעמים כדאי להשתמש בארגז כלים מגוון יותר.
נשאלת השאלה 165922
ואגב: כל מי ששלח מאמר איכותני לפרסום (וקיבל את הערות הקוראים) יודע שיש מספיק דרכים לבקר את האיכות של מה שעשית. אז נכון, הביקורת היא לא ביקורת סטטיסטית, אבל בהחלט יכולות להישאל שאלות על טיב ואופי המדגם שבחרת, על גודל המדגם, על הפרשנות שבחרת לייחס לדברי המרואיינים (ע"ס ציטוטים בגוף הטקסט, למשל), על הקטגוריות שבחרת לניתוח, ועוד, ועוד. החיים לא נהיים יותר קלים כשמשתמשים במתודולוגיה לא כמותית... מהרבה בחינות הם קשים יותר.
כך, אגב, גם במחקר היסטורי. 166379
המחקר איננו מנותק מ*עובדות*, אלא שעובדות אלו אינן בהכרח מספריות. לעתים, כאש מדובר בארועים חשובים, העדויות יכולות להיות אנקדוטליות (למשל, תקציר ביקורו של הקיסר וילהלם השני בארץ ישראל) ולעתים, כאשר חוקרים קבוצה (לאומית, דתית, אחרת) העדויות יכולות להיות סקירה מקיפה של ספרות, עיתונות, וחומר אחר מהתקופה. ניתן בקלות ךשגות בשיטות "איכותניות", למשל להסיק בטעות שאי-קיום עדות למשהו בספרות היא עדות לאי-קיומו, כאשר הסיבה לכך שאותו אלמנט אינו מופיע נעוצה, למשל, בבחירת החומר אותו חיפשת. ודברים דומיםף מורבים בהרבה.
ואאלה -- נתת לי רעיון למחקר 165196
אבל חייבת להחקר על ידי חוקר מהתחום (ולכן אני נפסל א-פריורית):

ניתוח התהליכים אשר הובילו להווצרות הפוסט-מדעים, תוך כדי הבנת המנגנונים החברתיים והפסיכולוגים של קבוצת המחקר (ה"חוקרים" הפוסט-מודרניסטיים, להלן ה"פוסט").
ניתוח סטטיסטי של הפרסומים בתחום לפי הפרמטרים המוצגים לעיל. במיוחד, היחס בין כמות המאמרים שאינם שווים את הנייר עליו הם מודפסים לפי הקריטריונים לעיל, לפרסטיז'ה של המחבר בקהילת הפוסט.
מחקר על תהליכי החיברות הקרב הפוסט והשוואה עם תהליכי חיברות דומים בקרב כתות ריכוזיות.
ואם כבר רוצים להתפרע, בדיקת דומה אשר תתבצע ע"י כלים לוגיים מקובלים ולא רק כלי מחקר של הפוסט, והשוואה בין התוצאות.

האם התזה מעניינת - כן, הרי הפוסט אוהבים לנפץ מסגרות מחשבה קיימות. כהדגמה של Self Reference זה יכול לפתוח חזית מחקר חדשה התקרא פוסט-פוסט-מודרניזם, או מטה-מודרניזם.
האם היא מקורית - כן, כי עדיין לא קם הפוסט-מודרניסט אשר יכרות את הענף עליו הוא יושב.
האם עוזר להבין את הבעיה - כן, אם מסכימים שקיימת אחת (אבל גם ללא הסכמה זה לא יפריע, הרי התזה תטען שיש בעיה ותוכיח זאת, לפחות במתדולוגית הפוסט).
ההסבר לתופעה טוב - תלוי בתוצאות המחקר.
תימוכין אמפיריים - כתבי עת שלמים.
הצעתך היא, אם כך, 165580
לחקור את הפוסטמודרניזם בכלים של ביקורת התרבות. זו הצעה מצוינת, ואני מניח שמישהו כבר יישם אותה. אם לא, אני מוכן להתנדב (מייד כשאסיים את הדוקטורט).
הצעתך היא, אם כך, 165738
לפני כמה שבועות התפרסמה בהארץ כתבה על סוציולוג ישראלי צעיר שבדק ומצא שקהילת הסוציולוגים בארץ חוטאת למקצוע ונגע המחקר המוטה פגע גם בה. כך למשל רוב העבודות בתחום לא היו על סוגיות היחודיות לישראל, אלא על נושאים המעניינים את קהילת הסוציולוגים בחו''ל. על המתנחלים למשל לא היו כמעט עבודות, כי הם נושא שהוא לא פוליטיקלי-קורקט.
הצעתך היא, אם כך, 165985
אבל אתה כבר סיימת את הדוקטורט, לא?
לא. 166380
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164601
מוסכם לגמרי שאין למדוד מאמר במדעי החברה בכלים של מדעי הטבע, ואין גם ספק שבמדעים אלה יהיו מדדי איכות שאינם פורמליים גרידא (גם במתמטיקה, אגב, זה כך).

מה שאני טיפה פחות מבין זה את המשמעות של קריאת-התגר של הפוסטמודרניזם על המדעים המדוייקים. כנראה שאני באמת לא קליינט לפוסט-מודרניזם (הזה), אבל הייתי רוצה לפחות להבין מה זה בשביל להחליט. האם הפוסט-מודרנים טוענים טענות *על* המדעים המדוייקים בזמן שהם משחררים עצמם מהצורך לעמוד בקריטריונים של הדיסציפלינות המיושנות?
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164616
שאלה מעניינת- אני יודע לבטח שהביקורת הפמנימיסטית הפוסט סטרקטורליסטית הראדיקאלית (נסה להגיד את זה מהר שלוש פעמים) טוענת כנגד המדע שהוא צורת חשיבה גברית, דכאנית ופאלו-צנטרית.

כול, כמובן, האמירה המפורסמ ש''חוקי ניוטון הם אונס גברי של הטבע''. חשוב להבין שלא מדובר בתמהוניים שוליים, אלא בכתבים שנכנסו עמוק אל השיח האקדמי.

בקשר לזרמים אחרים, אני לא בטוח. נדמה לי שזרמים רליטיביסטיים-לא-אנליטיים (דהיינו, יש רלטיביזם שרוצה להפריך את עליונות העמדות המערביות באמצעות אנליזה, ויש רלטיביזם ששולל את מושגה האנליזה בגלל שהוא פוסט-סטרקטורליסטי) תוקפים את המדע. אני לא מתמצא בתחום אבל נראה, מעיון מעמיק באתר של פרופ' סוקל, שבהחלט יש ''מלחמה'' אינטלקטואלית סביב המדע שבה מתקיפים הפוסט-מודרניסטיים.
הבהרה 164619
בגלל שהרלטיביזם הזה הוא פוסט סטרוקטורלי, לא בגלל שהאנליזה היא מושג פוסט סטרוקטורלי.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164627
שיהיו בריאים...
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164634
ואתם אל תשתחצנו, מאז הפרכת האינדוקציה אתם על זמן שאול.

:-P
טוב, לא המתמטיקאים.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164698
וודאי שיש. וודאי שפוסטמודרניות ופמיניזם רחוקות מהיות זרמים שוליים במחקר. אבל יש מספיק מחקר לא רלטיביסטי, ולא פוסט-סטרוקטורלי, כדי להפיס את דעתו של מי שממש מוכרח מתודולוגיה כמותית בשביל להרגיש טוב.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164714
אם הזרמים הפוסטמודרניים בפמיניזם ותחומים אחרים מזכירים במשהו את מה שפלאי מתאר (ודומה שקטעים שמצאתי ממאמר של סנדרה הארדינג מאששים זאת), אז מתודולוגיה כמותית זה ממש לא מה שחסר כדי להפיס את דעתי - חסר הרבה יותר.

כלומר, המחקר הכן-רלטיביסטי וכן פוסט-סטרוקטורלי נראה לי לוקה מהרבה בחינות שאינן קשורות לחסרונה של מתודולוגיה כמותית. *סייג*: אני מתפרץ לתחום שאני לא מכיר כלל, וייתכן שאני עושה לו עוול. אבל *אם* הויכוח על הגבריות-כן-או-לא של חוקי ניוטון קיים בפמיניזם הזה, תהום פעורה ביני לבינם, תהום שאין לה שום קשר לפמיניזם.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164718
זה בגלל שאתה שוביניסט גברי, כמובן.

עזוב את ניוטון, חשבת פעם למה "פונקציה" היא נקבה? כדי שאפשר יהיה לגזור אותה (ע"י הפעלת "אופרטור" זכרי לחלוטין) שוב ושוב ולהתעלל בה באיצטלה של מחקר מדעי. ובכל מקום שהיא לא רכה וחלקה מספיק לטעמך השוביניסטי, אתה מתאונן ומכריז על זה כ"פתולוגיה" שלה, רק בגלל שהאופרטור הזכרי *שלך* לא מסתדר איתה טוב.

או "מטריצה", הנקבה הזאת שאתה, סוטה שכמותך, נהנה למצוא את ה"הופכית" שלה דווקא. כמה עניין אתה מגלה ב"ערכים העצמיים" הזכריים שלה, כאילו *הם* אלה שמעניקים לה את החשיבות ואת המהות, ובלעדיהם היא סתם אוסף מבולבל של מספרים חסרי צורה.

אפשר להמשיך, כמובן, עוד ועוד אבל אני חושב שאין בכך טעם. ממילא אתה תחזור לכל ה"חבורות" הגבריות שלך, עם ה"חוגים" הסגורים הדחוסים ומדיפים עשן הסיגרים, ותדבר שם על "אידיאלים" ועל "מרחבים" בלי להרגיש כמה אתה שבוי בקבעון של "ערכים מוחלטים" זכריים.

אגב, אם אתה כבר כאן, יש לי הוכחה קצרה לכך שהשורש הריבועי של 2 הוא נקבה. יש לך חמש דקות?
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 164723
"יש לי חמש דקות"?! ומי הרשה שיהיו "בבעלותי" אותן דקות רכות? בוודאי אותו שעון דו-פאלי, הבועל שעות ושניות תמות, הא?

יש פרופסור אחד (חוקר משובח - שמו שמור במערכת) שגחמתו הקלה היא לדבר מתמטית בעברית צחה. אז מילא "פעיל דחיס" (אופרטור קומפקטי), אבל אם איזו פוסטמודרנית תשמע אותו מזכיר "רב-איבר חשרורי" (!!!), זה הסוף שלו.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165869
מה זה "חשרורי"? (אני מנחש ש"רב-איבר" זה פולינום.)
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165878
ציקלוטומי. ''חישורים'' רומז למבנה הגאומטרי של שרשי היחידה (וניחשת נכון).
שורש 2 164866
אם צריך להכפיל אותו בעצמו כדי לקבל 2, אז הוא אווז; ואם להכפיל אותה בעצמה - אווזת.
גם משפט הפונקציות הסתומות 166353
זה עדות לשובניזם מובנה במתמטיקה.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165165
טוב, פלאי (והשוטה ועוד כמה חברים) מציגים את הגישה הפמיניסטית למדע, ולאמפיריציזם, כאנשי (ואולי נשות?) קש. הייתי מנסה להסביר בצורה קצת יותר רצינית, אבל אחרי שקראתי את הפארודיה של השוטה, אני פוחדת. :)
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165182
אנא, הסבירי. פארודיות, לפחות במקרה שלי, רק מעידות על חוסר ידע אמיתי. אני סקרן מאוד לדעת מהן הטענות ומה משמעותן לגבי השיטה המדעית.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165350
אוקיי. אני אנסה.

Disclaimer קצר: בפמיניזם יש המון זרמים, וגם הגישות כלפי מדע הן די מגוונות. על הוריאציות היותר רדיקליות, מן הסתם, אני אפילו לא אנסה להגן כי חבל על המאמץ.

אבל:

הטענה העיקרית היא שקשה לנתק בין עובדות ביולוגיות ובין הלקחים החברתיים המופקים מהן, ובכלל זה הלקחים המגדריים. לשיטת הביקורת הפמיניסטית, השימוש בשיח שהוא שיח "אובייקטיבי" ו"מדעי" יוצר אשליה שיש לגיטימציה לכל מה שאומרים על סמך המדעיות הזו.

בספרה "המין השני" כותבת סימון דה בובואר על התפיסה המדעית את תפקידי הגבר והאשה כנובעים באופן טבעי מצורת אברי המין שלהם. העובדה שאבר המין הגברי הוא חיצוני, ואבר המין הנשי הוא פנימי, הביאה דורות של מדענים להסיק כל מיני מסקנות ברמה החברתית-משפחתית לגבי תפקיד הגבר כ"בועל" וה"חודר" ותפקיד האשה כ"מקבלת". איכשהו יצא שהתפיסה הזו נגזרה, באופן "טבעי" לכאורה ובמשך מאות שנים, מהעובדות המדעיות היבשות לגבי האנטומיה.

גם ההבחנה שעוכרת ג'רמיין גריר בין "מין" ו"מגדר" קשורה ורלוונטית כאן. הממסד המדעי התקשה לשים את הגבול (אם יש בכלל גבול כזה, כטענת הדה-קונסטרוקציה) בין המאפיינים הביולוגיים של המין ובין המאפיינים החברתיים שלו.

עד כמה זה רלוונטי לחוקי ניוטון, אני לא יודעת, ואין לי ספק שיש איילים שיטענו שעדיף לשים את הגבול בין מדע לחברה במקום הלא נכון מלא לשים אותו בכלל. אבל הבטחון שאנחנו יודעים לדעת איפה נגמרות העובדות ואיפה מתחילה הפרשנות החברתית שלנו לעובדות אינו במקומו, ומאות שנים של פטריארכיה ושוביניזם שבוססו, בין היתר, על הנחות בדבר "טבעם" השונה של נשים וגברים כאקסיומה, יעידו שיש בזה משהו.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165377
הטבע של גברים ונשים שונה בתחומים רבים, גם בלי להתייחס לזה שאחד מהמינים מטיל מימיו בעמידה. כל מי שפעם חקר תינוקות ופעוטות (השלב שלפני ההשתלה המכוונת או העקיפה של ההתניות החברתיות) יודע זאת.

אבל מה לכל זה ול"גישה מדעית"? מדוע ויכוחים פוליטיים בין קבוצות אוכלוסיה שונות צריכים להוות חלק מהמדע?
כל הרעיון של "מדע פמיניסטי" (כמו גם "מדע שוביניסטי") נראה לי מופרך. אני לא ממש סומך על "מדעים" שרגישים כל כך לעמדות הפוליטיות של מחבר המחקר.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165390
אם לא היו מתקיפי פוסט-מודרניזם טובים ממני באייל, ואם זה לא היה כה רחוק מנושא המאמר, הייתי מגיב לטענות שאיזכרת. בבחינת, "תחזיקו אותי" (:
לבסוף הייתי מסייג את דבריי בחשיבות שיש למודעות למנגנונים שעיצבו את הידע שלנו בעבר ושעדיין הם ושכמותם מסוגלים פה ושם להשפיע גם כיום, גם אם "אין מה להשוות" לפעם.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165391
תודה רבה. הדיון במאפיינים החברתיים של המגדרים, כתחום מחקר במדעי החברה, נשמע לי סביר בהחלט. אבל אני באמת התעניינתי בצדדים הרדיקליים יותר אליהם התייחסת בפסקה האחרונה, ואת זה אני עדיין לא מבין. איזה בטחון שאנחנו יודעים להפריד בין עובדות לפרשנות חברתית נחוץ בפיסיקה, או מתמטיקה? יש הרבה גבולות שאנחנו לא יודעים לשים במדוייק, אך להסיק מכך שאין דברים הנמצאים באמת משני צידי הגבול זו מסקנה שגויה כמעט בכל דוגמה שאני יכול לחשוב עליה, ובפרט כאן.

אני עדיין מתקשה להאמין שאדם נבון יניח שיש חשיבות לפרשנות מגדרית של חוקי ניוטון. מה טיבה של פרשנות כזו? האם המסקנה היא שהחוקים שגויים, או שעצם הדיון בהם הוא "רע"? האם הפמיניסטיות טוענות נגד חוקי המדע, נגד השיטה המדעית, או נגד איזשהו שימוש שנעשה במדע כדי לדכא נשים?
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165397
"איזה בטחון שאנחנו יודעים להפריד בין עובדות לפרשנות חברתית נחוץ בפיסיקה...?"

כל חקירה פיזיקלית יוצאת מתוך השקפה על המציאות, שהיא תוצר של התרבות ושל הפילוסופיה שבדיוק פופולרית. דתות יסבירו תופעות באופן מסוים, אריסטו חשב על "סיבות תכליתיות" בפיזיקה (ובכלל, העמיד את הפיזיקה על הביולוגיה בשעה שהיום אנחנו מנסים להעמיד את הביולוגיה על הפיזיקה), אפלטון חשב על חקר האידאות כדרך להכיר את העולם, היום אנחנו בעד רדוקציוניזם וכולי.

אנחנו צריכים לזכור שהמודלים והמושגים שאנחנו משתמשים בהם להסבר העולם ("אטום", "גל" וכו') אינם "נמצאים שם", אלא הם תיאורטיים, ופרי המצאה של האדם. והמושגים של האדם מתעצבים במסגרת התרבות שהוא חי בה.

אני לא מכיר תיאוריות פמיניסטיות. אבל אני בהחלט יכול לקבל טענה היוצאת כנגד זיהוי ההכרה עם המדע, והאמת עם העובדות המדעיות. מדע הוא רק שיטה, שעוסקת במקטע של המציאות שאפשר להכיל בכלים מדעיים, ומתיימרת לראות בתוצאות של חקר זה את דמות המציאות כולה. טענה רדיקלית אף יותר היא שהמדע חוקר עולם אחר מזה שאנו מכירים, ולמעשה "יוצר" עולם שבו התופעות עברו מתמטיזציה ואידיאליזציה.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165424
זיהוי ההכרה עם המדע, ושל האמת עם העובדות המדעיות, נתון תמיד לוויכוח. הקושי שלי הוא ספציפית עם הרלוונטיות של פרשנות *חברתית* לחוקי המדע.

אפשר לדון בשאלה אם חוקי ניוטון *נכונים*, ואפשר לדון בשאלה אם הם *מעניינים*. לדעתי לא ניתן לפתח דיון משמעותי סביב השאלה אם חוקי ניוטון הם בסולם מז'ורי או מינורי, ובאותו אופן בדיוק גם לא סביב השאלה אם הם גבריים או נשיים. לכן אני מנסה להבין מה בדיוק אומרות אותן פמיניסטיות.

למי שחש שהדיון לא מתאים למאמר - אפשר לטעון שדווקא כן, כי במובן מסויים המאמר מתייחס לפער בין דיון פורה לקשקושים סתם. אני רוצה לדעת איפה אני, לפחות, ממקם פמיניזם פוסטמודרני (ואני באמת לא יודע עדיין).
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165432
אני מתאר לעצמי שהרעיון הוא זיהוי של המאפיין גברי/נשי עם תכונות כלליות יותר, שמובילות לדרכי חקירה שונות ‏1. אבל, כאן באמת אני נכנס לתחומים זרים לי. אני אחכה יחד אתך לתשובה מבוססת.

1 "עובדות" בחקירה מדעית רלוונטיות רק ביחס להיפותזה נתונה. אפשר גם לחשוב שהתודעה החברתית שלנו היא זאת שמובילה לבחירת העובדות הרלוונטיות לחקירה. חוקי ניוטון? אולי זה רלוונטי מה מינו של הנופל. מישהו ניסה פעם לזרוק ממגדל גבר ואישה בו-זמנית ולראות מי נופל ראשון?
גלילאה 165434
את הניסוי הזה עושים עם אווז ואווזת, אם זה פוגע ראשון זה אווז וגו'.
גלילאה 165437
לא מכיר. בא לך לספר?
גלילאה 165445
סתם, לא מצחיק. האמת שהטריגר היה קצת מצחיק, כי אווז ואווזת יכולים לעוף, וזה היה עשוי להיות דימוי נחמד מאוד לפמיזיקה.

פרגמנט נוסף של הבדיחה, בתגובה 164866.

הבדיחה המלאה: איך מבדילים בין אווז לאווזה?
אם הוא מגעגע זה אווז, אם היא מגעגעת זוהי אווזה.
למעשה, הבדיחה המלאה היא 165475
איך תבדיל בין אווזת לאווז?
התשובה היא מפורסמת:
ניגשים אל זה הצמד,
צמ-חמד אווזים
ובלי הרף מרגיזים.
ורואים: אם היא נרגזת,
אז סימן שהיא אווזת.
אם רואים שהוא נרגז,
אז סימן שהוא - אווז!"

של שלונסקי.
(למען האמת, לא זכרתי את הציטוט במלואו, ולכן העתקתי אותו מתוך "בישולה").
למעשה, הבדיחה המלאה היא 165481
ואני אוסיף שזה לקוח מתוך עלילות מיקי-מהו (כן, של שלונסקי) שמכיל עוד פנינים אלמותיות רבות.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165544
האפשרות הראשונה שהעלית, "דרכי חקירה שונות", נשמעת לי יותר סבירה (כלומר, יותר סביר שזה מה שהפמ' הפוסט' טוענות). כמוך אני מסכים שעלינו לחכות לתשובה מבוססת, או לקחת אוויר ולרכוש את ספרה של סנדרה הארדינג, "The Science Question in Feminism". אפשר קצת לעלעל בו באמאזון, ואותי העמודים הראשונים לא מאוד הרשימו.

אח"כ הזכרת את האפשרות שחוקי הטבע חלים אחרת על גברים ונשים. אולי. ואולי חוקי-ניוטון נכונים חוץ מבימי חמישי כשקופצים מגשר מסויים בפריז. אלו ניסויים שאפשר לערוך, והם לגמרי במסגרת החקירה הפיסיקלית הנוכחית. כל אדם רשאי לקרוא תיגר מסוג זה על חוקי הפיסיקה הנוכחיים. אבל עד שלא נערך ניסוי מבוקר שמראה משהו כזה, לטעון סתם "חוקי ניוטון גבריים" זה פשוט משעמם.

ברור לי שבדרישתי "לערוך ניסוי מבוקר" אני חושף את הקיבעון שלי לשיטה הפיסיקלית הקיימת (הגברית?). אך, שוב, אם *זו* הטענה הפמיניסטית, אשמח לשמוע מה הביקורת על שיטה זו ו(יש לקוות גם) מה החלופה המוצעת. זו טענה שונה מ-"גברים ונשים נופלים במהירות שונה בהיזרקם ממגדל".
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165559
אוי. ההצעה שלי לניסוי לא הייתה רצינית. כנראה שמוטב שאשאיר את הפרודיות לשכ"ג.

בכל מקרה, אם יורשה לי ניחוש לא-מלומד, ללא הפרודיה זה בכל זאת הכיוון. באמירה שחוקי-ניוטון "גבריים", הכוונה לא רק לשיטת-חקירה שונה, אלא לבחירת העובדות הרלוונטיות להתבוננות בעולם. "פיזיקה ניוטונית" מחפצנת גופים: לפיה, אין זה חשוב באיזה סוג דברים אנו עוסקים, אלא לפי אילו חוקים הם פועלים. תכלית החקירה היא החוקים ולא מושאי-החקירה עצמם, והיא בונה תמונת-עולם שדוחה את ההתנסויות החושיות והרגשיות שלנו לטובת עולם מופשט (ופשטני?).
עכשיו נשאר רק לזהות תכונות אלו (שימוש בדברים בעולם באופן תכליתני, התייחסות לתועלת ולא לדברים עצמם, דחיית הרגש לטובת הפשטות) עם גבריות.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165600
חשדתי שזו פארודיה, אבל הגבתי כי לא הייתי בטוח שכולם יראו זאת כך :-)

ולטענות נגד מדע הפיסיקה: אני לא מסכים עם רובן. המדענים לא "דוחים" את עולם הרגש, ואינם אחראים ל-"תכליתנות" של שימוש בדברים בעולם. הראייה כאילו הפיסיקאי עיוור לעולמות הנשגבים של הרגש, ואופקיו צרים כדי הדברים שניתן למדוד במעבדה, היא פופולרית אך (לדעתי) שגויה לחלוטין.

אם הפמיניסטיות רוצות ליזום סוג חדש של חקירה מדעית, הדנה בשאלות שהפיסיקה לא דנה בהן עד כה, זה מבורך. אני סקרן לראות חקירות כאלה, ולא רואה שום סיבה לא לקרוא להן "מדע" או "פיסיקה" כשהיהיה בהן תוכן של ממש, וזה לא חייב להיות משוואות או חוקים.

תחושתי היא שזה לא המצב: הן לא מציעות כיוונים חדשים, אלא טוענות נגד הקיים. מה הטענות? ומה ניתן להפיק מהן? זאת הייתי רוצה להבין.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165606
לשאלתך: כיוון שהביקורת הפמיניסטית שאתה מדבר עליה היא גם פוסט-מודרנית, הבעיה אינה ייחודית לביקורת הפמיניסטית (ב"פ!) אלא לביקורת הפוסט-מודרנית (בפ"מ!) בכללותה.
וכן, אתה צודק - זו חשיבה שמפרקת את הקיים ולא מציעה לו אלטרנטיבה (מלבד אולי אלטרנטיבות הדוניסטיות, שקיימות בבפ"מ, אבל לא תופסות לעניין החשיבה המתימטית).
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165631
נכון, פוסט-מודרניזם בכללותו מבקר את המדע. אבל לנקודת המבט הפמיניסטית היתה תרומה ניכרת להתפתחות אורח החשיבה הזה על מדע. הפוסט-מודרניות חייבת הרבה לגל השני והשלישי של הפמיניזם.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165797
לא רק נקודת המבט הפמיניסטית - גם הפוסט-קולוניאלית, למשל. ייתכן שטענות פוסט-קולוניאליות תופסות פחות במקרה של כמה מהמדעים המדויקים (שכן גם חוקרים ערבים עסקו בהם בתור הזהב). ובכל זאת אפשר לטעון שהמדעים המדויקים הם אלמנט חזק בחתירה המערבית לחשיבה לוגית. למשל.
גלים גלים, עולים עולים 165987
אז מסתבר שהיה לנו כבר פגש''ן (פמיניזם גל שני) ופגש''ל (גל שלישי). כאילו שכבר התאוששנו מהגל הראשון...

וברצינות, אולי תפרסמי מאמר על תולדות הגלים האלה (מה זה פוסט מודרניזם אנחנו, נגיד, יודעים, למרות שלעולם לא נודה בזה שאנחנו לא יודעים, אבל הגלים האלה, זה נשמע חדש, ומותר לנו בשלב זה להסתכן ולהודות שאנחנו לא יודעים).
גלים גלים, עולים עולים 166144
אליהוא יקירי, ספרים ומאמרים על פמיניזם יש למכביר, בכל מיני רמות ולכל מיני קהלים, וניתן למוצאם בכל ספריה אוניברסיטאית. למי ש*ממש* אין רקע בפמיניזם, ופשוט רוצה לקבל מושג מה זה, תאריכים, אירועים מרכזיים, דמויות בולטות, גלים וגו', אפשר להציץ בספר המאוד בסיסי של טלי רוזין "מה זה בכלל פמיניזם ואיך קרה שאנחנו לא יודעות על זה כלום".

בגוף הספר יש הפניות לביבליוגרפיה פמיניסטית בסיסית, ולמעמיקים ינעם (או שלא).
גלים גלים, עולים עולים 166420
תודה.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165644
אפשר לפרק משהו ע"י שמכריזים "הרי אתה מפורק"? לא צריך לפחות להצביע על קשיים קונקרטיים מסוימים, טעויות, שיפורים, משהו?

כלומר, נניח שברצוני לפרסם מאמר ב-Social Text המפרק את הפוסט-מודרניזם, מבלי להציע לו אלטרנטיבה כלשהי. האם יש *איזושהי* אמת-מידה שמאמרי צריך לעמוד בה? או שמספיק שיהיה שנון, מצטט לרוב מטקסטים הקיימים, וכועס מאוד?
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165670
צריך שתהייה לך תזה שמחדשת משהו, שמסתכלת על הקיים בדרכים שלא הסתכלו עליו קודם, ולפעמים מתבקש שתהייה לך אג'נדה חלופית. יש, אגב, מאמרים שעושים בדיוק מה שאמרת - דה-קונסטרוקציה לדה-קונסטרוקציה (כמו Against Criminology של Stan Cohen).

חשוב לזכור, שוב, שהעולם האקדמי במדעי החברה שונה מאוד מזה של המדעים המדוייקים. מאמרים אינם מתפרסמים באותה תדירות, אפילו לא מתקרב, וההגדרה של מהו "חידוש" היא מאוד שונה.
על התדירות 165705
יש לך אולי משהו להעיר על תגובה 136891?
על התדירות 165762
לא, כי לא הבנתי מאין הגיע המספר שהזכרת ולמה הוא מתייחס, והאם אפשר להשוות מספרים מוחלטים בלי קשר לכמות המדענים, לכמות כתבי העת ולתדירות שיתוף הפעולה בין כותבים.

ההתרשמות הלא-כמותית והלא-בדוקה שלי, פשוט משיחות עם חברים בכל מיני דיסציפלינות, היא שחבר'ה שעובדים במעבדות (בעיקר כימאים ופיסיקאים) מפרסמים יותר, כי המעבדה מוציאה מאמרים משותפים המתייחסים לפרוייקט מתמשך של עבודה, שחתומים עליהם לא מעט אנשים. וכך, גם אם אתה יחסית חוקר צעיר וטרי, יש לך כמה וכמה פרסומים באמתחתך כבר בשלב מוקדם מאוד של הקריירה שלך. במקצועות כמו סוציולוגיה ומדע המדינה, שבהם אין מעבדות, ושיתוף הפעולה הוא נדיר יותר, מצופה ממך להגיע למקומות עבודה ולדיונים על הקביעות שלך עם פחות מאמרים וספרים, כי אתה עובד רוב הזמן לבד (או, פחות שכיח, עם עוד אדם אחד. נכון, שאני מכירה פחות את תחום המתימטיקה, ואולי הוא פחות דומה לכימיה ופיסיקה - כשם שפסיכולוגיה, ובמיוחד פסיכולוגיה ניסויית, שונה מהדיסציפלינות החברתיות שהזכרתי.
על התדירות 165805
את המספר שהזכרתי (2 מליון) - המצאתי. השאלה היתה האם הוא סביר בעינייך, ואם לא - כמה מאמרים מתפרסמים במדעי החברה מדי שנה לפי ההערכה שלך.

אני לא עוסק בכלל במספר המאמרים שמפרסם חוקר בכל תחום (שם, כפי שציינת, משפיע גם נפח שיתוף הפעולה), אלא במספר המאמרים שמתפרסמים באופן כללי.
על התדירות 165811
ואללה, עוזי, אין לי מושג. במספרים כללים, זאת אומרת. אחת הסיבות שקשה לי להעריך, היא שיש כל מני ז'ורנלים, בכל מיני רמות, לכל מיני דיסציפלינות ותת דיסציפלינות. ניסיתי גם להתרוצץ קצת באינטרנט ולבדוק אם יש הערכה של המספר היכן שהוא, ולא מצאתי.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165618
אני לא חושב שאפשר להמיר את הטענות בתגובתי לטענות לפיהן "המדענים דוחים את עולם הרגש..." (זאת הפרודיה שאתה עושה?). הטענה היא שמדעי-הטבע הם ניסיון להבין את המציאות מסביבנו, ו"הבנה" זאת למעשה יוצרת את תמונת העולם שלנו. בניגוד למתמטיקה, זה לא משחק מופשט. לכן, המדע שפועל לפי הנחות-יסוד וכללים מסוימים, יוצר את תמונת-העולם הרווחת בחברה. אם המאפיינים שלה גבריים, גם תמונת העולם תהיה כזאת.

אני מזמן החמצתי את ההזדמנות לפרוש בשיאי ולא לדבר על דברים שאני לא מבין בהם, אבל אני אנצל את ההזדמנות הזאת, ואפרוש מהדיון תוך ניים-דרופינג: אם אתה באמת מתעניין באלטרנטיבות שאפשר להפיק מהן משהו תוכל לנסות כיוונים אחרים כמו פנומנולוגיה (הוסרל היה מתמטיקאי, אז אולי זה יעניין אותך מכיוונים נוספים).
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165630
פמיניזם ופוסט-מודרניות דווקא מציעות אלטרנטיבות למחקר מעבר לקיים, במיוחד במדעי החברה (אני מעדיפה לדבר על מה שאני יודעת). גישות של מחקרי עומק איכותניים עם קבוצות שאינן באות לידי ביטוי בסטטיסטיקות רשמיות, וכתחליף לסקרים, למשל, מאפיינות מאוד את המתודולוגיה הפמיניסטית, ובמיוחד את ה"גל השלישי" של הפמיניזם ואת ה-viewpoint feminist.

הכיוון הוא לעשות פרגמנטציה, ודה-קונסטרוקציה, של החוויה האנושית, על ידי הבנות לעומק של חוויות של יחידים, ואחר כך מציאת תבניות משותפות ושונות בין החוויות הללו. בסוציולוגיה של המשפט מאפיינת מתודולוגיה זו את גישת ה-legal consciousness, שאינה פמיניסטית במוצהר, אך ניזונה הרבה מהמתודולוגיה הפמיניסטית.

במשפטים, יש מה שמכונה "feminist jurisprudence", וגם שם יש הצעות מתודולוגיות לניתוח חלופי לניתוח הלוגי המקובל של הקטיגוריות המשפטיות.

מבטיחה לנסות ולברר אילו אלטרנטיבות (מעניינות או לא) מציע הפמיניזם למדעים המדוייקים. לפחות לגבי מדעי הטבע, אני יכולה לציין את ספר בריאות הנשים המצויין "Our Bodies, Ourselves", שמתייחס לביולוגיה הנשית דרך החוויה הנשית, ולא דרך הפריזמה הרפואית המקצועית המקובלת.
משנה כותרת 165636
כמה גלים היו לפמיניסטיות בסך הכל? ספרתי איתך שלוש עד עכשיו.
משנה כותרת 165663
מקובל לדבר על שלושה גלים, אבל הזרמים והמגמות הם רבים יותר. החלוקה ה"גסה" היא כדלהלן:

הגל הראשון הוא הגל שהחל בסוף המאה ה-‏19, עד מלחה"ע הראשונה, שהתרכז בשאלת מתן זכות הבחירה לנשים.

הגל השני מורכב מהפמיניזמים של שנות החמישים עד שנות השבעים. בתקופה זו ניתן לדבר על שני זרמים מרכזיים: פמיניזם ליברלי - שוויון בזכויות עבודה ובשכר, תוך קבלת הפרמטרים של העולם הגברי לשוויון, ופמיניזם רדיקלי - הכרה בהיסטוריה של פטריארכיה, ניצול ודיכוי, בין היתר מהבחינות של קשרים מיניים בין גברים לנשים ואלימות בתוך המשפחה (הפמיניזם הרדיקלי יזם את השימוש במונח "ג'נדר", מגדר).

הגל השלישי הוא המגמות החדשות, בשנות השמונים והתשעים, ובין היתר הוא כולל זרמים של פמיניזם סוציאליסטי וקומוניסטי, "פמיניזם של נקודות מבט" (כמו, בישראל, הפמיניזם המזרחי) ופמיניזם פוסט-מודרני.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165643
כמה שאלות. למה להבין לעומק מקרים יחידים ואח"כ לחפש תבניות (משותפות ושונות) זה "דה-קונסטרוקציה"? זה נשמע לי בדיוק כמו השיטה המדעית הישנה והגברית.

ועוד: הצורך להתייחס לביולוגיה הנשית דרך החוויה הנשית נובע מכך שיש בביולוגיה הנשית משהו אינהרנטי שמוציא אותה מהישג ידו של מדע הרפואה, ושל מדע בכלל? או סתם שרופאים בני זמננו לא מספיק מתייחסים לבעיות-מיוחדות-לנשים? אם זה השני, אז הטענה ברורה בהחלט ו-*לא* חורגת מהתפיסה המדעית. אם זה הראשון, הייתי שמח להבין מהו אותו "משהו", ומדוע הוא איננו נגיש למדע.

מה שאני מנסה להבין, נניח בהיבט הרפואי, הוא זה: אפשר לטעון שמדע הרפואה אינו מדוייק או שלם, ולהציע תוספות או חלופות שבמהותן לא חורגות ממדע זה: אפשר לנסות אותן, אפשר לבדוק את הצלחתן, אפשר לשפרן, בקיצור - מדע לעילא. ואפשר לטעון משהו רדיקלי לגבי עיוותים בסיסיים ומגבלות מובנות בגישה המדעית לרפואה בכלל. מה עושה ספר בריאות הנשים המצויין? ומה באמת המצב האנלוגי בשאר מדעי הטבע?
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 168058
אם את עדיין סקרנית (בעניין האלטרנטיבות למדעים המדוייקים), אולי שווה להציץ כאן:

M. A. Campbell and R. Campbell-Wright, Toward a Feminist Algebra, in Teaching the Majority: Breaking the Gender Barrier in Science, Mathematics, and Engineering, S. V. Rosser, Ed. Teachers College Press, 1995).

אני מאוד רוצה לקרוא את המאמר הזה, אם אוכל לשים עליו את היד. אבל אני מזהיר מראש ומודה: "אלגברה פמיניסטית" נשמעת לי טרחנית-כפייתית ממש כמו כתביהם של כמה מגיבורי ספרו של Dudley.

כפי שאמרתי בתגובה 168057, עוד לא נרגעתי מהצורך להבין מה הפוסט-מודרניים רוצים ממני.
אלגברה פמיניסטית 168069
הכוונה היא שישימו דגש על חוגים נותריים במקום ארטיניים.
אלגברה פמיניסטית 168072
זה כבר המצב, אז מה הן רוצות? :-)

אבל בוא לא ניגרר לבדיחות, אותי העובדה שיש מאמרים על אלגברה פמיניסטית בקושי משעשעת.
אלגברה פמיניסטית 168103
שאלתי היום את המאמר הנ"ל מהספריה, והנה תמציתו.

המאמר עוסק בעיקר בניסוחן של בעיות מילוליות במתמטיקה ("ליוסי חמישה תפוזים...") מהזוית המגדרית, ומציע ארבע דרכי פעולה:

1. יש להציג "גיבורות" נשיות, ולשבור סטראוטיפים מגדריים.

דוגמא לבעיה מילולית המציגה גיבורה נשית היא חישוב מהירותה הממוצעת של אתלטית אולימפית. דוגמא לבעיה השוברת סטראוטיפים מגדריים היא חישוב גובה המשכנתא החודשית שתשלמנה זוג נשים על ביתן.

2. יש להמנע מבעיות מילוליות המבחינות בין גברים ונשים שלא לצורך, ולא להרתע מבעיות המבחינות בין נשים וגברים באופן "רלוונטי".

דוגמא לבעיה המבחינה בין גברים ונשים שלא לצורך: "במועדון צפרות בו חברים 4 נשים ו- 2 גברים, יש לבחור נשיא, סגן נשיא ומזכיר. בכמה דרכים ניתן לעשות זאת אם הנשיא צריך להיות אישה, והסגן, גבר?" המחברות היו רוצות לראות, למשל, בעיות הסתברות על ביטוח חיים, שנתוניהן כוללים מין, גזע, העדפה מינית וכו'. לדבריהן, "האימפקט הפוליטי של השוואות כגון אלו הוא עצום, וחשיבות הניתוח המתמטי נעשית נהירה לתלמידים."

3. יש להמנע משימוש במטאפורות דתיות או אלימות, המרחיקות נשים מהמתמטיקה.

על פי המחברות, אין לצייר את המורה כסמכות אלוהית על ידי שימוש במשפטים נוסח "עליך להאמין בכלל זה", או להציג את המתמטיקה כאוסף כללים הדורשים ציות. יש להראות לתלמידים כי הם יכולים לא רק להשתמש במתמטיקה בחיי היום-יום, אלא אף לבנות מושגים מתמטיים חדשים משל עצמם.

דוגמאות למטאפורות אלימות שנמצאו בספרי לימוד: "לבצע מניפולציות", "בחרו דרך לתקוף את הבעיה", "השתמשו ב- brute force", "נצלו את המשפט הקודם" ו"המונה שולט (dominates) במכנה". מטאפורות אלה מרחיקות תלמידות מהחומר הנלמד.

המחברות טוענות כי במתמטיקה קיימת "אלימות חברתית", וכי זו מופנית כלפי נשים. "מלחמת המינים" מודגמת באמצעות בעיה מילולית בה גבר לוקח את אישתו לארוחת ערב, ומתחכם כאשר היא שואלת אותו כמה כסף יש לו. ברמה עמוקה יותר, גורסות המחברות, תיאורו של ראסל את המתמטיקה כ"יופי קר וחמור" מעיד על שנאת/אפליית הנשים (misogyny) החבויה בפרדיגמה המתמטית המקובלת.

4. יש לנסח בעיות שנושאן קרוב לנסיון החיים של נשים.

במקום לחבר בעיות אודות נושאים "גבריים" כגון משחקי כדור, נהיגה ברכבות ומסלוליהם של טילים (את הדוגמא האחרונה המחברות מתארות כ"מטרידה"), עדיף לחבר בעיות העוסקות באוכל. תלמידות ירגישו יותר בנוח עם בעיות שכאלה, ויזכו בהעצמה (empowerment).
פילוסופיה פמיניסטית 168104
הרבה ספרים ומאמרים שקראתי, באנגלית, משתמשים בנקבה "היא" ולא "הוא". למשל "הפעילות האיזולירבנדית עולה כשהיא חושבת על...". מצד אחד אני חושב שהמאמץ לשנות את צורת השימוש הוא מאד מרענן. מצד שני, זה די מוזר לקרוא שימוש כזה רק בנושאים פילוסופיים ולא בתחומים אחרים, כמו הסטוריה, ספרות וכיוב'.

האם עוד מישהו נתקל בתופעה? אגב, עד כמה ששמתי לב, זה קורה רק בחיבורים של העשורים האחרונים, וזה קורה גם בהרצאות בע"פ.
פילוסופיה פמיניסטית 168108
זה קורה הרבה, בכל סוגי הכתבים שיוצא לי לקרוא: מתמטיקה, ביולוגיה, מדעי-המחשב, ועוד. זו באמת תופעה של העשורים האחרונים. אפילו אני הקטון השתמשתי בטכניקה חמודה זו בתגובה 164719.

ככל הידוע לי, יש עדיין ויכוח אם זה טוב או לא. כלומר, כמעט כולם רוצים איכשהו לכתוב "נייטרלית", אבל לא תמיד אפשר להשתמש בגוף נייטרלי, ויש גם טיעונים נגד השיטה של לשתול שרירותית זכר ונקבה אם כי אינני בטוח כרגע מה הם.

דומני שהופשטטר (שוב פעם הוא...) נדרש לסוגיה באחד המאמרים שלוקטו ב-Metamagical Themas, וכן זכורני שהמתמטיקאי Spivak הוא תומך נלהב של שיטה אחרת: השימוש ב-E במקום He/She המסורבל, ועוד חידושים כאלה. לדעתי הוא כתב ספר על AMS-TeX בו הוא משתמש בחידושיו לאורך כל הספר.

כשתרגלתי באוניברסיטה, כולנו השתמשנו בשפה נייטרלית ("נסו להוכיח ש...") בניסוח התרגילים.
פילוסופיה פמיניסטית 168148
בתורת האינפורמציה, כפי שכבר הוזכר באייל היכנשהו, אאז"נ, שני הצדדים העיקריים בתהליך העברת מסרים, נקראים Alice ו-Bob.

זה מאפשר להשתמש בכינויי גוף "he" ו-"she," דבר הגורם לטקסט ארוך בנושא להיראות פחות מאולץ.

Alice sends Bob a token. He analyzes the token, then returns a bit. She erases the bit, and uses the generated heat to cook dinner.

טוב, זה בעצם יכול לעצבן את הפמיניסטיות. אעצור כאן.
פילוסופיה פמיניסטית 168167
תגובה 154538
אלגברה פמיניסטית 168107
יובל - קודם כל, תודה. באמת.

אם הבנתי נכון, אין באף אחד מהטיעונים הללו ביקורת על מדע המתמטיקה, אלא על הדרך בה הוא נלמד ברמה הבסיסית ביותר. על כך אני יכול להעיר:

1. שיפור אמצעי-החינוך המתמטיים כך שיהפכו את המתמטיקה למעניינת, מושכת ולא מרתיעה לכל הוא מטרה נעלה וחשובה.

2. האמצעים המוצעים בכתבה להשגת מטרה זו נעים בין סבירים ורצויים למשונים עד מאוד.

העסק נהייה מוזר עוד יותר כשהמחברות מוצאות שנאת/אפליית נשים ב-"פרדיגמה המתמטית". כאן לא ברור לי אם הן עדיין דנות בדמיונם המוגבל של מנסחי הבעיות המילוליות (שאז הטענה רלוונטית, אבל שולית ביותר בהקשר המתמטי הכללי) או בשיטה המתמטית עצמה (שאז איבדתי אותן לגמרי).

אם הכותבות היו מתרכזות בתחום הוראת-המתמטיקה ומציעות שיפורים, הייתי מתווכח איתן קשות על חלק מההצעות אבל לפחות הויכוח היה בהקשר סביר ורצוי. דומני, עם זאת, שהכותבות מנסות לטעון טענות יסודיות יותר לגבי המדע המתמטי, מפני שמה שראסל התייחס אליו הוא מתמטיקה, לא שני ברזים ממלאים בריכה. מה הטענות? אינני יודע, ואולי אין כאלה במאמר, ואולי אין כאלה בשום מקום.

"אלגברה פמיניסטית"? נו, באמת. נראה לי שההתבדחויות של תגובה 164718 ו-תגובה 168069 באמת לא כל כך רחוקות מהמציאות.
אלגברה פמיניסטית 168242
3. "אין לצייר את המורה כסמכות אלוהית על ידי שימוש במשפטים נוסח "עליך להאמין בכלל זה", או להציג את המתמטיקה כאוסף כללים הדורשים ציות"
האם הכוונה היא שצריך לספק הוכחה מלאה לכל מה שעושים בכתה? נדמה לי שלא על זה מדובר, אלא על "התנסות אישית" ועידוד התפיסה השגויה שהמשפט נכון רק משום שבדקת שני מקרים במו-ידיך.
אלגברה פמיניסטית 168244
אני פרשתי את זה כמוך, וזה אחד הדברים שנראים לי מועילים בהחלט - שיטת לימוד של "ככה זה וזהו" היא בעיני גרועה.

אבל... איך זה קשור לפמיניזם? למחברות פתרונים.
אלגברה פמיניסטית 168265
אני חושש שגם אני לא הבנתי למה הן בדיוק מתכוונות. כולם מוזמנים לפרש את הפיסקה המקורית:

Mathematics is often seen as a divine mystery. Religious metaphors can perpetuate this distance by granting the instructor a divine authority. Students are often told to “take this rule on faith.” Are we asking for faith in the instructor? The book? Mathematics is often portrayed as an eternal system of rules that one learns to obey rather than as a set of principles constructed and agreed upon by humans as useful. Thus we see a current college algebra book stating matter-of-factly that Euclid’s “Elements” is, “next to the Bible, the most influential book ever written.” A more humble approach would be to show the student not only that she or he can use mathematics each day but also that she or he can construct new mathematical concepts personally.

בדומה לאלון, גם אני לא מבין כיצד כל הנ"ל מתקשר לפמיניזם.
אלגברה פמיניסטית 168268
דת היא גברית. מה שמשווים אותו לדת הוא גברי.
או אולי - נשים לא מאמינות, נשים חוות. או משהו כזה - שאל את כרמית או את טלה בנושא הזה.
לא שברור לי מה הן מצפות שיעשו. אי אפשר להוכיח כל משפט ומשפט בכיתה, בטח שלא במתמטיקה ברמת תיכון‏1. ההטפלות לביטוי "take the rule on faith" היא קטנונית, ומתעלמת מהאירוניה שיש בשימוש דווקא בביטוי הזה בלימודי מתמטיקה. אף אחד לא חושב שאם לא יאמין במשפט, הוא עשוי להשתנות...

1 אם כי בהחלט הייתי שמח אם היו עושים את זה לעיתים תכופות יותר. גיליתי שהרבה יותר קל לי להשתמש במשפט אם אני מבין מה אני עושה ולמה.
אלגברה פמיניסטית 168271
1 תוכל לתת דוגמה למשפט שלמדת בתיכון והשתמשת בו מבלי להבין למה, או מה אתה עושה?

ההטפלות לביטוי "take the rule on faith" היא לא קטנונית, היא אידיוטית. מורה טובה למתמטיקה לא תשתמש בו, ואם כן, היא עושה טעות פדגוגית, אבל לא *מגדרית*.
אלגברה פמיניסטית 168275
וואלה, לא זוכר. אני רק זוכר שכשניסיתי ללמוד בעצמי כדי לשפר את הבגרות במתמטיקה, נהגתי להתחיל בחלק הראשון של הספר, שם ניתנו הסברים והוכחות למשפטים. בכיתה, מעולם לא נגענו בחלק הזה, ובטח שהמורה לא נתן את ההוכחות בעצמו. אני כבר לא זוכר דוגמאות.
גם בשיעורי סטטיסטיקה באוניברסיטה היה לי מקרה דומה. אני לא זוכר את הפרטים, אבל אני זוכר שזה היה קשור במספרי ברנולי או משהו כזה. המרצה נתן לנו כלל, ואמר שהוא נכון במקרה כזה וכזה, וגם במקרה של x/y (כבר לא זוכר מה זה ה-x/y, אבל אני זוכר שזה התייחס למשהו במספרי ברנולי. או משהו כזה). אחרי השיעור ניגשתי אליו עם תמיהה. x/y הוא מקרה פרטי של המקרה הכזה וכזה שהוא דיבר אליו. הוא אמר לי שאני צודק, אבל הוא לא רצה לבלבל את הכיתה...

יש משפטים שאי אפשר להוכיח בכלים של תלמידי תיכון. אז פשוט אומרים להם - במצב כזה, עושים ככה וככה. למה? ככה. נגזרות, למשל. לא אומרים לנו למה נגזרת של זה שווה לזה, אלא אומרים לנו - פשוט תציבו את זה וזהו. אולי זו טעות פדגוגית, אבל למיטב ידיעתי זה מה שיש ברוב הכיתות.
אלגברה פמיניסטית 168285
ב"תוכנית החדשה" ‏1 במתמטיקה לתיכון (5 יח"ל) הוסיפו פרק שמסביר את הרעיון שמאחורי הנגזרת כולל חישוב עצמאי של נוסחת הנגזרת של פונקציות שונות. מצד שני, אני מניחה שמורים רבים יעדיפו לדלג על הפרק הזה, כי לא נבחנים עליו...

1 שהיתה חדשה לפני 12 שנים
אלגברה פמיניסטית 168282
חדו''א, למשל. לא לומדים גבולות, אבל לומדים נוסחאות גזירה ואינטגרציה.
אלגברה פמיניסטית 168312
זו באמת חדווה, כשאין גבולות...

כשמלמדים נוסחת גזירה, אפשר להגיד "ככה זה וזהו", אפשר להוכיח מפורטות מההגדרות של גבול ונגזרת, אבל אפשר לעשות גם המון דברים באמצע: להסביר את המשמעות של נגזרת, לתת אינטואיציה, ולעזור לתלמידים להרגיש בנוח עם העובדה שיש מוטיבציה, יש שיטה מאחורי הנוסחאות וזה לא סתם "מאלוהים".

באמת שאפשר. אני מכיר לפחות פמיניסט פרה-מודרני אחד שעשה את זה אפילו בלי לשים לב כמה שזה פמיניסטי.
אלגברה פמיניסטית 168355
סיימתי תיכון לפני 4 שנים ודווקא למדתי גבולות.
אלגברה פמיניסטית 168315
טוב, עושה רושם שלא הייתם אף פעם בכיתה אמריקנית.
הדוגמאות שנותנות המחברות הן בהחלט ארועים נפוצים בכיתות ביה"ס והקולג' בארה"ב. רובנו יכולים להסכים עם העובדה שלימוד מתמטיקה כ"תורה משמיים" ללא הסבר או הקשר מנתק אותה מכל התלמידים, גברים כנשים; מה שהמחברות טוענות, וייתכן שהן צודקות, הוא שלימוד מסוג זה מזיק יותר לנשים מאשר לגברים' בגלל דרכי החשיבה השונות של המינים והגישות השונות שלהם לפתרון בעיות.
יתר על כן, כדאי להבהיר לכל המתמטיקאים שלפי הדוגמאות שהובאו, המחברות מתכוונות ל"אלגברה" במובן של פתרון משוואות ובעיות דומות, ולא במובן הגבוה יותר של "אלגברה מודרנית". טענתן היא שברמה זו, שיטות הלימוד המרוחקות מעולמן של רוב הנשים ומצורת המחשבה שלהן גורמות לכך שהן אינו לומדות אף את מינימום המתמטיקה הנדרש בחיים, ובכך תורמות לתחושת חוסר הערך שלהן, ולהמשך ההגמוניה הגברית.
אלגברה פמיניסטית 168339
לא יודע, לי תמיד נראה היה שהבנות שלמדו איתי היו הרבה יותר טובות מהבנים בשינון והקאה - וזה מה שנדרש מאיתנו גם במתמטיקה: שינון (של הנוסחא הנכונה לסוג התרגיל הנכון), הצבה בנוסחא, והלאה, לשאלה הבאה. גם אם לא מבינים מה עושים. אני מכיר סטודנטית אחת שקיבלה 95 בסטטיסטיקה בלי שיהיה לה מושג מה המשמעות של הנוסחאות שהיא סידרה בטבלה נאה כל-כך.
אלגברה פמיניסטית 168342
הצילו! איפה למדת מתמטיקה? ואיפה הסטודנטית? ספר, השמץ חופשי. בנפשנו היא.
אלגברה פמיניסטית 168343
מתמטיקה בתיכון (שם רוב הנוסחאות ניתנות בדף הנוסחאות, אבל אפשר ללמוד בעל-פי מתי צריך להשתמש בהן. אני לא, ואין לי מושג איך הן עשו את זה, אבל זה מה שהן עשו). סטטיסטיקה לתלמידי תקשורת באוניברסיטה, שם הייתה הסטודנטית, שהיא היצור האטום ביותר שהכרתי מעודי, אבל עם זכרון פנומנלי, מה שאומר שהציונים שלנו הפוכים - קורסים שדרשו זכרון, לי יש ציון נמוך ולה גבוה, וקורסים שדרשו ניתוח ומחשבה, לי יש גבוה ולה נמוך. סטטיסטיקה הוא הקורס היחיד שלשנינו ציונים גבוהים, כי מסתבר שאפשר לתקוף אותו משני הכיוונים.

(דובי, שירד להקבצת 5 יחידות)
אלגברה פמיניסטית 168348
צ'מע, מדהים. בחיים לא הייתי משייך מתמטיקה לקטגוריית המקצועות שאפשר לעשות מהם משחק זכרון. זכרון טוב חשוב במתמטיקה, אבל פשוט אסור שיספיק.
אלגברה פמיניסטית 168381
איך "יורדים" להקבצת 5 יחידות? יש יותר גבוה מזה?
אלגברה פמיניסטית 168447
(יברכך האל על היותך אדם טוב ששואל את השאלות הנכונות. אם כי יש כמה אנשים שהיו בועטים בך עכשיו על כך שבלעת את הפתיון הברור כל הזה, שיאפשר לי להשתחצן קמעה כעת.)

הייתי בחמש יחידות מוגבר (כלומר, מסיימים הכל בי''א), ומכיוון שלא עמדתי בקצב, ירדתי לחמש יחידות רגיל, שם סיימנו את הבגרות בכיתה י''ב. הידד.
אלגברה פמיניסטית 168456
(יברכני האל על היותי אדם טוב, גם אם אני תמיד, אבל ת מ י ד שואלת את האנשים הלא נכונים שאלות לא נכונות, בזמן הלא נכון, ובמקום הלא נכון.)

טוב, אני לא אספר כאן לכמה יחידות אני ירדתי, פחות מחודש לפני הבגרות, מפני שלא עמדתי בקצב.
אלגברה פמיניסטית 168486
is the idea that a mathematical theorem is true only because your teacher said so is better for understanding mathematics?

nir
having only korean fonts on his computer
אלגברה פמיניסטית 168528
לפי סדר עדיפות:
1. המשפט נכון משום שבעשר הדקות הקרובות אוכיח לכם אותו.
2. המשפט נכון משום שקיימת לו הוכחה (ולא נראה אותה בכתה כי היא ארוכה/מסובכת מדי; תוכלו למצוא אותה ב...).
3. המשפט נכון משום שכך אני (המורה) אומר לכם.
4. בשעה האחרונה מדדתם היקף של מעגלים בעזרת חוט. המדידות שלנו מתיישבות עם המשפט עד-כדי סטיה של 10%, ומכאן שהמשפט נכון.
אלגברה פמיניסטית 168539
1.5 אני מקווה שהמדידות שעשיתם נותנות לכם אינטואיציה למה המשפט עלול להיות נכון. יש הוכחה שהמשפט נכון, אבל היא מסובכת מכדי להראות אותה בכיתה.

1.3 אותו הדבר + ב10 הדקות הקרובות נראה הוכחה של מקרה פרטי של המשפט.
בתור אישה 168243
זה מעליב להפליא להניח, שכדי שאוכל ללמוד מתמטיקה צריך לנסח שאלות עם חדווה ורותי שמכינות פשטידת תפוחים.
בתור אישה 168245
אני לא חושב שזו הייתה הטענה שלהן. יותר כמו ''השימוש בניסוחים מהסוג הזה מנציח את הסטריאוטיפים המגדריים גם באמצעות לימודי המתמטיקה''.
בתור אישה 168246
אבל הן לא מציעות לסלק את הסטריאוטיפים המגדריים מלימודי המתמטיקה. הן מציעות להכניס סטריאוטיפים מגדריים ''נשיים''.
בתור אישה 168251
אז מה את רוצה שהן יכינו?
בתור אישה 168264
פצצת נפלאם. אני תוהה אם ''מתמטיקה פלשתינאית'' תדבר על סעיד ונאסר שמכינים חגורות נפץ.

(סתם, סתם, בצחוק)
בתור אישה 168283
ע''פ תוכנית רדיו ששמעתי פעם, ספרי הלימוד בפקיסטן מכילים בדיוק כאלה תכנים.
בתור אישה 168309
אני בטוח שלא התכוונת, אבל זה נשמע כמו סוג די לא סימפטי של הוצאת-דיבה. לא נראה שיש לנו דרך לבדוק את זה, אז זה קצת כמו לזרוק "שמעתי שההוא עשה את הדבר הנורא הזה" ולהשאיר את זה תלוי. בתכנית הרדיו הציגו תימוכין אמינים לטענה?

זה די מחפיר אם זה נכון, ולי אישית זה נשמע מאוד לא סביר.
"Ahmed has a sword. He performs jihad with his sword." 168311
מדובר בספרי הלימוד של הטאליבן באפגניסטן. אחד מבין מקורות רבים: Washington Post, ראה http://www.washingtonpost.com/ac2/wp-dyn/A50740-2001... .
"Ahmed has a sword. He performs jihad with his sword." 168314
תודה! נשמע יותר סביר שזה הטליבאן, אם כי לא פחות מדכא.
בתור אישה 168267
גם אני התפלאתי להיווכח שמאמר פמניסטי מעודד חיבור שאלות על אוכל במקום על טילים. אבל תיקון קל: אם הבנתי נכון, הכוונה היא לא לחבר שאלות הנסובות סביב דמויות נשיות המכינות אוכל, אלא שאלות הנסובות סביב אוכל (הקרוב לעולמן החוויתי של נשים, אליבא דמחברות המאמר).

דוגמא מהמאמר לניסוח מוצלח:

How much full-strength coffee and how much 50%-caffeine coffee would you mix in order to have a pound of coffee with two thirds the usual amount of caffeine?
בתור אישה 168270
כלומר, *אסור* לחבר שאלות על נשים המכינות קפה (שוביניזם!), אבל *צריך* לחבר שאלות המניחות שהכנת קפה קרובה לעולמן התרבותי של נשים יותר מתכנון מעגל אלקטרוני.

יופי של empowerment.
טרחנות בה' הידיעה 168272
כמה מלים נשפכו בטרד תגובה 168103
על השטות הזו?
בתור אישה חופשית ובטוחה בעצמה, זה נכון. 168316
אבל אינני חושב שנשים שאינן מפחדות ממתמטיקה הן הרוב. הן אפילו לא מיעוט גדול.
בתור אישה חופשית ובטוחה בעצמה, זה נכון. 168318
ואתה סבור שזה בגלל שהמונה שולט במכנה? בגלל שאין מספיק שאלות על בובות ברבי?
אני חושב שזה *יכול להיות* כך.. 168321
הסיבה יכולה להיות שיטות ההוראה, הטמפרטורה בכיתה או קונספירציה של ה- CIA. אבל אני חושב שהניסיון להצביע על *תוכן* ספרי הלימוד כאחד הגורמים לפחד הלא-רציונלי ‏1 של רוב הנשים ממתמטיקה הוא השערה סבירה. כדאי היה לטעמי, לבדוק את העניין במחקר כמותני או איכותני, אבל כהצעה מדובר ללא ספק על אפשרות לגיטימית.

1 לטובת הטהרנים: אני מאמין שהפחד אינו אלגברי כי אם טרנסצנדנטי.
אני חושב שזה *יכול להיות* כך.. 168322
רגע. הסכמתי מיד שחשוב למצוא דרכים להפוך את לימודי המתמטיקה לנגישים יותר ומפתים יותר, לכולם - נשים וחיות אחרות. הבעייה שלי היא דווקא ובדיוק עם ה*פתרון* המוצע, שבעיני הוא מביש, וכן עם הנסיון המדאיג מאוד לרומם את הבעייה הרבה מעבר לנוסח ספרי הלימוד, אל מהותה של המתמטיקה כפי שתופס אותה ראסל, למשל.

ביקורת זה חשוב. אבל אפשר לבקש שתהיה מעניינת?
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 166091
עכש"מ, הטענה של קאמיל פאליה היא שכל הרעיון של "מדע" הוא דבר זכרי. כל השאיפה להבדיל, לבדוק, לכמת, לחקור, *להבין* וכיוב', הוא רעיון שנובע מ"המבט הזכרי" על העולם. אני לא חושב שהיא מבקרת את זה וטוענת שהיה אפשר אחרת בעולם "נשי" (אולי עולם כמו שטלה כותבת עליו), אלא שזה הצורה בה פאליה רואה את ההתפתחות של התרבות (דיון 1422).
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 166093
עם שם משפחה כזה, אני לא מתפלא שהיא רואה את העולם כמזימה גברית.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 166094
Paglia
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 166108
אני זוכר. אבל כמו שציין אלון, זאת טענה לא מעניינת במיוחד. השאלה היא האם ישנן דרכים שונות להבין את העולם.
אני! אני! ("נעלבתי" מספיק, that is) 165203
לא אנשי ולא נשות קש. למעשה, הדוגמאות הפארודיות ראדיקאליות הרבה פחות מהטענות הממשיות.
המשפט ''חוקי ניוטון הם אונס גברי של הטבע'' אכן נאמר.
בואו נחשוב על הטבע. 165589
אתה זורק אבן (קלה) לתוך נהר מים (מחותחת). האם האבן והנהר מתנהגים לפי חוקי ניוטון?
האם תוכל לחשב את מיקום האבן לאחר שעתיים לפי חוקי ניוטון?

כל מורה לפיזיקה יגיד לך שההנחה הבסיסית ביותר של חוקי הפיזיקה היא שהם מתקיימים "במערכת סגורה". כשתבקש ממנו להראות לך מערכת סגורה, הוא יציג קירוב.

האם אנחנו באמת מגיעים להבנה של הטבע כשאנחנו מציגים את חוקי ניוטון, או שמא אנחנו רק כותבים כמה משוואות שמתאימות לתנאים "אידיאליים" מסוימים, שאף פעם לא מתקיימים?
בואו נחשוב על הטבע. 165988
''אתה זורק אבן לתוך נהר מים...'' לא ולא. נהר המים מעניק לך ומקבל מידך באהבה את האבן.
אידאליזם 166045
חוקי ניוטון הם כלליים. למשל הטיפול במערכות שאינן סגורות, כמו גם בחיכוך, נעשים במסגרות חוקי ניוטון. כאילו, דהה?!
לא אידאליזם. אמפריציזם. 166384
טיפול במסגרת חוקי ניוטון אינו מסוגל לנבא במדויק את המערבלות בנהר (הוא רק יודע להגיד מתי יתחילו מערבולות, אבל לא מה יקרה אז). המעניין הוא שבעוד שהתחושה הציבורית לגבי המדע היא ש"הפיסיקה של היום-יום מובנת לנו לגמרי" הרי שהדבר וא לא בדיוק ככה, וחלק מהדברים היומיומיים ביותר, המיידיים ביותר, החלו להיחקר מדעית רק עם תחילת העיסוק בכאוס בשנות השבעים, בעוד שהכיוון אליו הלכה הפיזיקה עד אז לא היה פורה כלל למטרות אלו.
במלים אחרות: האם יש טעם לומר שאנו מסוגלים לתרגם את תנועת הנהר למשוואות, אם המשוואות הנ"ל הן בלךתי פתירות בכלים המתמטיים שבידינו?
העתיד זה לא מה שהיה פעם 166439
אם נתעלם מן התיקונים הקוונטיים והיחסותיים, חוקי ניוטון דווקא כן מנבאים, באופן מוחלט ודטרמיניסטי את התנהגות החומר. אתה מתייחס לתורת הכאוס, שמדברת גם עלהמגבלות הטכניות של ה*שימוש* בחוקים אלו. אין זה גורע דבר מתקיפותם של של החוקים עצמם. הבעייה היא רק מוגבלות מיכשור המדידה והחישוב שלנו. בהינתן אלוהים, כזה שיודע את חוקי ניוטון (ועדיף עם המלצות), הוא יכול להשתמש בהם לחיזוי מלא של תופעות הטבע (בהסתייגויות דלעיל). אם כבר בחיזוי עסקינן, בתורת הקוונטים, מוגבלות היכולת לחזות היא כבר סיפור אחר לגמרי: שם היא תכונה מהותית של הטבע ואינה תוצאה של מוגבלות מיכשורינו.
האם רות עד כאן?

שאלתך האחרונה מתמצתת בעצם את הבעייה.
התשובה היא שכן, אם רוצים לנסות לחזות משהו, כדאי לתרגמו למשוואות. זה לא ימצה את טעמם המרענן של המים, לא את פיכפוכם המרגיע וגם לא את חלקת מגעם המלטף ביום קיץ חם. אך כן את התנהגותם, במלואה. המשוואות הנגזרות מחוקי ניוטון יאפשרו במקרה זה לחזות את התנהגותם בכל נקודה ובכל זמן. בפועל, אומנם מדובר במערכת כאוטית, אך עדיין, ניתן לחזות בה לא מעט דברים, גם אם לא את כל מה שהיינו רוצים. הבעייה היא, כפי שנאמר לעיל, בכושר הדיוק במדידה ובמהירות החישוב, לא במתמטיקה עצמה ("הכלים המתמטיים"?).
יש?
העתיד זה לא מה שהיה פעם 166477
כמה נקודות חשובות:
1. במסגרת הכאוס מראים שבמקרים מסוימים ההתנהגות (במקרו) של המערכת תלויה באופן חזק מאוד בשינויים קטנים בתנאי ההתחלה. מצד שני, כפי שהודית, תורת הקוונטים מראה שלא ניתן, אינהרנטית, להגיע לדיוק מושלם במדידת תנאי ההתחלה. מכאן, גם אלוהים הנתון שלך לא יכול היה לחשב את עתידה של מערכת כאוטית, מכיוון שלשם כך הוא יצטרך לדעת את תנאי ההתחלה בכל דיוק שיידרש, ועפ"י תורת הקוונטים זה *בדיוק* מה שהוא לא יכול לדעת.
2. אותם *מקרים מסוימים* הם אולי מיעוט המקרים בפיזיקה, אבל למעשה הם רוב המקרים בטבע שאנו פוגשים יומיום.
3. אאל"ט, מערכת כאוטית מתאפיינת בין השאר בכך שאם נגדיל את דיוק החישוב בפקטור מסוים, לא נגדיל את דיוק התחזית ‏1 באותה מידה. תוצאה זו היא מתמטית-אינהרנטית, ולא תלויה במחשב המבצע את החישוב. תכונה זו מבטיחה תמורה נמוכה, ואף הולכת ופוחתת, לניסיון להגדיל את דיוק החישוב.
אבל האמת היא שכשהתייחסתי ל"משוואות לא פתירות" התכוונתי לבעיות שבהן אין פתרון מתמטי ידוע למערכת משוואות דיפרנציאלית מסוימת (למשל). הרי אפילו בעיית שלושת הגופים, הפשוטה לאין ערוך ממה שקורה בטבע, אינה פתירה לחלוטין, שלא לדבר על מקרים מורכבים יותר. מה הערך, במקרה כזה, במתמטיזציה?

1 או את משך הזמן שבו ניתן לתת תחזית בדיוק נתון
העתיד זה לא מה שהיה פעם 166489
אתה מבלבל מושגים. "אין פתרון מתמטי ידוע" לכמעט אף משוואה דיפרנציאלית במובן החלש מאוד של אי-קיום פתרון ב-"פונקציות אלמנטריות": פונקציות טריגונומטריות, אקספוננציאליות, פולינומים וכו'. זו עובדה חסרת חשיבות לחלוטין מההיבט הפיסיקלי. למשוואות הדיפרנציאליות של בעיית שלושת הגופים יש פתרון יחיד, חלק ומוגדר היטב, ואין ספק שיש ערך רב במתמטיזציה של מצבים כאלה - קשה לי לחשוב על מסעה של וויאג'ר ללא מתמטיזציה של התנהגות גוף בשדה כבידה.

בנוסף, מוכרחים לזכור שחלק ניכר ממדע הפיסיקה כלל לא מתאמץ לעקוב אחר תנועתם המדוייקת של חלקיקים בודדים, ויש ערך עצום למשוואות מתמטיות המתארות אובייקטים סטטיסטיים כמו לחץ וטמפרטורה.
העתיד זה לא מה שהיה פעם 166712
אני מסכים עם 1.
לגבי 3: במערכת כאוטית לא קוונטית, לכל דיוק שנרצה נוכל להגיע בכל זמן, נגיע אם נבצע מדידות מדוייקות די הצורך ונזינן למחשב מהיר דיו. נכון שלעיתים, כדי לשפר פי שתיים את דיוק התחזיות להתנהגות המערכת לאחר שעה, יהיה צורך במחשב מהיר פי 10324845034^10, אבל זה עדיין גודל סופי. כלומר זה כן תלוי במחשב אם נוכל לחשב בזמן סביר את הדיוק הנדרש.

לגבי השאר, ענה אלון תשובה נאה במיוחד.
סופי כן. יעיל? לא בטוח. 167132
העתיד זה לא מה שהיה פעם 182325
''ההתנהגות (במקרו) של המערכת תלויה באופן חזק מאוד בשינויים קטנים בתנאי ההתחלה.''
אבל בתורת הקונטים לא יכולה להיות תלות כזאת, כי השנוי בתנאי ההתחלה לא יכול לרדת מקבוע פלאנק. כך שמרמת דיוק מסוימת והלאה יש חפיפה בין כל תנאי ההתחלה האפשריים, והלינאריות של משואת שרדינגר מבטיחה שהחפיפה הזאת תמשך לנצח.

במילים אחרות, אין ולא יכול להיות כאוס בתורת הקואנטים. תורת הקואנטים מבטיחה את הדטרמיניזם.(התחום הנקרא ''כאוס קואנטי'' עוסק במאפינים שונים של מערכות שהמקבילה הקלאסית שלהם היא כאוטית, כמו התפלגות רמות אנרגיה וכד').
אידאליזם 166443
"הטיפול במערכות שאינן סגורות, כמו גם בחיכוך, נעשים במסגרות חוקי ניוטון"? זאת הצהרה משונה מאוד. האם חוקי ניוטון קובעים שכאשר אני זורק אבן יהיה שם נהר שאליו תיפול האבן?
או, במילים אחרות, העולם הממשי בנוי מאינספור דברים והתרחשויות. כדי להחיל חוקים על העולם אנחנו מניחים אינספור היפותזות-חיצוניות לחוקים עצמם, שמבוססים על מאגר הידע שלנו. החוקים עצמם הם סוג של אידאליזציה של העולם, וניתוח המציאות לא יכול להיעשות במסגרתם.
אידאליזם 166709
החוקים אינם אידאליזציה. הם משקפים את מיטב הידע שלנו על העולם. אם אתה רוצה לטעון שהם לא וודאיים. אסכים אתך, אך מה כן וודאי? כלום.

כדאי להבהיר: כדי לעשות שימוש בחוקים לשם נתינת תחזיות, יש להציב בהם את מצב המערכת בה מדובר בזמן מסויים: למשל את מיקומו ומהירותו של כל חלקיק בזמן זה וכן את הכוחות הפועלים בין החלקיקים ואם יש, את הכוחות הפועל עליהם מבחוץ.
רק אז ניתן לחזות את מצבה של המערכת בכל זמן. כלומר, אם תציב את מהירות האבן ואת מיקומה בזמן t=0, את עוצמת כח הכבידה על האבן, את מסתה, את צפיפות האויר, את תוואי השטח ועוד כמה דברים ששכחתי, יתנו לך החישובים המתבססים על חוקי ניוטון את מיקומה של האבן בכל זמן.
אידאליזם 166714
אם קודם תבהירו למה אתם מתכוונים ב''אידיאליזציה'', אולי תחסכו כמה נקיפות מקלדת.
אידאליזם 166719
האמת היא שאני לא בטוח לגמרי למה התכוון יהונתן. אני רק יודע שהם לא (:
אידאליזם 166724
טוב. (כאילו, לא בא לי להיכנס לזה כרגע ואין לי מספיק כלים לעשות זאת. עיקרה של המחלוקת בינינו נראית לי כיחס בין הטבע למתמטיקה: מה עומד מאחורי התאמת שפת המתמטיקה לניסוחם של חוקי הפיזיקה).
אנשי קש וגבבה? 182182
קצת באיחור, אמנם:

ימים ספורים אחרי שציירתי את הקריקטורה ההיא התברר לי שהיא הרבה פחות מוגזמת ממה ששיערתי. הנה משהו שנכתב
ברצינות ע"י פסיכולוגית פמיניסטית מכובדת‏1:

'Is e=mc2 a sexed equation?...Perhaps it is. Let us make the hypothesis that it is insofar as it privileges the speed of light over other speeds that are vitally necessary to us. What seems to me to indicate the possible sexed nature of the equation is not directly its uses by nuclear weapons, rather it is having privileged what goes the fastest...' [Luce Irigaray, Le sujet de la science est-il sexue?]

ואתם חשבתם שזה קל להיות שוטה, הה? מסתבר שכמה שלא תתאמץ, תמיד יימצא מישהו שעושה את זה יותר טוב באופן טבעי.
__________________
1- "After this she began work as a esearch assistant at the Centre National de la Recherche Scientifique in "Paris where she is currently Director of Research - לא שאני יודע משהו על המוסד הזה, אבל זה נשמע מכובד.
ואף הוא היה מתכוון כנגד המברכים 182264
טוב שאתה חוזר בבת אחת.

נכון שהמצאת את הציטוט הזה? אם לא, איפה אפשר למצוא עוד מאותו פס-ייצור?
ואף הוא היה מתכוון כנגד המברכים 182297
אם הייתי מסוגל להמציא משפטים כאלה, הייתי מנהל איזה מכון מחקר בפריז במקום להתקמבק על גבותיכם השפופים.

תוכל למצוא את הציטוט למשל כאן http://www.wsws.org/articles/2000/jul2000/post-j01.s... (ביקורת על ספר של סוקאל ובריקמונט), יחד עם עוד אמירה תמוהה שאולי תמצא בה עניין:
“Poetic language (which we shall henceforth denote by the initials pl) contains the code of linear logic. Moreover, we can find in it all the combinatoric figures that algebra has formalized in a system of artificial signs and that are not externalised at the level of the manifestation of the usual language”.
מסתבר, אם כן, שאתה לא עוסק בדברים שונים כל-כך מעריכת "אוקפי", ויש בטח איזו טרנספורמציה שתהפוך את הדוקטורט שלך לפואמה מרשימה.

אין לי לינק, אבל נדמה לי שמסתובבת ברשת גם הטענה שטילים בנויים כפי שהם בנויים כדי לתת להם צורה פאלית, ולעזאזל עם כל התירוצים האוירודינמיים השוביניסטיים. גם הקשיים של תורת הרצף (הפיזיקלית) אינם נובעים מבעיות בפתרון משוואת נבייר-סטוקס אלא בגלל שהרצף הוא תכונה נשית, בעוד משוואות ניוטון שניתנות הרבה פעמים לפתרון עוסקות בגופים קשיחים ונקודתיים, שהם עניינים גבריים.

אה, מצאתי את המקור שהוביל אותי לכל הסיפור: http://www.physics.nyu.edu/faculty/sokal/dawkins.htm... מאד מומלץ.
מעשי ידי אומרים שירה 182314
מכרה של זהב מצאת.

"Lacan goes on to conclude that the erectile organ
`... is equivalent to the sqrt(-1) of the signification produced above, of the jouissance that it restores by the coefficient of its statement to the function of lack of signifier (-1).`"

עכשיו אני מבין למה לא הצליחו לגבש תאוריה פילוסופית מוסכמת של הפוסטמודרניזם. הם משתמשים בשורש הלא נכון של מינוס אחת.
מעשי ידי אומרים שירה 182336
המאמר מהלינק האחרון שהבאתי מופיע גם בספר A Devil's Chaplain שהוא אסופת מאמרים והרצאות של דאוקינס.
מעשי ידי המחשב אומרים שירה 182370
ענק! מאחד הקישורים שהבאת:

לחצו וקראו את המאמר המעניין. אח"כ חזרו לכאן וגלו את מה שאולי ניחשתם: המאמר הפוסטמודרניסטי נוצר במיוחד עבורכם בידי תוכנה - המחולל הפוסטמודרני. חיזרו לקישור - וקבלו מאמר אחר...
המתמטיקה של הפוסטמודרניזם המאוחר 192997
שמעתי היום (בבר-אילן) הרצאה של פרופ' שבתאי אונגורו, פילוסוף והסטוריון של המדעים מתל-אביב.
כותרת ההרצאה היתה "מדע, מתמטיקה והסטוריה - האם ייתכנו בעידן הפוסטמודרני", ולהנאתי הוא לא הספיק לדבר הרבה על מדע או הסטוריה.

פרופ' אונגורו נודע בעיקר כהסטוריון של המתמטיקה, ובין שאר ספריו, הוציא (ביחד עם דוקטורנט שלו) פירוש לספר של אפולוניוס על חתכי חרוט (הספר נכתב במאה השניה או השלישית, ועוסק באליפסות, היפרבולות וכדומה).
כמה שנים קודם לכן, הוא פרסם מאמר-פרשנות שניתח את "חתכי חרוט" מנקודת מבט פמיניסטית: ה"עקומות", נקודות ה"השקה", המעגלים המושלמים מול האליפסות המעוותות, "מקומות גאומטריים", ועוד - כולל ניתוח בלשני מפורט המראה שאפולוניוס כתב ספר-הדרכה לדיכוי נשים, ולא עבודת מחקר מתמטית. תקציר של המאמר התפרסם בכתב-העת "זמנים".

אם לסכם את ההרצאה במשפט אחד, "דיסציפלינה שמאפשרת להעביר ספר על חתכי חרוט ככתב פלסתר מדכא - מוכרחה להיות קשקוש".
מסתבר שהעורכים שקנו את המאמר של סוקאל חולקים עליו בנקודה זו - הם פנו אליו לאחר שהמאמר התפרסם, ובקשו שיפרסם אותו גם אצלם.
המתמטיקה של הפוסטמודרניזם המאוחר 193000
מרתק. האם אתה יודע אם התקציר שהתפרסם ב"זמנים" הניח לקורא להבין שמדובר בבדיחה, או שאמר זאת מפורשות? האם עורכי העיתון הבינו זאת? מצער שבעמוד-הבית שלו אין את המאמר המקורי, ולא את התקציר. חבל, חבל שלא פרסם גם ב-Social Text. היה יכול להיות קטעים.

מה היתה, אם אפשר להציק עוד, מסקנת ההרצאה לגבי "מתמטיקה - האם תיתכן בעידן הפוסטמודרני"? אני מקווה שאין סיבות אמיתיות להניח שלא (או לחליפין, שכן, אבל עם קריטריוני-פרסום נוסח אנדרו רוס וידידיו).
המתמטיקה של הפוסטמודרניזם המאוחר 193007
המאמר ביצע ניתוח לשוני בשיטות פוסט-מודרניות במטרה להגיע למסקנות אבסורדיות. פרופ' אונגורו אמנם לא אמר זאת במפורש, אבל מן ההקשר היה לי ברור שהמטרה הוצגה במאמר.
הוא הסביר שדחה את ההצעה לפרסם ב- Social Text משום שזה היה "מביך" (ולא פירש למי).

לגבי מסקנת ההרצאה: אפשר לישון בשקט. המנחה שאל האם ניתוח תלוי-הקשר של טקסטים הסטוריים (יווניים, במקרה של עבודתו הגדולה של פרופ' אונגורו) יכול להוביל למסקנה הפוסט-מודרנית שיש "מתמטיקה יוונית", ו"מתמטיקה מצרית", ו"מתמטיקה מודרנית" בלי קשר ביניהן ו‏1פרופ' אונגורו השיב שעם כל הניתוח ההסטורי של הטקסטים, אסור לשכוח שהם עוסקים בטענות מתמטיות (ברמת הפשטה כזו או אחרת) ולכן מהווים (במלים שלי) תשובות שונות לאותה שאלה.

עד שלא מוכיחים לי את ההיפך, אני מתכוון להניח שאפשר לעסוק במתמטיקה אפילו בעידן הפוסט-מודרני.

1 (לפני שהספקתי לומר שאת כל המשפטים של אפולוניוס על חתכי חרוט אפשר להוכיח בשעתיים תבניות ריבועיות ושעתיים יחסי-שטיינר כפולים)
המתמטיקה של הפוסטמודרניזם המאוחר 193020
איזה מזל. אפשר להמשיך לעבוד. וא-פרופו הדיון לגבי עתיד הפיזיקה: התחושה שלי (רק תחושה) היא שבמתמטיקה יוכל המין האנושי להמשיך לעסוק פחות או יותר לנצח, כשהגורם המגביל שאולי יאט את ההתקדמות הוא מישכם הקצר של חיי-אנוש.

(מה זה יחסי-שטיינר כפולים? כוונתך ל-Cross Ratio, השמורה הפרוייקטיבית?)
המתמטיקה של הפוסטמודרניזם המאוחר 193058
(כן)
לקאניאני אני? 182678
עכשיו אני באמת חייב שיסבירו לי משהו. ז'ק לקאן - אפילו אני יודע שהוא (נחשב?) דמות מרכזית בפסיכיאטריה מודרנית. ספרים, כנסים, שם-תואר ("לקאניאני"), ידידתי הפסיכיאטרית קיבלה קורס שלם על תורתו‏1. אבל איך אפשר להתייחס ברצינות אל מי שכותב פסקה כמו זו לעיל, או כמו:

"This diagram [The Moebious Strip] can be considered the basis of a sort of essential inscription at the origin, in the knot which constitutes the subject. This goes much further than you may think at first, becuase you can search for the sort of surface able to receive such inscriptions. You can perhaps see that the sphere, that old symbol for totality, is unsuitable. A torus, A Klein bottle, a cross-cut surface, are able to receive such a cut. And this diversity is very important as it explains many things about the structure of mental disease. If one can symbolize the subject by this fundamental cut, in the same way one can show that a cut on a torus corresponds to the neurotic subject, and on a cross-cut surface to another sort of mental disease."‏2

אם לא הייתי יודע שזה לקאן, הייתי נוטה לייחס פסקה כזו לארכימדס פלוטוניום או מישהו כזה. ייתכן, כמובן, שפרט להיגדים פלאיים כאלה האיש כותב גם דברי טעם - אבל איך אמור הקורא הנבוך להבחין בין הסנפיר לקשקשת? מותר להוגה-דעות לגלוש מהפסים מדי-פעם, אבל אם הגיגיו בתקופות כאלה ממשיכים להתפרסם באותו טון סמכותי, יש מקום רב לדאגה.

1 רשמיה מהקורס: לקאן שרלטן מקשפרץ. אבל זה היא אמרה, לא אני.

2 ציטוט מתוך "Fashionable Nonsense" של סוקאל ובריקמונט, ושם גם יש סימוכין.
Fashionable Nonsense 182686
גם אני רצתי לספריה להוציא עותק. (:
Fashionable Nonsense 182771
כשתהיינה לך מסקנות, אנא שתף. בראשית סברתי שפתילנו זה עוסק בקומץ תמהונים בעלי קביעוּת; עכשיו תמהני כמה ואקום יש בדיסציפלינות שלמות.
Fashionable Nonsense 182824
אולי כדי גם לצרף את
שמקדים בהרבה את סוקאל ובריקמונט.

אגב, שמעתי פעם את סוקאל מרצה בנושא בפאריס. הוא הציג את עמדתו יחסית בענווה ובצניעות ( הדאגה שלו, כשמאלני, היתה שהשמאל מתעסק יותר מדי בדקונסטרוקציה ופחות מדי במלחמה נגד עוולות). האולם הכיל כמה פרובוקטורים פילוסופים שהתנפלו עליו (מילולית) וניסו להראות שהוא לא מבין לא את לאקאן (והוא הודה בכך בשמחה) ולא את איינשטיין. היה די מוזר.

דיסקליימר:
המאמרים היחידים של דרידה שקראתי נכתבו על ידי ברנרד
( ודי לחכימא).
Higher Superstition 182837
נכון - שכחנו להזכיר את הספר של גרוס ולוויט. מעניין להציץ גם בו. תודה.

זה שיש פילוסופים הסבורים שהם יכולים להסביר לפיסיקאי שהוא לא מבין את איינשטיין, זה באמת חלק מהבעייה. ומה, באמת, עם דרידה? סוקאל מביא ציטוט תמוה שלו:

The Einsteinian constant is not a constant, is not a center.
It is the very concept of variability – it is, finally, the concept of the game. In other words, it is not the concept of something – of a center starting from which an observer could master the field – but the very concept of the game.

גם הוא במלכים?
Higher Superstition 182844